高中物理：天体运动中的追及相遇问题，卫星的追及和相遇问题

天体运动中的相遇、急追及问题引言天体运动中的相遇、急追问题是天体力学研究中的一个重要方面。

它能够帮助我们了解天体之间的相互作用规律，及其对天体系统演化的影响。

在太阳系中，行星之间的相对运动状态对于行星成型、轨道演化、甚至是地球存在的稳定性都有着重要的影响。

因此，对于相遇、急追等问题的研究，有着重要的科学意义和应用价值。

相遇问题天体运动中的相遇问题是指两个天体在一个瞬间处于非常接近的状态。

在实际应用中，我们通常定义两个天体之间的相遇状态为：1.两个天体之间的相对距离小于它们的半径之和。

2.两个天体相对运动的曲率半径非常小，它们的运动方向将会接近相反。

在天体力学中，相遇问题是一个非线性的多体系统问题，因此相遇问题的分析非常复杂。

相遇问题的一个经典案例就是恒星聚集星团中的相遇。

相遇问题不仅存在于天体力学中，在社会科学中也具有重要意义。

比如，在交通流中车辆的相遇，或是人类的相遇等。

相遇问题的研究能够帮助我们理解各种物理和社会事件的运动规律。

急追问题急追问题是指在天体运动中，一个天体在追赶另一个天体的过程中，它们之间的相对运动状态。

具体来讲，急追问题包括两种情况：一个天体相对另一个天体的运动速度比它们的距离更快或两个天体沿同一方向运动但速度不同的情况。

在恒星演化中，大质量恒星在一起形成成团状态，且成团状态下的恒星牵涉到的对其他恒星的急追问题有助于解释恒星演化的起源。

问题分析在天体力学中，相遇、急追问题的计算基本上都是建立在二体问题的基础之上。

因此，在分析问题的时候，我们通常也是基于二体问题进行研究。

二体系统主要包括两个方面的因素：运动的质量和运动的形态。

运动的质量代表系统受到的重力和其他外界力量，运动的形态则是由系统运动状态决定的。

对于相遇、急追问题，我们主要考虑的是运动的形态因素。

在求解相遇、急追问题的时候，我们通常会采用数学建模的方法，通过分析已知的物理量来推导出未知的物理量。

在对问题进行建模时，我们通常需要考虑众多因素，如速度、方向、质量等等。

卫星变轨和追及相遇问题双星模型(单选基础练+多选提升练+计算综合练)一、基础练(单选题)1.神舟十六号于2023年5月30日上午9时31分在甘肃酒泉卫星发射中心发射，取得圆满成功！神舟十六号乘组有景海鹏、桂海湖、朱杨柱三位航天员，这是中国第十六次载人航天发射，是中国航天工程实现的又一个历史性突破。

此次神舟十六号还会前往空间站执行维修任务，包括加装新的天线、引导机器人等工作。

宇航员们还将会进行科学实验，比如观察天体、检测太空环境等等。

若神舟十六号与空间站核心舱在对接的最后阶段，神舟十六号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。

要使神舟十六号在同一轨道上追上空间站实现对接，神舟十六号喷射燃气的方向可能正确的是()A. B.C.D.【答案】A【详解】要想使神舟十六号在与空间站的同一轨道上对接，则需要加速使神舟十六号速度变大，与此同时要想不脱离原轨道，根据F =m v 2r则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而喷气产生的推力与喷气方向相反，可知，只有第一个选项符合要求。

故选A 。

2.随着科技的发展，载人飞船绕太阳运行终会实现。

如图所示，Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，II 轨道假设是载人飞船的椭圆轨道，其中点A 、C 分别是近日点和远日点，B 点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则()A.载人飞船的运动周期小于1年B.载人飞船在C 的速率小于火星绕日的速率C.载人飞船在Ⅰ轨道上A 点的速率大于在Ⅱ轨道上A 点的速率D.只要绕行时间相同，载人飞船在Ⅱ轨道扫过的面积就等于火星在Ⅲ轨道扫过的面积【答案】B【详解】A ．根据开普勒第三定律a 3T 2=k 由于Ⅱ轨道的半长轴大于Ⅰ轨道的半径，则载人飞船的运动周期大于地球的公转周期，即载人飞船的运动周期大于1年，故A 错误；B ．假设飞船在C 处变轨到绕太阳做匀速圆周运动的轨道上，则飞船在C 处需要点火加速；根据万有引力提供向心力可得GMm r 2=m v 2r 可得v =GM r 可知火星绕日的速率大于C 处绕太阳做匀速圆周运动的速率，则载人飞船在C 的速率小于火星绕日的速率，故B 正确；C ．飞船在Ⅰ轨道上A 点需要点火加速做离心运动才能到达Ⅱ轨道上，故载人飞船在Ⅰ轨道上A 点的速率小于在Ⅱ轨道上A 点的速率，故C 错误；D ．根据开普勒第二定律可知，同一轨道上的行星在相同时间内，行星与太阳连线扫过的面积相等，但不同轨道的行星，在相同时间内扫过的面积不一定相等，故D 错误。

高一物理【卫星的追及与相遇问题】专题两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。

若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示。

当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。

当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星第二次相距最近，经过一定的时间，两卫星又会相距最远和最近。

两卫星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2…)。

两卫星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝0,1，2…)。

人造卫星甲、乙分别绕地球做匀速圆周运动，卫星乙是地球同步卫星，卫星甲、乙的轨道平面互相垂直，乙的轨道半径是甲轨道半径的325倍，某时刻两卫星和地心在同一直线上，且乙在甲的正上方(称为相遇)，如图所示。

在这以后，甲运动8周的时间内，它们相遇了()A．4次B．3次C．2次D．6次[解析]根据周期公式T＝2πr3Gm地得T乙T甲＝5，又因2πT甲t＝n1π(n1＝1,2…，16)，2πT乙t＝n2π(n2＝1,2，3…)，解得t＝n12T甲＝n22T乙。

当n2＝1时，n1＝5；当n2＝2时，n1＝10；当n2＝3时，n1＝15，所以在这以后，甲运动8周的时间内，它们相遇了3次，B正确。

[答案] B[名师点评]天体追及、相遇问题的处理思路(1)根据GMm r2＝mrω2可判断角速度的大小。

(2)在解决卫星与地球上物体的追及、相遇问题时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行分析。

3.某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。

每过N 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示。

该行星与地球的公转半径之比为( )A ．(N ＋1N )23B.(N N －1)23 C ．(N ＋1N )32 D ．(N N －1)32解析：由题意每过N 年地球比行星多运动一周，即N T 地－N T 行＝1，再结合开普勒第三定律T 2R 3＝C 有R 行R 地＝ 3(T 行T 地)2＝ 3(N N －1)2，B 正确。

专题26 卫星或天体中的追及、相遇模型1、科学思维——模型建构卫星或天体中的追及、相遇模型中，两卫星或天体均绕同一颗中心天体做匀速圆周运动，求解何时相距最近或最远即为此模型。

解决此类模型，需结合实际的物理模型和开普勒第三定律进行求解。

2、模型特征模型图示特点模型1：从相距最近开始，同向运动，何时再次相距最近(1)扫过角度关系：∆θa −∆θb =2π(2)最短时间：∆t =T a TbT b−T a模型2：从相距最近开始，同向运动，何时再次相距最远(1)扫过角度关系：∆θa −∆θb =π (2)最短时间：∆t =T a Tb 2(T b−T a)模型3：从相距最近开始，反向运动，何时再次相距最近(1)扫过角度关系：∆θa +∆θb =2π(2)最短时间：∆t =T a Tb T b+T a模型4：从相距最近开始，反向运动，何时再次相距最远(1)扫过角度关系：∆θa +∆θb =π (2)最短时间：∆t =T a T b 2(T b +T a )模型5：从相距最远开始，同向运动，何时再次相距最近(1)扫过角度关系：∆θa −∆θb =π (2)最短时间：∆t =T a T b 2(T b −T a )模型6：从相距最远开始，反向运动，何时再次相距最近(1)扫过角度关系：∆θa +∆θb =π(2)最短时间：∆t =T a Tb 2(T b+T a)【典例1】[从相距最近开始，同向运动，何时再次相距最近或最近]（多选）如图所示，a 和b 是某天体M 的两个卫星，它们绕天体公转的周期为T a 和T b ，某一时刻两卫星呈如图所示位置，且公转方向相同，则下列说法中正确的是（ ）A. 经T a T bT b−T a后，两卫星相距最近B. 经T a T b2(T b−T a)后，两卫星相距最远C. 经T a+T b2后，两卫星相距最近D. 经T a+T b2后，两卫星相距最远【答案】AB【解析】a和b是某天体M的两个卫星，它们绕天体公转的周期为T a和T b，当两颗卫星转动角度相差2π时，即a比b多转一圈，相距最近。

高中物理：天体运动中的追及相遇问题，卫星的追及和相遇问题地面上的物体常常出现追及相遇问题，关键是找出它们的位移、速度和时间等关系，运动路线应该在同一轨道上。

天体运动中也有追及相遇问题，它与地面上的追及相遇问题在思维有上相似之处，即也是找出一些物理量的关系，但它也不同之处，有其自身特点。

根据万有引力提供向心力，即，所以当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道会发生相应的变化，所以天体不可能能在同一轨道上追及或相遇。

分析天体运动的追及相遇重点是角度、角速度和时间等关系的判断。

1、追及问题例1、如图1所示，有A 、B 两颗行星绕同一颗恒星M 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T 1，B 行星的周期为T 2，在某一时刻两行星相距最近，则①经过多长时间，两行星再次相距最近？②经过多长时间，两行星第一次相距最远？解析：A 、B 两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，因此T 1<T 2。

可见当A 运动完一周时，B 还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有A 、B 行星和恒星M 的连线再次在一条直线上，且A 、B 在同侧，从角度看，在相同时间内，A 比B 多转了2π；如果A 、B在异侧，则它们相距最远，从角度看，在相同时间内，A 比B 多转了π。

所以再次相距最近的时间t1，由；第一次相距最远的时间t 2，由。

如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去掉，那么结果如何？2、相遇问题1月14日高中物理例2、设地球质量为M，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m的飞船由静止开始从P点沿PD方向做加速度为a的匀加速直线运动，1年后在D点飞船掠过地球上空，再过3个月又在Q处掠过地球上空，如图2所示（图中“S”表示太阳）。

根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大小。

解析：飞船开始与地球相当于在D点相遇，经过3个月后，它们又在Q点相遇，因此在这段时间内，地球与太阳的连线转过的角度。

设地球的公转周期为T，飞船由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，则地球的公转半径为所以 地球与太阳之间的万有引力大小为例3、阅读下列信息，并结合该信息解题：（1）开普勒从1609年～1619年发表了著名的开普勒行星运动三定律，其中第一定律为：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上。

卫星的变轨问题、天体追及相遇问题一、卫星的变轨、对接问题1．卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如右图所示。

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道 Ⅰ上。

(2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅰ。

(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅰ。

2．卫星的对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.二、变轨前、后各物理量的比较1．航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v ＝GM r判断。

(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。

2．卫星变轨的实质 两类变轨离心运动 近心运动 变轨起因卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G Mm r 2<m v 2rG Mm r 2>m v 2r 变轨结果变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 3.变轨过程各物理量分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅰ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅰ上过A 点和B 点时速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅰ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3.三、卫星的追及与相遇问题1．相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。