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气泡船大尺寸多凹槽稳定气穴形成理论研究的开题报告
一、研究背景
气泡船是一种以气体为物料的新型船舶，具有质量轻、强度高、操纵灵活等优点，并能适应水面自然波浪变化。
随着海洋经济的发展，气泡船的应用越来越广泛，但其
稳定性和舒适性问题仍待解决。
针对气泡船上凹槽数量和排列方式、气穴形成规律等
方面的问题进行研究，对于提高气泡船的航行性能和舒适性具有重要意义。
二、研究内容
本文主要研究气泡船的大尺寸多凹槽稳定性和气穴形成规律，具体包括以下内容：
1.利用数值模拟方法研究不同凹槽数量和排列方式对气泡船稳定性的影响。
该研究将分别对单、双、三和四个凹槽进行数值模拟，分析不同凹槽数量和排列方式对气
泡船的稳定性影响，并得出最优的凹槽排列方式。
2.基于流场分析研究气泡船上气穴形成的规律。
该研究将通过采集气泡船在不同航速下的水面形态数据，并进行流场分析，得出气泡船上气穴形成的规律，为后续改
进设计提供理论指导。
三、研究方法
1.数值模拟方法：通过计算流体力学（CFD）仿真模拟软件，模拟不同凹槽数量
和排列方式对气泡船稳定性的影响。
2.流场分析方法：采用高速摄像机和水面形态采集软件对气泡船进行实验观察，并结合数值模拟方法对气穴形成规律进行分析。
四、研究意义
本研究将可以为气泡船的改进设计和性能优化提供理论指导，进一步提高气泡船的稳定性和舒适性，减少船舶在海洋环境中的波动和干扰，实现更加稳定、可靠的航行。
此外，研究成果还将有助于推进气泡船技术在海洋工程中的应用，促进海洋经济
的发展。
凹形槽和平板拉伸试验横截面计算凹形槽和平板拉伸试验是常见的金属力学性能测试方法之一，用于研究材料的塑性变形特性。
在进行这类试验时，需要计算横截面的尺寸参数，以精确计算样品的力学性能指标。
本文将介绍凹形槽和平板拉伸试验横截面计算的方法和重要性。
一、凹形槽试验横截面计算凹形槽试验是一种应力局部化试验方法，用于研究材料在应变硬化后的变形特性。
凹形槽试验时，样品上会制造一个带有凹陷的槽，通过在槽处施加拉伸力，使槽发生应力局部化现象，从而破坏材料。
为了精确计算样品的力学性能指标，需要准确计算凹形槽的横截面。
凹形槽试验横截面包括凹槽的宽度、深度、半径等参数。
其中，凹槽的半径是决定应力局部化程度的一个重要参数，通常需要根据材料强度和试验要求确定凹槽的半径范围。
在实际计算中，凹槽的尺寸参数应根据ASTM、ISO等标准规范进行计算和标准化。
二、平板拉伸试验横截面计算平板拉伸试验是一种普遍应用的材料拉伸试验方法，用于研究材料在拉伸过程中的应变-应力关系。
在进行平板拉伸试验时，样品需要锯割成规定的形状和大小，且平板的横截面参数也需要准确计算，以确保试验的准确性和可比性。
对于长方形的平板样品，其横截面计算包括宽度和厚度两个参数。
在实际测量中，平板的宽度指的是平板的宽度方向上的距离，而厚度则是平板从上到下的厚度。
为了准确测量平板的宽度和厚度，需要使用精度更高的测量器具，如光学投影仪、三坐标测量仪等。
在进行平板拉伸试验时，平板样品的横截面和几何形状会对试验结果产生影响。
因此，在计算平板样品的横截面参数时应严格遵循ISO、ASTM等标准，确保测试数据的准确性和可靠性。
总结凹形槽和平板拉伸试验是材料力学性能测试中常见的试验方法，对于精准计算样品的力学性能指标具有重要意义。
在进行这类试验时，准确测量和计算样品的横截面参数是保证试验数据准确性和可比性的关键因素。
因此，在进行凹形槽和平板拉伸试验时，应根据ISO、ASTM等标准规范，精确计算样品的横截面参数，以确保试验数据的准确性和可靠性。
工 业 技 术97科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATIONDOI：10.16661/ki.1672-3791.2018.02.097数控车削深沟槽零件工艺设计与实践探究①龙创平 曹红伟（西安航天动力试验技术研究所 陕西西安 710100）摘 要:本次研究主要分析数控车削深沟槽零件工艺设计与实践。
因为对于数控车床加工来说，沟槽类零件问题是比较常见的，所以需得到足够的重视以及关注,还应重视实现数控车床、选用切槽刀的使用。
本次研究使用的是改制之后的刀具，在有效的加工使用之后，可以体现非常显著的先进性、实用性，还可发挥非常显著的经济效益。
所以在实践的过程中，需要正确选择合适的刀具和加工工艺，促使数控车削深沟槽零件工艺设计满足实际标准。
关键词:数控车削深沟槽 零件工艺设计 实践中图分类号:THl62 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2018)01(b)-0097-02①作者简介:龙创平(1979—),男,陕西武功人,本科,高级工程师，研究方向:机械设计。
曹红伟(1971—),女,江苏江阴人,专科,工程师，研究方向:机械设计。
在进行数控车床加工的过程中，一般都会遇到相应的沟槽类零件问题，例如：轴肩位置的沟槽加工或者是内孔台阶的沟槽加工等。
一般会选择选用切槽刀来完成这种普通沟槽类零件的加工，之后使用数控加工工艺就可以将上述工作顺利解决。
但是随着企业生产的不断进化，需要更为严苛的产品要求，在实际工作中，想要促使某些深沟槽零件功能标准得到基础的满足，在加工深沟槽零件的过程中，只是实现数控车床、选用切槽刀就很难从根本上保障零件尺寸的合格及表面质量的提升。
所以在加工此类零件的过程中，怎样正确选择合适的刀具和加工工艺是非常重要的一项工作。
1 数控车削深沟槽零件工艺设计与实践1.1 数控车削深沟槽零件工艺加工难点可以在实际工作中，选择使用两轴数控车床形式，配套传统形式的数控加工工艺，在上述的基础上来完成深沟槽零件的加工，尤其是那部分具有一定径向尺寸标准的深沟槽轴类零件类型，就会存在更加的加工难度。
电压凹陷问题的研究的开题报告
一、选题的背景和意义
电力系统中的电压凹陷是指电力系统中单相/多相电压在很短时间内降低到瞬时值的一部分或全部，持续时间为0.5~30秒，它对电力系统的稳定性、设备的运行状态和负荷的安全运行等产生了很大的影响，一旦电压凹陷时间过长或者凹陷程度过大，就会给生产生活等方面带来不利影响，严重时可能导致相关设备的短路故障和停电事故的发生，因此电压凹陷问题的研究具有重要的理论意义和实际意义。
二、研究内容和目标
本项目主要研究电压凹陷问题，通过对电力系统中电压凹陷的原因、特征和影响进行分析和研究，探究其产生的机理和规律，并在此基础上，提出有效的预防和控制电压凹陷的措施，目标是通过科学研究，为电力系统的稳定、安全运行提供技术支持和丰富的理论依据。
三、研究方法和步骤
本项目主要采用理论分析、仿真模拟和实验证明的方法，具体步骤如下：
1.理论分析：通过对电力系统中电压凹陷的原因、特征进行分析，探究其产生原因，确定凹陷的特点及其对电力设备的影响。
2.仿真模拟：通过电力系统复杂模型的建立，对电力系统中电压凹陷的影响进行模拟和分析，探究凹陷对于电力设备和系统的影响程度和机理。
3.实验证明：通过电力系统的实验平台，进行实验研究，探究电力系统中电压凹陷的实际表现情况，并验证所提出的预防和控制措施的可行性和有效性。
四、研究成果和意义
本项目主要研究电力系统中电压凹陷问题，通过深入了解其机理和规律，提出有效的预防和控制电压凹陷的措施，能够为电力系统的稳定、安全运行提供技术支持和理论依据，提高电力系统的稳定性和可靠性，本研究成果对电力工程的发展和电力工业的发展也将有所促进。
凹坑计算凹坑深度与腐蚀裕量【最新版】目录1.凹坑计算的背景和意义2.凹坑深度的测量方法3.腐蚀裕量的概念和计算方法4.凹坑深度与腐蚀裕量之间的关系5.凹坑计算在实际应用中的重要性正文凹坑计算是工程领域中一个重要的环节，尤其是在金属材料的腐蚀防护和机械零部件的性能评估方面具有很高的实用价值。
凹坑深度和腐蚀裕量是凹坑计算中的两个关键参数，分别反映了凹坑的深度和腐蚀的程度，对于分析零部件的使用寿命和安全性具有重要意义。
凹坑深度是指凹坑底部到表面的垂直距离，通常采用测量工具如卡尺、深度计等进行测量。
在实际操作中，需要对凹坑进行充分清洁，以确保测量结果的准确性。
凹坑深度的测量结果可以为后续的腐蚀分析和防护措施提供重要依据。
腐蚀裕量是指金属材料在腐蚀环境下能够承受的最大腐蚀深度，它反映了金属材料的耐蚀性能。
腐蚀裕量的计算方法通常有两种：一种是根据金属材料的耐蚀数据和腐蚀环境参数进行理论计算；另一种是根据实际腐蚀试验结果进行实测计算。
腐蚀裕量的确定对于评估零部件在腐蚀环境下的使用寿命和安全性至关重要。
凹坑深度与腐蚀裕量之间存在密切的联系。
凹坑深度反映了腐蚀的程度，而腐蚀裕量则反映了金属材料的耐蚀性能。
当凹坑深度超过腐蚀裕量时，说明金属材料已经失去了对腐蚀的抵抗能力，零部件的使用寿命和安全性将会受到严重影响。
因此，在凹坑计算中，需要综合考虑凹坑深度和腐蚀裕量，以确保零部件在腐蚀环境下的安全使用。
在实际应用中，凹坑计算可以为工程技术人员提供重要的参考依据。
通过对凹坑深度和腐蚀裕量的计算分析，可以评估零部件在腐蚀环境下的使用寿命和安全性，从而制定合理的防护措施和维修保养计划。
T300级复合材料冲击容限和拉伸强度北京航空航天大学附属中学成员：崔容熊天宇张子琪指导教师：魏云波（以上姓名排序皆按照姓氏字母顺序）摘要：采用落锤式冲击台冲击了国产T300复合材料层板，测量冲击高度与冲击凹坑深度的关系。
采用高频疲劳力学试验机对冲击后的复合材料层板进行了压缩强度试验，测定了冲击凹坑深度与压缩剩余强度之间的关系，对复合材料层板的冲击损伤及其强度有深入的了解，验证了前人的猜想，得到了关于冲击凹坑深度、冲击能量、压缩(拉伸)强度的关系，这大大方便了实际中的简便计算。
关键词： T300级复合材料冲击损伤容限拉伸强度一、前言1.研究背景：目前冲击损伤是飞机结构强度设计中一个非常重要的问题。
飞机在实际飞行中由冰雹，鸟撞或者在维修过程中不经意都会对连接件产生一定程度的冲击损伤，并且在连接件材料的表面留有一定的破坏凹坑或表面拉伸。
而且，现如今，复合材料在飞机上的运用越来越受重视，了解复合材料的冲击性能就尤为显得重要。
本实验探究冲击损伤与凹坑深度之间的内在联系还有材料本身拉伸强度的结构特性。
就在不久前，应用了T300级复合材料的我国国产猎鹰06高教机准备投入实现首次装机件试制。
T300复合材料属环氧基碳纤维增强复合材料。
由碳纤维和树脂结合而成的复合材料由于具有比重小、韧性好和强度高、比强度高、比模量高、密度小、耐热、耐低温、优异的热物理性能、化学稳定性以及材料性能可设计等优点,已广泛应用于航天、航空、体育休闲和工业领域。
研究碳纤维/环氧树脂复合材料的力学性能,尤其是其高温性能,对其在超常环境下的使用具有重要意义。
所以现在是一个研究与应用复合材料的高速时代。
2.文献调研：我组共查阅了有关（及其相关）资料论文15篇，其中有效（对本组研究有一定帮助的）论文11篇。
通过对文献资料的研究与思考，我们认为（结合文献中思想）：新材料的引入有可能使航空器性能发生巨大的变化, 但新材料在航空器结构中真正得到使用, 必须经过耗时耗钱的研究和验证。
第31卷第3期摩擦学学报Vol31No3 2011年5月Tribology May，2011表面凹槽对流体动压润滑油膜厚度的影响杨淑燕1，王海峰2，郭峰1*(1．青岛理工大学机械工程学院，山东青岛266033;2．青岛大学机电工程学院，山东青岛266071)摘要:利用自行研发的面接触光干涉油膜厚度测量系统，对表面凹槽滑块的流体动压润滑油膜厚度进行了试验测量，试验中以静止的微型凹槽滑块平面和旋转的光学透明圆盘平面构成润滑副，且两润滑平面始终保持平行;在固定的载荷(速度)条件下，对油膜厚度－速度(载荷)曲线进行测量．结果表明:凹槽的宽度，深度，方向和位置等因素对油膜厚度有着重要影响．同时采用经典Reynolds方程对油膜厚度进行了理论计算，结果表明理论值在某些条件下并不能解释试验结果．关键词:面接触;表面凹槽;动压润滑;油膜厚度中图分类号:TH117．2文献标志码:A文章编号:1004－0595(2011)05－0283－06 Influence of Grooved Surfaces on the Film Thicknessof Hydrodynamic LubricationYANG Shu－yan1，WANG Hai－feng2，GUO Feng1*(1．School of Mechanical Engineering，Qingdao Technological University，Qingdao266033，China2．College of Mechanical and Electronic Engineering，Qingdao University，Qingdao266071，China) Abstract:This paper describes some experimental studies about the influences of grooved surfaces on the film thickness of hydrodynamic lubrication by a custom－made test apparatus．In the experiments，the lubricated parallel contact consisted ofa grooved micro－slider plane and a transparent glass disc．Under a fixed load(speeds)，the film thickness at differententrainment speeds(loads)was measured．The results show that the width，depth，orientation and position of the groove were the key factors to affect the film thickness．Furthermore，the classical Reynolds equation was used to calculate the film thickness．Comparisons between theoretical analyses and experiments show that the classic Reynolds equation cannot always be used to predict the surface texture effect．Key words:conformal contacts，grooved surface，hydrodynamic lubrication，film thickness20世纪60年代，Hamilton等人［1］在旋转密封端面上人工制造出一系列微观凸起，试验证明大多数情况下这些规则的微观凸起可明显增强摩擦副的承载能力，降低摩擦系数．这种在相对光滑的摩擦副表面上精确地制造出各种表面几何形貌的技术称为表面织构(Surface Texturing)技术．这类表面织构通常具有规则的分布，一般是微小的凹陷或凸起;但在一些场合，如气体动压轴承中的螺旋槽和人字槽设计［2］，发动机气缸工作面的蜂窝状微坑设计［3］，以及化学机械抛光垫的沟槽设计［4］等应用中，也可以是尺寸偏大的表面凹槽，其深度为4 30μm，宽度为300 1500μm．Hamilton等［1］的早期工作利用光刻蚀的办法获得表面织构，他们通过电流的测量判断有效润滑膜Received26Augest2010，revised25November2010，accepted23February2011，available online28May2011．*Corresponding author．E－mail:meguof@yahoo．com．cn，Tel:+86－532－85071980．The project was supported by the Program for New Century Excellent Talents in Universities of the Ministry of Education of China (NCET－07－0474)and the Doctoral Foundation of the Ministry of Education of China(20093721110001)．教育部新世纪优秀人才支持计划项目(NCET－07－0474)和教育部博士点基金(20093721110001)资助．的存在．Etsion等［5－6］针对端面密封，活塞环设计等问题，利用激光技术制造了多种表面织构，测量结果显示摩擦力最大可降低40%，并指出部分表面的织构化能够十分有效地增加流体动压效应．Wang 等［7］利用刻蚀加工等方法系统研究了平面接触水润滑条件下碳化硅表面织构对润滑性能的改善效果，并对织构的面积比进行了优化．Costa等［8］的线接触往复试验说明表面织构尺度大于接触区宽度时并不能够提高润滑油膜的承载能力．Kovalchenko 等［9］通过销－盘接触的Stribeck曲线的测量研究了表面织构对流体润滑向混合润滑转变的影响。
中国石油勘探开发科学研究院硕士学位论文武清凹陷成藏条件研究与勘探方向姓名：***申请学位级别：硕士专业：矿产普查与勘探指导教师：赵文智;邹伟宏2002.5.1图卜１７显示武清凹陷ＹＣ９２－－９０７．５地震剖面。
该剖面揭示河西务东储断层显示出花状构造特征，即指示其走滑构造作用。
大孟庄洼槽内部主要为早第三纪同沉积张性断层，而杨村斜坡上虽出现晚第三纪断裂，但断距小，并不构成明显的次级断陷。
注意Ｅｓ。
Ｅｄ阶段发生明显的超覆沉积，但沉积超覆方向是由北向南的，并且沉积范围远远大于Ｅｋ—Ｅｓ。
的范围。
图卜１７武清凹陷ＹＣ一９２—９０７．５地震剖面图卜１８为ＹＣ９２－－９０３．５地震剖面。
该剖面的结构与其北侧的ＹＣ９２－－９０７．５剖面结构基本一致，河西务东储断层为高角度，并具有正花状构造特征。
另外，杨村斜坡上虽发育晚第三纪断层，但断层规模都很小，并没有强烈改造杨村斜坡的构造。
同样，Ｅｋ—Ｅｓ。
主要发育在大孟庄洼槽内，而Ｅｓ：一Ｅｄ向东明显超覆，而真正大规模的沉降和沉积发生在晚第三纪。
上第三系最大沉积厚度为２５００ｍ左右（约２秒）。
与北边ＹＣ９７－－９１１．３剖面相对比，上第三系沉积厚度相对减薄。
图卜１８武清凹陷Ｙｃ一９２—９０３．５地震剖面图卜１９为ＹＣ９２－－８９７．８地震剖面。
该剖面清楚揭示了河西务东储断层对武清凹陷的控制作用，显示大孟庄洼槽被限定在河西务东储断层和早第三纪反向大盂庄断层之１９间。
杨村斜坡仅是一个结构简单的西倾斜坡。
剖面上还标出了前期对剖面的地质解释，但本次研究认为杨村斜坡上不存在用虚线所标注出的古潜山或古断陷构造。
图卜１９武清凹陷ＹＣ－９２—８９７．８地震剖面图卜２０为ＷＡ９７－－８７９．５地震剖面。
该剖面跨越了里兰断层，但从剖面结构上来看里兰断层的活动主要发生在早第三纪早期，因为该断层明显被Ｅｓ２以上的地层所覆盖。
虽然在部分剖面上仍可见到里兰断层的活动迹象，但其强度很小。
图卜２０跨越里澜断裂的ｗＡ一９７—８７９．５地震剖面三、杨村斜坡与文安斜坡的结构对比杨村斜坡和文安斜坡分别作为武清凹陷和霸县凹陷的东部斜坡，并逐渐过渡到东侧的大城凸起。
3.2 超声喷丸冲击工件表面凹坑深度理论计算
在强动载荷作用下，材料内部常常处于高压、高应变率的状态下，所表现出的许多力学性能明显地不同于准静态，其中最重要的一个方面就是动态的屈服应力较静态屈服应力有很大的不同，动态的本构关系对应变率具有相关性，亦即材料对变形速率的敏感性。
通常认为金属材料的塑性变形的微观机制是位错的不可逆运动。
当撞针冲击工件时，以开始接触点为坐标原点建立坐标系，如图3.1所示，其中xoy平面为各向同性面。
沿工件厚度方向即坐标轴oz方向为各向异性面。
图3.1 撞针冲击金属板料示意图
由于撞针直径一般为1~3mm，金属板料尺寸相对撞针大很多倍，所以将金属板料看作
v垂直冲击到工件上半无限大体，并且不考虑板料厚度的影响。
当撞针以较大的相对速度
时，工件上与撞针接触区域会发生弹塑性变形，使得碰撞结束后工件表面留下永久凹坑。
图3.2 金属板料表面受撞针工作端冲击后的弹塑性变形将撞针与金属板料表面的碰撞接触过程分为三个阶段考虑。
第一阶段为弹性变形，当接触区的任一点压应力增加到板料屈服应力时，标志该阶段结束。
第二阶段，塑性变形区从接触区的中心开始产生，并向四周扩展增大。
这一阶段接触区可分为两个部分，中心部分为一r的圆，即塑性变形区，所受压应力不变，边缘部分为一个与塑性变形区同心的圆
个半径为
1
环，是弹性变形区。
这一阶段一直持续到撞针与板料的相对速度减至零为止。
第三阶段为回弹期，板料将储存的弹性势能释放出来，凹坑的半径减小，撞针速度反向增大。
这一阶段持
续到撞针完全离开板料表面为止[40]。
三个阶段中板料与撞针接触区域的变形情况如图3.2所
示。
碰撞的第一阶段为弹性变形。
假设撞针为刚性球体（即假设它的杨氏模量E 趋近于无穷大），根据文献[41]中撞针与横观各向同性材料的接触理论，得到接触区域发生局部弹性变形而产生的凹坑半径a r 的公式为
1/312[3()/8]a r FR δδ=-
（3.1）
式中：R 为撞针半径；F 为撞针对横观各向同性材料的总压力。
122)
z z G δδ-=
（3.2）
2
22
4(1)[(2)(1)]x x x z
z
z z z
z z x x
z H E E G G E G E E E υυυυ=+---+ （3.3）
式中：x E ，x G ，x υ分别表示横观各向同性材料中各向同性面的杨氏模量、剪切模量和泊松比，且有/[2(1)]x x x G E υ=+；z E ，z G ，z υ分别表示垂直于各向同性面的杨氏模量、剪切模量和泊松比。
当取z x E E =，z x G G =，z x υυ=时，材料退化为各向同性固体，此时式
（3.2）简化为2122(1)/x x E δδυ-=-，所以凹坑半径为2
1/3[3(1)/(4)]a x x r FR E υ=-，与各
向同性球和无穷大半空间各向同性固体的接触理论的结果一致。
由赫兹碰撞定理知，发生弹性变形时，凹坑的深度h 与半径a r 的关系为
2a r Rh =
（3.4）
令122/()ti E δδ=-，
发生弹性变形时凹坑深度与受力的关系为*3/2
F ti h =，假设撞针的质量为m ，所以第一阶段的运动式为
2*3/22]ti d h m h dt =-
（3.5）
在半径为a r 的圆形碰撞接触区内的压应力分布为
()(/2)c a r r E R σσπ==
（3.6）
式中c σ为接触区中心的压应力。
由赫兹原理可知23/(2)c a F r σπ=为最大压力值，并且
最大压应力max σ发生在接触面的中心，值为c σ。
当最大压应力max σ达到工件的屈服极限s σ时，即c s σσ=，第一阶段结束，由式（3.5）解得此时各参数的临界值为
1*
2s a ti R r πσ=E ，2
1*2s ti h R πσ⎡⎤=⎢⎥E ⎣⎦
，
.
1h =（3.7）
式（3.7）也是第二阶段的初始条件。
第二阶段，凹坑半径a r 继续增大，并从接触区中心开始产生塑性变形。
设当撞针与金属板料的相对速度减至零时塑性变形区的半径为1r ，此时从半径1r 到a r 为弹性变形环。
由于弹
性环内的压力仍由式（3.6）决定，积分可得弹性环内的受力1F 为
()
1
3*
2223321
1*24136a
r ti
a
s r ti r r R F R
σπE -==
=E ⎰
（3.8）
由于塑性变形区的屈服应力为常量s σ，则整个接触区内的受力为：2
11s F F r πσ=+，
利用式（3.4）（3.6）得到运动式为
33222*2
112s s ti R d h m R h dt σππσ⎡⎤
=--⎢⎥E ⎣⎦
（3.9）
根据初始条件式（3.7），得凹坑深度的最大值为
1
2
2
522*3322max
01*2*216161512s ti s ti s ti R R m h v h R m σπσπσπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫E ⎢⎥=+-+ ⎪ ⎪ ⎪E E ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
（3.10）
所以凹坑半径a r 的最大值为
(
)
max 112
22
1522*2212
2
22
max 01*2*21661512s ti s a ti s ti R R m r Rh R v h R m σπσπσπ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪E ⎢⎥==+-+ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪E E ⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭（3.11）
在第三阶段，也就是弹性恢复期，弹性环恢复为金属板料表面，而半径为1r 的塑性区成为永久的凹坑。
根据第二阶段弹性环产生的受力
1F ，及弹性恢复期中塑性变形区产生的受力
21[2)]
r E R ππ，
22
1a u r r ≡-，222*20/(4)s ti u R E σπ=，所以在第三阶段的运动式为222*2
0/(4)s ti u R E σπ=，所以在第三阶段的运动式为
31
2*22212223ti d u m u r u dt ⎡⎤=-E -⎢⎥⎣⎦ （3.12）
根据初始条件0t =时，0u u =，0u ⋅
=，以及在达到最大应变值时应力为s σ，利用式（3.6）（3.12）得到永久凹坑的半径1r 和反弹系数e 分别为
12
2
5222222
221
01*2*2166156s ti s ti s ti R R m r R v h R m σπσπσπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫E ⎢⎥=+-- ⎪ ⎪ ⎪E E ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （3.13）
1153*22
2
1
220
0222
1153ti
r e u u v m R
⎛⎫⎛⎫E =
+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（3.14）
对于一个足够浅的永久塑性凹坑，凹坑的深度p h 与永久凹坑半径1r 的关系式为
212p r Rh ≈，所以，永久性凹坑的深度为
1
2
2
522*2222201*2*211626156s ti s p ti s ti R R m h v h R m σπσπσπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫E ⎢⎥=+-- ⎪ ⎪ ⎪E E ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦。
