2019-2020年高考数学一轮复习高频考点课件：第6章数列27

[解] (1)由 S2＝43a2 得 3(a1＋a2)＝4a2， 解得 a2＝3a1＝3. 由 S3＝53a3 得 3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得 a3＝32(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知 a1＝1. 当 n>1 时，有 an＝Sn－Sn－1＝n＋3 2an－n＋3 1an－1， 整理得 an＝nn＋－11an－1. 于是 a2＝31a1，a3＝42a2，…，an－1＝n－n 2an－2，an＝nn＋ －11an－1. 将以上 n－1 个等式中等号两端分别相乘，整理得 an＝nn2＋1. 综上可知，{an}的通项公式 an＝nn2＋1.
当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1. (2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1. 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
故an＝42，×3n－1，
n＝1， n≥2.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式， 其求解过程分为三步：
[例 1] (2013·天津南开中学月考)下列公式可作为
数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是
()
A．an＝1
B．an＝－12n＋1
C．an＝2－sinn2π
D．an＝－1n2－1＋3
[自主解答]
由an＝2－
nπ
sin
2
可得a1＝1，
a2＝2，
a3＝1，a4＝2，….
[答案] C
教师备选题（给有能力的学生加餐）
1．下列说法中，正确的是
()
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的

-3-
知识梳理
双基自测
1 2 3
(5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一 些项可以相互抵消,从而求得其和.
常见的裂项公式:①
1 1 ② =2 (2������-1)(2������+1) 1 1 ③ = ������(������+1)(������+2) 2 1 1 ④ = ������ ( ������ + ������ ������+ ������+������
������ -1 ������-1 ������+1
(5)已知等差数列{an}的公差为 d,则有������ ������ = ������ ������ - ������ . ������ ������+1 ������ ������+1
(× (2)√ ) (1) (3)√ (4)√ (5)× (6)√
.
关闭
������+1
������(������+1) , 2 1 2 1 1 ∴������ = ������(������+1)=2 ������ - ������+1 . ������ 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=2 1- + - + - + … + 2 2 3 3 4 ������ ������+1 1 2������ = 2 1 = . 2������ ������+1 ������+1
∵an=1+2+3+…+n=
关闭
-9解析
答案
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
5.(2017全国Ⅱ,理15)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 . ������1 + 2������ = 3, 4×3 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由题意可知 解 4 ������1 + ������ = 10, 2 ������ = 1, 得 1 ������ = 1. ������ (������ -1) ������ (1+������ ) 所以 Sn=na1+ d= .

高考AB卷
学法大视野
(4)前 n 项和公式法：若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k·qn－k(k 为 常数且 k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列. 提醒：(1)前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于 选择、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三 项不成等比数列即可.
高考AB卷
学法大视野
解析 (1)∵a4·a8＝a26＝4，又{an}的各项都是正数， ∴a6＝2，∴a5·a6·a7＝a36＝8，故选 B. (2)∵a2n＋1－6a2n＝an＋1·an， ∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0， ∵an＞0，∴an＋1＝3an，又 a1＝2， ∴{an}是首项为 2，公比为 3 的等比数列， ∴Sn＝2（11－－33n）＝3n－1.
a1（1－qn）
(2)当公比 q≠1 时，Sn＝ 1－q
a1－anq ＝ 1－q
.
2.等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和. (1)若 m＋n＝p＋q＝2r，则 am·an＝ ap·aq ＝ a2r ；
(2)数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
高考AB卷

典例突破
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴

2 3

∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足

（1）求数列{ }的通项公式；
解由 + = 1，得−1 + −1 = 1 ≥ 2 ，
1
2

1
0，所以 =
−1
2
两式相减得 − −1 + = 0 ≥ 2 ，即 = −1 ≥ 2 .
1
2
当 = 1时，21 = 1，得1 = ≠
1
1
所以{ }是首项为 ，公比为 的等比数列,故
{ }是等比数列
前项和公式 若数列{ }的前项和 = ⋅ − (为常数且 ≠ 0, ≠ 0,1),则{ }是等比
法
数列
角度2 等比数列的判断
典例3已知数列{ }满足1 = 1,+1 = 2 + 1 ,设 =

.

（1）求1 ,2 ,3 的值；
+1
由条件可得
+1
=
2
,即+1

= 2 ,
又1 = 1,所以{ }是首项为1,公比为2的等比数列.
（3）求{ }的通项公式.
+ = + = ,所以 > , = ,所以 + = ,解得 = ±.当
= 时,由 = = ,可得 = ；当 = −时,由 = = ,可得 = −,所
以ቊ
= −,
= ,
或ቊ
解由条件可得+1 =
2 +1

⋅ .
将 = 1代入,得2 = 41 ,而1 = 1,所以2 = 4.将 = 2代入,得3 = 32 ,所以3 = 12.
从而1 = 1,2 = 2,3 = 4.
（2）判断数列{ }是否为等比数列,并说明理由；

思维升华
两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的 最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等 比数列公比的最小公倍数.
跟踪训练2 (2023·邵阳模拟)数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小
到大构成一个新数列{an}，数列{bn}满足bn＝
an 2n
，则数列{bn}的最大项
1234
3.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn－nan＝n，n∈N*，且a2＝3. (1)求证：数列ann－－11(n≥2)是常数列；
1234
由2Sn－nan＝n，得2Sn＋1－(n＋1)an＋1＝n＋1， 将上述两式相减，得2an＋1－(n＋1)an＋1＋nan＝1， 即nan－(n－1)an＋1＝1. ∴ an＋1＝nna－n－11(n≥2)， ∵an＋n1－1－ann－－11＝nna－n－n11－1－ann－－11 ＝ann－－11－ann－－11＝0(n≥2)， ∴数列ann－－11(n≥2)是常数列.
第六章
§6.7 子数列问题
பைடு நூலகம்
重点解读
子数列是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数列问题一 般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时， 要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置， 即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数 与方程的思想，能很好地考查学生的思维.
思维升华
对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先 判断数列之间共插入(减少)了多少项 (运用等差等比求和或者项数 公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.
跟踪训练3 已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数. (1)求r的值；

数列的项
每一个数
数列中的__________
数列的通项
数列{ }的第项
通项公式
数列{ }的前项和
数列{ }的第项 与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来
表示,这个式子叫作这个数列的通项公式
1 + 2 + ⋯ +
数列{ }中, =________________叫作数列的前项和
第六章 数列
第一节 数列的概念及简单表示法
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
课标解 通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公
读
式）,了解数列是一种特殊函数.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、数列的有关概念
概念
数列
含义
确定的顺序
按照____________排列的一列数
2
2
3
1
, 4 = 2 ；五边形数： , 5 = 2 − ；六边形数： , 6 = 22 − ,可以推
2
2
测 , 的表达式,由此计算 20,23 =( B )
A.4 020
B.4 010


C.4 210


D.4 120








[解析] 由题意可得 , = + , , = + , , = − ,
[解析] 当 = 时, = = ;当 ≥ 时,
= − − = + − [ −

+ ] = − , = 不满足上式,所以
, = ,
, = ,

当n＝1时，整理得a1＝ma1－1，解得m＝2，
故Sn＝2an－1，
(a)
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，
(b)
123456
(a)－(b)得 an＝2an－2an－1，整理得aan－n 1＝2(常数)，
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2n－1.
选条件③时，2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝kn·2n(k∈R)，
当n＝1时，整理得2a1＝k·21，解得k＝1，
故2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝n·2n(k∈R)，
(a)
当n≥2时，2a1＋3a2＋4a3＋…＋nan－1＝(n－1)·2n－1，
(b)
(a)－(b)得an＝2n－1(首项符合通项)，
所以an＝2n－1.
123456
(2)若 bn＝n＋1l1og2an＋1，且数列{bn}的前 n 项和 Tn＝19090，求 n 的值. 由(1)得 bn＝n＋1l1og2an＋1＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝1－n＋1 1＝19090，解得 n＝99.
123456
(2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)，将剩余的项按从小到大 的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Sn.
123456
由题意可知新数列{cn}为b1，b2，b4，b5，…，
则当n为偶数时，Sn＝ b1＋b4＋
＋b3
n 2
－2
＋
b2＋b5＋
n
n
n
＝ 3(1 272 ) ＋32(1 272 )
k＝1
n
n
＝ {[a2k－(－1)2k－1a2k－1]b2k－1＋[a2k＋1－(－1)2ka2k]b2k}＝ 2k·4k，

������+1
=1,
∴
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破 关键能力·学案突破
-9-
考点1
考点2
考点3
由数列的前几项求数列的通项公式 例1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…;
1 1 1 1 (2)-1×2 , 2×3,-3×4 , 4×5,…; 2 4 6 8 10 (3)3 , 15 , 35 , 63 , 99,…; 1 9 25 (4)2,2,2,8, 2 ,…;
2������ -1
解析:由题意 log2an+1=2log2an⇒
log2 ������������+1 log2 ������������
=2,
∴{log2an}是公比为 2 的等比数列, n-1 2������ -1 ∴log2an=(log2a1)· 2 ⇒an=2 .
必备知识·预案自诊 必备知识·预案自诊
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破 关键能力·学案突破
-18-
考点1
考点2
考点3
由递推关系式求数列的通项公式(多考向) 考向1 形如an+1=anf(n),求an 例3在数列{an}中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),求数列{an}的通 项公式. 解 ∵nan-1=(n+1)an(n≥2), ������ ������ ∴ ������ = (n≥2).
即 2Sn+1=3Sn,
������������+1 ������������
= 2,
3 ������ -1 . 2
3
而 S1=a1=1,所以 Sn=

n
2

1
1
所以{2 }是以 2 = 2为首项,1 为公差的等差数列.

1
1
所以 = +n-1=n- ,所以 an=(2n-1)2n-1.
2
2
2
[对点训练2]已知数列{an}满足a1=2,a2=8,an+2=4an+1-3an,则数列{an}的通项
an=3n-1
公式为_______________.
例1(2024·江西景德镇一中检测)已知在数列{an}中,a1=1,an+1=4an-6,
则a2 023=( C )
A.-42 023+2
B.-42 023-2
C.-42 022+2
D.-42 022-2
解析 由an+1=4an-6,得an+1-2=4(an-2),而a1-2=-1,
因此数列{an-2}是首项为-1,公比为4的等比数列,则an-2=-1×4n-1,
-3n=2n+2-3n-4,故
1-2
D 正确.
本 课 结 束
探究三 形如

an+1= +型

例 5 已知数列{an}Βιβλιοθήκη 首项4an=
__________.
1+4
4
4
a1=5,an+1=3 +1,n∈N*,则数列{an}的通项公式为

4
4
解析 因为 an+1=3 +1,a1=5 ≠0,所以 an≠0,

1
3
1
1
1
1
1 1
两边同时取倒数得 = 4 + 4 ,所以 -1=4 − 4 = 4 ( -1).

2019年4月24日
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20
2.(2018 福建厦门六中模拟)数列12，－14，18，－116，…的一个通项
公式可能是( )
A．(－1)n21n
B．(－1)n21n
C．(－1)n－121n
D．(－1)n－121n
【答案】D
2019年4月24日
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21
【解析】由已知数列12，－14，18，－116，…，可得数列各项的绝 对值是一个以12为首项，12为公比的等比数列，又∵数列所有的奇数项 为正，偶数项为负，故可用(－1)n－1 来控制各项的符号，故数列12，－ 14，18，－116，…的一个通项公式为(－1)n－121n.故选 D.
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3
1．数列的定义
按照 一定顺序 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫
做这个数列的 项
．
2019年4月24日
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4
2．数列的分类
2019年4月24日
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5
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 列表法、图象法和解析法 ．
2．在数列{an}中，若
an
最大，则an≥an－1， an≥an＋1.
若
an
最小，则an≤an－1， an≤an＋1.
2019年4月24日
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7
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成 它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一 确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2019年4月24日