金榜2011高考真题分类汇编：考点19平面向量的数量积、平面向量应用举例(新课标地区)

专题二十六 平面向量的数量积及平面向量的应用【高频考点解读】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．【热点题型】题型一 平面向量的数量积例1、已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3 C.3π4 D.5π6【提分秘籍】1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．2．两向量的夹角为锐角⇔cos θ>0且cos θ≠1.3．向量的投影是一个实数，其值可正，可负，可为零． 【举一反三】已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，则向量a －b 在向量a ＋b 方向上的投影是________．【热点题型】题型二 数量积的性质及运算律例2、如图，在平面四边形ABCD 中，若AB ＝2，CD ＝1，则(AC →＋DB →)·(AB →＋CD →)＝( )A．－5 B．0C．3 D．5【提分秘籍】1．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|，而|cos θ|≤1.2．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.3．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．【热点题型】题型三平面向量数量积的有关结论例3、已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝()A.13 B．2 3C.15 D．4【提分秘籍】在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a ＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.【举一反三】若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3 C.3π4 D.5π6【热点题型】题型四 平面向量的夹角与模例4、 (1)平面向量a 与b 的夹角为60°， |a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A. 3 B ．2 3 C ．4D ．10(2)(高考江西卷)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________．【提分秘籍】1．当a ·b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a ·b 及|a |，|b |或得出它们的关系． 2．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a |2＝a 2＝a ·a ；(2)|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (3)若a ＝(x ，y )则|a |＝ x 2＋y 2.【举一反三】已知a ，b 都是单位向量，且|a ＋b |≥1，则a ，b 的夹角θ的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤0，2π3 【热点题型】题型五 数量积研究垂直问题及应用例5、已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝ 2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【提分秘籍】1．利用数量积研究垂直时注意给出的形式： (1)可用定义式a ·b ＝0⇔|a ||b |cos θ＝0； (2)可用坐标式a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量表示为共同的基底向量，再利用数量积进行求解．【举一反三】已知锐角三角形ABC 中的内角为A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，定义向量m ＝(2sin B ，3)，n ＝⎝⎛⎭⎫2cos 2B2－1，cos 2B ，且m ⊥n . (1)求f (x )＝sin 2x cos B －cos 2x sin B 的单调递减区间； (2)如果b ＝4，求△ABC 面积的最大值．【热点题型】题型六 函数思想与数形结合思想在数量积中的应用例6、设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R.若e 1，e 2的夹角为π6，则|x |b 的最大值等于________．【提分秘籍】向量夹角与模的范围问题是近几年来高考命题的热点内容，它不仅考查了数量积的应用，同时还考查了学生综合解题能力，常涉及函数思想与数形结合思想．模的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数，利用函数值域的方法确定最值．体现了函数思想的运用，多与二次函数与基本不等式相联系．【举一反三】若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．【高考风向标】1．（20xx·湖北卷）若向量OA →＝(1，－3)， |OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．2．（20xx·江苏卷）如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．图1-33．（20xx·全国卷）已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．（20xx·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5【答案】A 【解析】由已知得|a ＋b |＝10，|a －b |2＝b ，两式相减，得a ·b ＝1.5．（20xx·重庆卷）已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．6．（20xx·山东卷）已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 37．（20xx·天津卷）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．8．（20xx·全国卷）已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B. 22 C. 2 D ．29．（20xx·新课标全国卷Ⅱ） 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 中点，则AE →·BD →＝________．10．（20xx·陕西卷）已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0【答案】C 【解析】因为a ∥b ，且a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，可得1m ＝m2，解得m ＝2或－ 2.11．（20xx·山东卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t)，OB →＝(2， 2)．若∠ABO＝90°，则实数t 的值为________．12．（20xx·辽宁卷）已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋b －a 3－1a＝013．（20xx·湖北卷）已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3 152C ．－3 22D ．－3 152【答案】A 【解析】AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22. 14．（20xx·全国卷）已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－115．（20xx·安徽卷）若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________．16．（20xx·陕西卷）已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．17．（20xx·新课标全国卷Ⅰ] 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．18．（20xx·重庆卷）如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．图1－519．（20xx·重庆卷）在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________．【随堂巩固】1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则a ·b 的值为( ) A ．－12 B.12C ．－1D ．12．已知a ，b 满足|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π23．已知向量a ＝(x ＋1,1)，b ＝(1，y －2)，且a ⊥b ，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13B.23C.12D ．14．在△ABC 中，AB →＝(3，－1)，BC →＝(1，－3)，则cos B ＝( ) A ．－32 B.32 C.34D ．05.如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．86．已知a ＝(3,2)，b ＝(2，－1)，若向量λa ＋b 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．答案：λ>－9＋654或λ<－9－654且λ≠17．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．8．已知向量e 1＝⎝⎛⎭⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝⎛⎭⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________.9．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b·c ＝0，则t ＝________.10．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________．11．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .。

第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 最新考纲核心素养考情聚焦 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．3.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件．5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用1.平面向量数量积的运算，达成数学抽象和数学运算素养．2.利用数量积求向量夹角和模，提升逻辑推理和数学运算素养． 3.平面向量的垂直及应用，增强逻辑推理和数学运算素养高考中有关平面向量的数量积运算包含三类问题：①利用坐标计算平面向量的数量积；②根据平面向量的数量积的定义计算几何图形中相关向量的数量积；③根据数量积求参数值．数量积的运算、投影、模与夹角是高考的热点，有时与三角函数、平面几何、解析几何等结合考查，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题，难度中等1．向量的夹角及范围：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，如图所示，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．设θ是向量a 与b 的夹角，则θ的范围是[0，π]，a 与b 同向时，夹角θ＝0；a 与b 反向时，夹角θ＝π.2．平面向量的数量积及几何意义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则向量a 与b 的数量积是数量|a ||b |·cos θ，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.它的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ 的乘积．3．平面向量数量积的性质及其坐标运算：已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a 、b 的夹角．向量表示坐标表示数量积 a ·b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝ x 1x 2＋y 1y 2 模|a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× [小题查验]1．(·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |＝( ) A.2 B ．2 C ．52 D ．50 解析：A [a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a －b |＝(－1)2＋12＝ 2.]2．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：C [a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1,2cos θ)． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝1－1＝0.]3．已知|a |＝4，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的投影为( ) A ．2 B.32C ．－2D ．－32解析：D [b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝－32.故选D.]4．(人教A 版教材复习题改编)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为30°，则|a －b |＝________. 答案：15．(·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，则cos 〈a ，b 〉＝________. 解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝2×(－8)＋2×622＋22×(－8)2＋62＝－210. 答案：－210考点一 平面向量的数量积运算(自主练透)[题组集训]1．(·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0解析：B [因为a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.] 2．(·全国Ⅱ卷)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：C [∵BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2,3)＝(1，t －3)， ∴|BC →|＝12＋(t －3)2＝1，∴t ＝3，∴BC →＝(1,0)，∴AB →·BC →＝(2,3)·(1,0)＝2.]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.易错警示：(1)在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c .(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )．考点二 利用数量积求向量夹角和模(多维探究)[命题角度1] 平面向量的模1．(1)(·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a ＋2b |＝2 3. 答案：2 3(2)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为________． 解析：建立如图所示的直角坐标系，由题意知a ⊥b ，且a 与b 是单位向量，∴可设OA →＝a ＝(1,0)，OB →＝b ＝(0,1)，OC →＝c ＝(x ，y )，∴c －a －b ＝(x －1，y －1)． ∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，即点C (x ，y )的轨迹是以点M (1,1)为圆心，1为半径的圆． 而|c |＝x 2＋y 2，∴|c |的最大值为|OM |＋1，即|c |max ＝2＋1.答案：2＋1利用数量积求向量夹角和模(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．[命题角度2] 平面向量的夹角2．(1)(·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：A [|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32.由〈BA →，BC →〉∈[0°，180°]，得∠ABC ＝30°.](2)(·全国Ⅰ卷)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：B [∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0.即a ·b ＝|b |2；∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝|b |22|b |·|b |＝12.故〈a ，b 〉＝π3，故选B.]根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度问题．提醒：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．考点三 平面向量的垂直及应用[题组集训]1．(·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8解析：D [由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.]2．(·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析：由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ， 所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案：－23．在直角三角形ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，则k 的值为________． 解析：①当A ＝90°时， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB →⊥BC →，又BC →＝AC →－AB →＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB →·BC →＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时，∵AC →⊥BC →，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0， 即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.1．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10， |a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5解析：A [由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得a ·b ＝1.]2．(·玉溪市一模)已知a 与b 的夹角为π3，a ＝(1,1)，|b |＝1，则b 在a 方向上的投影为( )A.22 B.62 C.12D.32解析：C [根据题意，a 与b 的夹角为π3，且|b |＝1，则b 在a 方向上的投影|b |cos π3＝12.]3．已知D 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BC →－CA →)·(BD →－AD →)＝0，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：A [(BC →－CA →)·(BD →－AD →)＝(BC →－CA →)·BA →＝0，所以BC →·BA →＝CA →·BA →，设BC ＝a ，AC ＝b ，所以a cos B ＝b cos A ，利用余弦定理化简得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形．]4．(·重庆市模拟)如图，在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB →·AC →＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4解析：A [如图所示，在圆C 中，过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点；在Rt △ACD 中，AD ＝12AB ＝2，可得cos A ＝AD AC ＝2|AC →|，∴AB →·AC →＝|AB →|×|AC →|×cos A ＝4×|AC→|×2|AC →|＝8.故选A.] 5．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是AB 的中点，点E 是对角线AC 上的动点，则DE →·FC →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：B [以A 为坐标原点，AB →、AD →方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F (1,0)，C (2,2)，D (0,2)，设E (λ，λ)(0≤λ≤2)，则DE →＝(λ，λ－2)，FC →＝(1,2)，所以DE →·FC →＝3λ－4≤2.所以DE →·FC →的最大值为2.故选B.]6．(·珠海市模拟)设向量a ＝(1,3m )，b ＝(2，－m )，满足(a ＋b )·(a －b )＝0，则m ＝________. 解析：向量a ＝(1,3m )，b ＝(2，－m )，则a ＋b ＝(3,2m )，a －b ＝(－1,4m )，由(a ＋b )·(a －b )＝0，得－3＋8m 2＝0，解得m ＝±64.答案：±647．(·内江市一模)已知正方形ABCD 的边长为2，则AB →·(AC →＋AD →)＝________. 解析：如图所示，正方形ABCD 的边长为2， AB →·(AC →＋AD →)＝AB →·(AB →＋2AD →)＝AB →2＋2AB →·AD →＝4.答案：48．(·吕梁市一模)已知a ＝(1，λ)，b ＝(2,1)，若向量2a ＋b 与c ＝(8,6)共线，则a 在b 方向上的投影为______．解析：2a ＋b ＝(4,2λ＋1)，∵2a ＋b 与c ＝(8,6)共线， ∴2λ＋1＝3，即λ＝1.∴a ·b ＝2＋λ＝3，∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝35＝355答案：3559．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影． 解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， ∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0， ∴(b ·c )a ＝0·a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.∴λ的值为52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22.10．已知如图，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC ＝120°，且AB →·AC →＝－152.(1)求△ABC 的面积； (2)若AB ＝5，求AD 的长．解：(1)∵AB →·AC →＝－152，∴|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝－12|AB →|·|AC →|＝－152，即|AB →|·|AC →|＝15，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝12×15×32＝1534.(2)法一：由AB ＝5得AC ＝3， 延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连接BE .∵BD ＝DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴∠ABE ＝60°， 且BE ＝AC ＝3.设AD ＝x ，则AE ＝2x ，在△ABE 中，由余弦定理得：(2x )2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos ∠ABE ＝25＋9－15＝19，解得x ＝192，即AD 的长为192. 法二：由AB ＝5得AC ＝3，在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝25＋9＋15＝49，得BC ＝7.由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACD ，得sin ∠ACD ＝AB sin ∠BAC BC ＝5×327＝5314.∵0°<∠ACD <90° ∴cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝1114.在△ADC 中，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC · CD cos ∠ACD ＝9＋494－2×3×72×1114＝194，解得AD ＝192. 法三：由AB ＝5得AC ＝3， 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝25＋9＋15＝49, 得BC ＝7.在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝9＋49－252×3×7＝1114.在△ADC 中，由AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC · CD cos ∠ACD ＝9＋494－2×3×72×1114＝194.解得AD ＝192.。

第3节 平面向量的数量积及其应用课标要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；3.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角；4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件；5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.【知识衍化体验】知识梳理1. 平面向量数量积的有关概念（1）向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记=OA a ，=OB b ，则()1800≤≤=∠θθAOB 叫做向量a 和b 的夹角.（2）数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积（或内积）a ·b= .规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a =0（3）数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影 的乘积.2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a =()11,y x ，b =()22,y x ，θ为向量a 和b 的夹角. （1）数量积：a ·b=|a ||b |2121cos y y x x +=θ. （2）模：|a |=2121y x a a +=⋅.（3）夹角：222221212121cos yx y x y y x x ba ba +⋅++=⋅=θ.（4）两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b=002121=+⇔y y x x . （5）|a ·b |≤|a ||b |（当且仅当a//b 时等号成立）222221212121y x y x y y x x +⋅+≤+⇔.3. 平面向量数量积的运算律 （1）a ·b=b ·a （交换律）. （2）λa ·b=λ（a ·b ）=a ·（λb ）（结合律）. （3）（a+b ）·c=a ·c+b ·c （分配律）.【微点提醒】1. 两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a · b>0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a · b<0且a ，b 不共线.2. 平面向量数量积运算的常用公式 （1）(a+b )·(a -b )=a 2-b 2. （2）(a+b )2=a 2+2a ·b +b 2. （3）(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2.基础自测疑误辨析1. 判断下列结论正误（在括号内打“√”或“× ”）（1）两个向量的夹角的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，. （ ）（2）向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量. （ ） （3）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量. （ ） （4）若a ·b=a ·c (a ≠0)，则b =c . （ ）教材衍化2. 设a ，b 是非零向量.“a·b=|a ||b |”是“a//b ”的 （ ）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 B. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ．考题体验4．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ）A ．4B ．3C ．2D ．05．（2016年全国II ）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m =（ ） A ．8- B ．6- C ．6 D ．86．（2016年全国III ）已知向量1(,22BA = ,31(),22BC = 则ABC ∠=（ ）A ．30B ．45C ．60D ．120【考点聚焦突破】考点1 平面向量数量积的运算【例1】（1）向量a =（2，﹣1），b =（﹣1，2），则（2a +b ）•a =（ ） A ．1 B ．﹣1C ．﹣6D ．6（2）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为 （ ）A ．85- B ．81 C ．41 D ．811规律方法 1.数量积公式a ·b= |a ||b |θcos 在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b 2121y y x x +=求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】（1）已知正方形的边长为,为的中点,则 ． （2）已知a =（2sin13°，2sin77°），|a ﹣b |=1，a 与a ﹣b 的夹角为3π，则a •b =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5考点2 平面向量数量积的应用角度1 平面向量的垂直【例2-1】（1）（2016·山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为 （ ）A ．4B ．–4C ．D ．–（2）（2019·宜昌二模）已知ΔABC 中，120A ∠=，且AB=3，AC=4，若+=λ，且⊥，则实数λ的值为 （ ）ABCD 2E CD AE BD ⋅=9494A.1522 B. 310 C. 6 D. 712规律方法 1.当向量,a b 是非坐标形式时，要把,a b 用已知的不共线向量作为基底来表示且题中应该需要有基底向量的模与夹角，然后进行运算.2.数量积的运算a •b =0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若,a b 中有零向量，虽然a •b =0，但不能得到a ⊥b . 角度2 平面向量的模【例2-2】（1）(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ．（2）（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为 （ ）ABCD规律方法 1.求向量的模的方法：（1）公式法，利用|a |=a a ⋅及(a ±b )2=|a|2±2a ·b +|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；（2）几何法，利用向量数量积的几何意义. 2.求向量模的最值（范围）的方法：（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度3 平面向量的夹角【例2-3】（1）(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=a ，且()(32)-⊥+ab a b ，则a 与b 的夹角为 （ ）A ．4π B ．2πC ．34πD ．π（2）(2014山东)已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =（ ） 112A．BC ．0D．规律方法 1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[]π,0；若题目给出向量的坐标表示，可直接用公式222221212121cos yx y x y y x x ba ba +⋅++=⋅=θ求解.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角. 【训练2】（1）（1）（2018·重庆模拟）若非零向量a ，b 满足|a ||b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ）A.4πB.2πC.34π D.π（2）（2019·北京八中乌兰察布分校高一月考）已知a =（1，2），b =（x ，1），若a 与b 的夹角是锐角，则的取值范围为______．（3）（2019·上海闵行中学高二期中）在ⅠABC 中，3AB =，2AC =，60A =︒，AG mAB AC =+，则||AG 的最小值为________.考点3 平面向量与三角函数【例3】在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m =()()()B A B A --sin ,cos ，xn =()B B sin ,cos -，且m ·n =53-. （1）求A sin 的值；（2）若5,24==b a ，求角B 的大小及向量在方向上的投影.规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路： （1）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.（2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是通过向量运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】已知A ，B ，C 分别为ΔABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m =()B A sin ,sin ，n =()A B cos ,cos ，且m ·n =C 2sin . （1）求角C 的大小；（2）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且()18=-⋅，求边c 的长.反思与感悟[思维升华]1. 计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积的几何意义的应用.2. 求向量模的常用方法利用公式|a |2=a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [易错防范]1. 数量积运算律要准确理解、应用，例如a ·b=a ·c (a ≠0)不能得出b =c ，两边不能约去一个向量，数量积运算不满足结合律，(a ·b )·c 不一定等于a ·（b ·c ）.2. 两向量夹角的范围是[0，π]，a ·b >0与〈a ，b 〉为锐角不等价；a ·b <0与〈a ，b 〉为钝角不等价．第3节 平面向量的数量积及其应用知识衍化体验 知识梳理1. （2）|a ||b |θcos （3）|b |θcos 基础自测1.（1） × （2） √ （3）√ （4）×2.A 3．9 4．B ． 5．D ． 6．A ． 考点聚焦突破 【例1】（1）D ；（2）B 。

考点19平面向量的数量积及向量的应用1．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义. （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作⋅a b ,即⋅=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影的概念设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||cos θa (||cos θb )叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB u u u r的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积. 2．平面向量数量积的运算律已知向量,,a b c 和实数λ,则 ①交换律：⋅=⋅a b b a ；②数乘结合律：()()λλ⋅=⋅a b a b =()λ⋅a b ； ③分配律：()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c . 二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角. （1）数量积：⋅=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b . （2）模：2211||x y =⋅=+a a a （3）夹角：cos ||||θ⋅==a ba b 121212122222x y x y +⋅+ .（4）垂直与平行：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |.【注】当a 与b 同向时,||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时,⋅=a b ||||-a b . （5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔121212222212||x x y y x y x y +≤++.三、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)x y x y ==a b .（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：λ⇔=⇔∥a b a b 1221x y x y -0(0)=≠b（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 1212x x y y +0=（其中,a b 为非零向量）（3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式：cos θ=||||⋅a ba b =121212122222x y x y +⋅+（其中,a b 为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=a 1122x y +，或||||AB AB ==u u u r223434()()x x y y -+-（其中,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题. 2．向量在物理中常见的应用 （1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算. （2）向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W =||||cos (θθ⋅=⋅⋅F s F s 为F 和s 的夹角).考向一平面向量数量积的运算平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.典例1已知向量()1,2=-a ，向量b 满足2=b ，,a b 的夹角为π3，则⋅=a b A ．5 B ．2 C ．3D ．2【答案】A 【解析】由题意可得()22125=+-=a ，则ππcos52cos 533⋅=⨯⨯=⨯⨯=a b a b .故选A.1．如图，在矩形ABCD 中，2AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且2DF FC =u u u r u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的值是．考向二平面向量数量积的应用平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.典例2 若||1,||2==a b ,=+c a b 且⊥c a ,则向量a 与b 的夹角为________.【答案】120°2．已知向量(2,1),(,1)λ=--=a b ,且a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是.考向三平面向量的模及其应用平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式2||==⋅a a a a ，或坐标公式22||x y =+a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．(3)由向量的模求夹角．此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.典例3已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且1cos 3α=，若向量a =3e 1−2e 2，则|a |=________. 【答案】3【解析】因为a 2=(3e 1−2e 2)2=9−2×3×2×cos α＋4=9，所以|a |=3.3．已知向量2==a b ，a 与b 的夹角为π3.若向量m 满足1--=m a b ，则m 的最大值是A ．31B ．231C ．4D 621考向四平面向量的应用1．向量与平面几何综合问题的解法与步骤： (1)向量与平面几何综合问题的解法 ①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． ②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．(2)用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系.2．利用向量求解三角函数问题的一般思路：(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题. 3．用向量法解决物理问题的步骤如下：(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题； (2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.4．常见的向量表示形式：(1)重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r 或1()3PG PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r，则点G 是ABC △的重心．(2)垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rHC HA ⋅u u u r u u u r，则点H 是ABC △的垂心．(3)内心．若点I 是ABC △的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r.反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅u u u r u u r u u u r||IB AB IC +⋅=0u u r u u u r u u r，则点I 是ABC △的内心．(4)外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 或||||||OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r .反之，若||||||OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r，则点O 是ABC △的外心.典例4 等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A．4 5 -B．35-C．45D．35【答案】A则2244cos55||||55AE BF aaAE BF a aθ⋅-====-⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r.【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.4．对任意,直线与圆交于不同的两点,且存在使 (是坐标原点)成立,那么的取值范围是A ．B ．C ．D ．典例5 设向量a =(2cos α，2sin α)，b =(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若以向量a＋b 与a −2b 为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β−α)=________. 【答案】14【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从而解决三角函数中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点.5．G 是ABC △的重心，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若33aGA bGB cGC ++=0u u u r u u u ru u ur ，则角A = A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°典例6 一质点受到平面上的三个力F 1、F 2、F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成60°角，且F 1、F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．【答案】27【解析】由题意知F 3=−(F 1＋F 2)，∴|F 3|=|F 1＋F 2|， ∴|F 3|2=|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos60°=28， ∴|F 3|=27.6．在水流速度为4km/h 的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以8km/h 的速度航行，则船自身航行的速度大小为____________km/h .1．设向量()(),2,1,1x ==-a b ，且()-⊥a b b ，则x 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4 2．已知向量,a b 的夹角为,且,则等于A ．B ．C ．D ．3．已知共点力F 1=(lg 2，lg 2)，F 2=(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s =(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为 A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．24．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r，()2,1AD =u u u r ，则AD AC ⋅=u u u r u u u rA ．2B ．3C ．4D ．55．已知向量a ，b 的夹角为2π3，且2=a ，4=b ，则2-a b 在a 方向上的投影为 A ．2 B ．4 C ．6D ．86．若向量,a b 满足||||1==a b ,且1()2⋅-=a a b ,则向量与的夹角为 A ．B ．C ．D ．7．在ABC △中,若·=·=·,则该三角形是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．已知为非零向量,且,则下列命题正确的个数为(1)若,则 (2)若,则(3)若,则 (4)若,则A ．1B ．2C ．3D ．49．已知向量a =(1,2)，b =(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ满足A ．λ<−B ．λ>−C ．λ>−且λ≠0D ．λ<−且λ≠−510．如图，在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，其中，则的取值范围是A ．[]0,3B ．C ．D ．11．设F 为抛物线x y 22=的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为ABC △的重心，则FA FB ++u u u r u u u rFC u u r的值为A ．1B ．2C ．3D ．412．设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若∥a b ，则|3|+a b 等于. 13．如图,在边长为3的正方形中与交于点则.14．设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，其中0παβ<<<，若|2||2|+=-a b a b ，则βα-=.15．已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为.1．（2017年高考新课标Ⅱ卷）设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b2．（2017年高考北京卷）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2017年高考浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB =u u u r u u u r ，2·I OB OC =u u u r u u u r ，3·I OC OD =u u u r u u u r，则A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<4．(2016年高考新课标Ⅲ卷)已知向量13(,22BA =uu r ,31),22BC =uu ur 则ABC ∠= A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．（2017年高考新课标Ⅰ卷）已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．6．(2017年高考新课标Ⅲ卷)已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________． 7．（2017年高考天津卷）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r，AE AC λ=-u u u r u u u r()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为________．8．（2017年高考浙江卷）已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．9．（2016年高考新课标Ⅰ卷）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =________． 10．(2016年高考江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=u u u r u u u r ，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r ，则BE CE ⋅u u u r u u u r的值是________．1．【答案】34 【解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，则()00A ，，)2,1E，)2B，，22,23F ⎫⎪⎭，∴()2,1AE =u u u r ，12,23BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，∴24233AE BF ⋅=-+=u u u r u u u r .2．【答案】1(,2)(2,)2-+∞U【解析】∵a 与b 的夹角为钝角，∴0⋅<a b ，即(2,1)(,1)210λλ--⋅=--<， ∴12λ>-. 又当a 与b 反向时，夹角为180°，即||||⋅=-a b a b ，则22151λλ+=+2λ=.应该排除反向的情形，即排除2λ=， 于是实数λ的取值范围为1(,2)(2,)2-+∞U .【误区警示】依据两向量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时,cos 10θ=>;当夹角为180°时,cos 10θ=-<,这是容易忽略的地方. 3．【答案】B变式拓展【名师点睛】本题可根据已知条件构造坐标系，从而可求得m 的终点的轨迹方程，再根据平面几何知识求解. 4．【答案】C【解析】将直线方程代入圆的方程得：，则由∆得恒成立，即.设点则,,即，平方得0,即,即，即,即有解,即，即,综上可知:.5．【答案】D【解析】因为G 是ABC △的重心，所以有GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r.又3aGA bGB +=0u u u r u u u r u u u r ，所以a ∶b 3c =1∶1∶1，设c 3，则有a =b =1，由余弦定理可得，3cos 23A ==A =30°，故选D.6．【答案】541．【答案】D【解析】()1,3x-=-a b，那么()130x-⋅=--=a b b，解得4x=，故选D. 2．【答案】A【解析】因为，解得故本题选A.3．【答案】D【解析】由题意，共点力F1=(lg 2，lg 2)，F2=(lg 5，lg 2)作用在物体M上，其合力为F1+F2=（1，2lg2）, 产生位移s=(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W=( F1+F2).4．【答案】D考点冲关【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以()()()1,22,13,1AC AB AD =+=-+=-u u u r u u u r u u u r ，所以()23115AD AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r，故选D ． 5．【答案】C6．【答案】B【解析】设向量,a b 的夹角为,由()1·,||||12-===a a b a b ,可得221·111cos 2θ-=-⨯⨯=a ab ,解得,根据∈,可知.7．【答案】D【解析】设边AB 的中点为D ，则由·=·可得·,则⊥，CA =CB ,同理可证CB =AB ,所以该三角形是等边三角形. 8．【答案】D 【解析】若,则,故(1)正确;若,则,故(2)正确;若,则,即,故(3)正确;若,则,即,故(4)正确.故选D. 9．【答案】C【解析】由题意知，向量a =(1,2)，b =(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则根据向量的数量积可知，a (a ＋λb )＞0，a ２＋λa b ＞0，而a ２=5，a b =1+2=3,则5+3λ>0,同时a ，a ＋λb 不能共线且同向，则λ，解得λ>−且λ≠0，选C.10．【答案】C=.当时,取得最大值5;当时,取得最小值2,即的取值范围是.选C.11．【答案】C【解析】设()11,y x A ，()22,y x B ，()33,y x C ，抛物线x y 22=的焦点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21F ，准线方程为21-=x ，由于F 是ABC △的重心，∴123123320x x x y y y ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，由抛物线的性质得112FA x =+u u u r ，212FB x =+u u u r ，312FC x =+u u u r ，∴FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r 3212121321=+++++=x x x ，故选C.12．5【解析】因为∥a b ，所以()1220y ⋅-⨯-=，解得4,y =-从而3+a b =(1,2),|3|5+=a b13．【答案】【解析】由已知可知，,则，，,则22. 14．【答案】π215．【答案】7【解析】由题意得，AC为圆的直径，故可设),(nmA，),(nmC--，),(yxB，∴(6,)PA PB PC x y++=-u u u r u u u r u u u r，∴22=(6)PA PB PC x y++-+u u u r u u u r u u u r的最大值为圆221x y+=上的动点到点)0,6(距离的最大值，从而易得当⎩⎨⎧=-=1yx时，PA PB PC++u u u r u u u r u u u r的最大值为7.1．【答案】A【解析】由+=-a b a b平方得222222+⋅+=-⋅+a ab b a a b b，即0⋅=a b，则⊥a b，故选A.【名师点睛】已知1122(,),(,)x y x y==a b.(1)向量平行：1221x y x y⇒=∥a b，,,λλ≠⇒∃∈=0R∥a b b a b,11BA AC OA OBλλ=⇔=++u u u r u u u r u u u r u u u r直通高考1OC λλ+u u u r.(2)向量垂直：121200x x y y⊥⇔⋅=⇔+=a b a b.(3)向量运算：221212(,),||,||||cos,x x y y±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b.2．【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n，则两向量,m n反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n-<m n；若0⋅<m n，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n，所以是充分而不必要条件，故选A.3．【答案】C【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90AOB COD∠=∠>o，由AB=BC=AD=2，CD=3，可求得OA OC<，OB OD<，进而得到312I I I<<．4．【答案】A【解析】因为向量13(2BA=uu r,31),2BC=uu u r所以13312222cos11||||BA BCABCBA BC⋅∠==⨯u u u r u u u ru u u r u u u r32=，所以30ABC∠=︒，故选A．【名师点睛】（1）平面向量a与b的数量积为|||cos|θ⋅＝a b a b，其中θ是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤o o；（2）由向量的数量积的性质知||=·a a a ，·cos ||||θ=a ba b ，·0⇔⊥＝a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 5．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 6．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =. 【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b . 7．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则12()33AD AE AB AC ⋅=+u u u r u u u r u u ur u u u r 2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r ．【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC u u u r u u u r已知模和夹角，作为基底易于计算数量积． 8．【答案】4，25令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b能力和最值处理能力有一定的要求． 9．【答案】23-【解析】由题意，20,2(1)0,.3x x x ⋅=++=∴=-a b【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1212x x y y ⋅=+a b .10．【答案】78【解析】因为222211436()()=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2211114()()123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此22513,82FD BC ==u u u r u u u r ，所以2222114167()().22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．。

平面向量的数量积及应用举例【考点梳理】1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 【教材改编】1．(必修4 P 104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则a·b 为( ) A ．10 3 B ．－10 3 C ．10 D ．－10[答案] D[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos 120°＝5×4×cos 120°＝20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－10.故选D.2．(必修4 P 107例6改编)设a ＝(5，－7)，b ＝(－6，t )，若a ·b ＝－2，则t 的值为( )A ．－4B ．4 C.327 D ．－327 [答案] A[解析] 由a ·b ＝－2，得5×(－6)＋(－7)t ＝－2， －7t ＝28，∴t ＝－4，故选A.3．(必修4 P 108A 组T 6改编)已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] D[解析] cos θ＝a ·b |a|·|b |＝－632×6＝－32. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝5π6，故选D.4．(必修4 P 107练习T 2改编)设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( )A ．－6 B.10 C. 5 D ．10 [答案] D[解析] ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D.5．(必修4 P 119A 组T 10改编)已知△ABC 的三个顶点A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则最小角的余弦值为( )A.1010 B.31010C.13D.105 [答案] B[解析] 由图可知，显然C 为△ABC 的最小角，∵CA →＝(3，－3)，CB →＝(4，－2)，∴cos 〈CA →，CB →〉＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝1832·25＝31010.6．(必修4 P 105例3改编)已知|a |＝3，|b |＝2，(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] B[解析] (a ＋2b )·(a －3b )＝－18， ∴a 2－6b 2－a ·b ＝－18，∵|a |＝3，|b |＝2，∴9－24－a ·b ＝－18， ∴a ·b ＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝36＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°.7．(必修4 P 110例2改编)△ABC 中，∠BAC ＝2π3，AB ＝2，AC ＝1，DC→＝2BD →，则AD →·BC→＝________. [答案] －83[解析] 由DC →＝2BD →得AD →＝13()AC →＋2AB →. ∴AD →·BC →＝13()AC →＋2AB →·(AC →－AB →)＝13()AC →2＋AC →·AB→－2AB →2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－12－2×22＝－83.8．(必修4 P106练习T3改编)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________．[答案] 1[解析] 由(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－a·c－b·c＋c2≤0，又a·b＝0，且a，b，c均为单位向量，得－a·c－b·c≤－1，|a＋b－c|2＝(a＋b－c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b－a·c－b·c)＝3＋2(－a·c－b·c)≤3－2＝1，故|a＋b－c|的最大值为1.9．(必修4 P108A组T3改编)已知|a|＝2，|b|＝5，|a＋b|＝7，则a·b＝________.[答案] 10[解析] ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2a·b＋52＝29＋2a·b∴29＋2a·b＝49，∴a·b＝10.10．(必修4 P113A组T4改编)平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ 2 N，F1与F2的夹角为45°，则F3的大小为________．[答案] 5 N[解析] 根据物理中力的平衡原理有F3＋F1＋F2＝0，∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2＝12＋(2)2＋2×1×2×cos 45°＝5.∴|F3|＝ 5.11．(必修4 P119B组T1(5)改编)若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，求a＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2的夹角．[解析] ∵|e 1|＝|e 2|＝1，且夹角θ＝60°， ∴|a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4e 21＋4e 1·e 2＋e 22 ＝4×12＋4×1×1×cos 60°＋12＝7. ∴|a |＝7.|b |2＝(－3e 1＋2e 2)2＝9e 21－12e 1·e 2＋4e 22 ＝9×12－12×1×1×cos 60°＋4×12＝7， ∴|b |＝7.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2) ＝－6e 21＋e 1·e 2＋2e 22＝－6×12＋1×1×cos 60°＋2×12＝－72， ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12. 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.故a 与b 的夹角为23π.。

第四节第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例1. （2010四平模拟）设a、b、c是单位向量，且a b= 0,则（a—c）（b—c）的最小值为（）A 2 B. ；'2— 2 C 1 D . 1—,'2解析：(a —c) (b—c)= a b— c (a + b) + c2=0—|c| |a+ b| cos〈c, (a+ b)〉+ 1> 0—I c ||a + b|+ 1 = —.(a b)2+ 1=—,a2b22agD +1 = - a2b2+1=—辽+ 1.答案：D2. (2009 广东高考)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态•已知F1、F2成60。

角，且F1、F2的大小分别为2和4,贝U F3的大小为()A. 2 7B. 2 ：5C. 2D. 6解析：由已知得F1+ F2 + F3= 0, ••• F3=—(F1+ F2).2 2 2 2 2 oF3 = F1 + F2 + 2F〔F2= F1 + F2 + 2|F1 ||F2|cos60 = 28.•尸3|= 2 一；7.答案：A3. （2009福建高考）设a, b, c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a丄c, |a|= |c|,则|b c|的值一定等于（）A •以a, b为两边的三角形的面积B •以b, c为两边的三角形的面积C.以a, b为邻边的平行四边形的面积D •以b, c为邻边的平行四边形的面积解析：设〈a, b > = 0, 0€ (0, n,..“ 、 n 3 n-〈a ，c 〉= 2，二〈b , c 〉= — — 0, 以a , b 为邻边的平行四边形面积为 =|b||c|sin 0,又|a|= |c|, /• |b c|= |a||b|sin 0 答案：C题组二 两向量的夹角冋题4. (2009 全国卷 I )5则〈a , b >=(C . 60°D . 30°答案：Buuur uuur ；3 3 uuu uuur5. 在△ ABC 中，AB BC = 3, △ ABC 的面积S € ［玄,刁，则AB 与BC 夹角的取值范围是( )n n7t nn nn nA.[；, n ]B .[6, nC. [6, 3]D . [3 2]uuu uuuuuur uuu uuu uuu uuu uuur解析： 设〈 AB •BC > = 0, 由 AB •BC = | AB l|BC |cos 0= 3，得 | AB l|BC3 cos 01 uuu uuir 1 33二S = 21 AB ||BC |sin 0= 2x sin 0=2上玄n © ,3 3 3 3由"T 三 2tan 2，得 T 三 tan 0W 1,答案：B6. 设两个向量 e 1、e 2满足|e 1|= 2, 1, &、e 2的夹角为60°,若向量2te 1 + 7e 2与向量e 1+ te 2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围. 解：由已知，e 1 = |e 112= 4, e 2 = |e 212= 1,e 1 e 2= 2 x 1 x cos60 ° 1.|a||b|sin 0,而 |b c |=3 |b ccosq解析: c 2(a + b)2= c 2, a b=——, cos 〈 a , b >2 2 2• •(2te i + 7e 2)(& + te 2)= 2t e i + (2t 2 + 7)e i e 2 + 7t e 2=2t 2+ 15t + 7.由 2t 2 + 15t + 7V 0，得—7 V t v — 2.2t =入由 2te i + 7e 2= X e i + te 2)( Xv 0),得7= t 入入=—-：：14故(2te i + 7e 2)(e + te 2)v 0 且 2te i + 7廖工?(e i + te 2)( Xv 0)，故 t 的取值范围是 14 i4 i ~Y )u (—〒,—2)-题组三 两向量的平行与垂直7•已知向量 A4B . 4C . 0D . 9解析：•/ a = (i,2), b = (x ,— 2), • a — b = (i — x,4),a 丄(a — b), •• a (a — b) = 0, •-1 — x + 8 = 0, •- x = 9. 答案：D& (2009广东高考)若平面向量a , b 满足|a + b|= 1, a + b 平行于x 轴，b = (2,a = _______ .解析：设 a = (x , y)，贝U a + b = (x + 2, y — 1)(x + 2)2+ (y —1)2= 1,y = 1,由题意？y — 1 = 0x =— 1或一3.• a = (— 1,1)或 a = (— 3,1). 答案：(—1,1)或(—3,1)9. 已知平面向量 a = (1, x), b = (2x + 3,— x), x € R.(1)若 a 丄b ，求x 的值； ⑵若 a // b ，求 |a — b|..14 ~2~.由于2te i + 7e 2与e i + te 2的夹角为钝角,(—7，——1），则解：(1)若a丄b,则 a b = (1, x) (2x+ 3,—x)=1 X (2x+ 3)+ x( —x) = 0.整理得x2—2x— 3= 0,解得x=—1或x= 3.(2)若all b，则有1X (—x) —x(2x+ 3) = 0,即x(2x+ 4) = 0,解得x= 0 或x=— 2.当x= 0 时，a= (1,0), b= (3,0),•- |a —b|= |(1,0)—(3,0)|= |( —2,0)|=.(—2)2+ 02= 2.当x=— 2 时，a = (1, —2), b = (—1,2),•- |a —b|= |(1,—2) —(—1,2)|= |(2 , —4)|='.22+ (—4)2= 2 .'5.题组四平面向量数量积的综合应用uuu uuu uuu uuu10. (2010 长郡模拟)已知|OA |= 1, |OB |= .3 OA OB = 0, uuur uuu uuu 点 C 在/ AOB 内，且/ AOC= 30° 设OC = m OA + n OB(m, n€ R)，则芈等于1 A.3B. 3 C並C. 3D. .'3 uuu uuu uuu uuu解析：|OA |= 1, |OB |= . 3, OA OB = 0,•••OA 丄OB,且 / OBC = 30°uuu uuur 又•••/ AOC = 30 ；• OC 丄AB .uuu uuu uuu uuu• (m OA + n OB ) (OB —OA ) = 0,uuu uuu•••—m OA 2+ n OB 2= 0,• 3n—m= 0,即m= 3n, • m = 3.答案：B11. (2009浙江高考)设向量a, b满足：|a| = 3, |b|= 4, a b = 0，以a, b, a—b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A. 3B. 4C. 5D. 6解析：当圆与三角形两边都相交时，有4个交点，本题新构造的三角形是直角三角形，其内切圆半径恰好为1•故它与半径为1的圆最多有4个交点.答案：BXX XX12. (文)已知向量m = (cos2, cos2), n = (cos2, sin?),且x€ [0, n，令函数f(x) = 2a m n +b.(1) 当a = 1时，求f(x)的递增区间；(2) 当a<0时，f(x)的值域是[3,4]，求a、b.解：f(x)= 2a m n + b2x 1=2a(cos22 + qsi nx) + b1 1 1=2a(?cosx + 尹nx+ p + b=a(si nx+ cosx) + a + b=.2as in(x+》+ a+ b.(1)当a = 1 时，f(x) = ■.2sin(x+ , + 1 + b.n n n令一2+ 2k nc x+4< + 2k n3 n得—4冗+ 2k nC x c 4+ 2k f k € Z),n又x€ [0 , n，二f(x)的递增区间为[0, 4】.⑵当a<0 时，•/ x€ [0, n ,n r n 5n nx+4€ [4, 4】，二sin(x+ ?€ [—石,1].‘ n 迈,当sin(x+ 4)=— 2 时，f(x)=— a + a+ b= b,••• f(x)的最大值为b.当sin(x+1 时，f(x)= ,2a+ a+ b= (1 + ,2)a+ b.••• f(x)的最小值为(1 + 2)a + b.(1 + 2)a + b = 3, •- 解得 a = 1一・ 2, b = 4. b = 4,(理)已知△ ABC 的外接圆半径为1,角A ,B,C 的对边分别为a ,b, c •向量m = (a,4cosB), n = (cosA , b)满足 m // n. (1)求sinA + sinB 的取值范围；⑵若实数x 满足abx = a + b ，试确定x 的取值范围.解： ⑴因为 m // n ,所以 cOsA = 4c (b sB ，即卩 ab = 4cosAcosB. 因为△ ABC 的外接圆半径为1,由正弦定理，得 ab = 4si nAsinB. 于是 cosAcosB — sinAsinB = 0, 即卩 cos(A + B) = 0.n因为O v A + B v 兀所以A + B =㊁.故△ ABC 为直角三角形._ nsinA + sinB = sinA + cosA = . 2sin(A + 4),,i , n n 3 n 因为j v A + 才，所以 ~^v sin(A + 4) w 1, 故 1 v si nA + si nBw/2. a + b 2(si nA + si nB) si nA + cosA(2)x= ab = 4sinAsinB = 2sinAcosA '设 t = sinA + cosA(1 v t w 飞⑵，则 2sinAcosA = t 2— 1,故x =亡在(1，2］上是单调递减函数.所以丁」＞ 2.所以实数x 的取值范围是［2,+a ). t 2— 1t因为x ' -(1 + t 2)(t 2— 1)2v 0,。