人教版九年级数学上册同步测试题-24.3 正多边形和圆含答案

24.3 正多边形和圆同步练习2024-2025学年九年级上学期数学人教版基础题夯实知识点1正多边形的有关概念1.下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正七边形2.下列说法：①矩形是正多边形；②菱形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各边相等的圆内接多边形是正多边形.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.33.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是( )A.9B.10C.11D.12知识点2 正多边形的有关计算4.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OC,OD,则∠BAE-∠COD 的度数为 .5.⊙O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则⊙O的半径是 .6.如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD 相交于点E,则线段 BE 的长为 .7.半径为 R 的圆内接正十二边形的面积为( )A.R 24B.12R2 C.3R² D.6R²8.分别求半径为R 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积.(直接写出结果)边长边心距周长面积圆内接正三角形圆内接正方形圆内接正六边形中档题运用̂上,Q是DF̂的中点,则∠CPQ的度数为 .9.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P在AB10.如图,点P₁∼P₁是⊙O 的八等分点.若△P₁P₁P₁,四边形P₁P₁P₁P₁的周长分别为a,b,比较a,b的大小 .11.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 .12.如图,⊙O 的半径为R,六边形 ABCDEF 是圆内接正六边形,四边形 EFGH 是正方形.(1)求∠OGF 的度数;(2)求正六边形与正方形的面积比.综合题探究13.如图1，正五边形ABCDE 内接于⊙O，阅读以下作图过程，并解答下列问题，作法如图2.步骤如下:①作直径AF;②以F 为圆心,FO 为半径作圆弧,与⊙O 交于点 M,N;③连接AM,MN,NA.(1)求∠ABC的度数;(2)△AMN 是正三角形吗? 请说明理由；(3)从点 A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值.。

2020-2020度第一学期人教版九级数学上册24.3 正多边形和圆同步检测考试总分：100 分考试时间：90分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.若正多边形面积是100，周长是40，则它的边心距是（）A.5B.2.5C.10D.202.正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（）A.4√3B.6√3C.7√3D.8√33.用48m长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，那么这个场地的面积为（）A.16√3m2B.32√3m2C.√3m2D.96√3m24.如图，圆中有四条弦，每一条弦都将圆分割成面积比为1:3的两个部分，若这些弦的交点恰是一个正方形的顶点，那么这个正方形的外接圆的面积与图中阴影部分面积的比值为（）A.√2πB.2−πC.πD.2π5.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论：①∠BAC=36∘；②PB=PC；③四边形APDE是菱形；④AP=2BP．其中正确的结论是（）A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④6.如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧MN的长度为（）A.1 5πB.25π C.√35π D.13π7.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（ ）A.△CDF 的周长等于AD +CDB.FC 平分∠BFDC.AC 2+BF 2=4CD 2D.DE 2=EF ⋅CE 8.下列说法中，正确的个数为（ ） (1)经过三个点一定可以作圆；(2)任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； (3)在同圆或等圆中，相等的弦则所对的弧相等； (4)正多边形既是中心对称图形又是轴对称图形； (5)三角形的内心到三角形各边的距离相等； (6)三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等． A.2 B.4 C.3 D.59.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若半圆的半径为5cm ，则小正方形的边长为（ ）A.2cmB.2.5cmC.√5cmD.5√33cm 10.先作半径为√22的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（ ） A.(√22)6 B.(√22)7 C.(√2)6 D.(√2)7二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）11.如果一个正六边形的边心距的长度为√3cm ，那么它的半径的长度为________cm ．12.正六边形的边长为2，则它的半径为________，中心角为________，面积为________． 13.一个正六边形的内切圆半径是√3，则这个正六边形的周长是________． 14.半径为4的正六边形的中心角为________，边心距为________，面积为________．15.如图，⊙O 的外切正六边形与内接正六边形的边长之比是________．16.若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为________cm．（铁丝粗细忽略不计）17.如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A落在弧BC的中点F上，若BC=5，��折痕在△ABC内的部分DE长为________．18.若正n边形的一个内角等于它的中心角的1.5倍，则n=________．19.已知正六边形的两条对边相距20cm，则它的边长是________．20.若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3、r4、r6，则r3:r4:r6=________．三、解答题（共5 小题，每小题8 分，共40 分）21.如图所示，图形(1)，(2)，(3)，(4)分别由两个相同的正三角形，正方形，正五边形，正六边形组成．本题中我们探索各图形顶点，边数，区域三者之间的关系．（例我们规定如图(2)的顶点数为16；边数为24，像A1A，AH为边，AH不能再算边，边与边不能重叠；区域数为9，它们由八个小三角形区域和中间区域ABCDEFGH组成，它们相互独立．）(1)每个图形中各有多少个顶点？多少条边？多少个区域？请将结果填入表格中．22.盼盼同学在学习正多边形时，发现了以下一组有趣的结论：①若P是圆内接正三角形ABC的外接圆的BC^上一点，则PB+PC=PA；②若P是圆内接正四边形ABCD的外接圆的BC^上一点，则PB+PD=√2PA；③若P是圆内接正五边形ABCDE的外接圆的BC^上一点，请问PB+PE与PA有怎样的数量关系，写出结论，并加以证明；④若P是圆内接正n边形A1A2A3...A n的外接圆的A2A3^上一点，请问PA2+PA n与PA1又有怎样的数量关系，写出结论，不要求证明．23.正方形ABCD内接于⊙O，E、F分别为DA、DC的中点，过E、F作弦MN，若⊙O的半径为12．(1)求弦MN的长；(2)连结OM、ON，求圆心角∠MON的度数．24.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，连接BD、DF、FB，(1)设△BDF的面积为S1，正六边形ABCDEF的面积为S2，则S1与S2的数量关系是________；(2)△ABF通过旋转可与△CBD重合，请指出旋转中心和最小旋转角的度数．25.如图③，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且△ABE与△BCD能相互重合，DB的延长线交AE于点F．(1)在图①中，求∠AFB的度数；(2)在图②中，∠AFB的度数为________，图③中，∠AFB的度数为________；(3)继续探索，可将本题推广到一般的正n边形情况，用含n的式子表示∠AFB的度数．答案1.A2.B3.D4.C5.B6.B7.B8.B9.C10.A11.212.260∘6√313.1214.60∘2√324√315.2√3:316.20√317.10318.519.20√3cm320.1:√2:√321.解：22.解：③PB+PE与PA满足的数量关系是：PB+PE=2PA⋅cos36∘；理由如下：作AM⊥PB于M，AN⊥PE于N，∵∠APM=∠APN∴Rt△AMP≅Rt△ANP，∴AM=AN，PM=PN；∵AB=AE，∴Rt△AMB≅Rt△ANE，∴MB=NE，∴PB+PE=(PM−MB)+(PN+NE)=2PN；∵∠APE=12∠AOE，且ABCDE为正五边形，∴∠AOE=360∘5=72∘，∴∠APE=36∘；在Rt△ANP中，PNPA=cos∠APN，∴PN=PA⋅cos36∘，∴PB+PE=2PA⋅cos36∘．④若P是圆内接正n边形A1A2A3...A n的外接圆的A2A3^上一点时，PA2+PA n与PA1满足的数量关系是：PA2+PA n=2PA1cos(180n)0．23.解：(1)连接OE，OF，OD，OM，ON，∵E、F分别为DA、DC的中点，∴OE⊥AD，OF⊥CD，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=90∘，AD=CD，∴四边形OEDF是矩形，OE=OF，∴四边形OEDF是正方形，∴OG=12OD=12×12=6，OD⊥MN，∴MG=√OA2−OG2=6√3，∴MN=2MG=12√3；(2)∵在Rt △MOG 中，OM =2OG ， ∴∠M =30∘， ∵OM =ON ，∴∠N =∠M =30∘， ∴∠MON =120∘．24.解：(1)S 2=2S 1，如右图所示，连接OD 、OF 、OB ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴△BDF 是正三角形，∴△ABF 、△BDC 、△DEF 、△DOF 、△BOF 、△BOD 都是全等的， ∴S 2=2S 1；(2)旋转中心是O ，最小旋转角是120∘， 由于正n 边形关于对称中心O 旋转360∘n与自身重合，而通过观察可知△ABF 必须逆时针旋转才可以与△CBD 重合， 故旋转的角度=360∘3=120∘．25.90∘，108∘；90∘108∘(3)由(1)(2)可知，在正n 边形中，∠AFB =(n−2)⋅180∘n．。

人教版九年级数学上册《24.3正多边形和圆》同步测试题及答案1.若正多边形的一个外角为72︒，则这个正多边形的中心角的度数是( )A.18︒B.36︒C.72︒D.108︒2.如图,正六边形ABCDEF内接于圆O,点M在AF上( )A.60︒B.45︒ C.30︒ D.15︒3.若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为( )A.4B.5C.6D.74.如图，正五边形ABCDE内接于O，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，⊥DG PC垂足为G，则∠PDG等于( )A.72°B.54°C.36°D.64°5.如图，正六边形ABCDEF内接于，正六边形的周长是12，则的半径是( )A.3B.2C.22D.236.如图是半径为4的O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是( )O OA.23B.3C.2D.37.如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为( )A.32 πB.332 πC.332 2π3D.33 π8.如图,正三角形ABC 和正六边形ADBECF 都内接于,O 连接,OC 则∠+∠=ACO ABE ( )A.90︒B.100︒C.110︒D.120︒9.如图，正五边形ABCDE 内接于O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则∠=CPD ________°.10.如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的周长等于6π，则正六边形的边长为______.11.早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为_________________.12.如图，圆内接正六边形ABCDEF的半径为2，则该正六边形的面积是_________________.13.有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的面积.（结果保留根号）14.如图，O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于O.（1）求圆心O 到AF 的距离.（2）求正六边形ABCDEF 的面积.参考答案及解析1.答案：C 解析：正多边形的一个外角为72︒∴正多边形的边数为360725︒÷︒=∴这个正多边形的中心角的度数是360572︒÷=︒故选：C.2.答案：C解析:连接OC ,OD多边形ABCDEF 是正六边形60∴∠=︒COD1302∴∠=∠=︒CMD COD故选:C.3.答案：C解析：内接正n 边形的边长与⊙O 的半径相等∴正n 边形的中心角为60︒360606︒÷︒=∴n 的值为6故选：C.4.答案：B解析：正五边形ABCDE 内接于O∠CPD 与所对的弧相同1362∴∠=∠=︒CPD COD故选：B.5.答案：B解析：如图，连结OA ，OBABCDEF 为正六边形1360606∴∠=︒⨯︒=AOB∴AOB △是等边三角形正六边形的周长是1211226∴=⨯=AB2∴===AO BO AB故选B.6.答案：A解析：如图，做⊥OM AB 于点M360725COD ︒∴∠==︒COD ∠180903654PDG ∠=︒-︒-︒=∴︒正六边形ABCDEF 外接半径为4的O4∴==OA OB 360606︒∠==︒AOB 1302∴∠=∠=∠=︒AOM BOM AOB122∴===AM BM OA2223∴=-=OM OA AM ∴圆心O 到边AB 的距离为23故选：A.7.答案：D解析：连接OB 、OC六边形ABCDEF 为正六边形360606︒∴∠==︒BOC 。

24.3 正多边形和圆附参考答案一、正多边形的有关概念1．把圆分成n 等份，依次连接各分点所得的多边形是______________．2．正多边形__________________叫做正多边形的中心，______________________叫做正多边形的半径，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的_____________，正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的______________．问题1．圆内接正六边形一边所对的圆周角是（ ） （A ）30︒．（B ）60︒．（C ）150︒．（D ）30︒或150︒． 二、正多边形的对称性3．正多边形都是______对称图形，正n 边形有_______条对称轴，每条对称轴都经过正n 边形的__________．4．若n 为偶数，正n 边形为_________对称图形，它的中心就是__________． 问题2．正n 边形的对称轴的总数是（ ） （A ）n 条．（B ）2n条．（C ）2n 条．（D ）()2n -条． 三、正多边形的有关计算5．正n 边形的内角和为_______________，每个内角的度数为________________． 6．正n 边形有n 个相等的中心角，每个中心角的度数为____________，正n 边形有n 个相等的外角，每个外角的度数为____________，正n 边形的中心角和它的外角__________．问题3．要用圆形要板截出一个边长为3cm 的正方形桌面，则选用的圆形木板的直径至少应为_____________cm ．要点探究探究1．正多边形的有关计算例1．如图，已知正六边形的外接圆半径为4，求这个正六边形的中心角、边长、周长、面积．解析：连接正六边形半径，把一个正六边形划分为六个全等的等边三角形，再利用每个三角形的面积求正六边形的面积．答案：正六边形的中心角为360︒÷6=60︒．∵OA =OF ，∠AOF =60︒，∴△AOF 是等边三角形，∴AF =OA =4．∴正六边形的周长为24．过O 作OG ⊥AF 于G ，∴∠AOG =30︒，∴AG =2，则OG 23=．∴△AOF 的面积为43，∴正六边形的面积为243．智慧背囊：正多边形边长的一半、半径、边心距构成了一个直角三角形，正多边形的有关计算都可以归结到这个直角三角形中．活学活用：已知正三角形、正方形、正六边形的半径都是R ，请你将各正多边形的边长、边心距、周长和面积值填在下表中．（用R 来表示）边长 边心距 周长 面积 正三角形 正方形 正六边形随堂尝试A 基础达标1．选择题（1）如图，将若干全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要五边形（ ）（A ）7个．（B ）8个．（C ）9个．（D ）10个．ORQDCBA（第1（1）题） （第1（2）题）（2）如图，正方形ABCD 与等边△PRQ 内接于⊙O ，RQ ∥BC ，则∠AOP 等于（ ） （A ）45o ．（B ）60o ．（C ）30o ．（D ）55o ．（3）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） （A ）正三角形．（B ）正五边形．（C ）正六边形．（D ）正七边形．（4）若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是（ ） （A ）4．（B ）6．（C ）8．（D ）12． 2．填空题（1）要用圆形铁片截出边长为4cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____________cm．（2）如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内外圆的半径分别为2和6，则在该轴承内最多能放___________颗半径为2的滚珠．F EDCBA A'HGA（第2（2）题）（第2（3）题）（第2（4）题）（3）如图，有一个边长为1.5cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm．（4）如图，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖的纸盒（侧面均垂直于底面），需在每一个顶点处剪去一个四边形，则∠GA/H为________度．3．已知两个正多边形的边数之比为2：1，而它们的内角和之比为8：3，求这两个正多边形的边数．4．如图，已知⊙O的两直径AB、CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E；求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长．B能力升级5．图①是“口子窖”酒的一个由铁片制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子（如图②），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9cm，有三条边长是3cm，每个内角都是120 ，六棱柱的高为3cm．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图③的平面展开图．①②③④⑤（1）制作这种底盒时，可以按图④中虚线裁剪出如图③的模片．现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁片，请问能否按图④的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请说明理由；（2）如果用一块正三角形铁皮按图⑤中虚线剪出如图③的模片，那么这个正三角形的边长至少应为________________cm．（说明：以上裁剪不计接缝处损耗）C感受中考6．已知圆内接正六边形的边长是1，则这个圆的内接正方形的边长是____________．7．如图①、②、③、④分别是⊙O的内接正三角形、正四边形、正五边形、…、正n边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APN的度数；（2）图②中，∠APN的度数是___________，图③中，∠APN的度数是___________；（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．图①图②图③图④课后实践从正五角星形的内角谈起我们常见到的五星红旗上的五角星形，不但给庄严的感觉，而且还给人一种和谐、对称、协调的美感，很容易得到它的一个内角为36︒．我们将圆周五等分，得五个分点1、2、3、4、5，如果按1→2→3→4→5相连，则得一个正五边形（如图①）．如果按1→3→5→2→4→1相连，则得一个正五角星形（如图②）．前者看成是5/1边形，后者则可以看成是5/2边形．所以每一个内角为55 18023622⎛⎫︒⨯-÷=︒⎪⎝⎭．图①图②图③图④以此类推，如图③、④将两个七角星形分别看成7/2边形和7/3边形，其内角分别为77540 1802227︒⎛⎫︒⨯-÷= ⎪⎝⎭，77180 1802337︒⎛⎫︒⨯-÷=⎪⎝⎭．有兴趣的同学不妨继续沿着这个思路研究下去，你一定会有很大的收获．参考答案基础准备问题1．D．问题2．A．问题3．要点探究活学活用：略．随堂尝试A基础达标1．（1）A （2）A （3）C （4）C2．（1）（2）6 （3）1.5 （4）60 3．两个正多边形的边数分别为10和5．4．连结MO．∵弦MN垂直平分OB，OE=BE=12OB=12OM，∠EMO=30︒，∴∠MOE=60︒．MB为圆内接六边形边长，CD⊥AB，∠MOC=30︒，∴MC为圆内接十二边形的边长．B能力升级5．（1）经计算所需的长方形铁片至少为(12+cm，宽至少为(6+cm，1217.5+<，616.5+<，能按图④裁剪方法制作无盖底盒；（2）约25.4cm．C感受中考6．7．（1）∠APN=60︒；（2）90︒，108︒；（3）∠APN=()2180 nn-．以下不需要可以删除人教版初中数学知识点总结必备必记目录七年级数学（上）知识点 (1)第一章有理数 (1)第二章整式的加减 (3)第三章一元一次方程 (4)第四章图形的认识初步 (5)七年级数学（下）知识点 (6)第五章相交线与平行线 (6)第六章平面直角坐标系 (8)第七章三角形 (9)第八章二元一次方程组 (12)第九章不等式与不等式组 (13)第十章数据的收集、整理与描述 (13)八年级数学（上）知识点 (14)第十一章全等三角形 (14)第十二章轴对称 (15)第十三章实数 (16)第十四章一次函数 (17)第十五章整式的乘除与分解因式 (18)八年级数学（下）知识点 (19)第十六章分式 (19)第十七章反比例函数 (20)第十八章勾股定理 (21)第十九章四边形 (22)第二十章数据的分析 (23)九年级数学（上）知识点 (24)第二十一章二次根式 (24)第二十二章一元二次根式 (25)第二十三章旋转 (26)第二十四章圆 (27)第二十五章概率 (28)九年级数学（下）知识点 (30)第二十六章二次函数 (30)第二十七章相似 (32)第二十八章锐角三角函数 (33)第二十九章投影与视图 (34)七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数一．知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0pq,p(pq≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a(a)0a()0a(aa或⎩⎨⎧<-≥=)0a(a)0a(aa；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.请判断下列题的对错,并解释.1.近似数25.0的精确度与近似数25一样.2.近似数4千万与近似数4000万的精确度一样.3.近似数660万,它精确到万位.有三个有效数字.4.用四舍五入法得近似数6.40和6.4是相等的.5.近似数3.7x10的二次与近似数370的精确度一样.1、错。

圆和正多边形测试时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.若正六边形的半径长为4，则它的边长等于()A. 4B. 2C. 2√3D. 4√32.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120∘，则其外接圆的半径为()A. 4√3B. 4C. 2√3D. 23.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A. √22B. √32C. √2D. √34.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△OOO的边长为()5.6.A. 1B. √2C. √3D.2√37.如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为()A. √3−O2B. √3−32OC. 2−O3D. √3−O38.正六边形的边心距为√3，则该正六边形的外接圆半径为()A. √3B. 2C. 3D. 2√39.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和OO⏜的长分别为()A. 2，O3B. 2√3，OC. √3，2O3D. 2√3，4O3第1页/共11页10.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，OO=OO，OO=120∘，点E在弧AD上.若AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边，弧DE的度数为()A. 75∘B. 80∘C. 84∘D. 90∘二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.已知一个正六边形的边心距为√3，则它的半径为______ ．12.如果正多边形的中心角等于30∘，那么它的每个内角为______度.13.如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则OO⏜的长为______．14.15.16.17.18.半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为______．19.正六边形的边长为8cm，则它的面积为______ OO2．20.如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a的取值范围是______．21.22.23.24.一个正三角形和一个正六边形面积相等，则它们的边长之比为______．25.我们规定：一个正n边形(O为整数，O≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为OO ，那么O6=______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）26.比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点.例如：27.它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．28.它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．29.请你再写出它们的两个相同点和不同点：30.相同点：31.O______ ；32.O______ ．33.不同点：34.O______ ；35.O______ ．36.37.38.39.40.41.42.43.设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断)．44.45.46.47.48.49.50.四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）51.如图，正三角形ABC内接于⊙O，若OO=2√3OO，求⊙O的半径．52.53.54.55.56.57.如图，⊙O的半径为√2，⊙O的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积．58.59.60.61.如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF，若⊙O的半径为2，求：阴影部分(弓形)的面积.(结果保留O)62.63.64.答案和解析【答案】1. A2. B3. A4. D5. A6. B7. D8. C9. 210. 15011. 8O1512. 1：√2：√313. 96√314. √6≤O≤3−√3215. √6：116. √32第3页/共11页17. 都是轴对称图形；都有外接圆和内切圆；内角和不同；对角线的条数不同18. 证明：如图，设△OOO为正方形ABCD的一个内接正三角形，作正△OOO的高EK，连接KA，KD，∵OOOO=OOOO=90∘，∴O，K，G，D四点共圆，∴OOOO=OOOO=60∘，同理，OOOO=60∘，故△OOO也是一个正三角形，K必为一个定点．又正三角形面积取决于它的边长，当KF丄AB时，边长为1，这时边长最小，面积O=√34也最小．当KF通过B点时，边长为2⋅√2−√3，这时边长最大，面积O=2√3−3也最大．19. 解：过点O作OO⊥OO于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴OOOO=30∘，OO=OO=12OO=12OO=√3，∴cos30∘=OOOO =√3OO=√32，解得：OO=2，即⊙O的半径为2cm．20. 解：连结OB，∵在OO△OOO中，OO=√OO2−OO2=√2−1=1，∴OO=OO，∴OOOO=OOOO=45∘，∵OO=OO，OO⊥OO，∴OO=2OO=2，OOOO=2OOOO=2×45∘=90∘，∴这个内接正多边形是正方形．∴面积为22=4∴中心角为90∘，边长为2，面积为4．21. 解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的面积为O×22=4O，∵空白正六边形为六个边长为2的正三角形，∴每个三角形面积为12×2×2×sin60∘=√3，∴正六边形面积为6√3，∴阴影面积为(4O−6√3)×16=23O−√3，【解析】1. 解：正六边形的中心角为360∘÷6=60∘，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．故选：A．根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键．2. 解：经过正n边形的中心O作边AB的垂线OC，则OO=60度，OO=30度，在直角△OOO中，根据三角函数得到OO=4．故选B．根据正n边形的特点，构造直角三角形，利用三角函数解决．正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．3. 解：如图1，∵OO=2，∴OO=2×sin30∘=1；如图2，∵OO=2，∴OO=2×sin45∘=√2；如图3，∵OO=2，∴OO=2×cos30∘=√3，则该三角形的三边分别为：1，√2，√3，∵(1)2+(√2)2=(√3)2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是：12×1×√2=√22．故选：A．第5页/共11页由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．4. 解：作OO⊥OO于D，连接OB，如图所示：则OO=OO=12OO，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴OOOO=12OOOO=30∘，∴OO=12OO=1，∴OO=√3OO=√3，∴OO=2OO=2√3，即等边△OOO的边长为2√3；故选：D．作OO⊥OO于D，连接OB，由垂径定理得出OO=OO=12OO，由等边三角形的性质和已知条件得出OOOO=12OOOO=30∘，求出OD，再由三角函数求出BD，即可得出BC的长．本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、含30∘角的直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5. 解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴OOOO=60∘，∴△OOO是等边三角形，OO=OO=OO=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OO⊥OO，∴OO=OO⋅sin60∘=2×√32=√3，∴O阴影=O△OOO−O扇形OOO =12×2×√3−60O×(√3)2360=√3−O2．故选A．由于六边形ABCDEF是正六边形，所以OOOO=60∘，故△OOO是等边三角形，OO= OO=OO=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OO⊥OO，OO=OO⋅sin60∘，再根据O阴影=O△OOO−O扇形OOO，进而可得出结论．本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OOO是等边三角形是解答此题的关键．6. 解：如图，在OO△OOO中，OO=√3，OOOO=30∘，∴OO=OO÷cos30∘=√3÷√32=2；故选：B．设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OO⊥OO与G，在直角△OOO中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长．第7页/共11页本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算，属于常规题．7. 解：连接OB ，∵OO =4，∴OO =2， ∴OO =2√3，OO ⏜=60O ×4180=43O ， 故选：D ．正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM ，再利用弧长公式求解即可．本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．8. 解：连接BD 、OA 、OE 、OD ，如图所示∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴OOOO +OO =180∘，∵OO =120∘，∴OOOO =60∘，∵OO =OO ，∴△OOO 是等边三角形，∴OOOO =60∘，∴OOOO =2OOOO =120∘，∵OO 恰好为⊙O 的内接正十边形的一边，∴OOOO =360∘10=36∘，∴OOOO =120∘−36∘=84∘；故选：C ．连接BD 、OA 、OE 、OD ，根据圆的内接四边形的性质得出OOOO 的度数，由OO =OO ，可证得△OOO 是等边三角形，求得OOOO =60∘，由圆周角定理求出OOOO 的度数，由 正十边形的性质求出OOOO 的度数，得出OOOO 的度数即可．此题考查了正多边形的性质、圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质.求出OOOO 的度数是解决问题的关键．9. 解：如图，在OO △OOO 中，OO =√3，OOOO =30∘，∴OO =OO ÷cos 30∘=√3÷√32=2； 故答案为：2．设正六边形的中心是O ，一边是AB ，过O 作OO ⊥OO 与G ，在直角△OOO 中，根据三角函数即可求得OA ．本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算，属于常规题．10. 解：由于正多边形的中心角等于30∘，360÷30∘=12，所以正多边形为正12边形，又因为其外角和为360∘，所以其外角为360÷12=30∘，其每个内角为180∘−30∘=150．根据正多边形的中心角为30∘，求出正多边形的边数，再求出其每个外角，即可根据内角和外角的和为180度求出每个内角的度数．本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力.解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的中心角和外角、内角混淆．11. 解：连接CF ，DF ，则△OOO 是等边三角形，∴OOOO =60∘，∵在正五边形ABCDE 中，OOOO =108∘，∴OOOO =48∘，∴OO ⏜的长=48⋅O ×2180=815O ， 故答案为：815O . 连接CF ，DF ，得到△OOO 是等边三角形，得到OOOO =60∘，根据正五边形的内角和得到OOOO =108∘，求得OOOO =48∘，根据弧长公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12. 解：由题意可得，正三角形的边心距是：2×sin 30∘=2×12=1， 正四边形的边心距是：2×sin 45∘=2×√22=√2， 正六边形的边心距是：2×sin 60∘=2×√32=√3， ∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1：√2：√3， 故答案为：1：√2：√3．根据题意可以求得半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值．本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距． 13. 解：如图所示，正六边形ABCD 中，连接OC 、OD ，过O作OO ⊥OO ；∵此多边形是正六边形，∴OOOO =6360∘=60∘；∵OO =OO ，∴△OOO 是等边三角形，∴OO =OO ⋅tan 60∘=82×√3=4√3OO ，∴O △OOO =12OO ⋅OO =12×8×4√3=16√3OO 2．∴O 正六边形=6O △OOO =6×16√3=96√3OO 2．先根据题意画出图形，作出辅助线，根据OOOO 的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．此题比较简单，解答此题的关键是根据题意画出图形，把正六边形的面积化为求三角形的面积解答．14. 解：O 当正方形ABCD 的对角线AC 在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，∴OO=O′O=√3，∴O=√62，O当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，设O′(O，√32)时，正方形的边长最大，∵OO′⊥OO′，∴O′(−√32，O)，设直线MN的解析式为O=OO+O，O(−1，0)，O(−12，−√32)，∴{−O+O=0−12O+O=−√32，∴{O=−√3O=−√3，∴直线MN的解析式为O=−√3O−√3，将O′(−√32，O)代入得O=32−√3，此时，O′O′取最大值，∴O=√(32−√3+√32)2+(√32−32+√3)2=3−√3，∴正方形边长a的取值范围是：√62≤O≤3−√3，故答案为：√62≤O≤3−√3．当正方形ABCD的顶点A、B、C、D在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到a，当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键．15. 解：设正三角形的边长为a，则正六边形的边长为b；过A作OO⊥OO于D，则OOOO=30∘，OO=OO⋅cos30∘=O⋅√32=√32O，∴O△OOO=12OO⋅OO=12×O×√32O=√34O2；连接OA、OB，过O作OO⊥OO；第9页/共11页∵OOOO=360∘6=60∘，∴OOOO=30∘，OO=OOtan30∘=O2√33=√32O，∴O△OOO=12×O×√32O=√34O2，∴O六边形=6O△OOO=6×√34O2=3√32O2，∵O△OOO=O六边形∴√34O2=3√32O2，解得：a：O=√6：1故答案为：√6：1．根据题意画出图形，分别设出边长并表示出面积后即可利用面积相等得到答案．本题考查了正三角形及正六边形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，结合正多边形的性质解答．16. 解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，∵△OOO是等边三角形，∴OOOO=OOOO=OOOO=60∘，∵OO=OO，∴OOOO=OOOO，∵OOOO=OOOO+OOOO，∴OOOO=OOOO=30∘，∴OOOO=90∘，∴△OOO是直角三角形，∴OOOO =cos30∘=√32，∴O6=√32，故答案为√32．如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接OO.易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，只要证明△OOO是直角三角形即可解决问题．本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．17. 解：相同点不同点O都有相等的边.O边数不同；O都有相等的内角.O内角的度数不同；O都有外接圆和内切圆.O内角和不同；O都是轴对称图形.O对角线条数不同；O对称轴都交于一点.O对称轴条数不同．此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形.根据正多边形的性质进行分析它们的相同和不同之处．本题考查了正多边形和圆的知识，一个是奇数边的正多边形，一个是偶数边的正多边形.此题的答案不唯一，只要抓住正多边形的性质进行回答均可．18. 设△OOO为正方形ABCD的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组对边上，连接KA，KD，易证E，K，G，D四点共圆，则OOOO=OOOO=60∘，同理OOOO=60∘，可证△OOO 也是一个正三角形，K必为一个定点，再分别求边长FG的最大值与最小值．本题考查了四点共圆的判断，等边三角形的性质.关键是运用四点共圆证明新的等边三角形，得出定点．19. 利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出OOOO= 30∘，OO=OO，再利用锐角函数关系得出BO即可．此题主要考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出OOOO=30∘，OO=OO是解题关键．20. 连结OB，根据勾股定理求出AC的长，故可得出OOOO=OOOO=45∘，再根据OO=OO，OO⊥OO得出OO=2OO=2，OOOO=2OOOO=2×45∘=90∘，由此可知这个内接正多边形是正方形，故可得出结论．本题考查的是正多边形和圆，熟知正方形的性质是解答此题的关键．21. 利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积，即可得出结果．=(圆的面积−正六边形的面积)×16本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=(圆的面积−正六边形的面积)×1是解答此题的关键．6第11页/共11页。

人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点 正多边形与圆1.定义：正多边形的 圆的圆心叫做这个正多边形的中心 圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形每一边所对的 角叫做正多边形的中心角 到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的边心距。

2.公式：正多边形的有关概念：边长（a ） 中心（O ） 中心角（∠AOB ） 半径（R ）） 边心距（r ） 如图所示①．边心距222a r R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中心角360n ︒=关键点:三角形的内切圆与外接圆 关系定义圆心 实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等名校提高练习:一选择题：本题共10小题每小题3分共30分。

在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。

1.(2024·四川省泸州市·月考试卷)已知圆内接正三角形的面积为√ 3则该圆的内接正六边形的边心距是( )A. 2B. 1C. √ 3D. √ 322.同一个圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距分别为r3r4r6则r3：r4：r6等于( )A. 1:√2:√3B. √3:√2:1C. 1：2：3D. 3：2：13.如图若干个全等的正五边形排成环状图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 10B. 9C. 8D. 74.(2024·贵州省黔东南苗族侗族自治州·月考试卷)正六边形ABCDEF内接于⊙O正六边形的周长是12则⊙O的半径是( )A. √ 3B. 2C. 2√ 2D. 2√ 35.(2024·山东省·单元测试)《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法其步骤是：①在⊙O上任取一点A连接AO并延长交⊙O于点B②以点B为圆心BO为半径作圆弧分别交⊙O于C D两点③连接CO DO并延长分别交⊙O于点E F④顺次连接BC CF FA AE ED DB得到六边形AFCBDE.再连接AD EF AD EF交于点G.则下列结论不正确的是( )A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE=√ 2 D. AF⊥AD6.(2024·江苏省·同步练习)以半径为2的圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则该三角形的面积是( )A. √ 22B. √ 32C. √ 2D. √ 37.(2024·江苏省·同步练习)如图正十二边形A1A2…A12连接A3A7A7A10则∠A3A7A10的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°8.(2024·江苏省·同步练习)如图若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 99.(2024·北京市市辖区·期末考试)如图正方形ABCD的边长为6且顶点A B C D都在⊙O上则⊙O 的半径为()．A. 3B. 6C. 3√ 2D. 6√ 210.(2024·广东省广州市·月考试卷)如图已知⊙O的周长等于4πcm则圆内接正六边形的边长为()cm．A. √ 3B. 2C. 2√ 3D. 4二填空题：本题共6小题每小题3分共18分。

24.3 正多边形和圆知识点1.________________相等，______________也相等的多边形叫做正多边形.2．把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是________________，它的中心角等于______________________________________________.3.一个正多边形的外接圆的____________叫做这个正多边形的中心，外接圆的__________叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的__________叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的____________叫做正多边形的边心距.4.正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，（1）中心角的度数为：______________.（2）每个内角的度数为：_______________________.（3）每个外角的度数为：____________.（4）周长为：_________，面积为：_________.5.正n边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有_______条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是_______________.（填“轴对称图形”或“中心对称图形”）一、选择题1.下列说法正确的是（）A.各边相等的多边形是正多边形B.各角相等的多边形是正多边形C.各边相等的圆内接多边形是正多边形D.各角相等的圆内接多边形是正多边形2.（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3 B．：2 C．1：2 D．：23.(2013山东滨州)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )A．6，32B．32，3C．6，3 D．62，324. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．第4题A．60°B．45°C．30°D．22．5°5.半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为（）A.1:2:3B.3:2:1C.3:2:1D.1:2:36. 圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36°B．60°C．72°D．108°第6题7.（2013•自贡）如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）第7题A.4B.5C.6D. 78.如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ的度数是（）A.60°B.65°C.72°D.75°第8题二、填空题9.一个正n边形的边长为a，面积为S，则它的边心距为__________.10.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于__________度.11.若正六边形的面积是243cm2，则这个正六边形的边长是__________.12.已知正六边形的边心距为3，则它的周长是_______.13.点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM=BN，点O是正八边形的中心，则∠MON=_____________.14.边长为a的正三角形的边心距、半径（外接圆的半径）和高之比为_________________.15.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要__________cm.16.若正多边形的边心距与边长的比为1:2，则这个正多边形的边数是__________.17.一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积比为__________.18.(2013•徐州)如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为________cm2.三、解答题19.比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点.正五边形正六边形例如它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等.它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点.相同点：（1）____________________________________________________________________;（2）___________________________________________________________________. 不同点：（1）____________________________________________________________________;第18题（2）____________________________________________________________________.20.已知，如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，求这个正六边形的外接圆半径R 、边心距r 6、面积S 6.21.如图，⊙O 的半径为2，⊙O 的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积.22.已知⊙O 和⊙O 上的一点A.（1）作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；（2）在（1）题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.23.如图1、图2、图3、…、图n ，M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五第20题 第21题 第22题边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.(1)求图1中∠MON的度数；(2)图2中∠MON的度数是_________，图3中∠MON的度数是_________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).24.3 正多边形和圆知识点1.各边 各角2.正多边形 正多边形每一边所对的圆心角3.圆心 半径 圆心角 距离4.360(2)180360(1)(2)(3)(4)(5)2n nar na n n n ︒-︒︒g 5.n 轴对称图形一、选择题1.C2.B3.B4.C5.B6.C7.B解：根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题．360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．因此n 的所有可能的值共五种情况，故选B ．8.D二、填空题 9. 2Sna10.144 11.4cm 12.12 13.45° 14.1:2:3 15. 四 17.2:318.40三、解答题19.相同点：（1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；（2）都是轴对称图形（或都有外接圆和内切圆）.不同点：（1）正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°；（2）正五边形的对称轴是5条，正六边形的对称轴是6条.20.222266266.=606=6,11632263331663354326,33,543.OA,OB.O OG AB G AOB OA OBAOB OA OB R OA OB OG ABAG AB Rt AOG r OG OA AG S R cm r cm S cm ⊥∠︒=∴∆∴===⊥∴==⨯=∴∆==-=-==⨯⨯⨯=∴===Q Q 解：连接过点作于，是等边三角形即在中， 21.解：连结OB∵在Rt △AOC 中，AC=2221OA OC -=-=1∴AC=OC ∴∠AOC=∠OAC=45°∵OA=OB OC ⊥AB∴AB=2AC=2 ∠AOB=2∠OAC=2×45°=90°∴这个内接正多边形是正方形.∴面积为22=4∴中心角为90°，边长为2，面积为4.22. (1)作法：①作直径AC;②作直径BD⊥AC;③依次连结A 、B 、C 、D 四点,四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形; ④分别以A 、C 为圆心，以OA 长为半径作弧，交⊙O 于E 、H 、F 、G; ⑤顺次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点.六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形.(2)证明：连结OE 、DE.∵∠AOD＝4360︒＝90°，∠AOE＝6360︒＝60°，第22题∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝90°-60°=30°.∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边. 23.(1)方法一：连结OB、OC.∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN＝30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN（SAS）.∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON=∠BOC=120°.方法二：连结OA、OB.∵正△ABC内接于⊙O，∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°.又∵BM＝CN，∴AM=BN.又∵OA=OB,∴△AOM≌△BON（SAS）.∴∠AOM=∠BON.∴∠MON=∠AOB=120°.(2)90° 72°(3)∠MON=n360.。

专题24.3正多边形和圆（测试）一、单选题1．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是( )A ．6B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】003603012÷=．故这个正多边形的边数为12．故选：B ．2．正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（ ）A ．相等B ．互余C ．互补D ．互余或互补【答案】A【解析】设正多边形是正n 边形，则它的一边所对的中心角是360n ︒，正多边形的外角和是360°，则每个外角也是360n ︒，所以正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等，故选A ．3．在半径为R 的圆上依次截取等于R 的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（ ）A ．正三角形B ．正四边形C ．正五边形D ．正六边形【答案】D【解析】解：由题意这个正n 边形的中心角=60°，∴n=36060︒︒=6∴这个多边形是正六边形，故选：D ．4．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（）A ．1BCD ．2【答案】C【解析】如图，作BG AC ⊥，依题可得：ABC ∆是边长为2的等边三角形，在Rt BGA ∆中，∵2AB =，1AG =，∴BG =故答案为：C.5 ）A ．πB ．3πC ．4πD ．12π【答案】C【解析】解：如图，六边形ABCDEF 为正六边形，作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，∴OA 为正六边形ABCDEF 的外接圆的半径，OH 为正六边形ABCDEF 的边心距，∴在Rt AOH 中，∠AOH=1806︒=30°，∴cos ∠AOH=OH OA == ∴OA=2， ∴它的外接圆的面积=2πOA （）=4π． 故选：C ．6．如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与AB 的比是( )A．2B C D【答案】A【解析】过E作EF⊥AD于F，过G作GH⊥AD于H，则△AEF与△DGH是等腰直角三角形，四边形EFHG是矩形，∴AF＝EF＝DH＝GH，EG＝FH，设AF＝EF＝GH＝DH＝k，∴AE＝DG k，∴EG＝2AE＝k，∴AB＝AD＝+2k，=∴正八边形边长与AB2故选A．7．如图，在半径为6的⊙O中，正方形AGDH与正六边形ABCDEF都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A ．27﹣B ．54﹣C ．D ．54【答案】B 【解析】解：设EF 交AH 于M 、交HD 于N ，连接OF 、OE 、MN ，如图所示：根据题意得：△EFO 是等边三角形，△HMN 是等腰直角三角形，∴EF ＝OF ＝6，∴△EFO 的高为：OF•sin60°＝MN ＝2（6﹣12﹣ ∴FM ＝12（6﹣12+3， ∴阴影部分的面积＝4S △AFM ＝4×12（3）×54﹣ 故选：B ．8．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度为（ ）米A ．12x xB ．4 C．D ．4π【答案】A【解析】解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即2+1+1=4（米），设正方形边长是x 米，则x 2+x 2=42，解得：，所以正方形桌布的边长是米．故选：A ．9．下面给出五个命题(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形(4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形(5)正n 边形的中心角360n a n ︒=，且与每一个外角相等 其中真命题有( )A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个 【答案】A【解析】解：(1)正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确；(2)各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误；(3)圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；(4)边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；(5)正n 边形的中心角360n a n︒=，且与每一个外角相等． 故正确的是(1)(5)．共有2个．故选：A ．10．一个圆的内接正三角形的边长为( )AB ．4C ．D ．【答案】D【解析】根据题意画图如下：过点O 作OD ⊥BC 于D ，连接OB ，∴BD=CD=12， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠OBD=30°，∴OD=12OB ， ∴OB 2-(12OB)2=BD 2， 解得：OB=2，即圆的半径为2，∴该圆的内接正方形的对角线长为4，设正方形的边长为x ，∴x 2+x 2=42，解得x=∴该圆的内接正方形的边长为故选D.11．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是()A．30°B．60°C．55°D．75°【答案】B【解析】连接OB，OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOD＝＝120°，∴∠BPD＝∠BOD＝60°，故选：B．12．距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”(即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长)，他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正24576边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )A．B．3 C．D．【答案】B【解析】解：由题意n=6时，π≈ =3，故选：B ．13．如图，用四根长为5cm 的铁丝，首尾相接围成一个正方形（接点不固定），要将它的四边按图中的方式向外等距离移动a cm ，同时添加另外四根长为5cm 的铁丝（虚线部分）得到一个新的正八边形，则a 的值为（ ）A ．4cmB ．5cmC ． D【答案】D【解析】如图，由题意可知：△ABC 是等腰直角三角形，AB=5，AC=BC=a ．则有：a 2+a 2=52，∴a=2或-2（舍弃）故选：D ．14．如图，将边长为5的正六边形ABCDEF 沿直线MN 折叠，则图中阴影部分周长为（）A ．20B ．24C ．30D ．35【答案】C【解析】由翻折不变性可知，阴影部分的周长等于正六边形ABCDEF 的周长=5×6=30，故选：C ．15．如图，已知O 的周长等于6cm ，则它的内接正六边形ABCDEF 的面积是（ ）A ．4B ．4C ．2D ．【答案】C【解析】过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，OB ，设⊙O 的半径为r ，∵⊙O 的周长等于6πcm ，∴2πr=6π，解得：r=3，∴⊙O 的半径为3cm ，即OA=3cm ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB=16×360°=60°，OA=OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴AB=OA=3cm ，∵OH ⊥AB ，∴AH=12AB ，∴AB=OA=3cm ，∴AH=32cm ，=2cm ，∴S 正六边形ABCDEF =6S △OAB =6×12×3×2=2（cm2）．故选C.16．⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C【解析】⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则这个正n边形的中心角是60°，÷︒=360606n的值为6，故选：C二、填空题17．若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是___________．【答案】60°【解析】∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为=6，即正多边形为六边形，∴这个正多边形的中心角的度数==60°．故答案为60°18．如图，六边形ABCDEF是正六边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝_____．【答案】60°【解析】解：如图，过A作l∥l1，则∠4＝∠2，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB＝120°，即∠4+∠3＝120°，∴∠2+∠3＝120°，即∠3＝120°﹣∠2，∵l1∥l2，∴l∥l2，∴∠1+∠3＝180°，∴∠1+120°﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2＝180°﹣120°＝60°，故答案为：60°．19．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝_____．【答案】75°【解析】解：设该正十二边形的中心为O，如图，连接A10O和A3O，由题意知，37105 12A A A=⊙O的周长，∴∠A3OA10＝536012︒⨯＝150°，∴∠A3A7A10＝75°，故答案为：75°．20．已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；………在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（）A ．2B ．﹣2.2C ．2.3D ．﹣2.3【答案】A【解析】如图，∵正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1∴第一次旋转后点M 1 纵坐标坐标为12 ，第二次、第三次旋转后点M 2（M 3，四次旋转后点M 4的纵坐标为﹣12﹣2，第五次旋转后点M 5的纵坐标为 12+2，第六次旋转后的点M 6的纵坐标为2． 故选：A ．三、解答题21．如图，已知O ．（1）用尺规作正六边形，使得O 是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】解：（1）如图所示：,（2）如图所示：22．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，求△ABC的面积．【答案】【解析】延长AB，再作出过点C与格点所在的直线，交于格点E.∵正六边形的边长为1，∴正六边形的半径是1，则CE＝4，则△BCE 的边EC ，△ACE 边EC ，则S △ABC ＝S △AEC －S △BEC ＝12×4×)＝23．回顾旧知：在探究有关正多边形的有关性质时，我们是从那几个方面展开的？探究的方法与过程又是怎样的？（不要求回答）温馨提示，如图1，是一个边长为a 的正六边形．我们知道它具有如下的性质：①正六边形的每条边长度相等；②正六边形的六个内角相等，都是120°；③正六边形的内角和为720°；④正六边形的外角和为360°．等．解答问题：（1）观察图2，请你在下面的横线上，再写出边长为a 的正六边形所具有不同于上述的性质（不少于5条）： ．（2）尺规作图：在图2中作出圆内接正六边形的内切圆（不要求写作法，只保留作图痕迹）；（3）求出这个正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值．【答案】(1)见解析；（2）作图见解析；（3）． 【解析】（1）①正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②正六边形的面积为： a 2，周长为6a ；③正六边形有一个内切圆、外接圆，它们是同心圆；④圆内接正六边形的每条边在圆内所对的优弧长度相等；⑤圆内接正六边形的每条边在圆内所对的优弧的弧度相等；⑥圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的劣弧的长度相等；⑦圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的劣弧的弧度相等；⑧圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的圆心角（中心角）相等，都是60°；⑨圆内接正六边形的边长等于圆的半径；⑩圆内接正六边形的边心距为： a 等．（2）如图2所示：（3）如图2，连结EO，在Rt△ONE中，∵OE=DE=a，∠EON=DOE=30°，∴OE=a，∴边长为a正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值为：．24．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP上截取AE=CP，连接BE∵△ABC是正三角形∴AB=CB∵∠1和∠2的同弧圆周角∴∠1=∠2∴△ABE≌△CBP（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+ PB．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，∴∠CPE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；又∵∠EBC＝∠P AC，∴△BEC≌△APC，∴P A＝BE＝PB＋P C．（2）过点B作BE⊥PB交P A于E．∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3，又∵∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴；PE=又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE．∴PA AE PE PC=+=．=+；（3）答：PA PC证明：在AP上截取AQ＝PC，连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ＝BP．又∵∠APB＝30°，∴PQ==+=∴PA PQ AQ25．如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．【答案】90°72°【解析】(1)方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°.方法二：如图②，连接OA，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90°72°(3)∠MON＝.26．如图，一个圆形街心花园，有三个出口A，B，C，每两个出口之间有一条60米长的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一亭子，为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F分别落在ΔABC分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草.(1)请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图1，图2中，并附简单说明.(2)要使三条小路把ΔABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图3中，并求此时三条小路的总长.(3)请你探究出一种一般方法，使得出口D不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个方法.(4)你在(3)中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图5予以说明，这种方法能推广到正n边形吗？【答案】（1）方案1：D，E，F与A，B，C重合，方案2：OD，OE，OF分别垂直于AB，BC，AC；（2）60；（3）如图（4）见解析；（4）可推广到正n边形.【解析】（1）方案1：D，E，F与A，B，C重合，连OD，OE，OF.方案2：OD，OE，OF分别垂直于AB，BC，AC.（2）OD//AC，OE//AB，OF//BC，如图（3）,作OM⊥BC于M，连OB，∵ΔABC是等边Δ，∴BM=BC=30，且∠OBM=30°，∴OM=10，∵OE//AB，∴∠OEM=60°，OE==20，又OE=OF=OD，∴OE+OF+OD=3OE=60，答：略.（3）如图（4）,方法1：在BC，CA，AB上分别截取BE=CF=AD，连结OD，OE，OF，方法2：在AB上任取一点D，连OD，逆时针旋转OD120°两次，得E，F.（4）设M1为A1A2上任一点，在各边上分别取A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1，连OM1……OM5即可，∴可推广到正n边形.。

24.3 正多边形和圆同步练习一、选择题1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为( ) A．9 B．8 C．7 D．62．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( )A．23 cm B．3 cm C．233cm D．1 cm第2题图第5题图3．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3B．9C．18D．364．正三角形、正方形、圆三者的周长都等于l，它们的面积分别为S1，S2、S3，则( )． A．S1＝S2＝S3 B．S3＜S1＜S2 C．S1＜S2＜S3 D．S2＜S1＜S35．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五个等分点而得到的(如图所示)．五角星的每一个角的度数是( )．A．30° B．35° C．36° D．37°第6题图第7题图第9题图6．如图所示，是由5把相同的折扇组成的“蝶恋花”（如图①）和梅花图案（如图②）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36° B．42° C．45° D．48°二、填空题7．如图所示，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠ 等于________．8．要用圆形铁片裁出边长为4的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小是________． 9．如图所示，等边△ABC 内接于⊙O ，AB ＝10cm ，则⊙O 的半径是________． 10.如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为 ．11．正六边形的半径是5cm ，则边长6a =________，周长6P =________ ，边心距6r =________，面积6S =________．12. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 .三、解答题13．如图所示，正△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，求△ABC 的边长a ，周长P ，边心距r ，面积S ．14. 如图所示，半径为R 的圆绕周长为10πR 的正六边形外边作无滑动滚转，绕完正六边形后，圆一共转了多少圈？一位同学的解答过程：圆的周长为2πR ，所以它绕完正六边形后一共转了102RRππ圈，结果一共转了5圈．你认为这位同学的解答有无错误？如有错误，请更正．15．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．答案与解析一、选择题1.【答案】D；【解析】可求每个外角为60°，∴ 360÷60＝6或(2)180120nn-⨯=°°∴ n＝6．2.【答案】A；【解析】较长对角线与较短对角线及一边长构成一直角三角形，用勾股定理求解．3.【答案】C；【解析】连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．4.【答案】C；【解析】当周长一定时，边数越多的正多边形其面积越大，当它成为圆时面积最大．5.【答案】C；【解析】五角星的每一个角所对的弧为圆的15，∴弧的度数为72°，因而每个角的度数为36°，故选C．6.【答案】D.【解析】如图③所示，正五边形ABCDE的中心角为72°，各内角为108°，故五角星五个锐角均为48°．二、填空题 7．【答案】72°；【解析】α＝360°－90°－90°－108°＝72°． 8．【答案】42；【解析】如图所示，△ABC 为等腰Rt△，242AC AB ==．9．【答案】1033cm ； 【解析】过O 作OD ⊥BC 于D ，连接OB ，在Rt △BOD 中，BD ＝12BC ＝1102⨯＝5(cm)． ∠BOD ＝180603=°°， ∴3BD OB =． ∴ BO ＝10333=(cm)．10．【答案】54°； 【解析】连接OB ，则OB=OA ，∴∠BAO=∠ABO，∵点O 是正五边形ABCDE 的中心，∴∠AOB==72°，∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°； 故答案为：54°．11．【答案】6a =5cm ，666P a ==30cm ，6532r =cm ，26753cm 2s =； 12．【答案】2：．【解析】设正六边形的半径是r ，则外接圆的半径r ，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．三、解答题13.【答案与解析】作AD ⊥BC 于D ．∵ △ABC 是正三角形，∴ 点O 在AD 上，a ＝BC ＝2CD ，∠OCD ＝30°，在Rt △COD 中，112r OD OC ===， 2222213CD OC OD =-=-=，∴ 223a BC CD ===，363P a ==． 又∵ AD ＝OA+OD ＝2+1＝3， ∴ 112333322S BC AD ==⨯⨯=， ∴ 23a =，63P =，1r =，33S =．14.【答案与解析】有错误，由正六边形的每个顶点外圆要转60°角，应转了10162RRππ+=（圈）． 15.【答案与解析】解：连接OB ，OC ，OD ，∵等边△ABC 内接于⊙O，BD 为内接正十二边形的一边，∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，∵OC=OD，∴∠OCD=45°，∴OC=5×=5（cm）．即⊙O的半径R=5cm．。

第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (1) 1．边长为a的正六边形的边心距是__________，周长是____________，面积是___________。

2．如图1，正方形的边长为a，以顶点B、D为圆心，以边长a为半径分别画弧，在正方形内两弧所围成图形的面积是___________。

(1) (2) (3)3．圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分BC边，与BC交于F，则弦AE的长为__________。

4．正六边形的面积是183，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为_________。

5．圆内接正方形的一边截成的小弓形面积是2π-4，则正方形的边长等于__________。

6．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________。

7．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为___________。

8．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是______________。

9．正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为_____________。

10．正三角形的外接圆半径为4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径长为___________。

B卷1．正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_________。

2．如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍。

3．如图2，正方形边长为2a，那么图中阴影部分的面积是__________。

4．正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是________。

5．半径为R的圆的内接正n边形的面积等于__________。

6．如果圆的半径为a，它的内接正方形边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，则a,b,c间满足的关系式为___________。

7．如图3，正△ABC内接于半径为1cm的圆，则阴影部分的面积为___________。