八年级数学培优―09三角形的中位线

三角形中位线定理及推论一、中位线定理中位线是指连接三角形一个顶点与对边中点的线段。

三角形中位线定理是指在一个三角形中，三条中位线交于一点，且这个交点与三个顶点的距离相等。

我们先来证明中位线交于一点这一结论。

假设ABC为一个三角形，AD是BC中点连线，BE是AC中点连线，CF 是AB中点连线。

我们可以得到△ADC和△BCD是全等三角形。

根据全等三角形的性质，我们可以得到∠ADC=∠CBD，∠ACD=∠BCD，且AD=BD。

同理，我们可以得到△AEB和△CEB是全等三角形，∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，且AE=BE。

因为∠ADC=∠CBD，∠ACD=∠BCD，所以∠ADC+∠ACD=∠CBD+∠BCD，即∠ADC+∠ACD=180°。

同理，∠AEB+∠ABE=180°。

我们可以得到∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE=∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE+∠BCD+∠CBE。

而∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE+∠BCD+∠CBE=360°。

所以∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE+∠BCD+∠CBE=360°。

而∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE=360°。

所以∠BCD+∠CBE=0°。

由于∠BCD+∠CBE=0°，所以∠BCD=0°，∠CBE=0°。

因此，BD和CE是平行线。

根据平行线的性质，我们可以得到三角形BDF和三角形CEG是全等三角形，∠BFD=∠CGE，∠BDF=∠CEG，且BD=CE。

所以，我们可以得到BF=CG。

因此，在三角形ABC中，三条中位线AD、BE、CF交于一点G，且这个交点与三个顶点的距离相等。

二、中位线推论1. 三角形中位线推论一：中位线长度在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的中位线的长度等于对边的一半。

假设ABC为一个三角形，AD是BC中点连线。

我们已经证明了AD和BC是平行线，且AD=BD。

八年级数学期末复习三角形中位线定理证明线段的相等或倍分
关系
知识点清单【三角形中位线定理】
【定义】
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
【定理】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【作用】位置关系：可以证明两条直线平行；
数量关系：可以证明线段的相等或倍分关系.
例题
【张老师解析】
首先作出辅助线，连接DB，延长DA到F，使AD=AF，连接FC．根据三角形中位线定理可得AE=½CF，再利用勾股定理求出BD 的长，然后证明可得到△FDC≌△BCD，从而得到FC=DB，进而得到答案．
具体解题过程：
【张老师小结】
三角形中位线定理：在同一个题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的.
在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行关系，有时需要倍分关系，可以根据具体情况按需选用。

三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（优质试题•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．HF EDCBA【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC各边中点，∴DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF，∵AH是△ABC的高∴△ABH、△ACH是直角三角形，∵点D、点F是斜边AB、AC中点，∴DH=DA，HF=AF，∴∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA ，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA ，即∠DAF=∠DHF ，∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD 中，Q 是CD 上的一定点，P 是BC 上的一动点，E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点；当点P 在BC 边上移动的过程中，线段EF 的长度将( )．A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定【答案】B；解：连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，∴线段EF的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF∵点E为BC中点∴EH为△ABC的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD＝2，BC＝4，求四边形EFGH的面积．【思路点拨】 （1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD 入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积．【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ， 在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF＝FG ＝GH ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形．设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形．（2）连接EG ．在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点，∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3． 在Rt△EHG 中， ∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ，∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口． 举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD 和AC ，当BD 、AC 满足何条件时，四边形EFGH 是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形．理由：连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝12 AC，同理，HG∥AC，且HG＝12 AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当BD＝AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形．理由：连接AC，BD，∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝12AC，EH＝FG＝12BD，EH∥BD，GH∥AC，∵BD＝AC，BD⊥AC，∴EH＝EF＝FG＝GH，EH⊥GH，∴四边形ABCD是菱形，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．。

《三角形的中位线》知识清单一、三角形中位线的定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

需要注意的是，一个三角形共有三条中位线。

二、三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

这个定理是解决与三角形中位线相关问题的重要依据。

为了更好地理解这个定理，我们可以通过以下方式来证明：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE。

延长 DE 到点 F，使得 EF ＝ DE，连接 CF。

因为 AE ＝ EC，∠AED ＝∠CEF，DE ＝ EF，所以△ADE ≌△CFE（SAS）所以 AD ＝ CF，∠ADE ＝∠F所以 AB ／／ CF又因为 AD ＝ BD所以 BD ＝ CF所以四边形 BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）所以 DF ／／ BC，DF ＝ BC因为 DE ＝ 1/2 DF所以 DE ／／ BC，DE ＝ 1/2 BC通过以上证明，我们得出了三角形中位线定理。

三、三角形中位线定理的应用1、证明线段平行如果已知一条线段是三角形的中位线，那么可以直接得出这条线段与三角形的第三边平行。

例如，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE，则DE ／／ BC。

2、证明线段的数量关系可以利用中位线等于第三边的一半来证明线段之间的倍数关系。

比如，已知△ABC 中，DE 是中位线，那么 DE ＝ 1/2 BC。

3、计算线段的长度在一些几何计算题中，如果能找到三角形的中位线，就可以利用中位线定理求出相关线段的长度。

例如，在△ABC 中，AB ＝ 10，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么 DE ＝ 5。

4、求图形的面积通过中位线与底边的关系，可以求出相关三角形的面积比。

假设△ABC 中，DE 是中位线，△ADE 的面积为 S1，△ABC 的面积为 S2。

因为 DE ／／ BC，所以△ADE ∽△ABC，相似比为 1 ： 2。

三角形的中位线1. 引言在几何学中，三角形是最基本的形状之一。

它由三条边和三个顶点组成。

在研究三角形的性质时，有一条特殊的线段叫做中位线，它连接三角形的一个顶点和对边中点。

本文将介绍三角形的中位线的定义、性质和应用。

2. 定义三角形的中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。

对于三角形ABC，以顶点A为例，其中位线是连接顶点A和对边BC中点的线段AD。

3. 性质三角形的中位线有以下几个重要的性质：3.1. 中点中位线的一个重要特点是它的中点。

对于三角形ABC来说，中位线AD的中点是线段BC的中点。

这意味着中位线将三角形分为两个面积相等的小三角形。

3.2. 长度在一个三角形中，三个中位线的长度是相等的。

对于三角形ABC来说，中位线AD的长度等于中位线BE和CF的长度。

3.3. 平行性三角形的三条中位线互相平行。

也就是说，对于三角形ABC来说，中位线AD 和中位线BE是平行的，中位线BE和中位线CF是平行的，中位线CF和中位线AD是平行的。

3.4. 相交点三角形的三条中位线相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。

重心是三角形内部的一个点，它从三个顶点到对边的距离之和最小。

3.5. 面积三角形的三条中位线将三角形分成六个小三角形。

这六个小三角形的面积之和等于三角形的面积。

4. 应用三角形的中位线在几何学和实际应用中有一些重要的应用：4.1. 三角形面积通过利用三角形的中位线，可以更方便地计算三角形的面积。

由于三条中位线将三角形分成六个小三角形，我们可以根据这些小三角形的面积相加来得到整个三角形的面积。

4.2. 构造平行线利用三角形的中位线平行性，我们可以构造出一对平行线。

例如，如果我们在三角形ABC的中位线AD上取一个点E，并将DE延长到与BC相交于点F，那么线段EF就与AB平行。

4.3. 定位三角形重心通过绘制三角形的中位线，我们可以定位三角形的重心。

重心是三角形内部的一个点，通过中位线的相交点可以轻松确定。

三角形中位线定理及推论一、三角形中位线定理三角形中位线定理是指在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段称为中位线，三条中位线交于一点，且该点与三个顶点的距离相等。

具体表述为：三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等。

以三角形ABC为例，连接顶点A与边BC的中点D，顶点B与边AC 的中点E，顶点C与边AB的中点F，根据中位线定理可知，中位线AD、BE和CF三条线段交于一点G，并且AG=BG=CG。

中位线定理的证明可以通过向量法或平面几何法进行，这里我们选择平面几何法证明。

证明思路如下：1. 连接顶点A与边BC的中点D，假设点G是中位线AD与中位线BE 的交点；2. 连接顶点B与边AC的中点E；3. 通过顶点C以平行于边AB的直线与中位线AD交于点H；4. 由平行线的性质可知，AH=CH；5. 进一步，由三角形的对应边成比例可得：AH/AD=CH/CF；6. 由于AH=CH，所以AD=CF；7. 同样地，由中位线定理可得：BE=CF；8. 综上所述，AD=BE=CF，即证明了中位线定理。

二、三角形中位线推论基于中位线定理，我们可以得出一些有关三角形的推论。

1. 三角形中位线长度关系推论根据中位线定理，三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等，即AG=BG=CG。

由此可得，中位线上的点距离顶点的距离是相等的。

进一步推论，三角形中位线的长度满足以下关系：AG=2GD，BG=2GE，CG=2GF。

2. 三角形中位线与三角形面积推论由三角形中位线定理可知，三条中位线交于一点G。

以G为顶点，三边中点分别为D、E、F，连接DG、EG和FG。

我们可以发现，连接G与三角形顶点的线段将三角形分成了六个小三角形，而这些小三角形的面积相等。

因此，我们可以推论得到：三角形中位线所分割的三个小三角形的面积相等。

3. 三角形中位线与三角形高度推论在三角形中，如果我们将中位线作为底边，那么与之对应的高度就是顶点到底边中点的距离。

三角形中位线判定方法三角形中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段，每个三角形都有三条中位线，它们交于一个点，这个点被称为三角形的重心。

在三角形的几何学中，中位线有着重要的作用，不仅可以帮助我们判断三角形的性质，还可以应用到解题中。

下面我们将介绍三角形中位线的判定方法。

首先，我们来看一下中位线的定义和性质。

在三角形ABC中，连接顶点A和对边BC的中点D的线段AD就是三角形的中位线。

同样地，连接顶点B和对边AC的中点E的线段BE，以及连接顶点C和对边AB的中点F的线段CF也分别是三角形的中位线。

这三条中位线交于一个点G，这个点就是三角形的重心。

重心到每个顶点的距离等于中位线的长度的一半。

另外，重心将每条中位线分成2:1的比例。

这些性质对于我们判定三角形中位线很有帮助。

接下来，我们将介绍三角形中位线的判定方法。

首先，我们要知道，如果三角形的三条中位线相等，那么这个三角形是等边三角形；如果三条中位线相交于一个点，那么这个三角形是等腰三角形；如果三条中位线相互平行，那么这个三角形是直角三角形。

根据这些性质，我们可以利用中位线来判定三角形的性质。

其次，我们可以利用中位线的长度来判定三角形的大小。

如果一个三角形的中位线长度相等，那么这个三角形是等腰三角形；如果一个三角形的中位线长度满足某种关系式，那么我们可以根据这个关系式来判断三角形的性质。

比如，如果一个三角形的中位线满足a^2 + b^2 = 5c^2，那么这个三角形是直角三角形。

通过中位线的长度，我们可以更加准确地判定三角形的性质。

最后，我们可以利用中位线的交点来判定三角形的性质。

如果三角形的三条中位线相交于一个点，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形的中位线交点与重心重合，那么这个三角形是等边三角形。

通过中位线的交点，我们可以更加直观地判断三角形的性质。

总之，三角形中位线是三角形的重要性质之一，我们可以利用中位线来判定三角形的性质、大小和形状。

初中数学什么是三角形的中位线定理三角形的中位线定理是指在一个三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段被称为中位线。

中位线将三角形分割为两个等面积的小三角形，并且中位线的长度等于对边的一半。

设三角形ABC的顶点为A，对边BC的中点为D，连接AD。

根据中位线定理，有以下结论：1. 中位线AD平分对边BC，并且AD = 1/2 * BC。

2. 中位线AD将三角形ABC分割为两个等面积的小三角形，即△ABD和△ACD的面积相等。

证明中位线定理的方法有多种，下面介绍一种简单的方法：首先，连接两个中位线BD和CE。

根据中位线的定义，BD和CE分别是AC和AB的中点。

由于BD平行于AC，根据平行线性质，△ABC和△BDC是相似的。

同样地，△ABC和△CEA也是相似的。

根据相似三角形的性质，相似三角形的边长成比例。

因此，我们可以得到以下比例关系：AB/BD = AC/CDAC/CE = AB/BE由于BD和CE都是对边的中点，所以BD = CE。

将这个等式代入上述比例关系中，得到：AB/BD = AC/CD --> AB/CE = AC/CD根据等式的传递性，我们可以得到：AB/CE = AC/CD这意味着△ABE和△ACD的边长成比例，根据边比例定理，它们是相似的。

接下来，我们证明△ABD和△ACD的面积相等。

由于BD和CE是对边的中点，所以它们的长度相等，即BD = CE。

这意味着△ABD和△ACD的底边相等。

同时，根据中位线定理，AD = 1/2 * BC，所以△ABD和△ACD的高度也相等。

因此，△ABD和△ACD的底边和高度都相等，根据三角形的面积公式S = 1/2 * 底边* 高度，它们的面积相等。

综上所述，中位线定理成立：连接一个顶点和对边中点的线段是对边的一半，并且将三角形分割为两个等面积的小三角形。

初中数学知识点归纳之三角形中
位线
1.三角形中线:连接三角形两边中点的线段称为三角形中线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的'一半。

提示：
(1)一个三角形有三条中线，它们又组成一个新的三角形。

每条中线都与第三条边有对应的位置关系和数量关系。

（三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系）；
(2)三角形中的中线和三角形的中线不同，要用各自的定义来区分。

3、三角形中位线定理的作用：
位置关系:可以证明两条直线平行。

数量关系:可以证明线段的加倍关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1:三条中线组成一个三角形，其周长是原三角形的一半。

结论二:三条中线把原来的三角形分成四个全等的三角形。

结论三:三条中线把原来的三角形分成三个面积相等的平行四边形。

结论4:三角形的一条中线和与之相交的中线等分。

结论五:三角形中任意两条中线之间的夹角等于这个夹角所对应的三角形的顶角。

三角形的中位线知识、方法总结
三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。

一个三角形有三条中位线，这个定义有双重性，既是性质，也是判定。

需要注意的是，三角形中位线与中线是不同的，中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，而中位线是连接三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的线段。

三角形中位线定理表明，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

这个定理可以用来证明平行关系、倍分关系，以及转移线段和转移角。

常用的辅助线是连接中点和构造中位线，可以分离基本图形，如全等和平行四边形。

可以用两种证明方法证明三角形中位线定理。

第一种方法是延长中位线，构造一个全等三角形，证明出两边平行，从而得出结论。

第二种方法是连接四边形的对角线，证明出中点四边形是平行四边形，从而得出结论。

中点三角形是由原三角形的三边中点顺次连接而成的新三角形。

中点三角形的各个边长分别是原三角形三边长的一半，
且分别平行，角的度数与原三角形分别相等。

四个三角形都全等，中点三角形周长是原三角形的周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。

中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。

中点四边形是由任意四边形各边中点顺次连接而成的四边形。

不管原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

可以连接对角线，构造中位线，证明出中点四边形是平行四边形。

第9讲三角形的中位线知识导航1.连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半；3.一个三角形有三条中位线.【板块一】运用中位线的性质计算与证明方法技巧三角形的中位线平行且等于第三边的一半，给出了中位线与第三边的位置关系和数量关系，为证明两线平行，探求两线段的数量关系提供了依据.题型一利用中位线的性质计算与证明【例1】如图，△ABC中，12AB=，8AC=，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为_______.【例2】如图，点E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且CE DC=，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.(1)求证：△ABF≌△ECF；(2)求证：2=.AB OF针对练习11.如图，□ABCD的周长为8，对角线AC，BD交于点M，延长AB到点E，使BE BC=，BN⊥EC于点N，连接MN，求MN的长.2.如图，O 为△ABC 两条中线BF 与CD 的交点，求证：12OD OC =，12OF BO =.【板块二】 构造中位线的方法与技巧方法技巧构造中位线的方法与技巧有：连中点构造中位线，取中点构造中位线，角平分线与垂线组合构造中位线，倍长线段构造中位线，连接第三边构造中位线.题型二 连中点构造中位线【例1】如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，90ACB DCE ︒∠=∠=，点D ，C ，B 在同一条直线上，点F ，G ，M 分别为AD ，BE ，AB 的中点.(1)求FGM ∠的度数；(2)求FG BD的值.题型三 取中点构造中位线方法技巧三角形的一条边上有中点，可以取另一边的中点，然后连接这两个中点，构造三角形的中位线.【例2】如图1，在△ACB 中，CA CB =，90ACB ︒∠=，点E 在AC 上，EF ⊥AC 交AB 于点F ，连接BE ，D 为AF 的中点，M 为BE 的中点.(1)判断CM 与CD 之间的数量关系，并加以证明；(2)将△AEF 绕点A 旋转任意一锐角，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请加以证明.题型四 角平分线＋垂线→构造中位线方法技巧角平分线＋垂线，通过延长直角边，可以补全成等腰三角形，形成一边上有中点的情形，与另外的边的中点连线可得到中位线.【例3】(2017徐州改)如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别为AB ，AC 的中点，点F 在DE 上，且AF ⊥BF .(1)求证：ABF CBF ∠=∠；(2)若5AB =，8BC =，求EF 的长.【例4】如图，BD ,CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，AG ⊥CE 于点G ，连接FG . 求证：(1)FG ∥BC ； (2) ()12FG AB BC AC =++.【例5】已知点M 为△ABC 的边BC 的中点，12AB =，18AC =，BD ⊥AD 于点D ，连接DM .(1)如图1，若AD 为△ABC 的角平分线，延长BD 交AC 于点E .①求证：BD DE =；②求MD 的长；(2) 如图2，若AD 为△ABC 的外角平分线，则_______MD =.【例6】如图，在△ABC 中，90ACB ︒∠=，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM ，BN 分别交于P ，Q 两点，PM ，QN 的中点分别为E ，F .求证：EF ∥AB .【例7】如图，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，90ACB CDE ︒∠=∠=，点E 在AC上，M 为BE 的中点.求证：2AE DM =.题型五 倍长线段构造中位线【例8】如图，点P 为△ABC 的边BC 的中点，分别以AB ,AC 为斜边作Rt △ABD 和Rt △ACE ，且BAD CAE ∠=∠.求证：PD PE =.题型六 连接第三边构造中位线方法技巧若图形中存在共顶点的两边上都有中点，可以连接第三边，构造中位线. 【例9】如图，在□ABCD 中，120C ︒∠=，2AB =，4AD =，点H ，G 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AH ，HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF .则EF 的最大值与最小值的差为（ ）A ．1 B.31- C.32D.23-【例10】如图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.【例11】如图，点B 为线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边AC 的同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点.(1)求证：PM PN =；(2)求MPN ∠的度数.针对练习21.(课本62页第16题改编)如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为BAC ∠的平分线，BD ⊥AD 于点D .(1)求证：()12DM AC AB =-； (2)若6AD =，8BD =，2D M =，求AC 的长.2.如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别平分ABC ∠，ACB ∠，AG ⊥BE ，AH ⊥CF ，G ，H 为垂足，求证：GH ∥BC .3.如图，点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：EG 与HF 互相平分.4.如图，BF 是△ABC 的角平分线，AM ⊥BF 于点M ，CE 平分△ABC 的外角，AN ⊥CE 于点N .(1)求证：MN ∥BC ；(2)若AB c =，AC b =，BC a =，求MN 的长.【板块三】 中位线与动态探究题型七 中位线与路径问题方法技巧中位线的动态图求值，先分别选取运动点的起点，中间某一特殊点，终止点这些特殊位置对应的点，然后由特殊到一般猜想估计运动点的情形，最后验证.【例1】如图，在△ABC 中，90B ︒∠=，60BAC ︒∠=，1AB =，若点E 为BC 上一动点，以AE 为边在AE 右侧作等边△AEF ，连接CF ，点G 为线段CF 的中点，若点E 从点B 出发，沿着BC 方向运动到点C ，则在此过程中，点G 运动的路径长为_________.【例2】如图，()2,0A ，()0,2B ，点P 在线段OA 上运动，BP ⊥PM ，BP PM =，C 为x轴负半轴上一定点，连接CM ，N 为CM 的中点，当点P 从点O 运动至点A 时，点N 运动的路径长为________.针对练习3 .1.如图，已知AB =10，P 是线段AB 上的动点，分别以AP ,PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 和等边△PDB ，连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,求点G移动的路径长。

三角形的中位线在我们的数学世界中，三角形是一个非常基础且重要的图形。

而在三角形众多的特性和线段中，三角形的中位线有着独特的地位和重要的性质。

首先，让我们来明确一下什么是三角形的中位线。

连接三角形两边中点的线段就叫做三角形的中位线。

比如说，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AC 的中点，那么线段 DE 就是三角形 ABC 的一条中位线。

三角形的中位线有着一些非常有趣且实用的性质。

其中最重要的一点就是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

这可不仅仅是一个简单的结论，它在解决很多与三角形相关的几何问题时，都能发挥巨大的作用。

为了更好地理解这个性质，我们不妨来做一个小小的证明。

假设三角形 ABC 中，DE 是中位线。

延长 DE 到点 F，使得 EF ＝ DE，连接CF。

因为点 E 是 AC 的中点，所以 AE ＝ CE。

又因为∠AED ＝∠CEF（对顶角相等），DE ＝ EF，所以根据三角形全等的判定定理（SAS），可以得出三角形 ADE 全等于三角形 CFE。

这样一来，AD＝ CF，∠ADE ＝∠CFE，所以 AB 平行于 CF。

又因为 AD ＝ BD，AD ＝ CF，所以 BD ＝ CF，且 BD 平行于 CF。

所以四边形 BCFD 是平行四边形。

因此，DF 平行于 BC 且 DF ＝ BC。

而 DE 是 DF 的一半，所以 DE 平行于 BC 且 DE ＝ 1/2 BC。

有了这个性质，我们就能够轻松解决很多问题。

比如说，如果我们知道了一个三角形的中位线的长度，就可以很容易地求出第三边的长度；反过来，如果知道了第三边的长度，也能快速算出中位线的长度。

在实际的应用中，三角形中位线的性质也经常出现。

比如在建筑设计中，工程师们需要计算各种结构的尺寸和稳定性，三角形中位线的知识就能帮助他们更准确地进行计算和规划。

在测量领域，当我们无法直接测量某条边的长度时，通过测量中位线的长度，再利用中位线的性质，就能间接得出我们想要的边长。

八年级数学三角形中位线培优专题训练一、内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

二、例题例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。

求证：PM ＝PN证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形∴AE ＝EB＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，根据三角形中位线性质 PE ＝21AC ＝NF ，PF ＝21AB ＝MEPE ∥AC ，PF ∥AB∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求MN 的长。

分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。

辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略 例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PNP NMP ∥AB ，MP ＝21AB ，NP ∥AC ，NP ＝21AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP∴∠3=∠4=2MPN-180∠∠MPN ＋∠BAC ＝180（两边分平行的两个角相等或互补）∴∠1=∠2=2MPN-180∠ ， ∠2=∠3∴NP ∥AC ∴MN ∥AD证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180∠CAD ＝21（180－∠FCG ） ∠CFG ＝21（180－∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD 例4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE交CB 的延长线于G 求证：FD ＝41CG 证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E 是GH 的中点过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝21GC由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝41GC三、练习1. 如图11，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上 的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于B 、E 、C 的BC 上的任意一点，△DPH 为等边三角形.连接FH ，则EP 与FH 的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP<FH D.不确定4. 如图14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交AB 于E ,若AB=5，则DE 的长为 .C5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26 图27。

三角形的中位线与中心线一、三角形的中位线1.定义：三角形的中位线是从三角形的一个顶点出发，在对面的边上找到中点，然后连接这个中点和顶点的线段。

(1)三角形的中位线平行于第三边。

(2)三角形的中位线等于第三边的一半。

(3)三角形的中位线将对边的夹角平分。

二、三角形的中心线1.定义：三角形的中心线是从三角形的某个顶点出发，延长到对边上的点，使得这个点到三角形其他两个顶点的距离相等。

(1)三角形的中心线将对边的夹角平分。

(2)三角形的中心线将对边的中点连接起来，形成的线段是三角形的中位线。

(3)三角形的三条中心线相交于一点，称为三角形的心。

1.在等边三角形中，中位线和中心线重合，都是三角形的角平分线、中线和高线。

2.在一般三角形中，中位线是中心线的一部分，中心线是延长的中位线。

四、三角形的中位线与中心线在实际应用中的意义1.在建筑设计中，通过测量三角形的中位线和中心线，可以判断建筑物的结构是否稳定。

2.在工程测量中，利用三角形的中位线和中心线可以简化计算，提高测量精度。

3.在解决几何问题时，运用三角形的中位线和中心线可以简化问题，找到解决问题的突破口。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC上的中点，求证：DE平行于BC，且DE等于BC的一半。

答案：根据三角形的中位线性质，D、E分别是边AB、BC的中点，所以DE平行于BC，且DE等于BC的一半。

2.习题：在三角形ABC中，M是边AC上的中点，求证：BM平行于AC。

答案：延长BM到N，使得MN=BM。

由于M是AC的中点，所以AN=NC。

根据等腰三角形的性质，AN平行于BC，且AN=BC。

又因为DE平行于BC，所以DE平行于AN。

又因为DE=BC，所以MN平行于AC，且MN=AC。

根据平行线的性质，BM平行于AC。

3.习题：在等边三角形DEF中，G是边DE的中点，求证：FG平行于DE。

答案：由于DEF是等边三角形，所以DE平行于DF。

三角形中位线在我们学习三角形的众多知识中，三角形中位线是一个非常重要且有趣的概念。

它看似简单，却蕴含着丰富的几何性质和实用价值。

首先，咱们来弄清楚啥是三角形中位线。

三角形中位线，就是连接三角形两边中点的线段。

比如说，在三角形 ABC 中，D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，那么线段 DE 就是三角形 ABC 的一条中位线。

三角形中位线有几个特别重要的性质。

其中一个关键性质就是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

这可太有用啦！为啥这么说呢？咱们来想想，如果我们知道了一条中位线的长度，那就能马上算出与之平行的那条边的长度。

反过来，如果我们知道了第三边的长度，也能迅速得出中位线的长度。

比如说，在三角形 ABC 中，DE 是中位线，BC ＝ 10 厘米。

因为中位线等于第三边的一半，所以 DE 的长度就是 5 厘米。

又或者，已知中位线 DE 长 6 厘米，那 BC 的长度就是 12 厘米。

那这个性质是咋证明出来的呢？咱们可以通过构造平行四边形来证明。

连接三角形的一个顶点和中位线的一个端点，比如说连接 CE 。

因为 D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，所以 AD ＝ BD ，AE ＝ CE 。

这样一来，四边形 BCED 就是一个平行四边形，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，就可以得出 DE 平行于 BC 且 DE ＝ 1/2 BC 。

三角形中位线的这些性质在解决很多几何问题中都能派上大用场。

比如在求三角形的边长、角度，或者证明线段之间的关系时，中位线往往能成为解题的关键线索。

咱们来看个实际的例子。

有一个三角形的田地，三边长度分别是 12 米、16 米和 20 米。

现在要在这块田地上修一条平行于最长边的小路，并且这条小路恰好是中位线。

那这条小路的长度是多少呢？因为 20 米是最长边，所以与之平行的中位线连接的是另外两条边的中点。

根据中位线的性质，中位线等于第三边的一半，所以这条中位线的长度就是 10 米。

初二数学专项三角形的中位线与性质初二数学专项：三角形的中位线与性质在初二数学的学习中，三角形的中位线及其性质是一个重要的知识点。

它不仅在解决几何问题时经常用到，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象能力也具有重要意义。

首先，让我们来了解一下什么是三角形的中位线。

三角形的中位线，是连接三角形两边中点的线段。

一个三角形有三条中位线。

那么，三角形中位线具有哪些性质呢？性质一：三角形的中位线平行于第三边。

这意味着中位线与第三边没有交点，并且它们的方向相同。

性质二：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。

为了更好地理解这些性质，我们来看几个具体的例子。

假设我们有一个三角形 ABC，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么DE 就是三角形 ABC 的一条中位线。

由于中位线 DE 平行于 BC，并且DE 的长度是 BC 长度的一半。

如果我们知道 BC 的长度为 10 厘米，那么根据中位线的性质，DE的长度就是 5 厘米。

再比如，在一个三角形中，如果中位线的长度为 6 厘米，那么与之平行的第三边的长度就是 12 厘米。

那么，这些性质在实际解题中有什么用呢？用途一：证明两直线平行。

当我们需要证明两条直线平行，而又难以直接证明时，如果能够找到连接对应边中点的中位线，利用中位线平行于第三边的性质，就可以轻松得出结论。

用途二：计算线段长度。

已知中位线的长度或者第三边的长度，就可以通过中位线长度等于第三边长度的一半这一性质，求出另一边的长度。

用途三：构造平行四边形。

通过连接三角形两边中点得到中位线，再利用中位线平行且等于第三边一半的性质，可以构造出平行四边形，从而解决相关问题。

接下来，我们通过一些具体的题目来进一步掌握三角形中位线的应用。

例 1：在三角形 ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，若三角形 ABC 的周长为 20 厘米，求三角形 DEF 的周长。

因为 D、E、F 分别是三角形三边的中点，所以 DE、EF、DF 是三角形 ABC 的中位线。

数学-Day20三角形中位线一．三角形的中位线1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，则线段DE 是△ABC 的中位线．2．性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．如图，点D 、E 分别是三角形ABC 的边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC ，12DE BC证明：延长DE 到F ，使EF =DE ，连接FC 、DC 、AF ．3．补充说明：任一个三角形都有三条中位线，由此有下列结论：（1）三条中位线组成一个三角形，周长为原三角形周长的一半．（2）三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．（3）三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．（4）三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．（5）任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．例1如图，AB∥CD，E，F 分别为AC，BD 的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是____A ．4B ．3C ．2D ．1例2在□ABCD 中的对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形．（2）若□ABCD 的周长为8，求□EFGH 的周长．AB C DEFG H O例3如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=14，AC=19，则MN的长度为__________．例4如图，已知ΔABC 是锐角三角形，分别以AB、AC 为边向外侧作两个等边三角形ΔABM 和ΔCAN，D、E、F 分别是MB，BC，CN 的中点，连结DE、FE，求证：DE=EF【答案与解析】1【答案】D 【解析】连接DE 并延长交AB 于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E 是AC 中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE（AAS），∴DE=HE，DC=AH，∵F 是BD 中点，∴EF 是△DHB 的中位线，∴EF=12BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．故选D．2【答案】（1）见解析（2）4【解析】该题考查的是平行四边形的判定与性质．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴,AB CD AD BC==∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点∴12EF AB =，12EH AD =，12HG CD =，12FG BC =∴EF HG =，EH FG=∴四边形EFGH 是平行四边形（2）∵8l ABCD AB BC CD AD =+++= ∴()142l EFGH EF FG HG EH AB BC CD AD =+++=+++= 3【答案】 2.5【解析】延长BN 交AC 于D，∵AN⊥BN，AN 平分∠BAC，∴AN 是BD 的垂直平分线，∵点M是BC 的中点，∴MN 是△BCD 的中位线，111 2.5222MN CD AC AD AC AB ==-=-=（）（）4【答案】见解析【解析】该题考查的是全等三角形的判定和性质．连接MC、AN，∵△ABM 和△CAN 都是正三角形，∴AM AB =，AN AC =，∴60MAB CAN ∠=∠=︒，∴MAC BAN ∠=∠，∴△MAC≌△BAN（SAS）∴MC BN=又∵MC、BN 分别是△BMC、△BNC 的中位线，∴12DE MC =，12EF BN =，∴DE EF =．。