北师版九年级数学上册同步精品讲义(最新版;可直接打印)

第1讲特殊的平行四边形⎧⎪⎨⎪⎩矩形特殊的平行四边形菱形正方形知识点1：矩形1.矩形的性质：（1）矩形具备平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线平分且相等（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

2.矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形【典例】1.矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10．（1）求矩形较短边的长．（2）矩形较长边的长．（3）矩形的面积．【方法总结】本题主要考察矩形对角线的性质——相等且互相平分、矩形的四个角都是直角。

（1）矩形对角线与一边组成的三角形是等腰三角形，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；（2）在上一问的基础上通过勾股定理即可求出长边；（3）直接对公式的应用。

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC的度数是____【方法总结】本题主要考查了矩形的性质——四个角都是直角、对角线相等．本题要求两条对角线的较小的夹角∠DEC，利用矩形的对角线相等以及等腰三角形的性质，先求出∠DCE即对角线与短边的夹角即可得出结论；求∠DCE需要将其放到直角三角形中求出与其互余的锐角，综合已知条件：两互余且有倍数关系．解这种类型题需要将已知与所求相结合，引入方程思想可以将解题过程简化．3.已知，如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的平分线，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．求证：（1）四边形AECF是矩形；（2）MN与BC的位置有何关系，证明你的结论．【方法总结】本题主要考察矩形的判定以及矩形性质的运用。

第（1）问给出了AE⊥CE、AF⊥CF，可以得出四边形有两个直角，欲证明该四边形是矩形，可以找第三个直角。

第1讲一元二次方程1.1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.知识网络图⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.1．（2018•绍兴一模）利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x ﹣1=，两边平方得（x ﹣1）2=（）2，所以x 2﹣2x+1=2，即x 2﹣2x ﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（ ）A ．4x 2+4x+5=0B ．4x 2+4x ﹣5=0C ．x 2+x+1=0D ．x 2+x ﹣1=01．（2018•深圳模拟）已知α、β是方程x 2﹣2x ﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．22D ．302．（2017秋•平顶山期末）若a+c=b ，那么方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）必有一根是（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．小试牛刀再接再厉1.2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .1．（2017•济宁二模）我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i ，使其满足i 2=﹣1（即x 2=﹣1方程有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=﹣1，i 3=i 2•i=（﹣1）•i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n ，我们可得到i 4n+1=i 4n •i=（i 4）n •i ，同理可得i 4n+2=﹣1，i 4n+3=﹣i ，i 4n =1，那么，i+i 2+i 3+i 4+…+i 2016+i 2017的值为（ ）知识概述小试牛刀A ．0B ．1C ．﹣1D ．i2．（2018•龙岗区一模）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a 2﹣2ab+b 2，根据这个规则求方程（x ﹣4）*1=0的解为______________．1．（2018春•嘉兴期中）给出一种运算：对于函数y=x n ，规定y ′=nx n ﹣1．例如：若函数y=x 4，则有y ′=4x 3．已知函数y=x 3，则方程y ′=12的解是______________．2．（2017春•明光市期中）若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两根分别为m+1与2m ﹣4．（1）求m 的值；（2）求的值．3．（2016秋•长泰县期中）已知一元二次方程（x ﹣3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，求△ABC 的周长．再接再厉4．（2017秋•怀柔区期末）我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．如x2=9，（3x﹣2）2=25，（）2=4…都是完全平方方程．那么如何求解完全平方方程呢？探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3．解决问题：（1）解方程：（3x﹣2）2=25．解题思路：我们只要把3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．解：根据乘方运算，得3x﹣2=5 或3x﹣2=　________．分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1．（2）解方程．1.3 配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.1．（2017秋•苍溪县期末）解方程：（1）x 2﹣2x ﹣4=0（2）用配方法解方程：2x 2+1=3x2．（2017秋•卢龙县期末）解方程：（1）（y+2）2=（3y ﹣1）2知识概述小试牛刀（2）x 2+4x+2=0（配方法）1．（2018春•瑶海区期中）解一元二次方程（配方法）：x 2﹣6x ﹣7=0．2．（2017秋•句容市月考）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x （x+4）=6．解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]=6．（x+2）2﹣22=6，（x+2）2=6+22，（x+2）2=10．直接开平方并整理，得．x 1=﹣2+，x 2=﹣2﹣．我们称小明这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）=5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：[（x+a ）﹣b][（x+a ）+b]=5．（x+a ）2﹣b 2=5，（x+a ）2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，_____，_____，_____．（2）请用“平均数法”解方程：（x ﹣5）（x+3）=6．再接再厉1.4 公式法1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤　用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.1．（2017秋•前郭县期末）用公式法解方程：3x 2+5（2x+1）=0．知识概述小试牛刀1．（2017秋•安陆市期中）以x=为根的一元二次方程可能是（ ）A ．x 2+bx+c=0B ．x 2+bx ﹣c=0C ．x 2﹣bx+c=0D ．x 2﹣bx ﹣c=02．（2017秋•惠民县期末）（1）用配方法解方程：3x 2﹣12x+9=0．（2）用公式法解方程：3x 2﹣9x+4=0．1.5 因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.再接再厉知识概述1．（2017秋•沈河区期末）解方程（1）x 2﹣7x ﹣18=0 （2）2（x ﹣3）2=x 2﹣9．2．（2017秋•沭阳县期末）（x+3）（x ﹣1）=12．1．（2017秋•梁子湖区期末）解下列方程：（1）x 2+3x ﹣1=0；（2）x （2x ﹣5）=4x ﹣10．小试牛刀再接再厉2．（2017秋•槐荫区期末）在方程x2﹣3x=0中，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，把方程左边因式分解得到x（x ﹣3）=0，根据“任何数与0相乘都得0”，我们可知“两个因式中只要有一个因式的值为0，乘积就为0，”即方程可以转化为：x=0或x﹣3=0，解这两个一次方程得：x=0或x=3．所以原方程的解有两个，分别为：x=0或x=3．上述将方程x2﹣3x=0转化为x=0或x﹣3=0的过程，是将来学习的一元二次方程的解法中，通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．规范书写如下：解：x2﹣3x=0x（x﹣3）=0x=0或x﹣3=0∴x=0或x=3仿照上面的方法和规范，解决下列问题：（1）解方程9x2﹣4=0（2）解方程a2﹣2a﹣3=0；类比上面的思路，解决下列问题．（3）根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，请你直接写出一元二次不等式a2﹣2a﹣3＞0的解集．第1讲一元二次方程1.1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识网络图⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述1．（2018•马鞍山二模）已知a 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的一个根，则代数式2a 2﹣4a ﹣1的值为（ ）A ．1B ．﹣2C ．﹣2或1D ．22．（2018•岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m 2﹣5m+3=0有一个根为1，则m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．0D ．1或33．（2017秋•潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x ﹣3）=5x 的一次项系数是（ ）A ．﹣5B ．﹣9C ．0D ．51．（2018•荆门二模）已知2是关于x 的方程x 2﹣（5+m ）x+5m=0的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．9或12D ．6或12或15小试牛刀再接再厉2．（2018•河北模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是（ ）A．2016B．2018C．2020D．20223．（2017秋•武城县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）A．0B．1C．2D．1或24．（2017秋•蓬溪县期末）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax+1﹣a2=0有一个根是0，则a=（ ）A．1B．﹣1C．±1D．05．（2017秋•常熟市期末）已知一元二次方程x2﹣x﹣2=0的一个根是m，则2018﹣m2+m的值是（ ）A．2015B．2016C．2018D．20201.2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .1．（2017春•费县校级月考）解方程：（1）25x 2﹣36=0 （2）4（2x ﹣1）2=36．知识概述小试牛刀1．（2017秋•天宁区校级月考）解方程：（1）（x+2）2﹣16=0 （2）x 2﹣2x ﹣4=0．1.3 配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.1．（2018•临沂）一元二次方程y 2﹣y ﹣=0配方后可化为（ ）再接再厉知识概述小试牛刀A ．（y+）2=1B ．（y ﹣）2=1C ．（y+）2=D ．（y ﹣）2=2．（2018•旌阳区模拟）用配方法解方程x 2﹣x ﹣1=0时，应将其变形为（ ）A ．（x ﹣）2=B ．（x+）2=C ．（x ﹣）2=0D ．（x ﹣）2=3．（2018•中江县模拟）用配方法解方程：x 2﹣7x+5=0．1．（2018•秀洲区二模）在《九章算术》“勾股”章里有求方程x 2+34x ﹣71000=0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是（ ）A ．（x+17）2=70711B ．（x+17）2=71289C ．（x ﹣17）2=70711D ．（x ﹣17）2=712892．（2017秋•定安县期末）将一元二次方程x 2﹣4x ﹣6=0化成（x ﹣a ）2=b 的形式，则b 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．103．（2018•宁河县一模）解下列方程：（1）x 2+10x+25=0（2）x 2﹣x ﹣1=0．再接再厉4．（2017•广东模拟）解方程：（x+1）（x ﹣1）+2（x+3）=8．1.4 公式法1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤　用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.1．（2016秋•通江县月考）下列方程适合用求根公式法解的是（ ）A ．（x ﹣3）2=2B ．325x 2﹣326x+1=0知识概述小试牛刀C ．x 2﹣100x+2500=0D ．2x 2+3x ﹣1=02．（2016秋•惠安县校级期中）用求根公式法解方程x 2﹣2x ﹣5=0的解是（ ）A ．x 1=1+，x 2=1﹣B ．x 1=2+，x 2=2﹣C ．x 1=1+，x 2=1﹣D ．x 1=2+，x 2=2﹣3．（2018•和平区模拟）解方程：（x ﹣3）（x ﹣2）﹣4=0．1．（2018•高新区模拟）解方程3x 2+5x+1=0．2．（2017秋•九江期末）用公式法解一元二次方程：2x 2﹣7x+6=0．3．（2017•江汉区校级模拟）4x 2﹣3=12x （用公式法解）4．（2016秋•潮州期末）用公式法解方程：2x 2+3x=1．再接再厉1.5 因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.1．（2018•泸县模拟）解方程：x （x ﹣1）=4x+6．2．（2017秋•白银期末）解方程：（1）3（x ﹣1）2=x （x ﹣1）（2）x 2+1=3x．知识概述小试牛刀1．（2017秋•凤翔县期末）解方程（1）4x 2﹣8x+3=0（2）x （x+6）=72．（2017秋•莘县期末）解方程：2（x ﹣3）2=5（3﹣x ）．3．（2017秋•遵义期末）解方程：3x （x ﹣1）=2（x ﹣1）．4．（2017秋•雁塔区期末）解下列方程：（1）x （x+5）=14；（2）x 2﹣2x ﹣2=05．（2017秋•新罗区期末）用适当的方法解方程：（1）x 2+3x ﹣4=0（2）x （x ﹣2）+（x ﹣2）=0．再接再厉第1讲一元二次方程1.1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识网络图⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述1．（2018春•鄞州区期中）一元二次方程3x 2﹣3x=x+2化为一般形式ax 2+bx+c=0后，a 、b 、c 的值分别是（ ）A ．3、﹣4、﹣2B ．3、﹣3、2C ．3、﹣2、2D ．3、﹣4、22．（2018•中江县模拟）关于x 的方程（a ﹣1）x |a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（ ）A ．a ≠±1B ．a=1C ．a=﹣1D ．a=±13．（2018•绥化模拟）下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．xy+2=1B ．C ．x 2=0D ．ax 2+bx+c=04．（2018•盐城）已知一元二次方程x 2+k ﹣3=0有一个根为1，则k 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．4小试牛刀1．（2017秋•凉山州期末）将一元二次方程5x2﹣1=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5x2，﹣4x2．（2018•平顶山二模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根0，则a值为（ ）A．1B．﹣1C．±1D．03．（2017秋•邵阳期末）关于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，则a 的取值范围为（ ）A．a≠0B．a＞0C．a≠2D．a＞24．（2017秋•铜梁区期末）方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．6，2，9B ．2，﹣6，9C ．2，﹣6，﹣9D ．﹣2，6，95．（2018春•杭州期中）已知关于x 的方程（m+1）x+2x ﹣3=0是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．不能确定1.2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .知识概述1．（2017秋•雁塔区期末）一元二次方程（x ﹣1）2﹣2=0的根是（ ）A ．x=B ．x 1=﹣1，x 2=3C ．x=﹣D ．x 1=1+，x 2=1﹣2．（2017•白云区一模）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）A ．x 2﹣1=0B ．x 2=0C ．x 2+4=0D ．﹣x 2+3=03．（2017•包河区校级模拟）解方程：（x ﹣5）2=16．1．（2017秋•漳州期末）关于x 的方程（x+1）2﹣m=0（其中m ≥0）的解为（ ）A ．x=﹣1+mB ．x=﹣1+C ．x=﹣1±mD ．x=﹣12．（2018春•包河区期中）解方程：（4x ﹣1）2﹣9=03．（2017秋•秦淮区期中）解方程（x ﹣1）2﹣4=0．小试牛刀再接再厉4．（2018春•西城区校级期中）解方程：（2x ﹣1）2=3．1.3 配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.1．（2018•定兴县二模）一元二次方程x 2﹣8x ﹣1=0配方后可变形为（ ）A ．（x+4）2=17B ．（x+4）2=15C ．（x ﹣4）2=17D ．（x ﹣4）2=152．（2018•常州模拟）解下列方程：（1）x 2﹣2x ﹣2=0；（2）（x ﹣1）（x ﹣3）=8．知识概述小试牛刀1．（2017秋•潮南区期末）用配方法解方程：x 2﹣4x+1=0．2．（2016秋•宁德期末）小明同学解一元二次方程x 2﹣4x ﹣1=0的过程如图所示解：x 2﹣4x=1…①x 2﹣4x+4=1 …②（x ﹣2）2=1…③x ﹣2=±1…④x 1=3，x 2=1…⑤（1）小明解方程的方法是__________，他的求解过程从第__________步开始出现错误，这一步的运算依据应该是____________________；（2）解这个方程．再接再厉1.4 公式法1.一元二次方程的求根公式　一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤　用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.1．（2018春•包河区期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程﹣4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ）A ．a=﹣4，b=5，c=3B ．a=﹣4，b=﹣5，c=3知识概述小试牛刀C ．a=4，b=5，c=3D ．a=4，b=﹣5，c=﹣32．（2017•淄川区一模）用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．y=B ．y=C ．y=D ．y=1．（2017秋•昌平区校级期中）方程x 2﹣x ﹣1=0的根是（ ）A ．x 1=，x 2=B ．x 1=，x 2=C ．x 1=，x 2=D ．没有实数根2．（2016秋•盱眙县校级月考）用公式法解方程x 2﹣4x ﹣2=0，其中b 2﹣4ac 的值是（ ）A ．16B ．24C ．8D ．43．（2018•金乡县模拟）x 2﹣2x ﹣15=0．（公式法）再接再厉1.5 因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.1．（2018•花都区一模）解方程：x 2﹣6x+5=0．　2．（2017秋•工业园区期末）解方程：（x+1）2=3（x+1）3．（2018•湘桥区模拟）解方程：x 2﹣4x ﹣5=0．知识概述小试牛刀1．（2017秋•市中区期末）解方程：x 2+8x ﹣9=0．2．（2017秋•南平期末）解方程：（1）x 2+2x=0（2）3x 2+2x ﹣1=03．（2017秋•宝安区期末）x 2﹣8x+12=0．4．（2017秋•丹徒区期末）解下列方程（1）x 2﹣4x ﹣5=0（2）2（x ﹣1）+x （x ﹣1）=0再接再厉第2讲 一元二次方程的实际问题2.1 根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．1．（2018•宜宾）一元二次方程x 2﹣2x=0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2为（ ）A ．﹣2B ．1C ．2D ．0知识网络图⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩根与系数的关系问题变化率问题实际问题利润问题其他问题知识概述)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21小试牛刀2．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x 2+2x ﹣9=0的两根，则+的值是（ ）A ．B ．﹣C ．﹣D ．3．（2018•番禺区一模）若α、β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣2D ．4．（2018•盐城模拟）已知方程x 2﹣x ﹣2=0的两个实数根为x 1、x 2，则代数式x 1+x 2+x 1x 2的值为（ ）A ．﹣3B ．1C ．3D ．﹣15．（2018•黄石模拟）设x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则的值是（ ）A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣6 或﹣5D ．6 或56．（2018•奎文区二模）已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m 的值是（ ）A ．3或﹣1B ．3C ．1D ．﹣3或1　再接再厉7．（2018•罗平县一模）若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（ ）A．1B．2C．﹣D．﹣8．（2017秋•五莲县期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6=0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（ ）A．3B．15C．﹣3D．﹣159．（2018春•绍兴期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）A．10B．9C．8D．710（2018•江西）一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2．则x12﹣4x1+2x1x2的值为_____．11．（2018•河北区一模）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为___．2.2增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)1．（2018•宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）A ．2%B ．4.4%C ．20%D ．44%2．（2018•眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%知识概述(1)na xb +=(1)n a x b -=小试牛刀3．（2018•邻水县三模）某超市将某品牌书包的售价从原来80元/个经两次调价后调至64.8元/个．若该超市两次调价的降价率相同，则降价率是（ ）A ．10%B ．20%C ．80%D ．90%4．（2018•蒙城县一模）某种药品经过两次降价后，价格下降了19%，则该药品平均每次降价的百分比为（ ）A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%5．（2018•江阴市二模）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（ ）A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%6．（2018•拉萨一模）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为_____．7．（2018•泸县模拟）某地2015年为做好“精准扶贫”工作，投入资金2000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年投入资金2880万元，求2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率．8．（2018•南关区校级二模）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年，县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2016年投资了7.2亿元人民再接再厉币，问：每年投资的增长率是多少？2.3利润问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数1．（2018•石家庄模拟）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（ ）元．A ．3B ．2.5C ．2D ．52．（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为____件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？知识概述小试牛刀。

第一节——全等三角形【知识要点】1．你能用数学符号叙述三角形全等的证明方法吗? 2．通过叙述你能总结出一些证明三角形全等的思路吗?3．通过证明三角形全等我们可以得到些什么?4．在遇到角平分线,高线,中线等时,你是如何构造辅助线得到三角形全等?【典型例题】# 例1 如图，已知正方形ABCD 中，E 为CD 上一点， F 为BC 延长线上一点，且CF CE =． （1）求证：BCE ∆≌DCF ∆（2）若 30=∠FDC ，求BEF ∠的度数．# 例2 如图，已知：BD ，CE 分别是ABC ∆的 边AC 和AB 上的高，点P 在BD 延长线上，BP=AC ， 点Q 在CE 上，CQ=AB ．求证：（1）AP=AQ ； （2）AQ AP ⊥例3．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB=AC ， D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 边上的点， 且DF ED ⊥．若BE=12，CF=5，求DEF ∆的面积．ADFE CB例4 如图，在ABC ∆中，AC AB =，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 上的点，且,CE BD =B DEF ∠=∠．求证：DEF ∆是等腰三角形例5 如图，M 为BC 中点，BE ，CD 相交于点A ，43,21∠=∠∠=∠．求证：BMD ∆≌CME ∆例6 如图，已知：正ABC ∆ 的边长为a ，D 为 AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE=CD ，连 接DE ，交BC 于点P （1）求证：DP=EP ．（2）若D 为AC 的中点，求BP 的长．例7 如图，在等腰直角ABC ∆中， 90=∠ACB ， D 是斜边AB 上任一点，CD AE ⊥于E ，CD BF ⊥， 交CD 的延长线于F ，AB CH ⊥于H ，交AE 于G ， 求证：BD=CG ．ABEP F DC AEC DB3M 1 2 4ADEBF* 例8 A ，B ，C 三个村庄在一条东西走向的公路沿线 （如图），AB=2千米，BC=3千米，在B 村的正北方有 一个D 村，测得 45=∠ADC ，今将ACD ∆区域规 划为开发区，除其中4平方千米的水塘外，均作为建 筑或绿化用地，试求：这个开发区的建筑及绿化用地 的面积是多少平方千米？* 例9 如图，在等腰三角形ABC 中，延长边AB 到 点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，恰有AD=BC=CE=DE ． 求证： 100=∠BAC* 例10 如图，在ABC ∆中， 100=∠BAC ， AD=DC ， 1021=∠=∠，AD EN ⊥于点N ． 求4∠的度数．大展身手 一、选择题：# 1．如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且C B ∠=∠，那么补充 下列一个条件后，仍无法判定ABE ∆≌ACD ∆的是（ ） A ．AE AD = B ．ADC AEB ∠=∠ C ．CD BE =D ．AC AB =# 2．如图，ABC ∆≌AEF ∆，AE AB =，E B ∠=∠， 则对于结论：①AF AC =；②EAB FAB ∠=∠；③BC EF =；④FAC EAB ∠=∠，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4# 3．如图所示，BDC ∆是将矩形纸片ABCD 的沿对角线 BD 折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等 三角形（ ） A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对# 4.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ， 且AD=AE ，AB=AC ．若B ∠= 20，则C ∠=5．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上， 梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的 倾斜角MCA ∠为75.如果梯子底端不动，顶端靠 在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为 b 米，梯子的倾斜角NCB ∠为45.则这间房子的宽 AB 是 米．6．如图，以等腰ABC Rt ∆的斜边AB 为边向内作等 边ABD ∆，连接DC ，以DC 为边作等边DCE ∆， B 、E 在CD 的同侧，若2=AB ，则BE= ．# 7.已知：ABC ∆（AC AB ≠）中，DE 在BC 上， 且DE=EC ，过D 作DF//AB 交AE 于点F ，DF=AC ． 求证：AE 平分BAC ∠# 8.如图，在ABC ∆中，AB=AC ，AD 是中线，BE=CF ． （1）求证：BDE ∆≌CDF ∆（2）当 60=∠B 时，过AB 中点G ，作AD GH ⊥， 求证：AB GH 41=# 9.将一个长方形纸片ABCD 如图所示沿对角线AC 折叠， 点B 落在E 点，AE 交DC 于F 点．已知AB=8cm, BC=4cm ，求：折叠后重合部分的面积．G E BDF H A BDFG CE10．如图，ABC ∆中，AB=AD ，AD 平分BAC ∠，CM 垂直AD 交AD 延长线于M ．求证：)(21AC AB AM +=11.如图，已知ABC ∆为等边三角形，AE=CD ，AD ，BE 相交于点P ，AD BQ ⊥于Q ，求证：BP=2PQ12．如图，在四边形ABCD 中，AB=2AD ，AC 平分.,BC AC BAD =∠ 求证：AD CD ⊥* 13．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，,60=∠BAD120=∠BCD ，求证：BC+CD=AC* 14．如图，在等边ABC ∆中，D ，E 分别在BC ，AC 边上，且AE=DC ，AD 与BE 相交于F ，.BE CF ⊥ 求AF ：BF 的值．小试锋芒姓名： 成绩：# 1．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E ，F ，且BE=CF ．求证：AB=AC# 2．如图，AD 为ABC ∆的角平分线，M 为BC 中点， ME//DA ，交BA 的延长线于E ． 求证：)(21AC AB CF BE +==3．如图，已知：ABC ∆中，90,=∠=ACB BC AC ， D 是AC 上一点，BD AE ⊥，交BD 的延长线于E ， 且BD AE 21=，求证：BD 是ABC ∠的角平分线．4．如图，在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，AD BP ⊥，垂足为P ，已知AB=5，BP=2，AC=9，试证明C ABC ∠=∠3EADCBAE BDCF* 5.如图，在ABC ∆中，60=∠C ，AC ＞BC ，ABC ∆′, BCA ∆′, CAB ∆′都是ABC ∆形外的等边三角形，点D 在AC 上，且BC=DC ． （1）证明∆C ′BD ≌∆B ′DC ； （2）证明∆AC ′D ≌∆DB ′A ；（3）对ABC ∆，ABC ∆′，BCA ∆′，CAB ∆′， 从面积大小关系上，你能得出什么结论？* 6.如图，在凸四边形ABCD 中， 30=∠ABC ，60=∠ADC ，AD=DC ，证明：222BC AB BD +=第二节——垂直平分线与角平分线 【知识要点】1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示? 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示? 3．你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗?4．你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗?【典型例题】# 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ∆的周长为28，BC=8，求BCE ∆的周长．ADEB# 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的 垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF# 例3 如图，在ABC ∆中， 108=∠A ， AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD# 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线．例5 如图，P 为ABC ∆的BC 边的垂直平分线PG 上一点，且A PBC ∠=∠21．BP ，CP 的延长线分别交AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD例6 如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠3，21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BDCGAEBDP AE FBDC例7 如图，已知AD 是ABC ∆中A ∠的平分线，DE//AC 交AB 于E ，DF//AB 交AC 于F ． 求证：点E ，F 关于直线AD 对称* 例8 如图，在ABC ∆中，AB ＞BC ，60=∠B ，BAC ∠，ACB ∠的平分线交于点G ．（1）图中是否有相等的线段？若 有，请写出相等的线段，并证明．（2）图中线段AC 是否等于 其他两条线段的和？若有，请写出等式，并证明；若无，请 说明理由．* 例9 如图，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆ 是顶角 120=∠BDC 的等腰三角形，以D 为顶点作一 个 60角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接 MN ，形成AMN ∆．求证：AMN ∆的周长等于2* 例10 设ABC ∆的外心为O ，在其边AB 和BC 上分别 取点M 和点N ，使得AOC MON ∠=∠2． 求证：MBN ∆的周长不小于边AC 的长．AEBDCF大展身手姓名： 成绩：# 1．如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B ，B ′分别在边 AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB ′，那么 该条件可以是（ ） A ．B B ′⊥ACB ．BC= B ′CC ．ACB ∠=AC ∠ B ′D ．ABC ∠=∠A B ′C# 2．M ，N ，A ，B 是同一平面上的四个点，如果MA=MB ，NA=NB ， 则点 、 在线段 的垂直平分线上．# 3．设线段AB 的垂直平分线MN 交AB 于点C ，P 是MN 上不同 于点C 的一点，那么PAB ∆是 三角形，PC 是PAB ∆的 线、 线和 ．．# 4．在ABC ∆中，E 为BC 中点，BC DE ⊥交AB 于点D ， 若 25=∠B ，AD=CD ，则 25=∠B ，AD=CD ，则ADC ∠ ，ACB ∠= ．# 5．在ABC ∆中，AB=AC ，DE 是AB 边的中垂线，垂足为E ， 交AC 于D ．若BDC ∆的周长为24，AB=14，则BC= ； 若 40=∠A ，则DBC ∠= ．# 6．在ABC ∆中，120=∠BAC ．PM 为AB 边的中垂线，垂足为M ，交BC 于P ；QN 为AC 边的中垂线，垂足为N ，交BC 于Q ，则PAQ ∠= ，或BC=9cm ，则APQ ∆的周长为 cm.# 7．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知100=∠BDC ．则A ∠的度数为 ．# 8．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作 EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ∆ 的周长为 ．# 9．如图，在ABC Rt ∆中， 90=∠C ，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1cm ，则AC= cm.10．如图，P 为正方形外一点， 15=∠=∠PBC PAD ， 求证：PDC ∆为等边三角形．11．在ABC ∆中，AC BC B C 2,2=∠=∠．求A ∠的度数．12．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ACB ∠ 的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交 AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF13．如图，在ABC ∆中，AB=AC ， 36=∠A ，21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．求证：AB=CF* 14．如图，ABC ∆中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ． 求证：AC ⊥CD* 15．如图，在ABC ∆中，90=∠ABC ，60=∠ACB ，BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF* 16．A ，B 两港在大湖南岸，C 港在大湖北岸．A ，B ，C 三港 恰为一等边三角形的三个顶点．A 港的甲船与B 港的乙船同时出 发都沿直线向C 港匀速行驶，当乙船行驶出40千米时，甲、乙 两船与C 港位置恰是一个直角三角形的三个顶点；而当甲船行 驶达C 港时，乙船尚距C 港20千米．问：A ，B 两港之间的距 离是多少千米？ABFE GCDH第二节——平行四边形和梯形【知识要点】1．你所了解的平行四边形的边线角具有怎样的性质吗？2．我们是否可以根据平行四边形的性质来判定四边形为□？你总结了一定的规律没有？ 3．回想一下常见梯形的辅助线做法，你能说明每种辅助线的用处吗？ 4．三角形，梯形的中位线告诉我们怎样的数量或位置关系？ 5．与梯形有关的动点问题如何解决？ 【典型例题】# 例1 如图，已知：梯形ABCD 中，AB ∥DC ， E 是BC 中点，AE ，DC 的延长线相交于点F 。