2 第2课时 应用案巩固提升

整理与复习《巩固应用》课程内容：2023-2024学年数学五年级上册，北师大版教学目标：1. 让学生通过整理与复习，巩固所学知识，提高数学应用能力。

2. 培养学生良好的学习习惯，提高自主学习能力。

3. 培养学生合作交流的能力，提高团队协作意识。

教学内容：1. 对本学期所学知识进行梳理，总结。

2. 针对不同知识点，设计巩固练习，提高学生的应用能力。

3. 对学生进行学习方法指导，培养良好的学习习惯。

教学重点：1. 巩固所学知识，提高应用能力。

2. 培养良好的学习习惯，提高自主学习能力。

教学难点：1. 如何引导学生进行有效的整理与复习。

2. 如何设计有针对性的巩固练习。

教学准备：1. 教师准备：对本学期所学知识进行梳理，设计巩固练习。

2. 学生准备：带齐学习资料，准备好笔记本。

教学过程：一、导入1. 教师简要介绍本节课的内容和目标。

2. 提问：同学们，我们这个学期学习了哪些数学知识？你们觉得自己掌握得怎么样？二、整理与复习1. 教师引导学生对本学期所学知识进行梳理，总结。

2. 学生分组讨论，共同完成知识梳理。

三、巩固练习1. 教师根据知识点，设计有针对性的巩固练习。

2. 学生独立完成练习，教师巡回指导。

四、学习方法指导1. 教师针对学生的学习情况，进行学习方法指导。

2. 学生分享自己的学习心得，互相学习。

五、课堂小结1. 教师总结本节课的学习内容，强调重点。

2. 学生提问，教师解答。

六、作业布置1. 教师布置适量的作业，要求学生在规定时间内完成。

2. 学生认真完成作业，家长签字。

教学反思：本节课通过整理与复习，巩固了学生所学知识，提高了学生的数学应用能力。

在教学过程中，教师应注重引导学生进行有效的整理与复习，设计有针对性的巩固练习，同时进行学习方法指导，培养学生良好的学习习惯。

在今后的教学中，教师还需继续关注学生的学习情况，及时调整教学策略，提高教学效果。

重点关注的细节：如何引导学生进行有效的整理与复习，以及如何设计有针对性的巩固练习。

第2课时 集合的表示[A 基础达标]1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．一次函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合解析：选D.本题中的集合是点集，其表示一次函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合．故选D.2．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是( ) A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}解析：选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B 中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C 中t ＝0时，x ＝－3，不属于给定的集合；只有D 是正确的．故选D.3．已知集合{x |x 2＋ax ＝0}＝{0，1}，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选A.由题意，x 2＋ax ＝0的解为0，1，利用根与系数的关系得0＋1＝－a ，所以a ＝－1.4．(2019·襄阳检测)已知集合A ＝{1，2，4}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝xy，x ∈A ，y ∈A ，则集合B 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B.因为A ＝{1，2，4}．所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝xy ，x ∈A ，y ∈A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，14，2，4，所以集合B 中元素的个数为5.5．下列说法中正确的是( ) ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．只有②和④解析：选C.①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误．根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举．6．用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3，x ∈N ，y ∈N *}为____________．解析：集合A 是由方程x ＋y ＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝1时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝1，故A ＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}．答案：{(0，3)，(1，2)，(2，1)}7．用列举法表示集合{x |x ＝(－1)n，n ∈N }＝________． 解析：当n 为奇数时，(－1)n＝－1； 当n 为偶数时，(－1)n＝1，所以{x |x ＝(－1)n，n ∈N }＝{－1，1}． 答案：{－1，1}8．已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－3x ＋a ＝0}用列举法表示为________． 解析：因为－5∈{x |x 2－ax －5＝0}， 所以(－5)2＋5a －5＝0，解得a ＝－4. 解x 2－3x －4＝0得，x ＝－1或x ＝4， 所以{x |x 2－3x ＋a ＝0}＝{－1，4}． 答案：{－1，4}9．用列举法表示下列集合． (1){x |x 2－2x －8＝0}．(2){x |x 为不大于10的正偶数}． (3){a |1≤a <5，a ∈N }．(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪169－x ∈N . (5){(x ，y )|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}．解：(1){x |x 2－2x －8＝0}，用列举法表示为{－2，4}．(2){x |x 为不大于10的正偶数}，用列举法表示为{2，4，6，8，10}．(3){a |1≤a <5，a ∈N }，用列举法表示为{1，2，3，4}． (4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪169－x ∈N ，用列举法表示为{1，5，7，8}．(5){(x ，y )|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}，用列举法表示为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．10．用描述法表示下列集合： (1){0，2，4，6，8}． (2){3，9，27，81，…}．(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，34，56，78，…. (4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合． 解：(1){x ∈N |0≤x <10，且x 是偶数}． (2){x |x ＝3n，n ∈N *}．(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n －12n ，n ∈N *. (4){x |x ＝5n ＋2，n ∈Z }．[B 能力提升]11．若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R }只有一个元素，则实数k 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．0或1D ．2解析：选C.集合A 中只有一个元素，即方程kx 2＋4x ＋4＝0只有一个根．当k ＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k ≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝16－16k ＝0，即k ＝1.所以实数k 的值为0或1.12．设P 、Q 为两个实数集，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B.因为0＋1＝1，0＋2＝2，0＋6＝6，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋6＝8，5＋1＝6，5＋2＝7，5＋6＝11，所以P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}．故选B.13．(2019·襄阳检测)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z }，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z }，若x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则( )A ．a ∈M ，b ∈PB ．a ∈P ，b ∈MC ．a ∈M ，b ∈MD ．a ∈P ，b ∈P解析：选A.设x 0＝2n ＋1，y 0＝2k ，n ，k ∈Z ，则x 0＋y 0＝2n ＋1＋2k ＝2(n ＋k )＋1∈M ，x 0y 0＝2k (2n ＋1)＝2(2nk ＋k )∈P ，即a ∈M ，b ∈P ，故选A.。

小学数学人教版六年级上册
第二课时简便计算和巩固练习
教学内容：课本第60页例3，完成“做一做”题目和练习十五的第6～11题。

教学目的：使学生进一步学会分数四则混合运算；使学生在分数四则混合运算的计算中能够应用一些简便算法；培养学生认真计算，检查的习惯。

教学过程：
一、复习。

1．用简便方法计算。

7275326++ 5
1541127-- 62×37＋38×37 36×99 指名说一说应用了什么定律进行简便计算。

二、新授。

1．导语。

在分数四则混合运算中，有时也可以应用运算定律使计算简便。

（板书课题：简便计算与巩固练习）
2．教学例3。

出示例3：计算 8
3758771+⨯+ （1）问：这道题应该先算什么？
（2）指名学生说出计算方法，教师板书：
8
385718
3175871
718
3758771++=+⨯+=+⨯+ （3）问：下一步应该怎样算？有没有简便算法？
学生把题目做完：
7
1117
1)8
385(71=+=++= 三、巩固练习。

1、完成“做一做”题目。

让学生说一说怎样简便运算。

2．练习十五的第7题。

让学生比一比，谁算得快，谁的计算方法灵活。

3．练习十五第8题。

第2题让学生列出综合算式，也可以列方程解答。

四、全课小结。

1.这节课我们研究了什么？
2.在分数四则混合运算中，如果能简便运算的应该怎么办？
五、布置作业。

练习十五第6、9、10题。

六．课后反思；。

《巩固与应用》（教案）20232024学年数学四年级上册北师大版教案：《巩固与应用》一、教学内容1. 小数的加法和减法；2. 小数的乘法和除法；3. 分数的加法和减法；4. 分数的乘法和除法。

二、教学目标1. 使学生掌握小数和分数的加减乘除运算方法；2. 培养学生解决实际问题的能力；3. 提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

三、教学难点与重点1. 小数和分数的加减乘除运算方法；2. 将实际问题转化为数学问题，并运用所学知识解决。

四、教具与学具准备1. 的教具：黑板、粉笔、投影仪；2. 学具：练习本、尺子、圆规、量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的物品，如桌子、椅子、书本等，找出相同数量物品并进行分类。

2. 例题讲解：以桌子为例，讲解如何用小数和分数表示桌子的数量，并进行加减乘除运算。

3. 随堂练习：让学生分组合作，用小数和分数解决实际问题，如教室里有3张桌子，又运来了2张，一共有多少张？4. 讲解答案：邀请学生上黑板演示解题过程，并讲解答案。

5. 课堂互动：让学生提问，解答其他学生的疑问。

6. 板书设计：将本节课的主要知识点和例题步骤写在黑板上，以便学生复习。

六、作业设计1. 题目：小明有2.5元，小红有3.2元，他们一共多少钱？答案：5.7元2. 题目：一个苹果的重量是0.25千克，三个苹果的重量是多少千克？答案：0.75千克七、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生掌握了小数和分数的加减乘除运算方法，并能运用所学知识解决实际问题；2. 拓展延伸：让学生思考如何运用小数和分数解决更复杂的实际问题，如购物时如何计算总价？本节课通过实践情景引入，让学生直观地理解小数和分数的加减乘除运算方法，并通过例题讲解和随堂练习，使学生熟练掌握所学知识。

通过课堂互动和板书设计，帮助学生巩固知识点，提高逻辑思维能力和团队合作能力。

作业设计让学生在课后巩固所学，拓展延伸则激发学生思考，培养解决实际问题的能力。

[A 基础达标]1．某程序框图如图所示，下列说法不正确的是( )A ．该框图包含顺序结构和条件结构B ．框图中的起止框不能省略C ．可以同时输出两个不同的结果c 和mD ．判断条件为“m >c ？”解析：选C.题中的程序框图中有判断框，根据给定条件判断并根据判断结果进行不同处理，执行一次只能有一个结果输出．2．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则log 24⊗⎝⎛⎭⎫13－1的值为( ) A.13 B ．1 C.43D ．2解析：选B.因为log 24＝2<3＝⎝⎛⎭⎫13－1， 由题意知所求值为3－12＝1.3．运行如图程序框图，使得当成绩不低于60分时，输出“及格”，当成绩低于60分时，输出“不及格”，则( )A．①框中填“是”，②框中填“否”B．①框中填“否”，②框中填“是”C．①框中填“是”，②框中可填可不填D．①框中填“否”，②框中可填可不填解析：选A.当x≥60时，应输出“及格”；当x＜60时，应输出“不及格”，故①框中应填“是”，②框中应填“否”．4．(2018·绵阳高一检测)如图所示的程序框图中，若输入的分别为a＝20.9，b＝(－0.9)2，c＝log0.91.3，则输出的数为()A．20.9B．(－0.9)2C．log0.91.3 D．不确定解析：选A.由程序框图，可知输出的数是a，b，c三者当中最大的数．因为a＝20.9>1，b＝(－0.9)2∈(0，1)，c＝log0.91.3<0，所以a最大，所以输出的数是20.9，故选A.5．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.由题意得该程序的功能是计算并输出分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －4，2<x ≤5，1x ，x >5的值．当x ≤2时，由x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1，当2<x ≤5时，由x ＝2x －4，解得x ＝4， 当x >5时，由x ＝1x ，解得x ＝±1(舍去)，故满足条件的x 值共有3个，故选C.6．已知a ＝2，b ＝log 33，执行如图所示的程序框图，则输出的值为__________．解析：由a ＝2，b ＝log 33＝lg 3lg 3＝2，知a >b 不成立，故输出a b ＝22.答案：227．任给一个x 值计算y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（x ＜0），2（x ＝0），3（x ＞0）中的y 值的算法的程序框图如图所示，其中程序框中的①②③分别为________，________，________．解析：由于第一个判断框“是”执行y ＝1，故①填“x ＜0？”，再由y ＝1，y ＝2知③填“y ＝3”，故②填“x ＞0？”．答案：x ＜0？ x ＞0？ y ＝38．如图所示的程序框图运行后输出结果为12，则输入的x 值为________．解析：程序框图表示的是求分段函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x ≥14，2x，x ≤0，log 12x ，0＜x ＜14的函数值，由⎩⎨⎧x 2＝12x ≥14得，x ＝22；由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝12x ≤0得，x ＝－1； 又⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ＝120＜x ＜14无解，故x ＝－1或22.答案：－1或229．阅读如图程序框图，并根据该框图回答以下问题．(1)分别求f (－1)，f (0)，f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)的值； (2)写出函数f (x )的表达式．解：(1)当x ＝－1时，满足x <0，故执行y ＝0， 即f (－1)＝0，同样地，可得f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＝3.(2)由程序框图得函数f (x )的表达式为： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0（x <0），1（0≤x <1），x （x ≥1）.10．设汽车托运重量为P kg 的货物时，托运每千米的费用标准为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2P ， 当P ≤20 kg 时，0.3×20＋1.1（P －20）， 当P ＞20 kg 时， 画出货物托运费用的程序框图．解：程序框图如图(x 为托运路程)．[B 能力提升]11．执行如图的程序框图，如果输入t ∈[－1，3]，则输出的s 属于( )A ．[－3，4]B ．[－5，2]C ．[－4，3]D ．[－2，5]解析：选A.因为t ∈[－1，3]，当t ∈[－1，1)时，s ＝3t ∈[－3，3)；当t ∈[1，3]时，s ＝4t －t 2＝－(t 2－4t )＝－(t －2)2＋4∈[3，4]，所以s ∈[－3，4]．12．已知某程序框图如图所示，若输入的x 的值分别为0，1，2，执行该程序后，输出的y 的值分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝____________．解析：由程序框图可得函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，1，x ＝1，4x ，x <1，记y ＝f (x )，则a ＝f (0)＝40＝1，b ＝f (1)＝1，c ＝f (2)＝22＝4，故a ＋b ＋c ＝6.答案：613．设计算法，判断给定的直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与任意圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系，并画出程序框图．解：算法步骤如下：第一步，输入A ，B ，C ，a ，b ，r 的值．第二步，计算d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2的值．第三步，判断d >r 是否成立，若成立，则输出“相离”，结束算法，否则，执行第四步． 第四步，判断d ＝r 是否成立，若成立，则输出“相切”，结束算法；否则，输出“相交”，结束算法．程序框图如图．14．(选做题)学习优秀的条件如下： (1)五门课的成绩总分不低于500分； (2)每门课成绩都不低于90分；(3)三门主课每门的成绩都不低于100分，其他两门课的成绩都不低于90分． 输入某学生的五门课的成绩，问他是否够优秀条件．画出程序框图． 解：程序框图如图所示(其中a ，b ，c 为三门主课成绩)：。

章末复习提升课1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是[0°，180°)．(2)k ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan α，α≠90°，不存在，α＝90°.(3)斜率的求法：①依据直线方程；②依据倾斜角；③依据两点的坐标． 2．两条直线的位置关系 设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0. (2)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0.(3)重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．3．距离公式(1)两点间的距离公式： 已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2)点到直线的距离公式：①点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；②两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C ＝0与l 2：Ax ＋By ＋D ＝0的距离d ＝|C －D |A 2＋B 2. 4．点和圆的位置关系设点P (x 0，y 0)及圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点P 在圆外． (2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点P 在圆内． (3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点P 在圆上． 5．直线与圆的位置关系设直线l 与圆C 的圆心之间的距离为d ，圆的半径为r ，则 d >r →相离；d ＝r →相切；d <r →相交． 6．圆与圆的位置关系设C 1与C 2的圆心距为d ，半径分别为r 1与r 2，则位置关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1、r 2的关系 d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 d ＝|r 1－r 2| d <|r 1－r 2| (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝（1＋k 2）[（x A ＋x B ）2－4x A x B ].注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．1．明确直线的倾斜角与斜率的关系(1)倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．(2)倾斜角可正可零不可为负，而斜率k 不仅可正，可零，而且可以为负．2．讨论斜率的情况：在利用直线的斜率处理平行与垂直的关系时，特别要注意直线的斜率不存在的情况．3．点到直线的距离公式的应用在应用点到直线的距离公式时，一定要把直线化为一般式，明确系数A ，B ，C . 4．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆应满足的条件： (1)A ＝C ≠0，(2)B ＝0，(3)D 2＋E 2－4AF >0. 5．画空间直角坐标系的三大注意事项(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长度相等，x 轴的单位长度等于y 轴单位长度的一半．(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它们的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它们的几何图形的形象直观性来分析问题．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C. 3D ．2[解析] 由已知可得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1，4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A.[答案] A已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．[解析] 设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3， 即||3m －3m 2＋1＝3，解得m＝－33，则直线l：x－3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝|AB|cos 30°＝4.[答案] 4最值问题解析几何中的最值问题是人们工作和生活追求的目标，可用于解决生活中的一些实际问题，本章主要研究直线与圆中的最值及动点轨迹等．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)设yx＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时有|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3，故yx的最大值是3，最小值是－ 3.(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当直线y＝x＋b与圆相切时b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6，故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何的知识知，其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又知圆心到原点的距离为2，故x2＋y2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，最小值为(2－3)2＝7－4 3.圆的切线方程问题求圆的切线的问题经常出现，主要有以下三类．(1)求过圆上一点的圆的切线方程已知圆x2＋y2＝r2，M(x0，y0)是圆上一点，则过点M的圆的切线方程为xx0＋yy0＝r2.一般地，若圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则过切点M (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)求过圆外一点的圆的切线过程求过圆外一点的圆的切线方程，一般设为点斜式，运用待定系数法或判别式法求出斜率k ，但用点斜式表示直线方程的前提是斜率必须存在．过圆外一点可以作圆的两条切线，如果只有一解，那么一定有一条切线斜率不存在，这时可用数形结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来．(3)已知斜率求圆的切线斜率为k 且与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2相切的切线方程的求法：①先设切线方程为y ＝kx ＋m ，然后化成一般式kx －y ＋m ＝0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m ；②设切线方程为y ＝kx ＋m ，与圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式为0求出m .过点P (－2，0)向圆x 2＋y 2＝1引切线，求切线的方程． [解] 设所求切线的斜率为k ， 则切线方程为y ＝k (x ＋2)．由题意联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 2＋y 2＝1，即(k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋4k 2－1＝0.由题意知上述一元二次方程有两相等实根，所以Δ＝16k 4－4(k 2＋1)(4k 2－1)＝－12k 2＋4＝0，即k ＝±33，所以所求切线的方程为y＝±33(x ＋2)．1．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab <0，bc >0 C ．ab >0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A.由题意知，直线的斜率小于0，直线在y 轴上的截距大于0，从而ab >0，bc <0. 2．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0解析：选D.设圆心为(a ，0)(a >0)， 则圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离等于2， 即3a ＋432＋42＝2，解得a ＝2.故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4.3．对任意实数k ，圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝13与直线l ：kx －y －4k ＋3＝0的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．与k 取值有关解析：选D.圆心(3，4)到直线距离d ＝|3k －4－4k ＋3|k 2＋1＝|k ＋1|k 2＋1与k 取值有关，故选D.4．如果直线ax ＋3y ＋2＝0与直线3ax －y －2＝0垂直，那么a ＝________． 解析：由题意得a ·3a －3＝0，解得a ＝±1. 答案：±15．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是________．解析：注意到圆心C (3，－5)到已知直线的距离为|4×3－3×（－5）－2|42＋（－3）2＝5，结合图形可知有两个极端情形： 其一是如图所示的小圆，半径为4； 其二是如图所示的大圆，其半径为6， 故4<r <6.答案：(4，6)6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1，0)．(1)若l 1与圆相切，求l 1的方程；(2)若l 1与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，求证：AM ·AN 为定值．解：(1)①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意． ②若直线l 1斜率存在， 设直线l 1为y ＝k (x －1)， 即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解之得k ＝34.所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)证明：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0得 N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1. 又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k （x －3）得 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2. 所以AM ·AN ＝ |y M －0|1＋1k2·|y N －0| 1＋1k2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2＋2k 1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋1k 2＋1k 2 ＝6为定值．。

第2课时 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系及判定 (1)几何方法已知两圆C 1：(x －x 1)2＋(y －y 1)2＝r 21， C 2：(x －x 2)2＋(y －y 2)2＝r 22，则圆心分别为C 1(x 1，y 1)，C 2(x 2，y 2)，半径分别为r 1，r 2， 圆心距d ＝|C 1C 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． 则两圆C 1，C 2有以下位置关系：两圆位置关系图形情况 d 与r 1、r 2的关系相离d >r 1＋r 2 外切d ＝r 1＋r 2 相交|r 2－r 1|<d <r 1＋r 2 内切d ＝|r 2－r 1|内含d <|r 2－r 1|(2)代数方法设两圆方程分别为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0――→消元一元二次方程 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0相交Δ＝0相切Δ<0内含，相离. 方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交， 有一组实数解⇔两圆相切， 无实数解⇔两圆相离或内含．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆相离．( )(2)两圆方程联立，若有两个不同解，则两圆相交．()(3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含．()(4)若两圆有且只有一个公共点，则两圆外切．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9的位置关系是()A．相离B．外切C．相交D．内切解析：选B.圆心距d＝（－2－1）2＋（－2－2）2＝5，两圆半径的和r1＋r2＝2＋3＝5，则d＝r1＋r2，即两圆外切．3．若圆x2＋y2＝9与圆(x－4)2＋(y＋3)2＝r有3条公切线，则实数r的值为()A．8 B．64C．2 D．4解析：选D.两圆有3条公切线，即两圆外切，两圆圆心距d＝（0－4）2＋（0＋3）2＝5，所以有5＝3＋r，解得r＝4.4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________．解析：圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0，配方得(x－a)2＋y2＝1，两圆的连心线长为（a－0）2＋02＝|a|＝2－1，解得a＝±1.答案：±15．已知圆O1与圆O2的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝r2(r>1)，若两圆相交，则r的取值范围是________．答案：(1，3)1．两圆的公切线问题(1)公切线的条数判断因两圆位置关系变化而变化①两圆外离时有4条，其中2条内公切线，2条外公切线；②两圆外切时有3条，其中1条内公切线，2条外公切线；③两圆相交时有2条，只有2条外公切线；④两圆内切时有1条，只有1条外公切线；⑤两圆内含时无公切线．(2)公切线的求法：由于公切线与两圆都相切，所以圆心到切线的距离都等于圆的半径，故可设公切线方程为y ＝kx ＋b (注意斜率不存在的情况)．由两圆心到直线的距离分别等于两圆半径，联立方程组即可求解．(3)公切线的长度：一定要结合几何图形，利用构造直角三角形，两点间的距离公式等方法灵活求解．2．两圆相交时公共弦问题(1)设圆O 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0， 圆O 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0. 则两圆相交公共弦所在直线方程为：(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)－(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，即(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.(2)求两圆的公共弦长问题可转化为直线与圆相交求相交弦长问题，从而得以解决，如图，利用圆O 1，首先求出O 1点到相交弦所在直线的距离d ，而|AC |＝12|AB |，所以14|AB |2＝r 21－d 2，即|AB |＝2r 21－d 2，从而得以解决．圆与圆的位置关系的判定已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，当m 为何值时，(1)两圆相外切；(2)两圆内含．[解] 两圆的方程分别化为C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，所以两圆的圆心坐标分别为C 1(m ，－2)和C 2(－1，m )，两圆的半径分别为r 1＝3，r 2＝2.(1)如果两圆相外切， 则有（m ＋1）2＋（－2－m ）2＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0， 解得m ＝－5或m ＝2. (2)当两圆内含时， 则有（m ＋1）2＋（－2－m ）2<3－2，即m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1.所以当m＝－5或m＝2时两圆相外切，当－2<m<－1时两圆内含．在本例中，条件不变，若两圆相内切、相交，结果如何？解：如果两圆相内切，则有（m＋1）2＋（－2－m）2＝3－2，即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2或m＝－1.如果两圆相交，则有3－2<（m＋1）2＋（－2－m）2<3＋2，解得－5<m<－2或－1<m<2.判定两圆位置关系的步骤(1)将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径．(2)计算圆心距，半径和、半径差的绝对值．(3)利用圆心距，半径和、半径差的绝对值判定两圆的位置关系．1.圆C1与圆C2的半径是方程x2－3x＋1＝0的两个根，d为两圆的圆心距，求当C1与C2(1)外切；(2)外离；(3)内切；(4)内含时，d的取值范围．解：设两圆C1、C2的半径分别为r1、r2，则r1＋r2＝3，r1r2＝1，所以|r1－r2|＝（r1＋r2）2－4r1r2＝32－4×1＝5，(1)当C1与C2外切时，d＝3；(2)当C1与C2外离时，d>3；(3)当C1与C2内切时，d＝5；(4)当C1与C2内含时，0≤d< 5.圆与圆相切的问题已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．[解]两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.圆心分别为C1(1，3)，C2(5，6)．半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时，（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故有61－m －11＝5.解得m ＝25－1011.因为k c 1c 2＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43，设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝⎛⎭⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311，直线与另一圆相交，故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311.即4x ＋3y ＋511－13＝0.求公切线的五个步骤(1)判断公切线的条数． (2)设出公切线的方程．(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值． (4)验证特殊情况下的直线是否为公切线． (5)归纳总结．[注意] 对于求公切线问题，不要漏解，应先根据两圆的位置关系来判断公切线的条数．2.(1)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11(2)求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程． 解：(1)选C.圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，所以|C 1C 2|＝5. 又因为两圆外切，所以5＝1＋25－m ，解得m ＝9.(2)圆方程x 2＋y 2－2x ＝0化为(x －1)2＋y 2＝1，设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）2＋b 2＝r ＋1，|a ＋3b |2＝r ，b ＋3a －3＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－43r ＝6.，所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.圆与圆相交的问题已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．[解] (1)将两圆方程化为标准方程，圆C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10.则圆C 1的圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝52；圆C 2的圆心为C 2(－1，－1)，半径r 2＝10.又|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10， 所以|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2，所以两圆相交． (2)两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程． (3)法一：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，② 两式相减得x ＝2y －4，③把③代入②得y 2－2y ＝0，所以y 1＝0，y 2＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2，所以交点坐标为(－4，0)和(0，2)．所以两圆的公共弦长为（－4－0）2＋（0－2）2＝2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝5 2.由(2)知两圆公共弦所在直线的方程为x －2y ＋4＝0， 所以圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离 d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝3 5.设公共弦长为2l ，由勾股定理r 2＝d 2＋l 2，得50＝45＋l 2，解得l ＝5，所以公共弦长2l ＝2 5.求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：[注意] (1)当两圆相切时，两圆方程相减所得直线方程即为两圆的公切线方程． (2)当两圆外离时，方程作差也能得一条直线方程，但这条直线方程不是两圆的公共弦所在直线方程．3.求过两圆x 2＋y 2＝25和(x －1)2＋(y －1)2＝16的交点且面积最小的圆的方程．解：圆x 2＋y 2＝25和(x －1)2＋(y －1)2＝16的公共弦所在直线的方程为x 2＋y 2－25－[(x －1)2＋(y －1)2－16]＝0，即2x ＋2y －11＝0，过直线2x ＋2y －11＝0与圆x 2＋y 2＝25的交点的圆系方程为x 2＋y 2－25＋λ(2x ＋2y －11)＝0，即x 2＋y 2＋2λx ＋2λy －(11λ＋25)＝0.依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(－λ，－λ)必在公共弦所在直线2x ＋2y －11＝0上．即－2λ－2λ－11＝0，则λ＝－114，代回圆系方程得所求圆方程为⎝⎛⎭⎫x －1142＋⎝⎛⎭⎫y －1142＝798.思想方法 巧用圆系方程解题求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y－8＝0的交点的圆的方程．[解] 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(2λ－2)x ＋(2λ＋10)y －8λ－24＝0， 同除以1＋λ可得， x 2＋y 2＋2λ－21＋λx ＋2λ＋101＋λy －8λ＋241＋λ＝0， 此圆的圆心P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ－11＋λ，－λ＋51＋λ. 又因为圆心在直线x ＋y ＝0上， 所以－λ－11＋λ－λ＋51＋λ＝0，得λ＝－2.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.(1)一般地，过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程可设为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．(2)利用圆系，恰当设出所求圆的方程是解本题的关键，将方程整理后，圆心坐标的表示要准确．最后的结果要整理成圆的一般方程(或标准方程)．1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()A．相离B．外切C．内切D．相交解析：选D.圆O1的圆心为(1，0)，半径r1＝1，圆O2的圆心为(0，－2)，半径r2＝2，|O1O2|＝5，r1＋r2＝3，r2－r1＝1，所以r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，则两圆相交．2．以点(2，－2)为圆心且与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0外切的圆的方程是()A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9C．(x－2)2＋(y－2)2＝16D．(x－2)2＋(y＋2)2＝16解析：选B.由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心(－1，2)，半径r1＝2，故所求的圆的半径：r2＝（2＋1）2＋（－2－2）2－2＝5－2＝3，则所求的圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9，故选B.3．两圆C1：x2＋y2＝a与C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为________．解析：x2＋y2＋6x－8y－11＝0⇔(x＋3)2＋(y－4)2＝36，从而C1(0，0)，r1＝a，C2(－3，4)，r2＝6，因为C1与C2内切，所以|C1C2|＝|r2－r1|，5＝|6－a|，所以a＝1或121.答案：1或1214．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0.因为A ，B 两点坐标都满足此方程，所以3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程，易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r ＝3.又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95.所以|AB |＝2r 2－d 2＝232－⎝⎛⎭⎫952＝245. 即两圆的公共弦长为245., [学生用书P133(单独成册)])[A 基础达标]1．已知圆C 1与C 2相切，圆心距为10，其中圆C 1的半径为4，则圆C 2的半径为( ) A ．6或14 B ．10 C ．14D ．不确定解析：选A.由题意知，r ＋4＝10或10＝|r －4|，解得r ＝6或r ＝14.2．两圆x 2＋y 2－2y －3＝0与x 2＋y 2＋2x ＝0的公共弦所在的直线方程为( ) A ．2x －2y －3＝0 B ．2x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋2y ＋3＝0 D ．2x ＋2y －3＝0解析：选C.两圆方程相减得2x ＋2y ＋3＝0.即为两圆的公共弦所在的直线方程． 3．圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.两圆的圆心距d ＝（－2－2）2＋（2＋5）2＝65，半径分别为r 1＝1，r 2＝4，则d >r 1＋r 2，所以两圆相离，因此它们有4条公切线．4．⊙A ，⊙B ，⊙C 两两外切，半径分别为2，3，10，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B.△ABC 的三边长分别为5，12，13，52＋122＝132，所以△ABC 为直角三角形．5．两圆相交于点A (1，3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 解析：选C.由题意知，AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12，1在直线x －y ＋c ＝0上，所以m ＋12－1＋c ＝0，m ＋2c ＝1.又直线AB 的斜率k AB ＝3－（－1）1－m ＝41－m ＝－1， 所以m ＝5，c ＝－2.故m ＋c ＝3，故选C.6．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为________． 解析：由题设知，圆心为(a ，6)，R ＝6， 所以（a －0）2＋（6－3）2＝6－1，所以a 2＝16.所以a ＝±4，所以所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.答案：(x ±4)2＋(y －6)2＝367．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0上的点之间的最短距离是__________．解析：由x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，由x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0得(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，两圆圆心距为（－1－2）2＋（2＋1）2＝32>22，故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是32－2－2＝ 2. 答案： 28．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：由题意知O 1(0，0)，O 2(m ，0)，且5<|m |<35，又O 2A ⊥AO 1，所以有m 2＝(5)2＋(25)2＝25⇒m ＝±5，所以|AB |＝2×5×205＝4. 答案：49．求与已知圆x 2＋y 2－7y ＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x －3y －1＝0，且过点(－2，3)，(1，4)的圆的方程．解：公共弦所在直线的斜率为23，已知圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫0，72，故两圆圆心所在直线的方程为y －72＝－32x ， 即3x ＋2y －7＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2＋32－2D ＋3E ＋F ＝0，12＋42＋D ＋4E ＋F ＝0，3⎝⎛⎭⎫－D 2＋2⎝⎛⎭⎫－E 2－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－10，F ＝21.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －10y ＋21＝0.10．已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0交于A ，B 两点．(1)求过A ，B 两点的直线方程；(2)求过A ，B 两点且圆心在直线2x ＋4y ＝1上的圆的方程．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0.两式相减并整理得：x －y －1＝0，所以过A ，B 两点的直线方程为x －y －1＝0.(2)依题意：设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ， 因为圆心在直线2x ＋4y ＝1上，所以2·21＋λ＋4·λ－11＋λ＝1，解得λ＝13，所以所求圆的方程为：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0. [B 能力提升]11．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：选D.设动圆圆心坐标为(x ，y )，当两圆内切时有（x －5）2＋（y ＋7）2＝4－1，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝9，当两圆外切时有（x －5）2＋（y ＋7）2＝4＋1，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝25.12．若点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，则圆(x －a )2＋y 2＝1与圆x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是________．解析：因为点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，所以a 2＋b 2＝4.又圆x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 1(0，b )，半径r 1＝1，圆(x －a )2＋y 2＝1的圆心C 2(a ，0)，半径r 2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2， 所以d ＝r 1＋r 2，所以两圆外切．答案：外切13．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．解：设圆B 的半径为r ，因为圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，所以圆B 的圆心可设为(t ，2t )，所以圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.①因为圆A 的方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，②所以②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③因为圆B 平分圆A 的周长，所以圆A 的圆心(－1，－1)必须在公共弦上， 于是将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋215≥215， 所以当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215. 14．(选做题)已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2，1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)由两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是：(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x ＋y ＋1－22＝0.(2)设圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0.①作O 1H ⊥AB ，则AH ＝12|AB |＝2，O 1H ＝2， 由圆心(0，－1)到直线①的距离得 |r 22－12|42＝2， 得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。

语文知识的巩固与提升教案教学目标：1. 巩固与提升学生的语文知识水平。

2. 培养学生的阅读和写作能力。

3. 增强学生对语文的兴趣和自信心。

教学内容：1. 词语的辨析与用法。

2. 句子的结构与变换。

3. 阅读理解与写作技巧。

教学步骤：一、引入（5分钟）教师与学生互动，引发学生对语文知识的兴趣，激发学习的动力。

二、知识巩固（25分钟）1. 词语的辨析与用法（10分钟）教师通过例句和语境解释，帮助学生理解并掌握词语的正确用法。

例如，辨析“热情”和“热忱”、区分“记者”和“新闻报道员”等。

2. 句子的结构与变换（15分钟）教师通过分析句子结构和变换练习，引导学生理解句子的基本组成和不同句式之间的转换关系。

例如，主谓宾结构的转换、从句与主句的转换等。

三、知识提升（35分钟）1. 阅读理解（20分钟）教师提供一段文章，让学生进行阅读，并回答相关的问题。

通过训练学生的阅读理解能力，提高他们的信息获取和推理能力。

2. 写作技巧（15分钟）教师讲解一些常用的写作技巧，例如使用恰当的过渡词、注意段落结构等。

然后给学生一个写作任务，让他们运用所学的技巧来写一篇短文或作文。

学生可以选择自己感兴趣的话题，进行创作。

四、课堂总结（5分钟）教师对本节课所学内容进行总结，强调学生在平时学习中的巩固与提升的重要性，并鼓励学生在接下来的学习中持续努力。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够巩固和提升自己的语文知识水平，并且增强了阅读和写作的能力。

教师在授课中注重互动和实践，提高了学生的学习积极性和参与度。

在今后的教学中，可以进一步拓展语文知识的内容和培养学生的创造力，进一步提升教学效果。