清华信号与系统02线性时不变系统

第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2

信号与系统考研试题答案一、选择题1. 信号的傅里叶变换具有以下哪些性质？A. 线性B. 时移C. 频移D. 以上都有答案：D解析：傅里叶变换具有线性性质，即两个信号的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的和；具有时移性质，即时域中的平移对应频域中的相乘以频率因子；具有频移性质，即频域中的平移对应时域中的相乘以复指数函数。

2. 下列哪个系统是线性时不变系统？A. 弹簧质量阻尼系统B. 电子滤波器C. 人体生理系统D. 经济系统答案：B解析：线性时不变系统是指系统对任何输入信号的响应可以分解为对每个单独输入分量的响应的线性组合，并且这种关系不随时间变化。

电子滤波器满足这一定义，而其他选项中的系统通常不具备这种性质。

3. 连续时间信号的拉普拉斯变换定义中，s表示什么？A. 复频域变量B. 时域变量C. 空间变量D. 频率变量答案：A解析：拉普拉斯变换是将连续时间信号从时域转换到复频域的数学工具，其中s代表复频域变量，它包含了频率和阻尼因子。

4. 在数字信号处理中，离散傅里叶变换（DFT）的主要应用是什么？A. 信号的去噪B. 信号的压缩C. 信号的频谱分析D. 信号的滤波答案：C解析：离散傅里叶变换（DFT）主要用于分析离散信号的频率成分，即信号的频谱分析。

而去噪、压缩和滤波通常是通过其他方法或变换来实现的。

二、填空题1. 一个连续时间信号若在整个时间轴上绝对可积，则其傅里叶变换存在的条件是________。

答案：该信号的傅里叶变换收敛解析：连续时间信号的傅里叶变换存在的必要条件是信号在整个时间轴上绝对可积，即其积分绝对值有限。

2. 在信号与系统中，单位脉冲函数通常用符号________表示。

答案：δ(t)解析：单位脉冲函数是一个理想化的信号，其在t=0处的值无限大，但在整个时间轴上的积分为1，通常用δ(t)表示。

三、简答题1. 简述线性系统和非线性系统的区别。

答案：线性系统满足叠加原理，即系统对多个输入信号的响应等于对每个单独输入信号响应的和。

x(k)h(n k) ku(k)u(n k)
k
k
n k 1 n1 u(n)
k 0
1
11
例2：
x(n)

1 0
0n4 otherwise
n
h(n) 0
1,0 n 6
otherwise

h(t) h(n)
x(t)
y(t) y(n)
结论：
一个单位冲激响应是 h(t) 的LTI系统对输入 信号 x(t) 所产生的响应，与一个单位冲激响应 是x(t)的LTI系统对输入信号 h(t) 所产生的响应
相同。
25
2. 分配律： x(n) [h1(n) h2 (n)] x(n) h1(n) x(n) h2(n) x(t) [h1(t) h2 (t)] x(t) h1(t) x(t) h2(t)
1
本章主要内容：
• 信号的时域分解——用 (n) 表示离散时间信号； 用 (t) 表示连续时间信号。
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。
• LTI系统的微分方程及差分方程表示。 • LTI系统的框图结构表示。 • 奇异函数。
2
2.0 引言 ( Introduction )
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有 时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的 理论与方法奠定了基础。
缺点：①只适用于两个有限长序列的卷积和； ②一般情况下，无法写出 y(n)的封闭表达式。
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2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）

线性时不变系统
传递函数
• 在考虑扰动的情况下，系统的传递函数可以写成
y (t ) = G (q )u (t ) + H (q )e(t )
（2.12）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
稳定性
• 系统的传递函数如果满足以下条件
G (q ) =
∞ ∞
∑
k =1
线性时不变系统
传递函数
• 我们定义q算子
qu (t ) = u (t + 1)
• 同样
q −1u (t ) = u (t − 1)
（2.9）
（2.10）
• 那么（2.6）就可以写成
y (t ) =
∞ k =1
∑ g (k )u(t − k ) =∑ g (k )q
k =1
∞
−k
u (t )
（2.11）
y (t ) = G (q )u (t )
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 如果系统是稳定的，随着k的增大，g(k)趋近于0， 则上式可以简化为
G (q ) = ∑ g (k )q − k
k =1
n
• 其中g(n+1)，g(n+2)，…接近于0，可以忽略不计
（2.3）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
单位脉冲响应模型
• 将（2.3）带入（2.2）
y (kT ) = =
∫τ