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D3.1-3.2一维波动与热传导定解问题分离变量法

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热传导方程的求解

热传导方程的求解

热传导方程的求解热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。

求解热传导方程有多种方法，下面将介绍两种常用的求解方法。

一、分离变量法分离变量法是一种常见且简单的求解热传导方程的方法。

它基于热传导方程的偏微分方程特性，将变量分离并进行独立的求解。

1. 问题设定假设需要求解的热传导问题为一维情况，物体的长度为L，初始时刻温度分布为u(x,0)=f(x)，物体两端保持恒温边界条件u(0,t) = A，u(L,t) = B。

2. 分离变量假设u(x,t)可表示为u(x,t) = X(x)T(t)，将u(x,t)代入热传导方程中，可得到两个方程：X''(x)/X(x) = T'(t)/αT(t)，其中α为热扩散系数。

由于左侧只依赖于x，右侧只依赖于t，所以二者必须等于一个常数λ。

3. 求解分离后的方程将上述得到的分离变量方程代入边界条件，可得到两个常微分方程，分别是X''(x)/X(x) = λ 和T'(t)/αT(t) = -λ。

这两个常微分方程可以求解得到X(x)和T(t)。

4. 求解系数通过使用初始条件u(x, 0) = f(x)，可以求解出常数λ的值，进而求解出X(x)和T(t)。

5. 求解问题最终将X(x)和T(t)重新结合，即可得到热传导问题的解u(x, t)。

二、有限差分法有限差分法是一种数值求解热传导方程的常用方法，它通过将连续的空间和时间离散化，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。

1. 空间和时间离散化将物体的空间进行网格划分，时间进行离散化，并在网格节点上计算温度的近似值。

2. 差分方程将热传导方程中的偏导数进行近似，得到差分方程。

例如，可以使用中心差分法来近似偏导数。

3. 迭代求解根据差分方程，通过迭代计算每个网格节点的温度值，直到达到收敛条件。

4. 求解问题最终，根据求解的温度值，在空间和时间通过插值或者线性拟合等方法得到热传导问题的解。

分离变量法求解热传导方程

分离变量法求解热传导方程

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分离变量法求解热传导方程该文档下载后可定制随意修改，请根据实际需要进行相应的调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种各样类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，如想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by the editor. I hope that after you download them, they can help you solve practical problems. The document 分离变量法求解热传导方程 can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, our shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!热传导方程是描述热量在物质中传播的数学模型之一，通常用于描述物体内部温度分布随时间的变化。

一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法

一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法

一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法一维热传导方程的Matlab解法：分离变量法和有限差分法。

问题描述：本实验旨在利用分离变量法和有限差分法解决热传导方程问题，并使用Matlab进行建模，构建图形，研究不同情况下采用何种方法从更深层次上理解热量分布与时间、空间分布关系。

实验原理：分离变量法：利用分离变量法，将热传导方程分解为两个方程，分别只包含变量x和变量t，然后将它们相乘并求和，得到一个无穷级数的解。

通过截取该级数的前n项，可以得到近似解。

有限差分法：利用有限差分法，将空间和时间分别离散化，将偏导数用差分代替，得到一个差分方程组。

通过迭代求解该方程组，可以得到近似解。

分离变量法实验：采用Matlab编写代码，利用分离变量法求解热传导方程。

首先设定x和t的范围，然后计算无穷级数的前n项，并将其绘制成三维图形。

代码如下：matlabx = 0:0.1*pi:pi;y = 0:0.04:1;x。

t] = meshgrid(x。

y);s = 0;m = length(j);for i = 1:ms = s + (200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));endsurf(x。

t。

s);xlabel('x')。

XXX('t')。

zlabel('T');title('分离变量法（无穷）');axis([0 pi 0 1 0 100]);得到的三维热传导图形如下：有限差分法实验：采用Matlab编写代码，利用有限差分法求解热传导方程。

首先初始化一个矩阵，用于存储时间t和变量x。

然后计算稳定性系数S，并根据边界条件和初始条件，迭代求解差分方程组，并将其绘制成三维图形。

代码如下：matlabu = zeros(10.25);s = (1/25)/(pi/10)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);for i = 2:9u(i。

数理方程第二章分离变量法

数理方程第二章分离变量法
解的唯一性
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式

分离变量法二-热传导方程

分离变量法二-热传导方程

x,
第三章分离变量法二
4பைடு நூலகம்
4
第三步：求特解，并进一步叠加出一般解 一般解为
2 2 1 a 2 (n 1 ) ( n 2 2 ) u ( x, t ) an exp t sin 2 l l n 0 an An Bn .
x
l
B ( 1)e
l
0
A B0
只有零解（舍）
第三章分离变量法二
8
第二步：求解固有值问题 X ( x ) X ( x ) 0 情形二： 0 代入边界条件得
X (0) X (l ) X (l ) 0
通解为 X ( x) A Bx,
第一步：分离变量 令 u ( x, t ) X ( x)T (t ) 代入方程得
X ( x ) X ( x ) 0 X(x): X (0) X (l ) X (l ) 0
T(t):
固有值问题
T (t ) a 2T (t ) 0
第三章分离变量法二
第三章分离变量法二
2
第一步：分离变量 设 u ( x, t ) X ( x)T (t ) 代入方程得
X ( x) X ( x) 0 X(x)： X (0) X (l ) 0 2 T(t)： T (t ) a T (t ) 0
第二步：求解固有值问题
0 k l 2 0 k
l
代入一般解即得定解问题的解
第三章分离变量法二
13
l
代入方程 T (t ) a 2 T (t ) 0
2 2 a 2 (n 1 ) 2 解得 Tn (t ) An exp t , n 0,1, 2,3, 2 l

热传导方程求解-分离变量法

热传导方程求解-分离变量法

牛曼外问题
拉普拉斯方程的狄氏内问题
Q(x, y, z)
拉普拉斯方程的基本解
• 1 三维空间的拉氏方程基本解
将三维空间拉氏方程用球坐标系表示
z
r M(x, y,z)
z
1 r2
r
(r2
u ) r
1
r2 sin
(sin
u )
r2
1
sin2
2u
2
0
A xo
xy
P
y
求其球对称解 u u(r)（解只与r有关，与角度无关）
0
n 0,1, 2,....
X
n
(
x)
sin
2n 2a
1
x
n 0,1, 2....
ux (0, y) u(a, y) 0 u(x, 0) (x) u(x,b) (x)
X (x) X (x) 0
X (0)
X (a)
0
n
(2n 1 2a
)2
0
n 0,1, 2,....
ux (0, y) ux (a, y) 0 u(x,0) (x) u(x,b) (x)
内容回忆
分离变量法(齐次方程 齐次边界条件/周期条件)
• 一维波动
• 一维热传导 • 二维矩形域拉普拉斯 • 二维扇形域拉普拉斯
利用齐次边界条件，
确定特征值问题， 确定特征值和特征 函数
• 二维环扇域拉普拉斯 • 二维圆环域拉普拉斯 • 二维圆域拉普拉斯
利用周期条件，确定
特征值问题，特征 值和特征函数
X (x) X (x) 0
X (0) X (l) 0
n
( n l
)2
0

一维热传导方程分离变量法与差分法Mb解法

x=0:0.1*pi:pi; y=0:0.4:10; [x,t]=meshgrid(x,y); u=for i=0:m
u=u+8*(-1)^i/(pi*(2*i+1)^2)*(sin((2*i+1)/2*x).*exp(-(2*i+1)^2/4*t)); end; surf(x,t,u); xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T'); title(' 分离变量法（无穷）'); disp(u);
结论：
比较可得由以上两种方法作出的三维图形基本相同，符合热传导的热量分布 随时间和空间的变化规律
第四题完成
u(1,j)=0; end
for j=1:99 for i=2:19 u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j); end
end for j=1:100
u(20,j)=u(19,j); end; disp(u); [x,t]=meshgrid(1:100,1:20); surf(x,t,u); xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T'); title(' 有限差分法解'); 我们得到如图所示的热传导方程：
得到如图所示的热传导方程：
有限差分法
u=zeros(20,100); %t=1 x=pi 20 行 100 列 横坐标为 x 纵坐标为 t s=(1/100)/(pi/20)^2; fprintf('稳定性系数 S 为:\n'); disp(s); for i=1:20

第二章一微波动方程的分离变量法

第二章一维波动方程的分离变量法数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第二章 一维波动方程的分离变量法第二章 一维波动方程的分离变量法引 言上一章学习的求解数理方程的方法:行波法。

其基本思路是借助常微分方程的求解方法等求解通解，再利用初始条件确定通解中的任意常数，确定数理方程中的特解。

求通解前作一维波动变换，代入泛定方程。

然能用行波法求解的问题很少，适用于求解如无界弦的自由横振动问题。

为此，对数理方程的求解还须进一步探索新的方法。

其中分离变量法就是求解数理方程的一种最常用的方法。

2.1 齐次方程混合问题的Fourier 解2 .1 .1定解问题考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动()()()()()()200,00,0,00,0,00tt xx t u a u x l t u t u l t tu x x u x x x l ϕψ⎧-= << > ⎪= , = ≤⎨⎪= , = ≤≤⎩ 其中()x ϕ，()x ψ为已知函数。

分析:方程是齐次方程，边界条件是齐次边界条件，初始条件是非齐次的。

求解：通过这道例题来体会分离变量法的精神思想。

第一步：分离变量分离变量（变量分离）如波函数()()()i x t ix i t y ae ae e X x T t ωω--===实现了变量分离。

于是我们希望求得的一微波动方程的特解只有分离变量的形式，即()()(),u x t X x T t =首先：将(),u x t 代入齐次方程，得()()()()''2''X x T t a X x T t =。

所求特解应为非零解，于是()X x ，()T t 不解为零。

两边同除以()()X x T t ，有()()()()''''21T t X x a T t X x = 等式左端只是t 的函数（与x 无关），等式右端只是x 的函数（和t 无关），于是左右两端要相等，就必须共同等于一个既与x 无关，又与t 无关的常数。

第四章 第三节 波动方程的混合问题-分离变量法


2.2 Fourier 解法
• 在Daniel Bernoulli 的赞助下，Fourier 的工作解 决了关于弦振动问题的解的争论。下面研究一维 波动方程的混和问题：
2.2 Fourier 解法
• 按照Fourier提出的方法，取一乘积形式的解
• 带入原方程
• 分离变量，把上式写成
• 从而得到分离方程
第三节 一维波动方程的混合问题
分离变量—Fourier方法 Fourier 方法，又称分离变量法，是求解偏微分方程定 解问题的一个重要方法，本质是把偏微分方程的定解问题通 过变量分离转化为一个特征值问题，并把它的解表示成按特 征函数展开的级数形式。Fourier的思想影响深远。
内容
• • • • 3.1 世纪争论 3.2 Fourier 解法 3.3 驻波法 3.4 Fourier变换
3.1 世纪争论
• 1822 年法国数学家、物理学家 Fourier1的热的数学理论 （Theorie Analytique de la Chaleur） 一书的出版， 是应用数学发展中最重 要的一个里程碑． 该书不仅为一般类 型边值问题提供了一种示范性的形式 处理、 也开拓了一类具有很大普遍性 的数学方法的理论． 在他的著作中写 道； “深入研究自然是数学发现最丰 富的泉源”。
2.3 驻波法
• 所以在物理上亦把分离变量法称为驻波法， 把弦 的振动看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。 • 如果用弦振动来描述弦乐器的演奏，此时解‫ݑ‬൫‫ݔ‬， 表示乐器发出的声音，那么弦的基音是由最低频 率
• 不同的弦乐器之所以在同一个音调下发出的声音， 就是因为虽然它们具有同一个基音频率，它们却 有着完全不同的泛音，因此引起了音色的差异。
Fourier生平

波动方程与热传导方程的解法

波动方程与热传导方程的解法波动方程与热传导方程是物理学中常见的偏微分方程，它们描述了波动和热传导的过程。

在实际问题中，解这两个方程可以帮助我们了解和预测物理现象，例如声波传播、电磁波传播和热量传导等。

本文将介绍波动方程和热传导方程的解法及其应用。

一、波动方程的解法波动方程描述了波的传播和干涉。

通常表示为：∂²u/∂t² = v²∇²u其中，u代表波的振幅，t代表时间，v代表波速，∇²u是u的拉普拉斯算子。

1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法。

对于波动方程，我们可以假设u(x, t)的解为u(x, t) = X(x)T(t)，其中X(x)和T(t)是仅与x和t相关的函数。

将u(x, t)的表达式带入波动方程，我们可以得到两个关于X(x)和T(t)的普通微分方程。

通过求解这两个方程，我们可以得到波动方程的解。

2. 傅里叶变换法傅里叶变换法也是求解偏微分方程的重要方法。

通过将波动方程进行傅里叶变换，我们可以将其变换为关于频率和空间变量的代数方程，进而求解得到波动方程的解。

二、热传导方程的解法热传导方程描述了热量在物质中的传导过程。

通常表示为：∂u/∂t = α∇²u其中，u代表温度分布，t代表时间，α代表热扩散系数，∇²u是u 的拉普拉斯算子。

1. 分离变量法与波动方程类似，热传导方程也可以通过分离变量法求解。

我们可以假设u(x, t)的解为u(x, t) = X(x)T(t)，其中X(x)和T(t)是只与x和t有关的函数。

将u(x, t)的表达式带入热传导方程，我们可以得到两个关于X(x)和T(t)的普通微分方程。

通过求解这两个方程，我们可以得到热传导方程的解。

2. 球坐标系或柱坐标系下的解法对于具有球对称性或柱对称性的问题，我们可以将热传导方程转换为径向方程和角向方程，并通过求解这些方程得到热传导方程的解。

三、波动方程和热传导方程的应用波动方程和热传导方程广泛应用于物理学、工程学和其他领域中。

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20
例 2 两 端 固 定 的 弦 长 为 l ， 用 细 棒 敲 击 弦 上 x=x0 点处， 施加冲量，设其冲量为I 点处，亦即在点 x=x0 施加冲量，设其冲量为 。求 解弦的振动。 解弦的振动。 定解问题为： 解:定解问题为： 定解问题为
u tt = a 2 u xx , ( 0 < x < l , t > 0 ) u x = 0 = 0, u x = l = 0 u t = 0 = 0, u t t = 0 = I δ ( x − x 0 ) , ( 0 < x < l ) ρ
第三章 分离变量法
分离变量法是求解各种各样偏微分方程定解问题的典 分离变量法是求解各种各样偏微分方程定解问题的典 型方法之一。包括各类典型方程的初值、 型方法之一。包括各类典型方程的初值、边值与混合问题 要求熟练掌握。 。要求熟练掌握。 初值问题(柯西问题 ：无边界条件的定解问题。 初值问题 柯西问题)：无边界条件的定解问题。 柯西问题 边值问题：无初值条件的定解问题。 边值问题：无初值条件的定解问题。
u( x, t ) = c(t )sin λ x
因此， 因此，自然就会想到上面齐次方程的特解形式 可能为： 可能为：
u(x, t) = T (t) X ( x)
该等式的特征是把待求的多元函数分解为 一元函数乘积的形式。 一元函数乘积的形式。
6
设方程(1)具有可以分离变量的解 设方程 具有可以分离变量的解 :
由分离变量法得定解问题的一般解为： 由分离变量法得定解问题的一般解为：
nπ at nπ at nπ x u ( x, t ) = ∑ (Cn cos + Dn sin ) sin l l l n =1
∞
21
由初始条件得： 由初始条件得：
nπ x u ( x , 0) = ϕ ( x ) = ∑ C n sin −=0 l n =1
nπ at nπ at nπ x u ( x, t ) = ∑ Cn cos + Dn sin L (14) sin L L L n =1
∞
欲使(13) 满足方程和边界条件和初始条件。只需 欲使(13) 满足方程和边界条件和初始条件。 (14)代入初始条件 求出C 代入初始条件， 即可！ 把(14)代入初始条件，求出 n,Dn即可！
3
分离变量法的基本思想
将未知的多元函数假设为若干一元函 数之积， 数之积，把偏微分方程转化为求解常微分 方程（直接求特解的方法）。 方程（直接求特解的方法）。
4
(一)、波动方程定解问题的分离变量法 一、
齐次弦振动方程的混合问题求解
utt = a 2uxx , 0 < x < L, t > 0 L(1) u x=0 = 0, u x= L = 0L⋅⋅L⋅L⋅ (2) u t =0 = ϕ x , ut t =0 =ψ x L⋅⋅(3)
2
求解得： 求解得： W ( x) = 原问题变为： 原问题变为：
x2
4 V tt = 9 V xx (0 < x < π , t > 0 ) V x = 0 = 0, V x = π = 0 V t = 0 = sin 3 x , V t t = 0 = 0
nπ x u ( x, 0) = φ ( x) = ∑ Cn sin L n =1
∞
nπ a sin nπ x ut ( x,0) =ψ ( x) = ∑ Dn L L n=1
13
∞
[0,L]上按奇式傅里叶展开得： 将 ϕ ( x ),ψ ( x ) 在[0, ]上按奇式傅里叶展开得：
2 L nπ ξ C n = L ∫ 0 ϕ (ξ ) s in L d ξ L 2 nπ ξ D = n ∫ 0 ψ (ξ ) L d ξ nπ L
7
欲使(5)成立，等式两端必须为常数。于是， 欲使 成立，等式两端必须为常数。于是，令： 成立
T ′′ X ′′ = = −λ L(7) 2 aT X
考虑如下方程： 考虑如下方程：
X ′′ + λ X = 0L(8) X (0) = 0, X ( L) = 0L (9)
下面讨论该方程的解
解: 1、分离变量 、
u ( x , t ) = T (t ) X ( x )
X ′′ + λX = 0 ′′ + λa 2T = 0 T
16
2、求解固有值问题 、
X ′′ + λ X = 0 X (0) = 0, X ′( L) = 0
(1) 当
λ<0
−λ x
时
X ( x ) = Ae
1、分离变量 、 2、求解固有值问题 、 3、求解其它常微分方程对应于固有值的解 、 4、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。 、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。
15
例1 求下面定解问题
utt = a 2u xx , ( 0 < x < L, t > 0 ) u x =0 = 0, u x x = L = 0 u t =0 = ϕ ( x ) , ut t =0 = ψ ( x )
混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。 混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。
1
本章主要内容
1、一维波动与热传导定解问题分离变量法 、 2、高维定解问题分离变量求解 、 3、非齐次定解问题的求解 、 学时： 学时 学时：8学时
2
本次课主要内容
一维波动与热传导定解问题分离变量法 (一)、波动方程定解问题的分离变量法 一、 (二)、热传导方程定解问题的分离变量法 二、
u ( x, t ) = V ( x, t ) + W ( x )
代入原方程得： 代入原方程得：
4 8 Vtt = (Vxx + W ′′) − 9 9
23
欲使关于V(x,t)的定解问题可分离变量，W(x)要满足： 的定解问题可分离变量， 要满足： 欲使关于 的定解问题可分离变量 要满足
4 8 W ′′ − = 0 9 9 W (0) = 0, W (π ) = π
得：
+ Be −
−λ x
X ( x) ≡ 0
17
(2) 当 λ
=0
时
X = Ax + B
(3) 当
A= B=0
时
λ >0
X (x) = Acos λ x + Bsin λ x
由条件得： 由条件得：
A = 0, B λ cos λ L = 0
18
所以，固有值为： 所以，固有值为：
λn
( 2 n + 1) 2 π = 2 4L
22
例3 求解如下定解问题
4 8 u tt = 9 u xx − 9 (0 < x < π , t > 0 ) u x = 0 = 0, u x = π = 0 u t = 0 = sin 3 x + x 2 , u t t = 0 = 0
分析：方程不是齐次形式，要作齐次化处理！ 分析：方程不是齐次形式，要作齐次化处理！ 令：
11
由(7)还可得： (7)还可得： 还可得
T ′′ + λ a T = 0L (11)
2
该方程对应于固有值λ 的通解为： 该方程对应于固有值 n的通解为：
nπ at nπ at Tn (t ) = Cn cos + Dn sin L (12) L L
把(10)、(12)代入(4)得： (10)、(12)代入(4)得 代入(4)
问题回顾： 问题回顾： 1、分离变量法的物理背景是什么？ 、分离变量法的物理背景是什么？ 2、分离变量法的使用条件是什么？ 、分离变量法的使用条件是什么？ 3、什么是分离变量法的固有值问题？ 、什么是分离变量法的固有值问题？ 4、小结分离变量法的步骤。 、小结分离变量法的步骤。
14
利用分离变量法求定解的步骤
∞
u t ( x , 0) = ψ ( x ) =
∑
∞
n =1
nπ a nπ x I Dn sin = δ ( x − x0 ) ρ l l
C n = 0 nπ x 0 2I D n = nπ a ρ sin l
定解问题的解为： 定解问题的解为：
nπ x0 2I ∞ 1 nπ at nπ x u ( x, t ) = ∑ n sin l sin l sin l πρ a n =1
4、一般解为： 、一般解为：
(2n+1)πat (2n+1)πat (2n+1)πx u( x,t) = ∑ An cos + Bn sin sin 2L 2L 2L n=0
∞
2 L ( 2 n + 1)π ξ dξ A n = L ∫ 0 ϕ (ξ ) s i n 2L L 4 ( 2 n + 1)π ξ Bn = dξ ∫ 0 ψ (ξ ) s i n ( 2 n + 1)π a 2L
(
)
( )
( )
分析： 分析： (1) 定解问题特点：方程是二阶线性齐次方程，所 定解问题特点：方程是二阶线性齐次方程， 以各特解的和也是方程的解。 以各特解的和也是方程的解。如果能够找到足够多的特 可考虑用它们的线性组合去求定解问题的解！ 解，可考虑用它们的线性组合去求定解问题的解！
5
(2) 物理模型：乐器发出的声音可以分解为若干 物理模型： 不同频率的单音。每个单音振动又可以表示为： 不同频率的单音。每个单音振动又可以表示为：
8
(1) 当
λ<0
时
−λ x
X ( x ) = Ae