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第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数解决函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (1)(2016·绍兴模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案(1)C (2)D解析(1)由f′(x)图象可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点，故选C.(2)由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 命题点2 求函数的极值例2 (2016·台州模拟)已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e. (2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． 命题点3 已知极值求参数例3 (1)(2016·杭州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.(2)(2016·福州质检)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，52)B ．[2，52)C ．(2，103)D ．[2，103)答案 (1)－7 (2)C解析 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.(2)若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，实数a 的取值范围是(2，103)．思维升华 (1)求函数f (x )极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．(1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0(2)函数y ＝2x －1x2的极大值是________．答案 (1)C (2)－3解析 (1)∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，∵由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0， 当－1<x <0时，f ′(x )>0. 当0<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点． (2)y ′＝2＋2x3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1，x >0时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3. 题型二 用导数求函数的最值例4 已知a ∈R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，x ∈(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14.又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2－12)＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0.(2)因为f (x )＝ax＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2，x ∈(0，e]．令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，则当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增， 所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae .思维升华 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－∞，72)解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f (－23)＝15727，f (－1)＝112，f (2)＝7，故f (x )min ＝72，∴a <72.题型三 函数极值和最值的综合问题例5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x2x ，a ln x x(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．解 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗↘故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和[23，1)上单调递减，在[0，23]上单调递增．因为f (－1)＝2，f (23)＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ， 当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增， 则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a . 故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.思维升华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0) B ．(－5,0) C ．[－3,0) D ．(－3,0)答案 C解析 由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)， 故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得， x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0)．3．利用导数求函数的最值典例 (15分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)两小问中，由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．[3分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.[5分]综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.[6分](2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a . [7分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[9分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[13分]综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .[15分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题 第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.1．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为( )A.283 B ．6 C.263 D ．7 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的极大值为f (－2)＝283.2．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2 答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.3．(2016·温州模拟)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在 答案 A解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x且x >0.令f ′(x )>0，得x >1. 令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，f (1)＝12－ln 1＝12.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.*5.(2016·安阳模拟)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，若不等式f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( )A ．－8122 B.13 C ．2 D ．5答案 C解析 由已知可得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}可知a >0， 且－2,3是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 则由根与系数的关系知2b 3a ＝－1，c3a ＝－6，∴b ＝－3a2，c ＝－18a ，此时f (x )＝ax 3－3a 2x 2－18ax －34，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 当x ∈(－2,3)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，∴f (3)为f (x )的极小值，且f (3)＝27a －27a2－54a －34＝－115，解得a ＝2，故选C.6．(2016·奉化模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14B.13C.12 D ．1 答案 D解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18D ．17或18答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去． ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．答案 (22，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数递增．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0，解得a >22. ∴a 的取值范围是(22，＋∞)． 9．(2016·宁波模拟)已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________．答案 2解析 由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ， 可得f ′(x )＝x 2－2x －1，令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1± 2.当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，即f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，所以13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2. 10．(2016·杭州模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．答案 －4解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0.即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4. f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.11．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝x －x －x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.综上，f (x )的单调递增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间为(2,3)，f (x )的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.12．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[1e，e]上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝a x－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝a －2b ＝0，f ＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2， f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x， 当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e，∴f (x )在[1e，1)上单调递增， 在(1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12. *13.(2017·杭州调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a >0，b ∈R )．(1)设a ＝1，b ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若对任意的x >0，f (x )≥f (1)，试比较ln a 与－2b 的大小．解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x. ∵a ＝1，b ＝－1，∴f ′(x )＝2x 2－x －1x ＝x ＋x －x (x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴f (x )的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，＋∞)．(2)由题意可知，f (x )在x ＝1处取得最小值， 即x ＝1是f (x )的极值点，∴f ′(1)＝0，∴2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝1－4x x. 令g ′(x )＝0，得x ＝14. 当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， ∴g (x )≤g (14)＝1＋ln 14＝1－ln 4<0，∴g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 故ln a <－2b .。
课时跟踪检测（十四） 导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·某某模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·某某测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值X 围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·某某、某某、某某、某某调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·某某、某某、某某、某某三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值X 围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值X 围是________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值X 围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·某某中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·某某调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，某某数m 的取值X 围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值X 围是(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值X 围是(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
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函数中的应用第3课时导数与函数的综合应用教师用书文新人教版基础巩固题组(建议用时：40分钟）一、选择题1.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元,每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R（x)＝错误!则总利润最大时，年产量是( ) A.100 B。
150C.200D.300解析由题意得，总成本函数为C＝C(x）＝20 000＋100 x，总利润P（x）＝错误!又P′（x)＝错误!令P′（x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P（x)最大。
答案D2。
设f(x)是定义在R上的奇函数，且f（2)＝0,当x〉0时，有错误!〈0恒成立,则不等式x2f （x)>0的解集是( )A.(－2，0)∪(2，＋∞)B.（－2，0）∪(0,2）C。
(－∞，－2）∪(2,＋∞） D.（－∞，－2）∪（0，2）解析x>0时错误!′<0，∴φ（x）＝错误!在(0,＋∞)为减函数，又φ（2)＝0,∴当且仅当0<x<2时，φ(x）>0,此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h（x）＝x2f（x）也为奇函数。
第三章 导数及其应用第一节 导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线. (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)； (2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ； (3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算. 7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .①S ＝∫b a f (x )d x ；②S ＝－∫b a f (x )d x ；③S ＝∫c a f (x )d x －∫bc f (x )d x ； ④S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.二、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；(2)(ln|x |)′＝1x ； (3)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数(1)∫b a c d x ＝cx |b a ；(2)∫b a x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba(n ≠－1)；(3)∫b a sin x d x ＝－cos x |b a ；(4)∫b a cos x d x ＝sin x |ba ；(5)∫b a 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6)∫b a e x d x ＝e x |b a . 考点一 导数的运算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则lnx 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·宜昌联考)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2解析：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 答案：－24．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x ex ；(4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .考点二 导数的几何意义及其应用考法(一) 求切线方程[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . [答案] D考法(二) 求切点坐标[例2] 已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0)考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤－23，13D.⎣⎡⎦⎤－13，23 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. [解析] (1)由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.(2)∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ， ∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. [答案] (1)D (2)－3考法(四) 两曲线的公切线问题[例4] 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a .∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x， ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e 34＝－e －34.[答案] －e －34[题组训练]1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A.18B.14C.12D ．1 解析：选B 因为y ′＝2(x ＋1)2，所以y ′x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－1|×12＝14. 2．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值为________． 解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.答案：13．若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为________． 解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 20＝ay 0，解得a ＝2e.答案：2e考点三 定积分的运算及应用[题组训练]1. ⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.解析：⎠⎛0π (sin x －cos x )d x＝⎠⎛πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2. 答案：2 2. ⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π×22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋13．由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为____________．解析：法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤ x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫ x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB 的面积减去由y 轴，y ＝x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝12×2×3－⎠⎛01 (2－x －x )d x ＝3－⎝⎛⎭⎫2x －12x 2－23x 32⎪⎪⎪1＝3－⎝⎛⎭⎫2－12－23＝136. 答案：1364．一物体在力F (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)．答案：361．正确选用求定积分的4个常用方法 定理法 性质法 几何法 奇偶性法 2．定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[课时跟踪检测]A 级1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.4.(2019·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选C 设f ′(3)，f (3)－f (2)，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.5.(2019·玉林模拟)由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01 (x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪1＝13.6．(2018·安庆模拟)设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.7．(2018·延边期中)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线的斜率k ≥－3，所以切线的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π.8．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a2＝－1，解得a ＝2.答案：29．(2019·重庆质检)若曲线y ＝ln(x ＋a )的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋eb ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln(x ＋a )，得y ′＝1x ＋a.设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b ＝a e －2.∵b >0，∴a >2e， ∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)10．(2018·烟台期中)设函数F (x )＝ln x ＋a x (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞B 级1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 2．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈(1，2]，则⎠⎛-12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 解析：选A ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛12 (x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29C ．212D ．215解析：选C 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列， 所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8， 所以f ′(0)＝84＝212.4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 019(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3D. 3解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1，∴22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.7．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0.答案：y －3＝08．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6. 9．已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x 也相切？若存在，满足条件的 x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1(x ＞0且x ≠1)，∴f ′(x )＝1x ＋2a(x －1)2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1，∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x (x －1)2. ∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间． (2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. ∵g (x )＝ln x ，∴g ′(x )＝1x，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.①设直线l 与曲线h (x )＝e x 相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x ，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0.②由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝ x 0＋1x 0－1.下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增，又∵f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，∴结合零点存在性定理，知方程f (x )＝0在区间(e ，e 2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x 0.第二节 导数的简单应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数．f ′(x )≤0⇔f (x )在❶(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a❷，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点❸(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.f′(x 0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．第一课时导数与函数的单调性考点一求函数的单调区间1．已知函数f(x)＝x ln x，则f(x)()A．在(0，＋∞)上单调递增B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 解析：选D 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)， 当f ′(x )＞0时，解得x ＞1e，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )＜0时，解得0＜x ＜1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，故选D. 2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________． 解析：设幂函数f (x )＝x a ，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22a ，a ＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2， 则g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )， 令g ′(x )＜0，得－2＜x ＜0， 故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)． 答案：(－2,0)3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是___________________________________________________________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x ＞0(x ∈(－π，π))， 解得－π＜x ＜－π2或0＜x ＜π2，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 考点二 判断含参函数的单调性(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0， 当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0， 得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． 综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[题组训练]已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴． (1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 解：(1)g ′(x )＝1x＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴， 得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1. (2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1， 即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a＜x ＜1，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减； 若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a或0＜x ＜1， 由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0， 即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减．考点三 根据函数的单调性求参数[典例精析](1)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________．(2)若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．[解析] (1)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 答案：(1)⎣⎡⎦⎤－13，13 (2)⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)[变式发散]1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上单调递增”，则a 的取值范围为________． 解析：因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x 恒成立，又因为当 x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，则a 的取值范围为________． 解析：因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 所以h ′(x )＜0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ＞－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上不单调”，则a 的取值范围为________． 解析：因为h (x )在[1,4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1在(1,4)上有解， 令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1,4)，则－1＜m (x )＜－716.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－716. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－716[题组训练]1．(2019·渭南质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4，①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得f ′(1)·⎝⎛⎭⎫－19＝－1，即3a ＋2b ＝9.② 联立①②两式解得a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x . 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2. ∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， ∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)2．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立． 令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a ＞0， 所以0＜a ≤25或a ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) [课时跟踪检测]A 级1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝sin 2xB ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．(－∞，8]D ．[－2,4]解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x ，∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4. 4．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A ∵函数f (x ＋1)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________________．解析：由f (x )图象特征可得，在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0, 在 ⎝⎛⎭⎫12，2上f ′(x )＜0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，f ′(x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′(x )≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 7．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解． 设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ， 令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)8．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性． 解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1， ∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．B 级1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又∵f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －1x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3)4.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 6．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程；(2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性． 解：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)， 所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1. (2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x＝a ＋⎝⎛⎭⎫1x －122－14. ①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a2a＞0，且x 2＞x 1， 故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，1＋1－4a 2a 上单调递减；④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得 x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＜0， F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，＋∞上单调递减．7．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax ＋2x ，其中a ∈R. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝2－1x，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝12处取得极小值，且f ⎝⎛⎭⎫12＝1＋ln 2，无极大值． (2)由题意知，f ′(x )＝a －1x，g ′(x )＝a e ax ＋2，①当a ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，而f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，故必存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上单调递增；②当a ＝0时，f ′(x )＝－1x ＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；③当a ＜0时，f ′(x )＝a －1x ＜0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞上单调递增，若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上有相同的单调性，则有1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ＞0，解得a ＜－2. 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．第二课时 导数与函数的极值、最值 考点一 利用导数研究函数的极值考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值[例1] 已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．[解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex .①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0， 得e x ＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．[例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由． [解] f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)．令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1＜－14，x 2＞－14.由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0, 函数f (x )单调递增．。
