八年级数学下册《构造中位线》5种常用方法一：连接两点构造三角形的中位线1．如图，点B为A C上一点，分别以A B，B C为边在A C同侧作等边三角形A B D和等边三角形B C E，点P，M，N分别为A C，A D，C E的中点．(1)求证：P M＝P N；解：证明：如图，连接C D，A E.由三角形中位线定理可得P M綊1/2C D，P N綊1/2A E.∵△A B D和△B C E是等边三角形，∴A B＝D B，B E＝B C，∠A B D＝∠C B E＝60°，∴∠A B E＝∠D B C.∴△A B E≌△D B C，∴A E＝D C.∴P M＝P N.(2)求∠M P N的度数．解：如图，设P M交A E于F，P N交C D于G，A E交C D于H.由(1)知△A B E≌△D B C，∴∠B A E＝∠B D C.∴∠A H D＝∠A B D＝60°，∴∠F H G＝120°.易证四边形P F H G为平行四边形，∴∠M P N＝120°.二：利用角平分线＋垂直构造中位线2．如图在△A B C中，点M为B C的中点，A D为△A B C的外角平分线，且A D⊥B D，若A B＝12，A C＝18，求D M的长．解：如图，延长B D，C A交于N.在△A N D和△A B D中，∠A D N＝∠A D B＝90°，∴△A N D≌△A B D(A S A)．∴D N＝D B，A N＝A B.∴D M＝1/2N C＝1/2(A N＋A C)＝1/2(A B＋A C)＝15.3．如图，在△A B C中，已知A B＝6，A C＝10，A D平分∠B A C，B D⊥A D于点D，点E为B C的中点，求D E的长．解：如图，延长B D交A C于点F，∵A D平分∠B A C，∴∠B A D＝∠C A D.∵B D⊥A D，∴∠A D B＝∠A D F，又∵A D＝A D，∴△A D B≌△A D F(A S A)．∴A F＝A B＝6，B D＝F D.∵A C＝10，∴C F＝A C－A F＝10－6＝4.∵E为B C的中点，∴D E是△B C F的中位线．∴D E＝1/2C F＝1/2×4＝2.三：倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△A B C中，∠A B C＝90°，B A＝B C，△B E F为等腰直角三角形，∠B E F＝90°，M为A F的中点，求证：M E＝1/2C F.解：证明：如图，延长F E至N，使E N＝E F，连接B N，A N.易得M E＝1/2A N.∵E F＝E N，∠B E F＝90°，∴B E垂直平分F N.∴B F＝B N.∴∠B N F＝∠B F N.∵△B E F为等腰直角三角形，∠B E F＝90°，∴∠B F N＝45°.∴∠B N F＝45°，∴∠F B N＝90°，即∠F B A＋∠A B N＝90°.又∵∠F B A＋∠C B F＝90°，∴∠C B F＝∠A B N.在△B C F和△B A N中,B C＝B A∴△B C F≌△B A N.∴C F＝A N.∴M E＝1/2A N＝1/2C F.四：已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5．如图，在四边形A B C D中，M、N分别是A D、B C的中点，若A B ＝10，C D＝8，求M N长度的取值范围．解：如图，取B D的中点P，连接P M，P N.解：证明：如图，取A B的中点H，连接M H，N H，则M H＝1/2B F，N H＝1/2A E.解：证明：如图，取N C的中点H，连接D H，过点H作H E∥A D，交B N的延长线于E.∵A B＝A C，A D⊥B C，∴D为B C的中点．又∵H为N C的中点，∴D H∥B N.又∵P D∥E H，∴四边形P D H E是平行四边形．∴H E＝P D.又∵P为A D的中点，∴A P＝P D.∴A P＝E H，易证△A P N≌△H E N，∴A N＝N H.∴A N＝N H＝H C，∴A N=1/2A C.。
、定理1.三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。
2.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。
（微课精讲）三角形中的三条重要线段：中线、角平分线、高线概念中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
如图，AD是边BC上的中线，BE是边AC上的中线，CF是边AB上的中线三条中线交于点O，点O称为△A BC的重心角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，三角形三条角平分线交于点O点O称为△ABC的内心高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB三角形三条高线交于点O点O称为△ABC的垂心以上是我们在初一时所学的三角形三条重要线段，今天，我们将学习三角形中第四条重要的线段——中位线（知识点精讲)中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
如图，E、F分别是三角形AB、AC边上的中点，所以，EF是三角形BC 边所对的中位线，则EF∥BC且EF=1/2BC三角形的中位线衍生出很多重要的图形，其中最重要的就是中点四边形（微课堂精讲）中点四边形任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形称为——中点四边形中点四边形一定是平行四边形证明：连接AC因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF平行且等于AC的一半同理，GH平行且等于AC的一半因此，EF∥HG，EF=HG所以，四边形EFGH是平行四边形思考：四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？矩形？正方形？三角形中位线的解题策略三角形的中位线定理，既有线段的位置关系，又有线段的数量关系，它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。
