列方程解题

列方程解应用题，就是把生活实践中的实际问题，抽象成数学问题，通过列方程来解答，使实际问题得以解决。

列一元一次方程解应用题的步骤是：
（1）审题设元：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；
（2）找等量关系：找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系；
（3）列方程：根据所找出的相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；
（4）解方程：解所列出的方程，求出未知数的值；
（5）检验作答：检验所得未知数的值是否所列方程的解，是否符合问题的实际意义，并写出答案。

列方程解应用题是学习中的重点、难点。

主要困难有三：
①找不到相等关系；
②找到相等关系式，不能正确用含未知数x的代数式表示相等关系中有关的量；
③有些学生形成思维定势，习惯于用算术方法解应用题，对于列方程解应用题的新的思维方法不理解，不适应。

解决上述问题的方法是：
①明确题目类别，并明确该类问题中有几类不同性质的量，它们之间的基本关系式是什么。

例如：行程问题中有三类不同性质的量：速度、时间、路程，它们之间的数量基本关系是：速度×时间=路程。

②要认真审查已知数量与未知数量的性质，同类性质的量有几种，已知量及未知量之间的对应关系。

必要时，可以通过列表格，画线段图等办法对已知数量及未知数量的关系进行整理。

③正确地用含有x的代数式表示相等关系中的有关未知量是列方程的基础。

一般地，经过上述分析，有助于找到相等关系，列出方程。

列方程解应用题常见的题型有：（1）和、差、倍、分问题；（2）行程问题；（3）调配问题；（4）工程问题；（5）浓度问题；（6）形积问题；（7）利润率问题；（8）数字问题。

二、对常见应用题的解法分析
1、和、差、倍、分问题；这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。

（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。

（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

例1、某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？
分析：相等关系是：今年捐款=去年捐款×2+1000。

解：设去年为灾区捐款x元，
由题意得，2x+1000=25000
2x=24000
∴ x=12000
答：去年该单位为灾区捐款12000元。

例2、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
分析：等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油。

解：设油箱里原有汽油x公斤，
由题意得，x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%
去分母整理得，9x+20=5x+6x
∴ 2x=20
∴ x=10
答：油箱里原有汽油10公斤。

2、等积变形问题：
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：原料体积=成品体积。

例3、现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
分析：等量关系为：机轴的体积和=钢坯的体积。

解：设可足够锻造x根机轴，
由题意得，π( )2×3x=π( )2×30
解这个方程得x=
x= ×10×= =40
答：可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根。

3、劳力调配问题：
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有（1）既有调入又有调出。

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

例4、有两个工程队，甲队有285人，乙队有183人，若要求乙队人数是甲队人数的，应从乙队调多少人到甲队？
分析：此问题中对乙队来说有调出，对甲队来说有调入。

等量关系为：乙队调出后人数= 甲队调入后人数。

解：设应从乙队调x人到甲队，
由题意得，183-x= (285+x)
解这个方程，285+x=549-3x
4x=264
∴ x=66
答：应从乙队调66人到甲队。

例5、甲、乙两个工程队分别有188人和138人，现需要从两队抽出116人组成第三个队，并使甲、乙两队剩余人数之比为2：1，问应从甲、乙两队各抽出多少人？
分析：此问题中只有调出，没有调入。

等量关系为：甲队调出后人数=2×乙队调出后人数。

解：设应从甲队抽出x人，则应从乙队抽出(116-x)人，
由题意得，188-x=2[138-(116-x)]
解这个方程188-x=2(138-116+x)
188-x=44+2x
3x=144
∴ x=48
116-x=116-48=68
答：应从甲队抽出48人，从乙队抽出68人。

例6、李明今年8岁，父亲是32岁，问几年以后父亲的年龄为李明的3倍。

分析：此问题中只有调入，没有调出。

等量关系为：几年后父亲年龄=3×李明几年后的年龄。

解：设 x年后父亲的年龄为李明的3倍，
由题意得，32+x=3(8+x)
解这个方程：32+x=24+3x
2x=8
∴ x=4
答：4年后父亲的年龄为李明的3倍。

4、比例分配问题：
这类问题的一般思路为：设其中一份为x ,利用已知的比，写出相应的代数式。

常用等量关系：各部分之和=总量。

例7、甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：3；乙、丙之比为6：5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？
分析：应设一份为x件，则其他量均可用含x的代数式表示。

等量关系为：（甲日产量+丙日产量）-12=乙日产量的2倍。

解：设一份为x件，则甲每天生产4x件，乙每天生产3x件，丙每天生产×3x件（即x件），由题意得，4x+ x-12=2×3x
解这个方程，=12
∴ x=24
∴ 4x=4×24=96（件），3x=3×24=72（件），x= ×24=60（件）
答：甲每天生产96件，乙每天生产72件，丙每天生产60件。

5、数字问题：
要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。

例8、一个2位数，个位上的数字比十位上的数字大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2位数的大6，求这个2位数。

分析：等量关系为：个位数字+十位数字-6= ×这个2位数。

解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+5，
则这个2位数为：10x+x+5
由题意得，x+5+x-6= (10x+x+5)
解这个方程得：14x-7=11x+5
3x=12
∴ x=4
∴ x+5=9
这个2位数为49。

答：这个2位数为49。

6、工程问题：
工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

例9、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
分析：设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。

解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，
由题意得，( + )×3+ =1，
解这个方程，+ + =1
12+15+5x=60
5x=33
∴ x= =6
答：乙还需6 天才能完成全部工程。

例10、一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？
分析：等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。

解：设打开丙管后x小时可注满水池，
由题意得，( + )(x+2)- =1
解这个方程，(x+2)- =1
21x+42-8x=72
13x=30
∴ x= =2
答：打开丙管后2 小时可注满水池。