一、单选题1．设全集，集合，则（ ） R U ={}()(){}|2,Z ,120A a a k k B x x x ==∈=+->()U A B ⋂=ðA ．B ．C ．D ．{}0,2{}2,4{}0,2,4{}1,0,1,2,3,4-【答案】A【分析】求出集合B 中元素范围，再求出，进而可求.U B ð()U A B ⋂ð【详解】或，()(){}120{|1B x x x x x =+->=<-2}x >则，又， {}|12U B x x =-≤≤ð{}|2,Z A a a k k ==∈.(){}0,2U A B ∴⋂=ð故选：A.2．（ ） 45πcos 4-⎛⎫ ⎪⎝⎭=A ．BC ．D ．12-12【答案】A【分析】利用诱导公式将大角变小角然后计算即可.【详解】. 45π45π3πππcos cos 12πcos cos πcos 44444⎛⎫-=-+=-=-=⎪ ⎛⎫⎛⎫=⎪⎝⎭ ⎪ ⎝⎭⎝⎭故选：A.3．“函数在区间上满足”是“函数在区间内至少有一个零()y f x =[],a b ()()0f a f b <()y f x =(),a b 点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由零点存在定理，及充分必要条件的判定即可得解. 【详解】记，满足，但是函数在区间内不存在零()1,21,2a b a x f x a b x b +⎧-<≤⎪⎪=⎨+⎪<<⎪⎩()()0f a f b <()f x (),a b 点.故充分性不成立；若函数在上满足，但其有零点，故必要性不成立；2()f x x =[]1,1-()()110f f ->0x =所以“函数在区间上满足”是“函数在区间内至少有一个()y f x =[],a b ()()0f a f b <()y f x =(),a b零点”的既不充分也不必要条件.故选：D4．关于命题，下列说法正确的是（ ）000:R,220x p x x ∃∈--<A ．，且命题是假命题:R,220x p x x ⌝∀∈--≥p ⌝B ．，且命题是真命题:R,220x p x x ⌝∀∈--≥p ⌝C ．，且命题是假命题000:R,220x p x x ⌝∃∈--≥p ⌝D ．，且命题是真命题000:R,220x p x x ⌝∃∈--≥p ⌝【答案】A【分析】先通过特称命题的否定是全称命题得到，再根据命题的真假判断命题真假.p ⌝p p ⌝【详解】根据特称命题的否定是全称命题得，:R,220x p x x ⌝∀∈--≥对于命题，000:R,220x p x x ∃∈--<当时，，即命题是真命题，00x =02020--<p 所以命题是假命题.p ⌝故选：A.5．下列命题为真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则 a b >22ac bc >a b >11a b >C ．若，则D ．若，则 0a b <<2ab b >0a b <<2ab a >【答案】C【分析】通过举反例判断AB ；利用不等式的性质判断CD.【详解】对于A ：当时，，故A 错误；0c =22ac bc =对于B ：当时，，但，故B 错误； 2,1a b ==a b >11a b<对于C ：，，，故C 正确；a b < 0b <2ab b >对于D ：，，，故D 错误；a b < a<02a ab >故选：C.6．设，若不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）()2f x ax bx c =++()0f x ≥[]1,3-A ． B ． ()()1242f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭->>()()1242f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>->C ．D ． ()()1422f f f ⎛>>-⎫ ⎪⎝⎭()()1242f f f ⎛>>-⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由题意可知，且-1,3 是方程的两根，运用韦达定理可得的关0a <20ax bx c ++=,,a b c 系，可得的解析式，计算比较可得所求大小关系. ()2f x ax bx c =++()()4,122,f f f ⎛⎫⎪⎝- ⎭【详解】因为的解集为，可得，是方程的两根，()0f x ≥[]1,3-0a <1,3-20ax bx c ++=可得 13,13,2,3,b c b a c a a a-+=--⨯==-=- 2()23,0,f x ax ax a a =--<17(4)5,(),(2)3,24f a f a f a =-=-=-所以， ()()1242f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>->故选：B.7．设，若，则（ ） ()1f x ()ln 2f a =1ln 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．a -2a -2a +1a -+【答案】B 【分析】由定义域化简解析式，再由结合对数的运算求值即可.()ln 2f a =【详解】由，解得，即. 240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩[]2,0)(0,2x ∈-⋃()1f x =因为，所以(ln 2)1f a ==1a -=所以. 1(ln )(ln 2)11122f f a a =-==-+=-故选：B8．已知函数满足，若函数与图象的交点为()()R f x x ∈()()4f x f x +=-2|45|y x x =--()y f x =，则所有交点的横坐标之和为（ ）()()()1122,,,,,,m m x y x y x y A ．0B ．mC ．D ．2m 4m 【答案】C【分析】判断出和图象的对称性，由此求得. ()f x 245y x x =--12m x x x +++ 【详解】依题意函数满足，即的图象关于对称.()f x ()R x ∈()()4f x f x +=-()f x 2x =函数的图象也关于对称性，245y x x =--2x =所以若函数与图象的交点分别为，，…，，则245y x x =--()y f x =11(,)x y 22(,)x y (,)m m x y . 12422m m x x x m +++=⨯= 故选：C.二、多选题9．下列结论错误的是（ ）A ．函数的最小值是2 1y x x=+B ．当时，函数的最小值是4 π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin sin y x x =+C ．当时，函数的最小值是5 1x >241x x y x -+=-D ．当且时，函数的最小值为20x >1x ≠2log log 2x y x =+【答案】ABD【分析】根据基本不等式和对勾函数的性质，判断选项的正误.【详解】对于A ，当时，，所以A 错误； 0x <10y x x=+<对于B ，，， π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin 0,1x ∈因为在上单调递减，所以，所以B 错误； 4y x x=+()0,144sin 15sin 1y x x =+>+=对于C ，， ()221144411111x x x x y x x x x -+-+-+===-++---时，， 1x >411151x x -++≥+=-当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是5，C 正确； 411x x -=-3x =241x x y x -+=-对于D ，当时，，所以D 错误.01x <<2log log 20x y x =+<故选：ABD.10．若，则下列结论可能正确的是（ ） 132ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．0a b <<a b =0b a <<0a b >>【答案】ABC【分析】在同一平面直角坐标系内作出和的图象，判断a ，b 的关系. 3x y =1()2x y =【详解】在同一平面直角坐标系内作出和的图象， 3x y =1()2x y =若，则； 1()312a b =>0a b <<若，则； 1()312a b ==0a b ==若，则. 1()312a b =<0b a <<故选：ABC.11．关于函数，下列结论正确的是（ ） ()2ππ22sin 612f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．函数的最大值是2()f x B ．函数在单调递减 ()f x π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数的图像可以由函数的图像向右平移个单位得到 ()f x 2sin 21y x =+π6D ．若方程在区间有两个实根，则 ()0f x m -=π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,3m ⎤∈⎦【答案】CD 【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据函数解析式研究选项中相关的函数性质.【详解】 ()2ππππ22sin 2cos 2161266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. π1ππ22cos 212sin 216263x x x ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=-+⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦对于A ：函数的最大值是3，A 选项错误； ()f x 对于B ：时，，是正弦函数的递增区间，故B 选项错误； π5π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ2,322x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ：函数的图像向右平移个单位得到函数2sin 21y x =+π6的图像，即函数的图像，C 选项正确； ππ2sin 212sin 2163y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x对于D ：由，解得，在()πππ2π22πZ 232k x k k -+≤-≤+∈()π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈()f x 上单调递增； ()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由，解得，在()ππ3π2π22πZ 232k x k k +≤-≤+∈()5π11πππZ 1212k x k k +≤≤+∈()f x 上单调递减； ()5π11ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，在上单调递增，在上单调递减， 2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x π5π,1212⎡⎤⎢⎣⎦5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，所以方程在区间有两个实根，π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5π312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0f x m -=π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 选项正确.1,3m ⎤∈⎦故选：CD12．若正实数a ，b 满足，则下列结论正确的是（ ）113322log log a b a b ->-A ． B ． C ． D ．11a b >()ln 10a b -+>31a b ->ln 0a b ->【答案】BC【分析】构造函数，依据单调性判断选项正误. 13()2log x f x x =-【详解】因为，所以， 113322log log a b a b ->-11332log 2log a b a b ->-因为在上单调递增，所以， 13()2log x f x x =-()0,∞+0b a <<则，A 项错误； 11a b<，B 项正确； ln(1)ln10a b -+>=，C 项正确；0331a b ->=，不一定大于0，D 项错误.0a b ->ln a b -故选：BC.【点睛】关键点点睛：观察，移项得，观察式子等号113322log log a b a b ->-11332log 2log a b a b ->-两边的一致性，考虑构造. 13()2log x f x x =-三、填空题13．__________.()ln 221lg 5lg 2lg 50e ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭【答案】## 321.5【分析】利用对数和指数的运算性质计算即可.【详解】 ()()()ln 222ln 21lg 5lg 2lg 50lg 5lg 21lg 5e e -⎛⎫+⋅+=+⋅++ ⎪⎝⎭ ()()211lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5lg 222=+++=+++. 113lg 5lg 21222=++=+=故答案为：. 3214___________. 24cos 20+︒=【答案】4【分析】利用倍角公式及辅助角公式变形计算即可.()24cos 2021cos 402cos 402︒+︒=+︒+222==+. ()2sin 103024sin 40︒+︒=+=︒故答案为：.415．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则不等式()f x R ()f x ()0,∞+的解集是___________.()()21f x f x ->【答案】 ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据条件得到当越远离轴时，越大，即绝对值越大得函数值越大，据此列不等式x y ()f x 求解即可.【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增,()f x R ()f x ()0,∞+当越远离轴，越大，∴x y ()f x 又，()()21f x f x ->，21x x ∴->解得或， 13x <1x >即不等式的解集是. ()()21f x f x ->()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭16．已知函数在区间上的最大值为M ，最小值为m ，则()21213e cos ex x f x x x ++=+[](),0a a a ->M m +=________.【答案】6【分析】令，由其奇偶性得出的值.[]()cos ,,g x x x x a a =∈-M m +【详解】，令，定义域关于原点对称()3cos f x x x =+[]()cos ,,g x x x x a a =∈-因为，所以为奇函数.()cos()cos ()g x x x x x g x -=--=-=-()g x 故，所以max min ()()0g x g x +=max min ()3()36M m g x g x +=+++=故答案为：6四、解答题17．（1）已知，且，求的值； π3sin 125α⎛⎫-= ⎪⎝⎭3ππ22α-<<-5πsin 12α⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）在中，已知，求的值. ABC A 1sin cos 5A A +=tan A 【答案】（1）；（2） 45-43-【分析】（1）先通过角的范围求出，在利用诱导公式变形πcos 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭后，即可利用求值； 5πππsin sin 12212αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πcos 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）将两边同时平方可得的值，再结合可求出，1sin cos 5A A +=sin cos A A sin cos A A +sin ,cos A A 进而可求出的值.tan A 【详解】（1），， 3ππ22α-<<- 7ππ19π121212α∴<-<即可能在第二，三，四象限， π12α-又，在第二象限， π3sin 0125α⎛⎫-=> ⎪⎝⎭π12α∴-， π4cos 125α⎛⎫∴-==- ⎪⎝⎭； 5ππππ4sin sin cos 12212125ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）①， 1sin cos 5A A +=， ()21sin cos 12sin cos 25A A A A ∴+=+=②， 12sin cos 25A A ∴=-由①②得或， 4sin 53cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3sin 54cos 5A A ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又在中必有，ABC A sin 0A >， 4sin 53cos 5A A ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩. sin 4tan cos 3A A A ∴==-18．已知函数的定义域为，且对任意x ，，都有；()f x (),-∞+∞R y ∈()()()f x y f x f y +=+(1)求的值；()0f (2)判断的奇偶性并证明你的结论：()f x (3)若时，，求证：在单调递减.0x >()0f x <()f x (),-∞+∞【答案】(1)()00f =(2)奇函数，证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用赋值法令即可得到结论．0x y ==（2）利用函数奇偶性的定义，令，可证明为奇函数；y x =-()f x （3）根据函数单调性的定义结合抽象函数的关系进行证明即可．【详解】（1）令，得，即．0x y ==()()()0000f f f +=+()00f =（2）函数是定义在R 上的奇函数，证明如下：()f x 令,则，y x =-()()()0f x x f x f x -=+-=即，()()f x f x =--∴函数是定义在R 上的奇函数．()f x（3）设，12x x >则，121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-∵，12x x >∴，120x x ->则，()120f x x -<∴，12())0(f x f x -<即，12()()f x f x <即函数在单调递减．()f x (),-∞+∞19．设函数.()223f x x ax =-+(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值：1a =()f x []2,3-(2)设函数在区间的最小值为，求.()f x []2,3-()g a ()g a 【答案】(1)最大值为，最小值为112(2) ()247,23,23126,3a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）通过判断二次函数的对称轴与区间的位置关系判断函数单调性，通过单调性可得最值；（2）通过分类讨论，确定函数的单调性与区间之间的位置关系，通过位置关系及二次函数的()f x 性质可得最小值.【详解】（1）当时，，其对称轴为，1a =()223x x x f =-+1x =故函数在上单调递减，在上单调递增，()f x []2,1-[]1,3又，， ()11232f =-+=()()()22222311f -=--⨯-+=，()2332336f =-⨯+=故函数在区间的最大值为，最小值为； ()f x []2,3-112（2）对称轴为，()223f x x ax =-+x a =当时，，2a ≤-()()244347g a f a a =-=++=+当时，，23a -<<()()222233g a f a a a a ==-+=-当时，，3a ≥()()3963126g a f a a ==-+=-综上所述：.()247,23,23126,3a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩20．已知某地某天从6时到22时的温度变换近似地满足函数. π510sin π2084y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(1)求该地这一天该时间段内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在到之间可以存活则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？15C 25C 【答案】(1)20C o (2) 83【分析】（1）根据函数解析式，由，计算函数最大值与最小值之差；[]6,22x ∈（2）由，求解的取值范围.1525y ≤≤x 【详解】（1），由，有， π510sin π2084y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭[]6,22x ∈π5π3ππ,8422x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当或即或时，有最小值10，此时得到最低温度； π5ππ=842x --π53ππ842x -=6x =22x =y 10C 当即时，有最大值30，此时得到最高温度， π5ππ=842x -14x =y 30C 该地这一天该时间段内温度的最大温差.30C 10C 20C -= （2）由，得， π51510sin π202584x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭1π51sin π2842x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭由，有或， π5π3ππ,8422x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ππ5ππ6846x -≤-≤5ππ57ππ6846x ≤-≤解得或，，， 263433x ≤≤505833x ≤≤34268333-=58508333-=故该细菌能存活的最长时间为小时. 8321．，已知点A ，B 是函数的图像与直线的两个交()()π1cos sin 02264x x f x ωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭()f x 12y =点.且的最小值为.AB π(1)求函数的单调递增区间；()f x(2)若对于都有，求m 的取值范围. ππ,123x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()274f x m m ≥--【答案】(1) (),Z 36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)[]1,2-【分析】（1）先运用辅助角公式对 作恒等变换求出单一三角函数形式的解析式，再根据条件()f x 求出 ，运用整体代入法求解；ω（2）求出 在 的最小值，根据题意解不等式即可. ()f x ,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1） ()11cos sin cos sin cos cos sin 2264226264x x x x x f x ωωπωωπωπ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111cos cos 2cos 12222442x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 1111cos cos sin 42226x x x x x πωωωωω⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ()21,2,sin 226T AB f x x T πππω⎛⎫∴=====+ ⎪⎝⎭当 时单调递增，即 时单调递增；()222Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈,36x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦()Z k ∈（2）当 时， ， ， ， ,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52366x πππ≤+≤52362ππππ--＜()min 134f x f π⎛⎫∴== ⎪⎝⎭原不等式等价于： ，即 ，解得 ； 21744m m ≥--220m m --≤12m -≤≤m 的取值范围是 .[]1,2-22．已知（且）. ()()1log 12x a f x a x =+-0a >1a ≠(1)证明：函数是偶函数；()f x (2)当时，若函数只有一个零点，求实数m 的取值范围. 4a =()()44log 23x g x f x m m ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭【答案】(1)证明见解析(2){3}(1,)-+∞【分析】（1）由奇偶性的定义结合对数和指数的运算证明即可；（2）函数只有一个零点，等价于只有一个根，令，讨论的()g x 42322x x x m m -⋅=+-20x t =>m 值，结合二次函数的性质得出实数m 的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为.()f x R ()111()log 1log 22x x a a x a f x a x x a -⎛⎫+-=++=+ ⎪⎝⎭ ()()11log 1log log 1()22x x x a a a a a x a x f x =+-+=+-=故函数是偶函数. ()f x （2） ()()()()4224441log 1l g 22222og 1log lo 2x x x x x f x x -=+-=++=-由题意可知方程只有一个根. ()44log 23x f x m m ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭即，故只有一个根. ()444l g 2og lo 232x x x m m -⎛⎫+⋅- ⎝=⎪⎭42322x x x m m -⋅=+-令，则有且只有一个根. 20x t =>24(1)103m t mt ---=当时，，不合题意； 1m =34t =-当时，，解得，或；Δ0=24990m m +-=34m =3m =-若时，，解得，不合题意；34m =2440t t ++=2t =-若时，，解得，符合题意. 3m =-24410t t -+=12t =当时，方程有两个不等的实根，显然方程没有零根 0∆>24(1)103m t mt ---=所以该方程有一个正根和一个负根，即，解得. 24990101m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪-⎩1m >综上所述，实数m 的取值范围为 {3}(1,)-+∞。
