2008年北京市崇文区中考数学二模试卷

2008年北京市中考数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）1．6-的绝对值等于（）A．6B．16C．16-D．6-【解析】A2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（）A．50.21610⨯B．321.610⨯C．32.1610⨯D．42.1610⨯【解析】D3．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解析】C4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（）A．50，20B．50，30C．50，50D．135，50【解析】C5．若一个多边形的内角和等于720o，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8【解析】B6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（）A．15B．25C．12D．35【解析】B7．若230x y++-=，则xy的值为（）A．8-B．6-C．5D．6【解析】B8．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）【解析】D二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．在函数121yx=-中，自变量x的取值范围是．OPMOMPA．OMPB．OMPC．OMPD．【解析】 12x ≠10．分解因式：32a ab -= ．11．如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点，若2cm DE =，则BC = cm ． 【解析】 412．一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．【解析】 207b a-、31(1)n n n b a --三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）计算：1182sin 45(2)3-⎛⎫-+-π- ⎪⎝⎭o．【解析】 10182sin 45(2π)3-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭o2222132=-⨯+- ·········································································· 4分 22=-． ························································································ 5分14．（本小题满分5分）解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来．【解析】 去括号，得51286x x --≤． 1分移项，得58612x x --+≤． ································································· 2分 合并，得36x -≤． ············································································ 3分 系数化为1，得2x -≥． ····································································· 4分 不等式的解集在数轴上表示如下：······································································································ 5分15．（本小题满分5分） 已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =．【解析】 AB ED Q ∥，B E ∴∠=∠． ···················································································· 2分 A CEDB 1 2 3 0 1 2 3 0 CA E DB在ABC △和CED △中， AB CE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ABC CED ∴△≌△． ··········································································· 4分 AC CD ∴=． ···················································································· 5分16．（本小题满分5分）如图，已知直线3y kx =-经过点M ，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标． 【解析】 由图象可知，点(21)M -，在直线3y kx =-上，1分231k ∴--=．解得2k =-． ···················································································· 2分 ∴直线的解析式为23y x =--．····························································· 3分 令0y =，可得32x =-．∴直线与x 轴的交点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ····················································· 4分 令0x =，可得3y =-．∴直线与y 轴的交点坐标为(03)-，． ······················································ 5分17．（本小题满分5分）已知30x y -=，求222()2x yx y x xy y +--+g 的值． 【解析】 222()2x yx y x xy y +--+g22()()x yx y x y +=--g ··············································································· 2分 2x yx y+=-． ······················································································· 3分 当30x y -=时，3x y =． ···································································· 4分原式677322y y y y y y +===-． ····································································· 5分四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=o ，2AD =，42BC =，求DC 的长．【解析】 解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ，yxOM 11 A B CDDF BC ⊥于点F ．···························· 1分 ∴AE DF ∥． 又AD BC ∥，∴四边形AEFD 是矩形．2EF AD ∴==． ···························· 2分 AB AC ⊥Q ，45B ∠=o，42BC =，AB AC ∴=． 1222AE EC BC ∴===． 22DF AE ∴==，2CF EC EF =-= ············································································ 4分 在Rt DFC △中，90DFC ∠=o ，2222(22)(2)10DC DF CF ∴=+=+=．········································ 5分 解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，． ························ 1分 AB AC ⊥Q ，90AED BAC ∴∠=∠=o ．AD BC Q ∥，18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠=o o ．在Rt ABC △中，90BAC ∠=o ，45B ∠=o ，42BC =，2sin 454242AC BC ∴==⨯=o g ·························································· 2分 在Rt ADE △中，90AED ∠=o ，45DAE ∠=o ，2AD =，1DE AE ∴==．3CE AC AE ∴=-=． ········································································· 4分 在Rt DEC △中，90CED ∠=o ，22221310DC DE CE ∴=+=+=． ··················································· 5分19．（本小题满分5分）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=o ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O e 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．【解析】 ⑴ 直线BD 与O e 相切． 1分证明：如图1，连结OD ．OA OD =Q ， A ADO ∴∠=∠． 90C ∠=oQ ， 90CBD CDB ∴∠+∠=o． 又CBD A ∠=∠Q ， 90ADO CDB ∴∠+∠=o．D CO A BE A B C DF E图2A BCDFE 图1DCOABE 图190ODB ∴∠=o．∴直线BD 与O e 相切． ································································· 2分 ⑵ 解法一：如图1，连结DE ．AE Q 是O e 的直径， 90ADE ∴∠=o ． :8:5AD AO =Q ，4cos 5AD A AE ∴==．3分90C ∠=o Q ，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ································································· 4分 2BC =Q ， 52BD ∴=． ························································ 5分 解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． 12AH DH AD ∴==． :8:5AD AO =Q ，4cos 5AH A AO ∴==． ······ 3分 90C ∠=o Q ，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ···················· 4分 2BC =Q ， 52BD ∴=．·················································································· 5分五、解答题（本题满分6分）20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分： 40 35 30 2520 15 105 0图11 2 3 4 5 6 7 4 3 1126 379 塑料袋数／个 人数／位 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图 “限塑令”实施后，使用各种 购物袋的人数分布统计图其它5% 收费塑料购物袋_______％ 自备袋46%押金式环保袋24%图2 D COABH图2“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表处理方式 直接丢弃 直接做垃圾袋再次购物使用其它 选该项的人数占 总人数的百分比5%35%49%11%请你根据以上信息解答下列问题： （1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？ （2）补全图2，并根据统计图和统计表说明．．．．．．．．．．．，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响． 【解析】 ⑴ 补全图1见下图． 1分9137226311410546373003100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（个）． 这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． ················ 3分 200036000⨯=．估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ······················· 4分⑵ 图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%． ·································· 5分根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． ····· 6分 六、解答题（共2道小题，共9分） 21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 【解析】 设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(40)x +千米． 1分依题意，得3061(40)602x x +=+． ·························································· 3分 解得200x =． ··················································································· 4分 答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． ·················· 5分22．（本小题满分4分）已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．A GDAGD40 3530 252015 10 5 0图1 1 2 3 4 5 6 7 4 3 11 26 379人数／位 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图 10（1）若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积；（2）实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为 ；（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为 ；m 的取值范围为 ． 【解析】 ⑴ 重叠三角形A B C '''的面积为3．1分⑵ 用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为23(4)m -； ················ 2分m 的取值范围为843m <≤． ···························································· 4分七、解答题（本题满分7分）23．已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．【解析】 ⑴ 2(32)220mx m x m -+++=Q 是关于x 的一元二次方程，222[(32)]4(22)44(2)m m m m m m ∴∆=-+-+=++=+． Q 当0m >时，2(2)0m +>，即0∆>．∴方程有两个不相等的实数根． ························································ 2分⑵ 解：由求根公式，得(32)(2)2m m x m+±+=．22m x m+∴=或1x =． ····································································· 3分 0m >Q ，A CB 备用图 AC B备用图1 2 3 44 3 2 1xyO -1 -2 -3 -4 -4-3 -2 -1222(1)1m m m m++∴=>． 12x x <Q ，11x ∴=，222m x m+=． ··································································· 4分 21222221m y x x m m+∴=-=-⨯=．即2(0)y m m=>为所求． ·········· 5分⑶ 在同一平面直角坐标系中分别画出2(0)y m m =>与2(0)y m m =>的图象．············································· 6分由图象可得，当1m ≥时，2y m ≤．7分八、解答题（本题满分7分）24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数．【解析】 ⑴ y kx =Q 沿y 轴向上平移3个单位长度后经过y 轴上的点C ，(03)C ∴，．设直线BC 的解析式为3y kx =+． (30)B Q ，在直线BC 上，330k ∴+=． 解得1k =-．∴直线BC 的解析式为3y x =-+． ··················································· 1分 Q 抛物线2y x bx c =++过点B C ，，9303b c c ++=⎧∴⎨=⎩，． 解得43b c =-⎧⎨=⎩，．1 O yx2 3 44321 -1 -2 -2 -1 1 234 4 3 2 1xy O -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2-1∴抛物线的解析式为243y x x =-+． ················································ 2分⑵ 由243y x x =-+．可得(21)(10)D A -，，，．3OB ∴=，3OC =，1OA =，2AB =． 可得OBC △是等腰直角三角形．45OBC ∴∠=o ，32CB =．如图1，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ， 112AF AB ∴==． 过点A 作AE BC ⊥于点E ． 90AEB ∴∠=o ．可得2BE AE ==，22CE =．在AEC △与AFP △中，90AEC AFP ∠=∠=o ，ACE APF ∠=∠， AEC AFP ∴△∽△．AE CEAF PF∴=，2221PF =． 解得2PF =．Q 点P 在抛物线的对称轴上， ∴点P 的坐标为(22)，或(22)-，． ····················································· 5分 ⑶ 解法一：如图2，作点(10)A ，关于y 轴的对称点A '，则(10)A '-，．连结A C A D ''，，可得10A C AC '==，OCA OCA '∠=∠．由勾股定理可得220CD =，210A D '=．又210A C '=， 222A D A C CD ''∴+=． A DC '∴△是等腰直角三角形，90CA D '∠=o ， 45DCA '∴∠=o ．45OCA OCD '∴∠+∠=o ． 45OCA OCD ∴∠+∠=o．即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45o ． ··········································· 7分 解法二： 如图3，连结BD ．同解法一可得20CD =，10AC =． 在Rt DBF △中，90DFB ∠=o ，1BF DF ==，222DB DF BF ∴=+=． 在CBD △和COA △中，221DB AO ==，3223BC OC ==，20210CD CA ==． DB BC CDAO OC CA∴==． 1 Oy x2 3 44 3 2 1 -1 -2 -2-1 P EBDAC F 图11 O y x2 3 443 21 -1 -2 -1 BDA C F 图21 Oy x2 3 443 2 1 -1 -2 -2-1 BDAC F 图3CBD COA ∴△∽△． BCD OCA ∴∠=∠．45OCB ∠=o Q ，45OCA OCD ∴∠+∠=o ．即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45o ． ··········································· 7分九、解答题（本题满分8分） 25．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段()()a a b a b +-的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=o ，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF ∠=∠=<<o o αα，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）． 【解析】 ⑴ 线段PG 与PC 的位置关系是PG PC ⊥；PGPC=3． ·················································································· 2分 ⑵ 猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP 交AD 于点H ，连结CH CG ，． P Q 是线段DF 的中点， FP DP ∴=．由题意可知AD FG ∥．D A BE F C P G 图1 D C G PA B E F图2 DCGPHGFP HDP ∴∠=∠．GPF HPD ∠=∠Q ，GFP HDP ∴△≌△．GP HP ∴=，GF HD =．Q 四边形ABCD 是菱形，CD CB ∴=，60HDC ABC ∠=∠=o ．由60ABC BEF ∠=∠=o ，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，可得60GBC ∠=o ．HDC GBC ∴∠=∠．Q 四边形BEFG 是菱形，GF GB ∴=．HD GB ∴=．HDC GBC ∴△≌△．CH CG ∴=，DCH BCG ∠=∠．120DCH HCB BCG HCB ∴∠+∠=∠+∠=o ．即120HCG ∠=o ．CH CG =Q ，PH PG =，PG PC ∴⊥，60GCP HCP ∠=∠=o ．PG PC∴= ··············································································· 6分 ⑶PG PC=tan(90)-o α． ······································································· 8分1、题型与题量2、考查的内容及分布从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点，并且对初中数学的主要内容：函数、方程与不等式、三角形、四边形、圆、统计、概率都作了重点考查。

年崇文高三数学理科二模含答案Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】北京市崇文区2007－2008学年度第二学期高三统一练习（二）数 学 （理科） 2008．5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数sin()2y x π=+的一个单调递增区间为 （ ） A ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．(),2ππ 2．若双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为x y 23±=，则其离心率为 （ ） A.213 B.313 C.133132或 D.313213或 3．若半径为1的球与120°的二面角的两个半平面切于M 、N 两点，则两切点间的球面距离是（ ）A ．34πB ．πC ．32πD ．3π4．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 （ ）A ．－4B ．4C ．－2D ．2 5. 如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离为（ ）A ．95 B.3 C. 43 D. 546．若偶函数)(x f 定义域为（－∞，0） （0，+∞）, )(x f 在（0，+∞）上的图象如图所示，则不等式)x (f )x (f '>0的解集是（ ）A ．（－∞，－1） （0，1）B ．（－1 ，0） （1，+∞）C ．（－∞，－1） （1，+∞）D ．（－1，0） （0，1）7．按分层抽样的方法，从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排，则不同的排列方法为 （ ）A ． 10102510C A B ．610A C ． 410C D. 6464A A8．下列命题中正确的有 ( )①若向量a 与b 满足0a b ⋅<,则a 与b 所成角为钝角;②若向量a 与b 不共线，m =12a λλ⋅+⋅b , n =12a μμ⋅+⋅b ,12,(λλ12,)R μμ∈，则m 12210λμλμ=⋅-⋅0OA OB OC ++=OA OB OC ==ABC ∆a a;a b a b +=-2)3lg(--=x x y 10．二项式61(0)x x x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭的展开式中常数项等于 ．11．已知函数()()()()221,1,2,1,,1.ax x f x x x b x +>⎧⎪==⎨⎪+<⎩ 在x =1处连续，则a =_______, b= _________.12．如图，函数y=f(x)的图象在点P 处的切线方程是y=—x+5，则f （3）+f ′(3)= .13．已知等比数列{n a }的公比不为1，其前n 项和为n S ，若向量i =(1a ，2a )，j =(1a ，3a )，k =(-1，1)满足(4i -j )·k =0，则=15a S . 14．在如图所示的数阵中，分别按图中虚线，从上到下把划到的数一一列出，构成一个数列{n a }：11C ，02C ，22C ，13C ，04C ，33C ，24C ，15C ，06C ，……，则22a = .（用数值作答）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且满足cos cos 2cos b A a B c C +=，ABC ∆的面积为34.(Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2=a ，求边长c .16．（本小题满分14分）已知函数)()(R x x m x x f ∈-=，且(1)0f =. (Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）作出函数)(x f 的图象，并指出函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）求不等式41)(>x f 的解集.17．（本小题满分13分）如图，已知正方形ABCD 与矩形BEFD 所在的平面互相垂直，AB=2，DF=1，P 是线段EF 上的动点.（Ⅰ）若点O 为正方形ABCD 的中心，求直线OP 与平面ABCD 所成角的最大值；（Ⅱ）当点P 为EF 的中点时，求直线BP 与FA 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A —EF —C 的大小.得分 评卷人已知8人组成的抢险小分队中有3名医务人员，将这8人分为A、B两组，每组4人.（Ⅰ）求A、B两组中有一组恰有一名医务人员的概率；（Ⅱ）求A组中至少有两名医务人员的概率；（Ⅲ）求A组中医务人员人数 的数学期望.19．（本小题满分14分）已知B A 、分别是x 轴和y 轴上的两个动点，满足2=AB ，点P 在线段AB 上，且AP tPB =（t 是不为0的常数），设点P 的轨迹方程为C ． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程C ； （Ⅱ）若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，试求实数t 的取值范围； （Ⅲ）若2=t ，点N M 、是C 上关于原点对称的两个动点，点Q 的坐标为3(,3)2，求QMN ∆的面积S 的最大值．20．(本小题满分14分)已知A(1x ,1y )，B(2x ,2y )是函数21,122()11,2x x x f x x ⎧≠⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩的图象上的任意两点（可以重合），点M 在直线12x =上，且AM =MB . （Ⅰ）求1x +2x 的值及1y +2y 的值（Ⅱ）已知1S =0，当n≥2时，n S =1()f n +2()f n +3()f n +1()n f n-+，求n S ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设n a =2n S ，n T 为数列{n a }的前n 项和，若存在正整数c 、m ，使得不等式21c T c T 1m m <--+成立，求c 和m 的值.北京市崇文区2007－2008学年度第二学期高三统一练习（二）数 学（理科） 参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．D 2．A 3．D 4． B 5．C 6．B 7．A 8．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．（－∞，2） （2，3） 10．-20 11．12,1 12．1 13．121 , 14． 21三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）解：(Ⅰ）∵cos cos 2cos b A a B c C +=，①由正弦定理知，2sin ,2sin ,2sin b R B a R A c R C ===，②…………………2分 将②式代入①式，得 2sin cos 2sin cos 4sin cos B A A B C C +=， 化简，得 ()sin sin 2sin cos A B C C C +== .…………………………5分∵0sin ≠C ，∴21cos =C ，∴3π=C .………………………………………7分 （Ⅱ）∵ ABC ∆的面积为34，∴ ,34sin 21=C ab ∴ 16=ab .又∵2=a ，∴ 8=b (10)由余弦定理得 ab c b a C 2cos 222-+=，即2222812162c +-=⨯， ∴132=c .………………………………………………………………………12分 16．（本小题满分14分）解：(Ⅰ）由(1)101f m m =-=⇒=.…………2分22,1,()1,1.x x x f x x x x x x ⎧-+≤⎪=-=⎨->⎪⎩…………4分 （Ⅱ）图象如图.…………………………………7分函数)(x f 的单调递增区间是1(,]2-∞和[1,)+∞,)(x f 的单调递减区间是]1,21[；…………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 函数2()f x x x =-+在区间(-,1)∞上的最大值为11()24f =，又∵函数2()f x x x =-在区间(1,)∞上单调递增， 如图可知，在区间(1,)∞上存在0x ，有01()4f x =.即令214x x -=，解得122x ±=.…………………………………………12分又(1,)x ∈∞，∴0122x +=. ∴不等式41)(>x f 的解集是12(,)2++∞.……………14分 解法二:114x x ->21,14x x x ≤⎧⎪⎨-+>⎪⎩ ① 21,1,4x x x >⎧⎪⎨->⎪⎩或②解① 此不等式组无解, 解②12.2x +>∴不等式41)(>x f 的解集是12(,)2++∞. 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连结OP. 设OP 与平面ABCD 所成角为α，则[,]42ππα∈.当P 是线段EF 的中点时， OP ⊥平面ABCD ，直线OP 与平面ABCD 所成的最大角是2π.………………4分 （Ⅱ）连结AF 、FC 、OF.易证FO AFO ∠……………………………………5分依题意，在等腰AFC ∆中，FO AC ⊥,AFO ∆为直角三角形. AD=2，DF=1，∴AF.又1=, ∴在Rt AOF中，sin AO AFO AF ∠==.………………………………………8分 （Ⅲ）连结AE 、EC ，则AF ＝取EF 的中点P ，连结AP 、CP ，,AP EF CP EF ⊥⊥,则APC ∠是二面角A —EF —C 的平面角.………………………………………………11分则等腰AEF ∆≌CEF ∆，∴在APC ∆中，.又AC=2，∴APC ∆是直角三角形. 且2APC π∠=.∴二面角A —EF —C 的大小是2π……………………………………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“A 、B 两组中有一组恰有一名医务人员”为事件1A ，1()P A =.76482523482523=+C C C C C C …………………………………………………………4分（Ⅱ）设“A 组中至少有两名医务人员”为事件2A ，2()P A =21481533482523=+C C C C C C .……………………………………………………8分 （Ⅲ）ξ可取0、1、2、3.413535448822313535448813(0),(1),14731(2),(3),714C C C P P C C C C C C P P C C ξξξξ============ 133130123.1477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设点A (,0)a ，B (0,)b ，C (,)x y ，AP tPB =，即(,)(,)x a y t x b y -=--，即,().x a tx y t b y -=-⎧⎨=-⎩……………………2分则 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y t t b x t a 1)1(．又2AB =，即422=+b a ．∴14)1(4)1(22222=+++t y t x t ． ∴点P 的轨迹方程C ：22222144(1)(1)x y t t t +=++．………………………………5分（Ⅱ）∵曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，∴22244(1)(1)t t t >++，得21t <． 又∵0t >，∴01t <<．………………………………………………………8分（Ⅲ）当2=t 时，曲线C 的方程为 11694922=+y x ．……………………………9分 设1111(,),(,)M x y x y --N，则MN = 当10x ≠时，设直线MN 的方程为 11y y x x =， 则点Q 到直线MN的距离h =，∴QMN ∆的面积1113322S y x =⋅=-．…………11分∴22221111113939924S y x x y x y =-=+-．又∵2211991416x y +=，∴22119944x y +=．∴21149S x y =-． 而221111119933912416244x y x y x y=+≥-⋅⋅=-，则1194x y -≤．即28,S S ≤≤．当且仅当113324x y =-时，即1112x y =-时，“＝”成立. 当10x =时，48233MN =⋅=,∴QMN ∆的面积1832232S =⋅⋅=.∴S有最大值．………………………………………………………………14分20．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）∵点M 在直线x=21上，设M M 1(,)2y .又AM ＝MB ， 即111AM (,)2M x y y =--，221MB (,)2M x y y =--，∴1x +2x =1.………………2分①当1x =21时，2x =21，1y +2y =12()()112f x f x +=--=-；②当1x ≠21时，2x ≠21，1y +2y =11212x x -+22212x x -=1221122(12)2(12)(12)(12)x x x x x x -+---=121212122()812()4x x x x x x x x +--++=12122(14)241x x x x -=--；综合①②得，1y +22y =-.…………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1x +2x =1时, 1y +22y =-.∴()()2k n kf f n n-+=-，k=1n ,,3,2,1- .…………………………………7分n≥2时， n S =1()f n +2()f n +3()f n +1()n f n -+ ， ①n S =1231()()()()n n n f f f f n n n n ---++++ ， ②①＋②得，2n S =-2(n-1),则n S =1-n.n=1时，1S =0满足n S =1-n. ∴n S =1-n.…………………………………………………10分（Ⅲ）n a =n S 2=n 12-，n T =1+21+1n )21(-+ =n 222-.21c T c T 1m m <--+⇔0)c T (2)c T ()c T (21m 1m m <----++⇔0T c )T T 2(c 1m 1m m <---++.1m T +=2-m 21，1m m T T 2+-=m 244--2+m 21=2-m23， ∴122≤-312222m m c <<-<，c 、m 为正整数，∴c=1， 当c=1时，⎪⎩⎪⎨⎧>-<-12121232m m ，∴1<m 2<3，∴m=1.……………………………………………14分。

2008年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷考 生 须 知： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共8页．全卷共九道大题，25道小题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号和准考证号．4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（机读卷 共32分）考 生 须 知：1．第Ⅰ卷从第1页到第2页，共2页，共一道大题，8道小题． 2．考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．6-的绝对值等于（ ） A ．6B ．16C ．16-D ．6-2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ ） A ．50.21610⨯B ．321.610⨯C ．32.1610⨯D ．42.1610⨯3．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．50，20 B ．50，30 C ．50，50 D ．135，50 5．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ ）A ．15B ．25C ．12D ．357．若230x y ++-=，则xy 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．5D ．68．已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）2008年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷第Ⅱ卷（非机读卷 共88分）考 生 须 知： 1．第Ⅱ卷从第1页到第8页，共8页，共八道大题，17道小题．2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔或签字笔．二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数121y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 10．分解因式：32a ab -= ．11．如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点， 若2cm DE =，则BC = cm ．12．一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n个式子是 （n 为正整数）．三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）计算：1182sin 45(2)3-⎛⎫-+-π- ⎪⎝⎭．解： 14．（本小题满分5分）解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：CA E D B1 2 30 1- 2- 3- O P M O M ' M P A ． O M ' M P B ． OM ' M P C ． O M ' M P D ．15．（本小题满分5分）已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =． 求证：AC CD =．证明：16．（本小题满分5分）如图，已知直线3y kx =-经过点M ，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标． 解： 17．（本小题满分5分） 已知30x y -=，求222()2x yx y x xy y+--+的值． 解：四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=，2AD =，42BC =，求DC 的长． 解： 19．（本小题满分5分）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 解：（1）ACE DB 3y kx =- yxOM11 2- ABCDDCAB（2）五、解答题（本题满分6分） 20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表处理方式 直接丢弃 直接做垃圾袋再次购物使用其它 选该项的人数占 总人数的百分比5%35%49%11%请你根据以上信息解答下列问题： （1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？ （2）补全图2，并根据统计图和统计表说明．．．．．．．．．．．，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响． 解：（1）（2）六、解答题（共2道小题，共9分） 21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 解：40 35 30 252015 10 5 0 图11 2 3 4 5 6 7 4 3 11 26 37 9 塑料袋数／个 人数／位 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图 “限塑令”实施后，使用各种购物袋的人数分布统计图 其它 5% 收费塑料购物袋 _______％ 自备袋 46%押金式环保袋24% 图222．（本小题满分4分）已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．（1）若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积； （2）实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为 ；（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为 ；m 的取值范围为 ．七、解答题（本题满分7分）23．已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤． （1）证明：（2）解：（3）解：A GCF B ' C ' E BDA '图1AGCFB 'C ' E BDA '图2A CB 备用图 AC B备用图4 3 y八、解答题（本题满分7分）24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数．解：（1）（2）（3）九、解答题（本题满分8分） 25．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； 1 O y x2 3 4 4321-1 -2 -2-1D A BE F C P G 图1 D C G PA B E F图2（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PGPC= ． （2）2008年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名． 2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ADCCBBBD第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 题号 91011 12答案12x ≠()()a a b a b +-4207b a - 31(1)n nnb a --三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）解：10182sin 45(2π)3-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222132=-⨯+- ·········································································································· 4分 22=-． ····························································································································· 5分 14．（本小题满分5分）解：去括号，得51286x x --≤． ······················································································ 1分 移项，得58612x x --+≤． ······························································································· 2分 合并，得36x -≤． ··············································································································· 3分 系数化为1，得2x -≥． ······································································································ 4分 不等式的解集在数轴上表示如下：················································································································································· 5分 15．（本小题满分5分） 证明：AB ED ∥， B E ∴∠=∠． ························································································································ 2分 在ABC △和CED △中，AB CE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ABC CED ∴△≌△． ·········································································································· 4分 AC CD ∴=． ························································································································ 5分16．（本小题满分5分）解：由图象可知，点(21)M -，在直线3y kx =-上， ·························································· 1分 231k ∴--=． 解得2k =-． ························································································································· 2分∴直线的解析式为23y x =--． ·························································································· 3分 令0y =，可得32x =-． ∴直线与x 轴的交点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ················································································ 4分 令0x =，可得3y =-．∴直线与y 轴的交点坐标为(03)-，． ·················································································· 5分 17．（本小题满分5分） 解：222()2x yx y x xy y +--+1 2 3 0 1- 2- 3-22()()x yx y x y +=-- ················································································································· 2分 2x yx y+=-． ····························································································································· 3分 当30x y -=时，3x y =． ··································································································· 4分原式677322y y y y y y +===-． ···································································································· 5分 四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ， DF BC ⊥于点F ． ··············································· 1分 ∴AE DF ∥． 又AD BC ∥，∴四边形AEFD 是矩形．2EF AD ∴==． ··············································· 2分 AB AC ⊥，45B ∠=，42BC =， AB AC ∴=．1222AE EC BC ∴===．22DF AE ∴==，2CF EC EF =-= ············································································································ 4分在Rt DFC △中，90DFC ∠=，2222(22)(2)10DC DF CF ∴=+=+=． ························································· 5分解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，． ·························· 1分 AB AC ⊥，90AED BAC ∴∠=∠=． AD BC ∥，18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠=．在Rt ABC △中，90BAC ∠=，45B ∠=，42BC =，2sin 454242AC BC ∴==⨯= ··················································································· 2分 在Rt ADE △中，90AED ∠=，45DAE ∠=，2AD =，ABCDFE图2A BCDFE 图11DE AE ∴==．3CE AC AE ∴=-=． ········································································································ 4分在Rt DEC △中，90CED ∠=，22221310DC DE CE ∴=+=+=． ········································································· 5分 19． （本小题满分5分） 解：（1）直线BD 与O 相切． ···························································································· 1分 证明：如图1，连结OD ． OA OD =， A ADO ∴∠=∠．90C ∠=， 90CBD CDB ∴∠+∠=．又CBD A ∠=∠，90ADO CDB ∴∠+∠=． 90ODB ∴∠=．∴直线BD 与O 相切． ······································································································· 2分 （2）解法一：如图1，连结DE ．AE 是O 的直径， 90ADE ∴∠=．:8:5AD AO =，4cos 5AD A AE ∴==． ············································································································ 3分90C ∠=，CBD A ∠=∠， 4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ··································································································· 4分 2BC =， 52BD ∴=．························································································· 5分解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． 12AH DH AD ∴==．:8:5AD AO =，4cos 5AH A AO ∴==． ························· 3分90C ∠=，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ········································· 4分2BC =，52BD ∴=． ··························································································································· 5分五、解答题（本题满分6分） 解：（1）补全图1见下图． ··································································································· 1分 DCOABE 图1DCO ABH图2“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图9137226311410546373003100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（个）．这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． ·········································· 3分200036000⨯=．估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ···················································· 4分 （2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%． ········································ 5分根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． 6分 六、解答题（共2道小题，共9分）21．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(40)x +千米． ··············································································································· 1分依题意，得3061(40)602x x +=+． ······················································································ 3分 解得200x =． ······················································································································· 4分答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． ······································ 5分 22．解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为3． ································································ 1分 （2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为23(4)m -； ····························· 2分m 的取值范围为843m <≤． ······························································································· 4分 七、解答题（本题满分7分） 23．（1）证明：2(32)220mx m x m -+++=是关于x 的一元二次方程，222[(32)]4(22)44(2)m m m m m m ∴∆=-+-+=++=+．当0m >时，2(2)0m +>，即0∆>．∴方程有两个不相等的实数根． ··························································································· 2分 （2）解：由求根公式，得(32)(2)2m m x m+±+=．22m x m+∴=或1x =． ········································································································ 3分0m >，222(1)1m m m m++∴=>．12x x <，。

2008-2009学年度北京市崇文区九年级数学第二学期统一练习（二）试卷本试卷满分120分，考试时间120分钟。

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 1. 下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是2. 下列运算中，正确的是A. 532a a a =+B.628=-C. 632a a a =⋅D. 222a 2a a =+ 3．下列事件是必然事件的是A ．随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上B ．播下一颗种子，种子一定会发芽C ．买100张中奖率为1％的彩票一定会中奖D ．400名同学中，一定有两个人生日相同4．若两圆半径分别为R 、r ，其圆心距为d ，且R 2+2Rr+r 2=d 2，则两圆的位置关系是 A ．外切 B ．内切 C ．外离 D ．内含5．将抛物线y=2x 2的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是A. 3)2x (2y 2--=B. 3)2x (2y 2+-=C. 3)2x (2y 2-+=D. 3)2x (2y 2++=6. 当0k <时，反比例函数2kx y xky +==和一次函数的图象大致是7. 关于x 的一元二次方程01k x 2x 32=-+-有两个实根，则k 的取值范围是A. 34k <B. 1k 34k ≠<且 C. 34k ≤D. 34k >8. 福娃们在一起探讨研究下面的题目：参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是 贝贝：我注意到当0m y ,0x >==时 晶晶：我发现图象的对称轴为21x = 欢欢：我判断出21x a x <<。

迎迎：我认为关键要判断1a -的符号。

妮妮：m 可以取一个特殊的值。

二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9. 如图，AB 是圆O 的弦，OC 是圆O 的半径，AB OC ⊥于点D 。

若AB=8cm ，OD=3cm ，则圆O 的半径是_________cm 。

崇文区2007—2008学年度第二学期初三统一练习（二）语 文 试 卷 2008.6第Ⅰ卷 （ 共60分）一、下列各题均有四个选项，其中只有一个．．符合题意。

请将正确答案对应的字母填入下面1．下列词语中加点字的读音不完全正确的一项是 A ．庇．护（b ì） 惩．罚（ch ãn ɡ） 骇．人听闻（h ài ） B ．订．正（d ìn ɡ） 污秽．（hu ì） 扣人心弦．（xi án ） C ．应和．（h â） 呜咽．（y â） 谆．谆教诲（zh ūn ） D ．负载．（z ǎi ） 膝．盖（q ī） 中流砥．柱（d ǐ） 2．下列词语中没有错别字的一项是 （ ）A ．毕竟 端详 急燥 搬门弄斧B ．琐屑 蔓延 测隐 高屋建令C ．氛围 邮戳 惘然 买椟还珠D ．修葺 审察 湍急 悬粱刺股 3．下面语段中划线句修改正确的一项是①“北京话”与“普通话”关系密切，但并不等于“普通话”。

②“北京话”与“普通话”的明显区别，在于“北京话”源于明代，是流行在北京南城的“北京土语”。

③“北京话”常有改变某一个字读音的情况。

④等义于“太”的“极”、“很”、“甚”、“非常”，在北京话里就说成“忒”或“特”。

⑤20世纪末，除祖居南城的老住户，特别是六七十岁的老人还说南城“胡同语言”外，北京居民已经逐渐减少甚至不再说北京土语。

⑥除个别词汇外，北京话基本上已经“普通话”化；与此同时，它的词汇库中又专门增添了一些“外来语”，使北京话更加庞杂。

A .第②句修改：将两个“北京话”删除。

B .第④句修改：“等义”的前面加上“如”或“像”。

C .第⑤句修改：“北京居民”前加上“一部分”。

D .第⑥句修改：将“它”改为“北京话”并删除“专门”。

4．根据下面文字的内容和表达的需要，在横线处补全标题最恰当的一项是吟唱清明诗歌今年清明，复旦大学举行“埋首作骚赋，长啸吟九歌”活动。

2008年北京市高级中等学校招生考试数学试卷考生须知：1本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共8页全卷共九道大题，25道小题2本试卷满分120分，考试时间120分钟3在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号和准考证号4考试结束后，将试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（机读卷共32分）考生须知：1第Ⅰ卷从第1页到第2页，共2页，共一道大题，8道小题2考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上，在试卷上作答无效一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑16-的绝对值等于（）A6B16C16-D6-2截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最将21 600用科学记数法表示应为（）A50.21610⨯B321.610⨯C32.1610⨯D42.1610⨯3若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（）A内切B相交C外切D外离4众志成城，抗震救灾某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135这组数据的众数和中位数分别是（）A50，20 B50，30 C50，50 D135，505若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（）A5 B6 C7 D86如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（）A15B25C12D357若230x y ++-=，则xy 的值为（ ）A 8-B 6-C 5D 68已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）2008年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷第Ⅱ卷（非机读卷 共88分）考 生 须 知： 1第Ⅱ卷从第1页到第8页，共8页，共八道大题，17道小题2除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔或签字笔二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9在函数121y x =-中，自变量x 的取值范围是 10分解因式：32a ab -=11如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点， 若2cm DE =，则BC = cm12一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）三、解答题（共5道小题，共25分） 13（本小题满分5分）计算：10182sin 45(2)3-⎛⎫-+-π- ⎪⎝⎭解：CA E D BO P M O M ' M P A ． O M ' M P B ． OM ' M P C ． O M ' M P D ．解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来解：15（本小题满分5分）已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧AB ED ∥，AB CE =，BC ED = 求证：AC CD =证明：16（本小题满分5分）如图，已知直线3y kx =-经过点M ，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标 解：17（本小题满分5分） 已知30x y -=，求222()2x yx y x xy y+--+的值 解：四、解答题（共2道小题，共10分） 18（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=，2AD =，42BC =，求DC 的长 解：ACE D B 3y kx - yOM11 2- A BCD已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长解：（1）（2）五、解答题（本题满分6分）20为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：处理方式 直接丢弃 直接做垃圾袋再次购物使用其它 选该项的人数占 总人数的百分比5%35%49%11%请你根据以上信息解答下列问题： （1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明．．．．．．．．．．．，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响 解：（1）D COA BE 40 35 30 252015 10 5 0 图11 2 3 4 5 6 7 4 3 11 26 37 9 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图 “限塑令”实施后，使用各种购物袋的人数分布统计图 其它 5% 收费塑料购物袋 ％ 自备袋 46%押金式环保袋24%（2）六、解答题（共2道小题，共9分）21（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？解：22（本小题满分4分）已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG BC∥交AC于点G DE BC⊥于点E，过点G作GF BC⊥于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG DE GF，，按图1所示方式折叠，点A B C，，分别落在点A'，B'，C'处若点A'，B'，C'在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C'''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D，，，恰好落在网格图中的格点上如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C'''的面积；（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A B C'''存在试用含m的代数式表示重叠三角形A B C'''的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）解：（1）重叠三角形A B C'''的面积为；（2）用含m的代数式表示重叠三角形A B C'''的面积为；m的取值范围为AGCDA'图1AGCFB'C'EBDA'图2ACB备用图ACB备用图七、解答题（本题满分7分）23已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=> （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤（1）证明：（2）解：（3）解：八、解答题（本题满分7分）24在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数解：（1）（2）1 2 3 44 3 2 1y O -1 -2 -3 -4 -4-3 -2 -1 1 O y x2 3 4 4321-1 -2 -2-1（3）九、解答题（本题满分8分） 25请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC 的值（用含α的式子表示） 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PGPC= （2）D A BE F C P G 图1 D C G PA B E F图22008年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名 2第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷3第Ⅱ卷包括填空题和解答题为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ADCCBBBD第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 题号 91011 12答案12x ≠()()a a b a b +-4207b a - 31(1)n nnb a-- 三、解答题（共5道小题，共25分） 13（本小题满分5分）解：10182sin 45(2π)3-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222132=-⨯+- ···················································································· 4分 22=- ···································································································· 5分 14（本小题满分5分）解：去括号，得51286x x --≤ ······································································ 1分 移项，得58612x x --+≤ ············································································· 2分 合并，得36x -≤ ························································································· 3分 系数化为1，得2x -≥ ·················································································· 4分··················································································································· 5分15（本小题满分5分） 证明：AB ED ∥， B E ∴∠=∠ ································································································ 2分 在ABC △和CED △中，AB CE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ABC CED ∴△≌△ ······················································································ 4分 AC CD ∴= ································································································ 5分16（本小题满分5分）解：由图象可知，点(21)M -，在直线3y kx =-上， ·············································· 1分 231k ∴--= 解得2k =- ································································································· 2分∴直线的解析式为23y x =-- ········································································ 3分 令0y =，可得32x =-∴直线与x 轴的交点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，································································· 4分 令0x =，可得3y =-∴直线与y 轴的交点坐标为(03)-， ·································································· 5分 17（本小题满分5分） 解：222()2x yx y x xy y+--+ 22()()x yx y x y +=-- ························································································· 2分2x yx y+=- ···································································································· 3分当30x y -=时，3x y = ················································································ 4分原式677322y y y y y y +===- ················································································· 5分四、解答题（共2道小题，共10分） 18（本小题满分5分）解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ······································· 1分∴AE DF ∥又AD BC ∥，∴四边形AEFD 是矩形2EF AD ∴== ······································ 2分 AB AC ⊥，45B ∠=，42BC =， AB AC ∴=1222AE EC BC ∴=== 22DF AE ∴==，2CF EC EF =-= ····················································································· 4分 在Rt DFC △中，90DFC ∠=，2222(22)(2)10DC DF CF ∴=+=+= ·············································· 5分解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ， ······················ 1分AB AC ⊥，90AED BAC ∴∠=∠= AD BC ∥，18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠=在Rt ABC △中，90BAC ∠=，45B ∠=，42BC =，2sin 454242AC BC ∴==⨯= ································································· 2分 在Rt ADE △中，90AED ∠=，45DAE ∠=，2AD =，1DE AE ∴==3CE AC AE ∴=-= ···················································································· 4分在Rt DEC △中，90CED ∠=，22221310DC DE CE ∴=+=+= ··························································· 5分 19 （本小题满分5分） 解：（1）直线BD 与O 相切 ·········································································· 1分 证明：如图1，连结OD OA OD =，ABCDFE图2A BCDFE 图1A ADO ∴∠=∠90C ∠=， 90CBD CDB ∴∠+∠=又CBD A ∠=∠，90ADO CDB ∴∠+∠= 90ODB ∴∠=∴直线BD 与O 相切 ··················································································· 2分 （2）解法一：如图1，连结DEAE 是O 的直径， 90ADE ∴∠=:8:5AD AO =，4cos 5AD A AE ∴== ······················································································· 3分90C ∠=，CBD A ∠=∠， 4cos 5BC CBD BD ∴∠== ················································································ 4分 2BC =， 52BD ∴= ······································································· 5分解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H 12AH DH AD ∴==:8:5AD AO =，4cos 5AH A AO ∴== ····················· 3分90C ∠=，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠== ·································· 4分2BC =，52BD ∴= ··································································································· 5分五、解答题（本题满分6分） 解：（1）补全图1见下图 ················································································ 1分DCOAE 图1DCO AH图240 3530 252015 10 5 01 2 3 4 5 6 7 4 3 11 26 379人数／位 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图 109137226311410546373003100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（个）这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个 ··································· 3分200036000⨯=估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋 ·········································· 4分 （2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25% ································· 5分 根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献 ·································································································· 6分 六、解答题（共2道小题，共9分）21解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(40)x +千米 ·········································································· 1分依题意，得3061(40)602x x +=+ ····································································· 3分 解得200x = ································································································ 4分答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米 ································ 5分 22解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为3 ······················································ 1分 （2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为23(4)m -； ······················· 2分m 的取值范围为843m <≤ ············································································· 4分 七、解答题（本题满分7分） 23（1）证明：2(32)220mx m x m -+++=是关于x 的一元二次方程，222[(32)]4(22)44(2)m m m m m m ∴∆=-+-+=++=+当0m >时，2(2)0m +>，即0∆>∴方程有两个不相等的实数根 ·········································································· 2分 （2）解：由求根公式，得(32)(2)2m m x m+±+=22m x m+∴=或1x = ···················································································· 3分0m >，222(1)1m m m m++∴=>12x x <，11x ∴=，222m x m +=·················································································· 4分 21222221m y x x m m+∴=-=-⨯=。

北京市崇文区中考数学二模试卷精锐国际教育集团师资基地初中数学专业补考试卷【温馨提示】请将答案写在答题卡上。

第Ⅰ卷(选择题 共32分)一、选择题(本题共32分，每小题4分)在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．选项是正确的．1．21-的绝对值是( ) A ．－2 B ．2 C ．21- D ．21 2．下列运算中，正确的是( ) A ．2632=⨯B ．32－22＝1C ．24÷6＝4D ．16＝±43．图中几何体的左视图是( )第3题图4．把抛物线y ＝－2(x －1)2向上平移1个单位长度，得到的抛物线是( )A ．y ＝－2x 2B ．y ＝－2(x －1)2＋1C ．y ＝－2x 2＋1D ．y ＝－2(x －1)2－15．五箱苹果的质量分别为(单位：千克)：18，20，21，22，19，则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为() A．19和20 B．20和19C．20和20 D．20和216．若一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是()A．6 B．8 C．10 D．127．如果⊙O1和⊙O2相外切，⊙O1的半径为3，O1O2＝5，那么⊙O2的半径为()A．8 B．2 C．6 D．78．如右图，四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，CB⊥AB，1AB，直线l⊥AB．若设直线l截这个梯形所CD＝BC＝2得的位于此直线左方的图形(阴影部分)面积为y，点A 到直线l的距离为x，则y与x的函数关系的大致图象为()第8题图第Ⅱ卷(解答题共88分)二、填空题(本题共16分，每小题4分)9．按下面程序计算，输入x＝－2，则输出的答案是________.10．现规定一种运算：a *b ＝ab ＋a －b ，其中a ，b 为实数，则3*(－1)的值等于________.11．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，则∠CAD ＝________°．第11题图 第12题图12．已知小明家5月份总支出共计1 200元，各项支出所占百分比如图所示，那么其中用于教育上的支出所占百分比是________元．三、解答题(共13个小题，共72分)13．(5分)用配方法解方程：x 2＋2x －2＝0．14．(5分)求不等式x x≥+-221的非负整数解．15．(5分)解方程13112=+-x x x．16．(5分)已知关于x 的一元二次方程x 2＋kx －2＝0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若此方程有一个根为2，求k 的值并求出方程的另一个根．17．(5分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD ＝2，∠BAD＝120°，对角线AC平分∠BCD，求等腰梯形ABCD的周长．第17题图18．(5分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E在AC边上，EG⊥BC于G，且EG＝BC，点D是GB延长线上一点，且DG＝AB，DE交AB于点F．请你找出图中与△ABC全等的一个三角形(不必添加辅助线)，并加以证明，再指出此三角形可以通过何种图形变换得到△ABC．第18题图19．(5分)如图，某风景区的湖心岛上有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在西北方向上，测得B在北偏东30°方向上，且量得B、C之间的距离为200米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第19题图20．(4分)用四个如图①所示的直角梯形，可以拼成一个平行四边形，例如图②．请你画出另外两种不同的拼法示意图．(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)第20题图21．(5分)将写有数字1，2，3，4的四张红色卡片和写有数字1，2，3的三张蓝色卡片分别放入两个不透明的盒子里，卡片除颜色和数字可能不同外其余完全相同．若在两个盒子里各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数字，蓝色卡片上的数字作为个位数字组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．22．(5分)如图，点A是⊙O上的点，BC切⊙O于点B，且BC⊥AC，过点B的割线交⊙O于另一点D，交AC的延长线于点P，若AC＝BC＝2．(1)试判断直线PA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；4时，求弦BD的长．(2)当cos P＝5第22题图23．(7分)如图，正方形ABCD的边长为3，两动点E，F 分别从顶点B，C同时开始以相同的速度沿BC，CD 向终点C，D运动(点E不与点C重合，点F不与点D 重合)，同时将△BCF沿BC方向平移BE长度得到△EGH，点B，E，C，G在同一直线上．(1)请你猜想当点E运动到BC边的什么位置时，△DEH 是等腰三角形，并加以证明；(2)若BE＝1，求DH的长和△DEH的面积．第23题图24．(8分)在平面直角坐标系xOy 内，一次函数y ＝x 33-＋3的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D ，E 分别为线段OB ，AB 上的点，当沿DE 将△OAB 折叠时，恰使点B 落在OA 边上的点C 处，并且有EC ⊥AO ．(1)求线段AB 的长；(2)请你判断此时四边形BDCE 的形状，并加以证明；(3)求出此时直线DE 的解析式．25．(8分)已知：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c bx x y ++=231的图象经过B (0，1)和C (3，2)两点．(1)求这个二次函数的解析式．(2)在x 轴上是否存在点A ，使得△ABC 是以BC 为底边的等腰直角三角形?若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在(2)的条件下，点P (1，a )为坐标系中的一个动点，若要满足S △ABP ＝2S △ABC ，请你求出此时a 的值．【初中数学专业补考试卷参考答案】一、选择题1．D 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C二、填空题9．1 10．1 11．60 12．216三、解答题13．解：移项，得x 2＋2x ＝2，配方，得x 2＋2x ＋1＝2＋1，(x ＋1)2＝3，解这个方程得x 1＝－1＋3，x 2＝－1－3．14．解：x －1＋4≥2x ，－x ≥－3，x ≤3． ∴不等式x x≥+-221的非负整数解为0，1，2，3．15．解：去分母，得3(2x ＋1)＋1＝3x ，去括号，得6x ＋3＋1＝3x ，移项，合并，得3x ＝－4，34-=x ． 经检验：34-=x 是原方程的解． 16．(1)证明：Δ＝b 2－4ac ＝k 2＋8，∵k 2≥0，∴k 2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：由题意可得22＋2k －2＝0．k ＝－1．∴方程的另一个根为－1．17．解：∵AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，∴∠B ＝∠BCD ＝60°．∵AC 平分∠BCD ，∴∠DCA ＝∠BCA ＝30°．∴∠DAC ＝∠DCA ＝30°． ∴AD ＝CD ．又可求∠BAC ＝90°，∴BC ＝2AB ．∵AB ＝CD ＝2，∴等腰梯形ABCD 的周长＝AB ＋AD ＋CD ＋BC ＝10．18．解：与△ABC 全等的是△DGE ．证明如下：∵EG ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABC ＝∠DGE ＝90°．在△ABC 和△DGE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DG AB DGE ABC GE BC∴△ABC ≌△DGE ．△DGE 可以通过旋转和平移变换得到△ABC ．19．解：如图，过C 点作AB 的垂线交AB 于D ，∵B 点在A 点的正东方向上，∴∠ACD ＝45°，∠DCB ＝30°．在Rt △BCD 中，BC ＝200米，∴DB ＝BC ×sin30°＝200×0.5＝100(米)；CD ＝BC ×cos30°≈200×0.865＝173(米)．在Rt △ACD 中，AD ＝CD ≈173(米)．∴AB ＝AD ＋DB ≈173＋100＝273(米)．第19题答图20．解：可能的拼法如图所示，任选两种即可．第20题答图21．解：用画树状图的方法，列出两次抽得的卡片上所标数字的所有可能结果如下．第21题答图∵所有可能的结果有12个，它们出现的可能性相等，所有的结果中，满足抽得的两张卡片上的数字按题目要求组成的两位数大于22的结果有7个，∴P(两位数大7．于22)＝1222．解：(1)直线PA与⊙O相切．证明如下：如图，连结OA 、OB 、OC ．∵点A 、B 在⊙O 上，∴OA ＝OB ．在△OAC 和△OBC 中，⎪⎩⎪⎨⎧===,,,OC OC CB CA OB OA∴△OAC ≌△OBC ．∴∠OAC ＝∠OBC ．∵BC 与⊙O 相切，∴∠OAC ＝∠OBC ＝90°．∴直线PA 与⊙O 相切．(2)可证四边形OACB 是正方形．∴OB ＝2，OB ∥AP ． ∴∠OBD ＝∠P ．过点O 作OE ⊥BD 于点E ． 54cos =P ，54cos =∠∴OBE ．在Rt △OBE 中，可求58=BE ．5162==∴BE BD ．第22题答图23．解：(1)当点E 运动到BC 边的中点时，△DEH 是等腰三角形．证明如下：由题意可知，△BCF ≌△EGH ．∴BC ＝EG ＝CD ，CF ＝GH ．∴BE ＝CG ．又由题意可知，BE ＝CF ．∴BE ＝CF ＝GH ．当点E 运动到BC 边的中点时，BE ＝CG ＝CE ＝GH ．在△DCE 和△EGH 中，CE ＝GH ，∠DCE ＝∠EGH ，DC ＝EG ，∴△DCE ≌△EGH ．∴DE ＝EH ．∴△DEH 是等腰三角形．另外两种情况均不成立．第23题答图(2)连结FH ．可证四边形CGHF 是正方形．∴BE ＝GH ＝FH ＝1，DF ＝2．在Rt △DFH 中，可求DH ＝5．=++=+=⋅⋅⋅∆CG CD GH CD EC S S S DCGH DEC DEGH )(2121梯形四边形51)31(213221=⨯+⨯+⨯⨯，23132121=⨯⨯=⨯⨯=∆HG EG S EGH ，27235=-=-=∴∆∆EGH DEGH DEH S S S 四边形．24．解：(1)∵一次函数333+-=x y 的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴可求出点A 的坐标为(33，0)，点B 的坐标为(0，3)． ∴AB ＝6．(2)四边形BDCE 是菱形．证明如下：由题意可知，∠OAB ＝30°，∠OBA ＝60°．第24题答图∵沿DE 将△OAB 折叠，恰使点B 落在OA 边上的点C 处，∴∠OBA ＝∠DCE ＝60°，BD ＝CD ．∵EC ⊥AO ，∴∠DCO ＝30°．∴AB ∥CD ．又∵BD ∥CE ，∴四边形BDCE 是菱形．(3)∵∠DCO ＝30°，∴CD ＝2OD ．∵BD ＝CD ，OB ＝3，∴OD ＝1，BD ＝2．∴点D 的坐标为(0，1)．∴CE ＝2．在Rt △OCD 中，可求OC ＝3，∴点E 的坐标为(3，2)．设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b ．.1,33.1,32==∴⎩⎨⎧=+=∴b k b b k∴直线DE 的解析式为133+=x y ． 25．解：(1)由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=.1,333122c c b 解得.1,32=-=c b ∴抛物线的解析式为132312+-=x x y ． (2)在x 轴上存在点A ，使得△ABC 是以BC 为底边的等腰直角三角形． 理由如下：如下图，过点C 作CD ⊥x 轴．若在x 轴上存在点A ，使得△ABC 是以BC 为底边的等腰直角三角形，则必有△ABO ≌△CAD ．∵B 点的坐标为(0，1)，C 点的坐标为(3，2)，∴D 点的坐标为(3，0)，∴OA ＝DC ＝2，OB ＝DA ＝1．∴点A 的坐标为(2，0)．第25题答图(3)可求AB ＝AC ＝5．25=∴∆ABC S ．设抛物线的对称轴与AB 的交点为点E ．可求点E 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1． 由题意易知P 为二次函数对称轴上一点，S △PAB ＝S △PAE ＋S △PBE ．当点P 在点E 的上方时，121212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=+=∆∆∆a S P PPBE PAE PAB 21-=a ． ABC ABP S S ∆∆=2 ，521=-∴a ，211=a ． 当点P 在点E 的下方时，121212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=+=∆∆∆a S S S PBE PAE PAB a -=21．同理可求29-=a ．综上，所求a 的值为211或29-．。

07-08年.高三下.崇文.数学.二模.卷答（2008-5，理科）一、选择题（共2小题；共10分）1. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x26+y22=1的右焦点重合，则p的值为______A. −2B. 2C. −4D. 42. 按分层抽样的方法，从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排，则不同的排列方法有______A. C104B. A104C. A106D. A1010二、填空题（共1小题；共5分）3. 二项式 x−1x 6x≠0的展开式中常数项等于______．三、解答题（共3小题；共39分）4. 已知函数f x=x m−x x∈R，且f1=0．（1）求函数f x的解析式；（2）作出函数f x的图象，并指出函数f x的单调区间；（3）求不等式f x>14的解集．5. 如图，已知正方形ABCD与矩形BEFD所在的平面互相垂直，AB=2，DF=1，P是线段EF上的动点．（1）若点O为正方形ABCD的中心，求直线OP与平面ABCD所成角的最大值；（2）当点P为EF的中点时，求直线BP与FA所成角的正弦值；（3）求二面角A−EF−C的大小．6. 已知A x1,y1，B x2,y2是函数f x=2x1−2x,x≠12−1,x=12的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x=12上，且AM = MB．（1）求x1+x2的值及y1+y2的值（2）已知S1=0，当n≥2时，S n=f1n +f2n+f3n+⋯+f n−1n，求S n；（3）在（2）的条件下，设a n = 2S n，T n为数列a n的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式T m−cT m+1−c <12成立，求c和m的值．四、选择题（共6小题；共30分）7. 函数y=sin x+π2的一个单调递增区间为______A. −π2,π2B. 0,πC. π2,3π2D. π,2π8. 若双曲线x2a −y2b=1的渐近线方程为y=±32x，则其离心率为______A. 132B. 133C.1313D. 132或1339. 若半径为1的球与120∘的二面角的两个半平面切于M、N两点，则两切点间的球面距离是______A. 4π3B. π C. 2π3D. π310. 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别是棱A1B1,A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离为______A. 95B. 3 C. 43D. 5411. 若偶函数f x定义域为−∞,0∪0,+∞，f x在0,+∞上的图象如图所示，则不等式f x fʹx>0的解集是______A. −∞,−1∪0,1B. −1,0∪1,+∞C. −∞,−1∪1,+∞D. −1,0∪0,112. 下列命题中正确的有______．①若向量a与b满足a⋅b<0，则a与b所成角为钝角；②若向量a与b不共线，m=λ1a+λ2b，n=μ1a+μ2b，其中λ1，λ2，μ1，μ2均为实数，则m∥n的充要条件是λ1μ2−λ2μ1=0；③若OA+OB+OC=0，且OA=OB=OC，则△ABC是等边三角形；④若a与b非零向量，a⊥b，则a+b=a−b．A. ②③④B. ①②③C. ①④D. ②五、填空题（共3小题；共15分）13. 函数y=f x的图象在点P5,y0处的切线方程是y=−x+8，则f5+fʹ5= ______．14. 已知等比数列a n的公比不为1，其前n项和为S n，若向量i=a1,a2，j=a1,a3，k=−1,1满足4i−j⋅k=0，则S5a1= ______．15. 在如图所示的数阵中，分别按图中虚线，从上到下把划到的数一一列出，构成一个数列a n：C11，C20，C22，C31，C40，C33，C42，C51，C60，⋯，则a22= ______．（用数值作答）六、解答题（共3小题；共39分）16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，且满足b cos A+a cos B=2c cos C，△ABC的面积为43．（1）求角C的大小；（2）若a=2，求边长c．17. 已知8人组成的抢险小分队中有3名医务人员，将这8人分为A，B两组，每组4人．（1）求A，B两组中有一组恰有一名医务人员的概率；（2）求A组中至少有两名医务人员的概率；（3）求A组中医务人员人数ξ的数学期望．18. 已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足 AB =2，点P在线段AB上，且AP=tPB（t是不为0的常数），设点P的轨迹方程为C．（1）求点P的轨迹方程C；（2）若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，试求实数t的取值范围；（3）若t=2，点M，N是曲线C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为32,3，求△QMN的面积S的最大值．七、填空题（共2小题；共10分）19. 函数y=lg 3−x x−2的定义域是______．20. 已知函数f x=2ax+1,x>1,2,x=1,x2+b,x<1,在x=1处连续，则a= ______，b= ______．答案第一部分1. D2. A第二部分3. −20第三部分4. （1）由f1= m−1=0⇒m=1．f x=x 1−x =−x 2+x, x≤1,x2−x,x>1.（2）图象如图f x的单调递增区间是 −∞,12和1,+∞，f x的单调递减区间是12,1．（3）由（2）知，函数f x=−x2+x在区间−∞,1上的最大值为f12=14，又∵函数f x=x2−x在区间1,+∞上单调递增，如图可知，在区间1,+∞上存在x0，有f x0=14．即令x2−x=14，解得x=1±22．又∵x∈1,+∞，∴x0=1+22．∴不等式f x>14的解集是1+22,+∞ ．5. （1）OP．设OP与平面ABCD所成角为α，则α∈π4,π2．当P是线段EF的中点时，OP⊥平面ABCD，直线OP与平面ABCD所成的最大角是π2．（2）AF、FC、OF．易证FO∥PB，∴∠AFO是直线BP与FA所成的角．依题意，在等腰△AFC中，FO⊥AC，△AFO为直角三角形．∵AD=2，DF=1，∴AF=3．又AO=1222+22=1，∴在Rt△AOF中，sin∠AFO=AOAF =33．（3）AE、EC，则AF=FC=AE=EC=．取EF的中点P，连结AP、CP，AP⊥EF,CP⊥EF，则∠APC是二面角A−EF−C的平面角．则等腰△AEF≌△CEF，∴在△APC中，AP=CP=又AC=2，∴△APC是直角三角形．且∠APC=π2．∴二面角A−EF−C的大小是π2．6. （1） ∵点 M 在直线 x =12上，设 M 12,y M ．又 AM = MB ，即 AM = 12−x 1,y M −y 1 ，MB= x 2−12,y 2−y M ， ∴ x 1+x 2=1．①当 x 1=12 时，x 2=12，y 1+y 2=f x 1 +f x 2 =−1−1=−2； ②当 x 1≠12时，x 2≠12，y 1+y 2=2x 11−2x 1+2x 21−2x 2=2x 1 1−2x 2 +2x 2 1−2x 11−2x 1 1−2x 2=2 x 1+x 2 −8x 1x 21−2 x 1+x 2 +4x 1x 2=2 1−4x 1x 2 4x 1x 2−1=−2.综合①②得，y 1+y 2=−2．（2） 由（1）知，当 x 1+x 2=1 时，y 1+y 2=−2． ∴ f kn+fn−k n=−2，k =1,2,3,⋯,n −1．n ≥2 时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+fn−1n，①S n =fn−1n +fn−2n+fn−3n+⋯+f 1n ，②①+②得，2S n =−2 n −1 ，则 S n =1−n ． n =1 时，S 1=0 满足 S n =1−n ．∴ S n =1−n ． （3） a n =2S n =21−n ，T n =1+12+⋯+ 12n−1=2−22n ．T m −c m +1<1⇔2 T m −c − T m +1−c m +1 <0⇔c − 2T m −T m +1m +1<0.T m +1=2−12，2T m −T m +1=4−42−2+12=2−32， ∴ 12≤2−32m <c <2−12m <2，c 、 m 为正整数， ∴ c =1，当 c =1 时， 2−32<12−12m >1∴ 1<2m <3， ∴ m =1． 第四部分7. D 8. A 9. D 10. C11. B 12. A 第五部分 13. 2 14. 121 15. 21 第六部分16. （1） 由已知及正弦定理，得sin B cos A +sin A cos B =2sin C cos C ,化简，得sin A +B =sin C=2sin C cos C .由 sin C ≠0，得cos C =12,因为 0<C <π，所以 C =π3．（2） 由 △ABC 的面积为 4 3，得12ab sin C =4 3,结合 a =2，C =π3，解得 b =8．由余弦定理，得c = a 2+b 2−2ab cos C =2 13.17. （1） 设" A ，B 两组中有一组恰有一名医务人员"为事件 C ，则P C =C 32C 52C 84+C 32C 52C 84=67.（2） 设" A 组中至少有两名医务人员"为事件 D ，则P D =C 32C 52C 84+C 33C 51C 84=12.（3） ξ 的可能取值为 0，1，2，3，则P ξ=0 =C 54C 84=114,P ξ=1 =C 31C 53C 84=37,P ξ=2 =C 32C 52C 84=37,P ξ=3 =C 33C 51C 84=114,因此，Eξ=0×114+1×37+2×37+3×114=32. 18. （1） 设点 A a ,0 ，B 0,b ，P x ,y ，由 AP=tPB ，得 x −a ,y =t −x ,b −y ,即 x −a =−tx ,y =t b −y , 解得 a = 1+t x ,b =1+t ty ,由 AB =2，得 a 2+b 2=4，从而 1+t 2x 24+ 1+t 2y 24t 2=1.因此，点 P 的轨迹方程为C :x 241+t 2+y 24t 2 1+t 2=1.（2） 根据题意，得41+t >4t 21+t ,解得t 2<1,结合 t >0，解得 0<t <1．（3） 当 t =2 时，曲线 C 的方程为9x 24+9y 216=1.设 M x 1,y 1 ，N −x 1,−y 1 ，则 MN =21212① 当 x 1≠0 时，设 MN 的方程为 y =y 1x 1x ，则点 Q 到 MN 的距离为ℎ=32y −3xx 1+y 1,从而△QMN 的面积为S=12⋅2 x 12+y 12⋅32y −3xx 1+y 1= 32y 1−3x 1 .由9x 124+9y 1216=1，得9x 12+94y 12=4.于是S2= 32y 1−3x 12=9x 12+94y 12−9x 1y 1=4−9x 1y 1.因为1=9x 124+9y 1216≥−2⋅3x 12⋅3y 14=−9x 1y 14,解得−9x 1y 1≤4,从而S 2=4−9x 1y 1≤8,当且仅当3x 12=−3y 14，即 x 1=−12y 1 时，S max =2 2.② 当 x 1=0 时， MN =2×43=83.此时，△QMN 的面积为S =12⋅83⋅32=2.综上，△QMN 的面积 S 有最大值 2 2． 第七部分19. −∞,2 ∪ 2,3 20. 12；1。