八年级数学三角形的中位线定理2

A
A N
2 1
B
D
M
C
B
D
M
C
A
A
E
l 2
B
B D M C
D
M
C
分析：欲证 DM=
1 AB，DM 与 AB 的倍分关系从图中不能明确得到． 2
方法 1：由 M 是 BC 中点这个条件可以联想到有关倍分的定理，再确定 AC 边的中点 N，所以 1 MN 为⊿ABC 的中位线，由三角形中位线定理得 MN= AB，再证明 MN=DM. 2 方法 2：已知条件 AD⊥BC 得，Rt⊿ABD 中 AB 为斜边，在直角三角形中，斜边的中线等于斜
C
N
B
想一想： 如图，小明家和学校之间有一个池塘．在没有任何工具的前提下，小明通过下面的方法估测 出 A、B 间的距离：先在 AB 外选一点 C，然后步测出 AC、BC 的中点 M、N，并测出 MN 的长， 由此他就知道了 A、B 间的距离．你能说说其中的道理吗？ 三．巩固新知 变式训练： （1）如图：DE 是△ABC 的中位线， 若∠1=42°，则∠C=______;若 DE=4cm, 则 AC=______; （2）已知三角形三边长分别为 6，8，10，顺次连接各边中点所 的三角形周长是________ 由本题的图形你能否联想到一般性的结论？ （如果△ABC 的三边 长分别为 a、b、c，那么△DGE 的周长是多少？） 例：已知，如图，在△ABC 中，AD=DB，BF =FC，AE=EC
B
1 BC． 2
A D E
C
二．新课探究：释疑 引导学生写出已知、求证，并启发分析． 已知：△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点．
D
A E
B
C
求证：DE∥BC；DE=
1 BC 2
启发 1：证明直线平行的方法有那些？ 启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等． 启发 2：证明线段的倍分的方法有那些？（截长或补短） 学生分小组讨论，教师巡视指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明 过程．强调还有其他证法．
A E F B C
A
3
D
E
1
D F
2 4
B
G
C
总结：从这道题我们猜想，如果已知一条边的中点，并且过这个点作平行于另一条边的平行 线，那么，所交于第三边的点是否为中点呢？ 实际上，确实交于第三边的中点． 定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边． 补充练习： 1、 如图：已知：⊿ABC 中，∠B=2∠C,AD⊥BC,垂足为 D,M 是 BC 的中点． 求证：DM= 1 AB 2
第 2 课时 上节课我们学习了三角形中位线的定义和定理，下面我们先来看这样的一道题： 如图： ⊿ABC 中， AB=6cm, BC=4cm， AC=3cm， D、 E、 F 分别是 AB,AC,BC 的中点． （1）EF=________cm，⊿DEF 的周长为_______cm，⊿DEF 与⊿ABC 的周长比为______，⊿DEF 与⊿ABC 的面积比为______．
教学课题：§16.5 三角形中位线定理 教学目标： 知识与技能：1.理解并掌握三角形中位线的概念和性质定理； 2．明确三角形中位线与中线的不同;使学生能熟练应用定理进行有关证明和 计算 过程与方法：引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，通过对问题的探 究和变式思维训练，培养学生分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性． 情感与态度：激发学生的热情和兴趣，激活学生思维,对学生进行事物之间相互转化的辩证 的观点的教育． 教学重点：三角形中位线的概念和三角形中位线定理的证明及应用 教学难点：三角形中位线性质定理证明中添加辅助线的思想方法． 教学方法：启发、引导、探究 教学用具：多媒体辅助教学 教学过程： A 第 1 课时 D E 一．画一画，观察与思考： 1.什么是三角形的中线？画出Δ ABC 的中线 BE．取边 C B AB 上的中点 D,连结 DE，线段 DE 是中线吗？ 以上线段 DE 叫做△ABC 的中位线，请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线？ 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的 中位线． 问题：（1）三角形有几条中位线？（动手画一画） （2）三角形的中位线与中线有什么区别？ 得出： ①三角形的中位线与中线都是三角形中的重要线段，一个三角形有三条中位线，三条中线． ②三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形的中线只有一个端点是边的中 点，另一个端点是三角形的一个顶点． 做一做： 请度量 DE 和 BC 的长度．测量∠ADE 与∠ABC 的度数．让学生们互相讨论所得的结果，猜想 三角形的中位线有什么性质．猜想：DE 和 BC 的关系（位置关 系 和数量关系）． 通过实践体会和感知出：DE∥BC，DE= 你能证明你的结论是正确的吗？
边的一半，所以作斜边的中线 DE，有 DE=
1 AB，再证明 DE=DM. 2
课后小结： 已知条件中有一边的中点，辅助线一般为作三角形的中线或中位线，做三角形的中线，连结 中点和顶点即为中线，做三角形的中位线，一般情况是过这个中点作平行线，利用“经过三 角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边．从而做出中位线． 课后作业：
A
证明：延长中位线 DE 到 F，使 EF=DE，连结 CF． 易证△ADE≌△CFE （或证四边形 ADCF 为平行四边） 得 AD∥FC， 又∵AD=DB，∴DB∥FC， ∴四边形 DBCF 是平行四边形，DF∥BC．
D
E
F
B
A D
C
1 1 ∵DE= DF，∴DE ∥BC，DE= BC 2 2
E
F
归纳定理，并用文字语言表述： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 符号语言： ∵△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点（已知） ∴DE ∥BC，DE=
B
C
1 BC（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半） 2
A M
引导学生分析定理： 一个条件：DE 是△ABC 的中位线 两个结论：一是表明位置关系——平行 二是表明数量关系——倍、分 作用：可以证明两直线平行、证明线段的相等或倍分．
A D 1 B E C
得 的
A D B F E C
求证：AF、DE 互相平分． 证明：联结 DF、EF ∵AD=DB，BF=FC ∴DF∥AC，同理 FE∥AB ∴四边形 ADFE 是平行四边形 ∴AF、DE 互相平分 设问：你还有其他的证明方法吗？ 四．梳理反思 课堂小结 1.基础知识： ⑴三角线的中位线定义以及它与三角形中线的区别； ⑵三角线中位线的性质及其应用； 2．基本技能： （1）在三角形中给出一边中点时，要转换为中位线； （2）线段的倍分要转化为相等问题来解决； （3）三角形的中位线定理的发现过程所用到的数学方法（包括画图、实验、猜想、分析、 归纳等）； （4）证明“中点四边形”的辅助线的方法，连结对角线． 3．基本方法： 三角形中位线是三角形的一个重要性质定理，它的特点是：在同一个题设下，有两个结 论，一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这个定理时，不一 定同时需要两个结论，有时需要平行关系，有时需要倍分关系，可以根据具体情况，按需选 用． 五．延伸学习 作业布置：
D
A
E
总结：三角形的中位线所分割出来的小三角形与大三角形的周长比 为 1 ：2，面积比为 1 ：4
B
F
C
（2）在这个图中有______个平行四边形． 总结：三角形的中位线使得图中获得三个平行四边形．这也是其中很重要的结论之一． 练习：A F D E C NhomakorabeaB
1.如图：在⊿ABC 中，D，E，F 分别是边 AB，BC，AC 的中点，若⊿DEF 的周长为 6cm，则⊿ ABC 的周长为（ ） （A）8cm (B) 12cm (C) 14cm (D) 36cm 2.已知：在菱形 ABCD 中，E 是 AB 中点，作 EF∥BC 交 AC 于点 F， 如果 EF=4, 求 CD 的长． 分析：要注意的是根据题目所给的条件不能够说明 EF 是⊿ABC 的 中位线，因此，不能够直接得出 BC=8cm.所以．要想办法先证明 EF 与 BC 的关系． 证明思路：延长 EF 交 CD 于点 G 证明⊿AEF≌⊿CGF 得到 AF=CF ,说明 EF 是⊿ABC 的中位线 ∵EF=4，∴BC=8cm，∴CD=8cm.