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基础知识整合１．直线的倾斜角与斜率（１）直线的倾斜角１定义：x轴错误!正向与直线错误!向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为错误!0°.２倾斜角的范围为错误!0°≤α<１80°.（２）直线的斜率１定义：一条直线的倾斜角α的错误!正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝错误! tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．２过两点的直线的斜率公式经过两点P１（x１，y１），P２（x２，y２）（x１≠x２）的直线的斜率公式为k＝错误!错误!.２．直线方程的几种形式直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系θ0°0°<θ<90°90°90°<θ<１80°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．１．已知直线过A（２,４），B（１，m）两点，且倾斜角为４５°，则m＝（）Ａ．３Ｂ．—３Ｃ．５Ｄ．—１答案A解析∵直线过A（２,４），B（１，m）两点，∴直线的斜率为错误!＝４—m.又∵直线的倾斜角为４５°，∴直线的斜率为１，即４—m＝１，∴m＝３．故选Ａ．２．直线x＋错误!y＋１＝0的倾斜角是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析由直线的方程得直线的斜率k＝—错误!，设倾斜角为α，则tanα＝—错误!，所以α＝错误!.３．（２0１9·青海模拟）倾斜角为１３５°，在y轴上的截距为—１的直线方程是（）Ａ．x—y＋１＝0 Ｂ．x—y—１＝0Ｃ．x＋y—１＝0 Ｄ．x＋y＋１＝0答案D解析直线的斜率为k＝tan１３５°＝—１，所以直线方程为y＝—x—１，即x＋y＋１＝0．４．已知直线l：ax＋y—２—a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）Ａ．１Ｂ．—１Ｃ．—２或—１Ｄ．—２或１答案D解析当a＝0时，直线方程为y—２＝0，不满足题意，所以a≠0，直线在x轴上的截距为错误!，在y 轴上的截距为２＋a，则由２＋a＝错误!，得a＝—２或a＝１．５．（２0１9·沈阳模拟）直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（）Ａ．ab>0，bc<0 Ｂ．ab>0，bc>0Ｃ．ab<0，bc>0 Ｄ．ab<0，bc<0答案A解析由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝—错误!x—错误!.易知—错误!<0且—错误!>0，故ab>0，bc<0．6．（２0１9·海淀区模拟）直线l经过点A（１,２），在x轴上的截距的取值范围是（—３,３），则其斜率的取值范围是（）Ａ．—１＜k＜错误!Ｂ．k＞１或k＜错误!Ｃ．k＞错误!或k＜１Ｄ．k＞错误!或k＜—１解析设直线的斜率为k，则直线方程为y—２＝k（x—１），直线在x轴上的截距为１—错误!，令—３＜１—错误!＜３，解不等式可得．也可以利用数形结合．核心考向突破考向一直线的倾斜角与斜率例１（１）（２0１9·重庆巴蜀中学诊断）直线x＋（a２＋１）y＋１＝0的倾斜角的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!∪错误!Ｄ．错误!∪错误!答案B解析依题意，直线的斜率k＝—错误!∈[—１,0），因此其倾斜角的取值范围是错误!.（２）直线l过点P（１,0），且与以A（２,１），B（0，错误!）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．答案（—∞，—错误!]∪[１，＋∞）解析如图，∵kAP＝错误!＝１，kBP＝错误!＝—错误!，∴k∈（—∞，—错误!]∪[１，＋∞）．触类旁通即时训练１．（２0１9·南昌模拟）直线２xcosα—y—３＝0错误!的倾斜角的变化范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析直线２xcosα—y—３＝0的斜率k＝２cosα.由于α∈错误!，所以错误!≤cosα≤错误!，因此k＝２cosα∈[１，错误!]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[１，错误!]．由于θ∈[0，π），所以θ∈错误!，即倾斜角的变化范围是错误!.２．设点A（—２,３），B（３,２），若直线ax＋y＋２＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）Ａ．错误!∪错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!∪错误!答案B解析易知直线ax＋y＋２＝0过定点P（0，—２），kPA＝—错误!，kPB＝错误!，因为直线ax＋y＋２＝0的斜率为—a，若直线ax＋y＋２＝0与线段AB没有交点，根据图象（图略）可知—错误!＜—a＜错误!，解得—错误!＜a＜错误!，故选Ｂ．考向二求直线的方程例２根据所给条件求直线的方程：（１）直线过点（—４,0），倾斜角的正弦值为错误!；（２）直线过点（—３,４），且在两坐标轴上的截距之和为１２；（３）与直线３x—４y—５＝0关于y轴对称．解（１）由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝错误!（0<α<π），从而cosα＝±错误!，则k＝tanα＝±错误!，故所求直线方程为y＝±错误!（x＋４），即x＋３y＋４＝0或x—３y＋４＝0．（２）由题设知截距不为0，设直线方程为错误!＋错误!＝１，又直线过点（—３,４），从而错误!＋错误!＝１，解得a＝—４或a＝9．故所求直线方程为４x—y＋１6＝0或x＋３y—9＝0．（３）直线３x—４y—５＝0与y轴的交点为A错误!，所求直线过A错误!，且斜率k＝—错误!，所求直线方程为y＝—错误!x—错误!，即３x＋４y＋５＝0．触类旁通根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.即时训练３．已知△ABC的三个顶点分别为A（—３,0），B（２,１），C（—２,３），求：（１）BC边所在直线的方程；（２）BC边上中线AD所在直线的方程；（３）BC边的垂直平分线DE的方程．解（１）因为直线BC经过B（２,１）和C（—２,３）两点，由两点式得BC的方程为错误!＝错误!，即x＋２y—４＝0．（２）设BC边的中点D的坐标为（x，y），则x＝错误!＝0，y＝错误!＝２．BC边的中线AD过点A（—３,0），D（0,２）两点，由截距式得AD所在直线方程为错误!＋错误!＝１，即２x—３y＋6＝0．（３）由（１）知直线BC的斜率k１＝—错误!，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k２＝２．由（２）知点D的坐标为（0,２）．可求出直线的点斜式方程为y—２＝２（x—0），即２x—y＋２＝0．考向三直线方程的应用角度错误!直线方程与不等式的结合例３已知直线l过点P（３,２），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积取最小值时，求直线l的方程．解解法一：设A（a,0），B（0，b）（a>0，b>0），则直线l的方程为错误!＋错误!＝１．因为l过点P（３,２），所以错误!＋错误!＝１．因为１＝错误!＋错误!≥２错误!，整理得ab≥２４，所以S△ABO＝错误!ab≥１２．当且仅当错误!＝错误!，即a＝6，b＝４时取等号．此时直线l的方程是错误!＋错误!＝１，即２x＋３y—１２＝0．解法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0，可设直线l的方程为y—２＝k（x—３）（k<0），则A错误!，B（0,２—３k），S△ABO＝错误!（２—３k）错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝错误!×（１２＋１２）＝１２，当且仅当—9k＝错误!，即k＝—错误!时，等号成立．所以所求直线l的方程为２x＋３y—１２＝0．角度错误!直线方程与函数的结合例４为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝１00m，BC＝80m，AE＝３0 m，AF＝２0 m，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E（３0,0），F（0,２0），∴直线EF的方程为错误!＋错误!＝１（0≤x≤３0）．易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，在线段EF上取点P（m，n），作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝（１00—m）（80—n）．又错误!＋错误!＝１（0≤m≤３0），∴n＝２0—错误!m.∴S＝（１00—m）错误!＝—错误!（m—５）２＋错误!（0≤m≤３0）．∴当m＝５时，S有最大值，这时错误!＝５∶１．所以当草坪矩形的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成５∶１时，草坪面积最大．触类旁通直线方程综合问题的两大类型及解法（１）与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x （或y）的函数，借助函数的性质解决．２与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等来解决.即时训练４．已知直线l过点M（１,１），且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：（１）当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；（２）当|MA|２＋|MB|２取得最小值时，直线l的方程．解（１）设A（a,0），B（0，b）（a>0，b>0）．设直线l的方程为错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝（a＋b）错误!＝２＋错误!＋错误!≥２＋２错误!＝４，当且仅当“a＝b＝２”时取等号，此时直线l的方程为x＋y—２＝0．（２）设直线l的斜率为k，则k<0，直线l的方程为y—１＝k（x—１），则A错误!，B（0,１—k），所以|MA|２＋|MB|２＝错误!２＋１２＋１２＋（１—１＋k）２＝２＋k２＋错误!≥２＋２错误!＝４，当且仅当k２＝错误!，即k＝—１时，|MA|２＋|MB|２取得最小值４，此时直线l的方程为x＋y—２＝0．。
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素． 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)经过点P 0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：选D .由点斜式得直线方程为y －(－3)＝tan 45°(x －2)＝x －2，即x －y －5＝0，故选D.如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.由题意知直线的斜率k ＝－A B ＜0，直线在y 轴上的截距b ＝－C B＞0，故选C. 经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝________． 解析：tan 3π4＝2y ＋1－（－3）4－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1，y ＝－3. 答案：－3(教材习题改编)经过点(－4，3)且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为________．解析：由题意可设方程为x ＋y ＝a ， 所以a ＝－4＋3＝－1. 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0直线的倾斜角与斜率[典例引领](1)直线2xcos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－6， 6] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－66∪⎝ ⎛⎭⎪⎫66，＋∞。
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2019高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线方程分层演练文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线方程分层演练文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1讲直线的倾斜角、斜率与直线方程一、选择题1．已知直线l过点（1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为( )A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0解析：选D．由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α,2α，因为直线l:x－2y－2＝0的斜率为错误!,则tan α＝错误!，所以直线l的斜率k＝tan 02α＝错误!＝错误!＝错误!．所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝错误!(x－1），即4x－3y－4＝0．2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限,则a，b,c应满足（)A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0C．ab<0,bc〉0 D．ab〈0,bc<0解析：选A．由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－错误!x－错误!．易知－错误!〈0且－错误!〉0,故ab>0，bc〈0．3．两直线错误!－错误!＝a与错误!－错误!＝a（其中a为不为零的常数）的图象可能是( )解析：选B．直线方程错误!－错误!＝a可化为y＝错误!x－na，直线错误!－错误!＝a可化为y＝错误!x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．4．已知直线x＋a2y－a＝0(a〉0，a是常数），当此直线在x，y轴上的截距之和最小时，a的值是( ）A．1 B．2 C．错误!D．0解析：选A．直线方程可化为xa＋错误!＝1,因为a>0，所以截距之和t＝a＋错误!≥2,当且仅当a＝错误!，即a＝1时取等号．5．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（)A．[－2，2]B．（－∞,－2］∪[2，＋∞）C．［－2，0)∪(0，2］D．(－∞,＋∞)解析：选C．令x＝0，得y＝错误!，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为错误!错误!｜－b｜＝错误!b2，且b≠0，错误!b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0）∪(0,2］．6．若直线错误!＋错误!＝1（a＞0，b＞0）过点(1,1），则a＋b的最小值等于( ）A．2 B．3C．4 D．5解析:选C．将（1，1)代入直线错误!＋错误!＝1，得错误!＋错误!＝1，a ＞0，b＞0，故a＋b＝（a＋b)（错误!＋错误!）＝2＋错误!＋错误!≥2＋2＝4,等号当且仅当a＝b时取到，故选C．二、填空题7．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B （1,4），D（5，0),则直线l的方程为________．解析:直线l平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3，2),则直线l：y＝23 x．答案：y＝错误!x8．过点M（－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．解析：(1）当直线过原点时,直线方程为y＝－错误!x;(2）当直线不过原点时,设直线方程为错误!＋错误!＝1，即x－y＝a．代入点(－3，5），得a＝－8．即直线方程为x－y＋8＝0．答案：y＝－53x或x－y＋8＝09．直线l:(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．解析:直线l的方程变形为a（x＋y）－2x＋y＋6＝0，由｛x＋y＝0，，－2x＋y＋6＝0解得x＝2，y＝－2，所以直线l恒过定点（2，－2）．答案：（2，－2)10．已知直线l：x－my＋错误!m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0),B(1,0)连线的斜率k MA与k MB之积为3，则实数m的取值范围是____________．解析：设M（x，y)，由k MA·k MB＝3，得错误!·错误!＝3，即y2＝3x2－3．联立错误!得错误!x2＋错误!x＋6＝0．要使直线l：x－my＋错误!m＝0上存在点M满足与两点A（－1，0)，B(1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为3，则Δ＝错误!错误!－24错误!≥0，即m2≥错误!．所以实数m的取值范围是错误!∪错误!．答案:错误!∪错误!三、解答题11．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3，4)；(2)斜率为错误!．解：（1）设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4,它在x轴，y轴上的截距分别是－错误!－3，3k＋4，由已知,得（3k＋4)×错误!＝±6，解得k1＝－错误!或k2＝－错误!．故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0．（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝16x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b｜＝6，所以b＝±1．所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．12．如图,射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1，0）作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝错误!x 上时，求直线AB的方程．解：由题意可得k OA＝tan 45°＝1，k OB＝tan（180°－30°）＝－错误!，所以直线l OA:y＝x，l OB：y＝－错误!x．设A(m，m)，B（－3n，n)，所以AB的中点C错误!,由点C在直线y＝错误!x上，且A，P，B三点共线得错误!解得m＝3,所以A（错误!，错误!）．又P（1，0）,所以k AB＝k AP＝错误!＝错误!，所以l AB:y＝错误!(x－1），即直线AB的方程为(3＋错误!)x－2y－3－错误!＝0．1．直线l过点P（1，4），分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B 两点,O为坐标原点,当｜OA｜＋｜OB|最小时,求l的方程．解：依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1）（k <0）．令y ＝0,可得A 错误!；令x ＝0，可得B (0，4－k ）．|OA ｜＋|OB |＝（）1－4k ＋（4－k )＝5－错误!＝5＋错误!≥5＋4＝9．所以当且仅当－k ＝错误!且k 〈0，即k ＝－2时，|OA ｜＋|OB |取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0．2．如图,在矩形ABCD 中，AB ＝6,AD ＝4,矩形内的点M 到AB 与AD 的距离分别为1和错误!,过M 的直线交AB 、AD 分别为P 、Q ,求错误!·错误!的最大值及取最大值时P 、Q 的位置．解：分别以AB 和AD 所在的直线为x 轴与y 轴,建立直角坐标系xAy ．则M 错误!，C (6，4)．设P (a ，0），Q (0，b ）（a 〉0，b 〉0），则直线PQ 的方程为错误!＋错误!＝1,所以错误!＋错误!＝1，错误!·错误!＝（a －6，－4)·(－6，b －4）＝－(6a ＋4b ）＋52． 又错误!（6a ＋4b ）＝13＋6错误!≥13＋6×2错误!＝25．所以6a ＋4b ≥25,当且仅当a ＝b 且错误!＋错误!＝1，即a ＝b ＝错误!时，6a ＋4b 取得最小值25．所以错误!·错误!≤－25＋52＝27．所以，当AP ＝AQ ＝错误!时，错误!·错误!的最大值为27．。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22， 设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ， 代入x 26＋y 24＝1， 得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1， 所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)， 满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华 存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12， 当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0， 即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二 圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13， 所以332≤3d <3， 即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ， 得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ， 消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24， 若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12， 所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |， 因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1， 得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332， 解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， 因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点， 所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1， 即k 1k 2＝1.(2)解 由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1， 可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1， 所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1， 同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1， 因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2， 则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328， 即存在常数λ＝328， 使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1， 所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)， 则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34， 即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34， 因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1， 即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34， 解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3， 可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， 所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0， 即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12， 当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意． 所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14， 即y 2x 2－4＝－14， 即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ， 得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ， 即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4， 当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号， 则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20， 当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15， 即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0， 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)， 所以y ′＝x p(p >0)， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0， 所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)， 又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)， 解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ， 解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222， 所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)， 切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)， 两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2， 由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ， 消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， 所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0， 所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2， 令t ＝－4k ＋31＋k 2， 则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22， 令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12， 所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减， 当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0， 所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。
