高考数学理科 复习 第四章三角函数 §4.1三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式

例1 (2011课标,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )
A.- 4
5
解析
B.- 3 C. 3 D. 4
5
5
5
解法一:由三角函数定义知,tan
θ=2,则cos
2θ=
cos2θ cos2θ
sin 2θ sin 2θ
1
=1
tan 2θ tan 2θ
(x,y),它与原点的距离为r,则sin α= y ,cos α= x ,tan α= y (x≠0).
r
r
x
2)三角函数值在各象限内的符号
记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 二、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系:tan
α=
sin α cos α
基础篇
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、三角函数的概念 1.象限角
第一象限角 的集合
第二象限角 的集合
第三象限角 的集合
第四象限角 的集合
|
2kπ
π 2
2kπ,
k
Z
α
|
2k
2
α
2k
,k
Z
α
|
2k
α
2k
3 2
,k
Z
α
|
2k
3 2
α
2k
2 , k
Z
2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=k·360+α, k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}. 3.弧长与扇形面积公式 1)弧长公式:l=|α|r;

第一节 三角函数的概念、同角三角函数 基本关系式及诱导公式A 组 专项基础测试 三年模拟精选一、选择题1．(2015·河北正定模拟)已知角α的终边经过点P (m ，4)，且cos α＝－35，则m ＝( ) A ．－3 B ．－92C.92D ．3解析 cos α＝m16＋m2＝－35， ∴m ＝－3，故选A. 答案 A2．(2015·辽宁丹东模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34C ．－34D ．±34解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，故选B. 答案 B3．(2014·吉林期中考试)已知α是第四象限角，且sin α＝－35，则tan α＝( )A.34B ．－34C.43D ．－43解析 ∵α是第四象限角，且sin α＝－35，∴cos α＝45，tan α＝－34.答案 B4．(2014·玉溪一中月考)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34C ．－34D ．－43解析 ∵α是第二象限角，∴cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，∴tan α＝4x ＝－43.答案 D5．(2014·北京模拟)若2α＋β＝π，则函数y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值为( )A ．最大值为2，最小值为12B ．最大值为2，最小值为0C ．最大值为2，最小值不存在D ．最大值为7，最小值为－5解析 ∵2α＋β＝π，∴β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α＝－cos 2α－6sin α＝－(1－2sin 2α)－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin α－322－112，∵－1≤sin α≤1，∴当sin α＝1时，函数最小值为2－6－1＝－5； 当sin α＝－1时，函数最大值为2＋6－1＝7. 答案 D 二、填空题6．(2014·苏州模拟)如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________．解析 ∵sin α＝15，且α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α ＝－1－125＝－265， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α＝265.。

2
∴sin
α= 13 ,则sin α
9
2

=-cos
α= 1
sin2α
= 2 2 3
.
(2)由 sin
α

cos
α

1 5
,
sin2α cos2α 1,
消去cos α整理,得
25sin2α-5sin α-12=0,
解得sin α= 4 或sin α=- 3 .
高考文数
第四章 三角函数
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式
知识清单
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.象限角
2.终边相同的角
3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化

1°=① 180
180
rad;1 rad=② ° .
(2)弧长及扇形面积公式 弧长公式:③ l=|α|r .
例1 已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边
在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )
A.- 4 B.- 3 C. 2 D. 3
5
5
3
4
解题导引
方法一:在角θ的终边上任取一点P,根据直线方程
设出点P的坐标 根据三角函数定义分别
求出sin θ与cos θ 利用二倍角公式求出cos 2θ
5
5


-


2
5 5


=- 3 .
5
综上可得,cos 2θ=- 3 ,故选B.
5
解法二:因为该直线的斜率k=2=tan θ,
所以cos
2θ= ccooss22θθ

３ ６ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（ 教师用书）
两边同时除以 ｃｏｓ２ α， 整理得 １６ｔａｎ２ α－２４ｔａｎ α＋９ ＝ ０，
解得
ｔａｎ
α＝
３ ４
．
解法三：设 ４ｓｉｎ α－３ｃｏｓ α ＝ ｘ，则 ｘ２ ＋２５ ＝ （４ｓｉｎ α－３ｃｏｓ α） ２ ＋（３ｓｉｎ α＋４ｃｏｓ α） ２ ＝ ２５，
（ ３） 弧长与扇形面积公式
①弧长公式：ｌ ＝ ｜ α ｜ ·ｒ；
②扇形面积公式：Ｓ ＝
１ ２
ｌ·ｒ ＝
１ ２
｜ α ｜ ｒ２．（ 其中
ｌ
为扇形弧长，
α 为圆心角，ｒ 为扇形半径）
（ ４） 任意角的三角函数的定义
①定义：设角 α 的终边与单位圆交于点 Ｐ（ ｘ，ｙ） ，则 ｓｉｎ α ＝
ｙ，ｃｏｓ
α ＝ ｘ，ｔａｎ
２ｋπ＋
π ２
－φ
＝ ｓｉｎ
φ＝
４ ５
，
故 ｔａｎ
α＝
３ ４
．
解法五：设 ｘ ＝ ｃｏｓ α，ｙ ＝ ｓｉｎ α，则有 ４ｘ＋３ｙ ＝ ５，且 ｘ２ ＋ｙ２ ＝ １，从
而角 α 终边上的点 Ｐ（ ｘ，ｙ） 在单位圆上，且在直线 ｌ：４ｘ ＋ ３ｙ ＝ ５
上．又直线 ｌ 与单位圆相切，故直线 ｌ 与角 α 的终边所在直线垂
直，所以角 α 的终边所在直线的斜率为
３ ４
，故
ｔａｎ
α＝
ｙ ｘ
＝
３ ４
．
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