现代控制工程第二线性系统的状态空间描述剖析

现代控制工程-第2章状态空间数学模型ModernControlEngineering教材：王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2022状态空间方法是基于状态空间模型分析与设计自动控制系统。

状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。

本章首先介绍状态的概念以及状态空间模型的建立方法，然后介绍系统的状态空间模型的实现，为系统分析与设计奠定基础。

22.1状态与状态空间的概念2.2系统的状态空间模型2.3线性系统的状态空间模型与线性变换2.4控制系统的实现2.5多变量系统的传递矩阵2.6控制系统的离散状态空间模型32.1状态与状态空间的概念例：图2.1所示弹簧-阻尼器系统在外作用力F(t)已知的情况下，如果知道了物体在某一时刻的位移及速度,就能确定系统未来的动态响应。

如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来的动态响应。

物体的位移、速度及加速度这三个量显然是不独立的，可以根据其中两个量确定另外一个量，因此这个量对于描述系统状态是多余的。

可选择物体在某一时刻的位移及速度为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状42.1状态与状态空间的概念状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。

系统在各个时刻的状态是变化的，能够确定系统各个时刻状态的具有最少个数变量的一组变量称为状态变量。

以n个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状态空间。

状态轨迹：以某(t)某(t0)为起点，随着时间的推移，某(t)在状态空间绘出的一条轨迹。

52.2系统的状态空间模型2.2.1建立状态空间模型的方法描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。

描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。

系统的状态方程和输出方程组成系统的状态空间模型，或称为动态方程。

状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以又称为内部描述模型。

第二章 线性系统的状态空间描述§2-1 状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。

（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。

（如果用最少的n 个变量x 1(t)， x 2(t)，……， x n (t)就能完全描述系统的状态，那么这n 个变量就是一组状态变量。

）3、状态向量：设一个系统有n 个状态变量，即x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，用这n 个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。

记为T n t x t x t x t x )](,),(),([)(21 =4、状态空间：由n 个状态变量作为坐标轴所构成的n 维空间，称为状态空间。

引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。

从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。

其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。

与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。

5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。

例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态变量为x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x n n nn n n nn n n n ++++='++++='++++='图2-1 动力学系统结构示意图上式可写成向量—矩阵形式：其中：6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。

第2章线性系统的状态空间描述1. 状态和状态空间(2.1)2. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立(2.2,2.3, 2.4, 2.5, 2.6)3. 系统的传递函数矩阵(2.7)4. 线性系统在坐标变换下的特性(2.8)5. 组合系统的状态空间描述(2.9)11. 状态和状态空间一．几个基本定义二．系统数学描述的基本类型1、输入—输出描述（外部描述）2、状态空间描述（内部描述）22、状态空间描述（内部描述）�状态空间描述通过建立系统内部状态和系统的输入以及输出之间的数学关系，来描述系统的行为。

�状态空间描述是基于内部结构分析的数学模型，通常由两个数学方程组成。

3三、定义小结:状态变量：描述系统内部状况的变量，指构成系统状态的每一个变量。

状态变量组：对于动力学系统，完全能表征其时间域行为的一个最小变量组。

有时简称状态变量。

状态向量：是由状态变量所构成的向量。

状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组成的n维空间称为状态空间R n。

4状态变量组可完全地表征系统行为的属性体现在：只要给定这组变量在初始时刻t 0的值，以及输入变量在各瞬时t≥t0的值，则系统中任何一个变量在t ≥t时的运动行为就可以被完全确定。

关于状态变量的几点说明12()()()n x t x t x t ⋯，，，12()()()p u t u t u t ⋯，，，5状态变量组的最小性体现在：状态变量是为完全表征系统行为所必需的系统变量的最少个数，减少变量数将破坏表征的完12()()()n x t x t x t ⋯，，，全性，而增加变量数将是完全表征系统行为所不需要的。

状态变量组选取上的不唯一性：由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。

�状态变量不是所有变量的总和。

�输出量可以选作状态变量。

6�状态变量是时间域的。

�状态变量有时是不可测量的。

�输入量不允许选作状态变量。