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数学北师大版九年级下册二次函数的应用(最值问题)

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下册第二章第10课二次函数的应用——最值问题-北师大版九年级数学全一册课件

下册第二章第10课二次函数的应用——最值问题-北师大版九年级数学全一册课件

当31≤x≤50时，W＝ x2+160x+1 850
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）求当x为多少时，y有最小值，
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使
销售这种土特产每日的利润最大，每袋的销售
价应定为多少元？最大利润是多少元？
（2）依题意，设利润为W元， 得W＝（x-10）（-x+40）＝-x2+50x-400， 整理，得W＝-（x-25）2+225. 当x＝25时，W取得最大值，最大值为225. 故要使销售这种土特产每日的利润最大，每袋的 销售价应定为25元，最大利润是225元.
三级检测练
5 一级基础巩固练 8. 如图，用一段长为40 m的篱笆围成一边靠墙的草坪，
墙长16 m，当矩形的长BC为多少时，草坪面积最大？ 最大面积为多少？
解：设AB=x m，则BC=（40-2x）m（12≤x＜20）， 面积为S m2. 根据题意得，S＝x（40-2x）＝-2x2+40x ＝-2（x-10）2+200， 因此当x=12，即AB=12 m，BC=16 m时，矩形草坪的 面积最大，最大面积为16×12＝192（m2）.
（2）依题意，得W＝（y-18）·m.
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的 （1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
由题意列得，a+2b=80，2a+3b=135.
函数关系式为y＝-x+40. 根据题意得，S＝x（40-2x）＝-2x2+40x
∵
＜0，∴当x＝32时，W取最大值，
（1）确定k，b的值；
解：设AB=CD=x m，则AD=BC= （12-2x） m（0＜x＜6）. 这个花园的面积是S＝x（12-2x） ＝-2x2+12x＝-2（x-3）2+18. 当x ＝3时，S取得最大值， 此时S＝18. 即这个花园的最大面积为18 m2.

数学北师大版九年级下册二次函数的应用(最值问题)

数学北师大版九年级下册二次函数的应用(最值问题)
值问题
门源三中 孟令江
二次函数的应用
一、最大值问题 (1)最大利润问题； (2)最大面积问题
最大利润问题
例1：某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价 800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增 加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当 旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
最大面积问题
练习：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱 笆才能使其所围成矩形的面积最大? 方法1：解:如图,设矩形的一边AB=x m,那么另一边 BC=(15-x) m,面积为S m2,则 A D
S x(15 x) x 15 a 1 0
2
B
C
b 15 当x＝ 7.5(cm)时 2a 2 2 4ac b 225 y最大值＝ 56.25(cm2 ) 4a 4
自我检测
某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件 10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现， 这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应 减少10件，将销售价定为多少，才能使每天所获 销售利润最大？最大利润是多少？
• 最大面积问题 • 例2：小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借 助房屋外的外墙围成一个矩形羊圈ABCD， 已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边 AB=xm，面积为S平方米。 • （1）写出S与x之间的关系式，并指出x的 取值范围； • （2）当AB、BC分别为多少时，羊圈的面 积最大？最大面积是多少？
练习：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱 笆才能使其所围成矩形的面积最大? 方法2：解:如图,设矩形的一边AB=x m,那么另一边 BC=(15-x) m,面积为S m2,则

北师版九年级下册数学第2章 用二次函数解几何图形的最值问题

北师版九年级下册数学第2章 用二次函数解几何图形的最值问题

(2)求自变量x的取值范围；
解：∵墙的最大可用长度为8米， ∴0＜24－4x≤8，解得4≤x＜6. 即自变量x的取值范围为4≤x＜6.
(3)当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？
解：由(1)知S＝－4x2＋24x＝－4(x－3)2＋36， ∵－4＜0，∴当x＞3时，S的值随x值的增大而减小． 又∵4≤x＜6， ∴当x＝4时，S取得最大值，且最大值为32. ∴当x＝4时，所围成的花圃面积最大，最大面积是32平方米．
(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖 直距离为1米？
解：设当运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米， 依题意得
整故－理当18得运m(动2m＋员－32运12m动)(＋m的＋4水4－)平＝距0－，离1解为12得m12m米2＋1＝时761，2m，运＋m动21＝员＝－与4小1(舍，山去坡)的．竖直距离为1米．
北师版九年级下
第二章 二次函数
4二次函数的应用 第1课时 用二次函数解几何图形的最
值问题
提示：点击 进入习题
1 二次函数；自变量 2A
6C 7 见习题
3C
8 见习题
4 见习题
9 见习题
平面直角坐标系；坐标原点；
5 y轴
10 见习题
答案显示
1．利用二次函数求图形面积的最值时，先构建二次函数模型，利用图形的相
5．在解决形状是抛物线(抛物线形状的拱桥、物体的运动路线等)的实际问题时， 通常需要建立适当的________________．为方便解决问题，通常以抛物线的 顶点为____________，此抛物线的对称轴为_____建立平面直角坐标系．
平面直角坐标系
坐标原点

北师大版九年级数学下册(课件)专题课堂(四) 二次函数

北师大版九年级数学下册(课件)专题课堂(四) 二次函数

2．如图，等腰直角三角形ABC以2 m/s的速度沿直线l向正方形移动，直 到AB与CD重合．设x s时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2. (1)写出y与x的函数表达式； (2)当x＝2，3.5时，y分别是多少？ (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
解：(1)∵三角形与正方形重叠部分是等腰直角三角形，且直角边都是 2x，∴y＝2x2 (2)当x＝2时，y＝8；当x＝3.5时，y＝24.5 (3)∵S正方 形＝102＝100.∴当y＝50时，2x2＝50.解得x1＝5，x2＝－5(舍去)．答： 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了5 s
【对应训练】 4．某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ ax2＋bx－75.其图象如图． (1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为 多少元？ (2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
解：(1)根据题中条件，售价每降低 10 元，月销售量就可多售出 50 台，
则 月 销 售 量 y( 台 ) 与 售 价 x( 元 / 台 ) 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y ＝ 200 ＋
400－x 50× 10 ＝－5x＋220
，
得
x≥300， －5x＋2200≥450，
3．王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，球飞行的路线满足抛物
线 y＝－15x2＋85x，其中 y(m)是球飞行的高度，x(m)是球飞出的水平距离， 结果球离球洞的水平距离还有 2 m. (1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)请写出球飞行的最大水平距离； (3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进 洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其表达式．

北师大版九年级数学下册精品教学课件2.4.1 应用二次函数求几何图形最值

北师大版九年级数学下册精品教学课件2.4.1 应用二次函数求几何图形最值

新知探究
例题2 : 在美化城市的建设中,某街道想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用 28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设BC=xm. (1)若花园的面积为195m2,求x的值. (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是6m和8m,要将这棵树围在花 园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S(m2)的最大值.
┐
A
B
N
40m
新课导入
解析：
新知探究
跟踪训练： 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造 窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户 通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少(结果精 确到0.01m²)?
新知探究
解：
因此，当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约是 4.02m2.
，及
x
得关于x的方程:
，得 ∵△DEF中∠FED是直角， ∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，Rt△BFE≌Rt△CED，
∴当EC=2时，m=CD=BE=6; 当EC=6时, m=CD=BE=2,
即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
课堂小测
4.如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形 地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的 宽为x，面积为y． （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
课堂小结
“最大面积” 问题解决的基本思路: 1.阅读题目，理解问题. 2.分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系. 3.用数量关系式表示出它们之间的关系. 4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值. 5.检验结果的合理性.

北师版九年级下册数学第2章 利用二次函数解决实际中最值问题

北师版九年级下册数学第2章 利用二次函数解决实际中最值问题

知2－导
知识点 2 利用二次函数求实际应用中的最值问题
服装厂生产某品牌的T恤衫成本 是每件10元.根据市场调查，以单价 13元批发给经销商，经销商愿意经销 5000件，并且表示单价每降价0.1元， 愿意多经销500件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利 最多？
知2－讲
利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运 用“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”或“总利 润＝总售价－总成本”建立利润与销售单价之间的二 次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值．
知1－讲
知识点 1 用二次函数表达式表示实际问题
根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下 几个步骤： (1)确定自变量与因变量代表的实际意义； (2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系 列出方程或等式． (3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
知1－讲
例1如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形 MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开 始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点 N重合．问题： (1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之 间的函数关系式； (2)当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少？
(3)由题意得(x－40)(－30x＋2100)≥6480， 解得52≤x≤58. 当x＝52时，销售量为300＋30×8＝540(件)， 当x＝58时，销售量为300＋30×2＝360(件)， ∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润， 每星期至少要销售该款童装360件．
1 知识小结
利润问题的基本关系式： 总利润＝单件利润×销售总量． 若销售单价每提高m元，销售量相应减少n件， 设提高x元，则现销售量＝原销售量－ xn .

北师版九年级下册数学第2章 利用二次函数解决几何面积的最值问题

导引：(1)可分别设出△DCE的边CD上的高和△ABC的边BC 上的高，根据条件求出△ABC的边BC上的高，再利用 相似找出其他等量关系，然后设法用x表示▱BDEF的边 BD上的高；(2)BD在BC边上，最长不超过BC；(3)根据 x的取值范围及求最值的方法解题．
知2－讲
解：(1)设△DCE的边CD上的高为hcm，△ABC的边BC上的
1．当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处
取得最值．即当x＝－时，y最b 值＝.
4ac b2
当a＞0时，在顶点处取得最2小a 值，此时不存在4最a 大
值；当a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在
最小值．
知1－讲
2. 当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若－在自变量的取值范
围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时， 最小值在x＝处取 得b ，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的
知2－讲
1．利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤： (1)引入自变量； (2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相 关的量； (3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且 用函数表示这个面积； (4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．
知2－讲
例2某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆， 下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所 有黑线的长度和）为15m.当x等于多少时，窗户通 过的光线最多？（结果精确到0.01m)此时，窗户的 面积是多少？（结果精确到0.01m2）
第二章二次函数
第4节二次函数的应用
第1课时用二次函数解最值问题
1 课堂讲解 2 课时流程
二次函数的最值 图形的最值
逐点 导讲练
课堂 小结

北师大版九年级数学下册第二章：利用二次函数图象和性质求最值问题的方法

是多少元？
例题 每日租出 14 辆车时，租赁公司的日收益最大，最大值为 5000 元. 答案
方法的步骤
相关知 方法提
识
炼
例题的解题步骤
看题目中是否给出问题中变 二 次 函 列 二 次 解：由题意可知：
量之间的二次函数关系式.若 数 解 析 函数 未给出，则通过问题中各量间 式 的 一 的关系或者根据图形构建函 般式 数关系列出因变量和自变量 之间的二次函数关系式，并将
4.9 t2 2t 4.9 t2 2t 1 1
4.9 t 12 1 4.9 t 12 4.9
解得12.5 x 20
花园的面积可表示为
y x 40 2x
40x 2x2 2x2 40x(12.5 x 20)
顶点式 y a x h2 k .先
二次函 化 为 顶 数 解 析 点式 式的顶 点式
第二 步
对一次项和二次项进行提取 公因式，使得二次项的系数为 1；再在括号里加上一次项系 数一半的平方，并减去“一次 项系数一半的平方；将括号写 成和（差）的平方形式，并将 括号外进行化简；
y 50x2 1400x 4800
∴ 0 x 20 且为整数
∵x=14 在 0 x 20 范围内 ∴当每日租出 14 辆车时，租赁公司的日收益最大， 最大值为 5000 元.
方法的点拨、归纳和注意事项
点拨
归纳
注意 函数取最值时，自变量的值必须在规定的取值范围内. 事项
例题的变数题
2/5
北师大版九年级数学下册第二章：利用二次函数图象和性质求最值问题的方法
50 x 142 5000
根 据 函 数 y ax h2 k

北师大版九下数学小专题(五二次函数的最值及函数值的范围、六二次函数的应用)对接中考练习课件


y2＝
1 2
x2－11x＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他
从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.
解：（1）设y1＝kx＋b. 将（8，18），（9，20）代入y1＝kx＋b，得 89kk＋＋bb＝＝1280，. 解得kb＝＝22，. 故y1关于x的函数表达式为y1＝2x＋2.
A.1或－2
B.－ 2或 2
C. 2
D.1
9.【分类讨论思想】已知二次函数y＝－（x－h）2（h为常数），当自 变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，求h的值.
解：如图，画出二次函数的大致图象. 当h＜2时，由题意结合图象，可知 当自变量x的值满足2≤x≤5时，函数的最大值在x＝2处取得， 即－（2－h）2＝－1. 解得h1＝1，h2＝3（舍去）；
（3）由题意，得－5（x－70）2＋4 500＝4 220＋200，解得x1＝66，x2 ＝74.
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70， ∴当66≤x≤74时，符合该网店要求. 又∵为了让顾客得到最大实惠，∴x＝66. ∴当销售单价定为66元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实 惠.
类型3 实物抛物线问题
解：（1）y＝100＋5（80－x）或y＝－5x＋500. （2）由题意，得w＝（x－40）（－5x＋500）＝－5x2＋700x－20 000 ＝－5（x－70）2＋4 500. ∵a＝－5<0，∴w有最大值. 当x＝70时，w最大＝4 500. 80－70＝10（元）. 答：当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润为4 500 元.
（3）解法一：∵这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行 路径，爆炸时的高度均相同，皮皮小朋友发射出的第一发花弹的函数解析 式为h＝－2（t－3）2＋19.8，

北师大版九下数学第2章 二次函数 2.4.1 用二次函数解最值问题【习题课件】


课堂导练
9．某商店销售皮鞋，已知所获利润 y(元)与销售单价 x(元)之间 的关系式为 y＝－x2＋24x＋2 956，则获利最多为( B ) A．3 144 元 B．3 100 元 C．144 元 D．2 956 元
课后训练
10．(中考·天津)已知二次函数 y＝x2＋bx＋c(b，c 为常数)． (1)当 b＝2，c＝－3 时，求二次函数的最小值；
课后训练
(3)不考虑其他因素，当每个商品的售价为多少元时，商场每天获 得的总利润最大？最大利润是多少？
解：∵w＝－2x2＋200x－3 200＝－2(x－50)2＋1 800，20≤x≤60， ∴当 x＝50 时，w 取得最大值，此时 w＝1 800. 即当每个商品的售价为 50 元时，商场每天获得的总利润最大， 最大利润是 1 800 元．
【点拨】小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 m 长为半径的34 圆，以 C 为圆心、6 m 长为半径的14圆和以 A 为圆心、4 m 长为 半径的14圆的面积和，据此列式求解可得；
【答案】88π m2
课堂导练
(2)如图②，现考虑在(1)中矩形 ABCD 小屋的右侧以 CD 为边拓 展一等边三角形 CDE 区域，使之变成落地为五边形 ABCED 的小屋，其他条件不变，则在 BC 的变化过程中，当 S 取得最 小值时，边 BC 的长为__________．
课后训练 易得当点 G，H(设点 G 在点 H 下方)分别落在线段 AB，DC 上， 且直线 GH 过点 P 时，直线 GH 平分矩形 ABCD 的面积． 连接 OD，∵AB∥CD，∴线段 OD 平移后可得到线段 GH. ∴线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P. 连接 BD，PQ，在△OBD 中，PQ 是中位线， ∴PQ＝12OB＝4. ∴抛物线向右平移的距离是 4.
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第二章二次函数的应用
一、教学目标：
能利用二次函数解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等.会通过建立坐标系来解决实际问题
二、教学重点、难点
通过本课时的学习，学生可以体会二次函数是最值问题的数学模型、学习用二次函数的知识解决实际问题、小结解决实际问题的思路、过程，并进一步感受数学的应用价值
所以本课时设计了五个教学环节：最大值问题、需建立坐标系、课堂小结、布置作业.
三、教学过程
第一环节最大值问题
教学内容：
通过：1、最大利润问题；2、最大高度问题；3、最大面积问题，说明如何利用二次函数知识解决实际问题.
（一）最大利润问题
例1：某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
自我检测
某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?
练习：某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多
少？
（二）最大面积问题
例2：小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋外的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为S平方米。

（1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；
（2）当AB、BC分别为多少时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大?
练习：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大?
例5：密卷第10套第28题
第三环节课堂小结
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
第五环节布置作业
密卷第八套、第七套的28题
四、教学反思。