人教高中数学必修一A版 《三角函数的概念》三角函数PPT课件

【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =


=
3
，cos
2
tan =


=
3
−1
3
2
所以sin =
=


=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.

（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，



= − , −




（4）在角 的终边上取一点

则 −
则 =



,


=−
=

,

−


= −；
−, ，即 = −, = , = ，


当 = 或



时，点的坐标是(, )和(− ， )



一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π

转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；

人教A版2019高中数学必修第一册
5.2.1 三角函数的概念
安乡一中 李何菲
学习目标
1、经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理 解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；
2、会求∠α的三角函数值；
自主学习：课本P177—P179
一 知识回顾：在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P
c a
O bM
a
sin c
高中数学人教A版必修第一册5.三角函 数的概 念PPT 全文课 件（第 一课时 ）【完 美课件 】
2 计算：当∠α变化的时候，点P的坐标情况
-
1 2
，3 2
2
3
y
M
x
1
6
y
3 2
，1 2
Mx
高中数学人教A版必修第一册5.三角函 数的概 念PPT 全文课 件（第 一课时 ）【完 美课件 】
7
高中数学人教A版必修第一册5.三角函 数的概 念PPT 全文课 件（第 一课时 ）【完 美课件 】
6 例题1，利用三角函数的定义求 5 的正弦值、余弦值和正切值
3
5
3
y
【解】在坐标系中作出∠AOB= ，易知∠AOB的
终边与单位圆的交点P的坐标为
，所以
M
x
1 2
，-
3 2
高中数学人教A版必修第一册5.三角函 数的概 念PPT 全文课 件（第 一课时 ）【完 美课件 】
r 5 sin 4，cos 3，tan 4
5
5
3 25
2、已知∠α的终边经过P(1,2)，则tanα · cosα等于___5___.
3、已知∠α的终边经过点（-4，3），则cosα等于（ D）

D．第四象限
解析：由sin α<0可知α在第三或第四象限，由tan α>0可知α在第一或第三象
限，综上，α在第三象限． 答案：C
3．已知角
α
的终边与单位圆的交点
P
55，－2
5Hale Waihona Puke 5，则sinα＋cos
α＝(
)
5 A. 5
B．－
5 5
25 C. 5
D．－2 5 5
解析：由三角函数的定义知 sin α＝－255，cos α＝ 55，所以 sin α＋cos α＝－255
所以 1100x＝
x x2＋9 .
又 x≠0，所以 x＝±1，所以 r＝ 10.又 y＝3＞0，
所以 θ 是第一或第二象限角．
当 θ 为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
＋
55＝－
5 5.
答案：B
知识点二 诱导公式一 (一)教材梳理填空 (1)终边相同的角的同一三角函数的值 _相__等___. (2)公式
[微思考] 同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？ 提示：不一定，如 sin 30°＝sin 150°＝12.
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.
3.三角函数值的符号： 如图所示：
正弦： 一二 象限正， 三四 象限负； 余弦： 一四 象限正， 二三 象限负； 正切： 一三 象限正， 二四 象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． [微思考] 三角函数值在各象限的符号由什么决定？ 提示：由α的终边所在的象限决定．

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1．单位圆
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②x
叫做
α 的余弦函数，记作 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/
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研究：变量 x, y 与 的关系.
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的

【跟踪训练 3】 若角α的终边与直线 y=3x 重合,且 sin α<0,又 P(m,n)是角α终边
上一点,且|OP|= 10 ,则 m-n=
.
解析:由题,所以n=3m, 又m2+n2=10, 所以m2=1. 又sin α＜0,所以m=-1,所以n=-3. 故m-n=2.
答案:2
考查角度2:三角函数值的符号 【例4】 (2018·石家庄质检)已知sin α＜0,tan α＞0. (1)求角α的集合;
(A) 4 5
(B)- 4 (C) 3
5
5
(D)- 3 5
解析:因为点 A 的纵坐标 yA= 4 ,且点 A 在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,所以 A 5
点的横坐标 xA=- 3 ,由三角函数的定义可得 cos α=- 3 .故选 D.
5
5
【例2】 若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0). (1)求sin θ+cos θ的值;
(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)±2
解析:sin α= 2 = 2 ,x=2,tan α= y = 2 =1.故选 A.
x2 22 x
x2
4.(教材改编题)若sin α＜0且tan α＜0,则α是( D ) (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角
解析:由sin α＜0,得α在第三或第四象限;由tan α＜0,得α在第二或第四象 限,故α在第四象限.故选D.
2.弧度制
(1)定义 长度等于 (2)公式
半径长
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算 弧长公式
扇形面积公式
的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.
|α|= ①1°=

5. 2. 1 三角函数的概念
第一课时
创设情境
问题1 如图，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向 旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．根据 已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研 究上述问题？
明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质．
新知探究
问题2 如图，当α π 时，点P的坐标是什么？当 α π 或 2π
新知探究
问题3 请同学们先阅读教科书第178~179页，再回答如下 问题： （1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？
（1）正弦函数的对应关系：→点P的纵坐标y； 余弦函数的对应关系：→点P的横坐标x； 正弦函数的对应关系：→ y
x
高中数学人教A版必修第一册《三角函 数的概 念》示 范教学 课件
终边与单位圆的交点P确定，
P 点的横、纵坐标x、y就会唯一确定，
高中数学人教A版必修第一册《三角函 数的概 念》示 范教学 课件
高中数学人教A版必修第一册《三角函 数的概 念》示 范教学 课件
新知探究
问题3 请同学们先阅读教科书第178~179页，再回答如下 问题：
（3）为什么说当α π kπ 时，tan的值是唯一确定的？
新知探究
问题5 在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角 为自变量，以比值为函数值的函数．设 x (0，π ) ，把按锐角
2 三角函数定义求得的锐角x的正弦记为y1，并把按本节三角函 数定义求得的x的正弦记为z1．y1与z1相等吗？对于余弦、正切 也有相同的结论吗？
解答：作出Rt△ABC，其中∠A＝x，∠C＝90°，
新知探究
例1 利用三角函数的定义求 5π 的正弦、余 3
弦和正切值．

学习新知——任意角的三角函数的性质1
根据任意角的三角函数的定义，想一想： 不同象限角时，终边上点的坐标的正负怎样？由此你能得出各象限角的三角函数
值的正负吗？那第二象限角呢？
人教A版（2019）高中数学必修第一册 5.2.1 三角函 数的概 念课件 第二课 时（共1 4张ppt ）
如此，请同学们思考三，四象限的角？ 我们可以看到：第二象限角的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负.
例题讲解
解：
人教A版（2019）高中数学必修第一册 5.2.1 三角函 数的概 念课件 第二课 时（共1 4张ppt ）
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例题讲解
解：
人教A版（2019）高中数学必修第一册 5.2.1 三角函 数的概 念课件 第二课 时（共1 4张ppt ）
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学习新知——任意角的三角函数的性质1
注意：我们可以总结各象限角的三角函数值的正负规律： 一全正 二正弦 三正切 四余弦
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例题讲解
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证明:
q 是一，三象限的角， 则q只能是第三象限的角， 反之，如果q是第三象限的角，
根据任意角的三角函数的定义，想一想： 不同象限角时，终边上点的坐标的正负怎样？由此你能得出各象限角的三角函数

(3) y 叫做的正切,记作 y tan(x 0);
x
x
注 : 当x 0,即 k (k Z )时, y tan无意义.
2
x
正弦函数 : y sin x , x R x为角的弧度
三角函数 余弦函数 : y cos x , x R y为角的三角函数值
正切函数 :
y
tan
x
,
x
2
k
(2)
cos2
1 2 sin2
的值是
___
.
分子为1
(3)5cos2 3sin2 的值是 ____ . 暗含：分母为1
1 sin2 cos2
(4)sin cos的值是 ____ . 暗含：分母为1
原式
sin cos sin2 cos2
tan tan2 1
2 5
[变式]已知 sin 2 cos 2,则sin cos的值为 ____ . sin cos
(其中k Z )
公式一（角度制）
sin( k 360) sin cos( k 360) cos tan( k 360) tan
(其中k Z )
巩固：公式一的运用（求值）
[例5]求下列三角函数值 :
(1) cos 9 ; (2) tan 3 (3)sin ( 11 ) (4) tan(1050)
新知：同角三角函数的基本关系
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 (1 sin )(1 sin )
tan sin cos
(sin cos )2 1 2sin cos sin4 cos4 sin2 cos2
求5cos 4 tan的值.
解 : 由sin2 cos2 1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .

10
终边相同的角的三角函数值
如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？
终边相同
终边与单位圆
交点坐标相同
角的同一三角
函数值相同
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)
P(x,y)
公式一（弧度制）
公式一（角度制）
y
sin( k 2 ) sin
sin( k 360) sin
5
解 : 如图, 在直角坐标系中, 作AOB
,
3
1
3
易知AOB的终边OB与单位圆的交点坐标为B( ,
).
2
2
5
3 cos 5 1 , tan 5 3.
sin

,
3 2
3
3
2
7
1
3 1
7
3
7
3
sin


,
(
, )
cos

, tan

.
6
2
2
2
6
2
6
3
cos x
§5.2.1 三角函数的概念
情景引入
抽象为
问题：匀速圆周运动是生活中周期现象的代表，我们知道函数是刻画世界
变化规律的重要教学模型，那么匀速圆周运动应该用什么模型来刻画它？
任务：建立一个函数模型，来刻画P点的位置变化？
以原点为圆心，以单位长度1为半径的圆，称为单位圆.
如图，单位圆上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，射线从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位
据初中所学过的三角函数的定义，有
y
P(a,b)
0
1
α

(2)sin73π
cos
－23π 6
＋tan
－15π 4
cos 133π.
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
练习：确定下列三角函数值的符号(课本P182第3题)
（2）cos 16
5
0
(4）tan(17 )
8
0
（5)sin( 4 )
3
0
一全正，二正弦，三正切，四余弦
例5：求下列三角函数值：
（2）cos
9π； 4
（3）tan(
11π 6)
解：（2）cos
6
4
3
2
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
2
1
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
设角α终边与单位圆相交于点P(x,y) ，则|OP|=r=1,则
sinα
y r
=y;
cosα
x r
x;
tanα
y (x x
0)
学以致用:
求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
22
y
，
5
所以 sin 5 3
3 ，cos 5
2
3
1 2
，tan
5 3
3
3
o
﹒
A
x
﹒B
思考：若把角 5 改为 7 呢?
3
6
请看课本P180：练习2
sin 7 1 , cos 7 3 , tan 7 3
6
2
6