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结构有限元分析实验报告姓名学号：指导教师：实验时间：实验一平面问题应力集中分析一、实验目的和要求掌握平面问题的有限元分析方法和对称性问题建模的方法。
通过简单力学分析，可以知道本实验问题属于平面应力问题，基于结构和载荷的对称性，可以只取模型的1/4进行分析。
用8节点四边形单元分析X=0截面σx的分布规律和最大值，计算圆孔边的应力集中系数，并与理论解对比。
二、实验过程概述：1、启动ABAQUS/CAE2、创建部件3、创建材料和截面属性4、定义装配件5、设置分析步6、定义边界条件和载荷7、划分网格8、提交分析作业9、后处理10、退出ABAQUS/CAE三．实验结果（1）σx应力云图（2）左边界直线与圆弧边交点的σx值为;2.96714MPa（3）左右对称面上的σx曲线：四、实验内容分析：(1)描述模型全局σx应力分布规律模型全局σx应力分布：σx应力集中分布于中心圆孔与x、y轴相交的地方，且与 x轴相交处应力为负，与y轴相交处应力为正；沿圆周向周围，σx迅速减小；沿y方向的σx应力大于沿x方向的σx应力。
（2）根据记录的左边界孔边应力，计算应力集中系数，分析误差来源应力集中系数为2.96714,小于理论值3.0，存在误差误差来源：有限元分析方法是将结构离散化，网格划分得越稀疏，计算出的结果就越偏离理论值。
五、实验小结与体会：在实验过程中，仔细阅读上机实验报告，依据实验报告逐步完成实验，在实验的过程中，深刻体会有限元的应用原理。
在自学的基础上，通过询问学长.同学等途径，最终成功完成实验。
实验二平面问题有限元解的收敛性一、实验目的和要求（1）在ABAQUS软件中用有限元法探索整个梁上σx和σy的分布规律。
（2）计算梁底边中点正应力σx的最大值；对单元网格逐步加密，把σx的计算值与理论解对比，考察有限元解的收敛性。
（3）针对上述力学模型，对比三节点三角形平面单元和8节点四边形平面单元的求解精度。
二、实验过程概述：（1）创建部件（2）创建材料和截面属性（3）定义装配件（4）设置分析步（5）定义边界条件和载荷（6）划分网格（7）提交分析作业（8）后处理（9）细化网格验证收敛性（10）高阶单元分析与收敛三、实验结果：（一）单元类型：CPS3，单元尺寸：50（1）模型σx应力云图（2）模型σy应力云图（4）底线上各点x方向的应力曲线(1)模型σx应力云图:(2)模型σy应力云图；(3)底边中点σx最大值：17.0888 MPa （4）底线上各点x方向的应力曲线（三）单元类型：CPS3，单元尺寸：10 (1)模型σx应力云图:(2)模型σy应力云图:(3) 底边中点σx最大值：18.1592 MPa(4) 底线上各点x方向的应力曲线:四）单元类型：CPS8，单元尺寸：100 (1)模型σx应力云图(2)模型σy应力云图:(3) 底边中点σx最大值：19.0951 MPa(4) 底线上各点x方向的应力曲线:（五）单元类型：CPS8，单元尺寸：50 (1)模型σx应力云图:(2)模型σy应力云图:(3) 底边中点σx最大值：18.9939 MPa(4)底线上各点x方向的应力曲线:(六)单元类型：CPS8，单元尺寸：20(1)模型σx应力云图:(2)模型σy应力云图:(3)底边中点σx最大值：18.9577 MPa(4)底线上各点x方向的应力曲线:四、实验内容分析：(a)应力分布情况和规律：底边σx为正，顶边为负，沿y轴正向σx逐渐增大；σy集中分布于两端铰接处，且σy与y同号；σx、σy均对称于y轴分布。
![[说明]有限元中对称与反对称问题总结](https://uimg.taocdn.com/8e91d80f11a6f524ccbff121dd36a32d7375c7c2.webp)
对称与反对称问题总结一、什么是对称或者反对称约束？1、对称边界条件在结构分析中是指：不能发生对称面外（out-of-plane）的移动（translations）和对称面内（in-plane）的旋转（rotations）。
这句话可以理解为：在结构中施加对称条件为指向边界的位移和绕边界的转动被固定。
例如，若对称面的法向为X，如果你在对称面上的节点上施加了对称边界条件，那么：1）不能发生对称面外的移动导致节点处的UX（法向位移）为0。
2）不能发生对称面内的旋转导致ROTZ，ROTY（绕两个切线方向的转角）也为0。
2、反对称边界条件在结构分析中是指：不能发生对称面内（in-plane）的移动（translations）和对称面外（out-of-plane）的旋转（rotations）。
这句话可以理解为：在结构中施加反对称条件为平行边界的位移和绕垂直边界的转动被固定。
例如，若对称面的法向为X，如果你在对称面上的节点上施加了反对称边界条件，那么：1）不能发生对称面的移动导致节点处的UY，UZ（切向位移）为0。
2）不能发生对称面外的旋转导致RO TX（绕法线方向的转角）也为0。
建立对称约束的目的就是为了建模方便和减少计算量，这样就可以大大节省计算机的资源，从而更加细化网格，得到比研究整个模型更精确的结果！注意：模态分析的时候应用对称约束会漏掉对称模态！二、HM中的对称约束和反对称约束这个功能在ansys中对应的为Symmetry或者unsymmetry。
HM中不能施加对称约束，但是可以直接对对称面上的节点施加单点约束就行，施加面外位移约束和面内转动约束。
即对垂直于对称面的方向施加位移约束，另外两个方向施加转动约束。
对于对称，对称面的法向移动和对称面内的转动全约束。
比如对称面是yz平面，在HM中：dof1＝0 dof5＝0 dof6＝0。
反对称和对称正好相反，其意思对于同一个对称面，反对称和对称所约束的自由度正好相反。
结构有限元分析的形状处理方法杜平安 摘要 介绍结构形状处理的各种方法,包括类型简化、细节简化、形式变换、局部结构和利用对称性等。
关键词 形状处理 有限元分析 建模Abstract The processing method is intro-duced in the paper ,including ty pe simplifica tion 、details simplifica tio n 、fo rm tra nsfo rmatio n 、local structure a nd symm etry utiliza tion .Key words Shape processing Finite element analysis Modelling收稿日期:1999-08-181 结构类型简化根据结构形状、载荷和约束条件的特点,结构类型可分为空间问题、平面问题、轴对称问题、板壳问题和杆件问题等。
其中平面问题和轴对称问题的几何模型是一平面图形,在平面上划分网格比在空间内划分要容易得多,单元数量也少得多。
因此将空间问题作适当近似,使其按平面问题来处理,则可使分析过程大为简化。
在图1a 中,计算轮毂与轴过盈配合的接触压力时,由于辐孔尺寸较小且远离接触面,因此可以不考虑辐孔而将轮毂简化为轴对称结构。
同样,在计算图1b 中螺栓与螺母螺纹面上的接触压力时,由于螺旋升角较小,也可以不考虑升角的影响,而将螺栓与螺母简化为轴对称结构。
图1 结构类型简化结构2 结构细节简化细节是结构中相对尺寸很小的局部,如倒圆、倒角、退刀槽和加工凸台等。
根据网格划分特点,一条直线或曲线至少要划分一个单元边;一个平面或曲面至少要划分一个单元面;一个圆至少要用三个单元边离散,因此几何模型中的细节将限制细节处及其附近的网格大小,从而影响整个结构的网格分布和增加网格数量。
图2是有无细节时自动划分出的网格,从中可以看出细节对网格划分的影响。
第二章有限元分析基本理论有限元分析是一种数值计算方法，广泛应用于结构分析、流体力学、热传导等工程领域。
它通过将连续的物理问题离散化为有限个简单的子问题，再通过数值方法求解这些子问题，最终得到原始问题的近似解。
有限元分析的基本理论包括三个方面：离散化、加权残差和求解方法。
首先是离散化。
离散化是指将原始的连续问题转化为离散的子问题。
有限元分析中常用的离散化方法是将求解区域分割成有限的子域，称为单元。
每个单元内部的场量（如位移、温度等）可以用其中一种函数近似表示。
离散化的关键是选择适当的单元形状和适量的节点，使得子问题的离散解能够较好地近似原问题的解。
接下来是加权残差方法。
加权残差方法是有限元分析的核心思想，用于构造子问题的弱型方程。
弱型方程是原始问题的一种积分形式，由应力平衡和边界条件推导而来。
在加权残差方法中，我们引入加权函数，将弱型方程乘以权函数，再对整个求解区域进行积分，从而将连续问题转化为离散问题。
通过选择合适的权函数，可以使得该离散问题具有良好的数学特性，比如对称、正定等。
最后是求解方法。
有限元分析的求解方法主要包括直接法和迭代法。
直接法适用于小型问题，通过对离散问题的系数矩阵进行直接求解，得到场量的离散解。
而迭代法适用于大型问题，通过迭代求解线性代数方程组，得到场量的近似解。
迭代法的常用算法有雅可比法、高斯-赛德尔法、共轭梯度法等。
在求解中还需要注意计算误差的控制和收敛性的判定。
除了这三个基本理论，有限元分析还有一些相关的概念和技术。
例如，网格生成用于生成离散化的单元网格；后处理用于对离散解进行可视化和数据分析；材料模型用于描述材料的本构关系。
这些概念和技术在具体的有限元分析应用中，有着重要的作用。
综上所述，有限元分析的基本理论包括离散化、加权残差和求解方法。
离散化将连续问题转化为离散子问题，加权残差方法用于构造子问题的弱型方程，求解方法用于求解离散问题。
掌握这些基本理论，对于理解和应用有限元分析方法具有重要意义。
如何进行对称模型的模态分析而你不会丢失模态？最简单的办法是：不管结构是否对称，都对整个结构建模、划分网格，然后执行模态分析。
对于中小型结构，这是简单方便的办法，很值得提倡。
但是对于大型结构，由于结构大，有限元模型也很大，求解模态的时间会很长，所需硬盘空间也很大，分析过程很容易出问题。
如：由于计算时间太长，中途容易发生意外 - 断电、误操作 (特别是多人合用的情况)；或是硬盘空间不够 (程序自动退出)，等。
对这种情况，如果结构具有对称性，可以考虑充分利用结构的对称性来减小模型的规模，加快求解的速度。
如果结构具有一个对称面，利用对称性可以把模型的规模减小到原来的一半左右，计算时间可以减小到原来的 1/4 左右，占有硬盘至少减小到原来的一半，其效果是很可观的。
但是，利用对称性来减小计算规模也有一些地方需要注意，否则很容易发生丢失模态的情况。
对于只有一个对称面的情况，，需要计算两种工况才能保证不丢失模态：这两种工况分别是：对称面约束条件分别设置为对称条件和反对称条件；对于有两个对称面的情况，则必须分析四种工况才能保证不丢失模态：这四种工况分别是：两个对称面的约束条件为如下四种组合：对称 + 对称；对称 + 反对称；反对称 + 对称；反对称 + 反对称。
下面通过一个例子说明这一点：例题：一块板，边长100 mm，厚度 5 mm，中心孔半径10 mm；材料性能为： E = 21000 Mpa；μ= 0.3ρ= 7.8e-9 Mpa模型：创建了 2 种模型：(1) 整个板为一个模型；(2) 考虑对称性，取1/4 板计算。
约束条件：(1) 板的外部边界：Uz 和Un 为零(n 为边界在面内的法向)；(2) 对称边界：1/4 模型有两个对称边界，分别取了 4 种组合情况：对称–对称；对称–反对称；反对称–反对称；反对称–对称实际计算时，可以只取其中的 3 个1/4 模型，或取全部 4 个1/4 模型，以便进行比较。
lsdyna轴对称有限元模型1. 简介lsdyna是一种通用的有限元分析软件，广泛应用于工程、汽车和航空航天等领域。
轴对称有限元模型是lsdyna的重要分析工具之一，它在处理旋转对称结构的过程中具有独特的优势和应用价值。
本文将对lsdyna轴对称有限元模型进行详细介绍和分析。
2. 原理轴对称有限元模型是建立在圆柱坐标系下的有限元模型，它以z轴为旋转对称轴，将三维问题简化为二维问题。
在lsdyna中，通过设定特定的边界条件和约束条件，可以将三维结构的分析转化为轴对称的二维模型。
这样不仅可以大大减少计算量，提高计算效率，而且还能更准确地评估旋转对称结构的力学行为。
3. 建模在lsdyna中建立轴对称有限元模型，需要考虑以下几个关键步骤：- 坐标系转换：将三维坐标系转换为圆柱坐标系，并设定z轴为旋转对称轴。
- 材料定义：根据实际情况选择适当的材料参数，并进行材料定义。
- 几何建模：利用lsdyna自带的几何建模工具或导入CAD模型，建立轴对称有限元模型的几何形状。
- 网格划分：根据模型的特点和要求，进行合适的网格划分。
- 材料属性分配：为每个部件分配适当的材料属性，包括密度、弹性模量、屈服强度等。
- 节点约束：根据轴对称性，设定合适的节点约束条件，以保证模型在旋转对称轴上的平衡状态。
- 荷载施加：根据实际工程需求施加合适的载荷条件，进行模拟分析。
4. 分析通过lsdyna轴对称有限元模型，可以进行多种分析，包括但不限于以下几个方面：- 动力学分析：通过施加动态载荷，评估旋转对称结构在振动或冲击荷载下的响应。
- 热力学分析：考虑热荷载对旋转对称结构的影响，进行热力学分析。
- 疲劳分析：模拟旋转对称结构在循环加载下的疲劳性能，评估其寿命。
- 冲击分析：模拟旋转对称结构在冲击荷载下的响应，评估结构的稳定性和可靠性。
5. 应用lsdyna轴对称有限元模型在工程实践中具有广泛的应用价值，主要体现在以下几个方面：- 发动机部件分析：涉及发动机曲轴、连杆、活塞等零部件的疲劳、强度和振动分析。
有限元分析建模与ANSYS简介1.有限元分析的基本方法研究分析对象结构对象形成计算模型选择计算分析程序上机试算修改模型修改方案正式试算，结果分析计算模型合理？结构设计方案？设计方案输出计算结果输出优化设计有限元计算及后处理有限元前处理(建模)1.有限元分析的基本方法1)建立实际工程问题的计算模型利用几何、载荷的对称性简化模型，建立等效模型。
2)选择适当的分析工具侧重考虑以下几个方面：物理场耦合问题大变形网格重划分3)前处理(Preprocessing)------有限元建模(Finite Element Modeling)建立几何模型(Geometric Modeling，自下而上，或基本单元组合)有限单元划分(Meshing)与网格控制给定约束(Constraint)和载荷(Load)1.有限元分析的基本方法4）求解(Solution)求解方法选择计算参数设定计算控制信息设定5）后处理(Postprocessing)后处理的目的在于分析计算模型是否合理，提出结论。
用可视化方法（等值线、等值面、色块图）分析计算结果，包括位移、应力、应变、温度等；最大最小值分析；特殊部位分析。
2. 有限元建模的基本内容•有限元建模在一定程度上是一种艺术，是一种物体发生的物理相互作用的直观艺术。
一般而言，只有具有丰富经验的人，才能构造出优良的模型。
建模时，使用者碰到的主要困难是：要理解分析对象发生的物理行为；要理解各种可利用单元的物理特性；选择适当类型的单元使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边界条件、所受载荷类型、数值和位置的处理有时也是困难的。
•建模的基本内容：•1、力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、线性与非线性、流体、流固耦合…..）-----取决于工程专业知识和力学素养。
•2、单元类型的选择（高阶元/低阶元？杆/梁元？平面/板壳？….. ）-----取决于对问题和单元特性的理解及计算经验。
•3、模型简化（对称性/反对称性简化、小特征简化、抽象提取、支坐等简化）•4、网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？）•5、载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理）•6、求解控制信息的引入3.有限元建模的基本流程•载荷、约束•材料参数化实体造型基于实体的物理模型物理属性编辑器几何元素编辑器力学属性编辑器载荷、约束自动等效力学模型有限元模型网格生成器动力学问题有限元计算静力学问题有限元结果可视化计算参数及控制信息编辑•力学问题描述与简化•单元组、子结构、单元选择•支承连接方式模拟•装配应力等效等•对称/反对称简化•中线/中面提取•小特征删除/抑制•基于点线面的载荷/约束•计算方法/计算精度选择•输入/输出控制•手工编辑/半自动•自动划分：三角形/四面体、四边形/六面体…•模型•物理量(位移/应力/矢量)全局/局部显示•面上/体内/截面/动态4.模型简化•1、物理问题的力学描述•对于所计算的对象，先应分析清楚，给予归类：•1）平面问题•2）空间问题（轴对称问题）•3）板壳问题•4）杆梁问题……•如把复杂问题看得简单，会使许多应当考虑的因素没有考虑影响精度。
有限元分析及理论上机报告报告（一）Demo7 stress一、问题描述一个承受拉力的平板，在其中心位置有一个小圆孔，其结构尺寸如下图所示，要求分析其结构圆孔处的Mises应力分布。
材料特性：弹性模量E = 210000 MPa，泊松比 =0.3拉伸载荷：P=100MPa平板厚度：d=1mm二、方法概述，建模思路和分析策略1由于薄板只在边缘上受到了平行于板面的并沿厚度均匀分布的力，所以平板处于平面应力状态。
在创建部件（Part）时，薄板的模型所在空间(Space)设置为（2D Planer）,绘制图形。
2由于该平板受力模型的结构和载荷是对称的，所以，可以取用模型的1/4进行分析。
其图形如下所示。
3材料为线弹性材料，其材料属性设置为Elasticity中的Elastic，设置其弹性模量（E=210000MPa）和泊松比（ =0.3）。
薄板属于实体，其截面属性种类为实体（Solid），然后赋予其截面属性。
4由薄板的受力情况和分析要求可知，薄板的应力分析为线性/非线性的静力学分析，所以其分析步的类型为Static、General，不用考虑几何非线性（NLgeom>off）。
5模型所受的载荷为均布压力，使用载荷类型为（pressure）。
由于模型的对称，所以对模型的左侧和底部的边界线设置边界条件，固定边界。
由受力分析结果可得：左侧边界为XSYMM，底部边界为YSYMM。
6中心圆孔处为应力集中区域，且为分析结果要求重点，应局部网格加密。
划分网格，然后提交分析。
三、分析过程中遇到的问题及解决方法分析过程中没有遇到什么问题，但是需要注意几个方面。
1、在定义截面属性时，应注意的是平面应力分析问题的截面属性不是shell，而应该是solide（实体）。
其次注意平面的厚度。
一会吧其次，边界条件应该在分析步的第一步（initial）里添加，否则会导致有限元分析的失败。
载荷的添加应该是在第二步，注意载荷的方向为由里向外—100 三，由于取用的是板子的1/4作为分析的模型，所以将边界条件固定来模仿相应的应力情况，即固定相应边的ＸＹ方向上的坐标。
对称结构有限元分析----3节点三角形单元的分析一问题分析(对称框架线弹性实体的静力平衡问题)图是一个方形弹性实体，单位边长、单位厚度、承受等效竖向压力21m，其中边界条KN件暗示着存在两组相对称的平面，因此现考虑的仅是问题的。
每个节点上的自由度号码代表了各自在x和y方向上可能的位移。
结构和单元信息NELS NCE NN NIP8 2 9 1AA BB E V.5 .55 1.E6 .3约束节点自由度信息NR5K , NF(:,K), I=1，NR10 1 4 0 1 7 0 0 8 1 9 1 0 载荷信息LOADED_NODES3(K, LOADS(NF(:,K)), I=1 , LOADED_NODES)1 .0 -.252 .0 -.53 .0 -.253333节点三角形单元网络的总体节点和单元编号3节三角形单元局部坐标系中节点和自由度编号二理论基础（有限元方法原理）通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元方法表达格式的基本步骤。
最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能原理为基础建立的有限元为位移元。
它是有限元方法中应用最为普遍的单元，也是本书主要讨论的单元。
对于一个力学或无力问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。
平面问题3结点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。
我们将以它作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而引出弹性力学问题有限元方法的一般表达格式。
对于前一问题，着重讨论选择广义坐标和有限元位移模式的一般原则和建立其位移插值函数的一般步骤。
对于后一问题，着重讨论单元刚度矩阵和单元载荷向量的形式，总体刚度矩阵和总体载荷向量集成的原理和方法，以及它们各自的特性。
作为一种数值方法，有限元解的收敛性无疑是十分重要的问题，以后将讨论解的收敛准则及其物理意义，所阐明的原则在以后还将得到进一步的应用和具体化。
在建立了有限元的一般表达格式以后，原则上可以将它推广到平面问题以外的其他弹性力学问题和采用任何形式的单元。
轴对称问题具有很广泛的应用领域，轴对称问题3结点三角形 单元的表达格式可以看作是平面问题此种单元表达格式的直接推广。
一）弹性力学平面问题的有限元格式结点三角形单元是有限元方法中最早提出，并且至今仍广泛应用的单元，由于三角形单元对复杂边界有较强的适应能力，因此很容易将一个二维离散成有限个三角形单元，如图1所示。
在边界上以若干段直线近似原来的曲线边界，随着单元增多，这种拟合将趋于精确。
我们在讨论如何应用有限元方法分析各类具体问题的开始，将以平面问题3结点三角形单元为例来阐明弹性力学问题有限元分析的表达格式和一般步 1.1）单元位移模式及插值函数的构造典型的3节点三角形单元节点编码i,j,m ，以逆时针方向编码为正向。
每个节点有位移分量如图所示。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i v u i a (i,j,m)每个单元有6个节点位移即6个节点自由度，亦即[]Tmm j j i im j i ev u v u v u a a a =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a1.2） 单元的位移模式和广义坐标在有限元方法中单元的位移模式或称位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。
多项式的选取由低次到高次。
3结点三角形单元位移模式选取一次多项式 y x u 321βββ++=(1)y x v 654βββ++=它的矩阵表达式是φβ=u （2） 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v u u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕφ00 []y x1=ϕ []T621ββββ=φ称为位移模式，它表示位移作为坐标x ，y 的函数中所包含的项次。
对于现在的情况，单元内的位移是坐标x ，y 的线性函数；61~ββ 是待定系数，称之为广义坐标。
6个广义坐标可由单元的6个结点位移来表示。
在（1）的1式中代入结点i 的坐标（x ，y ）可得到结点i 在x 方向的位移i μ，同理可得j μ和 m μ。
它们表示为i i i y x u 321βββ++=j j j y x u 321βββ++= (3) m m m y x u 321βββ++=解（2）式可以得到广义坐标有结点位移表示的表达式。
上式的系数行列式是A x x y x y x D mmj j ii 2111== （4） 其实A 是三角形单元的面积。
广义坐标61~ββ为()m m j j iimmj j j i i i u a u a ua Ay x u y x u y x u Dm++==2111β)(2111112m m j j i i m m j j i i u b u b u b Ay u y u y u D ++==β (5))(2111113m m j j i i mmj j i i u c u c u c Au x u x u x D++==β同理，利用3个结点y 方向的位移，即（a ）式的第2式可求得 )(214m m j j i i v a v a v a A ++=β)(215m m j j i i v b v b v b A ++=β (6) )(216m m j j i i v c v c v c A++=β在（c ）式和（d ）式中 j m m j mmj j i y x y x y x y x a -==m j m j i y y y y b -=-=11 ),,m j i （ (7)m j mj i x x x x c +-==11上式（i ，j ，m ）表示下标轮换，如i →j ，j →m ，m →i 。
以下同此。
1.3) 位移插值函数将求得的广义坐标 代入（1）式，可将位移函数表示成结点位移的函数，即 m m j j i i u N u N u N u ++=m m j j i i v N v N v N v ++= (8) 其中)(21y c x b a AN i i i i ++=(i,j,m) (9)m j i N N N ,, 称为单元的插值函数或形函数，对于当前情况，他的坐标x 、y 的一次函数。
其中的 m i i i c c b a ,,,.....,是常熟，取决于单元的3个结点坐标。
g ）式中的单元面积A 可通过（7）的系数表示为 )(21)(2121i j j i m j i c b c b a a a D A -=++== （10）（f ）式的矩阵形式是[][]eem jim j i mjim m jj i i m jim jiNaa N NN a a a IN ININ v u v u v u N NN N N N v u u ==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000 （11）N 称为插值函数矩阵或形函数矩阵，e a 称为单元结点位移列阵。
(1) 插值函数具有如下性质 在结点上插值函数的值有⎩⎨⎧≠===ij i j y x N ij j j i 当当01),(δ (i,j,m)（12）即有0),(),(,1),(===m m j j j i j j i y x N y x N y x N 。
也就是说在i 结点上1=i N ，在j ，m 结点上0=i N 。
由（8）式可见，当i i y y x x ==,即在结点i ，应有i u u =，因此也必然要求0,1===m ji N N N 。
其他两个形函数也具有同样的性质。
此性质称为kronecker delta性质。
（2）在单元中任一点各插值函数之和应等于1，即1=++m j i N N N （13） 因为若单元发生刚体位移，如x 方向有刚体位移0μ，则单元内（包括结点上）到处应有位移0μ，即0u uu u mj i ===，又由（g ）式得到00)(u u N N N u N u N u N u m j i m m j j i i =++=++=因此必然要求1=++m j i N N N 。
若插值函数不满足此要求，则不能反映单元的刚体位移，用以求解必然得不到的正确的结果。
单元的各个结点位移插值函数之和等于1的性质称为规一性。
（3）对于现在的单元，插值函数是线性的，在单元内部及单元的边界上位移也是线性的，可由结点上的位移值唯一地确定。
由于相邻单元公共结点的结点位移是相等的，因此保证了相邻单元在公共边界上位移的连续性。
1．4）应变矩阵和应力矩阵确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。
在几何方程中，位移用（11）式代入，得到单元应变为 [][]ee m j iem jiexyyx Baa B B B aN NN L LNa LU =====⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=γεεε （14）B 称为应变矩阵，L 是平面问题的微分算子。
应变矩阵B 的分块子矩阵是⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂==xN yNyN x NN N x yy x LNB i ii ii iii 000000 (i,j,m) （15） 对（9）式求导可得 i i b AxN 21=∂∂i i c AyN 21=∂∂ （16）代入（15）式得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=i ii ii b c c b 00A 21B (i,j,m) （17） 3结点单元的应变矩阵是[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==m mjjii m j i m i mj i b c b c b c c c c b b b AB B B B j 00000021 （18）式中m j i m j i c c c b b b ,,,,, 由（7）式确定，它们是单元形状的参数。
当单元的结点坐标确定后，这些参数都是常量（与坐标变量x ，y 无关），因此B 是常量阵。
当单元的结点位移 e a 确定后，由B 转换求得的单元应变都是常量，也就是说在载荷作用下单元中各点具有同样的 x ε 值、y ε值及xyγ 值。
因此3结点三角形单元称为常应变单元。
在应变梯度较大（也即应力梯度较大）的部位，单元的划分应适当密集，否则将不能反映应变的真实变化而导致较大的误差。
单元应力可以根据物理方程求得，即在物理方程中代入（14）式可以得到eexyyx Sa DBa D ===⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ετσσσ （19）其中[][]mjimj i S SS B B B D DB S === (20)S 称为应力矩阵。
将平面应力或平面应变的弹性矩阵及（18）式代入（20）式，可以得到计算平面应力或平面应变问题的单元应力矩阵。
