用解析法进行机构的运动分析

eiθ3
(**)
欧拉公式展开：
•
•
L1θ 1i (cosθ1+isinθ1)+ L2 θi(2cosθ2+isinθ2) =
•
Li(3cθo3sθ3+isinθ3)
分离虚、实部：-
•
L2θsi2nθ2 +
•
L3siθn3θ3 =
•
sLin1θ11
•
•
•
L2 θ 2cosθ2 - Lc3θos3θ3 = - cosLθ11θ 1
-ψ• j
Li
cosψ j
图b-4
E点的速度：
•
xE
=
•
xD
-ψ• j
投影：xC = xB +Licosψi = xD +Ljcosψj（*）
yC = yB +Lisinψi= yD +Ljsinψj（*）
解得：ψi 、ψj =？
图b-2
注意：ψ 有两解，根号前的“±”号与初始安装方式有关，B i C、D三副顺时针排列取“+”，逆时针排列取“-”。
②速度方程：
③加速度方程：
Ⅱ级机构是Ⅰ级机构+Ⅱ级杆组组成的，Ⅱ级杆组只 有5种基本类型。下面分别对各种杆组进行分析。
1）RRRⅡ级杆组：由2个外转动副、 1个内转动副和2个 构件组成
如图b-2所示，已知杆长Li、Lj，两个外运动副B、D的
位置（xB、yB、xD、yD），速度（
•
xB
、y•B、x•D、y•D
）和加速度
（
x 、 •• ••
、 、 •• ••
xB yB
）
。
图b-1
▲ 这种运动分析常用于求解原动件（Ⅰ级机构）、连杆
和摇杆上点的运动。
1）位置分析：



rB = rA + Li
投影：xB
=
xA+LiFra bibliotekcosψ i
yB
=
yA+Li
sinψ i
2）速度、加速度分析：
•
•
•
上式对t求导，得：xB
=
x A
-ψ i
Li
sinψ i
•
还必须给出K点和导路的运动参数
（xK、yK、x•K
、y•K、x••K、y••K、ψj、ψ• j
、ψ•• j
）。
求：内副C的运动参数（xC、
、 、 、 、 •
•
••
••
yC xC yC xC yC
）。
图b-3
①位置方程：





rC = rB +Li = rK + s + Lj
投影：xC
=
xB
+Licosψi
=
xK
+s
cosψ j
-
Ljcosψ（j **）
yC
=
yB
+Lisinψi=
yK
+s
sinψ + j
Ljsinψj（**）
消去s，解得：ψi =？
代入（**）得： xC、yC 、s =？
则滑块D点的位置方程：
xD
=
xK
+
s
cosψ j
=？
yD = yK + s sinψj =?
图b-3
xC
=
xB
+Licosψi
§3—3 用解析法进行机构的运动分析
用解析法作平面机构的运动分析的关键是建立机构位 置矢量封闭方程式。随着计算机的普及，解析法得到了越 来越广泛的采用。
常用的解析法有：矢量方程解析法、矩阵法、复数矢 量法、杆组法。
一、复数矢量法 复数矢量法是先写出机构的封闭矢量方程式，然后将
它对时间求一次和二次导数即得速度和加速度矢量方程式， 最后用复数矢量运算法求出所需的运动参数。
则C点的加速度：
••
x C ••
yC
= =
••
x B
-
ψ•• iLisinψi
-
+ ••
yB
ψ•• iLicosψi-
ψ• i2Licosψi ψ• i2Lisinψi
外副D点的加速度：
••
xD
=
••
xK
+
••
s
cosψ j
sψ•• jsinψj
-
s
•
ψ
2
cosψ
j
j
-2
••
sψ j
sinψ j
••
•
ψi2Licosψi •
ψi2Lisinψi
2）RRPⅡ级杆组：由1个外转动副、1个内转动副、 1个 外移动副和2个构件组成
如图b-3，已知：Li、Lj（Lj杆垂直导路），外转动副B
的参数（xB、yB、x•B
、y• B
、 、 •• ••
xB yB
），滑块导路方向角和计算位
移s时参考点K的位置（xK、yK），若导路运动（如导杆），
缺点：对每一个机构都要列具体方程，对于多杆机构 用起来很复杂，有时甚至方程的解解不出来，所以对复杂 机构，我们多采用杆组法。
机构中的杆可用矢量来表示，而矢量又可用复数表示。

OP
=
r
eiθ
=
r(cosθ+isinθ)（欧拉公式）
对上式求导，可用来速度分析：
(
•
re iθ
)=
(
r
•
θ
)i
e iθ
+
•
说明：
1）“±”——取决于机构的初始安装模式： “+”号适用于图示机构ABCD位置的安装方案； “-”号适用于机构ABC′D位置的安装方案。 2）θ31、θ32——取决于从动件运动的连续性：
若|θ31－θ3 | < |θ32－θ3 |（θ3为前一个位置计算出来的值） ，则取 当前的θ3=θ31，否则取θ3=θ32。
re
iθ
其中：θ• 为ω； r•对于定长矢量，为0，对于变长矢量，表 示相对移动速度。
对上式再求导，可用来加速度分析：
(
••
reiθ
)
=
-(
r
•
θ
2)
eiθ+ (
••
rθ
)i eiθ
+
•r•eiθ
+
•
(2 r
•
θ
)i e iθ
物理意义：rω2 (向心) rα(切向) ar(相对) 2ωV(哥氏加速度ak)
L4
分离虚、实部： L1cosθ1 + Lc2osθ2 = cLo3 sθ3+ L4 L1 sinθ1 + L2sinθ2 = Ls3inθ3
令a= L4－ L1 cosθ1，b= Ls1inθ1，则：
L2cosθ2= Lc3osθ3 + a (1) L2 sinθ2= L3sinθ3－b (2)
(1)2+(2) 2 得：L22=( L3cosθ3 + a)2+( Ls3inθ3－b)2
整理得方程：A sinθ3+B cosθ3+C=0 (3) 其中：A=2b L3 ，B=－2a L3 ，
C= L2 2－L12 －L32 － L42 +2 L1 L4cosθ1
A sinθ3+B cosθ3+C=0 (3) 令：t=tgθ 3 ，则：
2
cosθ3=（1－t2）/ (1+ t2) sinθ3 = 2t / (1+ t2)
3）若A2+B2-C2<0（如θ1=120°代入时），即没有θ3，说明机构不能 运动到此位置——可用来判断机构的可动范围。
+ = + L1 eiθ 1 L2 eiθ 2 L3 eiθ 3 L4 （*）
速度分析：
对（*）式求导：( L1
•
θ1
)
i
eiθ1
+
(
L2
•
θ2
)
i
eiθ2
=(
•
L3θ 3
)
i
解得：θ•2 =?
•
θ 3 =?
加速度分析：对（**）式再求导，可解得:
••
θ2
=?
••
θ 3 =?
通过上述对四杆机构进行运动分析的求解可见，用解析法作机
构运动分析的关键是位置方程的建立和求解，至于速度和加速度分
析只不过是其位置方程对时间t求一次、二次导数。
二、杆组法 一）基本思路
由机构组成原理可知，任何平面机构都可以分解为原动件、机 架和若干个杆组。因此，我们只要分别对原动件和常见的基本杆组 进行运动分析并编成相应的子程序，那么在对机构进行运动分析时， 就可以根据机构组成情况的不同，依次调用这些子程序，从而完成 对整个机构的运动分析，这就是杆组法的基本思路。
投影：xC
=
xB
-
Licosψj=
xD
+
Lksinψj
+s
cosψ （***） j
yC =
yB
-
Lisinψj =
yD -
Lkcosψj +s
sinψ j
（***）
解得：
s
、ψ j
=？
代入（***）得： xC、yC =？
导杆上E点的位置方程：
xE = xC +（Lj-s）cosψj =？ yE = yC +（Lj-s）sinψj =?
图b-4
xC