高中数学人教版选修1-1习题：第3章 导数及其应用3.1.1、2 含解析

选修1-1 第三章 3.1 3.1.3一、选择题1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是导学号 92600557 ( )A．在点x0处的斜率B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率[答案] C[解析] 由导数的几何意义可知函数y＝f(x)在x＝x0的导数f ′(x0)，即为曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为导学号 92600558 ( )A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)C．(2,8) D．(－12，－18)[答案] B[解析] ∵y＝x3，∴y′＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0Δx3＋3x·Δx2＋3x2·ΔxΔx＝limΔx→0(Δx2＋3x·Δx＋3x2)＝3x2. 令3x2＝3，得x＝±1，∴点P的坐标为(1,1)，(－1，－1)．3．(2016·重庆一中高二月考)已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为导学号 92600559( )A．3,3 B．3，－1C．－1,3 D．－1，－1[答案] B[解析] 由已知得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故选B.4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为导学号 92600560( ) A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2[答案] A[解析]∵f ′(x)＝limΔx→0(Δx＋x)3－2(Δx＋x)＋1－x3＋2x－1Δx＝limΔx→0Δx3＋3x·Δx2＋3x2·Δx－2ΔxΔx＝limΔx→0(Δx2＋3x·Δx＋3x2－2)＝3x2－2，∴f ′(1)＝3－2＝1，∴切线的方程为y＝x－1.5．已知曲线f(x)＝12x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为导学号 92600561( )A．－2 B．－1 C．1 D．2[答案] D[解析] Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝12(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－12x2－2x＝x·Δx＋12(Δx)2＋2Δx，∴ΔyΔx＝x＋12Δx＋2，∴f ′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝x＋2.设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝x0＋2.由已知x0＋2＝4，∴x0＝2，故选D.6．(2016·山东临沂一中高二检测)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是导学号 92600562( )A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)[答案] B[解析] 从图象上可以看出f(x)在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f′(3)<f′(2)，此两点处的斜率f(3)－f(2)3－2比f(x)在x＝2处的切线的斜率小，比f(x)在x＝3处的切线的斜率大，所以0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选B.二、填空题7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f ′(2)＝________.导学号 92600563[答案] 12。

描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

3.1.3 导数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1.若曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为3x+y+5=0,则( )A.f'(x 0)>0B.f'(x 0)<0C.f'(x )=0D.f'(x 0)不存在2.已知曲线y =12x2−2上一点P (1,-32),则过点P 的切线的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.135°D.165°y =1x2−2,∴y'=limΔx →012(x+Δx )2-2-(12x 2-2)Δx =limΔx →012(Δx )2+x ·ΔxΔx=lim Δx →0(x +12Δx)=x.∴y'|x=1=1.∴点P (1,-32)处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45°. 3.曲线y=x 3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2x=1=lim Δx →0(1+Δx )3-2(1+Δx )+1-(13-2×1+1)Δx=1,因此曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1. 4.若曲线y=ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a 等于( ) A.1 B .12C.−12D.−1y'=limΔx→0a(1+Δx)2-a×12Δx=limΔx→0(2a+aΔx)=2a,∴2a=2,∴a=1.又直线2x-y-6=0不过(1,1)点,∴a=1即为所求.5.函数y=f(x)的图象如图,下列数值排序正确的是()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3).由图可知f'(3)<f'(2).作出过A(2,f(2))与B(3,f(3))两点的直线,斜率k AB=f(3)-f(2)3-2=f(3)−f(2).设点(2,f(2))处的切线斜率为k1,点(3,f(3))处的切线斜率为k2, 由图可得k2<k AB<k1.6.曲线y=x2-2x+2在点(2,2)处的切线方程为.Δy=(2+Δx)2-2(2+Δx)+2-(22-2×2+2)=2Δx+(Δx)2,∴ΔyΔx=2+Δx.∴y'|x=2=limΔx→0(2+Δx)=2.∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2.∴切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.x-y-2=07.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=12x+2,则f(1)+f′(1)=.M处的切线方程y=12x+2,得f(1)=12×1+2=52,f′(1)=12,则f(1)+f'(1)=52+12=3.8.已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3在点x0处的切线平行,则x0=.y=x2-1,得y′|x=x0=2x0,由y=1-x3,得y′|x=x0=−3x02.由题意得2x0=-3x02,即3x02+2x0=0.解得x0=0或x0=−23.或−239.在抛物线y=x2上求一点P,使在该点处的切线垂直于直线2x-6y+5=0.P的坐标为(x0,y0),则抛物线y=x2在点P处的切线斜率为y′|x=x0=limΔx→0(x0+Δx)2-x02Δx=2x0.直线2x-6y+5=0的斜率为1,由题设知2x0·1=−1,解得x0=−3,此时y0=94,故点P的坐标为(-32,94).10.若函数f(x)=x−1,求它与x轴交点处的切线的方程.f(x)=x−1=0,得x=±1,即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).∵f'(x)=limΔx→0(x+Δx)-1x+Δx-x+1xΔx=limΔx→0[1+1x(x+Δx)]=1+1x2,∴切线的斜率k=1+1=2.∴切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1),即2x-y-2=0或2x-y+2=0.能力提升1.设f(x)为可导函数且满足lim-2x→0f(1)-f(1-2x)2x=−1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2lim →0f(1)-f(1-2x)=lim-2x→0f(1-2x)-f(1)-2x=lim-2x→0f[1+(-2x)]-f(1)-2x=f′(1)=−1.2.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)(x)=limΔx→0(x+Δx)3+(x+Δx)-2-(x3+x-2)Δx=limΔx→0(3x2+1)·Δx+3x(Δx)2+(Δx)3Δx=3x2+1.因为曲线f(x)=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在点P0处的导数值等于4.设点P0(x0,y0),有f'(x0)=3x02+1=4,解得x0=±1,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).3.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1切点(0,b)在切线x-y+1=0上,∴b=1.∴y=x2+ax+1.∵y'=limΔx→0(x+Δx)2+a(x+Δx)+1-x2-ax-1=limΔx→02x·Δx+(Δx)2+aΔx=limΔx→0(2x+Δx+a)=2x+a,∴y'|x=0=a=1.4.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为[π4,π2 ],则点P的横坐标的取值范围为()A.(-∞,12]B.[−1,0]C.[0,1]D.[-12,+∞)5.已知曲线y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba=.★6.曲线y=1x和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是.7.已知直线l:y=4x+a和曲线C:f(x)=x3-2x2+3相切.求切点的坐标及a的值.l与曲线C相切于点P(x0,y0),f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)=limΔx→0(x+Δx)3-2(x+Δx)2+3-(x3-2x2+3)Δx=3x2-4x.由题意可知k=4,即3x02−4x0=4,解得x0=−23或x0=2.因此切点坐标为(-23,4927)或(2,3),当切点为(-23,4927)时,有4927=4×(-23)+a,解得a=12127.当切点为(2,3)时,有3=4×2+a, 解得a=-5.故切点为(-23,4927),a=12127或切点为(2,3),a=-5.★8.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.ΔyΔx=(x+Δx)2+1-(x2+1)Δx=2x+Δx,得y'=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(2x+Δx)=2x.设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=y′|x=x0=2x0,由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).又因为切线过点(1,a),y0=x02+1,所以a-(x02+1)=2x0(1−x0),即x02−2x0+a−1=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是(-∞,2).。