AOE关键路径知识讲解

关键路径（CPM）AOE网(Activity On Edge network)，即边表示活动的网络，与AOV网相对应的是。

它通常表示一个工程的计划或进度。

AOE网是一个有向带权图，图1中的：边：表示活动(子工程)，边上的权：表示该活动的持续时间，即完成该活动所需要的时间；顶点：表示事件，每个事件是活动之间的转接点，即表示它的所有入边活动到此完成，所有出边活动从此开始。

其中有两个特殊的顶点(事件)，一个称做源点，它表示整个工程的开始，亦即最早活动的起点，显然它只有出边，没有入边；另一个称做汇点，它表示整个工程的结束，亦即最后活动的终点，显然它只有入边，没有出边。

除这两个顶点外，其余顶点都既有人边，也有出边，是入边活动和出边活动的转接点。

在一个AOE网中，若包含有n个事件，通常令源点为第0个事件，汇点为第n-1个事件，其余事件的编号(即顶点序号)分别为1~n-2。

一个AOE网如图，该网中包含有10项活动和7个事件。

例如，边<1，2>表示活动a l，持续时间(即权值)为3，假定以天为单位，即a1需要3天完成，它以V1事件为起点，以V2事件为终点；边<2，5>和<2，4>分别表示活动a4和a5，它们的持续时间分别为4天和2天，它们均以V2事件为起点，以V5和V4事件为终点。

该网中的源点和汇点分别为第1个事件V1和最后一个事件V7，它们分别表示整个工程的开始和结束。

对于一个AOE网，待研究的问题是：(1)整个工程至少需要多长时间完成?(2)哪些活动是影响工程进度的关键?图1AOE网1．事件的最早发生时间与活动的最早开始时间的关系在AOE网中，一个顶点事件的发生或出现必须在它的所有入边活动(或称前驱活动)都完成之后，即只要有一个入边活动没有完成，该事件就不可能发生。

所以：一个事件的最早发生时间是它的所有入边活动，或者说最后一个入边活动刚完成的时间。

一个活动的开始必须在它的起点事件发生之后，也就是说，一个顶点事件没有发生时，它的所有出边活动(或称后继活动)都不可能开始，所以：一个活动的最早开始时间是它的起点事件的最早发生时间。

单韵母aoe知识点总结一、韵母aoe的发音规律韵母aoe在汉语拼音中的发音规律如下：1. a韵母的发音：a的发音是一个平舌元音，发音时舌头平放，口型呈现半圆形，声音由喉部发出。

2. o韵母的发音：o的发音是一个圆唇元音，发音时口唇要呈现圆形，声音由喉部发出。

3. e韵母的发音：e的发音是一个合口元音，发音时口型要呈现半合状态，声音由喉部发出。

二、韵母aoe在拼音中的用法韵母aoe在汉语拼音中有着多种用法：1. 作为单韵母使用：在一些汉字中，aoe会作为单韵母出现，如“烤(kǎo)”、“靠(kào)”、“老(lǎo)”等。

2. 作为复合韵母使用：aoe还可以与其他韵母合并成复合韵母使用，如“高(gāo)”、“告(gào)”、“座(zuò)”等。

三、韵母aoe在词汇运用中的示例韵母aoe在汉语词汇中有着广泛的运用，一些常用词汇示例如下：1. 高(gāo)：表示高的意思，如“高山(gāo shān)”、“高楼(gāo lóu)”等。

2. 烤(kǎo)：表示用热的方法烹饪食物，如“烤鸭(kǎo yā)”、“烤肉(kǎo ròu)”等。

3. 座(zuò)：表示坐的意思，如“座位(zuò wèi)”、“座谈(zuò tán)”等。

四、韵母aoe的常见读音错误在汉语学习过程中，很多学习者容易在韵母aoe的发音上出现错误。

常见的错误包括：将ao读成o，将ao读成e，将o读成uo等。

因此，正确掌握韵母aoe的发音规律和用法对于避免发音错误具有重要意义。

五、韵母aoe的练习技巧为了提高对韵母aoe的发音准确度，学习者可以通过以下几种技巧进行练习：1. 反复听音频，模仿发音：可以通过听音频、视频等多媒体材料，反复模仿正确的发音来提高自己的发音准确度。

2. 多读多练，熟悉用法：可以通过朗读句子、阅读文章等方式，加深对韵母aoe的用法和运用的熟悉度，从而提高语言表达的准确性和流利度。

数据结构课程设计报告专业网络工程班级姓名学号指导老师评分计算AOE网的关键路径AOE网即边表示活动的网络。

通常，可用AOE网来估算工程计划的完成时间。

如下所示的AOE网包括11项活动，9个事件，每个事件都有所需的完成时间。

我们现在要解决的是：（1）完成整项工程至少需要多少时间（最短时间）；（2）哪些活动是影响工程进度的关键（关键活动）。

用e(i)表示活动最早开始时间，l(i)表示活动的最迟开始时间，则l(i)-e(i)为完成该活动的时间余量。

对于本例列表如下：下图就是上述AOE网的关键路径：请编程完成下列工作：1、输入：（1）顶点的信息和入度；（2）AOE网的边（始点、终点和权值）。

2、输出：（1） AOE网的邻接表（按“顶点入度：—>顶点权值”的格式输出）如a 0：-->4 5-->3 4-->2 6（2）输出关键活动每行所显示的分别为开始事件、结束事件、最早开始时间、最迟开始时间和完成活动的时间余量：当l(i)-e(i)=0时，在该行注明为关键活动。

如：a b 0 0 0 关键活动源程序#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<iomanip.h>#include <process.h>//#define PROJECTNUMBER 9//10//#define PLANNUMBER 11//13typedef struct node{int adjvex;int dut;struct node *next;}edgenode;typedef struct{int projectname;int id;edgenode *link;}vexnode;//vexnode Graphicmap[PROJECTNUMBER];void CreateGraphic(vexnode* Graphicmap,int projectnumber,int activenumber){int begin,end,duttem;edgenode *p;for(int i=0;i<projectnumber;i++){Graphicmap[i].projectname=i;Graphicmap[i].id =0;Graphicmap[i].link =NULL;}printf("某项目的开始到结束在图中的节点输入<vi,vj,dut>\n");printf("如：3,4,9 回车表示第三节点到第四节点之间的活动用了9个单位时间\n"); for(int k=0;k<activenumber;k++){scanf("%d,%d,%d",&begin,&end,&duttem);p=(edgenode*)malloc(sizeof(edgenode));p->adjvex =end-1;p->dut =duttem;Graphicmap[end-1].id ++;p->next =Graphicmap[begin-1].link ;Graphicmap[begin-1].link =p;}}int SearchMapPath(vexnode* Graphicmap,int projectnumber,int activenumber,int& totaltime){int i,j,k,m=0;int front=-1,rear=-1;int* topologystack=(int*)malloc(projectnumber*sizeof(int));//用来保存拓扑排列int* vl=(int*)malloc(projectnumber*sizeof(int));//用来表示在不推迟整个工程的前提下，VJ允许最迟发生的时间int* ve=(int*)malloc(projectnumber*sizeof(int));//用来表示Vj最早发生时间int* l=(int*)malloc(activenumber*sizeof(int));//用来表示活动Ai最迟完成开始时间 int* e=(int*)malloc(activenumber*sizeof(int));//表示活动最早开始时间edgenode *p;totaltime=0;for(i=0;i<projectnumber;i++) ve[i]=0;for(i=0;i<projectnumber;i++){if(Graphicmap[i].id==0){topologystack[++rear]=i;m++;}}while(front!=rear){front++;j=topologystack[front];m++;p=Graphicmap[j].link ;while(p){k=p->adjvex ;Graphicmap[k].id --;if(ve[j]+p->dut >ve[k])ve[k]=ve[j]+p->dut ;if(Graphicmap[k].id ==0)topologystack[++rear]=k;p=p->next ;}}if(m<projectnumber){printf("\n本程序所建立的图有回路不可计算出关键路径\n");printf("将退出本程序\n");return 0;}totaltime=ve[projectnumber-1];for(i=0;i<projectnumber;i++)vl[i]=totaltime;for(i=projectnumber-2;i>=0;i--){j=topologystack[i];p=Graphicmap[j].link ;while(p){k=p->adjvex ;if((vl[k]-p->dut )<vl[j])vl[j]=vl[k]-p->dut ;p=p->next ;}}i=0;printf("| 起点 | 终点 | 最早开始时间 | 最迟完成时间 | 差值 | 备注 |\n");for(j=0;j<projectnumber;j++){p=Graphicmap[j].link;while(p){k=p->adjvex ;e[++i]=ve[j];l[i]=vl[k]-p->dut;printf("| %4d | %4d | %4d | %4d | %4d |",Graphic map[j].projectname +1,Graphicmap[k].projectname +1,e[i],l[i],l[i]-e[i]);if(l[i]==e[i])printf(" 关键活动 |");printf("\n");p=p->next ;}}return 1;}void seekkeyroot(){int projectnumber,activenumber,totaltime=0;system("cls");printf("请输入这个工程的化成图形的节点数:");scanf("%d",&projectnumber);printf("请输入这个工程的活动个数:");scanf("%d",&activenumber);vexnode* Graphicmap=(vexnode*)malloc(projectnumber*sizeof(vexnode)); CreateGraphic(Graphicmap,projectnumber,activenumber);SearchMapPath(Graphicmap,projectnumber,activenumber,totaltime);printf("整个工程所用的最短时间为：%d个单位时间\n",totaltime);system("pause");}int main(){char ch;for(;;){do{system("cls");printf("| 欢迎进入求关键路径算法程序 |");for(int i=0;i<80;i++)printf("*");printf("%s","(S)tart开始输入工程的节点数据并求出关键路径\n"); printf("%s","(E)xit退出\n");printf("%s","请输入选择:");scanf("%c",&ch);ch=toupper(ch);}while(ch!='S'&&ch!='E');switch(ch){case'S':seekkeyroot(); break; case'E':return 1; }}}。

关键路径AOE网及其如何求关键路径步骤一、关键路径（一）AOE网在带权有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，以边上的权值表示完成该活动的开销（如完成活动所需的时间），称之为用边表示活动的网络，简称AOE网(Activity On Edge NetWork)AOE⽹具有以下两个性质：①只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始；②只有在进入某顶点的各有向边所代表的活动都已结束时，该顶点所代表的事件才能发生。

另外，有些活动是可以并行进行的在AOE网中仅有一个入度为0的顶点，称为开始顶点（源点），它表示整个工程的开始；也仅有一个出度为0的顶点，称为结束顶点（汇点），它表示整个工程的结束。

（二）关键路径从源点到汇点的有向路径可能有多条，所有路径中，具有最大路径长度的路径称为关键路径，⽽把关键路径上的活动称为关键活动完成整个工程的最短时间就是关键路径的长度，若关键活动不能按时完成，则整个工程的完成时间就会延迟。

活动ai的时间余量d(i)=l(i)-e(i)，表⽰在不增加完成整个工程所需总时间的情况下，活动ai 可以拖延的时间若一个活动的时间余量为零，则说明该活动必须要如期完成，d(i)=0即l(i)=e(i)的活动ai是关键活动由关键活动组成的路径就是关键路径（三）求关键路径的步骤（四）求所有事件的最早发生时间1.求所有事件的最早发生时间ve()（五）求所有事件的最迟发生时间1.求所有事件的最迟发生时间vl()1.求所有活动的最早发生时间e()1.求所有活动的最迟发生时间l()（八）求所有活动的时间余量（九）关键活动、关键路径的特性若关键活动耗时增加，则整个工程的工期将增长缩短关键活动的时间，可以缩短整个工程的工期当缩短到一定程度时，关键活动可能会变成非关键活动可能有多条关键路径，只提高⼀条关键路径上的关键活动速度并不能缩短整个工程的工期，只有加快那些包括在所有关键路径上的关键活动才能达到缩短工期的目的。

关键路径算法相关概念： （1）AOE (Activity On Edges)⽹络如果在⽆有向环的带权有向图中⽤有向边表⽰⼀个⼯程中的各项活动(Activity)，⽤边上的权值表⽰活动的持续时间(Duration)，⽤顶点表⽰事件(Event)，则这样的有向图叫做⽤边表⽰活动的⽹络，简称AOE (Activity On Edges)⽹络。

AOE ⽹是⼀个带权的有向⽆环图。

AOE⽹络在某些⼯程估算⽅⾯⾮常有⽤。

例如，可以使⼈们了解： a、完成整个⼯程⾄少需要多少时间(假设⽹络中没有环)? b、为缩短完成⼯程所需的时间, 应当加快哪些活动? （2）关键路径(Critical Path) 在AOE⽹络中, 有些活动顺序进⾏，有些活动并⾏进⾏。

从源点到各个顶点，以⾄从源点到汇点的有向路径可能不⽌⼀条。

这些路径的长度也可能不同。

完成不同路径的活动所需的时间虽然不同，但只有各条路径上所有活动都完成了，整个⼯程才算完成。

因此，完成整个⼯程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度，即在这条路径上所有活动的持续时间之和。

这条路径长度最长的路径就叫做关键路径(Critical Path)。

（3）由于实际⼯程只有⼀个开始点和⼀个结束点，因此AOE⽹存在唯⼀的⼊度为0的开始点（⼜称源点）和唯⼀的出度为0的结束点（⼜称汇点）参数定义： （1）事件的最早发⽣时间 etv（earliest time of vertex）：即顶点V k的最早发⽣时间。

（2）事件的最晚发⽣时间 ltv（latest time of vertex）：即顶点V k的最晚发⽣时间，也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，超出此事件将会延误整个⼯期。

（3）活动的最早开⼯时间 ete（earliest time of edge）：即弧ak的最早发⽣时间。

（4）活动的最晚开⼯时间 lte（latest time of edge）：即弧ak的最晚发⽣时间，也就是不推迟⼯期的最晚开⼯时间。

AOE网和关键路径AOE网（Activity On Edge Network）是一个带权的有向无环图。

其中用顶点表示事件，弧表示活动，权值表示两个活动持续的时间。

AOE网是以边表示活动的网。

关键路径：AOE网中从起点至终点最长的路径。

关键路径上的活动均为关键活动。

最早开始时间：在关键路径上，从开始到该任务的最早执行的时间，取最大值最晚开始时间：关键路径的总时间-反向得出该任务的时间注意：关键路径不一定只有一条松弛时间：不影响完工前提下可能被推迟完成的最大时间松弛时间=关键路径的总时间-包含该任务的关键路径花的时间松弛时间=最晚开始时间-最早开始时间计算完成项目的最少时间：计算关键路径试题：1、下图所示的AOE网表示一项包含8个活动的工程。

活动d的最早开始时间和最迟开始时间分别是（）A、3和7B、12和12C、12和14D、15和15求AOE网的关键路径的步骤如下：解析：选C2、某软件项目的活动图如下图所示，其中顶点表示项目里程碑，链接顶点的边表示包含的活动，变色数字表示活动的持续时间（天）。

完成该项目的最少时间为（17）天。

由于某种原因，现在需要同一个开发人员完成BC和BD，则完成该项目的最少时间为（18）天。

(17) A.11 B.18 C.20 D.21(18) A.11 B.18 C.20 D.21【答案】B D【解析】关键路径为ABCEFJ 和ABDGFJ ，18天。

BC持续时间3天，BD持续时间2天，由一天完成，则可以把BC持续时间作为5天，BD持续时间也为5天，则关键路径为ABDGFJ，21天3、某软件项目的活动图如下图所示，其中顶点表示项目里程碑，连接顶点的边表示包含的活动，边上的数字表示活动的持续时间(天)，则完成该项目的最少时间为(17)天。

活动BD 和HK 最早可以从第(18)天开始。

(活动AB、AE 和AC 最早从第1 天开始)(17) A.17 B.18 C.19 D.20(18) A.3 和10 B.4 和11 C.3 和9 D.4 和10【答案】D B【解析】因为网络图是从0开始算的，按题目要求活动AB从第1天开始的话，就是1、2、3,活动BD就是第4天开始，相应的活动HK就是第11天开始。

《aoe》教学讲解课件.一、教学内容本节课我们将学习《aoe》教材的第一章第三节，详细内容主要包括拼音的发音规则、声母、韵母及声调的基础知识。

通过这一部分的学习，学生将能够掌握aoe三个元音字母的正确发音，理解并运用到实际语境中。

二、教学目标1. 让学生掌握aoe三个元音字母的正确发音，并能熟练拼读。

2. 培养学生运用aoe三个元音字母进行简单词语的组合和拆分。

3. 提高学生对汉语拼音的学习兴趣，激发他们自主学习的积极性。

三、教学难点与重点教学难点：声调的正确发音和运用。

教学重点：aoe三个元音字母的正确发音及组合。

四、教具与学具准备1. 教师准备：PPT教学课件、拼音卡片、示例词语卡片。

2. 学生准备：拼音练习本、彩色笔。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）教师通过播放一段包含aoe三个元音字母的儿童歌曲，引导学生注意听辨这三个元音字母的发音。

学生跟唱歌曲，并尝试模仿发音。

2. 例题讲解（10分钟）教师展示PPT，讲解aoe三个元音字母的发音要领，并举例说明。

学生跟随教师一起练习发音，并尝试拼读示例词语。

3. 随堂练习（10分钟）教师分发拼音卡片，学生分组进行拼音接龙游戏，加强aoe 三个元音字母的拼读练习。

教师巡回指导，纠正发音错误。

4. 小组讨论与展示（15分钟）学生分组讨论如何运用aoe三个元音字母组成不同的词语。

各小组展示讨论成果，其他小组进行评价。

学生反馈学习情况，提出疑问，教师解答。

六、板书设计1. aoe三个元音字母的大写和小写，以及对应的发音。

2. 示例词语及其拼音。

3. 本节课的重点和难点。

七、作业设计1. 作业题目：请运用aoe三个元音字母，组成至少5个词语，并正确标注拼音。

答案示例：a：阿姨（ā yí）、安全（ān quán）o：哥哥（gē ge）、花朵（huā duǒ）e：饿（è）、鹅（é）2. 作业要求：字迹工整，拼音标注准确。

AOE⽹与关键路径简介前⾯我们说过的主要是为解决⼀个⼯程能否顺序进⾏的问题，但有时我们还需要解决⼯程完成需要的最短时间问题。

如果我们要对⼀个流程图获得最短时间，就必须要分析它们的拓扑关系，并且找到当中最关键的流程，这个流程的时间就是最短时间。

在前⾯讲了AOV⽹的基础上，来介绍⼀个新的概念。

在⼀个表⽰⼯程的带权有向图中，⽤顶点表⽰事件，⽤有向边表⽰活动，⽤边上的权值表⽰活动的持续时间，这种有向图的边表⽰活动的⽹，称之为AOE⽹（Activity On edge Network)。

由于⼀个⼯程，总有⼀个开始，⼀个结束，在正常情况下，AOE⽹只有⼀个源点⼀个汇点。

既然AOE⽹是表⽰⼯程流程的，所以就具有明显的⼯程属性。

只有在某顶点代表的事件发⽣后，从该顶点出发的各活动才能开始。

只有在进⼊某顶点的各活动都已经结束，该顶点代表的事件才能发⽣。

尽管AOV⽹和AOE⽹都是⽤来对⼯程建模的，但它们还是有很⼤的区别，主要体现在AOV⽹是顶点表⽰活动的⽹，它只描述活动之间的制约关系，⽽AOE⽹是⽤边表⽰活动的⽹，边上的权值表⽰活动持续的时间，如图7-9-3所⽰两图的对⽐。

因此，AOE⽹是要建⽴在活动之间制约关系没有⽭盾的基础之上，再来分析完成整个⼯程需要多少时间，或者为缩短完成⼯程所需时间，应当加快哪些活动等问题。

我们把路径上各个活动所持续的时间之后称为路径长度，从源点到汇点具有最⼤长度的路径叫关键路径，在关键路径上完成的活动叫关键活动。

显然就图7-9-3的AOE⽹⽽⾔，开始->发动机完成->部件集中到位->组装完成就是关键路径，路径长度为5.5。

如果我们需要缩短整个⼯期，去改进轮⼦的⽣产效率，哪怕改动成0.1也⽆益于整个⼯期的变化，只有缩短关键路径上的关键活动时间才才可以减少整个⼯期长度。

例如如果发动机制造缩短为2.5，整车组装缩短为1.5，那么关键路径就为4.5，整整缩短了⼀天的时间。

如果某项活动的最早开始时间和最晚开始时间⼀样，表⽰中间没有空隙，则此项活动就为关键活动。