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第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
举例说明生活中的随机现象嘿，你知道生活中的随机现象吗？那可多啦！就像天上的星星，数都数不过来呢。
比如说抽奖，我有个朋友小李，他特别喜欢参加各种抽奖活动。
有一次他去商场，随手参加了一个抽奖，嘿，没想到居然中了个大奖！这抽奖结果不就是随机的嘛，谁也不知道自己会不会中奖，就像开盲盒一样，充满了惊喜。
你喜欢抽奖不？哇哦，抛硬币也是一种随机现象呢！我同事小王，有一次和大家玩猜硬币正反面的游戏。
硬币一抛，那结果谁也说不准。
可能是正面，也可能是反面，就像一个调皮的小精灵，让人捉摸不透。
你玩过抛硬币的游戏不？哎呀，天气变化也是随机的呀！我同学小张，本来计划好周末去爬山，结果到了周末，突然下起了大雨。
这天气变得可真快，谁也没法提前知道到底会不会下雨。
就像一个善变的小孩，让人又爱又恨。
你有没有被天气变化打乱过计划呢？嘿呀，路上遇到熟人也是随机的呢！我有个亲戚小赵，有一天他出门办事，没想到在路上居然遇到了多年未见的老同学。
这几率多小啊，可就是这么巧。
就像在大海里捞针，居然捞着了。
你有没有过这样的意外相遇呢？哇，彩票中奖更是典型的随机现象啦！我认识一个大哥老王，他偶尔会买几张彩票，梦想着一夜暴富。
可这彩票能不能中奖，全看运气。
就像在沙漠里找金子，不知道啥时候才能找到。
你买过彩票不？哎呀呀，等公交车的时间也是随机的哦！我邻居小周，每天等公交车上班。
有时候车很快就来了，有时候等半天都不来。
这时间长短谁也说不准，就像一个神秘的时钟，让人焦急又无奈。
你等公交车的时候会不会很着急呢？嘿，考试蒙对答案也是随机现象呀！我有个朋友小吴，考试的时候有几道题不会，就瞎蒙了一下。
嘿，居然还蒙对了几道。
这蒙对的概率可小了，完全是随机的。
就像走在钢丝上，不知道什么时候能走对。
你考试的时候蒙对过答案不？哇哦，在超市遇到打折商品也是随机的呢！我同学小孙，有一次去超市买东西，本来没想着有啥优惠，结果一进去发现好多商品都在打折。
这可把她高兴坏了。
就像捡到了宝一样，意外又惊喜。
随机现象的例子
1. 彩票开奖不就是个随机现象嘛！你看啊，每次开奖前，谁也不知道那些数字球会蹦出啥来，真让人又期待又紧张。
就好像在一个大宝藏箱里，你永远不知道下一秒会掏出啥宝贝。
2. 天气的变化也是典型的随机现象呀！哎呀，今天可能还阳光明媚得很，明天说不定就狂风暴雨了，这变化多像孩子的脸，说变就变呐！
3. 在路上遇到熟人不也是随机的嘛！有时候你特意想去碰都碰不到，结果某天不经意走在路上，嘿，就碰到啦，这多神奇！
4. 抛硬币算吧！正面还是反面，在落地前谁能猜到呢，这就跟抽奖似的，充满了不确定性，但又让人着迷。
5. 股票的涨跌那绝对是随机现象呀！有可能前一秒还大涨，下一秒就暴跌了，这多刺激，就像坐过山车一样！
6. 鸟在天上飞，落点会在哪里不也是随机的嘛！它可能停在电杆上，也可能落在屋顶，多有意思。
7. 抽奖活动也是呀！你买了张奖券，能不能中奖全看运气，这不就是生活中的小惊喜嘛，说不定好运就降临了呢！
8. 出门会不会遇到堵车也不确定呀，有时候一路畅通，有时候却堵得要命，这就跟老天爷的安排似的，真没办法。
我觉得这些随机现象让我们的生活充满了惊喜和意外，让每一天都变得独特和有趣。
随机现象名词解释
随机现象，在概率论中，是指具有偶然性的一类举动和行为，数理统计认为世界存在两大类现象，一类是确定现象，例如日出东方，物体自由下落的速度等。
另一类就是随机现象，这类现象多存在于日常生活中，生活世界充满了偶然性。
随机现象的出现与发展，遵循一定的规律，但在特定的时点上，其结果或许无法确定。
比如扔一枚硬币，我们无法预知每一次投掷的结果是正面还是反面，但在大量投掷的基础上，正反面出现的频率大约各一半，这就是随机现象的均衡性。
再比如天气的变化，虽然有一些预测模型，但其预测结果往往只能提供一种可能性，真正的天气情况，尤其是具体的降雨、降雪等现象，具有很强的不确定性。
无法确定的随机现象背后，往往存在着一定的规律性，这就是随机现象具有的规律性。
正因为有规律性的存在，我们才能运用数理统计、概率论等方法，对随机现象进行科学的研究和解释，从而在一定程度上分析和预测这种随机现象。
随机现象在诸多科学领域均有广泛应用，如物理学中的量子力学，生物学中的遗传学，经济学中的经济预测等，都离不开对随机现象的理解和把握。
随机现象既包含了极丰富的科学内涵，又具有极高的实际操作价值，是现代科学研究的重要领域。
从随机现象说起
在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。
在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。
这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。
举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。
事物间的这种联系是属于必然性的。
通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。
另一类是不确定性的现象。
这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。
举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。
又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。
为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。
正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。
事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。
在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。
比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。
因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。
随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。
随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。
但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。
大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。
比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。
我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。
概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。
概率论的产生和发展
概率论产生于十七世纪，本来是又保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。
但是当其中一个人赢了 a (a<m)局，另一个人赢了 b(b<m)局的时候，赌博中止。
问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。
三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。
近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。
许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。
概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。
但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。
概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。
数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。
使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。
统计方法——是以上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。
应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的主要不同点有：
第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。
但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。
第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。
这是因为它研究的对象——随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。
但是由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结论的可靠性。
第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。
而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。
我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。
概率论的内容
概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。
概率是随机事件发生的可能性的数量指标。
在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。
就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。
对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。
有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。
具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。
在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。
如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。
一切可能的取值能够按一定次序一
一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。
如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。
正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。
平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。
数理统计的内容
数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。
抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。
究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。
适线问题也叫曲线拟和。
有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。
但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？……就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。
假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。
方差分析也叫做离差分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。
由于随机现象在人类的实际活动中大量存在，概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。
如：随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。
