1.5 全称量词与存在量词

1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。

1.5全称量词与存在量词【学习目标】1．能够记住全称量词和存在量词的概念．2．学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假．3．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定．【学习重点】1、用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题2、能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定【学习过程】一全称量词与存在量词概念1：全称量词下列语句是命题吗？比较（１）和（３），（２）和（４），它们之间有什么关系？（１）x＞３；（２）２x＋１是整数；（３）对所有的x∈R，x＞３；（４）对任意一个x∈Z，２x＋１是整数．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题形式：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀x∈M，p(x)”练习1 下列命题中全称量词命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的正方形不是菱形；④三角形的内角和是180°.练习2 判断下列全称量词命题的真假：（１）所有的素数都是奇数；（２）∀x∈R，｜x｜＋１≥１；（３）对任意一个无理数x，x２也是无理数．概念2存在量词下列语句是命题吗？比较（１）和（３），（２）和（４），它们之间有什么关系？（１）２x＋１＝３；（２）x能被２和３整除；（３）存在一个x∈R，使２x＋１＝３；（４）至少有一个x∈Z，x能被２和３整除短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号记为“∃x∈M，p(x)”练习3下列命题中存在量词命题的个数是()①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．探究一判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)对顶角相等；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．（7）有一个实数狓，使x２＋２x＋３＝０；(8）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；（9）有些平行四边形是菱形变式1．用全称量词或存在量词表示下列语句(1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x2＋12x ＋1也是有理数； (3)方程3x －2y ＝10有整数解；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直概念3思考：写出下列命题的否定：（１）所有的矩形都是平行四边形；（２）每一个素数都是奇数；（３）∀x ∈R ，x ＋｜x ｜≥０．它们与原命题在形式上有什么变化？从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题．一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把 “所有的”“任意 一个”等全称量词，变成 “并非所有的”“并非任意一个”等短语即可．也就是说，假定 全称量词命题为 “∀x∈M ，p(x)”，则它的否定为 “并非∀x∈M ，p(x)”，也就是 “∃x∈M ，使p(x )不成立”．通常用符号 “﹁p(x )”表示 “p(x )不成立”全称量词命题：∀x∈M ，p(x)， 它的否定：∃x∈M ，﹁p(x)练习4写出下列全称量词命题的否定：（１）所有能被３整除的整数都是奇数；（２）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（３）对任意x∈Z ，x ２的个位数字不等于３．概念4思考：写出下列命题的否定：（１）存在一个实数的绝对值是正数；（２）有些平行四边形是菱形；（３）∃x∈R，x２－２x＋3＝０．它们与原命题在形式上有什么变化？从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个” “有些”等存在量词，变成“不存在一个” “没有一个”等短语即可．也就是说，假定存在量词命题为“∃x∈M，p(x)”，则它的否定为“不存在x∈M，使p(x)成立”，也就是“∀x∈M，p(x)不成立”．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，﹁p(x)探究二写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)所有的方程都有实数解；(2)∀x∈R，4x2－4x＋1≥0；(3)∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)某些平行四边形是菱形．(5）任意两个等边三角形都相似；(6)∃x∈R，x2－x＋1＝0.(7)正方形都是菱形；(8)∃x∈R，使4x－3>x；(9)∀x∈R，有x＋1＝2x；探究三已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．变式3是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由【当堂检测】1．下列命题中，不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘0都等于0B．自然数都是正整数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．一定存在没有最大值的二次函数2．下列命题中，存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．0B．1C．2D．33．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是()A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>34．对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假．(1)∃x∈R，|x|＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点．答案解析一全称量词与存在量词概念1：全称量词练习1 下列命题中全称量词命题的个数是(3)①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的正方形不是菱形；④三角形的内角和是180°.练习2 判断下列全称量词命题的真假：（１）所有的素数都是奇数；假（２）∀x∈R，｜x｜＋１≥１；真（３）对任意一个无理数x，x２也是无理数．假概念2存在量词练习3下列命题中存在量词命题的个数是(3)①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．探究一(1) 全称量词命题，假；(2)；存在量词命题，真；(3)全称量词命题，假；(4)存在量词命题，真；(5)全称量词命题，真；(6)存在量词命题，真；(7)存在量词命题，假；(8）存在量词命题，假；（9）有些平行四边形是菱形存在量词命题，真；概念3 思考：写出下列命题的否定：（１）有的矩形不是平行四边形（２）有的素数不是奇数（３）∃x∈R，x＋｜x｜<0练习4写出下列全称量词命题的否定：（１）有的能被3整除的数不是奇数（２）有些四边形的四个顶点不在同一个圆上（３）存在x∈Z，x２的个位数字等于３概念4 思考：写出下列命题的否定：（１）所有实数的绝对值不是正数（２）所有平行四边形不是菱形（３）∀x∈R，x２－２x＋3≠０探究二写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有的方程没有实数解，真(2）∃x∈R，4x2－4x＋10<0，假(3)∀x∈R，x2＋2x＋2>0；真(4)所有平行四边形不是菱形，假(5）有些等边三角形不相似，假(6)∀.x∈R，x２－x＋1≠0，真(7)有的正方形不是菱形，假(8)；∀x∈R，4x－3<x，假(9)∃x∈R，使x＋1≠2x，真探究三m≤1变式3 m>-4【当堂检测】1．D2．B3．C4．a≤85．(1)存在量词命题，假(2)存在量词命题，假(3)．全称量词命题，真。

1.5 全称量词与存在量词A 组-[应知应会]1．（2019秋•埇桥区期末）将命题“”改写成全称命题为 222x y xy +…()A ．对任意,,都有成立x y R ∈222x y xy +…B ．存在,,使成立x y R ∈222x y xy +…C ．对任意,,都有成立0x >0y >222x y xy +…D ．存在,,使成立0x <0y <222x y xy +…【分析】直接把命题改写成含有全称量词的命题即可．【解答】解：命题“”是指对任意,,都有成立,222x y xy +…x y R ∈222x y xy +…故命题“”改写成全称命题为：对任意,,都有成立．222x y xy +…x y R ∈222x y xy +…故选：．A 2．下列全称命题的否定形式中,假命题的个数是 ()（1）所有能被3整除的数能被6整除（2）所有实数的绝对值是正数（3）,的个位数不是2．x Z ∀∈2x A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】（1）写出原命题的否定形式,再举例判断即可；（2）写出原命题的否定形式,再举例,,不是正数,判断即可；00x R =∈|0|0=（3）由,,,,,,,,,,可知,的个位数不是2,写出其否定形式,可判断（3）．200=211=224=239=2416=2525=2636=2749=2864=2981=x Z ∀∈2x 【解答】解：（1）“所有能被3整除的数能被6整除”的否定形式为“能被3整除的数不能被6整除”正确,如3,是能被3整除,不能被6整除的数,故（1）的否定∃形式正确；（2）所有实数的绝对值是正数,其否定为：,,不是正数,故（2）的否定形式正确；00x R ∃=∈|0|0=（3）因为,,,,,,,,,,200=211=224=239=2416=2525=2636=2749=2864=2981=所以,的个位数不是2的否定形式为：,的个位数是2,错误．x Z ∀∈2x x Z ∃∈2x综上所述,以上全称命题的否定形式中,假命题的个数是1个,故选：．B3．下列特称命题中假命题的个数是 ()①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】①从实数的组成可知②从三角形的类型入手③正方形是特殊的菱形,一一进行判断即可．【解答】解：在①中若,是无限不循环小数,故真；x π=在②中若边长为3.4.5的三角形不是等腰三角形,故真；在③中有一个内角为90度的菱形是正方形,故真；其中①②③全是真命题．故选：．A 4．（2020•广元模拟）已知集合,,,下列命题为假命题的是 2{|28}A x x x =-…{2B =-0}()A ．,B ．,C ．,D ．,0x A ∃∈0x B ∈0x B ∃∈0x A ∈x A ∀∈x B ∈x B ∀∈x A∈【分析】先求出集合,再根据,之间的关系即可求解结论．A AB 【解答】解：因为集合；2{|28}{|24}A x x x x x =-=-………,,{2B =- 0}A ⊆,；x A ∴∀∈x B ∈故选：．C 5．命题“对任何,”的否定是 ．x R ∈|2||4|3x x -+->【分析】利用全称命题的否定是特称命题,可求命题的否定．【解答】解：因为命题为全称命题,根据全称命题的否定是特称命题得到命题“对任何,”的否定是：存在,使得．x R ∈|2||4|3x x -+->x R ∈|2||4|3x x -+-…故参考答案为：存在,使得．x R ∈|2||4|3x x -+-…6．（2019秋•长宁区期末）命题“若,则”是真命题,则实数的范围是 ．1x >x a >a 【分析】根据命题是真命题,转化为两个集合之间的关系建立条件关系即可得到结论．【解答】解：“若,则”是真命题,1x >x a >则,,,(1)(a +∞⊆)+∞,1a ∴…即实数的取值范围是,a 1a …故参考答案为：．1a …7．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：∀∃（1）任意实数的平方大于或等于0；（2）对任意实数,二次函数的图象关于轴对称；a 2y x a =+y （3）存在整数,,使得；x y 243x y +=（4）存在一个无理数,它的立方是有理数．【分析】利用全称量词、存在量词的意义即可得出命题．【解答】解：（1）,则,为真命题；x R ∀∈20x …（2）,则二次函数的图象关于轴对称,为真命题；a R ∀∈2y x a =+y （3）,,使得,为假命题；x ∃y Z ∈243x y +=（4）,使得,为真命题．0R x Q ∃∈ð30x Q ∈8．判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定：（1）：对任意的,都成立；p x R ∈210x x ++=（2）,．:p x R ∃∈2250x x ++>【分析】利用全称命题和特称命题的定义分别判断,然后写出它们的否定．【解答】解：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此,：存在一个,使成立,即“,使成立”；p ⌝x R ∈210x x ++≠x R ∃∈210x x ++≠（2）由于“”表示存在一个实数,即命题中含有存在量词“存在一个”,x R ∃∈x 因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,：对任意一个都有,即“,”．p ⌝x 2250x x ++…x R ∀∈2250x x ++…9．（2019秋•怀仁市校级期末）写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）,方程必有实根；:p x R ∀∈20x x m +-=（2）,使得．:q x R ∃∈210x x ++…【分析】命题的否定即命题的对立面．可根据如下规则书写：“全称量词”与“存在量词”正好组成了意义相反的表述．如“对所有的都成立”与“至少有一个⋯不成立”；“都是”与“不都是”等,所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．⋯【解答】解：（1）．方程无实数根；:p m R ⌝∃∈20x x m +-=由于当时,方程的根的判别式△,1m =-20x x m +-=0<方程无实数根,故其是真命题．∴20x x m +-=（2）,使得；:q x R ⌝∀∈210x x ++>由于,22131(024x x x ++=++>故其是真命题．B 组-[素养提升]（2019秋•沈阳期末）设,,若是真命题,则实数的取值范围是 ．:p x R ∀∈20x x a ++…p a 【分析】由含参不等式恒成立问题,得：,等价于△,解不等式即可得的取值范围．x R ∀∈20x x a ++…0…a 【解答】解：若,,是真命题,则△,解得；:p x R ∀∈20x x a ++...140a =- (1)4a …故的取值范围是：；a 14a …故参考答案为：．14a …知识改变命运。

1．全称量词与全称命题(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)．(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．3．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)．(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．4．命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，特称命题的否定是全称命题．5．常见的命题的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x∈A使p(x)假知识梳理【提醒】因为命题p与⌝p的真假性相反，所以不管是全称命题还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假。

考点一：全称命题与特称命题的判定例1判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解．(2)存在实数x，使得213 234x x =-+.【答案】（1）假命题；（2）假命题.【解析】(1)该命题是全称命题．当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．(2)该命题是特称命题．∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴2113 2324x x ≤<-+.故该命题是假命题．练习1把下列定理表示的命题写成含有量词的命题: (1)勾股定理;例题解析(2)三角形内角和定理.【答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和;(2)所有三角形的内角和都是180°.【解析】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；(2)所有三角形的内角和都是180°.练习2用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假：(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称；(3)存在整数x ，y ，使得243x y +=；(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.【答案】(1)2,0x R x ∀∈.真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈，真命题.【解析】(1)2,0x R x ∀∈≥，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈.真命题,例如32x x Q ==∈.【名师点睛】1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．考点二：全称命题与特称命题的真假判断例2写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（1）任意实数都存在倒数；（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；（3）{|x x x ∀∈是三角形},x 的内角和是180︒.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）存在一个实数不存在倒数，例如:实数0,故此命题为真命题；（2）所有平行四边形的对角线相等，例如：边长为1,一个内角为60的菱形,其对角线分别为故此命题为假命题；（3）{|x x x ∃∈是三角形},x 的内角和不是180︒，由三角形的内角和定理知,任意三角形内角和均为180︒,故此命题为假命题.练习1判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题【解析】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；（2）假命题，因为若n 为整数，则(1)n n +必为偶数；（3）真命题，因为π是无理数，2π是无理数.练习2判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【解析】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【名师点睛】1.全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可． 2．特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．考点三：利用全称命题和特称命题的真假求参数范围例3若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．2{|}2a a -≤≤B ．2{2}|a a a ≤-≥或C ．2{|2}a a -<<D ．2{}2|a a a <->或【答案】B【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则需满足240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-.故选：B .练习1若“x ∃∈R ，220x x a +-<”是真命题，则实数a 的取值范围是____．【答案】{|1}a a【解析】若“∃x ∈R ，x 2+2x ﹣a ＜0”是真命题，则△＞0，即4+4a ＞0，解得a ＞﹣1． 故答案为{}1a a -练习2已知命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++.若p 与q 均为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】[0,1]【解析】 :p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++，:p x R ∴⌝∃∈，2210ax x ++=，:q x R ⌝∀∈，210ax ax ++>.因为p 与q 均为假命题，所以p ⌝与q ⌝都是真命题.由p ⌝为真命题得0a =或0,440,a a ≠⎧⎨-≥⎩，故1a ≤. 由q ⌝为真命题得0a =或20,40,a a a >⎧⎨-<⎩，故04a ≤< .1,04,a a ⎧∴⎨<⎩解得01a ≤≤. 故实数a 的取值范围是[0,1].考点四：全称命题、特称命题的否定例4命题“0x ∀>，20x >”的否定是（ ）A ．20,0x x ∀>≤B ．20,0x x ∃>≤C ．20,0x x ∀≤≤D ．20,0x x ∃≤≤【答案】B【解析】 命题“0x ∀>，20x >”的否定是: 20,0x x ∃>≤,故选B练习1命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______．【答案】2,10x R x x ∀∈-+≠【解析】根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“x R ∃∈，210x x -+=”的否定是“”.练习2写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是180°.【答案】（1）存在一个分数不是有理数；（2）有些三角形的内角和不是180°.【解析】（1）原命题省略了全称量词“所有"，所以该命题的否定：存在一个分数不是有理数.（2）原命题省略了全称量词“任何一个”，所以该命题的否定：有些三角形的内角和不是180°.【名师点睛】1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．考点五：利用全称命题与特称命题求参数的取值范围例5已知命题p ：“至少存在一个实数[1,2]x ∈，使不等式2220x ax a ++->成立”的否定为假命题，试求实数a 的取值范围．【答案】(3,)-+∞【解析】由题意知，命题p 为真命题，即2220x ax a ++->在[1,2]上有解，令222y x a a x ++=-，所以max 0y >，又因为最大值在1x =或2x =时取到， ∴只需1x =或2x =时，0y >即可，∴1220a a ++->或4420a a ++->，解得3a >-或2a >-，即3a >-．故实数a 的取值范围为(3,)-+∞．练习1若命题“12x ∀≤≤，一次函数y x m =+的图象在x 轴上方”为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】{}1m m >-【解析】当12x ≤≤时，12m x m m +≤+≤+．因为一次函数y x m =+的图象在x 轴上方，所以10m +>，即1m >-，所以实数m 的取值范围是{}1m m >-．故得解.练习2已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立.（1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),22,-∞-+∞；（2）52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】解：（1）:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥， ∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞；（2）:q 任意实数[]1,2x ∈，使12a x x ≥+恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+≤，55224a a ≥∴⇒≥， 由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a 的取值范围52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【名师点睛】(1)利用全称命题、特称命题求参数的取值范围或值是一类综合性较强、难度较大的问题．主要考查两种命题的定义及其否定.(2)全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)．反思总结1.判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[提醒] 全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．2.全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ，使得p (x )不成立即可．(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M 中，能找到一个x 使p (x )成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．3.全称量词命题与存在量词命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A ．01x ∃≤，2000x x -≤B ．1x ∀>，20x x -≤随堂检测C ．01x ∃>，2000x x -≤D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是：“01x ∃>，2000x x -≤”，故选C.2．设命题2:,21p n n n ∃∈>-N ，则命题p 的否定为（ ）A ．2,21n n n ∀∈>-NB ．2,21n n n ∀∈≤-NC ．2,21n n n ∃∈≤-ND ．2,21n n n ∃∈=-N【答案】B【解析】 解：∵命题2:,21p n n n ∃∈>-N 是一个特称命题，它的否定是一个全称命题，∴命题p 的否定为2,21n n n ∀∈≤-N ，故选：B ．3．命题“0x ∀>，20x >”的否定是（ ）A ．20,0x x ∀>≤B ．20,0x x ∃>≤C ．20,0x x ∀≤≤D ．20,0x x ∃≤≤【答案】B【解析】 命题“0x ∀>，20x >”的否定是: 20,0x x ∃>≤,故选B4．已知命题:,25x P x R ∀∈>，则p ⌝为（ ）A ．,25x x R ∀∉>B ．,25x x R ∀∈≤C ．00,25x x R ∃∈≤ D ．00,25x x R ∃∈>【答案】C【解析】 00,25x x R ∃∈≤，故选C5．已知命题p 为x R ∀∈，25220x x -+≥，则命题p 的否定为（ ）A ．x R ∀∈，25220x x -+<B ．x R ∀∈，25220x x -+≤C ．x R ∃∈，25220x x -+<D ．x R ∃∈，25220x x -+≤【答案】C【解析】由含全称量词的否定的定义可得命题p 的否定为：x R ∃∈，25220x x -+<.故选：C .6．已知命题p ：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p ⌝为（ ）A ．某班至多有一个男生爱踢足球B ．某班至少有一个男生不爱踢足球C ．某班所有的男生都不爱踢足球D ．某班所有的女生都不爱踢足球 【答案】B【解析】解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，故其否定为“某班至少有一个男生不爱踢足球”．故选：B ．7．已知命题:p x ∃∈R ，2210ax x ++=，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{|1}a a B ．{|1}a a < C ．{|1}a a D ．{|1}a a ≤【答案】C【解析】∵:p x ∃∈R ，2210ax x ++=，∴:p x ⌝∀∈R ，2210ax x ++≠.∵命题p 为假命题，∴命题p ⌝为真命题，∴当x ∈R 时，方程210ax ax ++=没有实数根，∴440a ∆=-<，即1a >.∴实数a 的取值范围是{|1}a a .故选：C.8．已知命题“21,4(2)04x R x a x ∃∈+-+”是假命题，则实数a 的取值范围为() A ．(),0-∞ B ．[]0,4 C ．[)4,+∞ D ．()0,4【答案】D【解析】因为命题“21,4(2)04x R x a x ∃∈+-+”是假命题，所以否定形式为“21,4(2)04x R x a x ∀∈+-+>”是真命题， 则221(2)44404a a a ∆=--⨯⨯=-<，解得04a <<，故选D. 9．已知命题p ：“[1,2]x ∀∈，20x a -≥”，命题q ：“x ∃∈R ，2240x ax ++=”．若命题p ⌝和命题q 都是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤-或1a =B ．2a ≤-或12a ≤≤C ．1a ≥D ．2a ≥【答案】D【解析】若[1,2]x ∀∈，20x a -≥，则2a x ≤，∴1a ≤．若x ∃∈R ，2240x ax ++=，则2(2)160a ∆=-≥， 解得2a ≤-或2a ≥．∵命题p ⌝和命题q 都是真命题，∴12a a >⎧⎨≤-⎩或12a a >⎧⎨≥⎩， ∴2a ≥．故选：D ．10．已知命题:3p x ∀>，x m >为真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3m ≤B ．3m ≥C ．3m <D ．3m >【答案】A【解析】由:3p x ∀>,x m >为真命题,故m 的取值不超过3,即3m ≤.故选：A.11．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）A ．2,210x R x x ∀∈++>B ．所有菱形的4条边都相等C ．若2x 为偶数，则x ∈ND ．π是无理数【答案】B【解析】四个选项中AB 是全称量词命题对于A ：2,210x R x x ∀∈++>当1x =-时，不成立，为假命题. 对于B ：根据菱形定义知：所有菱形的4条边都相等，为真命题.故选：B12．下列四个命题，其中真命题是（ ）A ．n ∀∈R ，2n nB ．x R ∃∈，210x +<C ．x R ∀∈，224213x x x >-+D ．,x y Z ∃∈，3210x y -= 【答案】D【解析】对于A ，当12n =时，2n n 显然不成立，假命题；对于B ，x R ∃∈，210x +＞，假命题；对于C ，当1x =时，两边显然相等，假命题；对于D ，当4,1x y ==时，3210x y -=显然成立，真命题；故选：D13．命题“x R ∀∈，21x x +>”的否定为______.【答案】x R ∃∈，21x x +≤【解析】已知命题为全称命题，则命题的否定为：x R ∃∈，21x x +≤,故答案为：x R ∃∈，21x x +≤．14．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______．【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，，则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．15．若命题“x R ∃∈，210x ax -+<”是真命题，则实数a 的取值范围是________.【答案】(,2)(2,)-∞-+∞【解析】由题意240a ∆=->，解得2a <-或2a >．故答案为：(,2)(2,)-∞-+∞．16．已知命题p ：存在x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋a≤0. 若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为________.【答案】(0,1)【解析】命题p ：∃x ∈R ，x 2+2ax+a≤0的否定为命题p ：∀x ∈R ，x 2+2ax+a ＞0∵命题p 为假命题∴命题￢p 为真命题即x 2+2ax+a ＞0恒成立∴△=4a 2﹣4a ＜0解得0＜a ＜1故答案为（0，1）17．判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【解析】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.18．写出下列命题的否定：（1）平面内不相交的两条直线是平行直线；（2）素数是奇数．【答案】（1）平面内存在不相交的两条直线不是平行直线．（2）存在一个素数不是奇数．【解析】由题得（1）平面内存在不相交的两条直线不是平行直线；（2）存在一个素数不是奇数． 19．设集合{2,3,5,7,11,13}M =,写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:(1),1x M x ∀∈>；(2),x M x ∃∈不是素数.【答案】(1)否定:,1x M x ∃∈.假命题；(2)否定:,x M x ∀∈是素数.真命题.【解析】（1）否定:,1x M x ∃∈≤，假命题；(（2）否定:,x M x ∀∈是素数，真命题.20．判断下列命题的真假：（1）21,11x x ∀∈<+R ；（2）1,1x x x∃∈<+R . 【答案】（1）假命题；（2）真命题.【解析】（1）21,11x x ∀∈<+R ； 当0x =时，2111x =+，故21,11x x ∀∈<+R 是假命题. （2）1,1x x x∃∈<+R . 取1x =，计算得到：1112x x =<+=，故1,1x x x ∃∈<+R 是真命题. 21．判断下列命题的真假：（1）222,,()x y x y x y ∃∈+=+R ；（2）222,,()2x y x y x xy y ∀∈-=-+Z .【答案】（1）真命题；（2）真命题.【解析】（1）222,,()x y x y x y ∃∈+=+R ；()2222x y x xy y +=++，当0xy =，即0x =或0y =时222()x y x y +=+，真命题；（2）222,,()2x y x y x xy y ∀∈-=-+Z .根据完全平方公式得到222()2x y x xy y -=-+，故222,,()2x y x y x xy y ∀∈-=-+Z真命题.22．已知命题2:,40p x mx x m ∃∈++>R ，若p 为假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】由题意得2:,40p x mx x m ⌝∀∈++R ，∵p 为假命题，∴p ⌝为真命题.当0m =时，对,0x x ∀∈R 不恒成立，不符合题意；当0m ≠时，得20,1160,m m <⎧⎨∆=-⎩∴0,11,44m m m <⎧⎪⎨-⎪⎩或 ∴14m -， ∴实数m 的取值范围为1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A ．∃x >1，x 2－2x －3＝0 课后练习B．若2x为偶数，则x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数【答案】C【解析】对于A，是存在量词命题，故A不正确；对于B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆【答案】A【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.3．下列命题为真命题的是()A．存在x∈Q，使方程2x－2＝0有解B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数【答案】C【解析】A.2x－2＝0⇔x＝2∉Q，故A错误；B ．∵x 2＋2x ＋4＝(x ＋1)2＋3≥3，∴存在一个实数x ，使x 2＋2x ＋4＝0错误．C ．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数正确，D ．2是质数，但2不是奇数，故D 错误，故选C.4．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( )A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∀x ∉Q ，有x ∉PC ．∃x ∉Q ，使得x ∈PD ．∃x ∈P ，使得x ∉Q【答案】B【解析】∵P ∩Q ＝P ，∴P ⊆Q ，如图，∴A 错误；B 正确；C 错误；D 错误．故选B.5．已知命题p ：∃x >0，x ＋a －1＝0，若p 为假命题，则a 的取值范围是( )A ．{a |a <－1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a >1}D ．{a |a ≤－1}【答案】B【解析】∵p 为假命题，∴綈p 为真命题，即：∀x >0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ，∴1－a ≤0，则a ≥1.∴a 的取值范围是a ≥1，故选B.6.已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(1,3)-C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-【答案】B【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-， 故选B，7．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( ) A ．∃x ∈R ，x 2－x ＋41<0 B ．所有的正方形都是矩形C ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0【答案】AC【解析】命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D 为真命题，故选A 、C.8.(多选)下列命题错误的是( )A ．∀x ∈{－1，1}，2x ＋1>0B ．∃x ∈Q ，x 2＝3C ．∀x ∈R ，x 2－1>0D ．∃x ∈N ，|x |≤0【答案】ABC【解析】对于A ，x ＝－1时，不合题意，A 错误；对于B ，x ＝±3，B 错误；对于C ，比如x ＝0时，－1<0，C 错误；D 选项正确．9．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x ，使x 2＋2<0;③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．【答案】①③④【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈R ，x 2＋2＞0，所以不存在实数x ，使x 2＋2<0，为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.10．若命题p ：∀x ∈R ，21-x <0，则¬p ：________________． 【答案】∃x ∈R ，21-x >0或x －2＝0 11．若命题p ：∀a ，b ∈R ，方程ax 2＋b ＝0恰有一解，则¬p ：________________．【答案】∃a ，b ∈R ，方程ax 2＋b ＝0无解或至少有两解12.某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 范围．你认为，两位同学题中m 范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)【答案】是【解析】∵命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”．而命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，则其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”为真命题． ∴两位同学题中m 范围是一致的．13．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．【解析】(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．14．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【解析】(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x∈R.有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x －3≤x”是假命题．(3)命题的否定：∃x∈R.使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．15．写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2＋3＜0；(4)有些质数不是奇数．【解析】(1)命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数．真命题．(2)命题的否定：∃x∈R，5x－12≠0.真命题．(3)命题的否定：∃x∈R，x2＋3≥0.真命题．(4)命题的否定：所有的质数都是奇数．假命题．16．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅.(1)若命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围；(2)命题q ：“∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围．【解析】(1)由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，所以B ⊆A ，B ≠∅，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m ，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅，因为B ≠∅，所以m ≥2.所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+221251m m m ，解得2≤m ≤4.。

1.全称量词和全称量词命题(1)短语"所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.(2)将含有变量x 的语句用p(x), q(x), r(x),…表示，变量x 的取值范围用M 表示。

那么，全称量词命题“对M 中任意一个x, ,p(x)成立”可用符号简记为：)(,x x p M ∈∀2.存在量词和存在量词命题(1)短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示。

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.(2) 存在量词命题“存在M 中的元素x, p(x)成立”可用符号简记为：)(,x p M x ∈∃3.全称量词命题和存在量词命题的否定(1) 全称量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的” “任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“)(,x x p M ∈∀”，则它的否定为“并非)(,x x p M ∈∀”,也就是")(,x p M x ∈∃不成立”。

通常，用符号")(x p ⌝”表示"p(x)不成立".(2) 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：)(,x x p M ∈∀，它的否定：)(,x x p M ⌝∈∃,也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.(3)存在量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个” “至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一 个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“)(,x p M x ∈∃” ,则它的否定为“不存在M x ∈,使p(x)成立”，也就是“)(,x x p M ∈∀不成立”.(4)对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：)(,x p M x ∈∃它的否定：)(,x x p M ⌝∈∀也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.全称量词与存在量词知识讲解例1：命题“，”的否定是 ．【答案】，【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，命题“，”的否定是“，”．一、选择题 1．下列语句是存在量词命题的是（ ）A ．整数n 是2和5的倍数B ．存在整数n ，使n 能被11整除C ．若370x -=,则73x = D ．,()x M p x ∀∈ 【答案】B 【解析】对于A ，无特称量词． 对于B ，命题：存在整数n ，使n 能被11整除，含有特称量词”存在” ,故B 是特称命题．对于C ，无特称量词．对于D ，无特称量词． 故选：B ．2．下列命题是特称命题的是（ ）x ∀∈R 23210x x -+>0x ∃∈R 2003210x x -+≤x ∀∈R 23210x x -+>0x ∃∈R 2003210x x -+≤典型例题 同步练习A ．每个正方形都是矩形B ．有一个素数不是奇数C ．正数的平方必是正数D ．两个奇数之和为偶数【答案】B 【解析】选项A ，每个指所有，全称；选项C ，正数的平方指所有正数的平方，全称选项D ，两个奇数之和指任意两个两个奇数之和，全称；选项B ，有一个素数指存在一个素数，是特称命题. 3．下列命题中，全称量词命题的个数为（ ）①平行四边形的对角线互相平分；①梯形有两条边的长度不相等；①存在一个菱形，它的四条边不相等；①高二（1）班绝大多数同学是团员．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】①可改写为“任意平行四边形的对角线互相平分”，为全称量词命题①可改写为“任意梯形均有两条边的长度不相等”，为全称量词命题①为存在量词命题①可改写为“高二（1）班有的同学不是团员”，为存在量词命题∴全称量词命题为：①①4.下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（ ）A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使30x >C ．任一无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x ，使12x> 【答案】B 【解析】选项A ，C 中的命题是全称命题,选项D 中的命题是特称命题，但是假命题．只有B 既是特称命题又是真命题,选B.5．已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃>，0010x x -< B ．00x ∃≤，0010x x -< C ．0x ∀>，10x x -< D ．00x ∀≤，10x x-≥ 【答案】A 【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题，故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<；故选：A ． 6．（2020·浙江高一单元测试）命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是（ ）. A ．x R ∀∈，12x x +> B ．x R ∃∈，12x x +< C ．x R ∃∈，12x x +> D ．x R ∀∈，12x x+< 【答案】D 【解析】命题的否定为:∃改为∀,≥改为<,故否定形式为x R ∀∈，12x x+<,故选D.7．（2020·江西省都昌县第一中学高二期中（文））已知命题p ：x R ∃∈，()()2110m x ++≤，命题q ：x R ∀∈，210x mx -+>恒成立.若p q ∧为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2m ≥B ．2m ≤-或1m >-C ．2m ≤-或2m ≥D ．12m -<≤【答案】B 【解析】当命题p 为真时，10m +≤，解得1m ≤-；当命题q 为真时，24110m ∆=-⨯⨯<，解得22m -<<， 当命题p 与命题q 均为真时，则有12122m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨-<<⎩.命题p q ∧为假命题，则命题q 与命题p 至少有一个为假命题.所以此时2m ≤-或1m >-.故选：B .8．已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞ D ．(3,1)-【答案】B 【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立， 所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 9．命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．2a ≤D ．3a ≤【答案】D 【解析】2[1,2],20x x a ∃∈-≥即()2max 20x a -≥，所以420a -≥，解得2a ≤，只有D 选项3a ≤是其必要不充分条件.故选：D二、填空题1．“m A ∃∈，使得方程2210mx x -+=有两个不同的实数解”是真命题，则集合A =_________；【答案】{|10}m m m <≠且【解析】方程2210mx x -+=有两个不同的实数解，当0m =时，方程只有一个解，不符合条件，所以0m ≠且440m ∆=->，解得10m m <≠且，所以答案为{|10}m m m <≠且.2．“x R ∀∈，都有21k x ≤+恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________；【答案】1k ≤【解析】因为211x +≥，即21x +的最小值为1，要使“21k x ≤+恒成立”，只需()21min k x ≤+，即1k ≤，3．命题2:,20p x R x mx ∃∈++，若“非p ”为真命题，则m 的取值范围是_________.【答案】m -<【解析】由题意知，命题2:,20p x R x mx ∃∈++为假，即2,20x R x mx ∀∈++>恒成立，所以∆<0，所以2420m -⨯<，所以m -<<4．若命题“p ：x R ∀∈,2210ax x ++>”是假命题,则实数a 的取值范围是______．【答案】(],1-∞【解析】若命题“p ：①x ①R ，ax 2+2x +1＞0”是假命题，则①x ①R ，ax 2+2x +1≤0， 当a ＝0时，y ＝2x +1为一次函数，满足条件；当a ＜0时，y ＝ax 2+2x +1是开口朝下的二次函数，满足条件； 当a ＞0时，y ＝ax 2+2x +1是开口朝上的二次函数，则函数图象与x 轴有交点，即①＝4﹣4a ≥0，解得：0＜a ≤1 综上可得：实数a 的取值范围是：(],1-∞三、解答题1．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12m ≤≤（2）1m <或524m <≤ 【解析】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤，所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；（2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需()2min 10x x m -+-≤， 而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤， 即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤，依题意命题,p q 一真一假，若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <；若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤， 综上，1m <或524m <≤. 2．已知集合{|0}A x x a =≤≤，集合22{|34}B x m x m =+≤≤+，如果命题“m R ∃∈，使得A B ⋂≠∅”为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】3a <【解析】命题“m ∃∈R ，使得A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定命题“m R ∀∈，AB =∅”为真命题 当0a <时，集合{|0}A x x a =≤≤=∅，符合A B =∅，当0a ≥时，因为230m +>，所以m R ∀∈，A B =∅ 得23a m <+对于m R ∀∈恒成立，所以()233min a m <+=，则03a ≤<，综上，实数a 的取值范围为3a <.。