面面平行判定定理

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

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感谢支持！(Thank you fordownloading and checking it out!)面面平行定理和判定定理一、面面平行定理面面平行定理的定义：面面平行定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了空间中两个平面之间的平行关系。

具体来说，面面平行定理是指，如果一个平面同时与两个平行平面相交，那么它与这两个平行平面的交线也是平行的。

面面平行定理的表述：面面平行定理可以表述为：在空间中，如果平面α与平面β平行，并且平面α与平面γ相交于一条直线l，那么平面β与平面γ也平行，且它们的交线m也与直线l平行。

面面平行定理的证明方法：面面平行定理的证明通常采用反证法。

首先假设平面β与平面γ不平行，那么它们必须相交于一条直线n。

根据平面与直线的位置关系，直线l与直线n 都在平面α内，因此直线l与直线n平行。

但是这与假设直线l与直线n不平行相矛盾。

因此，假设不成立，平面β与平面γ必须平行。

同理，可以证明平面β与平面γ的交线m也与直线l平行。

这样，面面平行定理得证。

二、判定定理面面平行定理和判定定理是空间几何中的重要理论，其中判定定理包括线线平行定理、线面平行定理和面面平行定理。

这些定理在空间几何图形的判定和空间几何问题的求解中具有广泛的应用。

判定定理的种类线线平行定理是指，如果两条直线在同一平面内，且它们的交线与第三条直线平行，则这两条直线平行。

线面平行定理是指，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的所有点都与这个平面平行。

面面平行定理是指，如果两个平面上的对应线段平行，则这两个平面平行。

证明面面平行的判定定理
面面平行是立体几何学中一个非常重要的概念。

在三维空间中，
如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。

而面面平行的判定
定理可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行。

本文将详细介绍面
面平行的判定定理，包括定义、性质和应用。

一、定义
在三维空间中，两个平面是平行的，当且仅当它们的法线向量平行。

因此，要判断两个平面是否平行，我们只需要比较它们的法线向
量是否平行即可。

二、性质
1. 如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。

2. 两个平面的法线向量分别为n和m，如果n和m平行，那么这
两个平面是平行的。

3. 如果两个平面是平行的，那么它们的法线向量长度相等。

三、应用
在求解立体几何学问题时，面面平行的判定定理是非常有用的。

比如，在计算两个平面之间的距离时，我们可以先判断它们是否平行，再利用向量的知识求解距离。

又比如，在求解两个平面的夹角时，我
们也可以利用这个定理来进行计算。

另外，在工程和建筑设计中，面面平行的判定定理也有着广泛的应用。

比如，在设计房屋或者建筑物时，我们需要保证墙壁之间是平行的，才能保证建筑物的稳定性和美观性。

此外，在工程测量中，面面平行的判定定理也可以用来判断不同建筑物的墙面是否平行，从而帮助我们得出准确的测量结果。

综上所述，面面平行的判定定理是立体几何学中一个非常重要的定理，它可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行，并在工程、建筑设计和测量方面有着广泛的应用。

因此，学好面面平行的判定定理对我们的学习和工作都是非常有帮助的。

如何证面面平行的判定定理一、引言平行是几何学中一个重要的概念，它描述了两条直线或两个平面在空间中永远不会相交的关系。

在解决几何问题时，判定两条直线或两个平面是否平行是非常关键的一步。

本文将介绍如何通过证明来判定两个平面是否平行。

二、定义和定理在开始介绍证明过程之前，我们先来回顾一下与本文相关的定义和定理。

定义：•平行：两条直线或两个平面如果在空间中没有交点，则它们被称为平行。

定理：•面面平行的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直相交，则这条直线上的任意一点到该垂线上任意一点所作的垂线都与该平面垂直相交。

三、证明过程下面我们将通过详细的步骤来证明“面面平行的判定定理”。

步骤1：假设有一个平面A和另外一个与A垂直相交的直线L。

步骤2：取L上任意一点P，并以P为圆心作一个小圆C1，使得C1与A相交于一点M。

步骤3：连接M与P，并延长直线MP，使其与平面A相交于一点N。

步骤4：取MP上任意一点Q，并以Q为圆心作一个小圆C2，使得C2与A相交于一点S。

步骤5：连接S与Q，并延长直线SQ，使其与平面A相交于一点R。

步骤6：根据构造的方式可知，MQ是垂直于平面A的直线。

同时，由于S、Q、R三点共线，则SR也是垂直于平面A的直线。

步骤7：根据步骤6可知，对于MP上任意一点Q所作的垂线SQ都与平面A垂直相交。

步骤8：由于P是L上任意一点，因此对L上任意一点P所作的垂线都与平面A垂直相交。

综上所述，我们证明了“如果一条直线与一个平面垂直相交，则这条直线上的任意一点到该垂线上任意一点所作的垂线都与该平面垂直相交”的定理。

四、应用举例例1：已知平面A和B分别由以下方程确定：•平面A: 2x + 3y - z = 4•平面B: x + 2y - 3z = 5求证平面A和平面B是平行的。

证明过程：根据定理，我们只需要找到一条直线与两个平面垂直相交即可判定它们是平行的。

以平面A为例，令x = t, y = 0, z = -4t + 4，其中t为参数。

两个平面平行的性质定理与结论：（面面平行→线线平行）②如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

（面面平行→线面平行）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行⇒面面平行）面面平行的判定方法：①面面平行的定义：两个平面无公共点。

②判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= ⇒ //αβ平面与平面平行的判定练习一、选择题；1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )①l ⊂α,m ⊂α,且l ∥β,m ∥β；②l ⊂α,m ⊂α,且l ∥m ；③l ∥α,m ∥β,且l ∥mA 1个B 2个C 3个D 0个2． 已知：命题：P ：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q ：α∥β，则下面成立的是（ ）A P ⇒Q ，P ⇐QB P ⇐Q ，P ⇒QC P ⇔Q ，D P ⇒Q ， P ⇐Q3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a ；A ①B ②C ①②D 无4．下列命题中为真命题的是（ ）A 平行于同一条直线的两个平面平行B 垂直于同一条直线的两个平面平行C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行．5．下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行A ①②B ②③C ③④D ②③④二、填空题；6．下列命题中正确的是（填序号）；①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是；8．如右图,点P是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化.三、解答题；9.平面α∥平面β，AB，CD是异面直线，M，N分别是AB，CD的中点，且A1∈α，BD∈β，求证：MN∥α.10．已知四面体ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，P为AC上一点，且AP：PC=2：1，求证：（1）BD∥面CMN；（2）平面MNP//平面BCD.11．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1；。

两平面平行的判定定理平面几何是现代数学的分支之一，其中最基础的就是平面的定义和性质，而两平面是否平行就是平面几何中经常使用到的问题之一。

定义：两平面平行的定义是指两个不重合的平面，它们之间没有任何交点。

判定两平面平行的方法有很多，下面我们将介绍几种常见的方法。

方法一：点斜式法点斜式方法是一种基于向量的证明方法，我们需要用向量来描述平面的特性。

1. 假设有两个平面A和B。

2. 确定平面A上的一点P、以及平面B上的一点Q。

3. 确定平面A上的一向量V1，以及平面B上的一个向量V2，使得V1与V2平行。

4. 根据点斜式公式，平面A上的向量可以表示为P+V1t，平面B上的向量可以表示为Q+V2t，其中t为实数。

5. 假设P+V1t和Q+V2t在某个时刻t0时相遇了，那么它们就可以表示为一个点，也就是P+V1t0=Q+V2t0。

6. 将上述等式转化为向量形式，即(P-Q)=V2t0-V1t0，由于V1与V2并行，所以它们的向量差为0，故可得(P-Q)=0，即P=Q。

7. 由此可以看出，如果两个平面上同时存在一个点，且这两个平面上的向量相等，则这两个平面平行。

方法二：法向量法法向量法是判定两平面平行的基本方法之一，它是基于平面垂直于法向量的特性。

1. 假设有两个平面A和B。

2. 分别求出平面A和平面B的法向量n1和n2。

3. 如果n1与n2平行，则A和B平行。

4. 如果平面A上任意一点P，以n1为法向量做垂线，所得的直线与平面B 垂直，那么A和B平行。

5. 如果平面B上任意一点Q，以n2为法向量做垂线，所得的直线与平面A 垂直，那么A和B平行。

方法三：斜率法斜率法是求解两平面是否平行的一种简单易懂的方法，但是在判定斜率是否相等时可能会出现一些误差。

1. 假设有两个平面A和B。

2. 分别选择平面A上的一条直线L1，以及平面B上的一条直线L2。

3. 求出L1和L2的斜率k1和k2。

4. 如果k1与k2相等，则A和B平行。

用向量法证明面面平行的判定定理
本文将介绍如何用向量法证明面面平行的判定定理。

首先，我们需要明确什么是面面平行。

面面平行指的是两个平面之间各自的法向量方向相同或相反。

接下来，我们可以用向量法来证明这个定理。

假设有两个平面P和Q，它们之间的角度为θ。

我们可以用两个向量a和b来表示这两个平面的法向量。

向量a与P平面垂直，向量b与Q平面垂直。

根据向量点积的定义，两个向量的点积等于它们的模长乘积再乘以它们之间的夹角的余弦值。

即a·b = |a||b|cosθ。

如果P和Q平面面面平行，那么它们的法向量方向相同或相反，即a与b之间的夹角为0度或180度。

当θ=0时，cosθ=1；当θ=180°时，cosθ=-1。

因此，对于面面平行的情况，a·b=±|a||b|。

反之，如果a·b=±|a||b|，则说明它们的夹角为0度或180度，即P和Q平面面面平行。

综上所述，我们可以用向量法证明面面平行的判定定理。

使用向量法可以更加清晰地表示平面的法向量，从而更方便地判断平面是否面面平行。

- 1 -。

线线平行推面面平行的定理
1、定理1:若平面外的直线平行于本平面内的直线，则该直线平行于本平面。

2、定理2:如果平面外的一条直线垂直于这个平面的垂线，那么这条直线平行于这个平面。

3、注意：一条直线平行于一个平面并不意味着它平行于这个平面中的所有直线，而是直线垂直于平面，所以这条直线垂直于这个平面中的所有直线。

线线平行→线面平行：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

线面平行→线线平行：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行→面面平行：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行→线线平行：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

线面垂直→线线平行：如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。

（可理解为法向量平行的平面平行）
证明：由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，运用定理1可知面面平行。

定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础，如果两个平面的法向量平行或相等，那么这两个平面平行。

立体几何空间点、线、面的位置关系
1
平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

如果一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行。

常用性质：垂直于同一直线的两个平面互相平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

常用性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

垂直于同一个平面的两条直线平行。

（垂直于同一条直线的两个平面平行。

）
常用性质：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直这个平面内的任何一条直线。

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

①中位线定理②平行四边形③平行线的传递性
⑥线面垂直性质定理：
④线面平行的质定理⑤面面平行性质定理
①菱形的对角线互相垂直②等腰三角形底边的中线垂直底边
③圆的直径所对的圆周角为直角④利用勾股定理⑤线面垂直性质定理
1。

面面平行的判定基础知识：1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：a βb βa ∩b = P β∥αa ∥αb ∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

典型例题：例1、设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//mB ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D ．α//l ，β//m ，且m l //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．答案：C说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．变式题：1、如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内；∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．若a 、b 都与平面β成︒90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为︒0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．2、下列命题错误的是A 、平行于同一条直线的两个平面平行或相交B 、平行于同一个平面的两个平面平行C 、平行于同一直线的两条直线平行D 、平行于同一平面的两条直线平行或相交解析：D例2、试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：α平面∉A ，求证：过A 有且只有一个平面αβ//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α∉A 知，a A ∉，b A ∉．点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ．在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'，故'a 、'b 是两条相交直线，可确定一个平面β．∵α⊄'a ，α⊂a ，a a //'，∴α//'a ．同理α//'b ．又β⊂'a ，β⊂'b ，A b a ='' ，∴αβ//．所以过点A 有一个平面αβ//．假设过A 点还有一个平面αγ//，则在平面α内取一直线c ，c A ∉，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知：m =ρβ ，n =ργ ，∴c m //，c n //，又m A ∈，n A ∈，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立， 所以平面β只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．例3、如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 已知：γα//，γβ//，求证：βα//．分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线．证明一：如图，假设α、β不平行，则α和β相交．∴α和β至少有一个公共点A ，即α∈A ，β∈A ．∵γα//，γβ//，∴γ∉A ．于是，过平面γ外一点A 有两个平面α、β都和平面γ平行，这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。

面面平行的判定定理
面面平行定理是几何学中一个常见的判定定理，它宣称如果三角形的三个内角的平行
分线分别与另外三边的平行，则这个三角形的三条边的长度互等。

面面平行定理在几何学
里是很重要的定理，它被广泛运用于求解三角形的面积或者长度，也是非常重要的几何形
状的拓展的基础。

面面平行定理的正式证明步骤较多，但是，由于它的本质实际上是一个较为复杂的比
例问题，从而有许多简便的证明方法。

常用的证明方法：
（1）双对项法
如果给定三角形ABC的内角A,B,C的平行分线分别与三边BC,CA,AB的平行，则根据
变比结论，有AB:AC::BC:CB，两边同乘以AC，BC，可以得到AB x CB = AC x BC，即三角形ABC的两条边AB，BC的乘积等于另外一边CA的平方，所以，三角形ABC三边AB，BC，CA相等。

（2）比价法
面面平行定理经常被用于推广等腰三角形和等边三角形以及一般三角形的论述、拓展，而且往往可以根据此定理，有效地求解一些有关三角形面积和边长的问题。