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21．2解一元二次方程21．2.1配方法第1课时直接开平方法1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝__±a___(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__两个一元一次方程___．3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝__±p___或mx ＋n＝__±p___．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法1．方程x2－16＝0的根为( C)A．x＝4B．x＝16C．x＝±4 D．x＝±82．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( D)A．m＞0 B．m≥0C．m＜0 D．m≤03．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C)A．0个B．1个C．2个D．3个4．若4x2－8＝0成立，则x的值是__±2___．5．解下列方程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3(2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2(3)5x2＋8＝3.解：没有实数根知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D)A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－47．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D)A．k＜1 B．k＜－1C．k≥1 D．k＞18．一元二次方程(x－3)2＝8的解为__x＝3±22___．9．解下列方程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0(2)2(x－2)2－6＝0；解：x1＝2＋3，x2＝2－ 3(3)x2－2x＋1＝2.解：x1＝1＋2，x2＝1－ 210．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1___．11．若x 2－4x ＋2的值为0，则x ＝__2___．12．由x 2＝y 2得x ＝±y ，利用它解方程(3x －4)2＝(4x －3)2，其根为__x ＝±1___．13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b ＝a 2－b 2，根据这个规则，方程(x ＋2)*5＝0的根为__x 1＝3，x 2＝－7___．14．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( C ) A ．x 2－3＝0 B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2x ＝0D ．(x －1)2＝(2x ＋1)2 15．(2014·枣庄)x 1，x 2是一元二次方程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( A )A ．x 1小于－1，x 2大于3B ．x 1小于－2，x 2大于3C ．x 1，x 2在－1和3之间D ．x 1，x 2都小于316．若(x 2＋y 2－3)2＝16，则x 2＋y 2的值为( A ) A ．7 B ．7或－1 C ．－1 D ．19 17．解下列方程： (1)3(2x ＋1)2－27＝0； 解：x 1＝1，x 2＝－2(2)(x －2)(x ＋2)＝10； 解：x 1＝23，x 2＝－2 3(3)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2；解：x 1＝1，x 2＝53(4)4(2x －1)2＝9(2x ＋1)2.解：x 1＝－52，x 2＝－11018．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，求x ＋3x2的值．解：由题意得2(x 2＋3)＋3(1－x 2)＝0，∴x ＝±3.当x ＝3时，x ＋3x 2＝23；当x ＝－3时，x ＋3x2＝019．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解：(1)ab－4x2(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代入，得x2＝3，解得x1＝3，x2＝－3(舍去)，即正方形的边长为 3第2课时配方法1．通过配成__完全平方形式___来解一元二次方程的方法叫做配方法．2．配方法的一般步骤：(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平方求出方程的解；若p__＜___0，则方程无解．知识点1：配方1．下列二次三项式是完全平方式的是( B)A．x2－8x－16B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋162．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C)A．3 B．－3C．±3 D．以上都不对3．用适当的数填空：x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；m2__±3___m＋94＝(m__±32___)2.知识点2：用配方法解x2＋px＋q＝0型的方程4．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( D) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝95．下列配方有错误的是( D)A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝1246．(2014·宁夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( C)A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋2，x2＝－1－ 2C．x1＝1＋2，x2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 27．解下列方程：(1)x2－4x＋2＝0；解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2(2)x2＋6x－5＝0.解：x1＝－3＋14，x2＝－3－14知识点3：用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的方程8．解方程3x 2－9x ＋1＝0，两边都除以3得__x 2－3x ＋13＝0___，配方后得__(x －32)2＝2312___．9．方程3x 2－4x －2＝0配方后正确的是( D ) A ．(3x －2)2＝6 B ．3(x －2)2＝7C ．3(x －6)2＝7D ．3(x －23)2＝10310．解下列方程： (1)3x 2－5x ＝－2；解：x 1＝23，x 2＝1(2)2x 2＋3x ＝－1.解：x 1＝－1，x 2＝－1211．对于任意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值一定是( B ) A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．无法确定12．方程3x 2＋2x ＝6，左边配方得到的方程是( B )A ．(x ＋26)2＝－3718B ．(x ＋26)2＝3718C ．(x ＋26)2＝3518D ．(x ＋26)2＝611813．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下列的( B )A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝514．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．15．当x ＝__2___时，式子200－(x －2)2有最大值，最大值为__200___；当y ＝__－1___时，式子y 2＋2y ＋5有最__小___值为__4___．16．用配方法解方程： (1)23x 2＝2－13x ； 解：x 1＝32，x 2＝－2(2)3y 2＋1＝23y.解：y 1＝y 2＝3317．把方程x 2－3x ＋p ＝0配方得到(x ＋m)2＝12，求常数m 与p 的值．解：m ＝－32，p ＝7418．试证明关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，无论a 为何值，该方程都是一元二次方程．解：∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4≠0，∴无论a 取何值，该方程都是一元二次方程19．选取二次三项式ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值． 解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x－2)2－4x (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0，(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0，又∵(x ＋12y)2≥0，34(y －2)2≥0，∴x ＋12y ＝0，y －2＝0，∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝121．2.2 公式法1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当__b 2－4ac ≥0___时，x ＝－b±b 2－4ac2a，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的__求根公式___．2．式子__b 2－4ac___叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x 的方程有实数根的是( C )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝0 2．(2014·兰州)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )A ．b 2－4ac ＝0B ．b 2－4ac ＞0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≥03．一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根4．利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)9x 2－6x ＋1＝0；解：∵a ＝9，b ＝－6，c ＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根(2)8x 2＋4x ＝－3；解：化为一般形式为8x 2＋4x ＋3＝0，∵a ＝8，b ＝4，c ＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根(3)2(x 2－1)＋5x ＝0.解：化为一般形式为2x 2＋5x －2＝0，∵a ＝2，b ＝5，c ＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根知识点2：用公式法解一元二次方程5．方程5x ＝2x 2－3中，a ＝__2___，b ＝__－5___，c ＝__－3___，b 2－4ac ＝__49___． 6．一元二次方程x 2－x －6＝0中，b 2－4ac ＝__25___，可得x 1＝__3___，x 2＝__－2___． 7．方程x 2－x －1＝0的一个根是( B )A ．1－ 5B .1－52C ．－1＋ 5D .－1＋528．用公式法解下列方程： (1)x 2－3x －2＝0；解：x 1＝3＋172，x 2＝3－172(2)8x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝2＋24，x 2＝2－24(3)2x 2－2x ＝5.解：x 1＝1＋112，x 2＝1－1129．(2014·广东)关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－9410．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( C ) A ．k ＞－1 B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠011．已知关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．12．关于x 的方程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足的条件是__a ≥－5___． 13．用公式法解下列方程： (1)x(2x －4)＝5－8x ；解：x 1＝－2＋142，x 2＝－2－142(2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.解：y 1＝3＋33，y 2＝3－3314．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出方程x 2－2x －4＝0的根． 解：解不等式组得2<x<4，解方程得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，∴x ＝1＋ 515．(2014·梅州)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)a ＝12，另一个根为x ＝－32(2)∵Δ＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0，∴无论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根16．关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实数根． (1)求a 的最大整数值；(2)当a 取最大整数值时，求出该方程的根．解：(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤709且a≠6，∴a的最大整数值为7(2)当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝－（－8）±282＝4±7，即x1＝4＋7，x2＝4－717．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a －c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－121．2.3 因式分解法1．当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为__两个一次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．2．解一元二次方程，首先看能否用__直接开平方法___；再看能否用__因式分解法___；否则就用__公式法___；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__配方法___．知识点1：用因式分解法解一元二次方程 1．方程(x ＋2)(x －3)＝0的解是( C ) A ．x ＝2 B ．x ＝－3 C ．x 1＝－2，x 2＝3 D ．x 1＝2，x 2＝－32．一元二次方程x(x －5)＝5－x 的根是( D ) A ．－1 B ．5C ．1和5D ．－1和5 3．(2014·永州)方程x 2－2x ＝0的解为__x 1＝0，x 2＝2___． 4．方程x 2－2x ＋1＝0的根是__x 1＝x 2＝1___． 5．用因式分解法解下列方程： (1)x 2－4＝0；解：x 1＝2，x 2＝－2(2)x 2－23x ＝0； 解：x 1＝0，x 2＝2 3(3)(3－x)2－9＝0； 解：x 1＝0，x 2＝6(4)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2.解：x 1＝1，x 2＝53知识点2：用适当的方法解一元二次方程6．解方程(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6＝0时，我们可以将x ＋1看成一个整体，设x ＋1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋6＝0，解得y 1＝2，y 2＝3.当y ＝2时，即x ＋1＝2，解得x ＝1；当y ＝3时，即x ＋1＝3，解得x ＝2，所以原方程的解为x 1＝1，x 2＝2.利用这种方法求方程(2x －1)2－4(2x －1)＋3＝0的解为( C )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－1，x 2＝－3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－1 7．用适当的方法解方程： (1)2(x －1)2＝12.5；解：用直接开平方法解，x 1＝3.5，x 2＝－1.5(2)x 2＋2x －168＝0；解：用配方法解，x 1＝12，x 2＝－14(3)2x 2＝2x ；解：用因式分解法解，x 1＝0，x 2＝ 2(4)4x 2－3x －2＝0.解：用公式法解，x 1＝3＋418，x 2＝3－4188．方程x(x －1)＝－x ＋1的解为( D ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x 1＝0，x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－19．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A ) A ．(2x ＋2)(3x ＋4)＝0化为2x ＋2＝0或3x ＋4＝0 B ．(x －3)(x ＋1)＝1化为x －3＝1或x ＋1＝1 C ．(x －2)(x －3)＝2×3化为x －2＝2或x －3＝3 D ．x(x －2)＝0化为x －2＝010．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x －2)(x －4)＝0的根，则这个三角形的周长是( C )A ．11B ．11或13C ．13D ．以上都不对11．(2014·陕西)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值是( B )A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－4 12．已知x ＝1是关于x 的方程(1－k)x 2＋k 2x －1＝0的根，则常数k 的值为__0或1___． 13．已知(x 2＋2x －3)0＝x 2－3x ＋3，则x ＝__2___． 14．用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x ＝x －4； 解：x 1＝x 2＝2(2)(x －3)2＝3(x －3)． 解：x 1＝3，x 2＝615．用适当的方法解下列方程： (1)4(x －1)2＝2；解：x 1＝2＋22，x 2＝－2＋22(2)x 2－6x ＋4＝0；解：x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5(3)x 2－4＝3x －6； 解：x 1＝1，x 2＝2(4)(x ＋5)2＋x 2＝25. 解：x 1＝－5，x 2＝016．一跳水运动员从10 m 高台上跳下，他离水面的高度h(单位：m )与所用时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到入水所用的时间为2 s17．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．专题训练(一) 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解方程： (1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8； 解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程： (1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7. 解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程： (1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程： (1)(x －1)2－2(x －1)＝0； 解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0. 解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程： (1)2(x －3)2＝x 2－9； 解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8. 解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用 (一)最大(小)值6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－p___，x 1x 2＝__q___．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－ba___，x 1x 2＝__ca___．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax 2＋bx ＋c ＝0___；(2)二次方程，即__a ≠0___；(3)有根，即__b 2－4ac ≥0___．知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( C ) A ．0 B ．2 C ．－2 D ．4 2．(2014·昆明)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于( C ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．43．已知方程x 2－6x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为( D ) A ．－8 B ．－4 C ．8 D ．44．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －4＝0的两个实数根，则(x 1－2)(x 2－2)＝__－6___． 5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x 2＋3x ＋1＝0；解：x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1(2)2x 2－4x －1＝0；解：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－12(3)2x 2＋3＝5x 2＋x.解：x 1＋x 2＝－13，x 1x 2＝－16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 12＋x 22； (2)1x 1＋1x 2.解：(1)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝11 (2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－3知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值7．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根互为相反数，则( B ) A ．b ＞0 B ．b ＝0 C ．b ＜0 D ．c ＝08．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根和c 分别为( C ) A ．1，2 B ．2，4 C ．4，8 D ．8，169．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则b ＋c 的值是( A )A ．－10B ．10C ．－6D ．－1 10．(2014·烟台)关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( D ) A ．－1或5 B ．1 C ．5 D ．－111．若关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．解：由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4①，x 1x 2＝k －3②，又∵x 1＝3x 2③，联立①③，解方程组得⎩⎨⎧x 1＝3，x 2＝1，∴k ＝x 1x 2＋3＝3×1＋3＝612．已知一元二次方程x 2－2x ＋2＝0，则下列说法正确的是( D )A ．两根之和为2B ．两根之积为2C ．两根的平方和为0D ．没有实数根13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是( B )A ．x 2＋6x ＋8＝0B ．x 2－6x ＋8＝0C ．x 2－6x －8＝0D ．x 2＋6x －8＝014．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( B ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－115．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( C )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或216．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n ＝__8___．17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__x 2－9x ＋8＝0___．18．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，求(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)的值．解：由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，∴(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝419．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2＋2＝2(1－x)有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)方程整理为x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0，由题意得Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴k ≤12(2)由题意得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1，∵k ≤12，∴－2(k －1)＝k 2－1，整理得k 2＋2k －3＝0，解得k 1＝－3，k 2＝1(舍去)，∴k ＝－320．设x 1，x 2是方程x 2－x －2015＝0的两个实数根，求x 13＋2016x 2－2015的值．解：x 2－x －2015＝0，∴x 2＝x ＋2015，x ＝x 2－2015.又∵x 1，x 2是方程x 2－x －2015＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，∴x 13＋2016x 2－2015＝x 1·x 12＋2016x 2－2015＝x 1·(x 1＋2015)＋2016x2－2015＝x12＋2015x1＋2016x2－2015＝x1＋2015＋2015x1＋2016x2－2015＝2016(x1＋x2)＋2015－2015＝2016。
第二十三章数据分析23．1第1课时算术平均数知识点算术平均数的计算1．[2017·苏州] 有一组数据：2，5，5，6，7，则这组数据的平均数为()A．3 B．4 C．5 D．62．某校五个小组参加植树活动，平均每个小组植树10株，已知一、二、三、五小组分别植了9株、12株、9株、8株，那么第四小组植树()A．12株 B．11株 C．10株 D．9株3．[2018·柳州] 一名同学进行五次投实心球的练习，每次投出的成绩如下表：4．一次数学测验中，若以60分为标准，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，则其中5名学生的成绩(单位：分)如下：＋36，0，＋12，－18，＋20.(1)这5名学生中，最高分是多少？最低分是多少？(2)这5名学生的平均分是多少？5．A，B，C，D，E五名学生在一次数学测验中的平均成绩是80分，而A，B，C三名同学的平均成绩是78分，那么下列说法一定正确的是()A．学生D，E的成绩比其他三人都好B．学生D，E两人的平均成绩是82分C．得最高分的学生不是A，B，C，DD．学生D，E中至少有一人的成绩不少于83分6．某商场经理为了了解甲、乙两个不同产地的同一种水果的销售情况，收集了10个省会城市该种水果的销售批发价格(单位：元/千克)如下表：(2)如果你是商场经理，你将做出怎样的经营决策？7．已知一组数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为x.(1)求一组新数据3x1，3x2，3x3，…，3x n的平均数；(2)求一组新数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，…，x n＋5的平均数；(3)你发现了什么规律？(4)若已知a，b，c，d，e的平均数是x，则a＋5，b＋12，c＋22，d＋9，e＋2的平均数是多少呢？教师详解详析【备课资源】【详解详析】1．C[解析] (2＋5＋5＋6＋7)÷5＝25÷5＝5，即这组数据的平均数是5.2．A[解析] 设第四小组植树为x株，则(9＋12＋9＋8＋x)÷5＝10，解得x＝12.3．解：该同学这五次投实心球的平均成绩为10.5＋10.2＋10.3＋10.6＋10.45＝10.4(m)．故该同学这五次投实心球的平均成绩为10.4 m.4．解：(1)∵在记录结果中，＋36最大，－18最小，∴60＋36＝96(分)，60－18＝42(分)，∴这5名学生中，最高分为96分，最低分为42分．(2)∵(36＋0＋12－18＋20)÷5＝10(分)，∴他们的平均分＝60＋10＝70(分)，故这5名学生的平均分是70分．5．D[解析] 由题意知，D，E两人的平均成绩为(80×5－78×3)÷2＝83(分)，∴D，E 中至少有一人的成绩不少于83分，由此不能判断D，E比其他三人的成绩好，故D选项正确，A选项不正确；D，E两人的平均成绩是83分，故B选项不正确；由此不能判断A，B，C，D四人成绩怎样，故C选项不正确．6．[解析] 先计算其平均数，再根据所得结果去分析求解．解：(1)甲产地该种水果的平均批发价格为110×(0.85＋0.83＋0.90＋0.90＋0.88＋0.86＋0.82＋0.81＋0.95＋0.84)＝0.864(元/千克)；乙产地该种水果的平均批发价格为110×(0.80＋0.82＋0.95＋0.91＋0.86＋0.82＋0.83＋0.79＋0.84＋0.80)＝0.842(元/千克)．因此甲产地该种水果的平均批发价格较高．(2)答案不唯一，只要合理即可．如：进货进乙产地的该种水果．7．[解析] 将探索的规律直接应用到以后的运算中，可以快速、准确地达到解题目的．解：(1)这组新数据的平均数为1n(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3x n)＝3n (x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ) ＝3·1n (x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )＝3x .(2)这组新数据的平均数为1n [(x 1＋5)＋(x 2＋5)＋(x 3＋5)＋…＋(x n ＋5)] ＝1n [(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )＋5n ] ＝1n (x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )＋1n ·5n ＝x ＋5.(3)规律：若一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，则数据ax 1，ax 2，ax 3，…，ax n 的平均数为ax ；数据x 1＋b ，x 2＋b ，x 3＋b ，…，x n ＋b 的平均数为x ＋b .(4)∵a ，b ，c ，d ，e 的平均数是x ，∴a ＋5＋b ＋12＋c ＋22＋d ＋9＋e ＋2＝5x ＋50，∴a ＋5，b ＋12，c ＋22，d ＋9，e ＋2的平均数是(5x ＋50)÷5＝x ＋10.第2课时 加权平均数知识点 加权平均数1．一组数据为3，4，3，3，5，6，3，那么这组数据中3的权重是________，这组数据的平均数是________．2．[2018·保定高新区期末] 某快递公司快递员张海六月第三周投放快递物品件数如下：有1天是41件，有2天是35件，有4天是37件，则这周张海日平均投放快递物品件数为( )A ．36B ．37C ．38D ．38.53．[2018·中山期末] 某公司招聘人才，对应聘者分别进行了阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩(单位：分)如下表：(1)(2)若将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按1∶3∶1的比例确定每人的最后成绩，则谁将被录用？4．教材习题A 组第1题变式某班有50名学生，平均身高为166 cm ，其中20名女生的平均身高为163 cm ，则30名男生的平均身高为________cm .5．某校九年级有200名学生，为了向团市委推荐本年级一名学生参加团代会，按如下程序进行了民主投票，推荐的程序：首先由全年级学生对六名候选人进行投票，每名学生只能给一名候选人投票，选出票数多的前三名，然后再对这三名候选人(记为甲、乙、丙)进行笔试和面试，两个程序的结果统计如下表和图23－1－1.23－1－1请你根据以上信息解答下列问题：(1)请分别计算甲、乙、丙的得票数；(2)若规定每名候选人得一票记1分，将投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比例计入每名候选人的总成绩，成绩最高的将被推荐，请通过计算说明甲、乙、丙哪名学生将会被推荐．6．某调查小组采用简单随机抽样的方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动的时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如图23－1－2的统计图．根据图中信息，回答下列问题：(1)该调查小组抽取的样本容量是多少？(2)求所抽样本中中小学生一天中阳光体育运动的时间为1.5小时的人数，并补全条形统计图；(3)请计算样本中中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．图23－1－2教师详解详析1．4277[解析] 这组数据中，3出现了4次，所以3的权重为4；这组数据的平均数为(3＋4＋3＋3＋5＋6＋3)÷7＝277.2．B [解析] 由题意可得，这周张海日平均投放快递物品件数为1×41＋2×35＋4×377＝37.故选B.3．[解析] (1)根据平均数的计算公式分别进行计算即可； (2)根据加权平均数的计算公式分别进行计算即可． 解：(1)x 甲＝(85＋90＋80)÷3＝85(分)，x 乙＝(95＋80＋95)÷3＝90(分)． ∵x 甲＜x 乙，∴乙将被录用． (2)根据题意，得x 甲＝85×1＋90×3＋80×11＋3＋1＝87(分)，x 乙＝95×1＋80×3＋95×11＋3＋1＝86(分)．∵x 甲＞x 乙，∴甲将被录用．4．168 [解析] 设男生的平均身高为x cm.根据题意，得(20×163＋30x )÷50＝166， 解得x ＝168.5．解：(1)甲的得票数是200×34%＝68(票)； 乙的得票数是200×30%＝60(票)； 丙的得票数是200×28%＝56(票)．(2)甲的成绩为68×2＋92×5＋85×32＋5＋3＝85.1(分)；乙的成绩为60×2＋90×5＋95×32＋5＋3＝85.5(分)；丙的成绩为56×2＋95×5＋80×32＋5＋3＝82.7(分)．∵乙的成绩最高，∴乙将会被推荐．6．解：(1)由题意，得运动时间为0.5小时的人数有100人，所占比例为20%，100÷20%＝500(人)．∴该调查小组抽取的样本容量是500.(2)运动时间为1.5小时的人数为500×24%＝120(人)．补全条形统计图如图所示．(3)根据题意，得100×0.5＋200×1＋120×1.5＋80×2＝1.18(时)，即样本中中小学生一天中阳光体育运100＋200＋120＋80动的平均时间约为1.18小时．第3课时算术平均数和加权平均数的应用知识点 1算术平均数的应用1．某电视台举办校园歌曲比赛，七位评委给某参赛队的打分(单位：分)为92，86，88，87，92，94，86，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩五个分数的平均数是() A．90 B．87 C．89 D．882．小明期末测试中语文、数学、英语三科的平均成绩为92分，已知小明的语文成绩是88分，英语成绩是95分，则小明的数学成绩为()A．93分 B．95分 C．92.5分 D．94分3．张华与王强两名学生期末六科考试成绩如下：(1)(2)现要从中选一名同学参加除政治外其他五科竞赛，应选谁去？知识点 2加权平均数的应用4．2017·聊城为了满足顾客的需求，某商场将5千克奶糖，3千克酥心糖和2千克水果糖混合成什锦糖出售．已知奶糖的售价为每千克40元，酥心糖的售价为每千克20元，水果糖的售价为每千克15元，混合后什锦糖的售价应为每千克()A．25元 B．28.5元C．29元 D．34.5元5．教材“观察与思考”变式假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓的价格和数量如下表．从平均价格看，谁买得比较划算()A.一样B．小菲C．小琳D．无法确定6．某商场欲招聘一名员工，现有甲、乙两人竞聘．通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自的成绩(百分制)如下表所示：(1)2，3，5，请计算两名应试者的平均成绩，从平均成绩看，谁将被录取？(2)若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言和商品知识成绩分别占50%，30%，20%，请计算两名应试者的平均成绩．从平均成绩看，谁将被录取？知识点 3用组中值求平均数7．某中学积极开展跳绳活动，九年级(1)班的体育委员统计了全班同学1分钟跳绳的次数，并列出了频数分布表：求全班同学18．某中学九年级(1)班的一次数学测试的平均成绩为80分，男生的平均成绩为82分，女生的平均成绩为77分，则该班男、女生的人数之比为()A．1：2 B．2：1C．3：2 D．2：39．某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行专业知识测试，成绩如下表所示，并依照录用的程序，组织200名职工对三人进行民主评议投票推荐，三人的得票率如图23－1－3所示(没有弃权票，且每位职工只能投1票，每得1票记作1分)．测试成绩(单位：分)图23－1－3请填出三人的民主评议得分：甲得________分，乙得________分，丙得________分；(2)根据招聘简章，人事部将专业知识、民主评议两项得分按6∶4的比例确定个人成绩，成绩优者将被录用．那么________将被录用，他的成绩为__________分．10．徐老师本学期教授九年级(1)班和九年级(2)班两个班的数学课(两班学生各方面的程度相同)，一章的课程学习结束后，徐老师对两个班进行了单元测试，并从两个班中各随机选取20名学生的成绩，根据成绩划分A，B，C，D，E五个等级(两班的等级划分标准相同，每组数据包括右端点不包括左端点)，画出统计图如图23－1－4.图23－1－4(1)补全频数分布直方图，求a的值及相应扇形的圆心角度数；(2)以每组的组中值(每组的中点对应的数据)作为这个等级的成绩，判断九年级(1)班、(2)班这两个班哪个班的平均成绩较高．11．某班为了从甲、乙两名同学中选出一名当班长，进行了一次演讲答辩和民主测评．A，B，C，D，E五位老师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，结果如下表．全班50名同学参与民主测评进行投票，结果如图23－1－5.演讲答辩情况统计表图23－1－5规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分．(1)求甲、乙两名同学各自演讲答辩的平均分；(2)试求民主测评投票情况统计图中a，b的值是多少；(3)若演讲答辩得分和民主测评得分按6∶4的权重比计算甲、乙两名同学的综合得分，则应选谁当班长？教师详解详析1．C [解析] 平均数＝92＋86＋88＋87＋925＝89.2．A [解析] 设小明的数学成绩为x 分，则(88＋95＋x )÷3＝92，解得x ＝93.故选A. 3．解：(1)张华的平均成绩＝(88＋84＋91＋96＋76＋81)÷6＝86(分)， 王强的平均成绩＝(83＋95＋89＋93＋89＋67)÷6＝86(分)．(2)张华除政治外其他五科的平均成绩＝(84＋91＋96＋76＋81)÷5＝85.6(分)， 王强除政治外其他五科的平均成绩＝(95＋89＋93＋89＋67)÷5＝86.6(分)． 因为王强除政治外其他五科的平均成绩高，所以应选王强去．4．C [解析] 混合后的什锦糖的售价应为(40×5＋20×3＋15×2)÷(5＋3＋2)＝29(元/千克)．5．C [解析] ∵小菲购买水果的平均价格是(12×2＋10×2＋8×2)÷6＝10(元/千克)，小琳购买水果的平均价格是(12×1＋10×2＋8×3)÷6＝283(元/千克)，∴小琳买得比较划算．6．解：(1)x 甲＝70×2＋50×3＋80×52＋3＋5＝69(分)，x 乙＝60×2＋60×3＋80×52＋3＋5＝70(分)．∵x 甲＜x 乙，∴乙将被录取．(2)x 甲＝70×50%＋50×30%＋80×20%＝66(分)，x 乙＝60×50%＋60×30%＋80×20%＝64(分)．∵x 甲＞x 乙，∴甲将被录取．7．解：六组数据的组中值分别为70，90，110，130，150，170，频数之和为5＋6＋14＋9＋7＋4＝45.加权平均数为145×(5×70＋6×90＋14×110＋9×130＋7×150＋4×170)≈118(次)．答：全班同学1分钟跳绳的平均次数约是118次． 8．C9．(1)70 68 62 (2)甲 71.8[解析] (1)甲、乙、丙三人的民主评议得分分别为200×35%＝70(分)，200×34%＝68(分)，200×31%＝62(分)．(2)如果将专业知识、民主评议两项得分按6∶4的比例确定个人成绩，那么6＋4乙的个人成绩为6×74＋4×686＋4＝71.6(分)，丙的个人成绩为6×67＋4×626＋4＝65(分)．由于甲的个人成绩最高，所以候选人甲将被录用． 10．解：(1)补全频数分布直方图如图所示．由扇形统计图可知B 等级所占比例为1－10%－20%－15%－45%＝10%，∴a ＝10， 圆心角的度数为360°×10%＝36°.(2)九年级(1)班成绩的平均数x 1＝95×5＋85×6＋75×5＋65×3＋55×120＝80.5(分)，九年级(2)班成绩的平均数x 2＝95×15%＋85×10%＋75×45%＋65×20%＋55×10%＝75(分)．∵80.5＞75，∴九年级(1)班的平均成绩较高．11．解：(1)甲演讲答辩的平均分为(90＋92＋94)÷3＝92(分)； 乙演讲答辩的平均分为(89＋87＋91)÷3＝89(分)． (2)a ＝50－40－3＝7；b ＝50－42－4＝4. (3)甲民主测评得分为40×2＋7＝87(分)； 乙民主测评得分为42×2＋4＝88(分)，6＋4乙综合得分为89×6＋88×46＋4＝88.6(分)．∵90＞88.6， ∴应选甲当班长．23.2 中位数和众数知识点 1 中位数1．[2018·温州] 某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分(单位：分)如下：9，7，8，7，9，7，6，则各代表队得分的中位数是( )A ．9分B ．8分C ．7分D ．6分2．[2018·嘉兴期末] 某校田径运动会上，参加男子跳高的16名运动员成绩如下表：A ．1.5 mB ．1.55 mC ．1.60 mD ．1.65 m3．2017·扬州为了了解某班的数学成绩情况，从该班随机抽取13份数学试卷成绩，结果如下：3个140分，4个135分，2个130分，2个120分，1个100分，1个80分，则这组数据的中位数为________．知识点 2 众数4．[2018·岳阳] 在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是( )A ．90，96B ．92，96C ．92，98D ．91，925．学校附近的商店一段时间内销售了甲、乙、丙、丁四种品牌的饮料共100瓶，各种饮料的销售量如下表：()A．甲品牌B．乙品牌C．丙品牌D．丁品牌6．某演出小分队由20名年龄在25岁到30岁的演员组成，请根据表格中提供的数据(其中28岁和29岁的人数未知)，试写出这20名演员年龄数据的众数的所有可能情况为__________________．知识点 37．某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中一名学生要想知道自己能否进入前5名，则他不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的()A．众数B．加权平均数C．平均数D．中位数8．[2018·十堰] 某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示：则这15A．24.5，24.5 B．24.5，24C．24，24 D．23.5，249．[2018·牡丹江] 一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，则这组数据的众数和中位数分别是()A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．2，410．为筹备班级毕业晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，最终买什么水果由调查数据的________决定．(填“平均数”“中位数”或“众数”)11．两组数据3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是8，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的众数为________，中位数为________．12．[2018·黑龙江模拟] 已知一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，这样的x 有()A．1个B．2个C．3个D．4个以上(含4个)13．某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图23－2－1所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是()图23－2－1A．94分，96分B．96分，96分C．94分，96.4分D．96分，96.4分14．甲、乙、丙三个家电厂在广告中都声称他们的某种电子产品的使用寿命为8年，质量检测部门对这三个厂家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：甲厂：4，5，5，6，6，7，7，8，8，8；乙厂：4，5，5，5，8，8，9，10，11，12；丙厂：4，5，6，6，6，9，9，11，11，13.请解答以下问题：(1)请填写下表：宣传？(3)如果三个厂家产品的售价一样，你认为顾客应该选购哪个厂家的产品？请说明理由．15．[2018·南通] 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下：对这30个数据按组距3进行分组，并整理、描述和分析如下．频数分布表数据分析表(1)填空：a＝________，b＝________，c＝________；(2)若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有________位营业员获得奖励；(3)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．教师详解详析【备课资源】1．C[解析] 利用中位数的定义，中位数是一组数据从小到大或从大到小排列后中间位置的数(当数的个数为偶数时为中间两个数的平均数)．这道题的数据从小到大排列为6，7，7，7，8，9，9，所以中间位置的数是7.故选C.2．B[解析] 将这组数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数都是1.55 m，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是1.55 m．故选B.3．135[解析] ∵将13份试卷成绩按从小到大的顺序排列后，第7个数是135，∴中位数为135.4．B[解析] 将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98，可得中位数为92，众数为96.5．D6．26或28或29或26，28或26，29 [解析] 28岁和29岁的人数为20－2－5－4－3＝6，因此28岁可以是6人，这时众数为28岁；29岁可以是6人，这时众数为29岁；28岁可以是5人，这时众数为26，28；29岁可以是5人，这时众数为26，29；也可以都小于5人，这时众数为26岁．因此这20名演员年龄的众数的所有可能值是26，28，29岁．故答案为26，28，29.7．D [解析] 9名选手的得分各不相同，则这组得分的中位数为第5名的分数，知道第5名的分数和自己的分数，就可判断自己能否进入前5名．故选D.8．A9．C [解析] ∵一组数据4，2，x ，3，9的平均数为4，∴(4＋2＋x ＋3＋9)÷5＝4，解得x ＝2，∴这组数据按照从小到大的顺序排列是2，2，3，4，9，∴这组数据的众数是2，中位数是3.10．众数11．12 6 [解析] ∵两组数据3，a ，2b ，5与a ，6，b 的平均数都是8，∴⎩⎨⎧14（3＋a ＋2b ＋5）＝8，13（a ＋6＋b ）＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝6.若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，5，6，6，12，12，12，一共有7个数，第4个数是6，所以这组数据的中位数是6；12出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是12.故答案为12，6.12．C [解析] (1)如果将这组数据按从大到小的顺序排列为10，8，x ，6，处于中间位置的数是8，x ，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是(8＋x )÷2，平均数为(10＋8＋x ＋6)÷4.∵数据10，8，x ，6的中位数与平均数相等，∴(8＋x )÷2＝(10＋8＋x ＋6)÷4，解得x ＝8，x 的位置与8对调，不影响结果；(2)如果将这组数据按从大到小的顺序排列为10，8，6，x ，那么中位数是(8＋6)÷2＝7，此时平均数是(10＋8＋x ＋6)÷4＝7，解得x ＝4，符合排列顺序；(3)如果将这组数据按从大到小的顺序排列为x ，10，8，6，那么中位数是(10＋8)÷2＝9，平均数是(10＋8＋x ＋6)÷4＝9，解得x ＝12，符合排列顺序，∴x 的值为4，8或12，共3个．13．D [解析] 总人数为6÷10%＝60(人)，则得94分的有60×20%＝12(人)，得98分的有60－6－12－15－9＝18(人)，第30与31个数据都是96分，所以这些职工成绩的中位数是(96＋96)÷2＝96(分)；这些职工成绩的平均数是(92×6＋94×12＋96×15＋98×18＋100×9)÷60＝96.4(分)．14．解：(1)丙厂的平均数是(4＋5＋6＋6＋6＋9＋9＋11＋11＋13)÷10＝8，甲厂中8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8，乙厂的中位数是8.(2)甲厂家用的是众数，乙厂家用的是中位数，丙厂家用的是平均数．(3)顾客应该选购丙厂家的产品．理由：答案不唯一，如顾客在选购产品时，一般以平均数为依据，选平均数大的厂家的产品，因此应选丙厂家的产品．15．解：(1)3415(2)8(3)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，则月销售额定为18万元合适．理由：因为中位数为18万元，所以月销售额定为18万元，有一半左右的营业员能达到销售目标．23.3方差知识点 1方差的计算1．在方差的计算公式s2＝12019[(x1－30)2＋(x2－30)2＋…＋(x2019－30)2]中，数2019和30分别表示的意义是()A．数据的个数和方差B．数据的方差和平均数C．数据的个数和数据的平均数D．数据的平均数和数据的个数2．图23－3－1是某年6月1日至6月7日每天最高、最低气温的折线统计图．图23－3－1请你根据折线统计图，回答下列问题：(1)在这7天中，日温差最大的一天是6月______日；(2)这7天中的日最高气温的平均数是________℃；(3)这7天日最高气温数据的方差是________．知识点 2方差的意义3．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是()A．平均数 B．众数 C．方差 D．频率4．[2018·烟台] 甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示：A．甲B．乙C．丙D．丁5．[2018·安顺] 学校射击队计划从甲、乙两人中选拔一人参加运动会射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如下表：6．[2018·荆州] 为了参加“荆州市中小学生首届诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩(百分制)分别为：八(1)班86，85，77，92，85；八(2)班79，85，92，85，89.通过数据分析，列表如下：(2)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．7．[2018·葫芦岛] 在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图23－3－2所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是()图23－3－2A．众数是90分B．中位数是95分C．平均数是95分D．方差是15分28．[2018·南京] 某排球队6名场上队员的身高(单位cm)是180，184，188，190，192，194.现用一名身高为186 cm的队员换下场上身高为192 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高()A．平均数变小，方差变小B．平均数变小，方差变大C．平均数变大，方差变小D．平均数变大，方差变大9．2017·舟山已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a－2，b－2，c－2的平均数和方差分别是()A．3，2 B．3，4C．5，2 D．5，410．[2018·巴彦淖尔] 两组数据m，n，6与1，m，2n，7的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的方差是________．11．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，则这组数据的方差是________．12．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．1名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差________(填“变小”“不变”或“变大”)．13．[2018·唐山路南区期末改编] 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩，测试规则为连续垫球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表23－3－3(1)小明将三人的成绩整理后制作了下面的表格：；(2)若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？并说明理由．14．某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩不低于6分为合格，不低于9分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩的条形统计图如图23－3－4所示．图23－3－4(1)补充完成下面的成绩统计分析表：知，小明是________(填“甲”或“乙”)组的学生；(3)甲组同学说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由．教师详解详析【备课资源】1．C2．(1)6 (2)26 (3)107 [解析] 由图像直接可以看出日温差最大的一天是6月6日，这7天的日最高气温分别是24 ℃，26 ℃，25 ℃，28 ℃，26 ℃，27 ℃，26 ℃，日最高气温的平均数是26 ℃，然后代入方差公式进行计算．3．C4．D [解析] ∵甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的方差中丁的方差最小，∴丁仪仗队的身高更为整齐．5．乙 [解析] 因为s 甲2＝0.035＞s 乙2＝0.015，方差小的为乙，所以成绩比较稳定的是乙．6．解：(1)a ＝86，b ＝85，c ＝85. (2)八(2)班前5名同学的成绩较好． 理由：∵86＞85，19.2＜22.8，即八(2)班的平均分大于八(1)班，方差小于八(1)班，∴八(2)班前5名同学的成绩较好． 7．A8．A [解析] 原数据的平均数为180＋184＋188＋190＋192＋1946＝188，则原数据的方差为16×[(180－188)2＋(184－188)2＋(188－188)2＋(190－188)2＋(192－188)2＋(194－188)2]＝683， 新数据的平均数为180＋184＋188＋190＋186＋1946＝187，则新数据的方差为16×[(180－187)2＋(184－187)2＋(188－187)2＋(190－187)2＋(186－187)2＋(194－187)2]＝593，所以平均数变小，方差变小．9．B [解析] ∵数据a ，b ，c 的平均数为5，∴(a ＋b ＋c )÷3＝5，∴(a －2＋b －2＋c －2)÷3＝(a ＋b ＋c )÷3－2＝5－2＝3，∴数据a －2，b －2，c －2的平均数是3.∵数据a ，b ，c 的方差为4，∴13[(a －5)2＋(b －5)2＋(c －5)2]＝4，∴a －2，b －2，c －2的方差s 2＝13[(a －2－3)2＋(b －2－3)2＋(c －2－3)2]＝[(a －5)2＋(b －5)2＋(c －5)2]＝4.故选B.10．6 [解析] ∵数据m ，n ，6与1，m ，2n ，7的平均数都是6，∴错误!解得错误! ∴这组新数据的方差为17×[(8－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(1－6)2＋(8－6)2＋(8－6)2＋(7－6)2]＝6.11.53 [解析] ∵数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，x ，4，5，这组数据的中位数为3，∴x ＝3，∴这组数据的平均数是(1＋2＋3＋3＋4＋5)÷6＝3，∴这组数据的方差是16×[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝53.12．变大13．解：(1)运动员甲测试成绩按从小到大的顺序排列为5，6，7，7，7，7，7，8，8，8，所以中位数b ＝(7＋7)÷2＝7.运动员乙的测试成绩中，数据7出现了6次，次数最多，所以众数d ＝7.运动员丙测试成绩的平均数a ＝110×(2×5＋4×6＋3×7＋1×8)＝6.3，中位数c ＝(6＋6)÷2＝6，众数e ＝6.故答案为6.3，7，6，7，6.(2)选运动员乙更合适．理由：∵甲、乙、丙三人的众数分别为7，7，6，中位数分别为7，7，6，平均数分别为7，7，6.3，∴甲、乙较丙优秀一些． ∵s 甲2＞s 乙2， ∴选运动员乙更合适．14．解：(1)从条形统计图上看，甲组的成绩分别为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，因此甲组的中位数为6分．乙组成绩分别为5，5，6，7，7，8，8，8，8，9，平均分为110×(5×2＋6＋7×2＋8×4＋9)＝7.1(分)，故填表如下：，超过甲组的中位数，低于乙组的中位数，所以小明应该是甲组的学生．(3)答案不唯一，如从表格中可以看出：乙组的平均分、中位数都高于甲组，方差小于甲组，且成绩集中在中上游，所以乙组成绩好于甲组．23.4用样本估计总体知识点 1用样本平均数估计总体平均数1．某班主任想了解本班学生平均每月有多少零用钱，随机抽取了10名同学进行调查，他们每月的零用钱数目(单位：元)分别是10，20，20，30，20，30，10，10，50，100，则该班每名同学平均每月的零用钱数约为()A．10元 B．20元 C．30元 D．40元2．2017·洛宁三模某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果(单位：万元)分别如下：2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1，则该商场4月份的总营业额大约是________万元．3．为了解在“爱护地球，绿化祖国”的植树活动中，全校600名学生的植树情况，随机调查了30名学生的植树情况，统计数据如下表所示：(1)这30(2)根据这30名学生植树棵数的情况，估计该校600名学生在本次活动中共植树多少棵．知识点 2用样本方差估计总体方差4．为了比较甲、乙两种水稻秧苗哪种出苗更整齐，从每种秧苗中各随机抽取50株，分别量出每株的长度，发现两组秧苗的平均长度一样，且甲、乙两组数据的方差分别是3.5，10.9，则下列说法正确的是()A．甲种秧苗出苗更整齐B．乙种秧苗出苗更整齐C．甲、乙两种秧苗出苗一样整齐D．无法确定哪种秧苗出苗更整齐5．[2018·陇南] 甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数x与方差s2如下表：A．甲B．乙C．丙D．丁6．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：吨/公顷)如下：经计算，x甲乙种的产量比较稳定．7．某社区开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动的一个月以来节约用水的情况，从该小区的1000个家庭中随机选出20个家庭统计了解一个月的节水情况，如下表：。
