2020北京各区一模数学试题分类汇编--平面向量(解析版)

1 / 122020北京各区一模数学试题分类汇编—解析几何（2020海淀一模）已知双曲线2221(0)y x b b-=>则b 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4（2020海淀一模） 已知点P (1，2)在抛物线C 2:2y px =上，则抛物线C 的准线方程为___.（2020西城一模） 设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率为____________.（2020西城一模） 设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+=B. 22(3)8x y -+=C. 22(3)2x y ++=D. 22(3)8x y ++=（2020东城一模） 若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．（2020东城一模） 已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为（ ）2 / 12A. ()()22112x y -+-= B. ()()22112x y -++= C. ()()22114x y ++-= D. ()()22114x y +++=（2020东城一模） 已知曲线C 的方程为221x y a b-=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（2020东城一模） 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A. 1(0,)2-B. (0,1)-C. (0,2)-D. (0,4)-（2020丰台一模） 已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.（2020丰台一模） 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60︒的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则AFBF的值为（ ） A.13B.43D. 33 / 12（2020丰台一模） 圆()2212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）A. 2C. 1D.2（2020朝阳区一模） 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ）A. 28y x =B. 24y x =C. 22y x =D. 2y x =（2020朝阳区一模） 在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒.若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.2C.12D.（2020朝阳区一模） 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.4 / 12给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________.（2020石景山一模） 圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A. 43-B. 34-C.D. 2（2020石景山一模）已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =______.（2020怀柔一模） 已知抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________.（2020怀柔一模）6.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程为（ ） A. x 2＋y 2＝1 B. x 2＋(y ＋1)2＝1 C. x 2＋(y －1)2＝1 D. (x ＋1)2＋y 2＝15 / 12（2020密云一模） 如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ）A. 点M 在圆C 上B. 点M 在圆C 外C. 点M 在圆C 内D. 上述三种情况都有可能（2020密云一模） 已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞B. (,1]-∞C. (1,)+∞D. [1,)+∞（2020密云一模） 双曲线221y x -=的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.（2020顺义区一模） 直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,当AOB ∆的面积达到最大时,k =________.（2020顺义区一模） 抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =（ ）A. B. 8 C. 4 D. 1（2020延庆一模） 已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF 的面积为( )6 / 12A.B.C.32D.92（2020延庆一模） 经过点()2,0M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是____________.（2020海淀一模） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>12(,0),(,0),(0,)A a A a B b -，12A BA ∆的面积为2.(I)求椭圆C 的方程；(II)设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M 与直线2A B 交于点Q .求证:△BPQ 为等腰三角形.（2020西城一模） 设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.7 / 12(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积;(Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由.（2020东城一模） 已知椭圆22:36C x y +=的右焦点为F . （1）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为'P ，判断直线'P Q 是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.8 / 12（2020丰台一模） 已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>）的离心率为2，点1,0P 在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.9 / 12（2020朝阳区一模） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-. （1）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（2）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由.（2020石景山一模） 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为()1,0F，离心率为2.直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率.10 / 12（2020怀柔一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，离心率为2．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．（2020密云一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>()0,1A .11 / 12 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.（2020顺义区一模）已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点,点P 在椭圆C 上,直线AP ,BP 分别与直线4x =相交于点M ,N .当点P 运动时,以M ,N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.（2020延庆一模）已知椭圆22221(0)x ya ba bG+=>>：的左焦点为(),F且经过点(),,C A B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于,P Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M.（1）求椭圆G的标准方程；（2）若3PQ=，求直线l的方程；（3）若BOP△的面积是BMQ的面积的4倍，求直线l的方程.12/ 12。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2020年普通高等学校招生统一考试（北京卷）数学副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A ={−1,0,1,2}，B ={x|0<x <3}，则A⋂B =．( ) A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1,2}D. {1,2}2. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i ⋅z =．( ) A. 1+2iB. −2+iC. 1−2iD. −2−i3. 在(√x −2)5的展开式中，x 2的系数为．( ) A. −5B. 5C. −10D. 10……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为．( )A. 6+√3B. 6+2√3C. 12+√3D. 12+2√35. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为．( ) A. 4B. 5C. 6D. 76. 已知函数f(x)=2x −x −1，则不等式f(x)>0的解集是．( ) A. (−1,1) B. (−∞,−1)∪(1,+∞) C. (0,1)D. (−∞,0)∪(1,+∞)7. 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP8. 在等差数列{a n }中，a 1=−9，a 5=−1.记T n =a 1a 2…a n (n =1,2,…)，则数列{T n }．( )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项9. 已知α,β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α=kπ+(−1)k β”是“sin α=sin β”的．( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是．( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 3n (sin 30∘n +tan 30∘n )B. 6n (sin 30∘n +tan 30∘n ) C. 3n (sin 60∘n+tan 60∘n)D. 6n (sin 60∘n+tan 60∘n)第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 函数f(x)=1x+1+lnx 的定义域是 ．12. 若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为 ．13. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在[t 1,t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]这三段时间中，在[0,t 1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ．14. 已知双曲线C:x 26−y 23=1，则C 的右焦点的坐标为 ；C 的焦点到其渐近线的距离是 ．15. 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ；PB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。

2020北京各区一模数学试题分类汇编--应用题（2020海淀一模）形如221n (n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ） (参考数据: lg 2≈0.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12（2020西城一模）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.（2020东城一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）（2020东城一模）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A. 10天B. 15天C. 19天D. 2天（2020东城一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8（2020朝阳区一模）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.（2020石景山一模）长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．（2020怀柔一模）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．（2020怀柔一模）“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周≈）率π，则π的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14（2020密云一模）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.（2020顺义区一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y,观影人数记为x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）（2020延庆一模）某企业生产,A B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B两种产品的年产量的增长率分别为50%和lg ）( ) 20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取20.3010A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年（2020延庆一模）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.。

2020年北京中考数学一模分类汇编——代数综合1．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为A．（1）当m＝1时，直接写出抛物线的对称轴；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣，m+1），C（2，2）．若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．2．（2020•西城区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B （x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．3．（2020•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）当a＝时，写出区域W内的所有整点坐标；（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．4．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．5．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．6．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）用含a的代数式表示b；（2）若∠BAO＝45°，求a的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．7．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝x2+2x+m+1以及两点A （m，m+1）和B（m，m+3）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（用含m的代数式表示）（2）若该抛物线经过点A（m，m+1），求此抛物线的表达式；（3）若该抛物线与线段AB有公共点，结合图象，求m的取值范围．8．（2020•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）直接写出点A与点B的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．9．（2020•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A （0，﹣4）和B（﹣2，2）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．10．（2020•密云区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．（1）抛物线的对称轴为；（2）若当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求当1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y＝﹣x+3与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，设左侧的交点为点P（x1，y1），当﹣2≤x1＜﹣1时，求a的取值范围．11．（2020•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）过点A （1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝﹣x+4与y轴交于点B，与该抛物线的对称轴交于点C，现将点B向左平移一个单位到点D，如果该抛物线与线段CD有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．12．（2020•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P．（1）过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q，PQ＝4，求的值；（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域（不含边界）为W．若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围．13．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m≠0）的图象与y轴交于点A，过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象，反比例函数y＝的图象分别交于点C，D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m＝1时，用等式表示线段BD与CD长度之间的数量关系，并说明理由；（3）当BD≤CD时，直接写出m的取值范围．14．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．2020年北京中考数学一模分类汇编——代数综合参考答案与试题解析1．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为A．（1）当m＝1时，直接写出抛物线的对称轴；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣，m+1），C（2，2）．若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将m＝1代入抛物线解析式即可求出抛物线的对称轴；（2）根据抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点A的坐标为（m，m）．点A在第一象限，且OA＝，即可求抛物线的解析式；（3）将点B（m﹣，m+1），C（2，2）．分别代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m，根据二次函数的性质即可求出m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝1时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m＝x2﹣2x+2．∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，∴抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点A的坐标为（m，m）．∵点A在第一象限，且点A的坐标为（m，m），∴过点A作AM垂直于x轴于点M，连接OA，∵m＞0，∴OM＝AM＝m，∴OA＝m，∵OA＝，∴m＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+2．（3）∵点B（m﹣，m+1），C（2，2）．∴把点B（m﹣，m+1），代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m时，方程无解；把点C（2，2）代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m，得m2﹣3m+2＝0，解得m＝1或m＝2，根据函数图象性质：当m≤1或m≥2时，抛物线与线段BC有公共点，∴m的取值范围是：m≤1或m≥2．【点评】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．2．（2020•西城区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B （x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣，求出b＝2a，将点A的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；（2）点C在第三象限，即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1，即可求解；（3）满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣，解得：b＝2a，故y＝ax2+bx+a+2＝a（x+1）2+2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）2+2＝﹣x2﹣x+；令y＝0，即﹣x2﹣x+＝0，解得：x＝﹣3或1，故点B的坐标为：（1，0）；（2）由（1）知：y＝a（x+1）2+2，点C在第三象限，即点C在点A的下方，即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1，而（x1+x2）＝﹣1，即x2＝﹣2﹣x1，故﹣1＜x2＜0；（3）∵抛物线的顶点为（﹣1，2），∴点D（﹣1，0），∵∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，∴抛物线与x轴的交点在原点的左侧，如下图，∴满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，当x＝0时，y＝ax2+bx+a+2＝a+2＜0，解得：a＜﹣2，故a的取值范围为：a＜﹣2．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数作图，解题的关键是通过画出抛物线的位置，确定点的位置关系，进而求解．3．（2020•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）当a＝时，写出区域W内的所有整点坐标；（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．【分析】（1）将抛物线化成顶点式表达式即可求解；（2）概略画出直线y＝x和抛物线y＝x2﹣x﹣1的图象，通过观察图象即可求解；（3）分a＞0、a＜0两种情况，结合（2）的结论，逐次探究即可求解．【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，故顶点的坐标为：（1，﹣a﹣1）；（2）a＝时，概略画出直线y＝x和抛物线y＝x2﹣x﹣1的图象如下：从图中看，W区域整点为如图所示4个黑点的位置，其坐标为：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）①当a＞0时，由（2）知，当a＝时，区域W内的所有整点数有4个；参考（2）可得：当a＞时，区域W内的所有整点数多于3个；当a时，区域W内的所有整点数有4个；同理当a＝时，区域W内的所有整点数有3个；当0＜a＜时，区域W内的所有整点数多于3个；②当a＜0时，当﹣1≤a＜0时，区域W内的所有整点数为0个；当a＜﹣时，区域W内的所有整点数多于3个；∴区域W内有3个整点时，a的取值范围为：﹣≤a＜﹣1，综上，区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝或﹣≤a＜﹣1．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．4．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）根据抛物线的对称轴：x＝﹣求解即可．（3）对于任意实数a，都有a+1＞a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C（﹣2，y），可得y c＝11a+1，分a＞0，a＜0两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于A，令x＝0，得到y＝a+1，∴A（0，a+1）．（2）由抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1，可知x＝﹣＝，∴抛物线的对称轴x＝．（3）对于任意实数a，都有a+1＞a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C（﹣2，y），∴y c＝11a+1，①如图1中，当a＞0时，y c＞﹣a﹣2，∴点C在点M的上方，结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点．②当a＜0时，（a）如图2中，当抛物线经过点M时，y c＝﹣a﹣2，∴a＝﹣，结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M．（b）当﹣＜a＜0时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点．（c）如图3中，当a＜﹣时，y c＜﹣a﹣2，∴点C在点M的下方，结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点，综上所述，满足条件的a的取值范围是a≤﹣．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数，构建不等式解决问题，属于中考压轴题．5．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝1；（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由对称轴是直线x＝﹣，可求解；（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【解答】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，故答案为：1；（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，∴3a﹣（﹣a）＝4．∴a＝1，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；当a＜0时，同理可得y有最大值为﹣a；y有最小值为3a，∴﹣a﹣3a＝4，∴a＝﹣1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，∴t≥﹣1，t+1≤3，∴﹣1≤t≤2．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．6．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）用含a的代数式表示b；（2）若∠BAO＝45°，求a的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．【分析】（1）先将抛物线解析式化为顶点式，然后根据抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，可以得到该抛物线的顶点纵坐标为0，从而可以得到a和b的关系；（2）根据抛物线解析式，可以得到点B的坐标为（0，4a），然后∠BAO＝45°，可知4a＝2，从而可以求得a的值；（3）根据函数图象，可以写出a的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝ax2+4ax+b＝a（x+2）2+（b﹣4a），∴该抛物线顶点A的坐标为（﹣2，b﹣4a），∵顶点A在x轴上，∴b﹣4a＝0，即b＝4a；（2）∵b＝4a，∴抛物线为y＝ax2+4ax+4a（a＞0），∵抛物线顶点为A（﹣2，0），与y轴的交点B（0，4a）在y轴的正半轴，∠BAO＝45°，∴OB＝OA＝2，∴4a＝2，∴；（3）或a＝1．理由：∵点A（﹣2，0），点B（0，4a），设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，，得，即直线AB的解析式为y＝2ax+4a，∵抛物线解析式为y＝ax2+4ax+4a（a＞0），抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，∴或，解得，a＝1或0＜a≤，即a的取值范围是0＜a≤或a＝1．【点评】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．7．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝x2+2x+m+1以及两点A （m，m+1）和B（m，m+3）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（用含m的代数式表示）（2）若该抛物线经过点A（m，m+1），求此抛物线的表达式；（3）若该抛物线与线段AB有公共点，结合图象，求m的取值范围．【分析】（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标即可．（2）利用待定系数法把问题转化为一元二次方程即可解决问题．（3）分m≥0，m＜0两种情形，分别构建不等式解决问题即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x+m+1＝（x+1）2+m，∴抛物线的顶点（﹣1，m），（2）∵抛物线经过点A（m，m+1），∴m+1＝m2+2m+m+1，解得m＝0或﹣2，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+1或y＝x2+2x﹣1．（3）当m≥0时，如图1中，观察图象可知：m+1≤m2+2m+m+1≤m+3，∴m2+2m≥0且m2+2m﹣2≤0，解得0≤m≤﹣1+．当m＜0时，如图2中，观察图象可知：m+1≤m2+2m+m+1≤m+3，∴m2+2m≥0且m2+2m﹣2≤0，解得﹣1﹣≤m≤﹣2，综上所述，满足条件的m的值为：0≤m≤﹣1+或﹣1﹣≤m≤﹣2．【点评】本题考查二次函数的图形与系数的关系，待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．8．（2020•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）直接写出点A与点B的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．【分析】（1）计算自变量为0的函数值得到A点坐标，然后利用点平移的规律确定B点坐标；（2）利用抛物线的对称轴方程求解；（3）当对称轴为y轴时，满足条件，此时m＝0；当m＜0时满足条件；若m＞0时，利用当x＝4，y＜1时抛物线与线段AB恰有一个公共点，然后求出此时m的范围．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2mx+1＝1，则A点坐标为（0，1），把A（0，1）右平移4个单位长度得到点B，则B点坐标为（4，1），（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m；（3）当m＝0时，抛物线解析式为y＝x2+1，此抛物线与线段AB恰有一个公共点；当m＜0时，抛物线与线段AB恰有一个公共点；当m＞0时，当x＝4，y＜1，即16﹣8m+1＜1，解得m＞2，所以m的范围为m≤0或m＞2．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9．（2020•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A （0，﹣4）和B（﹣2，2）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．【分析】（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2；当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，即可求解；（3）①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，即可求解；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．【解答】解：（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c中，得c＝﹣4，4a﹣2b+c＝2．∴b＝2a﹣3；（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2，解得≤a＜0．当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，解得0＜a≤．∴a的取值范围是≤a＜0或0＜a≤；（3）设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，故直线AB表达式为y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．∴C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）x﹣4，当x＝1时，y＝3a﹣7，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，∴a+2a﹣3﹣4＜5．解得a＜4．∴0＜a＜4；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），∴．即．解得（舍去）或（舍）．综上，a的取值范围是0＜a＜4或a＝﹣3﹣．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，解题的关键是通过画图确定抛物线图象与直线之间的位置关系，进而求解．10．（2020•密云区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．（1）抛物线的对称轴为x＝2；（2）若当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求当1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y＝﹣x+3与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，设左侧的交点为点P（x1，y1），当﹣2≤x1＜﹣1时，求a的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论；（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝2，可得顶点在1≤x≤5范围内，和y的最小值是﹣1，得顶点坐标为（2，﹣1），把顶点（2，﹣1）代入y＝ax2﹣4ax+1，可得a的值，进而可得y的最大值；（3）当x＝﹣2时，P（﹣2，5），把P（﹣2，5）代入y＝ax2﹣4ax+1，当x1＝﹣1时，P（﹣1，4），把P（﹣1，4）代入y＝ax2﹣4ax+1，分别求出a的值，再根据函数的性质即可得a的取值范围．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：x＝2，故答案为：x＝2；（2）解：∵抛物线的对称轴直线为x＝2，∴顶点在1≤x≤5范围内，∵y的最小值是﹣1，∴顶点坐标为（2，﹣1）．∵a＞0，开口向上，∴当x＞2时，y随x的增大而增大，即x＝5时，y有最大值，∴把顶点（2，﹣1）代入y＝ax2﹣4ax+1，∴4a﹣8a+1＝﹣1，解得a＝，∴y＝x2﹣2x+1，∴当x＝5时，y＝，即y的最大值是；（3）当x＝﹣2时，P（﹣2，5），把P（﹣2，5）代入y＝ax2﹣4ax+1，∴4a+8a+1＝5，解得a＝，当x1＝﹣1时，P（﹣1，4），把P（﹣1，4）代入y＝ax2﹣4ax+1，∴a+4a+1＝4，解得a＝，∴≤a＜．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．11．（2020•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）过点A （1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝﹣x+4与y轴交于点B，与该抛物线的对称轴交于点C，现将点B向左平移一个单位到点D，如果该抛物线与线段CD有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b＝﹣4a，则解析式为y ＝ax2﹣4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；（2）结合图形，分两种情况：①a＞0；②a＜0，进行讨论即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）过点A（1，0），∴a+b+3a＝0，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax+3a∴对称轴为x＝2；（2）∵直线y＝﹣x+4与y轴交于点B，∴B（0，4），则点D（﹣1，4），∵直线y＝﹣x+4与x＝2交于点C，∴C（2，2），①当a＞0时，如图1，过点D作y轴的平行线交抛物线于点H，当x＝﹣1时，y＝ax2﹣4ax+3a＝a+4a+3a＝8a，故点H（﹣1，8a），如果该抛物线与线段CD有交点，则y H≥y D，即8a≥4，解得：a；②当a＜0时，如图2，设抛物线的顶点为H（2，﹣a），如果该抛物线与线段CD有交点，则y H≥y，C，即﹣a≥2，解得：a≤﹣2；综上，a的取值范围为：a≥或a≤﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．12．（2020•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P．（1）过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q，PQ＝4，求的值；（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域（不含边界）为W．若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）先求出点Q坐标，代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，利用特殊点可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P，∴点P（0，﹣1），∵PQ＝4，PQ∥x轴，∴点Q（4，﹣1）或（﹣4，﹣1）当点Q为（4，﹣1），∴﹣1＝16a+4b﹣1，∴，当点Q（﹣4，﹣1）∴﹣1＝16a﹣4b﹣1，∴＝4；（2）当a＜0时，当抛物线过点（﹣2，2）时，a＝﹣，当抛物线过点（2，3）时，a＝﹣1，∴﹣1≤a＜﹣，当a＞0时，当抛物线过点（2，﹣2）时，a＝，当抛物线过点（﹣1，﹣2）时，a＝，∴＜a≤；综上所述：＜a≤或﹣1≤a＜﹣．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，理解整点定义，并能运用是本题关键．13．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m≠0）的图象与y轴交于点A，过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象，反比例函数y＝的图象分别交于点C，D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m＝1时，用等式表示线段BD与CD长度之间的数量关系，并说明理由；（3）当BD≤CD时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）直接将点B的坐标代入反比例函数y＝中可得点D的坐标；（2）把m＝1代入可得B和D的坐标，从而得C的坐标，根据两点的距离公式可得BD ＝2CD；（3）根据两点的距离公式，由BD≤CD列不等式，解出即可，因为y＝中m≠0，可得结论．【解答】解：（1）∵过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与反比例函数y＝的图象交于点D，∴点D的纵坐标为2m，∴2m＝，x＝2，∴D（2，2m）；（2）当m＝1时，B（0，2），D（2，2），∵过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象交于点C，∴2m＝x+m，x＝m，∴C（m，2m），∴C（1，2），∴BD＝＝2，CD＝＝1，∴BD＝2CD；（3）∵B（0，2m），C（m，2m），D（2，2m），∴BD＝2，CD＝|m﹣2|，∵BD≤CD，∴|m﹣2|≥2，∴m≥4或m＜0．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，学会利用参数解决问题，并熟练掌握两点的距离公式．14．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．【分析】（1）把点C的坐标代入抛物线的解析式即可求出m．（2）求出点A的坐标，利用待定系数法解决问题即可．（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），求出点C或B直线y＝5x+5+n上时n的值，即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与y轴交于点C（0，﹣3），∴m﹣4＝﹣3，∴m＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，得到x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），∴A（﹣1，0），B（3，0），∵一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，∴﹣k+5＝0，∴k＝5．，（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），当点C落在直线y＝5x+5+n上时，﹣3＝﹣5n+5+n，解得n＝2，当点B落在直线y＝5x+5+n上时，0＝5（3﹣n）+5+n解得n＝5，观察图象可知，满足条件的n的取值范围为2≤n≤5．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．第23页（共23页）。

2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编（一）复数（2020海淀一模）（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城一模）2.若复数z =(3−i)(1+i),则|z|= (A)2√2(B)2√5(C)√10(D)20（2020东城一模）(3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-（2020朝阳一模）（11）若复数21iz =+，则||z =________． （2020石景山一模） 2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i（2020丰台一模）3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城5月诊断）02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限集合（2020海淀一模）（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B ={ 1 }，则集合B 可以是（2020西城一模）1.设集合A ={x|x <3},B ={x|x <0,或x >2},则A ∩B = (A)(−∞,0)(B)(2,3) (C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)（2020东城一模）(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么A B =(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2（2020朝阳一模）（1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则AB =（A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }，， （D ）{ 1 2 3 }，，（A ）{}3（B ）{}1,3 （C ）{}1,2,3,5 （D ）{}1,2,3,4,5（2020石景山一模）1. 设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---（2020西城5月诊断）01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--（2020丰台一模）1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}，（C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，（2020石景山一模）15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．计数原理（2020朝阳一模）（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 （A ）23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 910（2020石景山一模）5. 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 81二项式定理（2020海淀一模）（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120- （B ）120（C ）160- （D ）160（2020西城一模）11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)（2020东城一模）(12) 在62()x x+的展开式中常数项为 . (用数字作答)三角函数与解三角形（2020海淀一模）（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32 （C ）22（D ）12（2020西城一模）9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④（2020东城一模）(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为(,)1322，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)(,)3122 (B) (,)-1322(C) (,)-3122(D) (,)--3122（2020朝阳一模）（8）已知函数()=3sin()(>0)f x ωxφω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2020石景山一模）（2020丰台一模）9. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为9（2020西城5月诊断）05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）35（2020西城5月诊断）13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．（2020西城一模）14.函数f(x)=sin(2x +π4)的最小正周期为 ;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为.（2020海淀一模）（14）在△ABC中，AB =4B π∠=，点D 在边BC 上，23ADC π∠=，2CD =，则AD = ；△ACD 的面积为 . （2020东城一模）(14)ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，BD =则CD = ，sin ABD ∠= .（2020海淀一模）（17）（本小题共14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-,7.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足A. 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B. 图象关于直线6x π=对称C. 32f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 当512x π=时有最小值1-]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= ．【答案】11【解析】设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：5,2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos 25255DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅⨯⨯，所以3cos 5535EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．3【解析】法一：因为2a b a b +=- ，即()()222a ba b +=-，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，整理得220a a b -⋅= ，又因为3a b -= ()23a b -= ，则22223a a b b b -⋅+==r r r r r ，所以3b = 法二：设c a b =-r rr ，则3,2,22c a b c b a b c b =+=+-=+r r r r r r r r r ，由题意可得：()()2222c b c b +=+r r r r ，则22224444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，整理得：22c b =r r ，即3b c ==r r 37．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.8．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以()22435-=+-a b .故选：D考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B ．1717C 55D 255【答案】B【解析】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则225334,112a b a b +=+-=+= ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()17cos ,342a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==⨯+-.故选：B.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【解析】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高2222OD AD =所以22222CD CO OD =+=,1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-2421510=⨯-=.故选:D.12．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C【解析】()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c =,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ，则m =．【答案】34-/0.75-【解析】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得13x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当13x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．【答案】43518-【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A ．122+B ．1222+C ．12+D ．22+【答案】A【解析】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-122224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+122224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅有最大值122.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.20．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-= ，2234b a a b +=⋅ 222333cos 244a b a b b a ACB a b a b a b⋅+⇒∠==≥= 3a b = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=-- ，23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+ 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．【答案】[122,16]+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤ ，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[1222,16]+．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b == ，用,a b 表示AE = ；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．【答案】1142a b + 1324【解析】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，两式相加，可得到2AE AD AC =+ ，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，即32AF a b =+ ，即2133AF a b =+ .于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ .记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅ 有最大值1324.故答案为：1142a b + ；1324.。

2020北京各区一模数学试题分类汇编—解析几何（2020海淀一模）已知双曲线2221(0)y x b b-=>则b 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题知21a = ，ce a==，222222+5c a b e a a ，2b ∴=.故选：B.（2020海淀一模） 已知点P (1，2)在抛物线C 2:2y px =上，则抛物线C 的准线方程为___. 【答案】1x =-【解析】(12)P ，在抛物线C 2:2y px =上，24,2p p ==， 准线方程为12px =-=-， 故答案为：1x =-.（2020西城一模） 设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.【解析】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c =62c ea.（2020西城一模） 设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+=B. 22(3)8x y -+=C. 22(3)2x y ++=D. 22(3)8x y ++=【答案】A【解析】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为2AB r ===，圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .（2020东城一模） 若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】28x y =或2y x =【解析】设抛物线的标准方程为：2x my =，不难验证()12,4,22⎛⎫⎪⎝⎭，适合，故28x y =； 设抛物线的标准方程为：2n y x =，不难验证()()1,14,2，适合，故2y x =；故答案为：28x y =或2y x =（2020东城一模） 已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为（ ）A. ()()22112x y -+-=B. ()()22112x y -++=C. ()()22114x y ++-= D. ()()22114x y +++=【答案】A【解析】圆心在y x =上，设圆心为(),a a ，圆C 与直线y x =-及40x y +-=都相切，∴圆心到两直线y x =-及40x y +-=的距离相等，1a =⇒=，∴圆心坐标为()1,1，R == 圆C 的标准方程为()()22112x y -+-=. 故选：A.（2020东城一模） 已知曲线C 的方程为221x y a b-=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若0a b >>，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立， 若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则满足0a b >->， 即0a >，0b <，满足a b >，即必要性成立，即“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B.（2020东城一模） 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A. 1(0,)2- B. (0,1)- C. (0,2)- D. (0,4)-【答案】B【解析】准线方程为：，与y 轴的交点为(0,1)-，故选B.（2020丰台一模） 已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.【解析】因为OA 为双曲线2213y x -=的渐近线，所以OA k =60AOB ∠=︒所以sin 60AD AO ︒==，1cos602OD AO ︒=⋅=，则1,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭因为21OB OD ==，所以椭圆N 的半焦距1c = 设椭圆N 的左焦点为1F ，则1(1,0)F -，连接1AF由椭圆的定义可得12AF AB a +=2a =，解得a =故答案为：12（2020丰台一模） 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60︒的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则AFBF的值为（ ）A.13B.43D. 3【答案】D【解析】设(,),(,)A A B B A x y B x y ，过点A 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作x 轴的垂线，垂足于点Q ，直线AB 与准线交于点D ，准线与x 轴交于点E 直线AB 的倾斜角为60︒，30MDA ︒∴∠=，即2AD AM =由抛物线的定义知，AM AF =，则2AD AF =，即点F 为AD 中点由于//AM EF ，则22AM EF p ==，即2AF p =，则2sin60A y p =︒=设直线AB的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，即32p x y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 并代入22y px =中，得：2203y y p --=，即2A B y y p =-，则23B y == 由于BFQ AFN ∆∆，则||3||A B y AF BF y ===-故选：D（2020丰台一模） 圆()2212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）A. 2C. 1D.2【答案】B【解析】圆()2212x y -+=的圆心坐标为(1,0)则圆心(1,0)到直线10x y ++=的距离d ==故选：B（2020朝阳区一模） 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ）A. 28y x =B. 24y x =C. 22y x =D. 2y x =【答案】B【解析】根据抛物线的定义可得4AD AF ==，又60DAF ∠=︒，所以12AD p AF -=， 所以42p -=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =. 故选：B（2020朝阳区一模） 在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒.若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.2C.D.【答案】C【解析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为,a c ， 因为120ABC ∠=︒，所以AC BC >， 因为以A ，B 为焦点的双曲线经过点C 所以2AC BC a -=，2AB BC c ==，在三角形ABC 中由余弦定理得222cos1202AB BC AC AB BC +-=⨯⨯，所以222214428c c AC c+--=，解得2212AC c =，所以AC =，所以22c a -=，所以c a =， 故选：C（2020朝阳区一模） 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 【答案】①②【解析】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1≤， 所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y =±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点A ，(,22B -，(,22C --，22D -， 依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①②（2020石景山一模） 圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A. 43-B. 34-C.D. 2【答案】A【解析】由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A.（2020石景山一模）已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =______. 【答案】3；【解析】根据题意画出图象，如下图所示：因为F 是抛物线C ：24y x =的焦点，所以点F 坐标为(1,0)F .设点N 为(0,)N N y ，因为M 为FN 的中点，所以点M 为1(,)22Ny ， 因为点M 在抛物线上，则214()22N y =⨯.则28Ny = . 的故：3FN === . 故答案为：3.（2020怀柔一模） 已知抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________. 【答案】 (1). (2,0) (2). 2x =-；【解析】由题可知：双曲线2214x y -=的右顶点坐标为()2,0所以可知抛物线的焦点坐标为()2,0，准线方程为2x =- 故答案为：(2,0)；2x =-（2020怀柔一模）6.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程为（ ） A. x 2＋y 2＝1 B. x 2＋(y ＋1)2＝1 C. x 2＋(y －1)2＝1 D. (x ＋1)2＋y 2＝1【答案】D【解析】由题可知：圆C 的圆心()1,0C -，半径为1所以圆C 的方程为：()2211x y ++= 故选：D（2020密云一模） 如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ）A. 点M 在圆C 上B. 点M 在圆C 外C. 点M 在圆C 内D. 上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交， ∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径．即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外．故选：B（2020密云一模） 已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞B. (,1]-∞C. (1,)+∞D. [1,)+∞【答案】C【解析】设直线l 的方程为：y kx b =+， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去y 得：222(24)0k x kb x b +-+=， ∴△222(24)40kb k b =-->，1kb ∴<， 且12242kb x x k -+=，2122b x x k=， 12124()2y y k x x b k+=++=， 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >，∴122422kb x x k -+==，1242y y m k+==， 22k b k -∴=，2m k=， 0m >，0k ∴>， 把22k b k-= 代入1kb <，得221k -<， 21k ∴>，1k ∴>，故选：C（2020密云一模） 双曲线221y x -=的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.【答案】 (1). (0, (2). y x =±【解析】由双曲线221y x -=，可得1a =，1b =，则c =所以双曲线的焦点坐标是(0,，渐近线方程为：y x =±．故答案为：(0,；y x =±．（2020顺义区一模） 直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,当AOB ∆的面积达到最大时,k =________. 【答案】±1【解析】解：由圆22:1O x y +=,得到圆心坐标为()0,0O ,半径1r =,把直线的方程为:1l y kx =+,整理为一般式方程得：:10l kx y -+=,.圆心()0,0O 到直线AB 的距离211d k弦AB 的长度AB == 2222111212111AOB k k S k k k k k, 又因为1122k k k k ,12AOB S当且仅当1k k 时取等号,AOB S 取得最大值,最大值为12.解得1k =±故答案为：±1（2020顺义区一模） 抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =（）A. B. 8 C. 4 D. 1【答案】B【解析】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p⎛⎫ ⎪⎝⎭,双曲线22x y p -=,为221x y p p -=,则22c p =,c =焦点为：)或(),所以有2p =,解得0p =或8p =,又因为0p >, 所以8p =.故选：B（2020延庆一模） 已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF 的面积为( )A. 2B. 2C. 32D. 92【答案】A【解析】如图，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，依题可知四边形1AFBF 的对角线互相平分，则四边形1AFBF 为平行四边形，由60AFB ∠=︒可得1120F BF ∠=︒，依题可知12||210F F c ===，由余弦定理可得：2221111|BF |+|BF|-2|BF ||BF|cos |||F BF F F ∠=即2211|BF |+|BF|+|BF ||BF|100=； 又因为点B 在椭圆上，则1||BF |-|BF||28a ==，所以2211|BF |+|BF|-2|BF ||BF|64=.两式相减得13|BF ||BF|36=，即1|BF ||BF|12=，所以1F BF 的面积为：11111||||sin 12222F BF S BF BF F BF =∠=⨯⨯=因为O 为1F F 的中点，所以11332OBF F BF S S ==故选：A（2020延庆一模） 经过点()2,0M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是____________.【答案】2)y x =+ 【解析】依题满足条件的直线斜率存在，设直线l 方程为：(2)y k x =+即20kx y k -+=.又221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1,又直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，1=，解之得：k =所以直线的方程为2)y x =+.故答案为：(2)3y x =±+ （2020海淀一模） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>12(,0),(,0),(0,)A a A a B b -，12A BA ∆的面积为2.(I)求椭圆C 的方程；(II)设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M 与直线2A B 交于点Q .求证:△BPQ 为等腰三角形.【解析】 (I)由题意得2221222c aab b c a ⎧=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得2,1,a b c ===2214x y +=. (II)由题意得()()()122,0,2,0,0,1A A B -,设点(),M m n ，则有2244m n +=，又直线2A M 的直线方程为()22n y x m =--，直线1A B 的直线方程为112y x =+， ()22112n y x m y x ⎧=-⎪⎪-∴⎨⎪=+⎪⎩，解得24422422m n x n m n y n m +-⎧=⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩， P ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m +-⎛⎫ ⎪-+-+⎝⎭. 又直线1A M 的直线方程为()22n y x m =++，直线2A B 的直线方程为112y x =-+.()22112n y x m y x ⎧=+⎪⎪+∴⎨⎪=-+⎪⎩，解得24422422m n x n m n y n m -+⎧=⎪⎪++⎨⎪=⎪++⎩， Q ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m -+⎛⎫ ⎪++++⎝⎭. 22225(1)4p p p BP x y x ∴=+-=，22225(1)4Q Q Q BQ x y x ∴=+-=. 2222244244()()2222P Q m n m n x x n m n m +--+-=--+++ ()()()()()()22222242222422222222m n n m m n n m n m n m +-++--+-+=-+++ ()()222264(44)02222mn m n n m n m +-==-+++， 22=BP BQ ∴，BP BQ ∴=，∴△BPQ 为等腰三角形.（2020西城一模） 设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由.【解析】 (Ⅰ)()1,0M -，()1,0N，故1,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛- ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==，同理可得CD = AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=， 相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=，故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. （2020东城一模） 已知椭圆22:36C x y +=的右焦点为F .（1）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为'P ，判断直线'P Q 是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.【解析】（1）椭圆22:162x y C +=， 2224c a b ∴=-=，解得2c =，∴焦点()2,0F，离心率e . （2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，2m k ∴=-，():2l y k x ∴=-.由()22362x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，得()222231121260k x k x k +-+-=.（依题意>0∆）. 设()11,P x y ，()22,Q x y ， 则21221231k x x k +=+，212212631k x x k -⋅=+. 点P 关于x 轴的对称点为'P ，则()'11,P x y -. ∴直线'P Q 的方程可以设为()211121y y y y x x x x ++=--， 令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++ ()()()211212224kx x kx x k x x -+-=+-()()121212224x x x x x x -+=+- 22222212612223131312431k k k k k k -⨯-⨯++==⎛⎫- ⎪+⎝⎭.∴直线'P Q 过x 轴上定点()3,0.（2020丰台一模） 已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>）的离心率为2，点1,0P 在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意222211b c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. （2）假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(),0Q m 因为2OQN OQM π∠+∠=，所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠. 即ON OQ OQ OM=，所以2OQ ON OM =. 因为直线0y y =交椭圆C 于A ，B 两点，则A ，B 两点关于y 轴对称. 设()00,A x y ，()00,B x y -（01x ≠±），因为1,0P ，则直线PA 的方程为：()0011y y x x =--.令0x =，得001M y y x -=-. 直线PB 的方程为：()0011y y x x -=-+. 令0x =，得001M y y x =+. 因为2OQ ON OM =，所以220201y m x =-. 又因为点()00,A x y 在椭圆C 上，所以()220021y x =-. 所以()202202121x m x -==-.即m =.所以存在点()Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立.（2020朝阳区一模） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-. （1）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（2）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由. 【解析】（1）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=.因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+，又因为过点(1,2)，所以1b =.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83(,)55--， 所以22283()()5511a --+=，解得24a =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）直线2l 与椭圆C 相切.理由如下：设圆O 上的动点000(,)(2)P x y x ≠±，所以22005x y +=.依题意，设直线1l ：00()y y k x x -=-.由220044,()x y y kx y kx ⎧+=⎨=+-⎩得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=. 因为直线1l 与椭圆C 相切，所以2220000[8()]4(14)[4()4]0k y kx k y kx ∆=--+--=.所以220014()k y kx +=-.所以2220000(4)2(1)0x k x y k y -++-=.因为22005x y +=，所以220041x y -=-.所以2220000(1)2(1)0y k x y k y -++-=.设直线2l ：001()y y x x k-=--， 由220044,1()x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得220000248(1)()4()40x x x y x y k k k k +-+++-=.则222100001116[(4)()2()(1)]x x y y k k∆=--+-+- 2220000216[(4)2(1)]x kx y y k k=--+- 2220000216[(1)2(1)]y kx y y k k=--+- 2220000216[(1)2(1)]0y k kx y y k =--++-=. 所以直线2l 与椭圆C 相切.（2020石景山一模） 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为()1,0F，离心率为2.直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率.【解析】（1）由已知1c =，2c e a ==， 又222a b c =+，解得a =1b = 所以椭圆方程为2212x y +=. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠) 联立()()221210x y y k x k ⎧+=⎪⎨⎪=-≠⎩消去y 得()2222214220k x k x k +-+-=，不妨设()11,A x y ，()22,B x y则2122421k x x k ，因为M 为线段AB 的中点 所以21222221M x x k x k +==+，()2121M M k y k x k -=-=+ 所以12M OM M y k x k-== 所以1122OM l k k k k -⨯=⨯=-为定值. （3）若四边形OAPB 为平行四边形，则OA OB OP +=所以2122421P k x x x k =+=+ ()()()1212122211221P k y y y k x k x k x x k -=+=-+-=+-=+ 因为点P 在椭圆上，所以2222242222121k k k k ⎛⎫-⎛⎫+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭解得212k =，即k =所以当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l 的斜率为2k =± （2020怀柔一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，离心率为2． （1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．【解析】（1）依题意可得c b a ==2222222212c a b a a a a --===， 得2a =，所以椭圆的方程是22142x y += . （2）设()11,A x y ，(),y D D D x ，则()11,B x y --，()1,0E x ，直线BE 的方程为()1112y y x x x =-， 与22142x y +=联立得 222211*********y y y x x x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 因为D x ，1x -是方程的两个解，所以()212211122211121482212D y y x x x x y y x ---==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭又因为2211142x y +=， 所以21121838D y x x y -=-，代入直线方程得312138D y y y -=- 3112211122111112138241838AB ADy y y y y k k y x x x x y +--===----所以AB AD ⊥，即ABD ∆是直角三角形.（2020密云一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>()0,1A .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.【解析】（1）由题意可知，22212b c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）设点0(P x ，0)y ，则0(2x M ，0)y ， ∴直线AM 的斜率为000012(1)02y y x x --=-， ∴直线AM 的方程为：002(1)1y y x x -=+， 令1y =-得，001x x y =-， ∴点N 的坐标为00(1x y -，1)-， ∴点D 的坐标为00(2(1)x y -，1)-， ∴0(2x OM DM →→⋅=，2220000000000)(,1)22(1)444x x x x y y y y y y ⋅-+=+-+--， 又点0(P x ，0)y 在椭圆C 上， ∴220014x y +=，220044x y =-，∴2000004(1)11(1)04(1)y OM DM y y y y →→-⋅=-+=-++=-， ∴点M 在以OD 为直径的圆上．（2020顺义区一模）已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点,点P 在椭圆C 上,直线AP ,BP 分别与直线4x =相交于点M ,N .当点P 运动时,以M ,N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论. 【解析】（1）由223412x y +=得22143x y +=, 那么224,3a b ==所以2221c a b =-=解得2a =,1c =所以离心率12c e a == （2）由题可知(2,0),(2,0)A B -,设()00,P x y ,则2200:3412C x y +=① 直线AP 的方程：00(2)2y y x x =++ 令4x =,得0062M y y x =+,从而M 点坐标为0064,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭直线BP 的方程：00(2)2y y x x =--令4x =,得0022N y y x =-,从而N 点坐标为0024,2y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭设以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0Q x ,则MQ NQ ⊥由0MQ NQ ⋅=得()()()22010*******y x x x -+=+-② 由①式得()2220001236994y x x =-=-,代入②得()2149x -= 解得11x =或17x =所以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0和()7,0.（2020延庆一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b G +=>>：的左焦点为(),F且经过点(),,C A B 分别是G 的右顶点和上顶点，过原点O 的直线l 与G 交于,P Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段AB 交于点M .（1）求椭圆G 的标准方程；（2）若3PQ =，求直线l 的方程；（3）若BOP △的面积是BMQ 的面积的4倍，求直线l 的方程.【解析】（1）依题知c =1F ），因为点()C在椭圆上，且1||CF =， 又||1CF =，所以12||||4a CF CF =+=，所以2a =所以222422b a c =-=-=，所以椭圆的标准方程为22142x y +=. （2）因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在， 设直线l 的斜率为(0)k k >，则直线l 的方程为y kx =， 设直线 l 与该椭圆的交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得22(12)40k x +-=， 易知>0∆，且1212240,12x x x x k -+==+，则PQ ==3=== ，所以27,22k k ==±，又0k >，所以直线l 的方程为2y x =. （3）设(,)m m M x y ，()00,Q x y ，则()00,P x y --，易知002x <<，001y <<.由()2,0A ，B ，所以直线AB 的方程为12x +=，即20x +-=. 若BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的4倍，则||4||OP MQ =,由,P Q 关于原点对称，可得||||OP OQ =, 所以||4||OQ MQ =，所以3||||4OM OQ =即034m x x = ① .设直线l 的方程为y kx =，由20y kx x =⎧⎪⎨-=⎪⎩得m x =， 由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得0x =，34=,化简得21470k -+=，解得814k =， 所以直线l的方程为：y x =.。

北京市 2020 年高考数学最新联考试题分类大汇编一、选择题：3．( 北京市西城区2020 年 1 月高三期末考试理科) 已知向量a ( 3,1) ， b (0, 2) .若实数 k 与向量c 知足，则 c 能够是（）8. ( 北京市东城区 2020 年 1 月高三考试文科）xOy 中，已知向量uuur在平面直角坐标系OA 与uuur r uuur 2 r uuur0 的点A(x, y)的会适用阴OB 对于 y 轴对称，向量 a (1,0) ，则知足不等式OA a AB影表示为【答案】 Cuuur uuur uuur uuur( x, y) ，【分析】由于向量 OA 与OB对于y轴对称，且点A(x, y)，因此 OA ( x, y) ，OBuuur 2 r uuury2 x ( x 1 )2 y21 0 ，因此点A(x, y)的会合为以(1,0) 为圆心，因此 OA a AB x22 4 21为半径的圆的内部。

2（4）（ 2020 年 4 月北京市海淀区高三一模理科）已知向量 a=(1， x)， b=( - 1， x) ，若2a b 与 b 垂直，则 a（A）2 （B）3（C）2 （ D）4【答案】 C3. (2020年3月北京市旭日区高三一模文科) 已知平面向量a,b 知足 a (a + b)=3 ，且a= 2, b = 1 ，则向量a与 b 的夹角为A. B. C. D.66 3 3【答案】 C4． ( 北京市西城区2020 年 4 月高三第一次模拟文) 如图，在复平面内，复数 z1， z2对应的向量分别是uuur uuur z1对应的点位于（ BOA ， OB ，则复数）z2（ A）第一象限（ B）第二象限（ C）第三象限（ D）第四象限【答案】 D2. (2020 年 4 月北京市房山区高三一模理科r r r假如 a (1,k ) ， b (k, 4), 那么“ a ∥ b ”是“ k 2 ”的（ B ）（ A）充足不用要条件（ B）必需不充足条件（ C）充要条件（ D）既不充足也不用要条件8. (2020 年 4 月北京市房山区高三一模理科如图，边长为 1 的正方形ABCD的极点A , D 分别在 x 轴、y轴正半轴上挪动，则 OB OC 的最大值是（ A ）（A）2（B）1 2（C）（D） 4二、填空题：（9） ( 北京市东城区2020 年 1 月高三考试文科）r r已知向量 a (3, 2) , a (3m 1,4 m) ，r r若 a b ，则m的值为．。

一．选择题（共6小题）1．（2020秋•朝阳区期末）已知向量，，且，则 A ．B ．C ．D ．82．（2020秋•房山区期末）在平行四边形中，，，，为的中点，则 )A ．B ．C ．1D ．23．（2020秋•东城区期末）设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2020秋•海淀区期末）已知向量，满足，，且，则 A ．B ．0C ．1D ．25．（2020秋•通州区期末）在中，，，且的最小值是 )A ．BCD ．6．（2020秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，，是直线上的两点，且．若对于任意点，，存在，使成立，则的最大值为 A ．B ．4C ．D ．8二．填空题（共3小题）7．（2020秋•石景山区期末）已知平面向量，，且，则实数 ．8．（2020秋•顺义区期末）已知单位向量，满足，则与夹角的大小为 ；的最小值为 ．9．（2020秋•昌平区期末）已知向量，，且，则实数 ．(1,2)a =- (,4)b x =a b ⊥ ||(b = )ABCD 1AD =12AB =60BAD ∠=︒E CD (AC BE ⋅= 2-1-a b a b ()a a b ⊥- ()a b ||1a = (2,1)b =- ||2a b -= (a b ⋅= )1-ABC ∆2AB =3AC =AB AC ⋅=- ||()AC AB R λλ-∈ (32A B x y m +=||10AB =(cos P θsin )(02)θθπ<…A B 90APB ∠=︒m ()(2,1)a = (4,)b y = //a b y =a b a b ⋅= a b ||()a xb x R -∈ (2,)a m = (1,2)b = a b ⊥ m =参考答案一．选择题（共6小题）1．【分析】根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得，解可得，即可得，计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，若，则，则，故，则故选：．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．2．【分析】画出图形，可得出，代入进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，，又，，．故选：．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法和数乘的几何意义，数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．【分析】根据向量垂直时数量积为0建立等式，可得到与的夹角为锐角，反之不成立，再结合充分条件必要条件的定义可得结论．【解答】解：若，则，是两个不共线向量，，即，，80a b x ⋅=-+= 8x =(8,4)b = (1,2)a =- (,4)b x = a b ⊥ 80a b x ⋅=-+= 8x =(8,4)b = ||b == C 1,2AC AB AD BE AD AB =+=- AC BE ⋅ 11,,602AD AB BAD ==∠=︒AC AB AD =+ 12BE BC CE AD AB =+=- ∴2211111()()1122288AC BE AB AD AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-++⋅=-++= C a b ()a a b ⊥- 2()||||cos ,a a b a a b a b ⋅-=-<>||(||||cos ,)0a ab a b =-<>= a b ∴0a ≠ ||0a ≠ ∴||||cos ,a b a b =<>，，与的夹角为锐角，而与的夹角为锐角，不妨设，此时，故与不垂直，“与的夹角为锐角”是“”的必要不充分条件．故选：．【点评】本题主要考查向量的有关性质，以及充分条件必要条件的判定，同时考查了学生转化的能力，属于基础题．4．【分析】通过向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可．【解答】解：向量，满足，，且，，即，则．故选：．【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量模的运算法则的应用，是基础题．5．【分析】先将平方后，再利用二次函数的性质求解最值即可．【解答】解：因为，，且，所以，当时，取得最小值为，则的最小值为．故选：．【点评】本题考查了平面向量模的最值的求解，涉及了模的求解方法的应用、二次函数性质的应用、平面向量数量积定义的运用，属于中档题．6．【分析】由题意可得点在单位圆上，圆上的点到直线的最大距离不能超过5，即，由点到直线的距离公式即可求得的最大值．【解答】解：由已知可得点，在单位圆上，因为，所以点在以为直径的圆上，∴cos ,0a b <>> ,0a b <>≠ ∴a b a b (1,0),(2,2)a b == ()10a a b ⋅-=-≠ a ()a b - ∴a b ()a a b ⊥- B a b ||1a = (2,1)b =- ||2a b -= 2224a a b b -⋅+= 1254a b -⋅+= 1a b ⋅= C ||AC AB λ- 2AB =3AC =AB AC ⋅=- 2222||2AC AB AC AC AB ABλλλ-=-⋅+ 294λ=++294(4λ=++λ=2||AC AB λ- 94||AC AB λ- 32A P 22:1O x y +=O x y m +=15d +…m (cos P θsin )(02)θθπ<…22:1O x y +=90APB ∠=︒P AB因为．所以半径为5，所以点到中点的距离为5，所以圆上任意点，总能找到一点，使，且点在直线上，当时，，所以为直线在轴上的截距，最大，即直线的截距最大，直线越往上，因为对于任意点，，存在，使成立，所以圆上的点到直线的最大距离不能超过5，而圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加圆的半径1，即，，所以，所以的最大值为故选：．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．二．填空题（共3小题）7．【分析】根据平面向量的共线定理列方程求出的值．【解答】解：，，且，，解得：．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．8．【分析】根据条件可求出的值，进而可得出夹角的大小；可求出方即可求出的最小值．【解答】解：，且，与夹角的大小为；，||10AB =P AB C O P C ||5CP =C x y m +=0x =ym =m x y m +=y m x y m +=(cos P θsin )(02)θθπ<…A B 90APB ∠=︒O x y m +=O x y m +=O x y m +=d O 15d +…4d …4m …m C y (2,1)a = (4,)b y = //a b 240y ∴-=2y =cos ,a b <> ,a b ||a xb -= ||a xb - cos ,||||a b a b a b ⋅<>== ,[0,]a b π<>∈ ∴a b 4π ||a xb -==时，．故答案为：．【点评】本题考查了向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，向量数量积的运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．9．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值．【解答】解：向量，，且，，实数，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．∴x =||a xb - 4πm (2,)a m = (1,2)b = a b ⊥ ∴2120a b m ⋅=⨯+⨯= ∴1m =-1-。

2020北京各区一模数学试题分类汇编—平面向量1.（2020海淀一模）已知非零向量a b ， 满足a a b ，则1()2a b b -⋅=__. 2.（2020西城一模）若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________.3.（2020西城一模）设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.（2020东城一模）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．（2020丰台一模）已知向量(),2a x =，()2,1b =-，满足//a b ，则x =（ ）A. 1B. 1-C. 4D. 4-（2020朝阳区一模）如图，在ABC 中，点D ，E 满足2BC BD =，3CA CE =.若DE x AB y AC =+(,)x y R ∈，则x y +=（ ）A. 12-B. 13- C. 12 D. 13（2020石景山一模）已知向量1,22BA ⎛= ⎝⎭，31,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=______.（2020怀柔一模）在ABC ∆中，60ABC ∠=，22BC AB ==，E 为AC 的中点，则AB BE ⋅=___________.（2020怀柔一模）已知1a =，则“()a a b ⊥+”是“1a b ⋅=-”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件（2020密云一模）已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ）A. 6B. 1C. 32D. 32-（2020顺义区一模）设非零向量a ，b 满足()2a b a -⊥，则“a b =”是“a 与b 的夹角为3π”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（2020延庆一模）已知向量()()1,,,2,a k b k ==若a 与b 方向相同，则k 等于( )A. 1B.C.D.。

北京市西城区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）数学 苏悦读书室整理注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A. ()0-∞，B. ()23，C. ()()023-∞⋃，，D. ()3-∞，【答案】C【详解】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2.若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A. B. C.D. 20【答案】B【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z ==故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3.下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+B. y sinx =C. 3y x x =-D. 2x y =【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C .【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】B 【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+=B. 22(3)8x y -+=C. 22(3)2x y ++=D. 22(3)8x y ++=【答案】A【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===， 圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6.设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A. a b c +> B. 2ab c >C.a b2c +> D.112a b c+> 【答案】C【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C .【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 7.某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A. S S ，且B. S S ，且C. S S ，且D. S S ，且 【答案】D【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件.故12AB BCCD AD CC =====，11BC DC ==，1AC =故{2,S =，故S ，S .故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8.设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要.故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 9.已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. ①③ B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D .【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A. (]0101， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，【答案】B【详解】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在61()x x+的展开式中，常数项为________.(用数字作答)【答案】20【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =.故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1-【详解】()()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<. 故答案为：()3,1-.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.【详解】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c 62c ea.故答案为：2. 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 14.函数()24f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.【答案】 (1). π (2). 8π 【详解】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论: ①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且12AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ【解析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥. 1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ 故6sin cos ,26n AB n AB n ABθ⋅====⋅【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生空间想象能力和计算能力.17.已知ABC 满足 ，且23b A π==，求sinC 的值及ABC 的面积.（从①4B π=，②a =③a =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.） 【答案】见解析 【解析】选择①时：4B π=,23A π=，计算sin C =根据正弦定理得到3a =，计算面积得到答案；选择②时，a =b =，故B A >，A为钝角，故无解；选择③时，a B =，根据正弦定理解得sin B =，sin C =3a =，计算面积得到答案. 详解】选择①时：4B π=,23A π=，故()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故19sin 24S ab C -==. 选择②时，a =b =，故B A >，A 为钝角，故无解.选择③时，a B =，根据正弦定理：sin sin a bA B==， 解得sin B ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1sin 2S ab C ==. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个【人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 【解析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===. 故分布列为：()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥. 故m 的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19.设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【答案】(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 【解析】(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x --==，故02a x =，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.【详解】(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22a f x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a a f x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220a f x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+== 200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-， 设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减.()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积;(Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析【解析】(Ⅰ)计算得到故1,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明. (Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k =-≠-，得到结论. 【详解】(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N，故1,2A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2D ⎛- ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD = AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=， 相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=，故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.对于正整数n ，如果()*k k N ∈个整数12k a a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g . (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2n k =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n =【解析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案. (Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时，根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=； 综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=. (Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <；当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”，故n n f g ≤.综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==；当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力。

2020 北京市高三一模数学文分类汇编：直线与圆、不等式、平面向量直线与圆部分【 2020 年北京市西城区高三一模文】12. 圆x2 y2 4x 3 0 的圆心到直线 x 3 y 0 的距离是 _____.【答案】 1【分析】圆的标准方程为 (x 2) 2y 21，半径为1，圆心到直线的距离为，圆心为 (2,0)d 2 1 ，答案为 1.31【 2020 北京市门头沟区一模文】11. 已知平面地区x y 6 0 ;则平M知足条件2) 2 ( y 2) 2(x 4.面地区 M的面积是．【答案】 3 +21. 【 2020 北京市门头沟区一模文】以下直线方程，知足“与直线y x 平行，且与圆x2 y2 6x 1 0 相切”的是(A) x y 1 0 (B) x y 7 0(C) x y 1 0 (D) x y 7 0【答案】 A【 2020 北京市海淀区一模文】（ 11）以抛物线y2 4 x 上的点( x0, 4)为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是.【答案】 ( x - 4)2 + ( y - 4)2 = 25【 2020 北京市房山区一模文】11．过原点且倾斜角为60 的直线被圆x2y2 4 y0 所截得的弦长为.【答案】 2 3【 2020 北京市石景山区一模文】6．直线x y 5 和圆 O: x 2y2 4 y 0 的地点关系是（）A．相离 B ．相切 C ．订交可是圆心 D ．订交过圆心【答案】 A【分析】圆的标准方程为x 2( y 2) 2 4 ，圆心为(0,2) ，r 2 ，圆心到直线的距离为2 53 3 2d22r 2 ，因此直线与圆相离，选 A.2平面向量部分【 2020 年北京市西城区高三一模文】 9. 已知向量 a (1,2) ，b (, 2) . 若 a b,a90 ，则实数 _____.【答案】 9【分析】 由于 a b,a 90b) ? a 0, 即 a20,因此 5，因此 (a b ?a (4) 0 ，因此9 。

专题04平面向量最值与范围问题4种常考题型归类平面向量基本定理的最值问题1．（2022春•海淀区校级期中）已知单位向量1e ，2e 满足1212e e ⋅=- ，若非零向量12a xe ye =+，其中x ，y R ∈，则||||x a 的最大值为()A ．43B ．23C ．22D 【解析】因为单位向量1e ，2e满足1212e e ⋅=- ，所以1e < ，223e π>= ，设1(1,0)e = ，21(2e =- ，2，所以12(1a xe ye x =+= ，10)(2y +-，(22y x =-，)2y ，所以||a ==，所以||||x a ==当0x =时，||0||x a = ，当0x ≠时，||||x a =令y t x=，则221331()244t t t -+=-+ ，，所以||||x a故选：D ．2．（2022春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+ ，则14m n+的最小值是()A ．4B ．9C ．8D ．13【解析】D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线， AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14144()559n m m n m n m n m n+=++=+++= ，当且仅当4n m m n =，即2n m =，又1m n += ，13m ∴=，23n =时取等号．∴14m n+的最小值为9．故选：B ．3．（2023春•海淀区校级期中）如图，在ABC ∆中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD AE xAB y AC +=+，则x y +=，14x y+的最小值为．【解析】设AD mAB nAC =+ ，AE AB AC λμ=+，B ，D ，E ，C 四点共线，1m n ∴+=，1λμ+=， AD AE xAB y AC +=+ ，2x y ∴+=，∴141141419()()(5)(52222y x x y x y x y x y +=++=+++= ，当且仅当4y x x y =，即23x =，43y =时等号成立，所以14x y +的最小值为92．故答案为：2；92．4．（2022春•丰台区校级期中）已知O 为ABC ∆的外心，且BO BA BC λμ=+．①若90C ∠=︒，则λμ+=；②若60ABC ∠=︒，则λμ+的最大值为．【解析】①若90C ∠=︒，则O 是斜边AB 的中点，如图①所示；∴12BO BA = ，12λ∴=，0μ=，12λμ∴+=；②设ABC ∆的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，60ABC ∠=︒ ，120AOC ∴=︒，设(1,0)A ，1(2C -，2，(,)B x y ，则(1,)BA x y =-- ，1(2BC x =--)y -，(,)BO x y =-- ，BO BA BC λμ=+ ，∴1(1)()2()2x x x y y y λμλμ⎧--+=-⎪⎪⎨⎪-+-=-⎪⎩，解得12121x y λμλμλμ⎧-⎪=⎪+-⎪⎨⎪⎪=⎪+-⎩，B 在圆221x y +=上，2221())(1)2λμλμ∴-+=+-，22()1(32λμλμλμ+-+∴= ，∴2121()()0433λμλμ+-++ ，解得23λμ+ 或2λμ+ ，B 只能在优弧 AC 上，23λμ∴+ ，即λμ+得最大值为23．故答案为：（1）12，（2）23．5．（2018秋•顺义区校级期中）已知向量(cos ,sin )a θθ=，(sin ,0)b θ= ，其中R θ∈．（Ⅰ）当a b ⊥时，求θ的值；（Ⅱ）当2πθ=时，已知(c xa yb x =+ ，y 为实数），且||2c = ，求xy 的最大值．【解析】（Ⅰ） a b ⊥ ，∴sin cos 0a b θθ⋅==，sin 20θ∴=，即2k θπ=，k Z ∈，∴,2k k Z πθ=∈．（Ⅱ）当2πθ=时，(cos ,sin )(0,1)a θθ== ，(sin ,0)(1,0)b θ== ，(0,1)(1,0)(,)c xa yb x y y x =+=+=，||2c =，224x y ∴+=，∴2222x y xy += ，当且仅当x y ==时等号成立，xy ∴的最大值为2．6．（2022春•西城区校级期中）已知点(0,2)A ，(1,3)B ，(3,)C m 满足||||BA BC BA BC +=-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设O 为坐标原点，动点P 满足OP OA AB λ=+，求当||OP 取最小值时点P 的坐标．【解析】（Ⅰ）(0,2)A ，(1,3)B ，(3,)C m ，∴(1,1)BA =-- ，(2,3)BC m =-，||||BA BC BA BC +=- ，∴(1)2(1)(3)0BA BC m ⋅=-⨯+--=，解得1m =；（Ⅱ）(0,2)A ，(1,3)B ，∴(0,2)OA = ，(1,1)AB =， (,2)OP OA AB λλλ=+=+，||OP ∴==故当1λ=-时，||OP取得最小值，此时，(1,1)P -．平面向量的数量积的最值问题7．（2023春•东城区校级期中）已知等边ABC ∆的边长为2，D 为边BC 的中点，点M 是AC 边上的动点，则MD MC ⋅的最大值为，最小值为．【解析】以AC 所在的直线为x 轴，AC 的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 等边ABC ∆的边长为2，D 为边BC 的中点，(1,0)A ∴-，B ，(1,0)C ，1(22D ，设点M 的坐标为(,0)M x ，11x -，∴(1,0)MC x =- ，1(2MD x =- ，∴2131(1)()222MD MC x x x x ⋅=--=-+ ，设231()22f x x x =-+，11x -， 函数()f x 的对称轴为34x =，()f x ∴在区间3[1,]4-单调递减，在区间3[,1]4单调递增，当1x =-时，()(1)3max f x f =-=，当34x =时，31()(416min f x f ==-．故答案为：3，116-．8．（2023春•昌平区校级期中）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，AB OP ⋅的值为；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅的最小值为．【解析】矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，||||cos 212AB OP AB OP POB ⋅=∠=⨯=；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅的最小值，||||cos AB OP AB OP POB ⋅=∠ ，P 应该在线段AD 上，此时||||cos 2(1)2AB OP AB OP POB ⋅=∠=⨯-=-；故答案为：2；2-．9．（2023春•海淀区校级期中）在OAB ∆中，2OA OB ==，AB =，若动点P 在线段OA 上运动，则PA PB ⋅的最小值为()A ．94-B ．94C ．34D ．34-【解析】OAB ∆中，2OA OB ==，AB =由余弦定理得，22244121cos 22222OA OB AB AOB OA OB +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以23AOB π∠=，建立平面直角坐标系，如图所示：设(,0)P x ，[0x ∈，2]，(2,0)A ，(B -，所以(2,0)PA x =- ，(1PB x =--，计算2219(2)(1)2()24PA PB x x x x x ⋅=---=--=-- ，当12x =时，PA PB ⋅ 取得最小值为94-．故选：A ．10．（2023春•西城区校级期中）已知点P 是边长为1的菱形ABCD 内一动点（包括边界），60DAB ∠=︒，则AP AB ⋅的最大值为()A B ．32C ．1D ．34【解析】以菱形ABCD 的对角线BD 所在直线为x 轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得2A ，1(2B -，0)，(0,2C -，1(2D ，0)，则1(2AB =- ，，设(,)P x y ，(,AP x y =- ，1324AP AB x ⋅=--+ ，作出直线33y x =，平移，经过点C 时，1322x y --取得最大值34，则122x y =--的最大值为32．故选：B ．11．（2022春•西城区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB⋅的值为，DE AC ⋅的最大值为．【解析】2()||01DE CB DA AE CB DA CB AE CB DA ⋅=+⋅=⋅+⋅=+=， 点E 是AB 边上的动点，∴设AE AB λ=，[0λ∈，1]，∴22()()()()(1)01DE AC AE AD AB AD AB AD AB AD AB AB AD AD λλλλ⋅=-⋅+=-⋅+=+-⋅-=+- ，在[0λ∈，1]上单调递增，∴当1λ=时，DE AC ⋅取得最大值，为0．故答案为：1；0．12．（2021春•昌平区校级期中）已知矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，E 为BC 边的中点，F 为CD 边上的动点（可以与端点重合），则AE ED ⋅=，AF AE ⋅的最大值为．【解析】如图，建立直角坐标系，则(2,2)E ，(0,4)D ，(,4)F x ，[0x ∈，2]，所以(2AE ED ⋅=，2)(2⋅-，2)0=，当F 在C 处时，AF AE ⋅的最大值为(2，2)(2⋅，4)12=．故答案为：0；12．13．（2018秋•通州区期中）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为．【解析】以AB 、AD 所在直线为x 轴、y 轴，建立坐标系如图可得(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D 设(,0)E x ，其中01x(,1)DE x =- ，(1,0)DC =，∴1(1)0DE DC x x ⋅=⋅+-⋅=，点E 是AB 边上的动点，即01x，x ∴的最大值为1，即DE DC ⋅的最大值为1故答案为：114．（2023春•东城区校级期中）如图，在平面四边形ABCD 中，90CDA CBA ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，若点E 为CD 边上的动点，则AE BE ⋅的最小值为．【解析】以D 点为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图平面直角坐标系，则(1,0)A ，3(22B ，C ，设点E 坐标为(0,)E t ，则t ∈，(1,)AE t =- ，3(,2BE t =-- ，∴223321(1,)(,(2216AB BE t t t t ⋅=-⋅--=-+=-+ ，∴当34t =时，21()16min AB BE ⋅= ．故答案为：2116．15．（2021春•丰台区期中）梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，90BAD ∠=︒，点P 在线段BC 上运动．（1）当点P 是线段BC 的中点时，BC AP ⋅=；（2）PB AP ⋅的最大值是．【解析】（1）根据题意，如图，建立坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(0,1)D ，(1,1)C ，点P 是线段BC 的中点，则3(2P ，1)2，(1,1)BC =- ，3(2AP = ，1)2，则31(1)1122BC AP ⋅=-⨯+⨯=- ；（2）(2,0)B ，(1,1)C ，直线BC 的方程为2x y +=，设P 的坐标为(,)m n ，则2m n +=，(01)n ，(2,)PB m n =-- ，(,)AP m n =则222111(2)222()222PB AP m m n n n n ⋅=--=-+=--+ ，即PB AP ⋅ 的最大值是12．故答案为：（1）1-；（2）12．16．（2021春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，45A ∠=︒，M 是AB 的中点，若||||2AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值是78．【解析】在ABC ∆中，45A ∠=︒||||2BC ==，45C ∴∠=︒，90B ∠=︒，ABC ∴∆是等腰直角三角形，||AC =，如右图所示，以AC 所在的直线为x 轴，以AC 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则(A ，0)，B ，(2M -，)2，设(,0)D t ，[t ∈，则(DB t =- ，(2DM t =-- ，)2，∴22227()()2248DB DM t t t ⋅=---+=++ ，[t ∈，∴当24t =时，DB DM ⋅ 取最小值78，故答案为：78．17．（2023春•海淀区校级期中）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE BC λ= ，DF DC μ= ．若23λμ+=，则AE AF ⋅ 的最小值为．【解析】如图，,BE BC DF DC λμ== ，且23λμ+=，∴()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ ()()()()AB BC AD DC AB AD AD AB λμλμ=+⋅+=+⋅+ 22(1)||||AB AD AD AB λμλμ=+⋅++18(1)22()4()2(1)23λμλμλμ=+⨯⨯⨯-++=-++，由题意可得，λ，0μ>， 23λμ+=，∴21()29λμλμ+= ，则202(1)9λμ-+-，∴842(1)39λμ-++ （当且仅当13λμ==时等号成立），∴AE AF ⋅ 的最小值为49．故答案为：49．18．（2023春•海淀区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为1，点P 是对角线BD 上任意一点，则AP BD ⋅的取值范围为()A ．11[,]22-B ．22[]22C ．[1-，1]D ．[【解析】设BP BD λ=，则01λ，()(1)AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD λλλλ=+=+=+-=-+ ，BD AD AB =-，所以[(1)]()AP BD AB AD AD AB λλ⋅=-+⋅- ，又||||1,0AD AB AB AD ==⋅=，所以(1)21AP BD λλλ⋅=--+=-，又01λ ，所以[1,1]AP BD ⋅∈-．故选：C ．19．（2023秋•大兴区期中）已知等边ABC ∆的边长为4，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，则EF EA ⋅=；若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则EM EN ⋅的最小值为．【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为等边ABC ∆的边长为4，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以(2,0)B -，(2,0)C ，(0A ，，(E -，F ，所以(2,0)EF = ，EA =，所以2102EF EA ⋅=⨯+=；不妨设M 在N 的左边，则设(M m ，0)(21)m - ，则(1,0)N m +，所以(1,EM m =+ ，(2,EN m =+，所以22311(1)(2)335(24EM EN m m m m m ⋅=+++=++=++ ，所以当32m =-时，EM EN ⋅ 有最小值为114．故答案为：2；114．20．（2021春•海淀区校级期中）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，3AB =，6BC =，且AD BC λ=，32AD AB =- ，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN的最小值为．【解析】以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，60B ∠=︒ ，3AB =，3(2A ∴，6BC = ，(6,0)C ∴， AD BC λ=，//AD BC ∴，设0(D x ，∴03(2AD x =- ，0)，3(2AB =- ，332-，∴0333()0222AD AB x =--+=- ，解得052x =，5(2D ∴，∴(1,0)AD = ，(6,0)BC =，∴16AD BC = ，16λ∴=，||1MN =，设(,0)M x ，则(1,0)N x +，其中05x，∴5(2DM x =- ，，3(2DN x =- ，，∴2253272113()()4(2)22422DM DN x x x x x =--+=-+=-+ ，当2x =时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．21．（2022春•海淀区校级期中）已知向量(cos ,sin )a x x =，1(,)22b =- ，函数()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小值正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）求函数()f x 在[6π，]π的最大值及对应的x 值．【解析】（1）1()cos sin()26f x a b x x x π=⋅=-+=-，则2T π=；（2）令22262k x k πππππ-+-+ ，解得[23x k ππ∈-+，22]()3k k Z ππ+∈；所以函数()f x 的单调递增区间为：[23k ππ-+，22]()3k k Z ππ+∈；（3）当[6x π∈，]π时，([06x π-∈，5]6π，则()[0f x ∈，1]．()f x ∴的最大值为1，此时62x ππ-=，即23x π=．平面向量的模的最值问题22．（2021春•海淀区校级期中）已知O ，A ，B ，C ，D 在同一平面内，||||||||1OA OB OC OD ====，且0OA OB ⋅=，则||AC BD + 的最大值为()A ．B ．2+C ．1D ．4【解析】 0OA OB ⋅= ，∴OA OB ⊥，又||||1OA OB == ，||OA OB ∴+= ．|||||()|AC BD OC OA OD OB OC OD OA OB +=-+-=+-+，当OC 、OD 与OA OB +反向时，||AC BD + 取得最大值2+故选：B ．23．（2021春•丰台区期中）已知平面上的两个单位向量a ，b 满足45a b ⋅= ，若m R ∈，则||a mb + 的最小值为()A ．52B ．25C ．53D ．35【解析】 4||||1,5a b a b ==⋅= ，∴||a mb +==== ，∴45m =-时，||a mb + 取最小值35．故选：D ．24．（2023春•东城区校级期中）已知平面向量a ，b的夹角为120︒，且||2a = ，||4b = ，则a b ⋅ 的值为，||()a tb t R -∈的最小值为．【解析】因为平面向量,a b的夹角为120︒，且||2,||4a b == ，所以1||||cos12024()42a b a b ⋅=︒=⨯⨯-=-，||a tb -====所以当14t =-时，||()a tb t R -∈ ，故答案为：-．25．（2023春•东城区校级期中）若向量,,a b c满足：,||1a b c ≠= ，且()()0a c b c -⋅-= ，则||||a b a b ++-的最小值为()A ．52B ．2C ．1D ．12【解析】设a OA =，b OB = ，c OC = ，设M 为AB 的中点，已知向量,,a b c满足：,||1a b c ≠= ，且()()0a c b c -⋅-= ，则||1OC = ，CA CB ⊥ ，则||||2||||2||2||2(||||)2||2a b a b OM BA OM CM OM CM OC ++-=+=+=+=，当且仅当O 在线段CM 上时取等号，即||||a b a b ++-的最小值为2．故选：B ．26．（2021秋•朝阳区期中）如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，1AD =，2BC =，P 是线段AB 上的动点，则|4|PC PD +的最小值为()A ．35B ．6C ．5D ．4【解析】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)B ，(2,0)C ，设(0,)A m ，(1,)D m ，(0,)P y ，所以(2,)PC y =- ，(1,)PD m y =-，所以4(6,45)PC PD m y +=-，所以|4|PC PD +=当450m y -=，即15AP AB =时，|4|PC PD + 取得最小值，为6．故选：B ．27．（2021春•东城区校级期中）已知平面向量(3,4)a = ，(9,)b x = ，(4,)c y =，且//a b ．（Ⅰ）求||b c +的最小值；（Ⅱ）若a c ⊥ ，求2m a b =- 与n a c =+的夹角．【解析】（1） (3,4)a =，(9,)b x = ，//a b ．3360x ∴-=，解得12x =，∴(9,12)b =，(4,)c y =，∴(13,12)b c y +=+，||b c ∴+=∴当12y =-时，||b c +取得最小值为13．（2）若a c ⊥，则1240a c y ⋅=+= ，3y ∴=-，∴(4,3)c =-，2(3,4)m a b =-=-- ，(7,1)n a c =+=∴25m n ⋅=- ，||5m =，||n = m 与n的夹角为θ，则cos ||||2m n m n θ⋅=== ，[0θ∈ ，]π，34πθ∴=，即2m a b =- 与n a c =+的夹角为34π．28．（2022春•海淀区校级期中）已知三角形ABC ，(2,5)A -，(1,1)B ，(2,3)C ，（1）BC =，写出一个与BC 垂直的非零向量n =；（坐标形式）（2）求cos B ；（3）若CD AB ⊥于D ，求CD ；（4）当||CB k BA +最小时，k =．【解析】（1）三角形ABC ，(2,5)A -，(1,1)B ，(2,3)C ，(1,2)BC OC OB =-=，设与BC 垂直的非零向量(,)n x y =，则(x ，)(1y ⋅，2)20x y =+=，令2x =，得1y =-，∴(2,1)n =-．（2）(3,4)BA =- ，(1,2)BC =，cos cos ,||||BA BC B BA BC BA BC ⋅∴=<>====⋅（3）cos B =sin B ∴=sin 2CD CB B ==；（4）(1CB k BA +=-，2)(3k +-，4)(13k =--，24)k -+，∴||CB kBA +==当10122255b k a -=-=-=⨯时，||CB k BA + 最小为2．故答案为：（1）(1,2)；(2,1)-；（23）2；（4）15．29．（2023春•西城区校级期中）已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，{1i λ∈-，1}，(1i =，2，3，4，5，6)，则123455||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是，最大值是．【解析】建立如图平面直角坐标系，由矩形ABCD ，得AC AB AD =+ ，BD AD AB =-，则123455||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++，1356|()(2λλλλ=-+-，24560)()(0λλλλ+-++，1)|，1356|(2()λλλλ=-+-，2456())|λλλλ-++，=则当13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=时，取得最小值为0，当21λ=，41λ=-，51λ=，61λ=-，11λ=，31λ=-时，即13564λλλλ-+-=，24562λλλλ-++=，=．故答案为：0；．30．（2022春•朝阳区校级期中）已知两个向量(1,2),(3,2)a b ==- ．（1）求||b 以及与a b + 垂直的单位向量；（2）当实数k 取何值时，向量4a kb + 与ka b + 方向相反？（3）若c a xb =+ （其中)x R ∈，求||c 的最小值．【解析】（1） 向量(1,2),(3,2)a b ==- ．∴由模长公式得||b = ，(2,4)a b +=- ，设该单位向量的坐标为(,)x y ，则2401x y -+=⎧=，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴与a b +垂直的单位向量为或(．（2）4(43,82)a kb k k +=-+ ，(3,22)ka b k k +=-+ ，当向量4a kb + 与ka b + 共线时，(43)(22)(82)(3)0k k k k -+-+-=，解得2k =或2k =-，当2k =时，4(2,12)a kb +=- ，与(1,6)ka b +=- 同向，不合题意；当2k =时，4(10,4)a kb += ，与(5,2)ka b +=-- 反向，符合题意，2k ∴=．（3）(13,22)c a xb x x =+=-+，||c == 由二次函数的性质，△2241350=-⨯⨯<，213250x x ∴++>，当113x =-时，||c取最小值，||13c = ，||c ∴31．（2021春•延庆区期中）已知1e ，2e 是两个单位向量，122a e e =- ，12sin b e e θ=+ ，123cos c e e =+ ，[0θ∈，2]π．（Ⅰ）若//a b ，求θ；（Ⅱ）若2a e ⊥ ，求||a b + 的最大值及相应的θ值；（Ⅲ）若12e e ⊥ ，1()()2a b a c -⋅-=- ，求证：tan 1θ=-．【解析】（Ⅰ）因为//a b ，所以1sin 21θ=-，故1sin 2θ=-，又因为[0θ∈，2]π，所以766ππθπ=+=，或11266ππθπ=-=．（Ⅱ）由于2a e ⊥ ，所以122(2)0e e e -⋅= ，即212220e e e ⋅-= ，又12||||1e e == ，所以1212e e ⋅= ，所以22222121212()(3(sin 1))9(sin 1)6(sin 1)a b e e e e e e θθθ+=+-=+-+⨯-⨯⋅ 2219(sin 1)6(sin 1)sin sin 72θθθθ=+-+⨯-⨯=++⋯⋯①，由于[0θ∈，2]π，所以sin [1θ∈-，1]，所以当sin 1θ=时，即2πθ=时，①式的最大值等于9，所以当2πθ=时，||a b += 3．（Ⅲ）证明：因为12e e ⊥ ，所以120e e ⋅= ，所以，1212()()[(1sin )][(1cos )]a b a c e e e e θθ-⋅-=+--⋅-+-- 221212(1sin )(1cos )(1cos 1sin )e e e e θθθθ=-+----+--++⋅ 1(1sin )(1cos )sin cos sin cos θθθθθθ=-+----=++，所以1sin cos sin cos 2θθθθ++=-，令sin cos t θθ+=，则22(sin cos )t θθ+=，21sin cos 2t θθ-=，所以21122t t -+=-，所以220t t +=，解得0t =，或2t =-，又因为sin cos )4t πθθθ=+=+，所以[t ∈，故舍去2t =-，所以0t =，即sin cos 0θθ+=，显然cos 0θ≠，所以tan 1θ=-．平面向量夹角的最值问题32．（2023春•海淀区校级期中）已知向量(,2)a x x = ，(3,2)b x =- ．（Ⅰ）若a 与b 共线，求实数x 的值；（Ⅱ）若a 与b 的夹角是钝角，求实数x 的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为a 与b 共线，且(,2)a x x = ，(3,2)b x =- ，所以22(3)x x x =⋅-，即2620x x +=，解得103x =-或．（Ⅱ）因为a 与b 的夹角是钝角，所以0a b ⋅< ．即2340x x -+<，解得0x <或43x >．检验，由（Ⅰ）知，当13x =-时，a 与b 方向相反，夹角为平角，所以，x 的取值范围是114(,(,0)(,)333-∞--+∞ ．33．（2022春•西城区校级期中）如图，ABC ∆是边长为2的等边三角形，P ，Q 分别为AB ，AC上的点，满足AP AB λ= ，)AQ AC λ=- ，其中[0λ∈，1]．（1）PQ BC ⋅ 的值为；（2）向量PQ ，BC 的夹角α的取值范围是．【解析】（1）221()()[(1)]()(1)4(1)22422PQ BC AQ AP AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB λλλλλλ⋅=-⋅-=--⋅-=--⋅+=--⨯⨯+= ；（2||PQ = ，又[0λ∈，1]，∴||[1,2]PQ ∈ ，又||2BC = ，由（1）知2PQ BC ⋅= ，∴PQ ，BC 的夹角α满足：1cos ||||||PQ BC PQ BC PQ α⋅==⋅ ，又||[1,2]PQ ∈ ，∴1cos [,1]2α∈，([0,])απ∈，∴[0,3πα∈．故答案为：2；[0,]3π．34．（2022春•西城区校级期中）已知在同一平面上的三个单位向量a ，b ，c ，它们相互之间的夹角均为120︒，且||1ka b c ++> ，则实数k 的取值范围是．【解析】根据题意，||||||1a b c === ，a < ，b b >=< ，c c >=< ，120a >=︒ ；∴111cos1202a b b c c a ===⨯⨯︒=- ；∴22222()222ka b c k a b c ka b ka c b c++=+++++ 2111112()2()2()222k k k =+++⨯-+⨯-+⨯-2211k k =-+>，即220k k ->；0k ∴<或2k >；k ∴的取值范围是(-∞，0)(2⋃，)+∞．故答案为：(-∞，0)(2⋃，)+∞．35．（2021春•朝阳区校级期中）已知点(0,1)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，平面区域P 是由所有满足(2,2)AM AB AC m n λμλμ=+<< 的点M 组成的区域，若区域P 的面积为16，则m n +的最小值为．【解析】设(,)M x y ，(3,1)AB = ，(1,3)AC =．||||AB AC == ．3cos ,5||||AB AC AB AC AB AC <>== ，4sin ,5AB AC ∴<>= ．令2AM AB = ，2AN AC = ，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMEN ，令AP mAB = ，AQ nAC = ，以AP ，AQ 为邻边作平行四边形APGQ ，(2,2)AM AB AC m n λμλμ=+<< ，∴符合条件的M 组成的区域是平行四边形EFGH ，如图所示．∴42)2)165m n --⨯=．即(2)(2)2m n --=．2(4)(2)(2)4m n m n +--- ，2(4)24m n +-∴ ，解得4m n ++．故答案为：4+．36．（2022春•顺义区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的中点，则DE CB⋅ 的值为，若点E 是AB 边上的动点，则||DE AC ⋅ 的最大值为．【解析】 ||(||cos ,)DE CB CB DE CB DE ⋅=⋅<> ，由向量投影的定义可知：||cos ,||DE CB DE BC <>= ，∴2||1DE CB BC ⋅== ，|||||||cos ,|DE AC AC DE AC DE ⋅=<> ，设AC 与BD 交于H ，由向量投影的定义可知：当E 与A 重合时，|||cos ,|DE AC DE <> 取得最大值2||2AH =，又易知||AC =∴||DE AC ⋅ 的最大值为2||||12AC AH ⋅==．故答案为：1；1．37．（2022春•大兴区期中）已知单位向量1e ，2e 的夹角为2π，且12a xe ye =+ （其中x ，)y R ∈．当1x y ==时，1a e ⋅=；当12//()a e e + 时，1||a e - 的最小值是．【解析】当1x y ==时，则12a e e =+ ，则21121112()1a e e e e e e e ⋅=+⋅=+⋅= ；当12//()a e e + 时，则12()a e e λ=+ ，则112(1)a e e e λλ-=-+ ，则1||a e -=== ，则12λ=时，1||a e - ，故答案为：1；22．38．（2022秋•北京期中）已知点A ，B ，C 在以坐标原点为圆心的单位圆上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则||PA PB PC ++ 的最大值为()A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】由于点A ，B ，C 在单位圆上运动，且AB BC ⊥，则AC 为直径，于是2(4,0)PA PC PO +==- ，设(cos ,sin )B x x ，则(cos 2,sin )PB x x =- ，于是|||(cos 6PA PB PC x ++=- ，sin )|7x ====，当且仅当cos 1x =-取等号，故||PA PB PC ++ 的最大值为：7．故选：B ．39．（2023春•朝阳区校级期中）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A ，B 两点间的距离为2，点P 为 AB 上的一点，则()PA PB PC ⋅+ 的最小值为．【解析】设D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，如图所示，则22()22()()2()()2()PA PB PC PA PD PE EA PE ED PE EA PE EA PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=+⋅-=- ，在正三角形ABC 中，AD ===所以AE DE ==所以2223()2()22PA PB PC PE EA PE ⋅+=-=- ，因为CE ===所以||2||2min PE CE =-=-所以()PA PB PC ⋅+ 的最小值为：2237322(2)10222PE -=--=-故答案为：10-．40．（2021春•石景山区校级期中）已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，且||||||a b c >> ，则a b ⋅ ，b c ⋅ ，c a ⋅ 中最小的值是()A ．a b ⋅ B ．b c ⋅ C ．c a ⋅ D ．无法确定【解析】由向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，且||||||a b c >> ，则20a a b a c +⋅+⋅= ，20a b b b c ⋅++⋅= ，20a c b c c ⋅+⋅+= ，所以2a a b a c =-⋅-⋅ ，2b b a b c =-⋅-⋅ ，2c c a c b =-⋅-⋅ ，因为222a b c >> ，所以a b a c b a b c c a c b -⋅-⋅>-⋅-⋅>-⋅-⋅ ，整理得a b a c b c ⋅<⋅<⋅ ．故选：A ．41．（2022春•朝阳区校级期中）若24AB AC AB ⋅== ，且||1AP = ，则||AB = ，CP AB ⋅ 的最大值为．【解析】因为24AB = ，所以||2AB = ，因为()4||||cos CP AB AP AC AB AP AB AC AB AP AB AB AC AP AB AP AB AP ⋅=-⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=⋅⋅< ，412cos AB AP >-=⋅⋅< ，42cos AB AP >-=< ，42AB >-- ，当AP < ，0AB >= 时，等号成立．所以CP AB ⋅ 的最大值是2-，故答案为：2；2-．42．（2022春•西城区校级期中）已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．①若3AB AC = ，则AB CD = ；②AP AB AD =+ ，则||AP 的最大值为．【解析】① 3AB AC = ，C ∴为AB 的靠近A 的三等分点，3322AB BC ∴==，1122AC BC ==，AD AB ⊥ ，1CD =，60ACD ∴∠=︒，∴331cos12024AB CD =⨯⨯︒=- ．②1CB CD == ，C ∴位于BD 的中垂线上，∴当C 为BD 的中点时，BD 取得最大值2．AB AD ⊥ ，||||||2AP AB AD AB AD BD ∴=+=-= ．43．（2022春•海淀区校级期中）如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 点在正方形内（含边界），且||||AP AB = ．①若||||BP AB = ，则AP BP ⋅ 的值是；②若向量AC DE AP λμ=+ ，则λμ+的最小值为．【解析】①：由已知得AB AP BP ==，故三角形ABP 为边长为1的等边三角形，故111cos 602BP AB ⋅=⨯︒= ．②：由已知，如图建立平面直角坐标系：由正方形的边长为1，(0,0)A ，(1,1)C ，(0,1)D ，1(,0)2E ，(cos ,sin )P αα，02πα ．由向量AC DE AP λμ=+ 得，(1，11)(,1)(cos 2λμα=-+，sin )α，得：11cos 21sin λμαλμα⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得3sin 2cos μαα=+，2sin 2cos sin 2cos ααλαα-=+．则2sin 2cos 3sin 2cos ααλμαα-++=+，[0,]2πα∈．令2sin 2cos 3()sin 2cos f ααααα-+=+，[0,2πα∈．故266sin 3cos ()(sin 2cos )f ααααα-+'=+，显然，分子66sin 3cos 0αα-+ 在[0，2π上恒成立，故()0f α' 恒成立，即()f α在[0，]2π上单调递增，故1()(0)2min f f α==．λμ+取最小值12．故答案为：12，12．44．（2023秋•东城区校级期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为该正六边形的中心，圆O 的半径为2，圆O 的直径//MN CD ，点P 在正六边形的边上运动，则PM PN ⋅ 的最小值为．【解析】如图，连结PO ，显然OM ON =- ，则222()()()()4PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，点P 在正六边形ABCDEF 的边上运动，O 是其中心，因此||PO 的最小值等于中心O 到正六边形的边的距离，又中心O 到正六边形的边的距离为342⨯=，所以PM PN ⋅ 的最大值为248-=．故答案为：8．45．（2023春•西城区校级期中）正ABC ∆的边长为1，中心为点O ，过O 的动直线l 与边AB 、AC分别相交于点M 、N ，AM AB λ= ，AN AC μ= ，BD DC = ，0λμ≠，给出下列四个结论：①1133AO AB AC =+ ；②若2AN NC = ，则14AD NC ⋅=- ；③11λμ+不是定值，与直线l 的位置有关；④AM AN ⋅ 的最小值为29．其中所有正确结论的序号是．【解析】 BD DC = ，D ∴为BC 的中点，则11111()22222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，O 为正ABC ∆的中心，∴211333AO AD AB AC ==+ ，故①正确；若2AN NC = ，则13NC AC = ，211||||cos 122AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=⨯= ，∴2111111()()223664AD NC AB AC AC AB AC AC ⋅=+⋅=⋅+= ，故②错误；M ，O ，N 三点共线，设()MO tMN t R =∈ ，即()AO AM t AN AM -=- ，∴(1)AO t AM t AN =-+ ，AM AB λ= ，AN AC μ= ，∴11113333AO AB AC AM AN λμ=+=+ ， AM 、AN 不共线，∴由平面向量基本定理可得11313t t λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11133λμ+=，∴113λμ+=，故③错误； 过O 的动直线l 与边AB 、AC 分别相交于点M 、N ，AM AB λ= ，AN AC μ=，01λ∴< ，01μ<，由113λμ=+49λμ ，当且仅当23λμ==时，等号成立，12||||cos 329AM AN AB AC AB AC AB AC πλμλμλμλμ⋅=⋅=⋅=⋅= ，当且仅当23λμ==时等号成立，故AM AN ⋅ 的最小值为29，故④正确．故答案为：①④．46．（2023春•西城区校级期中）已知向量(cos ,sin )a x x =，(2cos )b x x = ．（1）若[0x ∈，]π，当//a b 时，求x 的值；（2）若()f x a b =⋅ ．（ⅰ）求()f x 的最小正周期；（ⅱ）当[0x ∈，]m 时，()f x 可以取得2次最大值，求m 的取值范围．【解析】（1）由题设22sin cos x x x =21)sin 2x x +=，所以sin 222sin(2)3x x x π=-=sin(2)3x π-=，由52[,]333x πππ-∈-，故233x ππ-=或2233x ππ-=，则3x π=或2x π=．（2）由2()2cos cos cos 2212sin(2)16f x x x x x x x π=+=++=++，()()i f x 的最小正周期22T ππ==；()ii 由题设[0x ∈，]m 可得2[66x ππ+∈，2]6m π+，因为()f x 可以取得2次最大值，所以5226m ππ+ ，故76m π ，故m 的取值范围为7{|}6m m π ．。

2020北京各区一模数学试题分类汇编--应用题（2020海淀一模）形如221n (n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ） (参考数据: lg 2≈0.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B 【解析】32521F ,设322m ，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m . 9.63291010m ，故5F 的位数是10，故选：B ．（2020西城一模）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.【答案】②③【解析】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.故答案为：②③.（2020东城一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）【答案】②③【解析】由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+,0,0k b ><,即k 为票价,当0k =时,y b =,则b -为固定成本,由图象(2)知,直线向上平移,k 不变,即票价不变,b 变大,则b -变小,成本减小.故①错误,②正确;由图象(3)知,直线与y 轴的交点不变,直线斜率变大,k 变大,即提高票价,b 不变,则b -不变,成本不变.故③正确,④错误;故答案为:②③（2020东城一模）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）A. 10天B. 15天C. 19天D. 2天 【答案】C【解析】设荷叶覆盖水面的初始面积为a ，则x 天后荷叶覆盖水面的面积()2x y a x *=⋅∈N ， 根据题意，令()20222x a a ⋅=⋅，解得19x =，故选：C.（2020东城一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩， 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩， 即212b c e x +++=，当b =c =e ＝0时，x 的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.（2020朝阳区一模）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.【答案】15【解析】因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加中签率0.90.190.71-=， 因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，所以至少需要邀请0.714.20.05=，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动. 故答案为：15（2020石景山一模）长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【解析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a b c d ,,,， 则13,1,,,a b c d d c d a b b c a b +++=≥+≤+<<所以13(),7,6a b a b a b c d -+≤+∴+≥+≤，若7,a b +=则6,3,4,5,1c d a b a b c d +=<∴====，若8,a b +≥则5,14,3,5c d d c b c b a b +≤≥∴≤∴≤≥矛盾队长为小学中级时，去掉队长则2,4,5,1a b c d ====，满足11,64,45,24d c d a b b c a b =≥+=≤+==<==<=；队长为小学高级时，去掉队长则3,3,5,1a b c d ====，不满足a b <；队长为中学中级时，去掉队长则3,4,4,1a b c d ====，不满足b c <；队长为中学高级时，去掉队长则3,3,5,0a b c d ====，不满足1d ≥；综上可得队长为小学中级.（2020怀柔一模）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．【答案】1120【解析】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30解得，x ＝1150，1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元．（2020怀柔一模） “割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈）A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14【答案】C【解析】设圆的半径为r ， 以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形 且顶角为3601524= 所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152⋅⋅⋅⋅=r r r 所以2212sin1512sin15 3.11ππ=⇒=≈r r故选：C（2020密云一模）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.【答案】 (1). 16 (2). 21【解析】某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为451216a =⨯=，1(12)12712n n S ⨯-==-， 解得7n =，∴第715121+-=天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：16，21．（2020顺义区一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）【答案】②③【解析】解:由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+,0,0k b ><,即k 为票价,当0k =时,y b =,则b -为固定成本,由图象(2)知,直线向上平移,k 不变即票价不变,b 变大,则b -变小,成本减小.故①错误,②正确;由图象(3)知,直线与y 轴的交点不变,直线斜率变大, k 变大,即提高票价,b 不变,则b -不变,成本不变.故③正确,④错误;故答案为:②③（2020延庆一模）某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）( )A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年 【答案】B【解析】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22x x +=） B 产品的年产量为1640(140()55x x +=）， ,依题意若A产品的年产量会超过B产品的年产量，则3610()40()25x x>化简得154x x+>，即lg5(1)lg4x x>+，所以2lg213lg2x>-，又20.3010lg=，则2lg26.206213lg2≈-所以至少经过7年A产品的年产量会超过B产品的年产量.故选：B（2020延庆一模）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.【答案】①16；②29【解析】①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为①16；②29．努力的你，未来可期!。