2020_2021学年高中数学第三章3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义新人教A版选修1_2

第三章数系的扩充与复数的引入
3.1数系的扩充和复数的概念
3.1.2复数的几何意义
课后篇巩固提升
基础巩固
1.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()
A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.x2+(y+1)2=1
z=x+y i(x,y∈R).
因为z-i=x+(y-1)i,
所以|z-i|=√x2+(x-1)2=1,
则x2+(y-1)2=1.故选C.
2.若复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i表示的点在虚轴上,则实数m的值为()
A.-1
B.4
C.-1或4
D.-1或6
,知m2-3m-4=0,∴m=4或m=-1.
3.已知复数z1=2+i,z2=-i,则|x1|
|x2|
=()
A.√5
5B.1
5
C.√5
D.5
|z1|=√5,|z2|=1,所以|x1|
|x2|
=√5.
4.设复数z1=a+2i(a∈R),z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是()
A.a<-1或a>1
B.-1<a<1
C.a>1
D.a>0
|z1|=√x2+4,|z2|=√4+1=√5,所以√x2+4<√5,即a2+4<5,所以a2<1,即-1<a<1.
5.若复数z1=3-5i,z2=1-i,z3=-2+a i(a∈R),在复平面内所对应的点在同一条直线上,则实数
a=.
z 1,z 2,z 3分别对应点P 1(3,-5),P 2(1,-1),P 3(-2,a ),由已知可得-5+13-1=
x +1-2-1,从而可得a=5.
6.在复平面内,已知O 为坐标原点,点Z 1,Z 2分别对应复数z 1=4+3i,z 2=2a-3i(a ∈R ),若xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则a= .
z 1=4+3i,z 2=2a-3i(a ∈R ),所以xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a ,-3).因为xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以8a=9,即a=98.
7.若复数z=(m 2-9)+(m 2+2m-3)i 是纯虚数,其中m ∈R ,则|z|= .
,知{x 2+2x -3≠0,x 2-9=0,
所以m=3,因此z=12i,故|z|=12.
8.已知复数z=(a 2+1)+a i(a ∈R ).求:
(1)z 在复平面内对应的点所在的位置;
(2)复数z 在复平面内对应的点的轨迹方程.
因为a 2+1≥1>0,复数z=(a 2+1)+a i 在复平面内对应的点为(a 2+1,a ),所以复数z 在复平面内对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上.
(2)设z=x+y i(x ,y ∈R ),则{
x =x 2+1,x =x , 消去a 可得x=y 2+1,所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹方程为y 2=x-1.
9.当a 取何值时,复数z=(a 2-2a-8)+x 2-x -2x +1i(a ∈R )对应的点Z : (1)在复平面内实轴的下方;
(2)在直线x+y+8=0上.
点Z 在复平面内实轴的下方,则x 2-x -2x +1<0,解得a<2,且a ≠-1.
故当a<2,且a ≠-1时,点Z 在复平面内实轴的下方.
(2)点Z 在直线x+y+8=0上,则a
2-2a-8+x 2-x -2x +1+8=0,a 3-3a-2=0, 化简得(a+1)(a 2-a-2)=0(a ≠-1),解得a=2.
故当a=2时,点Z 在直线x+y+8=0上.
能力提升
1.复数z 与它的模相等的充要条件是( )
A.z 为纯虚数
B.z 为实数
C.z 为正实数
D.z 为非负实数
z=x+y i(x ,y ∈R ),依题意有√x 2+x 2=x+y i,因此必有{x =0,√x 2+x 2=x ,即{x =0,√x 2=x ,
所以y=0,x ≥0,即z 为非负实数.
2.已知复数z 1=2-a i(a ∈R )在复平面内对应的点在直线x-3y+4=0上,则复数z 2=a+2i 在复平面内对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
z 1=2-a i 对应的点为(2,-a ),在直线x-3y+4=0上,故2+3a+4=0,解得a=-2,则复数z 2=-2+2i 对应的点为(-2,2),在第二象限.
3.复数z=cos 40°-icos 50°的模等于 .
√cos 240°+(-cos50°)2 =√cos 240°+sin 240°=1.
4.设z 1=1+i,z 2=-1+i,O 为原点,复数z 1和z 2在复平面内对应的点分别为A ,B ,则△AOB 的面积为 .
A (1,1),
B (-1,1),O 为原点,
∴△AOB 中,AB 与x 轴平行,|AB|=2,
∴S △AOB =12×2×1=1.
5.已知O 为坐标原点,xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-3+4i,xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2a+i(a ∈R ).若xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,求a 的值.
xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-3+4i,xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2a+i,
所以xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4),xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a ,1).
因为xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,
所以存在实数k 使xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
即(2a ,1)=k (-3,4)=(-3k ,4k ),
所以{2x =-3x ,1=4x ,所以{x =1
4,x =-38. 即a 的值为-3
8.
6.设z=log2(1+m)+ilo g1
2
(3-m)(m∈R).
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围;
(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上,求m的值.
由题意,得{log
2
(1+x)<0,
log1
2
(3-x)<0,解得-1<m<0,
即m的取值范围是-1<m<0.
(2)由已知,得点(log2(1+m),lo g1
2(3-m))在直线x-y-1=0上,即log2(1+m)-lo g1
2
(3-m)-1=0,
所以log2[(1+m)(3-m)]=1,
因此(1+m)(3-m)=2,
则m2-2m-1=0,解得m=1±√2,且当m=1±√2时都能满足1+m>0,3-m>0,故m=1±√2.。