高中数学教案 线面平行的判定定理和性质定理

9.4直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言 符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)⎭⎪⎬⎪⎫l ∥a a ⊂αl ⊄α l ∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l ∥αl ⊂βα∩β＝b l ∥b 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βb ∥βa ∩b ＝P a ⊂αb ⊂αα∥β 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b a ∥b1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． 2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．『试一试』1．下列说法中正确的是________(填序号)．①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l 和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内．『解析』由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确；③错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面．『答案』①②④2．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是________．『解析』易知①正确；②错误，l 与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明．『答案』21．转化与化归思想——平行问题中的转化关系2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．『练一练』1．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a其中正确的命题是________(填序号)．『解析』②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内． 『答案』②2．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件______时，有MN ∥平面B 1BDD 1.『解析』由平面HNF ∥平面B 1BDD 1知，当M 点满足在线段FH 上有MN ∥平面B 1BDD 1.『答案』M ∈线段FH考点一线面平行、面面平行的基本问题1．有互不相同的直线m ，n ，l 和平面α，β，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若m ，n 是相交直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂α，n ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m . 其中真命题有________个．『解析』由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l ′⊂α，m ′⊂α，使得l ∥l ′，m ∥m ′，∵m ，l 是异面直线，∴l ′与m ′是相交直线，又n ⊥l ，n ⊥m ，∴n ⊥l ′，n ⊥m ′，故n ⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l ∥α，m ∥β，α∥β的直线m ，l 或相交或平行或异面，故④是假命题．『答案』32．(2014·济宁模拟)过三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1 平行的直线共有________条．『解析』过三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．『答案』6『备课札记』『类题通法』解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．考点二直线与平面平行的判定与性质『典例』 (2013·新课标卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C ­A 1DE 的体积． 『解』 (1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . (2)因为ABC ­A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC ­A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.『备课札记』在本例条件下，线段BC 1上是否存在一点M 使得DM ∥平面A 1ACC 1？ 解：存在．当M 为BC 1的中点时成立． 证明如下：连结DM ，在△ABC 1中， D ，M 分别为AB ，BC 1的中点 ∵DM 綊12AC 1，又DM ⊄平面A 1ACC 1AC 1⊂平面A 1ACC 1，∴DM ∥平面A 1ACC 1.『类题通法』证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线； (2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可． 『针对训练』如图，已知四棱锥P ­ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点，求证：DN ∥平面AMC .证明：(1)∵在直角梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝12AB ＝1，∴AC ＝2，BC ＝2，∴BC ⊥AC ，又P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥P A ，又P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC .在Rt △P AB 中，M 为PB 的中点，则AM ＝12PB ，在Rt △PBC 中，M 为PB 的中点， 则CM ＝12PB ，∴AM ＝CM .(2)如图，连结DB 交AC 于点F ， ∵DC 綊12AB ，∴DF ＝12FB .取PM 的中点G ，连结DG ，FM ， 则DG ∥FM ，又DG ⊄平面AMC ，FM ⊂平面AMC ， ∴DG ∥平面AMC .连结GN ，则GN ∥MC ，GN ⊄平面AMC ， MC ⊂平面AMC . ∴GN ∥平面AMC ， 又GN ∩DG ＝G ，∴平面DNG ∥平面AMC ， 又DN ⊂平面DNG ，∴DN ∥平面AMC .考点三平面与平面平行的判定与性质『典例』 (2013·陕西高考)如图，四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心， A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面 A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD ­A 1B 1D 1的体积． 『解』 (1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1. 又BD 平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B 平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ， ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD ­A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD ­A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.『备课札记』『类题通法』判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．『针对训练』如图，在直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：(1)平面AD1E∥平面BGF；(2)D1E⊥AC.证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE.∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF；又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1；又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.(2)连结BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD.∵D1D⊥AC，D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵D1E⊂平面BDD1B1，∴D1E⊥AC.『课堂练通考点』1．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是________．『解析』对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①不正确；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②不正确；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．『答案』02．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．『解析』对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．『答案』①④3．(2014·南京学情调研)已知α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线， 下列命题：(1)若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； (2)若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；(3)若α∩β＝n ，m ∥α，m ∥β，则m ∥n ； (4)若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n . 其中是真命题的是________(填序号)．『解析』对于(1)，由m ∥n ，n ∥α得m ∥α或m ⊂α，故(1)错误；根据空间中直线与平面的平行、垂直关系进行一一判断．『答案』(2)(3)(4)4.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．『解析』连结AM 并延长，交CD 于E ，连结BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .『答案』平面ABC、平面ABD5.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC.∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形．∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.。

高中数学平行判定教案
课时：1课时
教学目标：
1. 了解平行线的定义；
2. 掌握平行线性质中的定理和判定方法；
3. 运用所学知识进行实际问题的解决。

教学重点和难点：
重点：平行线性质中的定理和判定方法；
难点：平行线的判定方法的应用。

教学准备：
1. 教材《高中数学教程》相应章节的教学内容；
2. 展示板、彩色粉笔或白板、马克笔等；
3. 相关教学素材和示例题目。

教学过程：
一、引入
1. 教师简单介绍平行线的概念，引起学生对平行线的兴趣；
2. 让学生描述两条平行线的性质并讨论平行线的应用场景。

二、讲解平行线性质
1. 展示板上画出两条平行线，并说明平行线性质中的定理和判定方法；
2. 逐一介绍平行线的四种判定方法：同位角相等、内错角互补、同旁内角互补、平行线上的任意角。

三、练习与训练
1. 让学生通过示例题目进行练习，巩固平行线性质的理解和运用；
2. 引导学生思考实际问题，运用平行线的判定方法解决问题。

四、总结和拓展
1. 教师总结平行线的定义、定理和判定方法，并强调学生要掌握平行线的基本性质；
2. 提出拓展问题或者区别性问题，激发学生进一步思考和学习。

五、作业布置
留作业：完成教材中的相关习题或者设计实际问题，并用平行线性质进行解答。

教学反思：
通过这节课的教学，学生对平行线的定义和判定方法有了更深入的了解，能够应用所学知识解决实际问题。

在教学中，要注意引导学生思考，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

同时要及时总结和巩固平行线的基本性质，确保学生对知识点的掌握和理解。

直线与平面平行的判定教案直线与平面平行的判定教案范文直线与平面平行的判定教案1一、教学目标1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

二、教学重点、难点1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

三、课前准备1.教师准备：教学课件2.学生自备：三角形纸片、铁丝(代表直线)、纸板(代表平面)、三角板四、教学过程设计1.直线与平面垂直定义的建构(1)创设情境①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系?②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系?③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。

(2)观察归纳①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系?②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。

③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

用符号语言表示为：(3)辨析(完成下列练习)：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

②若a⊥α,bα，则a⊥b。

在创设情境中，学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题。

在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。

再展示动画2使学生明确旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B 的直线B1C1也垂直，进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义。

直线与平面平行的判定定理教学设计(教案)第一章：直线与平面平行的概念引入1.1 教学目标让学生了解直线与平面平行的概念。

学生能够通过实例判断直线与平面是否平行。

1.2 教学内容直线与平面平行的定义。

直线与平面平行的判定方法。

1.3 教学步骤1. 引入直线与平面平行的概念，展示实例图片，引导学生观察并描述直线与平面的关系。

2. 给出直线与平面平行的定义，解释其含义。

3. 引导学生通过实例判断直线与平面是否平行，引导学生运用定义进行判断。

1.4 教学评估通过课堂提问，检查学生对直线与平面平行概念的理解。

通过实例判断练习，检查学生能否运用定义判断直线与平面是否平行。

第二章：直线与平面平行的判定定理2.1 教学目标让学生了解直线与平面平行的判定定理。

学生能够运用判定定理判断直线与平面是否平行。

2.2 教学内容直线与平面平行的判定定理。

判定定理的证明。

2.3 教学步骤1. 引入直线与平面平行的判定定理，展示实例图片，引导学生观察并描述直线与平面的关系。

2. 给出判定定理，解释其含义。

3. 进行判定定理的证明，解释证明过程。

4. 引导学生通过实例判断直线与平面是否平行，引导学生运用判定定理进行判断。

2.4 教学评估通过课堂提问，检查学生对直线与平面平行判定定理的理解。

通过实例判断练习，检查学生能否运用判定定理判断直线与平面是否平行。

第三章：直线与平面平行的判定定理的应用3.1 教学目标让学生能够运用直线与平面平行的判定定理解决实际问题。

3.2 教学内容直线与平面平行的判定定理在实际问题中的应用。

3.3 教学步骤1. 引入实际问题，展示实例图片，引导学生观察并描述直线与平面的关系。

2. 引导学生运用判定定理解决实际问题，解释解题过程。

3. 提供练习题，让学生独立解决实际问题，并提供解答。

3.4 教学评估通过课堂提问，检查学生对直线与平面平行判定定理在实际问题中的应用的理解。

通过练习题，检查学生能否独立解决实际问题。

《直线与平面平行的性质定理》教学设计一．教材内容与学情分析：本节课内容是人教A版数学必修2第二章第二节第三课时《直线与平面平行的性质定理》，“直线与平面平行的位置关系〞是“空间直线平行关系〞和“空间平面平行关系〞的桥梁和纽带。

“直线与平面平行的性质〞是立体几何的第一节性质定理课，揭示了“直线与平面平行的判定定理〞与“直线与平面平行的性质定理〞的内在关系，构建了新的知识与方法体系。

本节课也是在学生已经学习了“空间直线与平面的位置关系〞“直线与平面平行的判定〞等知识的根底上展开的，这为学习“直线与平面平行的性质〞作了必要的知识准备。

其次学生通过“空间几何体〞，“空间点，直线，平面之间的位置关系〞“直线与平面平行的判定〞的学习，已经初步形成了一定的空间思维和想象能力，以及初步具备了逻辑思维和推理论证能力，从而提高了学习的效率。

二、教学目标：1．知识与技能：学生初步学会应用直线与平面平行的性质定理解决简单问题；2．过程与方法：学生通过对线面平行性质的学习，进一步掌握直线与平面平行的判定和性质定理；通过对探究成果的归纳，整理，分析，从而认清结论的地位和作用，建立知识之间的联系；3．情感态度、价值观：学生通过对线面平行的性质的学习，进一步提高空间想象能力和严谨的思维习惯，养成实事求是的学习态度。

三、教学重点、难点：1．重点：线面平行的性质定理及应用。

2．难点：发现线面平行的性质，理解性质定理与判定定理的关系，并把它们整合到数学知识方法体系中。

四、教法与教具选择：1．教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论2．教学手段：多媒体、三角板、纸棒。

五、教学过程设计：〔一〕导直线与平面平行的判定定理〔符号描述〕线线平行→线面平行【设计意图】“温故而知新，可以为师也〞，回忆上节课的内容既可以对上节课内容作以稳固，也可为本节内容的展开做铺垫。

尤其是“线线平行→线面平行〞要板书在黑板的左方，等线面平行的性质定理得出后，提炼为“线面平行→线线平行〞只需要在原根底上加上反向箭头即可。

§2.2.1 直线与平面平行的判定（选自人教A版必修②第二章第二节第一课时）一、教材分析本节教材选自人教A版数学必修②第二章第二节第一课时，主要内容是直线与平面平行的判定定理的探究与发现、归纳概括、练习与应用。

它是在前面已学空间点、线、面的位置关系的基础上，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。

学线面平行判定是三大平行判定（线线平行、线面平行、面面平行）的核心，也是高考的高频考点之一，学好线面平行对后续学习面面平行及三大垂直的判定与性质等内容，具有良好的示范作用，同时，它在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。

本节课的学习对培养学生空间想象能力与逻辑推理能力起到重要作用。

线面平行的判定蕴含的数学思想方法主要有数形结合与化归与转化思想。

二、学情分析本节课的教学对象是高一的学生，他们具备一定的由形象思维转化为逻辑思维的能力。

学生在此前已经学习了直线与直线平行的性质及判定、直线与平面平行的定义，对直线与平面平行有了一定的认识，这些都为学生学习本节课做了准备。

同时，由于本节课与生活实际相结合，学生的学习兴趣、参与度会比较大。

但是由于学生处于学习空间立体几何的初始阶段，学习立体几何所具备的语言表达及空间感与空间想象能力不够，特别是对线面平行（空间立体）转化为线线平行（平面）的化归与转化思想，这是学生首次接触的思想方法，应加以必要的强化与引导。

三、教学目标（一）知识技能目标（1）理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用；（2）培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力。

（二）过程方法目标（1）启发式：以实物（门、书、直角梯形卡纸）为媒介，启发、诱导学生逐步经历定理的直观感知过程；（2）指导学生进行合情推理。

对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识、发现问题，教师予以指导，帮助学生合情推理、澄清概念、加深认识。

《直线与平面平行的判定》教案一、教学内容分析本节选自教材《基础模块》下第九章，本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。

本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。

本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。

二、学生学习情况分析任教的学生在年级段属中上程度，学生学习兴趣较高，学生已经学习完空间直线与直线的位置关系以及直线与直线平行，并掌握直线与直线平行的判断方法．在日常生活中积累了许多线面平行的素材，和直观判断的方法，但对这些方法是否正确合理缺乏深入理性的分析．在空间想象和逻辑论证等方面的能力有待于再进一步学习中提高．学习立体几何所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。

三、设计思想本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。

培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。

让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

五、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的判定定理．教学难点：直线与平面平行的判定定理验证和应用六、教学过程设计（一）知识准备、新课引入提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面α有哪几种位置关系？并完成下表：我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a⊄α提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。

2.2.1直线与平面平行的判定
三维目标
一、知识与技能
1、通过直观感知、操作确认，理解直线与平面平行的判定定理
并能进行简单应用
2、进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想像能力
二、过程与方法
1、启发式。

以实物（教室等）为媒体，启发、诱思学生逐步经历定理的直观感知过程。

2、指导学生进行合情推理。

对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识、发现问题、教师予以指导，帮助学生合情推理、澄清概念、加深认识、正确运用。

三、情感态度与价值观
1、让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。

2、在培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真仔细的习惯及合情推理的探究精神
教学的重点与难点：
教学重点：通过直观感知、操作确认，归纳出直线和平面平行的判定及其应用。

教学难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。

教学过程设计：。

线面平行的判定定理篇一：线面平行判定教案教学目标1.知识与技能(1) 通过直观感知.操作确认，理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用(2) 进一步培养学生观察.发现问题的能力和空间想像能力 2.过程与方法(1) 启发式。

以实物（门、书等）为媒体，启发.诱思学生逐步经历定理的直观感知过程。

(2) 指导学生进行合情推理。

对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识.发现问题.教师予以指导，帮助学生合情推理.澄清概念.加深认识.正确运用。

3.情感态度与价值观(1) 让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。

(2) 在培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真仔细的习惯及合情推理的探究精神。

教学重点与难点1. 教学重点：通过直观感知.操作确认，归纳出直线和平面平行的判定及其应用。

2. 教学难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。

教学过程一、复习引入问题：回顾直线与平面的位置关系。

设计意图：通过师生互动回忆旧知识，帮助学生巩固旧知识，让学生在体验学习数学的成就感中来学习新知识，营造轻松愉快的学习氛围。

二、感知定理思考1：根据定义，怎样判定直线与平面平行？图中直线l 和平面α平行吗？思考2：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？思考3：有一块木料如图，P为面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内画一条直线和平面ABCD平行，那么应如何画线？由以上实例可以猜想：第1 页共3 页猜想：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面αa与平面α平行？设计意图：通过三个情景问题和猜想的设计，使学生通过观察、操作、交流、探索、归纳，经历知识的形成和发展，由此并猜想出线面平行的判定定理。

培养学生自主探索问题的能力。

三、定理探究定理探究：由猜想探究定理，并引出定理定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号语言：a?,b??,a//b?a//?解读定理：①定理的三个条件缺一不可；“一线面外、一线面内、两线平行”②判定定理揭示了证明一条直线与平面平行时往往把它转化成证直线与直线平行. 直线与平面平行关系空间问题平面问题直线间平行关系③定理简记为：线(面外)线(面内)平行定理证明：（略）?线面平行.设计意图：通过解读定理，加强对定理的认识和理解以及应用定理的能力。

直线、平面平行的判定及其性质（讲义）知识点睛一、直线与平面平行（简称线面平行）1.判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线______，则该直线与此平面平行．几何语言：___________________________________．2.性质定理：一条直线与一个平面平行，则经过这条直线的任一平面与此平面的______与该直线_________．几何语言：_________________________________．二、平面与平面平行（简称面面平行）1.判定定理：一个平面内的___________与另一个平面平行，则这两个平面平行．几何语言：____________________________________．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．几何语言：____________________________________．2.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．几何语言：____________________________________．推论：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一直线都平行于另一个平面．几何语言：____________________________________．需注意：①在推证线面平行时，需要注意直线不能在平面内．②把线面平行转化为线线平行时，需要清楚经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．精讲精练1.如果直线a∥平面α，那么（）A．a只能平行于α内的一条直线B．a平行于α内的所有直线C．a平行于α内的任意一条直线D．a与α内的直线是异面直线或平行直线2.若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能3.直线a∥平面α，平面α内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的（）A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有4.已知直线a∥平面α，直线b与平面α不平行，则（）A．a不平行于bB．a∥bC．a与b相交D．a∥b或a与b相交或a与b异面5.已知α∩β=b，a∥α，a∥β，则a与b的位置关系是（）A．a∥b B．a⊥bC．a，b相交但不垂直D．a，b异面6.设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a∥α，a⊂β，α∩β=b，则a∥b7.a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出以下六个命题：①a ca bb c⎫⇒⎬⎭；②aa bbγγ⎫⇒⎬⎭；③ccααββ⎫⇒⎬⎭；④αγαββγ⎫⇒⎬⎭；⑤caa cαα⎫⇒⎬⎭；⑥aaγααγ⎫⇒⎬⎭．其中正确的命题是（）A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④8.给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．09.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面BA1C1和直线AC的位置关系是（）A．AC∥平面BA1C1B．AC与平面BA1C1相交C．AC在平面BA1C1内D．上述答案均不正确第9题图第10题图10.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE:EB=AF:FD=1:4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（）A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形11.如下四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．第12题图第13题图13.过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．14.若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8，12，过AB 的中点E 且平行于BD ，AC 的截面四边形的周长为________．第14题图第15题图15.如图，三棱锥A -BCD 中，AB =CD =a ，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长是（）A ．4aB ．2aC ．32aD ．周长与截面的位置有关16.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD．17.如图，三棱柱ABC-A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB．当点M 在何位置时，BM∥平面AEF？18.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB中AB边上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．19.如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．证明：CC1∥平面A1BD．20.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，A 1D 1的中点，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点．（1）求证：四边形BDFE 是梯形；（2）求证：平面AMN ∥平面EFDB ．21.如图所示，在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：（1）BF ∥HD 1；（2）EG ∥平面BB 1D 1D ；（3）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】【知识点睛】一、1．平行a b ，αα⊄⊂，且a b a ∥∥α⇒2．交线平行a a ∥，αβ⊂，=b a b∩∥αβ⇒二、1．两条相交直线=a b a P a b βββαααβ⊂⊂⇒，，∩，∥，∥∥==a b a b P m n m n Q a m b n，，∩，，，∩，∥，∥ααββ⊂⊂⊂⊂∥αβ⇒2．==a b a bαβαγβγ⇒∥，∩，∩∥a a αβαβ⊂⇒∥，∥【精讲精练】1．D2．D 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．C 9．A 10．B 11．A 1213．614．2015．B 16．证明略（分析：可以取OD 的中点、AD 的中点或OB 的中点，利用线面平行的判定定理或面面平行的判定定理进行证明）17．M 为AC 的中点18．SG ∥平面DEF ，证明略（方法一：利用面面平行的判定定理直接证明；方法二：连接CG 交DE 于点H ，连接FH ，通过证明FH ∥SG 得到结论）19．证明略（分析：连接CA 交DB 于点H ，连接A 1H ，通过证明CC 1∥A 1H 得到结论）20．证明略21．证明略直线、平面平行的判定及其性质（随堂测试）1．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1，AA 1的中点，求证：（1）BD 1∥平面AEC ；（2）平面BD 1F ∥平面AEC ．【参考答案】1．证明略（分析：（1）令AC 与BD 交于点O ，连接OE ，证明OE ∥BD 1即可得到结论；（2）证明D 1F ∥AE 或BF ∥CE ，再结合（1）利用面面平行的判定定理即可得到结论）直线、平面平行的判定及其性质（作业）1．下列命题中正确的个数是（）①若直线a不在平面α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．3D．42．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行3．设a，b是异面直线，a⊂平面α，则过b且与α平行的平面（）A．不存在B．有1个C．可能不存在，也可能有1个D．有2个以上4．设a，b为直线，α，β为平面，P是空间中一点，下面命题中正确的是（）A．若a⊄α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD．若P∈a，P∈β，a∥α，α∥β，则a⊂β5．设m，n为直线，α，β为平面，则能够使m∥α的条件是（）A．m∥n，n∥αB．α∩β=n，m∥n，m⊄αC．m∥β，α∥βD．m∥n，n⊂α6．下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④7．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC，其中正确的有____________．第7题图第8题图8．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD 和AE的中点，则MN与平面CDE的关系是_____________．9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是B1C和BD的中点，求证：MN∥平面AA1B1B．10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？11．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．12．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1，B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E-BCD的体积．求证：（1）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP；（2）平面MNP与平面ACD的交线∥AC．14．如图所示，在三棱锥P-ABQ中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．求证：AB∥GH．【参考答案】1．B2．C3．C4．D5．B6．B7．①②③8．平行9．证明略10．点Q为CC1的中点11．证明略12．（1）证明略；（2）V E-BCD=1213．证明略14．证明略（提示：先证明AB∥CD，CD∥平面EFQ，再利用线面平行性质，得到CD∥GH，进而得到AB∥GH）。

教学目的：1. 掌握空间直线和平面的位置关系；2. 直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面”平行的转化.教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用授课类型：新授课.课时安排：1课时■教具：多媒体、实物投影仪 .内容分析：本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质•这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广•直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行 +这些平行关系有着本质上的联系 +通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质•这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 -前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点.教学过程：一、复习引入：1 一空间两直线的位置关系（1）相交；（2）平行；（3）异面2.公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行•推理模式：a//b,b//c a//c.3. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等”4. 等角定理的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等•5. 空间两条异面直线的画法6.异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线”推理模式：A , B ,l , B l AB与I是异面直线.7.异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b ，经过空间任一点 0 作直线a//a,b //b , a,b 所成的角的大小与点 0的选择无关，把 a ,b 所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b 所成的角（或夹角）.为了简便，点0通常取在异面直线的一条上 *异面直线所成的角的范围：（0—]*，2 &异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角， 则叫两条异面直线垂直.两条异面直线a,b 垂直，记作a b . 9•求异面直线所成的角的方法：（1 ）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2 ）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角 即为所求•10.两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线 的公垂线・在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的 距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条 “二、讲解新课：1•直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2 ）直线和平面相交（有且只有一个公共点） ；（3 ）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类. 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a , al2 .线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行. 推理模式：丨 ，m ,l//m l//证明：假设直线I 不平行与平面 ，•/ l,••• I I P ,A , a//AB若P m，则和I 〃m矛盾，若P m，则I和m成异面直线，也和I // m矛盾，••• I //3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线和交线平行.I和没有公共点,又••• m ,•丨和m没有公共点;推理模式：丨〃,1I和m都在内，且没有公共点，••• I //m .三、讲解范例:A 例1 .已知：空间四边形ABCD中，E, F分别是AB, AD的中点，求证：EF //平面BCD .平面BCD , BD 平面BCD ,EF//BD , EF证明：连结BD，在ABD中，••• E,F分别是AB,AD的中点，• EF//平面BCD .例2.求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内.已知：I// ,P , P m, m//I，求证：m证明：设I与P确定平面为，且I m ,•/ I // , • I//m ；又••T//m , m,m都经过点P ,• m,m 重合，• m .例3 已知直线a//直线b,直线a //平面a ,b a, 求证：b //平面a证明：过a作平面B交平面a于直线c■/ a //a「. a // c 又T a // b • b / c ,• b // cT b a , c a,「. b / a .例4.已知直线a //平面，直线a //平面，平面分析：利用公理4，寻求一条直线分别与a, b均平行，从而达到a // b的目的•可借用已知条件中的a//a及a//B来实现.其中正确命题的个数是 ()(A ) 0 个(B ) 1 个(C ) 2 个(D ) 3 个(2) 已知a // , b // ，则直线a , b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交 其中可能成立的有() (A ) 2 个(B ) 3 个(C ) 4 个(D ) 5 个(3) 如果平面外有两点A 、B ,它们到平面的距离都是a ,则直线AB 和平面的位置关系一定是( )(A )平行(B )相交(C )平行或相交(D ) AB(4) 已知m , n 为异面直线，m //平面，n //平面，n =l ，则I ()(A )与m , n 都相交 (B )与m , n 中至少一条相交 (C )与m , n 都不相交(D )与m , n 中一条相交答案：⑴A ⑵D (3) C (4)C 2 •判断下列命题的真假 (1)过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行 ()(2)过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行 ()(3)若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行 ()(4)若两条直证明：经过a 作两个平面 和，与平面 和分别相交于直线c 和d ,••• a // c, a //d , • c // d ,又••• d 平面,c平面 ,• c //平面 ，又c 平面 ，平面n 平面 =b ,• c // b ，又 Ta //c ,所以，a // b •(1 )以下命题(其中 a , b 表示直线, 表示平面)① 若a / b , b ，贝U a / ② 若 a // , b / ，贝U a / b ③ 若 a / b , b / ，贝U a // ④ 若 a // , b ，贝U a / b ■/ a //平面 ，a //平面四、课堂练习 1 •选择题线都和第三条直线平行，则这两条直线平行() 答案：(1)真⑵假(3)假⑷真3 •选择题(1)直线与平面平行的充要条件是( )(A )直线与平面内的一条直线平行 (B )直线与平面内的两条直线平行 (C) 直线与平面内的任意一条直线平行 (D) 直线与平面内的无数条直线平行(2) 直线a //平面，点A € ，则过点A 且平行于直线a 的直线 () (A )只有一条，但不一定在平面 内(B )只有一条，且在平面 内 (C )有无数条，但都不在平面 内(D )有无数条，且都在平面内(3) 若a , b , a // ,条件甲是“ a // b ”，条件乙是“ b // ”，则条件甲是条 件乙的 () (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分又不必要条件 (4) A 、B 是直线I 外的两点，过 A 、B 且和I 平行的平面的个数是 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C )无数个 (D )以上都有可能• 答案：(1) D (2) B ( 3) A (4) D 4.平面 求证: 略证: 与"ABC 的两边 AB 、AC 分别交于BC //平面. AD : DB=AE : EC BC // DE BC DE BC// .:EC , 5 .空间四边形 ABCD , E 、F 分别是AB 、BC 的中点, 求证：EF //平面ACD. 略证：E 、F 分别是AB 、BC 的中点 EF // AC EF ACD EF // + AC ABC 6.经过正方体 ABCD-A i B i C i D i 的棱BB i 作一平面交平面 AA i D i D 于 E i E ，求证：E i E // B i B- 略证: AA i // BB i AA i BEE i B-i BB i BEE i B-i AA i // BEE i B i C iCAA 1 //BEE 1B 1 AA 1 ADD j A ,ADD 1A 1 BEE , B , EE ,AA // BB , AA // EE ,7 •选择题（〔）直线a , b 是异面直线，直线 a 和平面 平行，则直线b 和平面 的位置关系 是（ ）（A ） b（ B ） b // （C ） b 与相交（D ）以上都有可能（2）如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点 M 且与a , b 都平行的平面（A ）只有一个（B ）恰有两个 （C ）或没有，或只有一个（D ）有无数个答案：（D D （2）A &判断下列命题的真假•（〔）若直线I ，则I 不可能与平面 内无数条直线都相交• （）（2）若直线I 与平面 不平行，则I 与 内任何一条直线都不平行-（） 答案：（D 假 （2）假9.如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，（〔）求证：MN //平面PAD ； （2）若 MN BC 4 , PA 4、、3,求异面直线PA 与MN 所成的角的大小+ 略证（D取PD 的中点H ，连接AH ,NH // DC, NH -DC2解（2）:连接AC 并取其中点为 O ,连接OM 、ON ，则OM 平行且等于BC 的一半, ON 平行且等于PA 的一半，所以ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角，由MN BC 4, PA 4 -3得，0M=2 , 0N=2 3,所以 ONM 300，即异面直线 PA 与MN 成30°的角+AA ,〃 EE ,NH // AM , NH AMAMNH 为平行四边形MN // AH , MN PAD,AHPADMN // PADP10.如图，正方形ABCD与ABEF不在同一平面内，M、N 分别在AC、BF上，且AM FN ”求证：MN //平面CBE” 略证：作MT//AB, NH //AB分别交BC、BE于T、H点AM FN CMT 也BNH MT NH从而有MNHT为平行四边形MN//TH MN //CBE五、小结：“线线”与“线面”平行关系：一条直线和已知平面平行，当且仅当这条直线平行于经过这条直线的平面和已知平面的交线. *六、课后作业：.七、板书设计（略）.八、课后记：E。

高中数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》教案一、知识与技能：1、理解并掌握直线与平面平行的性质定理;2、引导学生探究线面平行的问题可以转化为线线平行的问题，从而能够通过化归解决有关问题，进一步体会数学转化的思想。

二、过程与方法：通过直观观察、猜想研究线面平行的性质定理，培养学生的自主学习能力，发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力。

三、情感、态度与价值观：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学转化过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

2重点难点教学重点:线与面平行的性质定理及其应用。

教学难点:线与面的性质定理的应用。

3教学过程3.1 第一学时教学活动活动1【导入】问题引入一、问题引入木工小刘在处理如图所示的一块木料，已知木料的棱BC∥平面A C .现在小刘要经过平面A C 内一点P和棱BC将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗?预设：(1)过P作一条直线平行于B C(2)过P作一条直线平行与BC。

(问题引入的目的在于激起学生对于这堂课的兴趣，带着问题学习目的性更强，效果也会更好。

)活动2【讲授】新课讲授二、知识回顾判定一条直线与一个平面平行的方法：1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、判定定理法：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

(线线平行线面平行)三、知识探究(一)思考一：如果直线a与平面平行，那么直线a与平面内的直线有哪些位置关系?答：平行或异面。

思考2：若直线a与平面平行，那么在平面内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?答：无数条;平行。

思考3：如果直线a与平面平行，经过直线a的平面与平面相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么?答：平行;因为a∥，所以a与没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面内，所以a与b平行。

思考4：综上分析，在直线a与平面平行的条件下我们可以得到什么结论?答：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.(四个思考题的目的在于引导学生探究直线与平面平行的性质定理。

第三节直线、平面平行的判定与性质核心素养立意下的命题导向1.结合立体几何的定义、公理，会推导直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理和性质定理，凸显逻辑推理的核心素养．2．常与求几何体的体积计算相结合，会应用直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理、性质定理证明空间的线、面平行关系，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]1．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3.谨记两个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(直线与平面平行的定义)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：选D因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.2．(面面平行的判定定理)设α，β是两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．3．(平行关系的判定)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m∥n，m∥α，则n∥αC．m⊥α，m⊥β，则α∥βD．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解析：选C A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n⊂α，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D不正确．4．(面面平行的性质定理)设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③二、易错点练清1．(忽视面面平行的条件)下列条件中，能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行．故可知D符合．2．(对空间平行关系相互转化的条件理解不到位)设m，l表示两条不同的直线，α表示平面，若m⊂α，则“l∥α”是“l∥m”的________条件．解析：由m⊂α，l∥α不能推出l∥m；由m⊂α，l∥m也不能推出l∥α，所以是既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要3．(忽视线面平行的条件)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a与α的位置关系是______________．(2)已知直线a，b和平面α，β，若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α，β的位置关系是______________．(3)若α∥β，直线a∥α，则a与β的位置关系是___________________________________．解析：(1)由直线与平面平行的判定定理知，a可能平行于α，也可能在α内．(2)当a，b相交时，α∥β；当a，b平行时，α，β平行或相交．(3)当a在β外时，a∥β；当a在β内时，a∥α也成立．答案：(1)a∥α或a⊂α(2)平行或相交(3)a∥β或a⊂β考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)线面平行的判定[例1]如图所示，在空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点．求证：PQ∥平面ABCD.[证明]法一：如图，取AE的中点G，连接PG，QG.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD，又GQ⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以GQ∥平面ABCD.因为PG∩GQ＝G，PG⊂平面PQG，GQ⊂平面PQG，所以平面PQG∥平面ABCD.又PQ⊂平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.法二：如图，连接EQ并延长，与AD的延长线交于点H，连接BH.因为EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH.在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH.又PQ⊄平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.考法(二)线面平行的性质定理的应用[例2]如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥MO.又MO⊂平面BMD，AP⊄平面BMD，∴AP∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且AP⊂平面PAHG，∴AP∥GH.[方法技巧]线面平行问题的解题关键(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．[针对训练]如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO⊂平面EOC，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)如图，取AB的中点N，连接DN，MN.因为M是AE的中点，N是AB的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明](1)∵在△A1B1C1中，G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴GH与BC确定一个平面α，∴G，H，B，C∈α，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.易证A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，且A1E⊂平面EFA1，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.[方法技巧]1．判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．[提醒]利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．[针对训练]1.如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH 是平行四边形． 答案：平行四边形2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ，AB ＝AD ，PA ⊥PD ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝60°，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．(1)证明：平面BMN ∥平面PCD ； (2)若AD ＝6，求三棱锥P -BMN 的体积． 解：(1)证明：如图，连接BD . ∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 为正三角形． ∵M 为AD 的中点，∴BM ⊥AD .∵AD ⊥CD ，CD ⊂平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM ∥CD .又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴BM ∥平面PCD .∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MN ∥PD . 又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ∥平面PCD .又BM ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，BM ∩MN ＝M ， ∴平面BMN ∥平面PCD . (2)在(1)中已证BM ⊥AD . ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM ⊥平面PAD .又AD ＝6，∠BAD ＝60°，∴BM ＝3 3. ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，PA ＝PD ＝22AD ＝32， ∴S △PMN ＝14S △PAD ＝14×12×(32)2＝94.∴V P -BMN ＝V B -PMN ＝13S △PMN ·BM ＝13×94×33＝934.考点三 平行关系的综合[典例] 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，点C ∈α，点B ∈β，点D ∈β，点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB ＝CF ∶FD . (1)求证：EF ∥平面β；(2)若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC ＝4，BD ＝6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长．[解] (1)证明：①当AB ，CD 在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC ＝AC ，平面β∩平面ABDC ＝BD 知，AC ∥BD . ∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴EF ∥BD . 又EF ⊄β，BD ⊂β，∴EF ∥平面β.②当AB 与CD 异面时，如图所示，设平面ACD ∩平面β＝HD ， 且HD ＝AC ， ∵平面α∥平面β， 平面α∩平面ACDH ＝AC ， ∴AC ∥HD ，∴四边形ACDH 是平行四边形．在AH 上取一点G ，使AG ∶GH ＝CF ∶FD ， 连接EG ，FG ，BH .∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ＝AG ∶GH ， ∴GF ∥HD ，EG ∥BH .又EG ∩GF ＝G ，BH ∩HD ＝H ， ∴平面EFG ∥平面β.又EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面β. 综合①②可知，EF ∥平面β.(2)如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF . ∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ， 且ME ＝12BD ＝3，MF ＝12AC ＝2.∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角或其补角， ∴∠EMF ＝60°或120°. ∴在△EFM 中，由余弦定理得EF ＝ME 2＋MF 2－2ME ·MF ·cos ∠EMF ＝32＋22±2×3×2×12＝13±6，即EF ＝7或EF ＝19. [方法技巧]利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．[针对训练] 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E ，F ，G 分别是棱BC ，AD ，PA 的中点． (1)求证：PE ∥平面BFG ；(2)若PD ＝AD ＝1，AB ＝2，求点C 到平面BFG 的距离． 解：(1)证明：如图，连接DE .∵在矩形ABCD 中，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点， ∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE ∥BF . ∵G 是PA 的中点，∴FG ∥PD .∵PD ⊄平面BFG ，DE ⊄平面BFG ，FG ⊂平面BFG ， BF ⊂平面BFG ，∴PD ∥平面BFG ，DE ∥平面BFG . 又PD ∩DE ＝D ，∴平面PDE ∥平面BFG . ∵PE ⊂平面PDE ，∴PE ∥平面BFG .(2)法一：∵PD ⊥平面ABCD ，FG ∥PD ，∴FG ⊥平面ABCD . 过点C 在平面ABCD 内，作CM ⊥BF ，垂足为M ，则FG ⊥CM . ∵FG ∩BF ＝F ，∴CM ⊥平面BFG ， ∴线段CM 的长是点C 到平面BFG 的距离．在矩形ABCD 中，∵F 是AD 的中点，AD ＝1，AB ＝2，△BCM ∽△FBA ， ∴CM BA ＝BC FB. ∵FB ＝AB 2＋AF 2＝172，BC ＝AD ＝1， ∴CM ＝41717，即点C 到平面BFG 的距离为41717.法二：设点C 到平面BFG 的距离为d . 在矩形ABCD 中，AF ＝12AD ＝12，AB ＝2，∴BF ＝14＋4＝172. ∵PD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BF .∵FG ∥PD ，∴FG ⊥BF ，又FG ＝12PD ＝12，∴△BFG 的面积为12BF ·FG ＝178.∵△BCF 的面积为12BC ·AB ＝1，V C -BFG ＝V G -BCF ， ∴13×178d ＝13×1×12，解得d ＝41717， 即点C 到平面BFG 的距离为41717.创新考查方式——领悟高考新动向1.如图，已知底面边长为3且高为1的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，过顶点A 作平面α与侧面BCC 1B 1交于EF ，且EF ∥BC ，若∠FAB ＝x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π6，四边形BCEF 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 由题意得，在Rt △ABF 中，BF ＝AB tan x ，所以y ＝f (x )＝BC ·BF ＝BC ·AB tan x ＝3tan x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π6.由正切函数的图象及性质，可得C 正确．2．(多选)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF ＝22，以下结论正确的为( ) A ．AC ⊥BFB ．三棱锥A -BEF 的体积为定值C ．EF ∥平面ABCDD ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值解析：选ABC 对于A ，∵ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，易得AC ⊥平面BDD 1B 1， ∵BF ⊂平面BDD 1B 1，∴AC ⊥BF ，故A 正确；对于B ，∵E ，F ，B 在平面BDD 1B 1上，∴A 到平面BEF 的距离为定值，∵EF ＝22，又B 到直线EF 的距离为1，∴△BEF 的面积为定值，∴三棱锥A -BEF 的体积为定值，故B 正确； 对于C ，∵EF ∥BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；对于D，设上底面中心为O，当F与B1重合时，E与O重合，易知两异面直线所成的角是∠A1AO；当E与D1重合时，F与O重合，连接BC1，易知两异面直线所成的角是∠OBC1，可知，这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误．3.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：如图，连接HN，FH，FN，则FH∥D1D，HN∥BD，∵FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FNH∥平面B1BDD1，若M∈FH，则MN⊂平面FNH，∴MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)4．(2021·福建漳州适应性测试)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点，动点Q在正方形D1DAA1(包含边界)内运动，且QB∥平面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长为________．解析：由于QB∥平面D1NT，所以点Q在过B且与平面D1NT平行的平面上，如图，取DC的中点E1，取线段AA1上一点G，使A1G＝1，易证平面BGE1∥平面D1NT.延长BE1，AD，交于点E，连接EG，交DD1于点I，显然，平面BGE∩正方形D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI，易求得GI＝10.答案：105．在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过E，F分别作EN∥PB，FM∥PB，分别交AB，BC于点N，M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝23AC＝2，FM＝EN＝13PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：8[课时跟踪检测]1．(多选)已知直线a，b，l，平面α，β，则下列命题中错误的选项为() A．若α⊥β，l⊥α，则l∥βB．若a⊥l，b⊥l，则a∥b C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β解析：选ABC对于A，由α⊥β，l⊥α，可知l⊂β或l∥β，故A错误；对于B，当a⊥l，b⊥l时，直线a与b可能平行，也可能相交，还可能异面，故B错误；对于C，当α⊥β，l⊂α时，l可能与平面β平行，也可能斜交，故C错误；对于D，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故D正确．2．(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题，其中正确的命题是()A．若l上两点到α的距离相等，则l∥αB．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥βD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n解析：选BC对于A，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以A错误；对于B，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m⊂β，所以β⊥α，所以B正确；对于C，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，C正确；对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D错误，故选B、C.3．(2021·潍坊期中)m，n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由已知条件m∥α，结合线面平行的性质定理可得，过直线m作一平面β交α于直线l，则m∥l，从而存在l⊂α有m∥l，再由m∥n可得n∥l，从而有n∥α.反之，不一定成立，m，n可能相交、平行或异面．所以m∥n是n∥α的充分不必要条件，故选A. 4．若平面β截三棱锥所得的截面为平行四边形，则该三棱锥的所有棱中与平面β平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．1条或2条解析：选C如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD，又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.故有2条棱与平面EFGH平行．因此选C. 5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．②③B．③④C．①④D．①②解析：选A对于命题①，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的；易知②③正确；对于命题④，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的．故选A.6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：选D m∥α，m∥β，则有m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，所以A成立；由于m∥l，l⊥AC，所以m⊥AC，所以B成立；AB∥l，且A∈α，A∉l，α∩β＝l，所以AB∥β，所以C成立；C点可以在平面β内，AC与直线l异面垂直，如图所示，此时AC⊥β不成立，所以D不一定成立．7.如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．解析：如图，设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.答案：18．(2021·苏州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________(填序号)．解析：①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．答案：②9．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．解析：①中，易知NP ∥AA ′，MN ∥A ′B ，∴平面MNP ∥平面AA ′B ，可得出AB ∥平面MNP (如图)． ④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP . 在②③中不能判定AB ∥平面MNP . 答案：①④10.(2021·武汉模拟)如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAB ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 的中点． (1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)平面BDE 分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比．解：(1)证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，设AC ，BD 的交点为O (图略)，则O 是AC 的中点．又E 是PA 的中点，连接EO ，则EO 是△PAC 的中位线，所以PC ∥EO ，又EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC ∥平面EBD .(2)设三棱锥E -ABD 的体积为V 1，高为h ，四棱锥P -ABCD 的体积为V ， 则三棱锥E -ABD 的体积V 1＝13×S △ABD ×h ，因为E 是PA 的中点，所以四棱锥P -ABCD 的高为2h ，所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×S四边形ABCD×2h ＝4×13S △ABD ×h ＝4V 1，所以(V －V 1)∶V 1＝3∶1，所以平面BDE 分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3. 11.如图，ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证： (1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG . 证明：(1)如图，连接AE ， 则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO . 又BE ⊄平面DMF ， MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ， 又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 的中点， 所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ， 又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG ，又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .12．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB .现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC .若BE ＝1，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，且AP ＝λPD ，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ，此时λ＝32.理由如下：当λ＝32时，AP ＝32PD ，可知AP AD ＝35，如图，过点P 作MP ∥FD 交AF 于点M ，连接EM ，PC ， 则有MP FD ＝AP AD ＝35，又BE ＝1，可得FD ＝5， 故MP ＝3，又EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP 綊EC ， 故四边形MPCE 为平行四边形，所以CP ∥ME ， 又ME ⊂平面ABEF ，CP ⊄平面ABEF ， 故有CP ∥平面ABEF .。

线面、面面平行的判定与性质（教师版）知识回顾1．线面平行的判定（1）直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 用符号表示为：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α． 2．线面平行的性质直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言描述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b ． 3. 面面平行的判定（1）平面α与平面β平行的定义：两平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理：下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m ，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为m ，n 相交．⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂αm ∥βn ∥β⇒α∥β 4．面面平行的性质平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ． 题型讲解题型一 利用三角形中位线证明线面平行例1、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点.求证：SA∥平面MDB.答案:证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.例2、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，求证：MN∥平面PB1C.答案证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1.又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.例3、如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．证明连接AF延长交BC于G，连接PG．在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA．∴GFFA＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG．而EF⊄平面PBC，PG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC．练习在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．答案：平行题型二利用平行四边形证明线面平行例1、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．证明：取D1B1的中点O，连接OF，OB．∵OF 12B1C1，BE12B1C1，∴OF BE．∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO．∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．例2、如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD．题型三利用面面平行证明线面平行例. 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，分别是，的中点．求证：平面．答案：证明：如图，取的中点，连接，，分别是，的中点，，，P ABCDABCD M N AB PCMN//PADCD E NE ME∵M N AB PCNE PD∴//ME AD//可证明平面，平面．又，平面平面，又平面，平面．题型四面面平行的证明例1、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．题型五平行性质NE//PAD ME//PADNE ME E=∴MNE//PADMN⊂MNE∴MN//PAD例1、如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行和异面答案：A例2、ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．证明如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP∥GH．练习、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．跟踪训练1．如右图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能 答案：B[解析] ∵A 1B 1∥AB ，AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC.又A 1B 1⊂平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED∩平面ABC ＝DE ，∴DE ∥A 1B 1. 又AB ∥A 1B 1，∴DE ∥AB.2．已知直线l ，m ，平面α，β，下列命题正确的是( ) A ．l ∥β，l ⊂α⇒α∥βB ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α⇒α∥βC ．l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β⇒α∥βD ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝M ⇒α∥β 答案：D3、直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A．至少有一条 B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有答案：B4、给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：B5．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案：A6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案：平行四边形[解析]∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH的形状是平行四边形．7. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D.证明：如图所示，连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点．∵点D是AB的中点，∴OD∥BC1.又∵OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD 1B1．证明如图所示，连接SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．9．（本小题满分12分）在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形， M、N分别为AB、SC的中点，SA⊥底面ABCD．求证：//MN平面SAD；答案．证明（Ⅰ）： E 为SD 中点，连接AE ，NE ，因为M 、N 分别为AB 、SC 的中点，所以AM//EN ，AM=EN ，即四边形AMNE 是平行四边形，所以MN//AE ，可得//MN 平面SAD ；10. 一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A －CDEF 的体积．答案 由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB =BC =BF=2，DE =CF=2，∴∠CBF =. (1)证明：取BF 的中点G ，连结MG 、NG ，由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面CDEF .(2)取DE 的中点H .∵AD =AE ，∴AH ⊥DE ， 在直三棱柱ADE-BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面A DE ∩平面CDEF=DE .∴AH ⊥平面CDEF.∴多面体A-CDEF 是以AH 为高，以矩形CDE F 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH =. S 矩形CDEF =DE ·EF =4，∴棱锥A-CDEF 的体积为2222V=·S 矩形CDEF ·AH =×4×= 解法2：13218222323A CDEF AED BFC A BFCAED V V V S AB S AB ---=-=⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△△BFC 11如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．答案 存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F 为AB的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ∥CF ，又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1，∴CF ∥平面ADD 1A 1.又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1，DD 1⊂平面ADD 1A 1，∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1、CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ，∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1.12. 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．答案 存在．证明如下：取棱PC 的中点F ，线段PE 的中点M ，连接BD .设BD ∩AC ＝O .连接BF ，MF ，BM ，OE .13132283∵PE ∶ED ＝2∶1，F 为PC 的中点，M 是PE 的中点，E 是MD的中点，∴MF ∥EC ，BM ∥OE .∵MF ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴MF ∥平面AEC ，BM ∥平面AEC .∵MF ∩BM ＝M ，∴平面BMF ∥平面AEC .又BF ⊂平面BMF ，∴BF ∥平面AEC .13. (北京)如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ；(2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由．答案 (1)证明：因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE ∥PC .又因为DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以DE ∥平面BCP .(2)证明：因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点所以DE ∥PC ∥FG ，DG ∥AB ∥EF ，所以四边形DEFG 为平行四边形．又因为PC ⊥AB ，所以DE ⊥DG ，所以四边形DEFG 为矩形．(3)存在点Q 满足条件，理由如下：连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点．由(2)知，DF ∩EG ＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN .与(2)同理可证四边形MENG 为矩形，其对象线交点为EG 的中点Q ，且QM ＝QN ＝12EG ，所以EG 的中点Q 是满足条件的点．。

2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】 因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形， 所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ， 又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。