四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学理卷word版含答案
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绵阳市高中2010级第三次诊断性考试
数学（理）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷 3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效j 在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U=R,集合A ＝{x||x|≤1}，B={x|x ≤1},则B A C U )(等于 A. {x|x ≤-1} B. {x|x<-1} C. {-1} D. {x|-1<x|≤1}
2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q ：
012,2≥+-∈∀x x R x .则下 列命题为真命题的是
A q p ∧
B )(q p ⌝∧
C )()(q p ⌝∧⌝
D q p ∧⌝)(
5. 函数f(x)=x-sinx 的大致图象可能是
6.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的 中点，一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几 何体F-AMCD 内的概率为
则BP BC .=
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
8. 已知E 为不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥+1422y y x y x ，表示区域内的一点，过点E 的直
9. 如果正整数M 的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,则称M 为“幸运数”，则四 位正整数中的“幸运数”共有
A. 45个
B. 41个
C. 40个
D. 38个
若 a ，b ∈[-2,
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
第II 卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数z 满足z.i=1+2i(i 为虚数单位)，则复数z=________ 12. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=______.
顶点和焦点，若)(R FB OA ∈=λλ，则k=______
15. 若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n成立，记这样的m 的个数为*)(n a ,若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{*
)(n a }，我们把它叫做 数列{a n }的“星数列”.已知对于任意的n ∈N *
, a n =n 2
给出下列结论:
②(a 5)*
=2;
③数列*
)(n a 的前n 2项和为2n 2-3n+1;
④{a n }的“星数列”的“星数列”的通项公式为*
*))((n a ＝n 2
以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号）
三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小題满分12分）
绵阳某汽车销售店以8万元A 辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得 出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，当每辆的售价每提 高1千元时，年销售量就减少2辆.
(I)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆？ (II)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品 牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万 元；若分4期或5期付款，其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车 情况进行了统计，统计结果如下表.
若X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.
17.
(本小题满分12分） 如图，已知平面PAB 丄平面ABCD ，且四边形ABCD 是 矩形，AD : AB=3 : 2, ΔPAB 为等边三角形，F 是线段BC 上的点且满足CF=2BF.
(I)证明：平面PAD 丄平面PAB
(II)求直线DF 与平面PAD 的所成角的余弦值.
y=f(x)
19. (本小题满分12分）
已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8.
(I)求公差d的值;
n∈N*恒成立的最大正整数m的值；
且与x轴垂直，如图.
(I)求椭圆C的方程；
求实数t 的取值范围.
21.
(本小题满分14分）
绵阳市高2010级第三次诊断性考试
数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50
分．
BDACA BCDBC
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．2-i 12．11 13．②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x 万元/辆，年利润为y 万元．
则由题意得年销售量为100-2x ，
∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x 2+6x+200=-0.2(x-15)2
+245． 故当x=15时，y 取最大值．
此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．
∴ 当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分
1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．
∴P(X=0
∴ X 的分布列为：
∴ X 的数学期望
∴ X 12分 17．解：（Ⅰ）取AB 的中点为O ，连接OP ，
∵ △PAB 为等边三角形， ∴ PO⊥AB．①
又平面PAB⊥平面ABCD ， ∴ PO⊥平面ABCD ， ∴ PO⊥AD．
∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AD⊥AB．②
∵ AB 与PO 交于点O ， 由①②得：AD ⊥平面PAB ，
∴ 平面PAD ⊥平面PAB ． ……………………………………………………6分
（Ⅱ）以AB 的中点O 为原点，OB 所在直线为x 轴，过O 平行于BC 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z AB=2，AD=3， ∴ F(1，1，0)，A(-1，0，0)，
，D(-1，3，0)．
∴ DF
=(2，-2，0)，AP =(1，AD
=(0，3，
可求得平面ADP 的法向量0，-1)，
若直线DF 与平面PAD sin θ=|cos<n ，DF
>|=
θ为锐角，
∴cos θ
∴直线DF 与平面 …………………………12分
18ω=2． ∵
∴
即函数y=g(x)
………………………………6分 （Ⅱ）∵ 2sin
∴
∵ cos(A+B)=-cosC ，
，
，即cosC=2cos 2
C-1，整理得2cos 2
C-cosC-1=0，
解得
1（舍），
∴
于是由余弦定理得：
∴ a
2+b 2
=12-ab ≥2ab ，
∴ ab ≤4(
时等号成立)．
∴ S △ABC
∴ △ABC ………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，
∵ S 4=2S 2+8，即4a 1+6d=2(2a 1+d)+8，化简得：4d=8，
解得d=2．……………………………………………………………………3分
∴
∴
n ∈N*恒成立，
∴化简得：m 2
-5m-6≤0，解得：-1≤m ≤6．
∴ m 的最大正整数值为6．……………………………………………………8分 （Ⅲ）由d=2，得 a n =a 1又∵
∵
n ∈N*，都有b n ≤b 4成立，
∴
， 解得-6<a 1<-4，即a 1(-6，-4)．……………………………12分
20．解：（Ⅰ）由题可得：
C 的短半轴长为半径的圆与直线相切，
，解得b=1．
再由 a 2=b 2+c 2
分
（Ⅱ）当直线的斜率为0时，OP OQ ⋅ =-4∉
[，不成立；
∵ 直线的斜率不为0，设P(x 1，y 1)(y 1>0)，Q(x 2，y 2)(y 2<0)
， ，
22
+2my-3=0
∴ y 1+y 2
y 1y 2
而x 1x 2=(my 1+1)(my 2
2
∴m2
13分21．解：（Ⅰ）∵
∴当
，于是
∴
当2x-1<0，即时，()
f
x
'<0，于是 (x)
∵ m+2>2．
①
m
0<m
f (x)上单减，在m+2)上单增，∴f (x)min；
②当 f (x)在m+2]上单调递增，∴min
∴综上所述：当0<m f (x)min=2e；当 f (x)min
(4)
分
，
()
F x
'
=
，
①当t≤e2
时，e2x-t≥0成立，则x>1
时，()
F x
'≥0，
即F(x)在
(1)
+∞
，
上单增，
∴ F(1)=e2
-2t≥0，即t
②当t>e
2时得
．
∴ F(x)在(1，+∞)上单增，
∴ F(x)min．∴不成立．
∴综上所述：t9分
x>0e，
∴，
∴
∴
14分。
