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正态分布与参考值范围估

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03-医学统计学正态分布与医学参考值范围

03-医学统计学正态分布与医学参考值范围

1
ze

z2 2
dz
( X
)
2
标准正态分布的应用
实际应用中，经z变换可把求解任意一个正态分布曲线 下面积的问题，转化成标准正态分布曲线下相应面积的 问题。
欲求服从标准正态分布的随机变量在区间(-∞, z)(z≤0) 上曲线下的面积，可直接查表；对(z＞0) 可根据对称性 算得，计算公式为：
正态分布的应用
• 制定医学参考值范围 • 质量控制 • 正态分布是很多统计方法的理论基础
医学参考值范围
概述
医学参考值范围（reference value range），指正常人 的解剖、生理、生化、免疫及组织代谢产物的含量等 各种数据的波动范围。
医学参考值范围，习惯上是包含95%的参照总体的 范围。
卫生部“十二五”规划教材
医学统计学
正态分布与医学参考值范围
正态分布
概述
正态分布（normal distribution），是 一种连续型随机变量常见而重要的分 布。
它首先由莫阿弗尔于1733年提出。 之后高斯对其进一步研究，使正态分 布广为人知。
A. de Moivre
Gauss
正态曲线 正态曲线（normal curve），是一条高峰位于中央，两侧逐 渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟型曲线。
Φ(z) =1－Φ( -z ) z在区间( z1, z2 )取值概率的计算公式为：
P(z1＜z＜z2 ) = Φ(z2)－ Φ(z1)
【例】由160名7岁男孩身高测量的数据算得样本均数为 122.6cm、样本标准差为4.8cm。已知身高数据服从正态分布， 试估计该地当年7岁男孩身高介于119cm到125cm范围所占的 比例。

正态分布及参考值范围估

正态分布及参考值范围估
双侧 P/2×100~P(1- /2) ×100 单侧 < P(1-)×100 或 > P×100 • 双侧95%参考值范围: P2.5~P97.5 • 单侧95%参考值范围：<P95 或 >P5
整理课件
23
3.对数正态分布法(适于对数正态分布资料) (1-)的参考值范围： 双侧 :lg-1(xlgx±uslgx) 单侧 :< lg-1(xlgx+uslgx)
整理课件
25
• 例2：某市1974年为了解该地居民发汞的 基础水平，调查了留住该市一年以上，
无汞作业接触史的健康居民238人的发汞 含量如下表，试估计该市居民发汞值的
95%参考值范围。
• 发汞值的分布为偏态分布，过高为不正
常，故求单侧95%的上限，用百分位数
法，即求P95
整理课件
26
某市238名健康人发汞含量
整理课件
11
如：区间(2.58，∞)的面积=(-2.58)=0.005 区间(- ∞，2.58)的面积= (2.58)=1- (-2.58) P(︱u︱>1.96)=2 (-1.96)=0.05 P(︱u︱﹤2.58)=(+2.58)- (-2.58)=0.99 P(u<-1.645 或 u>1.645)= (-1.645)=0.05 P(u<-1 或 u>1)= (-1)=0.1587
整理课件
17
/2
/2
-u 0
u
+u
常用的u值 单侧
-u 0
双侧
u0.1
1.282
1.645
u0.05
1.645
1.96
u0.01
2.33

正态分布和医学参考值范围1

正态分布和医学参考值范围1

4、制定正常值范围时，应根据指标的实际用途和特征来决定 取单或双侧正常值范围。 5.百分位数法应用广泛，计算较简单，故制定正常值范围时应 首选百分位数法。 6.近似正态分布资料以 X uS 法估计正常值范围，较百 分位数法稳定,受两端数据影响较小。



医学统计方法（试题分析）
二、选择题：
1、某资料的观察值呈正态分布，理论上有________的观察值落 在 x 1.96s 范围内。 a．68.27% b．90% c．95% d．99% e．45% 2、正态曲线下，从均数μ到μ+1.645σ的面积为 ________。 a．45% b．90% c．95% d．47.5% e．99% 3、标准正态分布是指_________正态分布。 a．μ=0 σ=1 b．μ=1 σ=0 c．μ=0 σ任意 d．μ任意 σ=1 e．以上都不对 X 1.960S X 1.645S 4、资料呈偏态分布，90%双侧正常值范围为_________。 a． x 1.96s b． x 1.64s c．P2.5～P97.5 d．P5～P95 e．0～P90
4）统一测量方法与条件，控制测量误差

测量方法与条件统一，是控制系统误差，测量误差，保证参 考值的可靠性与代表性的重要措施，如检验人员操作方法，熟 练程度相近，实验室条件一致，测试仪器型号相同这些要求应 该满足。
5）确定观察例数（样本含量）

在一般的情况下观察例数越多（抽取样本含量是够大）结果 越接近总体，如白细胞分类计数时，数的白细胞越多，分类计 数就越正确，变异程度较大指标，多一些观察例数是恰当的， 一般样本含量最好将在100例以上。


6、在正态分布资料中，95%的双侧正常值范围常用________ 表示。 a． X 1.960S b．P25～P97.5 X 2.58S d．P5～∞ c． e．P5～P95 7.用百分位数法确定正常值范围，适用于_________资料。 a．分布不对称或不知分布 b．正态分布 c．大样本资料 d．小样本资料 e．以上都对 8、标准正态分布曲线下中间 90%的面积所对应的横轴尺度 u 的范围是________。 a．－1.645到+1.645 b．－∞到+1.645 c．－∞到+2.282 d．－1.282到+1.282 X 1.96S e．－1.96到+1.96

正态分布及参考值范围

正态分布及参考值范围

u x
0.8531
0.0655
78.0
u 78.0 73.9 3.9
0.1469
-1.51
0 1.05
Φ（-1.51）=0.0655，故P（X<68.0）=0.0655 Φ（-1.05）=0.1469，故P（X<78.0）=1-0.1469=0.8531
P（X≥78.0）=0.1468
（4）下结论。该地正常女子血清总蛋白含量 <68.0g/L者占总人数的6.55%， <78.0g/L者占总人 数的85.31%，≥78.0g/L者占总人数的14.69%。
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
人数
解： （1）计算均数、标准差。
X 7982.0 73.（9 g / L） 108
S 591524.0 7982.02 /108 3.（ 9 g / L） 108 1
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u 68.0 73.9 3.9
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
应用
➢估计医学参考值范围 ➢质量控制：临床检验、生物鉴定、食品卫生 监督 ➢其他许多统计方法的基础

03正态分布与医学参考值范围(医学统计学)

03正态分布与医学参考值范围(医学统计学)
σ 是形状参数，决定着正态曲线的分布形状
正态曲线下的面积分布有一定的规律
图3-3
图3-4
方差相等、均数不等的正态分布图示
2 1 3
3 1 2
正态方程的积分式(分布函数)：
F(X)为正态变量X的累计分布函数，反映正态曲线 下，横轴尺度自－∞到X的面积，即下侧累积面积 。
Normal distribution
图3-5
图3-6
正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ，即均 数位置，理论上：
µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的68.27% µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的95% µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的99% 实际应用中：
±1 S范围内曲线下的面积占总面积的68.27% ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的95% ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的99%
属异常，采用双侧界值；有些指标仅过大或者过 小为异常，采用单侧界值。
肺活量参考值范围
白细胞数参考值范围
血铅参考值范围
5. 选择适当的百分数范围 结合专业知识，根据研究目的、研究指标的性质、
数据分布特征等情况综合考虑。百分数范围的不同 将导致不同的假阳性率和假阴性率。
6. 选择计算参考值范围的方法
异常
正常
异常
异常
正常
双侧下限
双侧上限
单侧下限
正常
异常
单侧上限
例3-3 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服 从正态分布， X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L， 估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。
X z0.05 2S 4.78 1.960.38 4.04 , 5.52

医学统计学4 正态分布与参考值

医学统计学4 正态分布与参考值

X
f(X)
a
b
b
X
P(a X b) f ( x)dx F (b) F (a)
a
f(X)
f ( x) N (0,1)
a
a
0
-a
X
F (a) f ( x)dx

F (a) f ( x)dx 1 F (a)

a
三. 曲线下面积
u -3.0 -2.9 …… -2.5 …… -1.9 …… -0.1 0.0 0.00 0.0013 0.0019 …… 0.0062 …… 0.0287 …… 0.4602 0.5000 0.01 0.0013 0.0018 …… 0.0060 …… 0.0281 …… 0.4562 0.4960 0.02 0.0012 0.0018 …… 0.0059 …… 0.0274 …… 0.4522 0.4920 …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……
16
12
1000
3000 1000 5000
10
15
9.0 16.5 16.0
15-60 5.5‰ >60 16.0‰ 合计 8.2‰
35 63
15
40
7500
41.5
SMR=63/7 4.5=0.864 间接标化率 =8.2‰×0.864=6.9‰
SMR=40/41.5 =0.964 间接标化率 =8.2‰×0.964=7.9‰
（1012/L ）频数分布图
f(x) .3 .2
.1
.0 0 f(x) .3 .2 .1 2 4 6 8 10
x
.0
0 2 4 6 8 10
x
正态分布

《医学统计学》医统-第三章正态分布与医学参考值范围

估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。
• 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
X z 0 . 0 5 2 S 4 . 7 8 1 . 9 6 0 . 3 8 4 . 0 4 , 5 . 5 2
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
表3-2 某年某地100名正常成年人血铅含量（μg/dl）对数值频数表
对数组段
频数
累计频数
0.6～
4
4
0.7～
2
6
0.8～
5
11
0.9～
9
20
1.0～
12பைடு நூலகம்
32
1.1～
15
47
1.2～
18
65
1.3～
14
79
1.4～
12
91
1.5～
5
96
1.6～
3
99
1.7～1.8
1
100
合计
100
—
A
36
Medical reference range
P2.5～P97.5 P5
P95
99 X 2.58S X 2.33S X 2.33S P0.5～P99.5 P1 P99
A
33
Medical reference range 例3-3 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服
从正态分布，X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L，
，求单侧95%上限值： l g 1 ( X 1 . 6 4 S ) l g 1 ( 1 . 2 1 . 6 4 0 . 2 4 0 6 ) 3 9 . 3 1 7 3 （μg/dl）

正态分布及参考值范围

ห้องสมุดไป่ตู้
11
BG
解： （1）计算均数、标准差。
X798 .0273 .（ 9g/L） 108
S 591.05 7294 .0 8 2/1 208 3.（ 9g/L ） 10 1 8
12
BG
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u68.073.9 3.9
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
1
BG
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
（2）在x=μ处，f(x)有最大值 x越远离μ，
f(x)值越小。在 处有拐点。
（3）正态分布有两个参数：位置参数——均数μ 和形态参数（又叫变异度参数）——标准差σ。 正态分布曲线只与这两个参数有关。
5
BG
正态分布的特征
位置参数——均数μ
决定正态分布曲线在横轴上 的集中位置。固定形态参数σ ，改变μ的值，曲线沿 x轴平 行移动，曲线形状不变。
3
BG
正态分布的数学函数表达式
如果随机变量X的概率密度函数满足
X
f(x) 1
-(-x)2

第九章 数值变量资料的统计分析下讲解

单侧的U0.05=1.645 ， U0.01=2.326
例9-11 利用表9-1的资料求95%的参考值范围
从频数分布图可以看出该资料基本符合正态分布 x 1.96S 4.411.961.07 2.31 ~ 6.51(mmol / L) 该地正常成年男子血清BUN 浓度的95%参考值范 围为2.31 ~ 6.51(mmol / L)
差异的原因：
(2)由于抽样误差造成的.(实际上 0 ，但
由于抽样误差 不能很好代表 0 )
(1)该地成年男性的血红蛋白含量与正常成年男性
的血红蛋白含量的均数不同( 0)
µ0 =140.0g/L
已知总体
µ
未知总体
x=136.0g/L S=6.0g/L
（二）假设检验的基本步骤
X t / 2, .sx
95%置信区间 x t0.05, Sx 99%置信区间 x t0.01, Sx
总体均数置信区间（可信区间）的计算
1） 已知
x u, x
95%置信区间
x 1.96 x
99%置信区间
x 2.58 x
总体均数置信区间（可信区间）的计算
X
t sx
P(t ,

X
sx
t , ) 1
t ,

X
sx
t ,
t , .sx X t , .sx
总体均数置信区间（可信区间）的计算
2）小样本或 未知----按 t 分布
X t / 2, .sx X t / 2, .sx
在 范围内的面积占 68.27% 在 1.96 范围内的面积占 95% 在 2.58 范围内的面积占 99%

正态分布

8岁男孩总数的百分比；(3)该地80%的男孩身高 集中在那个范围？
17
(1)解：计算u值：
X X u s 130 123.02 1.46 4.79 X
查表9-8
-1.46
1.46
18
(2)解：计算u值：
u1 X1


X1 X s
120 123.02 0.63 4.79
0.10
0.80
0.10
则: 80%的男孩身高集中： (116.9cm，129.2cm)
X 1.28 s
20
三、参考值范围的估计
1. 医学参考值范围(reference range)定义：
又称正常值范围(normal range)，是指特定健康状况
的人群的解剖、生理、生化等各种数据(绝大多数人)
正态分布和参考值范围估计
1
主要内容
一、正态分布的概念、曲线下面积分布规律及 其应用 二、参考值的定义、制订方法
重点：
1、正态分布的概念、曲线下面积分布规律
2、参考值的定义、制订方法
难点：正态分布概率函数值计算
2
一、正态分布：
3
1.定义：一组同质的观察值当样本含量足够大时，其
频数分布为中间高，两侧逐渐减少，左右对称，呈现
一条永不与横轴相交的曲线。
1 f( X ) e 2 ( X )2 22
, X
X ~ N ( , 2 ), 为X的总体均数， 为总体标准差
4
2. 正态曲线(normal curve)
正态曲线的特征：
(1) x=μ±σ处左右拐点， 使曲线表现为钟型
(2)关于x=μ对称 (3) x=μ处取最大值 (4)μ是其位置参数 (5)σ是其形状参数 (6)曲线下的面积为100%
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f
f(x) x
f
F(x)
x- u=

f (u)
(u) u 0
f(x)
x
x-x u= s
大样本资料
一般正态分布N(,2)
标准正态分布N(0,1)
正态分布函数(密度函数)
f(x)= 2 e
1
-(x-)2/22
-∞<x<+∞ -∞<u<+∞
(u)=2
1
e
-u2/2
• 任何正态分布变量 x若作u变换(标准化变 换)，即可得到标准正态分布变量u. x- u= • u称为标准正态变量或标准正态离差，表 示 x与的差相当于多少个标准差单位.
指定值时，横轴上相对的 u值称u界值，记为 u 。 有单侧和双侧之分。即P(︱u︱＞u)=。
/2 -u 0
/2 +u
-u 0
常用的u值 u u0.1 u0.05 u0.01 单侧 1.282 1.645 2.33 双侧 1.645 1.96 2.58
120名成年男子RBC的实际分布与理论分布比较
• 例1：某地调查正常成年男子144人的红细
胞数，均数为5.38×1012/L, 标准差为0.44
×1012/L。适估计该地成年男子红细胞数的
95%参考值范围。
• 双侧95%参考值范围: x±1.96s
= 5.38±1.96×0.44=(4.52~6.24)×1012/L
• 例2：某市1974年为了解该地居民发汞的
几个特殊区间的面积 x u ±1 x±1s ±1 ±1.96 x±1.96s ±1.96 ±2.58 x±2.58s ±2.58
(u) 68.27% 95.00% 99.00%
•
查表注意：
1. 利用均数和标准差先对X做标准化变换， u=(x-x)/s x=x+us
2. 曲线下对称于0的区间，面积相等 3. 曲线下横轴上的总面积为1或100%
基础水平，调查了留住该市一年以上，
无汞作业接触史的健康居民238人的发汞
含量如下表，试估计该市居民发汞值的
95%参考值范围。
• 发汞值的分布为偏态分布，过高为不正 常，故求单侧95%的上限，用百分位数 法，即求P95
某市238名健康人发汞含量
发汞值(g/g ) 0.30.71.11.51.92.32.73.13.53.9-4.3 合计 人数 20 66 60 48 18 16 6 1 0 3 238 累积频数 累积频率(%) 20 86 146 194 212 228 234 235 235 238 8.40 36.13 61.34 81.51 89.08 95.80 98.32 98.74 98.74 100.00 100.00
解：已知X =3400,S=900 (低体重儿是指出生体重≤2500g) u=(x-x)/S=(2500-3400)/900=-1
P=(-1)=0.1587
该地低体重儿的出生概率为0.1587
求某部分面积所对应的变量值 (由P求u及x)
/2 -u 0 /2 +u -u 0
在正态分布曲线下，当双侧或单侧的尾部面积为
单侧 < P(1-)×100 或 > P×100
• 双侧95%参考值范围: P2.5~P97.5
• 单侧95%参考值范围：<P95 或 >P5
3.对数正态分布法(适于对数正态分布资料) (1-)的参考值范围： 双侧 :lg-1(xlgx±uslgx) 单侧 :< lg-1(xlgx+uslgx) 或 > lg-1(xlgx-uslgx)
•求两个变量值之间的面积，即概率 (由x求 u及P) 例：随机抽取某地120名成年男子，测红
细胞计数，得X =4.7168(×1012/L),
S=0.5665(×1012 /L)。求红数及所占比例。
解：已知X =4.7168, S=0.5665
X=4时，u=(x-x)/s=(4-4.7168)/0.5665=-1.265 X=5时，u=(x-x)/s =(5-4.7168)/0.5665=0.500 P=(0.5)-(-1.265)=(1-0.3085)-0.1029=0.5886 人数：120×0.5886=71 人
如：区间(2.58，∞)的面积=(-2.58)=0.005 区间(- ∞，2.58)的面积= (2.58)=1- (-2.58) P(︱u︱>1.96)=2 (-1.96)=0.05
P(︱u︱﹤2.58)=(+2.58)- (-2.58)=0.99
P(u<-1.645 或 u>1.645)= (-1.645)=0.05 P(u<-1 或 u>1)= (-1)=0.1587
(实际人数为70人)
•例：为了解某地低体重儿的出生概率，某医 师从该地随机抽取100名新生儿，测定他们的 平均体重为3400g ，标准差为900g。求： ①该地低体重儿的出生概率 ②分别求x±1s, x±1.96s, x±2.58s范围
内的新生儿占该地总出生新生儿数的百分比。
2500 3400
• 正态分布曲线下一定区间的面积
e 2 1 -u2/2 P= (u)=∫ ∞ 2 du e
u -
P=F(x)= ∫ -∞
x
1
-(x-)/22
dx
F(x)
x
(u)
标准正态分布曲线下的面积,(u)值
正态分布曲线下的面积分布规律
-1 68.27% +1 -1.96 95% +1.96 -2.58 +2.58 99%
i Px=L+ fm (n×x%-∑fL)
P95=2.3+ 16(238×95%-212)=2.65
该市健康居民发汞值得95%参考值范围应 小于2.65g/g
0.4
正常人
病人
漏诊 误诊
可根据实际需要调整1-的大小
敏感性(Se)就是真阳性率，试验的特异性(Sp)就是真阴性率 从临床角度考虑，(1-Se)就是漏诊率，(1-Sp)就是误诊率
正态分布与参考值范围估计
Normal distribution and estimation of reference range
（2 学时） 吴成秋 公共卫生学院卫生学教研室
•正态分布的概念:
资料的频数分布曲线略呈钟型，两头低， 中间高，左右完全对称，并永远不与横轴相交 的曲线，该曲线称为正态分布曲线。该资料称 为正态分布资料。这种分布称为正态分布，又 称Gauss分布(Gaussian distribution). 由于频数的总和等于100%或1，故横轴上曲线 下的面积等于100%或1。
参考值范围的估计方法
1.正态分布法(适于正态分布资料)
(1-)的参考值范围：
双侧 x±us
单侧 <(x+us)
或 >(x-us)
• 双侧95%参考值范围: x±1.96s
• 单侧95%参考值范围： <x+1.64s
或 >x-1.64s
2. 百分位数法(适于非正态分布资料) (1-)的参考值范围： 双侧 P/2×100~P(1- /2) ×100
x
RBC 范围
实际分布 理论分布 人数 % %
x±1.00s 4.15~5.28
83 69.17
68.27
95.00
x±1.96s 3.61~5.83 114 95.00
x±2.58s 3.26~6.18 120 100.00
99.00
从上表可以看出，120名成年男子的实际分布与理
论分布的百分数很接近，说明该120名成年男子的RBC分
正态分布的特征
1.正态分布在横轴上方均数处最高,正态分布以
均数为中心，左右对称
2.正态分布有两个参数：均数(位置参数)，标 准差(变异度参数)，一般用 N(,2)表示正态 分布，标准正态分布用 N(0,1) 表示。 3.曲线和横轴所围面积为1，正态分布曲线下面 积分布有一定规律。
正态分布曲线下面积的分布规律
•参考值范围估计的一般原则与步骤
1.确定研究总体，保证研究对象的同质性。
2.确定样本含量，一般 n>100.
3.确定单侧或双侧(根据专业知识确定)。
4.确定适当百分范围(1-)。常取95%，99%，80%， 90%等。
5.选定适当的统计方法 • 正态分布法：适用于正态分布资料 • 百分位数法：适用于偏态分布资料
布接近正态分布。实际分布与理论分布的百分数越接近， 资料越近似正态分布。
参考值范围估计
•参考值范围(rang of reference value)的概念： 医学参考值是指正常人的各种生理、生 化数据，组织或排泄物中各种成分的含量。 由于同质观察单位某项测定指标在一定范围 内波动。 正常人的这些指标值的波动范围， 称为参考值范围；也称正常值范围(range of normal value). 前者较合理。