1 随机现象
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概率论与数理统计 第一章1.1随机事件
事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组 设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其 满足：
完
随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，
往往还关心试验的结果 是否具备某一指定的可观
察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一 个事件 ， 它分三类：
随机事件
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的 事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发 生的事件. 例如，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关
A : “点数为奇数”，B : “点数小于5”.
则 A B {1，2，3，4，5}； A B {1，3}；
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相 容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
由于随机现象的结果事先不能预知， 初看似乎 毫无规律. 然而人们发现 同一随机现象大量重 其每种可能的结果 出现的频率具有 复出现时，
稳定性， 从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时 所表现 出的量的规律性 称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究 随机现象统计规律性 的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需 对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象
随机现象_1-课件
一类现象的结果总是确定的，即在一 定的条件下，它所出现的结果是可以预 知的，这类现象称为确定性现象；
另一类现象的结果是无法预知的，即 在一定的条件下，出现那种结果是无法预 先确定的，这类现象称为随机现象．
下列各事件发生与否,各有什么特点?
（1）导体通电时发热; （2）早晨太阳从东方升起; （3）在常温下，铁能熔化; （4）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化; （5） 李强射击一次，中靶; （6） 购买本期福利彩票中奖.
确定事件和随机事件统称为事件,通常用大写
字母A、B、C ……表示.
练一练
请指出下列事件中，哪些是不可能事件？ 哪些是必然事件？哪些是随机事件？
（1） 平面三角形的内角和是180。； （2）没有空气，动物也能生存下去； （3）在标准大气压下，水在温度90c时沸腾；
（4）直线ykx1过定点 1,0 ；
随机事件及其概率
例：某批乒乓球产品质量检查结果表：
抽取球数 m
优等品数 n
优等品频率 n m
50 100 200 500 1000 45 92 194 470 954 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954
2000 1902 0.951
能否判断抽到优等品的概率是多少？
练习：
1、做同时掷两枚硬币的试验，观察试验结果 （1）试验可能出现的结果有几种？分别把它们表示 出来？ （2）做100次试验，每种结果出现的频数、频率各 是多少？
思考：如果同学们重复一次上面的 实验，全班汇总结果与这一次汇总结果 一致吗？为什么？
下面我们用计算机模拟上述试 验，看看会出现什么结果？
演示
随机事件及其概率
例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复 试验，结果如下表 ：
另一类现象的结果是无法预知的，即 在一定的条件下，出现那种结果是无法预 先确定的，这类现象称为随机现象．
下列各事件发生与否,各有什么特点?
（1）导体通电时发热; （2）早晨太阳从东方升起; （3）在常温下，铁能熔化; （4）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化; （5） 李强射击一次，中靶; （6） 购买本期福利彩票中奖.
确定事件和随机事件统称为事件,通常用大写
字母A、B、C ……表示.
练一练
请指出下列事件中，哪些是不可能事件？ 哪些是必然事件？哪些是随机事件？
（1） 平面三角形的内角和是180。； （2）没有空气，动物也能生存下去； （3）在标准大气压下，水在温度90c时沸腾；
（4）直线ykx1过定点 1,0 ；
随机事件及其概率
例：某批乒乓球产品质量检查结果表：
抽取球数 m
优等品数 n
优等品频率 n m
50 100 200 500 1000 45 92 194 470 954 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954
2000 1902 0.951
能否判断抽到优等品的概率是多少？
练习：
1、做同时掷两枚硬币的试验，观察试验结果 （1）试验可能出现的结果有几种？分别把它们表示 出来？ （2）做100次试验，每种结果出现的频数、频率各 是多少？
思考：如果同学们重复一次上面的 实验，全班汇总结果与这一次汇总结果 一致吗？为什么？
下面我们用计算机模拟上述试 验，看看会出现什么结果？
演示
随机事件及其概率
例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复 试验，结果如下表 ：
1-1节随机现象和随机试验
随机现象的特征：条件不能完全决定结果.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性
联系,其数量关系无法用函数的形式加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性,但在大量重复试验或观察中,这种结果的出 现具有一定的统计规律性.概率论就是研究随机 现象及其统计规律的一门数学学科.
第 一 章
随 机 事 件 及 其 概 率
§1.1 随机现象和随机试验
一、 随机现象
二、 随机试验
三、 小结
一、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
只要条件具备结果就能确定
的现象称为确定性现象. 实例
“太阳从东边升起”,
“水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
“函数在间断点处不存在导数” 等.
随机试验的特点：随机性、重复性.
说明 1. 随机试验是一个广泛的术语.它包括各种各样 的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、 “观察”、或 “测量” 等.
2. 随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”. 分析
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验： 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”. 2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等
车人 数. 4. 考察某地区 10 月
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
《随机现象、事件与基本事件空间》课件1
3.1.1～3.1.2
例 1 判断下列现象是必然现象还是随机现象.
(1)小明在校学生会主席竞选中成功;
(2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果;
本 (3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码;
课 时
(4)标准大气压下,把水加热至 100℃沸腾;
栏 目
(5)骑车经过十字路口时,信号灯的颜色.
开
关 解 (1)随机现象.因为竞选能否成功是不可预知与确定的;
通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,归纳总结试验结果,
发现规律,真正做到在探索中学习,在探索中提高,并且体会数
学知识与现实世界的联系.～3.1.2
1.现象
本 (1)必然现象
课 时
在一定条件下 必然发生某种结果的现象.
栏 目
(2)随机现象
开 关
在相同的条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不一
本 天太阳一定从东方升起吗？木柴燃烧一定能产生热量吗？
课 时
这些事情的发生都是必然的.同时也有许多问题是很难给予
栏 目
准确回答的.例如:明天中午 12:10 有多少人在学校食堂用
开 关
餐？一次射击能否击中目标？明年房价是否下降？你购买
的本期福利彩票是否能中奖？等等,这些问题的结果都具有
偶然性和不确定性.研究这些问题有利于我们做出某些判断,
(2)随机现象.因为出现的结果可能是正面,也可能是反面,结 果并不确定.
(3)随机现象.因为彩票号码是否为中奖号码,本身是无法预测,
是不可知的.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.1～3.1.2
(4)必然现象.因为标准大气压下,水加热至 100℃时沸腾这个结 果一定会发生,是确定的.
1随机事件和概率
解 ：令A={第一次取到次品},B={第二次取到次品}, 需求P(B│A).
(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品, 剩下的产品共19件其中3件次品,从而
P(B│A)=3/19 (2)在原样本空间中计算,由于
二 、乘法公式
设P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A│B) 同样,当P(A)>0时,有： P(AB)=P(A)P(B│A) 上述乘法公式可推广至任意有限个事件的情形:
三、样本空间
试验E的所有基本结果构成的集合称为样本空间， 记为S。 S中的元素即E的每个基本结果称为样本点，记为 ω，即S={ω}。 基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成的集合。 必然事件包含一切样本点，它就是样本空间S。 不可能事件不含任何样本点，它就是空集φ。
四、事件间的关系及其运算 例1 : 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：
可列个事件A1 , A2 , … , An的积记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An
或A1A2 … An ，也可简记为 在可列无穷的场合，用 件同时发生。” 。 表示事件“A1、A2 …诸事
4.互不相容事件
事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A 和B是互不相容的或互斥的。 基本事件是两两互不相容的。 5.对立事件 若A，B互不相容，且它们的和事件为必然事件，即
例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表
示下列事件： （1）A发生且B与C至少有一个发生； （2）A与B都发生而C不发生； （3）A，B，C恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生；
（6）A，B，C中至少有两个发生。
1.2 事件的概率
随机现象的名词解释
随机现象的名词解释随机，一词源自英文“random”，意指没有明确的模式、规律或目的性。
随机现象，又被称为随机事件或随机过程，是指无法准确预测或完全确定其结果的现象。
在我们日常生活中，随机现象无处不在，从天气变化、股市走势，到抛硬币、掷色子，都包含了随机的成分。
随机性是随机现象的核心特点之一。
它与确定性相对，表示一种不可预测、不可控制的性质。
具体来说，随机现象满足以下条件：1. 不可预测性：在随机现象中，我们无法准确地预测下一次事件发生的结果。
例如，虽然我们可以根据天气前一天的情况来估计第二天下雨的概率，但我们无法准确地预测具体的降雨时间和强度。
2. 不可复制性：随机现象的结果在重复试验中往往会有所不同。
即使在相同的初始条件下，每次试验的结果也可能不尽相同。
因此，我们只能通过大量的试验来估计随机现象的规律和概率，而无法通过一次试验得到准确的结论。
3. 概率性：随机现象具有一定的概率性，即不同结果发生的可能性不同。
概率是描述随机现象的一种数学工具，用于衡量某个事件发生的可能性大小。
通过概率，我们可以对随机现象进行量化和比较，从而更好地理解其规律和特性。
随机现象在各个领域都有广泛的应用。
在自然科学中，随机现象常常出现在物理、化学和生物学等学科中。
例如，在粒子物理实验中，探测器记录的粒子碰撞事件往往呈现出随机的分布。
在生物领域，遗传突变、自然选择和进化等过程也涉及到随机性。
在工程技术中，随机现象的研究对于风力发电、交通流量预测、通信信道建模等具有重要意义。
例如，随机过程理论可以用于设计风力发电机组的控制策略，以使其在不同风速下都能发电效率最大化。
此外，通信领域中的随机信号处理方法也能有效地抵抗噪声和其他随机干扰。
在社会科学中，随机现象的研究涉及到经济学、心理学、社会学等多个学科。
例如，在经济学中，随机性被广泛应用于金融市场的风险评估和投资决策。
随机性还被用于描述人类行为和决策中的不确定性因素，以及社会现象中的复杂关系和不可预测性。
随机现象-数学期望
非负性
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
规范性
对于互斥事件，其概率之和等于它们所包含的基本事件数。
可列可加性
概率的性质
条件概率
在给定某个事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
独立性
两个事件之间没有相互影响，一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
条件独立
在给定某个事件发生的条件下，两个事件之间相互独立。
无记忆性
对于任意随机变量$X$，有$E(E(X|Y)) = E(X)$。
期望的期望等于期望本身
期望值的性质和计算方法
05
CHAPTER
期望值与决策制定
1
2
3
期望值是决策制定中的重要工具，它可以帮助我们评估不同行动方案的可能结果，从而选择最优方案。
期望值考虑了所有可能的结果及其发生的概率，通过将每个结果的预期价值与其概率相乘，再求和，得到期望值。
期望值与风险偏好之间的关系有助于我们理解不同人在面对风险时的行为差异。
期望值与风险偏好
效用函数是一种将预期的货币收益转化为一个单一的效用值的方法。效用函数和期望值密切相关，因为它们都考虑了预期结果的价值和发生的概率。
效用函数和期望值之间的差异在于，效用函数通常考虑了个人对风险的偏好，而期望值则不考虑个人偏好。
直接计算法
公式法
矩法
贝叶斯推断
对于连续型随机变量，利用积分公式计算数学期望。
利用随机变量的矩（如一阶矩为均值，二阶矩为方差）来计算其他高阶矩。
利用贝叶斯定理和已知信息推断未知参数的数学期望。
数学期望的计算方法
04
CHAPTER
随机变量的期望值
离散型随机变量的数学期望是指所有可能取值的概率加权和。
随机事件及概率
{ HTT , THT , TTH , HHT , THH , HTH , HHH }
恰好出现两次正面｝ Ｂ={恰好出现两次正面｝ 恰好出现两次正面
{ HHT , THH , HTH }
Ｄ={至多出现一次正面｝ 至多出现一次正面｝ 至多出现一次正面
{ HTT , THT , TTH , HHT , TTT }
设E为古典概型,Ω为E的样本空间,A为任意一个事件，定 义事件A的概率为 m 事件 A 所包含基本事件数 P ( A) = = n 基本事件总数
19
（３）古典概型的题型 古典概型的题型 （一）抽样问题(摸球问题,随机取数问题) （一）抽样问题(摸球问题,随机取数问题)
自 个 N 元 素 中 回 无 放 回 有 放
2
三.样本空间
把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点， 将一个随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间，通常用 表示．
求实验的样本空间：
Ω = {H ,T }
E1:将一枚硬币抛掷 一次，观察正面、反面出 现的情况 E2:将一枚硬币抛掷 二次，观察正面、反面出现的情况
Ω = { HT , TH }
4
五.事件间的关系与运算
1.事件之间的四种关系 1.
关 系 包含关系 相等关系 互不相容（互斥）关系 符 号
A⊂ B
概率论 事件A发生导致事件 事件 发生导致事件B 发生导致事件 发生 事件A与事件 相等 事件 与事件B相等 与事件 事件A与事件B不能同 时发生 发生， 事件 A发生，当且仅 当事件A不发生 当事件 不发生
§1.1 随机事件
一.随机现象及统计规律 1.随机现象 我们事先无法准确预知其结果的现象．或具有偶然性 质的现象.如： （1）某人射击一次，考察命中情况； （2）某人射击一次，考察命中环数； （3）掷一枚硬币，观察向上的面； （4）从一批产品中抽取一件，考察其质量； 2.随机现象的统计规律性 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规 律性称为随机现象的统计规律性．
恰好出现两次正面｝ Ｂ={恰好出现两次正面｝ 恰好出现两次正面
{ HHT , THH , HTH }
Ｄ={至多出现一次正面｝ 至多出现一次正面｝ 至多出现一次正面
{ HTT , THT , TTH , HHT , TTT }
设E为古典概型,Ω为E的样本空间,A为任意一个事件，定 义事件A的概率为 m 事件 A 所包含基本事件数 P ( A) = = n 基本事件总数
19
（３）古典概型的题型 古典概型的题型 （一）抽样问题(摸球问题,随机取数问题) （一）抽样问题(摸球问题,随机取数问题)
自 个 N 元 素 中 回 无 放 回 有 放
2
三.样本空间
把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点， 将一个随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间，通常用 表示．
求实验的样本空间：
Ω = {H ,T }
E1:将一枚硬币抛掷 一次，观察正面、反面出 现的情况 E2:将一枚硬币抛掷 二次，观察正面、反面出现的情况
Ω = { HT , TH }
4
五.事件间的关系与运算
1.事件之间的四种关系 1.
关 系 包含关系 相等关系 互不相容（互斥）关系 符 号
A⊂ B
概率论 事件A发生导致事件 事件 发生导致事件B 发生导致事件 发生 事件A与事件 相等 事件 与事件B相等 与事件 事件A与事件B不能同 时发生 发生， 事件 A发生，当且仅 当事件A不发生 当事件 不发生
§1.1 随机事件
一.随机现象及统计规律 1.随机现象 我们事先无法准确预知其结果的现象．或具有偶然性 质的现象.如： （1）某人射击一次，考察命中情况； （2）某人射击一次，考察命中环数； （3）掷一枚硬币，观察向上的面； （4）从一批产品中抽取一件，考察其质量； 2.随机现象的统计规律性 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规 律性称为随机现象的统计规律性．
1.1随机现象
宰相没能如愿以偿地写上他想写 的内容，公主也没有。 的内容，公主也没有。皇帝是公平 的，最终驸马幸运的抓到了 “生” … …
• 在自然界和实际生活中，我们会遇 在自然界和实际生活中， 到各种各样的现象． 到各种各样的现象． 如果从结果能否预知的角度来看， 如果从结果能否预知的角度来看， 可以分为两大类： 可以分为两大类： 一类现象的结果总是确定的，即在一 一类现象的结果总是确定的， 定的条件下， 定的条件下，它所出现的结果是可以预 知的，这类现象称为确定性现象 确定性现象； 知的，这类现象称为确定性现象； 另一类现象的结果是无法预知的， 另一类现象的结果是无法预知的，即 在一定的条件下， 在一定的条件下，出现那种结果是无法预 先确定的，这类现象称为随机现象． 先确定的，这类现象称为随机现象． 随机现象
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
[例1] 试验 E1：抛硬币, 观察结果. 例
A : 出现正面;
或 A = {出现正面 }.
}
（事件的两种表达方式）
[例2] 试验 E 2：掷骰子，观察点数 . 例
A : 出现 5 点;
B : 出现 的点数能被 3 整除; C : 出现 的点数不超过 6 ( 必然事件).
A : 寿命不超过 5000 小时; B : 寿命在 6000 小时以上 .
随堂练习
• 指出下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件， 指出下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件， 并说明理由？ 并说明理由？ （1）在地球上，抛出的篮球会下落； （必然事件） ）在地球上，抛出的篮球会下落； 必然事件） （2）随意翻一下日历，翻到的日期为 ）随意翻一下日历， 不可能事件） （不可能事件） 2月31日； 月 日 （3）乔丹罚球，十投十中； ）乔丹罚球，十投十中； 随机事件） （随机事件） （4）掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动 ）掷一枚均匀的骰子， 随机事件） （随机事件） 后偶数点朝上； 后偶数点朝上； （5）任意买一张电影票，座位号是偶数； 随机事件） ）任意买一张电影票，座位号是偶数； 随机事件） （ （6）抛一枚硬币，正面朝上； ）抛一枚硬币，正面朝上； 随机事件） （随机事件）
随机现象名词解释
随机现象名词解释
随机现象，在概率论中，是指具有偶然性的一类举动和行为，数理统计认为世界存在两大类现象，一类是确定现象，例如日出东方，物体自由下落的速度等。
另一类就是随机现象，这类现象多存在于日常生活中，生活世界充满了偶然性。
随机现象的出现与发展，遵循一定的规律，但在特定的时点上，其结果或许无法确定。
比如扔一枚硬币，我们无法预知每一次投掷的结果是正面还是反面，但在大量投掷的基础上，正反面出现的频率大约各一半，这就是随机现象的均衡性。
再比如天气的变化，虽然有一些预测模型，但其预测结果往往只能提供一种可能性，真正的天气情况，尤其是具体的降雨、降雪等现象，具有很强的不确定性。
无法确定的随机现象背后，往往存在着一定的规律性，这就是随机现象具有的规律性。
正因为有规律性的存在，我们才能运用数理统计、概率论等方法，对随机现象进行科学的研究和解释，从而在一定程度上分析和预测这种随机现象。
随机现象在诸多科学领域均有广泛应用，如物理学中的量子力学，生物学中的遗传学，经济学中的经济预测等，都离不开对随机现象的理解和把握。
随机现象既包含了极丰富的科学内涵，又具有极高的实际操作价值，是现代科学研究的重要领域。
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➢ 事件的交(积) 如果事件A和事件B同时发生
➢ 事件的差 如果事件A发生而事件B不发生
29
1.4 随机事件的运算
类似于集合的运算，事件的运算具有如下 运算规律
➢ 交换律 ➢ 结合律 ➢ 分配律 ➢ 对偶律(德摩根律)
30
（两个或一些基本事件并在一 起，就 构成一个复合事件）
事件 B={掷出奇数点}
25
1.2 随机事件
两个特殊事件： 例如，在掷骰子试验中， ➢ 必然事件 “掷出点数小于7”是必然事件 在试验中必然发生的事件 ➢ 不可能事件 常用φ表示 在每次试验中都不发生的事件 而“掷出点数8”则是不可能事件
26
1.3 随机事件的关系
10
研究对象
问： “天有不测风云”和“天气可以预报” 有矛
盾吗? 无！
“天有不测风云”指的是随机现象一次 实现的偶然性. “天气可以预报”指的是研究者从大量 的气象资料来探索这些偶然现象的规律
11
总结
从表面上看，随机现象的每一次观 察结果都是随机的，但多次观察某个随机 现象，便可以发现，在大量的偶然之中存 在着必然的规律.
则称之为随机试验，简称为试验
18
1.1 随机试验
寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命.
19
1.1 随机试验
我们用E表示一个随机试验.
则随机试验E的基本结果称为样本点 用ω或 e
随机试验E的所有基本结果的集合称为样本空间
用Ω＝{ω} 或 用s＝{e}
20
Ω
.
样本点ω
1.1 随机试验
例 抛掷一枚硬币，观察正面和反面出现 的情况(将这两个基本结果依次记为ω1和 ω2)，则该试验的样本空间为： 例 抛掷一枚骰子，观察 出现的点数，将 基本结果“出现i点”记为ωi
(i=1,2,3,4,5,6)，则该试验的样本空间为：
21
1.2 随机事件
我们把随机试验E的样本空间Ω＝{ω}的子
集称为随机试验E 的随机事件，简称为 事件。用大写字母A,B,C表示
12
总结
随机现象有其偶然性一面，也有其 必然性一面，这种必然性表现在大量重复 试验或观察中随机现象所呈现出的固有规
律性，称为随机现象的统计规律性.
13
概率论的研究对象----
随机现象的统计规律性
14
• 随机试验 • 随机事件 • 样本空间 • 样本点
15
1.1 随机试验
为了研究和揭示随机现象的统计规律性， 我们需要对随机现象进行大量重复的观察、 测量或试验。为了方便，将它们统称为试验
16
1.1 随机试验
如果试验具有如下特点： (1) 可重复性
试验可以在相同的条件下重复进行多次，甚至 进行无限多次
(2) 可观测性
每次试验的所有可能结果都是明确的、可以观 测的，并且每次试验的可能结果在两个或两个 以上
17
1.1 随机试验
如果试验具有如下特点： (3) 随机性
每次试验出现的结果是不确定的，在试验之前 无法预先确定究竟会出现哪一个结果
➢ 事件的包含 如果事件A发生时事件B一定发生
➢ 事件的相等 如果事件A和事件B相互包含
27
1.3 随机事件的关系
➢ 事件的互不相容(互斥) 如果事件A和事件B在同一次试验中不能 同时发生
➢ 事件的互逆(对立) 如果在每一次试验中，事件A和事件B有 一个且仅有一个发生Biblioteka 281.4 随机事件的运算
➢ 事件的并(和) 如果事件A和事件B至少有一个发生
8
研究对象
又如：
在一个容器内有许多气体分子，每个气体分子 的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动 量和方向. 但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定 性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定 的，呈现“无序中的规律”.
9
研究对象
再如：
测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环 境的影响，每次测量的结果可能是有差异的. 但多次 测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于 一常数，并且诸测量值大多落在此常数的附近，越 远则越少，因而其分布状况呈现“两头小，中间大， 左右基本对称”.
3
研究对象
随机性现象: 事先不可预言其结果，或根据它过
去的状态，在相同的条件下不可预 言其将来的结果。 例如： 1. 扔硬币出现正面与反面 2. 掷骰子出现的点数
4
研究对象
随机现象的特点:
带有随机性、偶然性的现象.
当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试 验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的 某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知 其结果，即呈现出偶然性. 或者说，出现哪个 结果“凭机会而定”.
在一次试验中可能发生也可能不发生的
事件称为随机事件，简称事件
22
1.2 随机事件
例如，在掷骰子试验中，
“掷出12点”
23
1.2 随机事件
随机事件的特点： ➢ 偶然性 ➢ 规律性
24
基本事件
（相对于观察目的 事 不 可再分解的事件） 件
复合事件
如在掷骰子试验中， 观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点} i =1,2,3,4,5,6
5
研究对象
问：下面的现象哪些是随机现象？ A. 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度； C. 上抛物体一定下落； D. 新生婴儿的体重.
6
研究对象
问：随机现象是不是没有规律可言?
否！
在一定条件下对随机现象进行大量观测 会发现某种规律性.
7
研究对象
例如： 一门火炮在一定条件下进行射击，个别
炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误 差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规 律性，如一定的命中率，一定的分布规律等 等.
第一章 随机事件及概率
1
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化……，我们无时 无刻不面临着不确定性和随机性.
2
研究对象
确定性现象: 事先可预言其结果，或根据它过去
的状态，在相同的条件下可预言其 将来的结果。 例如： 1. 在一个标准大气压下水加热到 100C时必 沸腾 2. 同性的电荷必然互斥 货币发到过量会导致通货膨胀
➢ 事件的差 如果事件A发生而事件B不发生
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1.4 随机事件的运算
类似于集合的运算，事件的运算具有如下 运算规律
➢ 交换律 ➢ 结合律 ➢ 分配律 ➢ 对偶律(德摩根律)
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（两个或一些基本事件并在一 起，就 构成一个复合事件）
事件 B={掷出奇数点}
25
1.2 随机事件
两个特殊事件： 例如，在掷骰子试验中， ➢ 必然事件 “掷出点数小于7”是必然事件 在试验中必然发生的事件 ➢ 不可能事件 常用φ表示 在每次试验中都不发生的事件 而“掷出点数8”则是不可能事件
26
1.3 随机事件的关系
10
研究对象
问： “天有不测风云”和“天气可以预报” 有矛
盾吗? 无！
“天有不测风云”指的是随机现象一次 实现的偶然性. “天气可以预报”指的是研究者从大量 的气象资料来探索这些偶然现象的规律
11
总结
从表面上看，随机现象的每一次观 察结果都是随机的，但多次观察某个随机 现象，便可以发现，在大量的偶然之中存 在着必然的规律.
则称之为随机试验，简称为试验
18
1.1 随机试验
寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命.
19
1.1 随机试验
我们用E表示一个随机试验.
则随机试验E的基本结果称为样本点 用ω或 e
随机试验E的所有基本结果的集合称为样本空间
用Ω＝{ω} 或 用s＝{e}
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Ω
.
样本点ω
1.1 随机试验
例 抛掷一枚硬币，观察正面和反面出现 的情况(将这两个基本结果依次记为ω1和 ω2)，则该试验的样本空间为： 例 抛掷一枚骰子，观察 出现的点数，将 基本结果“出现i点”记为ωi
(i=1,2,3,4,5,6)，则该试验的样本空间为：
21
1.2 随机事件
我们把随机试验E的样本空间Ω＝{ω}的子
集称为随机试验E 的随机事件，简称为 事件。用大写字母A,B,C表示
12
总结
随机现象有其偶然性一面，也有其 必然性一面，这种必然性表现在大量重复 试验或观察中随机现象所呈现出的固有规
律性，称为随机现象的统计规律性.
13
概率论的研究对象----
随机现象的统计规律性
14
• 随机试验 • 随机事件 • 样本空间 • 样本点
15
1.1 随机试验
为了研究和揭示随机现象的统计规律性， 我们需要对随机现象进行大量重复的观察、 测量或试验。为了方便，将它们统称为试验
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1.1 随机试验
如果试验具有如下特点： (1) 可重复性
试验可以在相同的条件下重复进行多次，甚至 进行无限多次
(2) 可观测性
每次试验的所有可能结果都是明确的、可以观 测的，并且每次试验的可能结果在两个或两个 以上
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1.1 随机试验
如果试验具有如下特点： (3) 随机性
每次试验出现的结果是不确定的，在试验之前 无法预先确定究竟会出现哪一个结果
➢ 事件的包含 如果事件A发生时事件B一定发生
➢ 事件的相等 如果事件A和事件B相互包含
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1.3 随机事件的关系
➢ 事件的互不相容(互斥) 如果事件A和事件B在同一次试验中不能 同时发生
➢ 事件的互逆(对立) 如果在每一次试验中，事件A和事件B有 一个且仅有一个发生Biblioteka 281.4 随机事件的运算
➢ 事件的并(和) 如果事件A和事件B至少有一个发生
8
研究对象
又如：
在一个容器内有许多气体分子，每个气体分子 的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动 量和方向. 但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定 性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定 的，呈现“无序中的规律”.
9
研究对象
再如：
测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环 境的影响，每次测量的结果可能是有差异的. 但多次 测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于 一常数，并且诸测量值大多落在此常数的附近，越 远则越少，因而其分布状况呈现“两头小，中间大， 左右基本对称”.
3
研究对象
随机性现象: 事先不可预言其结果，或根据它过
去的状态，在相同的条件下不可预 言其将来的结果。 例如： 1. 扔硬币出现正面与反面 2. 掷骰子出现的点数
4
研究对象
随机现象的特点:
带有随机性、偶然性的现象.
当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试 验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的 某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知 其结果，即呈现出偶然性. 或者说，出现哪个 结果“凭机会而定”.
在一次试验中可能发生也可能不发生的
事件称为随机事件，简称事件
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1.2 随机事件
例如，在掷骰子试验中，
“掷出12点”
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1.2 随机事件
随机事件的特点： ➢ 偶然性 ➢ 规律性
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基本事件
（相对于观察目的 事 不 可再分解的事件） 件
复合事件
如在掷骰子试验中， 观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点} i =1,2,3,4,5,6
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研究对象
问：下面的现象哪些是随机现象？ A. 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度； C. 上抛物体一定下落； D. 新生婴儿的体重.
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研究对象
问：随机现象是不是没有规律可言?
否！
在一定条件下对随机现象进行大量观测 会发现某种规律性.
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研究对象
例如： 一门火炮在一定条件下进行射击，个别
炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误 差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规 律性，如一定的命中率，一定的分布规律等 等.
第一章 随机事件及概率
1
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化……，我们无时 无刻不面临着不确定性和随机性.
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研究对象
确定性现象: 事先可预言其结果，或根据它过去
的状态，在相同的条件下可预言其 将来的结果。 例如： 1. 在一个标准大气压下水加热到 100C时必 沸腾 2. 同性的电荷必然互斥 货币发到过量会导致通货膨胀