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北京市2016届高三(上)期末教学统一检测数学(理)试卷及答案

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2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校___________班级_____________姓名____________考号___________本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} （2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于3 31侧（左）视图俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 （3）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - （4）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2mc =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b <<（5）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞（7）过抛物线220)y px p =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6 （8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题： ① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈， 则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．为 ()A ①()B ②()C ③（D ）④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果030B =，0105C =，4a =，那么b = .（10）在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b .如果5⋅=a b ，那么y = ；如果-=a +b a b ，那么y = .（11）已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___.（12）如果函数2()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ； ()f t -= ．（13）如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的 方程为__.（14）数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+； ④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.（16）（本小题共13分）已知函数22()sincos cos ()f x x x x x x =+-∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在， 求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知函数()(ln )xe f x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．（20）（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()nnx y n N +=∈.（Ⅰ）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;(III) 若方程(2,)n n nx y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案高三数学 （理科） 2016.1学校___________班级_____________姓名____________考号___________本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

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第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 22 （10）21;3-（11） 58 （12） 1;0 （13） 01=+-y x （14）①④三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和. 解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，所以11n n a a q -=．因为1234,3,2a a a 成等差数列，所以213642,a a a =+即2320q q -+=． 解得2,1()q q ==舍.又它的前4和415s =，得41(1)15(0,1)1a q q q q-=>≠-，解得11a = ．所以12n n a -= . …………………9分 （Ⅱ）因为2n n b a n =+， 所以11122(n 1)1n n nn i i i i i b a i n ====+=++-∑∑∑． ………………13分（16）（本小题共13分）已知函数22()sincos cos ()f x x x x x x =+-∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值. 解：（Ⅰ）由已知22()sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2π2sin(2).6x xx =-=- 所以 最小正周期2π2ππ.2T ω===由ππ3π2π22π,.262k x k k z +???得2π10πππ,36k x k k z +＃+?故函数()f x 在[0,π]上的单调递减区间15π,π36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ …………9分（Ⅱ）因为α为第四象限角，且3cos 5α=，所以4sin 5α=-． 所以7π()212f α+=7ππ2sin()2sin 66αα+-=-85=．…………………13分（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM求出PMMC的值，若不存在，说明理由. （Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ． 因为AD CD ⊥，所以CD PAD ⊥面. 由于AE PAD ⊂面， 所以有CD AE ⊥．…………………４分 （Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 不妨设2AB AP ==，可得(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，()0,2,0D ， ()0,0,2P .由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E . (0,1,1)AE =uu u v向量(2,2,0)BD =-u u u r ,(2,0,2)PB =-u u r.zC设(,,)n x y z =r为平面PBD 的法向量，则⎩⎨⎧=⋅=⋅00PB n BD n 即⎩⎨⎧=-=+-022022z x y x ．不妨令1y =，可得=n（1,1,1）为平面PBD 的一个法向量.所以cos ,3AE EF =uu u v uu u v .所以，直线EF 与平面PBD…………………11分（Ⅲ）解：向量(2,2,2)CP =--u u r ，(2,2,0)AC =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r. 由点M 在棱PC 上，设,(01)CM CP λλ=≤≤u u u r u u r. 故 (12,22,2)FM FC CM λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r.由AC FM⊥，得0=⋅AC FM ，因此，(1-2)2(2-2)20λλ⨯+⨯=，解得34λ=. 所以 13PM MC =. …………………13分（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．解（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意知2221222a b c c a c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，解得2,a b ==所以椭圆的标准方程为22143x y +=． ……………………………5分（Ⅱ）因为2(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3(1,)2A ，3(1,)2B -，则229||||4AF F B =g，不符合题意. 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为(1)y k x =-．由22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得2222(34)84120k x k x k +-+-= （*）．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是方程（*）的两个根，所以2222834k x x k +=+，212241234k x x k-=+．所以21||1AF ==-，所以22||1F B ==-所以2221212||||(1)()1AF F B k x x x x =+-++g222224128(1)13434k k k k k-=+-+++ 229(1)34k k =++2229(1)3491(1).434k k k=++=++当20k =时，22||||AF F B g 取最大值为3，所以 22||||AF F B g 的取值范围9,34⎛⎤ ⎥⎝⎦.又当k 不存在，即AB x ⊥轴时，22||||AF F B g 取值为94． 所以22||||AF F B g 的取值范围9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦. …………13分 （19）（本小题共14分）已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--． （Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，/2e (1)1()1x x f x x x -=-+，/(1)0f =，(1)e 1f =-． 方程为e 1y =-． …………………4分 （Ⅱ）2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=-- 2e (1)(1)x x ax x x---=， 2(e )(1)x a x x x--= ．当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0x ax ->恒成立，所以 '()0f x > ⇒1x >； '()0f x < ⇒ 01x <<0.所以 单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1) ． …………………8分（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，则'()f x 在(0,1)x ∈内有解．令'2(e )(1)()0x ax x f x x --== ⇒e 0x ax -= ⇒e x a x = .设e ()x g x x = (0,1)x ∈, 所以 'e (1)()x x g x x -=, 当(0,1)x ∈时，'()0g x <恒成立， 所以()g x 单调递减.又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞,即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞,所以 当e a >时，'2(e )(1)()0x ax x f x x --== 有解. 设()e x H x ax =-，则 ()e 0x H x a '=-< (0,1)x ∈，所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减.因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<,所以()e x H x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x .所以有：所以 当e a >时，()f x 在(0,1)内有极值且唯一.当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，'()0f x ≥恒成立，()f x 单调递增，不成立．综上，a 的取值范围为(e,)+∞． …………………14分（20）（本小题共13分）已知曲线n C 表示,x y 满足*1()n nx y n N +=∈的方程. （Ⅰ）求出1,2n =时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的; (III) 若方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解， 求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数. 解:（Ⅰ）当1,2n = 时, 由图可知1141122C =⨯⨯⨯=, 2πC =. …………………3分 （Ⅱ)要证()n S n N *∈是关于n 递增的，只需证明：1(n )n n S S N *+<∈． 由于曲线n C 具有对称性，只需证明曲线n C 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递 增．现在考虑曲线n C 与1n C +，因为 1()(1)n n x y n N *+=∈L L因为 111()(2)n n x y n N ++*+=∈L L在(1)和(2)中令00,(0,1)x x x =∈，当0(0,1)x ∈，存在12,(0,1)y y ∈使得011n n x y +=，11021n n x y +++=成立， 此时必有21y y >．因为当0(0,1)x ∈时100n n x x +>，所以121n n y y +>．两边同时开n 次方有，1221n n y y y +>>．（指数函数单调性） 这就得到了21y y >，从而()n S n N *∈是关于n 递增的． …………………10分 (III)由于(2,)n n n x y z n n N +=>∈可等价转化为()()1n n x y z z+=， 反证：若曲线*(2,)n C n n N >∈上存在一点对应的坐标(,)x y ，,x y 全是有理数， 不妨设,q t x y p s ==，*,,,p q s t N ∈，且,p q 互质，,s t 互质． 则由1n n x y +=可得， 1n n q t p s+=． 即n n n qs pt ps +=．这时,,qs pt ps 就是*(2,)n n n x y z n n N +=>∈的一组解，这与方程*(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解矛盾，所以曲线*(2,)n C n n N >∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数．…………………13分。

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北京市朝阳区2016届高三上学期期末考试数学理试题 含答案

北京市朝阳区2016届高三上学期期末考试数学理试题 含答案

北京市朝阳区2015—2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷(理工类） 2016．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|11M x x =-<<M N =A ．{}|01x x ≤<B ．{}|01x x <<C ．{}|0x x ≥D ．{}|10x x -<≤ 2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位)在复平面内所对应点的坐标为 A ．(1,1) B ．(1,1)-- C ．(1,1)-D ． (1,1)-3．执行如图所示的程序框图,则输出的iA ．3B ．4C ．5D ．6km/h ） 频率3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h~120km/h,试估计2000辆车中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1700辆第4题图5．“1a >"是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增"的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知点)0,22(Q 及抛物线24xy =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是A ． 12B ．1C ． 2D ． 37．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A ．27B ．C ．32D ．第7题图8．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数"．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--(a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a > B ．5a < C ．10a <D ．20a <第二部分（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是 ,最小值是 ．10．若x ，y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则z x y =+的最大值为 ．11．在各项均为正数的等比数列na 中,若22a,则132a a 的最小值侧视图俯视图是 ．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ．13．已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C （,m n ∈R ）上两个不同的点（C 为圆心）,且满足||25CA CB +=，则=AB ．14．已知点O 在ABC ∆的内部，且有xOA yOB zOC ++=0,记,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积分别为AOBBOC AOC SS S ∆∆∆，，．若1x y z ===,则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ；若2,3,4x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ．三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．15．(本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组,其中高一（1）班选取3名同学,其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学,到社区老年中心参加“尊老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率;(Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望．16．(本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上,7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-．（Ⅰ）求sin C ∠的值； （Ⅱ)若5,BD =求ABD ∆的面积．ADBC17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCDDAB∠=︒．点-中，底面ABCD是菱形，且60E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交Array于点F．（Ⅰ)求证：AB∥EF；(Ⅱ)若PA PD AD==，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数()ln=+，其中a∈R．f x ax x(Ⅰ）若()f x在区间[1,2]上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当ea=-时,(ⅰ）证明：()20f x+≤；19．（本小题满分14分)已知圆:O221+=相交于A，B两点．+=的切线l与椭圆:C2234x yx y（Ⅰ)求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证:OA OB⊥；（Ⅲ）求OAB∆面积的最大值。

北京市丰台区2016届高三上学期期末联考理数试题解析(解析版)

北京市丰台区2016届高三上学期期末联考理数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（ ） A.2 B.1 C.0 D.-1【答案】D. 【解析】试题分析：(1)(1)(1)(1)i ai a a i ++=-++，若是实数，则10a +=，∴1a =-. 考点：复数乘除和乘方．2.“20x >”是“0x >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】试题分析：因为由20x >解得：0x >或0x <，∴“0x >或0x <”是“0x >”的必要而不充分条件. 考点：充分必要条件． 3.已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（ ）A.2014≤nB.2016n ≤C.2015≤nD.2017n ≤ A.2014≤n B.2016n ≤ C.2015≤n D.）2017n ≤【答案】C. 【解析】试题分析：该数列的第2016项，即2015n =，是，20162015111a a =++，2016n =，否，∴判断框内的条件是2015n ≤.考点：算法与程序框图．4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为（ ）1D.2 【答案】A. 【解析】试题分析：222||(1cos )(1sin )32(sin cos )3)4OP πθθθθθ=+++=++=++，所以 2||OP的最小值为：3-，即||OP1=-.考点：曲线参数方程． 5.函数()=sin 22f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是（ ）A.23π B.712π C.76π D.43π【答案】C. 【解析】试题分析：()sin 222sin(2)3f x x x x π==+，[0,]x π∈，令()0f x =，得：23x ππ+=或223x ππ+=，即3x π=或56x π=，所以零点之和是57366πππ+=.考点：三角函数的图象和性质． 6.若212x a dx =⎰，21b xdx =⎰，221log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.c b a <<B.b c a <<C.c a b << D/a b c << 【答案】A. 【解析】 试题分析：2211222|2ln 2ln 2x xa dx ===>⎰，2221113|22b xdx x ===⎰，∴b a <，排除C ，D ，由图象可知：221log c xdx =⎰表示的面积最小，故c b a <<.考点：定积分的性质．7.若F （c,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b+=交于A,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为（ ）B.12【答案】B. 【解析】试题分析：∵直线1x ya b+=在x,y 轴上的截距分别为（a,0）,(0,b),所以A （a ，0），B （0,b ） 又线段AB 的中点在直线x c =上，所以2a c =即12c e a ==考点：椭圆的标准方程． 8.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为（ ）A.1B.2 C3 D.4 【答案】D. 【解析】试题分析：①②都对，平面为：正方体三个相邻平面的面对角线构成的平面； ③④都对，直线为：正方体的体对角线. 考点：立体几何综合．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．） 9.在71)x -（2的展开式中，2x 的系数等于_____.（用数字作答） 【答案】84-. 【解析】试题分析：7(21)x -的通项公式为717(2)(1)r r r r T C x -+=-，令725r r -=⇒=， 所以522267284T C x x =-⨯=-，故2x 的系数等于-84.考点：二项式定理.10.若,x y 的满足30,30,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为 .【答案】2-. 【解析】试题分析：作可行域：A(1，4),B(1，2).当目标函数线过点A 时，目标函数值最小，为2142z =⨯-=- 考点：线性规划.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= . 【答案】18. 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，1777422a a S +=⨯=，∴1712a a +=，∴46a =， ∴2374318a a a a ++== 考点：等差数列.12.在ABC ∆中，3,1==BC AC ,点,M N 是线段AB 上的动点，则CM CN ⋅的最大值为_______.【答案】3. 【解析】试题分析：cos CM CN CM CN MCN ⋅=⋅⋅∠，所以当M,N 重合时，cos 1MCN ∠=，CM CN ⋅最大，为2CM ， 又设()(1)CM CA AM CA AB CA CB CA CA CB λλλλ=+=+=+-=-+所以222(1)32(1)CM CB CA λλλλ=-++-⋅，显然当1λ=时，2CM 最大为3，故CM CN ⋅的最大值为3.考点：数量积的应用.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .俯视图侧视图主视图【答案】163. 【解析】试题分析：该几何体是正方体削去两个三棱锥得到的组合体， 所以3111622222323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图.14.设函数(1),()ln()(1).x a x f x x a x ⎧-<=⎨+≥⎩e 其中1a >-.①当0a =时，若()0f x =，则x =__________；②若()f x 在），（∞+∞-上是单调递增函数，则a 的取值范围________.【答案】1，[1,)e -+∞.考点：导数的综合运用.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题13分）如图，在ABC ∆中，=12AB ，AC ，BC ，点D 在边BC 上，且60ADC ∠=. （1）求cos C ； （2）求线段AD 的长.【答案】（1）13；（2）8AD =. 【解析】试题分析：（1）利用余弦定理的变式；（2）在ACD ∆中利用正弦定理即可求解.试题解析：（1）根据余弦定理：222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅13==；（2）因为0C π<<，所以sin 0C >，sin C ===，根据正弦定理得：sin sin AD ACC ADC =∠，sin sin AC CAD ADC⋅=∠8=．考点：正余弦定理解三角形． 16.（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E 是AB 的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，（1）求证：CF ∥平面PAB ； （2）求证：PE ⊥平面ABCD ； (3)求二面角B-PA-C 的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3. 1212cos ||||||n n n n θ⋅==⋅二面角B PA C --余弦值为：1212cos ||||||n n n n θ⋅==⋅考点：平面法向量的求法空间的角垂直平行．17.（本小题14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者.某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.（1）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P；（2）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P；（3）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P. 试根据（1）、（2）中的1P和2P的值，写出1P，2P，3P的大小关系（只写结果，不用说明理由）.【答案】（1）12；（2）0.4116；（3）132P P P>>.【解析】试题分析：（1）利用古典概型分析所有基本事件的种数以及符合条件的基本事件的种数，即可求解；（2）利用古典概型分析所有基本事件的种数以及符合条件的基本事件的种数，即可求解；（3）根据所有基本事件的种数大小即可知132P P P>>.试题解析：（1）1337141012C CPC⋅==，所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12；（2）1132437()()0.41161010P C=⋅=，所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为0.4116；（3）132P P P>>．考点：古典概型．18.（本小题13分）已知函数321()(0)3f x ax x a=+>.（1）求函数()y f x=的极值；（2）若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）函数()y f x =的极大值为224()3f aa -=； 极小值为(0)0f =；（2）18(,4)(4,6)7a ∈. 【解析】试题分析：（1）求导列表，分析导函数的取值情况即可求解；（2）分析函数()f x 图象的大致图形，根据图象列出关于a 的不等式组，即可求解.试题解析：（1）/2()2f x ax x =+，令/()0f x =得20x =，32x a=-. ∴函数()y f x =的极大值为32221224()()()33f a a a a a-=⋅-+-=；极小值为(0)0f =；（2）若存在011(1,)(,0)22x ∈---，使得01()()2f x f =-，则由（1）可知，需要21221,1(1)()2a af f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）.（图1） （图2） 于是可得18(,4)(4,6)7a ∈. 考点：导数的运用． 19.（本小题13分）已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x 轴的对称点为点P.点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据抛物线的定义首先可知动点R 的轨迹为抛物线，再根据条件中数据即可求得其轨迹方程；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理说明AP AQ k k =.试题解析：（1）由题意可知：RN RM =，即点R 到直线1x =-和点M 的距离相等.根据抛物线的定义可知：R 的轨迹为抛物线，其中M 为焦点，设R 的轨迹方程为：22y px =，12p=，2p =，所以R 的轨迹方程为：24y x =. ；（2）由条件可知(,0)b C k -，则(,0)b Q k. 联立24y kx b y x=+⎧⎨=⎩,消去y 得222(24)0k x bk x b +-+=，222(24)416(1)0bk b k bk ∆=--=->.设112212(,),(,)()A x y B x y x x <，则22(,)P x y -，12242bk x x k -+=，1x =，2x. 因为 1212AP y y k x x +===-，11110()AQ y k kx b k b kx b x k -+====--所以 AP AQ k k =,,,A P Q 三点共线 . 考点：抛物线的标准方程及其运用． 20.（本小题13分）已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=.,1,2,i k k ≤=（3,,1)n -（1）求证：111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（；（2）若{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12)1(21-≤≤+n n S n n . 【答案】（1）详见解析；（2）12n n a -=；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据{}n a 递增数列，再根据条件中的不等式递推即可得证；（2）根据数列{}n a 是等比数列以及1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（即可得证；（3）证明12n n n a -≤≤，累加即可得证. 试题解析：（1）因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=>≤=-0（，所以数列{}n a 是递增数列，即 231n a a a <<<<，又因为11,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≥≤=-（，所以 111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（；（2）因为211a a a -=，所以212a a =；因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为2，因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（，所以当=i k 时有1=2k k a a +，这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以12n n a -=；（3）因为11=1a =，22=2a =， 2332a ≤≤，3442a ≤≤， (1)2n n n a -≤≤，由上面n 个式子相加，得到：0121123+2+3++2+2+2++2n n n a a a a -≤++++≤1， 化简得 1231))(21)2n n n n a a a a +<++++<-（（，所以12)1(21-≤≤+n n S n n ． 考点：数列的综合运用．：。

北京市东城区2016-2017第一学期期末教学统一检测高三数学(理科)试题及参考答案

北京市东城区2016-2017第一学期期末教学统一检测高三数学(理科)试题及参考答案

东城区2016-2017学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

）（1）已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A B =（A ）{|13}x x << （B ）{|14}x x << （C ）{|23}x x << （D ）{|24}x x << （2）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y =- （B ）12y =- （C ）1x =-（D ）12x =-（3）“1k =”是“直线0kx y --与圆229x y +=相切”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）6 （B ）8（C ）10 （D ）12（5）已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（A ）tan tan 0x y -> （B ）sin sin 0x x y y -> （C ）ln ln 0x y +> （D ）220xy->正（主）视图俯视图侧（左）视图时间（天）（6）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则(1)0f x +≥的解集为（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞ （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A ）23 （B ）43（C ）2 （D ）83（8）数列{}n a 表示第n 天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n 天的日增长率0.6n r =(*1n nn na a r n a +-=∈N ，)．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率n r 会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率n r 的规律描述正确的是10（C ）时间10时间（天）（D ）0.0.0.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2016届高三上学期期末教学统一检测数学(理科)试卷_Word版含有答案

北京市东城区2016届高三上学期期末教学统一检测数学(理科)试卷_Word版含有答案

北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科） 2016.1本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} （2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于侧（左）视图俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 （3）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - （4）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2mc =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b << （5）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是3（7）过抛物线220)y px p =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6 （8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题： ① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈， 则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．为 ()A ①()B ②()C ③（D ）④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果030B =，0105C =，4a =，那么b = .（10）在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b .如果5⋅=a b ，那么y = ；如果-=a +b a b ，那么y = .（11）已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___.（12）如果函数2()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ； ()f t -= ．（13）如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的 方程为__.（14）数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+； ④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.（16）（本小题共13分）已知函数22()sincos cos ()f x x x x x x =+-∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在， 求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知函数()(ln )xe f x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．（20）（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()nnx y n N +=∈.（Ⅰ）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;(III) 若方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案高三数学 （理科） 2016.1学校___________班级_____________姓名____________考号___________本试卷共5页，150分。