3.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用 学案(选修2-3)

不用独立性检验而凭经验下结论致错 【典例】 调查者通过询问男女大学生在购买食品时是否看营养说明得到的数据如下表所
示．请估计看营养说明是否与性别有关系
.
看营养说明
不看营养说明
总计
男大学生
10
45
55
女大学生
8
27
35
总计
18
72
90
解析： 由表中数据得 K2 的观测值为：
90 （10×27－8×45） 2
y1
y2
x1
a
20－ a
x2
15－ a
30＋ a
A.5 或 6 B. 6 或 7 C ． 7 或 8 D ． 8 或 9 解析： 查表可知，要使在犯错误的概率不超过
0.1 的前提下，认为 K2 之间有关系，则
K2>2.706 ，而
K2＝ 65[
a（ 30＋ a）－（ 20－ a）（ 20× 45× 15× 50
k＝
≈ 0.292<0.455 ，
55× 35× 18× 72
所以我们没有充分的证据认为看营养说明与男女性别有关．
【易错剖析】本题若不用独立性检验，会有如下错解：由表中数据可知，
55 名男大学生中
有 10 名看营养说明， 而 35 名女大学生中有 8 名看营养说明，显然男性看营养说明的比例
10 55比女
解析： 由公式得 K2的观测值为
407×（ 32×213－61×101）
k＝
133 × 274× 93 ×314
2
≈ 0.164<0.455.
6．有两个分类变量 x ，y，其 2×２列联表如下表．其中 a， 15－ a 均为大于 5 的整数，若在

教学设计3．2独立性检验的基本思想及其初步应用整体设计教材分析1．教材的地位和作用独立性检验是一种重要的统计方法，也是统计学中很常用的方法，更是高中数学新教材的新增内容．本节内容将反证法与独立性检验进行了合理整合，将假设检验的思想应用到实际生活中去．教材的设计还原了数学的本源、本质，是对“观察发现、抽象概括、感性到理性”等数学认知规律的提炼与总结，能让学生充分体会数学的发生、发展．2．课时划分独立性检验的基本思想及其初步应用的教学分三个课时完成：第1课时内容为直观判断两个分类变量是否有关系的基本方法；第2课时内容为独立性检验的基本思想；第3课时内容为独立性检验的初步应用．第一课时教学目标知识与技能结合生活实例了解分类变量的概念，了解直观判断分类变量相关性的方法，了解列联表和等高条形图的特点．过程与方法通过探索、研究、总结等方式使判断分类变量是否有关系的方法呈现在学生面前，使学生体会用样本来研究总体的思想．情感、态度与价值观通过学习本节课培养学生思维的批判性，深化学生对数学意义的理解，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．重点难点教学重点：直观判断分类变量是否有关系的方法．教学难点：如何根据列联表和等高条形图来判断分类变量是否有关系．教学过程引入新课提出问题：在现实生活中，会遇到各种各样的变量，并需要研究它们之间的关系，观察下面两组变量，分析在取不同的“值”时表示的个体有何差异？(1)国籍、宗教信仰、性别、吸烟与患病是否有关；(2)成绩、身高、年龄、某班学生的百米成绩．学生活动：先独立思考，然后相互讨论交流认识统一看法．教师逐步引导学生发现分类变量的特点，分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别．学情预测：(1)中的变量每取不同的“值”时，表示不同的类别；(2)中的变量每取不同的“值”时，表示不同的个体．教师：分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量．分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级等等．分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义，如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”．注意分类变量的取值一定是离散的．在我们的日常生活中，存在着大量的分类变量，如何判断两个分类变量是否有关系也是我们需要解决的一个重要问题．设计意图：从大量的生活实例出发，让学生充分体会分类变量的含义和分类变量的特点，使分类变量概念的形成水到渠成，同时也为判断分类变量的必要性做好铺垫．探究新知5月31日是世界无烟日．有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手．这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们来看下面的问题：某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中有37人患呼吸道疾病(简称患病)，183人未患呼吸道疾病(简称未患病)；不吸烟的295人中有21人患病，274人未患病．问题：根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”？学生活动：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流，为了研究这个问题，(1)引导学生将上述数据用下表来表示：(2)估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异．问题：由上述结论能否得出患病与吸烟有关？把握有多大？学情预测：在吸烟的人中，有37220≈16.82%的人患病，在不吸烟的人中，有21295≈7.12%的人患病．由上可以看出，吸烟者中患病的比例与不吸烟者中患病的比例相比有很大的差异，故“患呼吸道疾病与吸烟可能有关”．教师：类似于上面的表格，我们称分类变量的汇总统计表(频数表)为列联表，一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称作2×2列联表．在日常生活中，为了直观显示两个分类变量之间的关系，还可以画出两个分类变量的等高条形图．观察下面的图形，能得到什么结论？(教师在课堂上用Excel 软件演示等高条形图，引导学生观察这类图形的特征，并分析由图形得出的结论)等高条形图学生活动：观察给出的图形，相互讨论，沟通认识．学情预测：通过上面的等高条形图可以直观看出，吸烟者中患病的比例与不吸烟者中患病的比例相比有很大的差异，故“患呼吸道疾病与吸烟可能有关”．设计目的：自然合理地提出问题，并通过不同的手段，让学生学会根据不同的方法来分析两个分类变量是否有关系．理解新知提出问题：一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表和等高条形图如下表所示，试说明如何根据图表来判断分类变量X 和Y是否可能有关系？学生活动：分组讨论，合作交流，教师引导学生回顾上面问题的解决过程并加以适当的提示．学情预测：根据列联表，可估计满足条件X ＝x 1的个体中具有Y ＝y 1的个体所占比例a a ＋b ，也可以估计满足条件X ＝x 2的个体中具有Y ＝y 1的个体所占比例c c ＋d ，两个比例的值相差越大，就意味着X 和Y 有关系的可能越大．由a a ＋b －c c ＋d ＝ad －bc (a ＋b)(c ＋d)可知，两个比例的值相差越大即ad 与bc 相差越大，就意味着X 和Y 有关系的可能越大．由于等高条形图的纵轴是频率，故通过等高条形图可以直观展示比例差距的相对大小，进而判断分类变量是否存在关系．提出问题：上面给出的两种判断分类变量是否可能有关系的方法各有什么特点？ 学生活动：独立思考，然后再相互交流．学情预测：列联表有助于直观地观测数据之间的关系，与表格相比，等高条形图更能直观地反映出相关数据的总体状况．但这两种方法都仅能粗略地判断两个分类变量是否可能有关系，但无法精确地给出得出结论的可靠程度．设计意图：通过引导学生对三种直观方法进行分析和总结，使学生掌握如何根据列联表、等高条形图来判断两个分类变量是否有关系，并了解两种方法的局限性，同时为下一节课的学习打好基础．运用新知例1某学校对在校部分学生课外活动内容进行调查，结果整理成下表：学生课外活动的类别与性别有关吗？试用学过的等高条形图进行分析．分析：根据题设条件中的列联表，画出等高条形图进行直观分析．解：等高条形图如下图所示：由图可以直观看出喜欢体育的在男生中占有较高比例，喜欢文娱的在女生中占有较高比例，故学生课外活动的类别在性别上有较大差异，说明课外活动的类别与性别在某种程度上有关系．点评：在画等高条形图时，在有条件的情况下，可引导学生利用Excel软件进行作图．【变练演编】例2在调查的480名男人中有38人患色盲，520名女人中有6名患色盲，试利用图形来判断色盲与性别是否有关？分析：根据数据列出列联表，然后画出等高条形图，来分析色盲与性别是否有关．解：根据题目给出的数据作出如下的列联表：根据列联表作出相应的等高条形图：从等高条形图来看在男人中患色盲的比例要比在女人中患色盲的比例大得多，因而，我们认为性别与患色盲是有关系的．设计意图：通过例题以及变式的学习，进一步学习利用图形直观判断分类变量是否有关系的要领，并能够画出大致的直观图形．【达标检测】1．下列不是分类变量的是()A．是否吸烟B．成绩C．宗教信仰D．国籍2．假设两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其中2×2列联表如下：对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为()A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝43．服用某种维生素对婴儿头发稀疏或稠密的影响调查如下：服用维生素的婴儿有60人，头发稀疏的有5人；不服用维生素的婴儿有60人，头发稀疏的有46人．试根据以上数据作出列联表．答案：1.B 2.D 3.列联表如下课堂小结(给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法、例题、题目类型、解题规律等；然后用精炼的、准确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律) 1．知识收获：直观判断分类变量是否有关系的方法．2．方法收获：借助于图形的直观特征分析数据间的关系．设计意图：让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程．补充练习【基础练习】1．下列关于等高条形图说法正确的是()A．等高条形图表示高度相对的条形图B．等高条形图表示的是分类变量的频数C．等高条形图表示的是分类变量的比例D．等高条形图表示的是分类变量的实际高度2．下面是一个2×2列联表：则表中a，b处的值分别为()A．94,96 B．52,50 C．52,54 D．54,523．以下说法正确的是()A．分类变量是表示个体所属的不同类别的变量B．分类变量是表示个体所属的不同类别的两个以上的变量C．分类变量是表示个体所属的不同类别的一个变量D．以上答案均不正确答案：1.C 2.C 3.A【拓展练习】4．从发生交通事故的司机中抽取2 000名司机的随机样本，根据他们的血液中是否含有酒精以及他们是否对事故负有责任将数据整理如下：试结合等高条形图分析血液中含有酒精与对事故负责有关系吗？解：由等高条形图可以看出，血液中含酒精的司机中负交通事故责任的比例要大于血液中不含酒精的司机，由此我们可以在某种程度上认为“血液中含有酒精与对事故负责”有关系．设计说明本节课在数学教材的选取上，力求贴近生活实际，如吸烟与患病、性别与课外活动的类型等，就地取材，创设学生熟悉的感兴趣的问题情境，使学生能在轻松、愉快的教学情境中学习有用的数学知识，同时也能运用数学知识来分析问题和解决问题．教案的设计“以人为本，以学定教”，教师始终扮演的是组织者、引导者、参与者的角色，通过问题教学法，变“教的课堂”为“学的课堂”，学生成为课堂学习真正的主人．倡导合作式学习，通过学生小组合作设计问题、小组交流解决问题的方式，不但提高了学生合作学习、主动探究的能力，而且大大促进了学生对知识的理解和灵活运用．备课资料用Excel软件画等高条形图用Excel软件画等高条形图的步骤．(1)在Excel软件中输入列联表的数据(也可以直接复制粘贴)．(2)画柱形图．选中已输入的数据部分，然后单击工具栏上的“插入”，在下拉菜单中选择“图表”．然后在图表菜单中选择图表类型(如柱形图)．按照提示依次进行下一步操作，就可以得到等高条形图了．(设计者：杨雪峰田宗臣)第二课时教学目标知识与技能通过实例，让学生了解独立性检验的基本思想及其初步应用，能对两个分类变量是否有关做出明确的判断，会对具体问题做出独立性检验．过程与方法经历概念的探索、反思、建构这一过程，让学生进一步体会独立性检验思想的基本原理，培养学生归纳、概括等合情推理能力．通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识．情感、态度与价值观通过创设情境激发学生学习数学的兴趣，培养其严谨治学的态度．在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值．重点难点教学重点：独立性检验基本思想的初步应用； 教学难点：对独立性检验基本思想的理解．教学过程引入新课有甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格和不及格统计成绩后，得到如下列联表：试判断成绩不及格与班级是否有关？学生活动：回顾上一节课的学习内容，选择合适的方法进行判断．学情预测：根据列联表可知甲班学生中不及格的比例为1045，乙班学生中不及格的比例为745，相差345；画出等高条形图：有的学生可能说有关系，因为从等高条形图来看，可以发现甲、乙两班的及格率有明显差异；有的学生可能会说没有关系，因为不及格率相差345，应该不算大，所以说及格与班级没有关系．教师：由上面的问题可以看出，虽然利用图表来判断两个分类变量是否有关比较直观，但缺少精确性和可靠性，如何精确地刻画两个分类变量的有关性，我们必须找到一个进行精确判断的方法．设计意图：充分认识独立性检验的必要性，创设悬念，激发斗志，让学生跃跃欲试．探究新知提出问题：为了解决上面的问题，我们可以先假设H 0：不及格与班级无关．设A 表示事件“在甲班”，B 表示事件“不及格”，AB 表示“在甲班且不及格”，则“不及格与班级无关”等价于事件A 与B 相互独立，则有P(AB)＝P(A)P(B)，否则，应该有A 与B 不独立，即“不及格与班级有关”．那么，如何验证P(AB)＝P(A)P(B)呢？学生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，老师加以适当的引导．学情预测：根据概率的统计定义可知，上面各个事件的概率可以用相应的频率来估计，则P(A)＝4590＝12，P(B)＝1790，P(A)P(B)＝17180，P(AB)＝1090＝19＝20180，因为P(AB)≠P(A)P(B)，故A 与B 不独立，即“不及格与班级有关”．提出问题：由P(AB)≠P(A)P(B)一定有“不及格与班级有关”吗？如果不是，那么如何根据P(A)，P(B)，P(AB)的值来判断其相关性？学生活动：小组协作讨论，然后说出对这个问题的认识．学情预测：P(AB)≠P(A)P(B)不一定有“不及格与班级有关”，因为在数据上我们是采用频率来估计概率，另外，在实际问题中我们也仅是用样本来估计总体，这些因素都会造成数值上的偏差．但是，应该肯定的是P(AB)与P(A)P(B)越接近，A 与B 独立的可能性就越大，即“不及格与班级有关”的可能性就越小．设计目的：通过实例的分析，为引入和理解独立性检验的基本思想做好铺垫．理解新知提出问题：若将表中“观测值”用字母表示，则得下表：令n ＝a ＋b ＋c ＋d ，如何判断不及格与班级是否有关系？试加以说明．学生活动：分组讨论，协作完成，教师引导学生类比上面的分析过程，将数字换成字母加以说明．学情预测：假设H 0：不及格与班级无关．设A 表示事件“在甲班”，B 表示事件“不及格”，AB 表示“在甲班且不及格”，则P(A)＝a ＋b n ，P(B)＝a ＋c n ，P(A)P(B)＝a ＋b n ×a ＋c n ，P(AB)＝an ，若“不及格与班级无关”，则a ＋b n ×a ＋c n 与an应非常接近． 教师：若a ＋b n ×a ＋c n 与a n 非常接近，则a ＋b n ×a ＋c n ≈an ，从而ad≈bc ，因此||ad －bc 越小，说明不及格与班级的关系越弱，||ad －bc 越大，说明不及格与班级的关系越强．而且我们还可以发现，当a ＋b n ×a ＋c n 与a n 非常接近时，a ＋b n ×b ＋d n 与b n 也应该非常接近…或者说(a n －a ＋b n×a ＋c n )2，(b n －a ＋b n ×b ＋d n )2，(c n －c ＋d n ×a ＋c n )2，(d n －c ＋d n ×b ＋d n)2应该比较小，从而 (a n －a ＋b n ×a ＋c n )2a ＋b n ×a ＋c n ＋(b n －a ＋b n ×b ＋d n )2a ＋b n ×b ＋d n ＋(c n －c ＋d n ×a ＋c n )2c ＋d n ×a ＋c n ＋(d n －c ＋d n ×b ＋d n)2c ＋d n ×b ＋dn ＝n(ad －bc)2(a ＋b)(a ＋c)(b ＋d)(c ＋d)也应该很小．构造随机变量K 2＝n(ad －bc)2(a ＋b)(a ＋c)(b ＋d)(c ＋d)，若H 0成立，即“不及格与班级无关”，则K 2应该很小．在H 0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率P(K 2≥6.635)≈0.01.即在H 0成立的情况下，K 2的观测值大于6.635的概率非常小，近似于0.01，也就是说，在H 0成立的情况下对随机变量K 2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01.从而，也说明我们把“H 0成立”错判成“H 0不成立”的概率不会超过0.01.这样，我们就可以通过计算K 2的观测值k 来判断H 0是否成立．我们把这种方法称为独立性检验．提出问题：独立性检验的基本思想是什么？学生活动：反思上面的过程，进行归纳总结，然后小组间交换意见．学情预测：独立性检验的基本思想是：要判断“两个分类变量有关系”这一结论的可信程度，首先假设结论不成立，即假设“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量K 2应该很小．如果由观测数据计算得到的K 2的观测值k 很大，则在一定程度上说明假设不合理，即认为“两个分类变量有关系”；如果观测值k 很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝H 0.独立性检验的基本思想类似于反证法．教师：当确定“两个分类变量有关系”的可信程度时，需要确定一个正数k 0与随机变量K 2的观测值k 比较大小，如果k≥k 0，就认为“两个分类变量之间有关系”，否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．我们称这样的k 0为一个判断规则的临界值．按照这种规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量有关系”的概率不超过P(K 2≥k 0)．独立性检验的具体做法是：(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k 0.(2)利用公式计算K 2的观测值k.(3)如果k≥k 0，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X 与Y 有关系”．设计目的：以问题为驱动，引领学生在积极的思考、探究中，理解独立性检验的基本思想，理解随机变量K 2的构造过程．运用新知提出问题：根据独立性检验的基本思想，判断“不及格与班级是否有关”？ 学生活动：类比公式，用计算器进行运算比较．活动结果：由题意知a ＝10，b ＝35，c ＝7，d ＝38，a ＋b ＝45，c ＋d ＝45，a ＋c ＝17，b ＋d ＝73，n ＝90.代入公式得K 2的观测值为：k ＝n(ad －bc)2(a ＋b)(a ＋c)(b ＋d)(c ＋d)＝90×(10×38－7×35)245×45×17×73≈0.65.因为0.65>0.455，所以我们在犯错误的概率不超过0.5的前提下可认为“不及格与所在班级有关”．设计目的：通过问题的解决，既照应了开头提出的问题，同时也是对公式应用的一个巩固．【变练演编】题为了探究吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关，调查了339名50岁以上的人，获数据如下：吸烟习惯与患慢性气管炎是否相关？试用独立性检验的思想说明理由． 分析：根据公式求出随机变量K 2的观测值k ，然后和已知结论数值进行比较． 解：根据列联表的数据得到K 2的观测值：k ＝n(ad －bc)2(a ＋b)(a ＋c)(b ＋d)(c ＋d)＝339×(43×121－162×13)2205×56×283×134≈7.469>6.635，所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“吸烟习惯与患慢性气管炎有关”． 提出问题：请解答下列问题：1．已知两个分类变量X 与Y ，你有哪些办法判断它们是否有关系？(把你知道的办法都写出来)2．已知K 2的观测值 k ＝6.635，你能得到哪些结论？(把你能得到的结论都写出来) 活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后全班交流． 学情预测：1.列联表、等高条形图、独立性检验等．2．P(K 2≥6.635)≈0.01；我们判断“X 与Y 有关系”的出错概率不超过0.01；在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为“X 与Y 有关系”．设计意图：设置本组开放性问题，旨在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题．课堂小结(给学生1～2分钟的时间泛读教材，用精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律)1．独立性检验的思想方法以及它与反证法的关系． 2．独立性检验的一般操作步骤．设计意图：让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程．补充练习【基础练习】1．下面说法正确的是()A．统计方法的特点是统计推断准确、有效B．独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法C．任何两个分类变量有关系的可信度都可以通过查表得到D．不能从等高条形图中看出两个分类变量是否相关2．经过对K2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当K2的观测值k＞3.841时，我们()A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B有关B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B无关C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下可认为A与B有关D．没有充分理由说明事件A与B有关系3．利用独立性检验来考虑两个分类变量与是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y 有关系”的可信度．如果k>6.635，那么认为“X和Y有关系”犯错误的概率不超过…()A.99%B．1%C．5%D．97.5%4．独立性检验所采用的思路是：要研究A，B两类分类变量是否彼此相关，首先假设这两类变量彼此__________，在此假设下构造随机变量K2，如果K2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设__________．答案：1.B 2.A 3.B 4.无关不成立【拓展练习】5．某聋哑研究机构，对聋哑关系进行抽样调查，在耳聋的657人中有416人哑，而另外不聋的680人中有249人哑，你能运用这组数据判断，在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，能否认为聋哑有关系？解：根据题目所给数据，得到如下列联表：根据列联表数据得到K2的观测值K＝1 337×(416×431－249×241)2665×672×657×680≈95.29＞10.828，∴在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为聋哑有关系．设计说明本设计以问题驱动为指导，通过不断提出问题、研究问题、解决问题，使学生获得知识，完成教学．以学生熟悉的例子为载体，引导他们提炼、概括独立性检验的方法，自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”．创造和谐积极的学习气氛，让学生通过直观感知、观察分析，形成由浅入深、由易到难、由感性到理性的思维飞跃，并借助例题具体说明在数学发现的过程中应用假设检验的过程．备课资料假设检验与反证法独立性检验的基本思想是假设检验，假设检验类似于反证法，但二者是不同的．下表列出了二者之间的关系：从上面的对比中，可以看出假设检验与反证法的不同之处有二：其一是在假设检验用有利于H1的小概率事件的发生代替了反证法中的矛盾；其二是假设检验中接受原假设的结论相当于反证法没有找到矛盾．(设计者：杨雪峰田宗臣)第三课时教学目标知识与技能理解独立性检验的基本思想，会根据K2的观测值的大小判断两个分类变量有关的可信度，培养学生的自主探究的学习能力，并能应用数学知识解决实际问题．过程与方法通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体实例中归纳出进行独立性检验的基本步骤，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透统计的基本思想和方法．情感、态度与价值观使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神．重点难点教学重点：利用独立性检验的基本思想解决实际问题以及处理步骤；教学难点：对独立性检验思想的理解．教学过程引入新课提出问题：在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶．(1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系；(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？学生活动：小组合作完成．活动结果：根据题目所给的数据画出列联表：相应的等高条形图如图所示：。

3．2 独立性检验的基本思想及其初步应用[学习目标]1．了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用；2．理解判断两个分类变量是否有关系的常用方法、独立性检验中K2的含义及其实施步骤．[重点难点]1．能够根据题目所给数据列出列联表及求K2.(重点)2．独立性检验的基本思想和方法．(难点)自学导引1．分类变量和列联表(1)分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．(2)列联表①定义：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．②2×2列联表一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为y1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d想一想：如何理解分类变量？2．独立性检验定义利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验公式K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝具体步骤①根据实际问题的需要，确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α.然后查表确定②利用公式计算随机变量K2的③如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中支持结论“X与Y有关系”3.独立性检验临界值表P(K2≥0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0)k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828想一想：在K2运算时，在判断变量相关时，若K2的观测值k＝56.632，则P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥10.828)≈0.001，哪种说法是正确的？名师点睛1．在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，关系越弱；|ad－bc|越大，关系越强．2．独立性检验的基本思想(1)独立性检验的基本思想类似于反证法，要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过P(K2≥6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，由实际计算出k≥6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99%.(2)在实际问题中要记住以下几个常用值：①k＞6.635有99%的把握认为“X与Y有关系”；②k＞3.841有95%的把握认为“X与Y有关系”；③k＞2.706有90%的把握认为“X与Y有关系”；④k≤2.706就认为没有充分证据显示“X与Y有关系”．(3)反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理：在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立．独立性检验原理：在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0 不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率．3．两个分类变量相关性检验方法利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能较精确地给出这种判断的可靠程度，具体的做法是：①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0.②计算随机变量K2的观测值k.③如果k≥k0，就推断“X与Y”有关系，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.题型一有关“相关的检验”[例1]某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：试用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？体育文娱总计男生212344女生62935总计275279[规律方法](1)利用K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)求出K2的观测值k的值．再利用临界值的大小来判断假设是否成立．(2)解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，准确进行比较与判断．[变式1]为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查得到如下数据：成绩优秀成绩较差总计兴趣浓厚的643094兴趣不浓厚的227395总计86103189判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？题型二有关“无关的检验”[例2]为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？[规律方法]运用独立性检验的方法：(1)列出2×2列联表，根据公式计算K2的观测值k.(2)比较k与k0的大小作出结论．[变式2]某教育机构为了研究人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度的关系，随机抽取了392名成年人进行调查，所得数据如下表所示：对于教育机构的研究项目，根据上述数据能得出什么结论．题型三独立性检验的基本思想[例3]某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：甲厂分组[29.86，29.90)[29.90，29.94) [29.94，29.98)[29.98，30.02)[30.02，30.06)[30.06，30.10)[30.10，30.14)频数1263861829261 4 乙厂分组[29.86，29.90)[29.90，29.94) [29.94，29.98)[29.98，30.02)[30.02，30.06)[30.06，30.10)[30.10，30.14)频数297185159766218(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.甲厂乙厂总计优质品非优质品总计附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，P(K2≥k0)0.050.01k0 3.841 6.635[题后反思] (1)解答此类题目的关键在于正确利用K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)计算k的值，再用它与临界值的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决．(2)此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握．[变式3]下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：得病不得病总计干净水52466518不干净水94218312总计146684830(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人． 按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．误区警示 因未理解P (K 2≥k 0)的含义而致错[示例]某小学对232名小学生调查中发现：180名男生中有98名有多动症，另外82名 没有多动症，52名女生中有2名有多动症，另外50名没有多动症，用独立性检验方法判断多动症与性别是否有关系？[错解] 由题目数据列出如下列联表：多动症 无多动症 总计 男生 98 82 180 女生 2 50 52 总计100132232k ＝232×(98×50－2×82)2100×132×180×52≈42.117＞10.828.所以有0.1%的把握认为多动症与性别有关系．思维突破应该是有(1－P (K 2≥10.828))×100%＝(1－0.001)×100%的把握，而不是 P (K 2≥10.828)×100%＝0.001×100%的把握．[正解] 由题目数据列出如下列联表：多动症 无多动症 总计 男生 98 82 180 女生 2 50 52 总计100132232由表中数据可得到：k ＝232×(98×50－2×82)2100×132×180×52≈42.117＞10.828.所以有99.9%的把握认为多动症与性别有关系．追本溯源本题的错误之处在于不能正确理解独立性检验步骤的含义，当计算的K 2的观测值k 大于临界值k 0时，就可推断在犯错误的概率不超过α的前提下说X 与Y 有关系，这 一点需牢记.当堂检测1．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b ^( )A ．可以小于0B ．大于0C ．能等于0D ．只能小于02．每一吨铸铁成本y (元)与铸件废品率x %建立的回归方程y ^＝56＋8x ，下列说法正确的是( )A ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元B ．废品率每增加1%，成本每吨增加8%C ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元D ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元3．已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0．01x ＋0．5，则加工600个零件大约需要________h ．4．对某校小学生进行心理障碍测试得如下列联表：(其中焦虑、说谎、懒惰都是心理障碍)焦虑 说谎 懒惰 总计 女生 5 10 15 30 男生 20 10 50 80 总计252065110试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？——★ 参 考 答 案 ★——自学导引1．想一想：提示 (1)这里的“变量”和“值”都应作为“广义”的变量和值来理解．例如：对于性别变量，其取值有“男”和“女”两种，这里的“变量”指的是“性别”，这里的“值”指的是“男”或“女”．因此，这里说的“变量”和“值”不一定是取具体的数值．(2)分类变量是大量存在的．例如：吸烟变量有吸烟与不吸烟两种类别，而国籍变量则有多种类别．2．a ＋b ＋c ＋d 临界值k 0观测值k 犯错误的概率没有发现足够证据 想一想：提示 两种说法均正确．P (K 2≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为两变量相关； 而P (K 2≥10.828)≈0.001的含义是在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为两变量相 关．[例1][思路探索] 可用数据计算K 2，再确定其中的具体关系．解 判断方法如下：假设H 0“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，若H 0成立，则K 2应该很小． ∵a ＝21，b ＝23，c ＝6，d ＝29，n ＝79， ∴k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝79×(21×29－23×6)2(21＋23)×(6＋29)×(21＋6)×(23＋29)≈8.106. 且P (K 2≥7.879)≈0.005即我们得到的K 2的观测值k ≈8.106超过7.879，这就意味着：“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立的可能性小于0.005，即在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”． [变式1]解 由公式得K 2的观测值k ＝189×(64×73－22×30)286×103×95×94≈38.459.∵38.459＞10.828，∴有99.9%的把握说学生学习数学的兴趣与数学成绩是有关的． [例2][思路探索] 要在选报文、理科与对外语有无兴趣之间有无关系作出判断，可以运用独立性检验的方法进行判断．解 列出2×2列联表理 文 总计 有兴趣 138 73 211 无兴趣 98 52 150 总计236125361代入公式得K 2的观测值k ＝361×(138×52－73×98)2236×125×211×150≈1.871×10－4.∵1.871×10－4＜2.706，∴可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关． [变式2]解 根据列联表给出的数据，可计算出K 2的观测值k ＝392×(39×167－29×157)2196×196×68×324≈1.78，因为1.78＜2.706，所以我们没有充分理由说“人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革的态度有关”．[例3]审题指导 (1)分别计算甲、乙两厂优质品的频数与500的比值即为所求．(2)根据已知数据填充2×2列联表，进行独立性检验．解 (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)甲厂 乙厂 总计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 总计5005001 000k ＝1 000×(360×180－320×140)2500×500×680×320≈7.353＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．[变式3]解 (1)假设H 0：传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式得：K 2的观测值k ＝830×(52×218－466×94)2146×684×518×312≈54.21，∵54.21＞10.828，所以拒绝H 0.因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关． (2)依题意得2×2列联表：得病 不得病 总计 干净水 5 50 55 不干净水 9 22 31 总计147286此时，K 2的观测值k ＝86×(5×22－50×9)214×72×55×31≈5.785.由于5.785＞5.024所以我们有97.5%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有97.5%的把握肯定．当堂检测1．[[解析]]∵b ^＝0时，则r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b ^可以大于0也可以小于0． [[答案]]A2．[[解析]]根据回归方程知y 是关于x 的单调增函数，并且由系数知x 每增加一个单位，y平均增加8个单位． [[答案]]C3．[[解析]]当x ＝600时，y ^＝0．01×600＋0．5＝6.5． [[答案]]6.54．解：对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量K 21，K 22，K 23，由表中数据可得 K 21＝110×(5×60－25×20)230×80×25×85≈0．863，K 22＝110×(10×70－20×10)230×80×20×90≈6．366，K 23＝110×(15×30－15×50)230×80×65×45≈1．410．因为K 22的值最大，所以说谎与性别关系最大．。

3.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用课前预习阅读教材P91-P95，了解相关概念，如：分类变量、列联表、独立性检验。

学习目标（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求22 列联表）的基本思想、方法及初步应用；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。

学习重点：独立性检验的基本方法学习难点：基本思想的领会学习过程一、情境引入5月31日是世界无烟日。

有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。

这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下问题：某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965个人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817人。

调查结果是：吸烟的2148人中有49人患肺癌，2099人未患肺癌；不吸烟的7817人中有42人患肺癌，7775人未患肺癌。

问题：根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”？二、学生活动【自主学习】（1）将上述数据用下表（一）来表示：在不吸烟者中患肺癌的人约占多大比例？ ； 在吸烟的人中患肺癌的人约占多大比例？ 。

问题：由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关？把握有多大？ 【合作探究】1、观察、分析样本数据的列联表和柱形图、条形图，你能得出什么结论？2、该结论能否推广到总体呢？3、假设0H ：患肺癌与吸烟没有关系。

则两事件发生的概率有何关系？何结论？4、构造随机变量22()()()()()n ad bc Ka b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++），结合3中结论，若0H 成立，则K 2应该很 (大、小)根据表(一)中的数据，利用4中公式，计算出K 2的观测值，该值说明什么？（统计学中有明确的结论，在0H 成立的情况下，P(K 2≥6.635)≈0.01。

）5、结合表（二）和三维柱形图、二维条形图如何判断两个分类变量是否有关系？利用独立性检验呢？二者谁更精确？ 【当堂检测】在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？。