第九章真空中的静电场

q
4πε0r 2
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R
高斯面
均匀带电球体电场强度分布曲线
qr
rR
场强E
4 ε 0R 3
rR
q 4 ε 0r 2
E
q 4π ε0 R 2
r
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o
R
[例]求无限长均匀带电圆柱面的电场。已知λ
（λ为沿轴线方向单位长度带电量）
解： rR
E dS
S E d S E d S E dSl
第九章 静电场
重点：
1.基本知识：电场强度，电势，高斯定理， 环路定理。
2.基本方法：微元思想，对称性分析方法。
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§1.电场 电场强度
一.电荷 库仑定律 1.电荷 ①电荷的种类：正电荷 负电荷 同号相斥 异号相吸
质子内电荷分布
中子内电荷分布
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②电荷的量子性
★电荷量（电量）：带电体所带电荷的多少。
★距离增大，场强减小。
★沿着矢量方向，垂直于球面。
q0
●
E
2/10/由2020点电荷场强公式，是否当r趋近0时，场强趋近无穷大？
3.场强叠加原理
①点电荷系电场中某点的场强 ——以三个点电荷为例
ur E
ur F
q0
uur uur uur F1 F2 F3
q0
q3
q1
uur uur uur
Φ π rR e E d S E 4 r 2 E
qi

q
4πR3
4πr3
3
3
E4πr2 ε10 qRr33
场强
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E

第9章静电场及其应用1.电荷 (1)2.库仑定律 (5)3.电场电场强度 (10)4.静电的防止与利用 (18)1.电荷一、电荷1．两种电荷：自然界只存在两种电荷，正电荷和负电荷。

2．电荷量：电荷的多少，常用Q或q表示，国际单位制单位是库仑，简称库，符号是C。

3．原子的组成原子由原子核和核外电子组成，原子核由带正电的质子和不带电的中子组成，核外电子带负电。

通常原子内正、负电荷的数量相同，故整个原子对外界表现为电中性。

4．自由电子和离子金属中原子的最外层电子往往会脱离原子核的束缚而在金属中自由运动，这种能自由运动的电子叫作自由电子，失去自由电子的原子便成为带正电的离子。

5．摩擦起电两个物体相互摩擦时，电子从一个物体转移到另一个物体，原来呈电中性的物体由于得到电子而带负电，失去电子的物体则带正电。

二、静电感应1．静电感应：当一个带电体靠近导体时，由于电荷间相互吸引或排斥，导体中的自由电荷便会趋向或远离带电体，使导体靠近带电体的一端带异种电荷，远离带电体的一端带同种电荷的现象。

2．感应起电：利用静电感应使金属导体带电的过程。

三、电荷守恒定律的两种表述1．电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。

2．一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变。

四、元电荷1．定义：实验发现的最小电荷量就是电子所带的电荷量，这个最小的电荷量叫作元电荷，用符号e表示。

2．所有带电体的电荷量都是e的整数倍，电荷量是不能连续变化的物理量。

3．元电荷的大小：e＝1.602 176 634×10－19C在计算中通常取e＝1.60×10－19 C。

4．电子的比荷：电子的电荷量e与电子的质量m e之比。

其值eme＝1.76×1011C/kg。

考点1：对感应起电的理解1．过程及现象(1)取一对用绝缘支柱支持的金属导体A、B，使它们彼此接触。

第9章 真空中的静电场9.1 两个电量都是q +的点电荷分别固定在真空中两点A B 、，相距2a 。

在它们连线的中垂线上放一个电量为q '的点电荷，q '到A B 、连线中点的距离为r 。

求q '所受的静电力，并讨论q '在A B 、连线的中垂线上哪一点受力最大？若q '在A B 、的中垂线上某一位置由静止释放，它将如何运动？分别就q '与q 同号和异号两种情况进行讨论。

解：()1222014qq F F a r πε'==+ ()1322022cos 2qq rF F arθπε'==+方向沿两点电荷连线垂直线远离它们方向。

令0dFdr= ()()()1222223220202a r a r dF qq dr a r πε⎡⎤+-'⎢⎥==⎢⎥+⎢⎥⎣⎦()2220a r -=r = 在q '为正电荷时，在中垂线某位置由静止释放时，q '将沿中垂线远离，作变加速速直线运动；若q '为负电荷，q '以AB 连线的中点为平衡位置作振动；若释放点为AB 连线中点，静止释放时，无论q '为正、负电荷均因受力为0而不运动。

9.2 在正方形的顶点上各放一个点电荷q 。

（1）证明放在正方形中心的任意点电荷受力为零。

（2）若在正方形中心放一个点电荷q '，使得顶点上每个点电荷受到的合力恰好为零，求q'与q的关系。

解：⑴设正方形边长为a，正方形上各点电荷对中心放置的点电荷的作用力大小均为：220011422qq qqFaaπεπε''==⎛⎫⎪⎝⎭q'所受到的四个力大小相等且对称，两相对顶点上的点电荷为一对平衡力，即q'受力为0。

⑵设正方形四个顶点上放置的点电荷q为正电荷，由于对称性，则可选一个顶点处理，其它点电荷对其的作用力大小为：1214qqFaπε=22142qqFaπε=32200112442qq qqFaaπεπε''==⎛⎫⎪⎝⎭各力的方向如图所示，要满足题意，中心点电荷q'应为负电荷。

Qq 1 F er 2 40 r
则点电荷Q在P点的电场强度 为
P F r q E
q ：检验电荷
＋Q：场源电荷
F Q 1 E e 2 r q 40 r
：＋Q指向P 点的单位矢量。
er
6
9.2 电场强度
第九章 静电场
二、点电荷的电场强度计算
Q Q 1 1 r E e 3 2 r 40 r 40 r
x
1 dl er 2 4π 0 r
17
z
问题：如何积分？注意这是矢量积分。
9.2 电场强度
第九章 静电场
方法：利用均匀带电体产生的电场具有对称性，将矢量 积分转为非矢量积分。 解：电荷元dq的对P 点处的电场强度为
dq
1 dq dE e 2 r 4 0 r
与dq对称的电荷元dq′ 对P点处的电场强度为
q
dl
er
r
P
dE
16
9.2 电场强度
第九章 静电场
例9-4：一均匀带电细圆环半径为R，带电量为q，求： 圆环轴线上一点P处的场强。 分析：将带电细圆环微分，每一微元dl带电量为dq，其 在轴线上一点P处的场强分布特点？
q R
y dq dl r
o
q ( ) 2π R
x
P
dE
1
1
就电场中一点而言， q0所受的电场力F与q0的大 小有关；但F与q0的比值， 则与q0无关，为一不变的矢 量。
A
+q
D
E4
+q E3 C F3
+Q
－q F4 +q F2 B E2
5
9.2 电场强度