2018-2019学年北京市清华附中高一(上)期中数学试卷(含解析)

2018-2019学年北京师大附中高一上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合 ， ，则 A ． B ． C ． D ．2．若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R ，则关于实数a 的下列说法中正确的是A ．1a =-或3B ．1a =-C ．3a >或1a <-D ．13a -<< 3．下列函数中，在区间 上是增函数的是 A ． B ． C ． D ．4．给定四个函数：①；②；③ ；④，其中是奇函数的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数 在R 上为增函数，且 ，则实数m 的取值范围是 A ． B ．C ．D ．6．函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．7A ．B ．C ．D ．8． 是区间 上的偶函数并且在区间 上是减函数，则下列关系中正确的是A ．B ．C ．D ．二者无法比较9．设，则A ．B ．C ．D ．二、解答题10．已知函数的定义域为A ， 的值域为B 。

（1）求A ，B ；（2）设全集 ，求11．已知集合 （1）若 ，求a 的取值范围； （2）若 ，求a 的取值范围。

12．已知函数 （1）当a ＝1时，求函数 的值域。

（2）若函数 在区间 上是单调函数，求实数a 的取值集合。

13．已知函数。

（1）求函数 的定义域；（2）判断函数 的奇偶性，并证明； （3）解不等式 。

2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A＝{﹣1，0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{0}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}2．命题∀x∈（﹣1，0），x2+x＜0的否定是（）A．∀x∈（﹣1，0），x2+x＞0B．∀x∈（﹣1，0），x2+x≤0C．∃x∈（﹣1，0），x2+x＞0D．∃x∈（﹣1，0），x2+x≥03．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣|x|B．y＝x2C．y＝x3D．4．已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3+，则f（﹣1）+f（0）＝（）A．﹣2B．0C．2D．45．已知a＞b＞c，a+b+c＝0，则下列结论一定正确的是（）A．a+c＞0B．a+b＜0C．ab＞0D．ac＜06．函数f（x）＝x2﹣2x，x∈[﹣2，2]的值域是（）A．[﹣1，0]B．[0，8]C．[1，8]D．[﹣1，8]7．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值是（）A．B．C．D．8．若函数f（x）＝﹣x2+2ax与函数在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1]C．（0，1）D．（0，1]9．对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，我们把f（x）＝[x]，x∈R称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A．∃x∈R，[4x]＝4[x]+2B．∀x∈R，C．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y]D．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜110．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为（）A．56B．72C．87D．96二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（）A.{﹣1}B.{0}C.{﹣1，0}D.{﹣1，0，1}2.命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（）A.()21,0,0x x x ∀∈-+> B.()21,0,0x x x ∀∈-+≤C.()21,0,0x x x ∃∈-+> D.()21,0,0x x x ∃∈-+≥3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x=- B.2y x = C.3y x = D.1y x=-4.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（）A.2-B.0C.2D.45.已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（）A.0a c +> B.0a b +< C.0ab > D.0ac <6.函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（）A.[]1,0- B.[]0,8 C.[]1,8D.[]1,8-7.已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y+的最小值是（）A.B. C.32D.2+8.若函数()22f x x ax =-+与函数()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（）A.()()1,00,1-U B.()(]1,00,1-U C.()0,1 D.(]0,19.对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A .R x ∃∈，[][]442x x =+ B.R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x yD.,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<10.已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（）A.56B.72C.87D.96二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1f x x=-的定义域是___________.12.已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x =______．13.已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为__________；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是__________．14.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是__________.15.已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是_____．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列关于x 的不等式的解集．（1）23100x x -->；（2）4101x +≤-；（3）22(2)0x x a a ++-<．17.设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．（1）当2a =时，分别求R ,A B A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）当1k =时，求2212x x +的值；（3）若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．19.某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25xy =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．（1）请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；（2）在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？20.已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；（3）是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.（1）设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；（2）设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（）A.{﹣1}B.{0}C.{﹣1，0}D.{﹣1，0，1}【答案】B【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】集合{}1,0A =-，集合{}11B x x =-<<，所以{}0A B ⋂=，故选：B2.命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（）A.()21,0,0x x x ∀∈-+> B.()21,0,0x x x ∀∈-+≤C.()21,0,0x x x ∃∈-+> D.()21,0,0x x x ∃∈-+≥【答案】D【分析】全称命题的否定为特称命题.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为()2100x x x ∃∈-+≥，，.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x =-B.2y x = C.3y x = D.1y x=-【答案】B【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】函数3y x =和函数1y x=-是奇函数，不符合题意，CD 选项错误.函数,0,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨<⎩是偶函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意，A 选项错误.函数2y x =是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意，B 选项正确.故选：B4.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（）A.2-B.0C.2D.4【答案】A【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【详解】依题意，()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，且()()3111121f f ⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()()102f f -+=-.故选：A5.已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（）A.0a c +>B.0a b +< C.0ab > D.0ac <【答案】D【分析】根据已知得00a c ><，，由此可判断得选项.【详解】解：因为a b c >>，0a b c ++=，所以一定有00a c ><，，b 的符号不能确定，所以a c +，ab 的符号不能确定,0a b +>，一定成立的是0ac <，故选：D.6.函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（）A.[]1,0- B.[]0,8 C.[]1,8D.[]1,8-【答案】D【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可．【详解】()22f x x x =-，对称轴为1x =，[]2,2x ∈-，∴函数()f x 在[]2,1-上单调递减，在(]1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==-，由对称性可得()()max 28f x f =-=，所以函数()f x 的值域是[]1,8-.故选：D.7.已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y+的最小值是（）A.B. C.32D.2+【答案】C【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】由已知可得，()111122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭131222y x x y =+++≥32=当且仅当2y xx y=，且1x y +=，即1x =-，2y =-所以，13212x y ++≥故选：C .8.若函数()22f x x ax =-+与函数()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（）A.()()1,00,1-U B.()(]1,00,1-U C.()0,1 D.(]0,1【答案】D【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性可得答案.【详解】因为函数()22f x x ax =-+在区间[]1,2上是减函数，所以1a ≤，因为()ag x x=在区间[]1,2上是减函数，所以0a >，所以a 的取值范围是01a <≤，故选：D9.对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A.R x ∃∈，[][]442x x =+B.R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x yD.,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<【答案】C【分析】可取特殊值判断AC ，利用不等式性质及取整数的意义推理可判断选项BD.【详解】对于A ，当0.5x =时，[][][]440.52422x x =⨯==+=，故A 正确；对于B ，设[],x m m =∈Z ，则1131,222m x m m x m ≤≤++≤+<+，12x m ⎡⎤∴+=⎢⎥⎣⎦或1m +.当12m x m ≤<+时，12x m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，此时[]2221,22m x m x m ≤<+=，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；当112m x m +≤<+时，13122m x m +≤+<+，112x m ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，此时21222m x m +≤<+，[][]12212x m x x ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦，综上，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，故B 正确.对于C ，当0.5x y ==，[]1x y +=，[][]0x y +=，[][][]x y x y +>+，故C 错误；对于D ，若[][]x y =，设[][],x y n n ==∈Z ，则1n x n ≤<+，1n y n ≤<+()()11,11x y n n x y n n ∴-<+-=->-+=-，从而1x y -<，故D 正确；故选：C.10.已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（）A.56B.72C.87D.96【答案】D【分析】根据题意分别列出三个集合特征数取得最大值和最小值时的元素情况，再分别进行计算各自的特征值，即可求解.【详解】由题意集合{}{}115=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1213,14,15M x N x =∈≤≤，，当{}{}{}1231,4,5,6,7,3,12,13,14,15,2,8,9,10,11A A A ===时，123X X X ++取得最小值，123=8+18+13=39X X X ++；当{}{}{}1231,2,3,4,15,5,6,7,8,14,9,10,11,12,13A A A ===时，123X X X ++取得最大值，123=16+19+22=57X X X ++；123X X X ∴++的最大值与最小值的和为：395796+=.故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1f x x=-的定义域是___________.【答案】[)()0,11,⋃+∞【分析】要使函数()1f x x =-有意义，则有010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解出即可.【详解】要使函数()1f x x =-有意义，则有010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠所以函数()1f x x=-的定义域是[)()0,11,⋃+∞故答案为：[)()0,11,⋃+∞12.已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x =______．【答案】21x -（答案不唯一）【分析】根据已知只需满足一元二次方程()0f x =有两个不相等的实数根，且开口方向向上，对称轴为y 轴或y 轴的左侧即可.【详解】设()21f x x =-，解()210f x x =-=可得，1x =±，所以，1-和1是()f x 的2个零点，满足条件①；()21f x x =-的对称轴为0x =，根据二次函数的性质可知，()f x 在()0,∞+上是增函数，满足条件②．所以，()21f x x =-满足题意.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）.13.已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为__________；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是__________．【答案】①.()0,∞+②.[)1,∞+【分析】当1t =时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则有20t t t>⎧⎨≥⎩，解之即可得解.【详解】解：当1t =时，若1x ≥，则()[)21,f x x =∈+∞，若01x <<，则()()0,1f x x =∈，所以当1t =时()f x 的值域为()0,∞+；由函数2,,0x x t x x t⎧≥⎨<<⎩（0t >），可得函数()f x 在()0,t 上递增，在(),t +∞上递增，因为()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以20t t t >⎧⎨≥⎩，解得1t ≥，所以若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：()0,∞+；[)1,+∞.14.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是__________.【答案】45【分析】根据条件作出Venn 图，然后即可求解出仅参加了一项活动的学生人数.【详解】如图所示：根据条件可知：甲、乙两项体育活动都参加的有：3025505+-=人，所以单独参加甲活动的有：30525-=人，单独参加乙活动的有：25520-=人，所以仅参加了一项活动的学生人数为：202545+=人，故答案为：45.【点睛】本题考查利用Venn 图解决集合的交、并问题，主要考查学生对Venn 图的理解以及运用，难度较易.15.已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是_____．【答案】①②④【分析】对于①，分段讨论脱去绝对值符号，结合二次函数的对称性以及单调性可判断；对于②，可取特殊值，结合奇偶性定义进行判断；对于③，分类讨论，结合二次函数的最小值求出a 的值，即可判断；对于④，举特殊值，说明符合题意即可判断.【详解】对于①，当x a ≥-时，()2f x x x a =--，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为12x =，当x a <-时，()2f x x x a =++，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为12x =-，即22,(),x x a x a f x x x a x a⎧--≥-=⎨++<-⎩，且()()22a a a a ----=，()()22a a a a -+-+=，即在x a =-处的函数值相等，由于()2f x x x a =++的对称轴在()2f x x x a =--的对称轴的左侧，则存在区间(,)(,)m a +∞⊆-+∞，使()2f x x x a =--在(,)m +∞上递增，存在区间(,)(,)n a -∞⊆-∞-，使()2f x x x a =++在(,)n -∞上递减，故R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数，①正确；对于②，当0a =时，()2||f x x x =-，定义域为R ，此时22()()||||()f x x x x x f x =---=-=，即()f x 为偶函数，②正确；对于③，由①的分析可知()f x 的最小值在12x =或12x =-时取到，22,(),x x a x af x x x a x a⎧--≥-=⎨++<-⎩，111||242f a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，111()||242f a -=--，当12a >时，函数最小值在12x =处取到，由1115||2424f a ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，解得1a =或2a =-（舍去）；当12a <-时，函数最小值在12x =-处取到，由1115||2424f a ⎛⎫-=--+=- ⎪⎝⎭，解得1a =-或2a =（舍去）；当1122a -≤≤时，由于115244f a ⎛⎫=-->- ⎪⎝⎭，115244f a ⎛⎫-=-+>- ⎪⎝⎭恒成立，不合题意，舍去；故()f x 的最小值是54-，则1a =-或1a =，③错误；对于④，当0a <时，22,(),x x a x a f x x x a x a ⎧--≥-=⎨++<-⎩，当211022a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即14a =-时，当14x ≥时，令2104x x -+=，解得1124x =>；当14x <时，令2104x x +-=，解得12124x -±=<；即此时()f x 有三个零点，④正确，故答案为：①②④【点睛】难点点睛：本题考查了函数的单调性以及奇偶性以及零点问题，综合性较强，解答时难点在于二次函数的性质的灵活应用，要注意分类讨论，注意函数最值的确定.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列关于x 的不等式的解集．（1）23100x x -->；（2）4101x +≤-；（3）22(2)0x x a a ++-<．【答案】（1）(,2)(5,)-∞-⋃+∞（2）[3,1)-（3）答案见解析【分析】（1）因式分解即可；（2）通分，变形为乘积的形式，结合二次不等式即可；（3）因式分解，讨论两根大小即可.【小问1详解】由23100x x -->，得(5)(2)0x x -+>，则<2x -或5x >，所以解集为(,2)(5,)-∞-⋃+∞【小问2详解】由4101x +≤-，得301x x +≤-，(3)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，解得31x -≤<，所以解集为[3,1)-【小问3详解】由22(2)0x x a a ++-<，得()(2)0x a x a ++-<，当2a a -<-时，即1a >时，解集为(,2)a a --，当1a =时，解集为∅，当1a <时，解集为(2,)a a --.17.设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．（1）当2a =时，分别求R ,A B A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】17.()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð18.3a ≥【分析】（1）根据交并补的概念求解；（2）根据“充分不必要条件”的定义求解.【小问1详解】由题意：{}()()()2|2301,3,2,2,2,2,3A x x x a B A B =--=-==-∴=- ＜，(][)R ,22,B =-∞-+∞ ð，[)R 2,3A B = ð；【小问2详解】由题意，A 是B 的真子集，,B a ∴≠∅＞0,(),,1,3,3B a a a a a =-∴-≤-≥∴≥；综上，（1）()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð，（2）3a ≥.18.关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）当1k =时，求2212x x +的值；（3）若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．【答案】（1）()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）14（3）1k =-【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）（3）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】因为关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ，所以有()22012Δ2140k k k k ≠⎧⎪⇒>-⎨⎡⎤=+->⎪⎣⎦⎩且0k ≠，所以实数k 的取值范围为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ；【小问2详解】当1k =时，根据一元二次方程根与系数的关系可知：()1212222114,1k x x x x k k++=-=-==，所以()222121212216214x x x x x x +=+-=-=；【小问3详解】根据一元二次方程根与系数的关系可知：()121222211,k x x x x k k++=-=，()()222222112122211188841811k x x k k k x x x x k +⎡⎤-⎢⎥⎛⎫⎛⎫++=⇒=⇒=⇒+=⇒=-±⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为实数k 的取值范围为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ，所以1k =-+19.某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25x y =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．（1）请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；（2）在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？【答案】19.()180138,0,100105y x x x =--∈+20.20x =时，利润最大.【分析】（1）A ，B 对于投资金额下的利润求和得到总利润的函数关系式即可；（2）结合函数式特点利用均值不等式求函数最值.【小问1详解】由题意，x 万元投入A 产品，则100x -万元投入B 产品，则()12180118011810038105105y y y x x x x =+=-+-=--++，()0,100x ∈.【小问2详解】由（1）得，1801180103840105105x y x x x +⎛⎫=--=-+ ⎪++⎝⎭4028≤-=，当且仅当18010105x x +=+，即20x =时等号成立，所以当20x =时，公司利润最大.20.已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；（3）是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()245f x x x =--（2）()()()2min45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩（3）12a ≤≤【分析】（1）由题意可设二次函数的顶点式，利用待定系数法即可求()f x 的解析式；（2）由函数的单调性，分12a ≤≤和2a >两种情况进行讨论；（3）因()11f x a ≥-对[]1,x a ∀∈-恒成立，故可转化成对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，借助（2）的结论解不等式即可.【小问1详解】因为对R x ∀∈都有()()22f x f x -=+，所以()f x 关于直线2x =对称，又因为二次函数()f x 的最小值为9-，所以可设二次函数的解析式为()()()2290f x a x a =-->，又因为1-是其一个零点，所以()()211290f a -=---=，解得1a =，所以()f x 的解析式为()()222945f x x x x =--=--.【小问2详解】由（1）可知，函数()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以，当12a ≤≤时，()()2min 45f x f a a a ==--，当2a >时，()()min 29f x f ==-，()()()2min 45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩.【小问3详解】因为对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立，由（2）可知，对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，即2124511a a a a -≤≤⎧⎨--≥-⎩或2911a a >⎧⎨-≥-⎩，解得12a ≤≤，故存在实数a 符合题意，实数a 的取值范围12a ≤≤.21.对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.（1）设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；（2）设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．【答案】（1）{}11,2,3,4,5,6,7M ⊕=（2）34（3）3或4或5【分析】（1）直接由M k ⊕的定义计算即可求解.（2）若(),1d A B =，则1A B ⊆⊕，则只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A =即可，从而min 1001343B ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.（3）首先证明()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+，其次结合(),d A B 的定义得出d 满足距离的三角不等式：()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而运用到本题中即可得解.【小问1详解】若{}2,4,6M =，则由集合新定义可知{}{}{}{}1,3,52,4,63,7,755,6,M =⊕⋃=⋃.【小问2详解】设B 有B 个元素，下证min 34B =.一方面，{}2,5,8,,98,101B = ，则0A B B ⊆⊕=，所以(),0d A B ≠，即(),1d A B ≥，而{}0,1,2,3,4,,1011B A ⊆⊕= ，{}1,2,3,4,,1021A B ⊆⊕= ，这表明了(),1d A B =满足题意，此时10121343B -=+=，故min 34B =；另一方面：若33B j =≤，不妨设{}`12,,,j B b b b = 且`12j b b b <<< ，由题意可知{}{}{}1112221,,11,,11,,11j j j b b b b b b b B b b A -+⋃⊆-+⋃⋃-⊕=+ ，而1B ⊕最多含有399j ≤个元素，当且仅当{}()1,,1,1k k k b b b k j -+≤≤两两不同且33B j ==时，等号成立，但这与A 有100个元素矛盾，所以34B j =≥.综上所述：非空整数集合B 的元素个数的最小值是34.【小问3详解】一方面：先来证明()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+，{}{}|,,1,,Z |,M k m t m M t k k k n m M n m k ⊕=+∈=--+=∈∃∈-≤ ，因此只要12M M ⊆，就有12M k M k ⊕⊆⊕，而()x M k l ∀∈⊕⊕，p M k ∃∈⊕，x p l -≤，所以,m M p m k ∃∈-≤，所以x m x p p m x p p m l k -=-+-≤-+-≤+，即()x M k l ∀∈⊕+，从而()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+.另一方面：如果(),d A B p =，(),d B C q =，(),d A C r =，那么A B p ⊆⊕，B C q ⊆⊕，()()B p C q p C p q ⊕⊆⊕⊕⊆⊕+，从而()A C p q ⊆⊕+，同理()C A p q ⊆⊕+，因此由定义可得()()(),,,d A C r d A B d B C p q =≤+=+，即d 满足距离的三角不等式；所以在本题中，()()(),,,415d A C d A B d B C ≤+=+=，()()(),,,413d A C d A B d B C ≥-=-=，即(){},3,4,5d A C ∈，取{}{}{}0,4,5A B C ===，可知(),5d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3A B C ===，可知(),3d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3,4A B C ===，可知(),4d A C =可能成立，综上所述，(),d A C 所有可能取值为3或4或5.【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接按定义即可；第二问的关键是要注意到由题意有1A B ⊆⊕，从而只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A = 即可；而第三问的关键是要注意到d 表示距离，因此要联想到去证明距离的三角不等式()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而顺利得解.。

2018-2019学年北京大学附中荣誉班高一（上）期中数学试卷试题数：12.满分：01.（填空题.3分）已知集合A={1.2.3}.B={y|y=2x.x∈A}.则B=___ ．2.（填空题.3分）函数f（x）= √9−x2的定义域是___ .值域是___ ．3.（填空题.3分）已知函数f（x）在R上是增函数.若f（x-1）＞f（3-2x）.则x的取值范围是___ ．4.（填空题.3分）设函数g（x+2）=2x+3.则g（x）的解析式是___ ．5.（填空题.3分）为了提高同学们的学习兴趣.学校举办了数学、物理两科竞赛．高一年级（包括衔接班）共260名同学参加比赛.其中两科都取得优秀的有80人.数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人.物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人.则两科均未取得优秀的人数为___ ．6.（填空题.3分）已知p：实数x满足0≤x≤2.q：实数x满足（x-3）（5x+1）≤0.则￢p是￢q的___ ．（填写“充分且不必要条件”.“必要且不充分条件”.“充分必要条件”或“既不充分也不必要条件”）7.（填空题.3分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数.且对任意实数x)) =___ ．都有xf（x+1）=（1+x）f（x）.则f（0）=___ . f(f(528.（填空题.3分）某辆汽车每次加油都把油箱加满.如表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内.该车每100千米平均耗油量为___ 升．9.（问答题.0分）设全集U=R.A={x|1≤x≤3}.B={x|2a＜x＜a+3}．（1）当a=1时.求（∁U A）∩B；（2）若A∩B=A.求实数a的取值范围．10.（问答题.0分）已知函数f(x)=x+m+m(x≠0且m＜1) .设函数g(x)=x•f(x)+x．2x−32（1）证明函数f（x）在[1.+∞）上为增函数．（2）若方程g（x）=0有两个不相等的实根.有一根小于1.且另一根在（1.2）内.求m的取值范围．11.（问答题.0分）已知函数f（x）对一切实数x.y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立.且f（1）=0．（1）求f（0）的值．（2）求f（x）的解析式．时.不等式f（x）+3＜2x+a恒成立.求a的取值范围．（3）当0＜x＜1212.（问答题.0分）对于两条平行直线l1、l2（l1在l2下方）和图象G有如下操作：将图象G 在直线l1下方的部分沿直线l1翻折.其余部分保持不变.得到图象G1；将图象G1在直线l2上方的部分沿直线l2翻折.其余部分保持不变.得到图象G2：再将图G2在直线下方的部分沿直线l1翻折.其余部分保持不变.得到图象G3；再将图象G3在直线l2上方的部分沿直线l2翻折.其余部分保持不变.得到图象G4；以此类推…；直到图象G k上所有点均在l1、l2之间（含l1、l2上）操作停止.此时称图象G k为图象G关于直线l1、l2的“衍生图形”如图所示.线段AB关于直线l1、l2的“衍生图形”为折线段A1-C-D-E-B2．（1）直线型平面直角坐标系中.设直线l1：y=0.直线l2：y=1① 令图象G为f（x）=x的函数图象.则图象G1的解析式为② 令图象G为f（x）=x的函数图象.请你画出G1和G2的图象③ 若函数g（x）=ax+1的图象与图象G1有且仅有一个交点.且交点在y轴的左侧.那么a的取值范围是___ ．④ 请你观察图象G2并描述其单调性.直接写出结果___ ．⑤ 请你观察图象G2并判断其奇偶性.直接写出结果___ ．⑥ 图象G2所对应函数的零点为___ ．⑦ 任取图象G2中横坐标x∈[−52，12]的点.那么在这个变化范围中所能取到的最高点的坐标为（___ .___ ）.最低点坐标为（___ .___ ）．⑧ 若直线h（x）=a与图象G2有2个不同的交点.则a的取值范围是___ ．⑨ 根据函数图象.请你写出图象G2的解析式___ ．（2）曲线型若图象G为函数f（x）=x2-3x+2的图象.平面直角坐标系中.设直线l1：y=0.直线l2：y=1.则我们可以很容易得到G1所对应的解析式为f1(x)=|x2−3x+2|．① 请画出G1的图象.记G1所对应的函数解析式为f1（x）．② 函数f1（x）的单调增区间为___ .单调减区间为___ ．③ 当x∈[0.5]时候.函数f1（x）的最大值为___ .最小值为___ ．④ 若方程|x2−3x+2|=1x+b有四个不同的实数根.则b的取值范围为___ ．3（3）封闭图形型平面直角坐标系中.设直线l3：y=-2.直线l4：y=2设图象G为四边形OPQR.其顶点坐标分别为O（0.0）.P（3.3）.Q（6.0）.R（3.-3）.四边形OPQR关于直线l3、l4的“衍生图形”为G k．① G k的周长为___ ．x+b平分G k的周长.则b=___ ．② 若直线y=−23③ 将G k沿右上方45°方向平移√2个单位.则平移过程中G k所扫过的面积为___ ．2018-2019学年北京大学附中荣誉班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：12.满分：01.（填空题.3分）已知集合A={1.2.3}.B={y|y=2x.x∈A}.则B=___ ．【正确答案】：[1]{2.4.6}【解析】：根据A={1.2.3}.B={y|y=2x.x∈A}.从而得出x=1时.y=2；x=2时.y=4；x=3时.y=6.从而得出集合B．【解答】：解：∵A={1.2.3}.B={y|y=2x.x∈A}.∴B={2.4.6}．故答案为：{2.4.6}．【点评】：考查列举法、描述法的定义.以及元素与集合的关系．2.（填空题.3分）函数f（x）= √9−x2的定义域是___ .值域是___ ．【正确答案】：[1][-3.3]; [2][0.3]【解析】：根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．再根据单调性求出值域即可．【解答】：解：要使函数f（x）有意义.则满足9-x2≥0.即x2≤9.解得-3≤x≤3.故函数的定义域为[-3.3]；∵-3≤x≤3∴0≤9-x2≤9.∴ 0≤√9−x2≤3；故函数的值域为[0.3]．故答案为：[-3.3].[0.3]．【点评】：本题考查了函数的定义域.值域求法.属于基础题．3.（填空题.3分）已知函数f（x）在R上是增函数.若f（x-1）＞f（3-2x）.则x的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] (4，+∞)3【解析】：根据f（x）在R是增函数可由f（x-1）＞f（3-2x）得出x-1＞3-2x.解出x的范围即可．【解答】：解：∵f（x）是R上的增函数.∴由f（x-1）＞f（3-2x）得.x-1＞3-2x.解得x＞4.3∴x的取值范围是(4，+∞)．3故答案为：(4，+∞)．3【点评】：考查增函数的定义.以及区间表示集合的方法．4.（填空题.3分）设函数g（x+2）=2x+3.则g（x）的解析式是___ ．【正确答案】：[1]g（x）=2x-1【解析】：把已知函数解析式配方变形.可得g（x+2）=2（x+2）-1.则g（x）=2x-1．【解答】：解：∵g（x+2）=2x+3=2（x+2）-1.∴g（x）=2x-1．故答案为g（x）=2x-1．【点评】：本题考查利用配方法求函数解析式.关键是对变量的理解.是基础题．5.（填空题.3分）为了提高同学们的学习兴趣.学校举办了数学、物理两科竞赛．高一年级（包括衔接班）共260名同学参加比赛.其中两科都取得优秀的有80人.数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人.物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人.则两科均未取得优秀的人数为___ ．【正确答案】：[1]20【解析】：作出维恩图.由维恩图能求出两科均未取得优秀的人数．【解答】：解：为了提高同学们的学习兴趣.学校举办了数学、物理两科竞赛．高一年级（包括衔接班）共260名同学参加比赛.其中两科都取得优秀的有80人.数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人.物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人.作出维恩图.如下：由维恩图得两科均未取得优秀的人数为20人．故答案为：20．【点评】：本题考查两科均未取得优秀的人数的求法.考查维恩图的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（填空题.3分）已知p：实数x满足0≤x≤2.q：实数x满足（x-3）（5x+1）≤0.则￢p是￢q的___ ．（填写“充分且不必要条件”.“必要且不充分条件”.“充分必要条件”或“既不充分也不必要条件”）【正确答案】：[1]必要且不充分条件【解析】：求解一元二次不等式化简命题q.可得p⇒q.但q不能推出p.即￢q⇒￢p.但￢p不能推出￢q.再由充分必要条件的判定得答案．≤x≤3．【解答】：解：由（x-3）（5x+1）≤0.得−15≤x≤3.又p：0≤x≤2.∴q：−15∴p⇒q.但q不能推出p.即￢q⇒￢p.但￢p不能推出￢q．∴￢p是￢q的必要且不充分条件．故答案为：必要且不充分条件．【点评】：本题考查一元二次不等式的解法.考查充分必要条件的判定方法.是基础题．7.（填空题.3分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数.且对任意实数x)) =___ ．都有xf（x+1）=（1+x）f（x）.则f（0）=___ . f(f(52【正确答案】：[1]0; [2]0【解析】：根据题意.利用特殊值法分析：若x=0.有0×f（1）=1×f（0）.变形可得f（0）=0；进而令x=- 12 .利用迭代法分析求出f（52）的值.据此分析可得答案．【解答】：解：根据题意.对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x）. 若x=0.有0×f（1）=1×f（0）.变形可得f（0）=0.若x=- 12 .有（- 12）f（12）= 12f（- 12）.又由f（x）为偶函数.即f（- 12）=f（12）.变形可得f（12）=0；若x= 12 .有12×f（32）= 32×f（12）=0.变形可得f（32）=0.若x= 32 .有32×f（52）= 52×f（32）=0.变形可得f（52）=0.则f（f（52））=f（0）=0；故答案为：0.0．【点评】：本题考查函数的求值.注意特殊值法的应用.属于基础题．8.（填空题.3分）某辆汽车每次加油都把油箱加满.如表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内.该车每100千米平均耗油量为___ 升．【正确答案】：[1]8【解析】：由表格信息.得到该车加了48升的汽油.跑了600千米.由此得到该车每100千米平均耗油量．【解答】：解：由表格信息.得到该车加了48升的汽油.跑了600千米.所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．【点评】：本题考查了函数模型的选择与应用．需要学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．9.（问答题.0分）设全集U=R.A={x|1≤x≤3}.B={x|2a＜x＜a+3}．（1）当a=1时.求（∁U A）∩B；（2）若A∩B=A.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）a=1时求出集合B.然后进行补集、交集的运算即可； （2）根据A∩B=A 得出A⊆B .从而可得出 {2a ＜1a +3＞3.解出a 的范围即可．【解答】：解：（1）a=1时.B={x|2＜x ＜4}.且A={x |1≤x≤3}. ∴∁U A={x|x ＜1或x ＞3}.（∁U A ）∩B={x|3＜x ＜4}； （2）∵A∩B=A . ∴A⊆B .∴ {2a ＜1a +3＞3 .解得 0＜a ＜12 . ∴实数a 的取值范围为 (0，12) ．【点评】：考查描述法、区间的定义.以及交集、补集的运算.交集和子集的定义． 10.（问答题.0分）已知函数 f (x )=x +m x+m(x ≠0且m ＜1) .设函数 g (x )=x •f (x )+2x −32 ．（1）证明函数f （x ）在[1.+∞）上为增函数．（2）若方程g （x ）=0有两个不相等的实根.有一根小于1.且另一根在（1.2）内.求m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用函数单调性的定义进行证明即可．（2）求出g （x ）的解析式.结合一元二次函数根的分布建立不等式关系进行求解即可．【解答】：解：（1）设1≤x 1＜x 2.则f （x 1）-f （x 2）=x 1+ m x 1-x 2- mx 2=（x 1-x 2）+m (x 2−x 1)x 1x 2 =（x 1-x 2）•（1- mx 1x 2）=（x 1-x 2）• x 1x 2−mx 1x 2. ∵1≤x 1＜x 2.m ＜1.∴x 1x 2＞1.则x 1x 2-m ＞0.x 1-x 2＜0. ∴f （x 1）-f （x 2）＜0 得f （x 1）＜f （x 2）.即f （x ）在[1.+∞）上为增函数．（2） g (x )=x •f (x )+2x −32=x 2+m+mx+2x- 32=x 2+（m+2）x+m- 32. 若方程g （x ）=0有两个不相等的实根.有一根小于1.且另一根在（1.2）内. 则 {g (1)＜0g (2)＞0得 {1+m +2+m −32=2m +32＜04+2m +4+m −32=3m +132＞0 得 {m ＜−34m ＞−136得- 136 ＜m ＜- 34. 即实数m 的取值范围是- 136 ＜m ＜- 34 ．【点评】：本题主要考查函数与方程的应用.结合函数单调性的定义以及一元二次函数根的分布是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力.难度中等．11.（问答题.0分）已知函数f （x ）对一切实数x.y 都有f （x+y ）-f （y ）=x （x+2y+1）成立.且f （1）=0． （1）求f （0）的值． （2）求f （x ）的解析式．（3）当 0＜x ＜12时.不等式f （x ）+3＜2x+a 恒成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）令x=1.y=0可得f （0）；（2）令y=-x 得出f （-x ）解析式.从而得出f （x ）的解析式；（3）分离参数.求出函数的最大值即可得出a的范围．【解答】：解：（1）令x=1.y=0得f（1）-f（0）=2. ∴f（0）=f（1）-2=-2．（2）令y=-x可得f（0）-f（-x）=x（-x+1）=-x2+x. ∴f（-x）=x2-x-2.∴f（x）=x2+x-2．（2）由f（x）+3＜2x+a得a＞x2-x+1.令g（x）=x2-x+1=（x- 12）2+ 34（0＜x＜12）.∴g（x）＜g（0）=1.∴a＞x2-x+1恒成立.∴a≥1．【点评】：本题考查了抽象函数的性质.函数最值的计算.属于中档题．12.（问答题.0分）对于两条平行直线l1、l2（l1在l2下方）和图象G有如下操作：将图象G 在直线l1下方的部分沿直线l1翻折.其余部分保持不变.得到图象G1；将图象G1在直线l2上方的部分沿直线l2翻折.其余部分保持不变.得到图象G2：再将图G2在直线下方的部分沿直线l1翻折.其余部分保持不变.得到图象G3；再将图象G3在直线l2上方的部分沿直线l2翻折.其余部分保持不变.得到图象G4；以此类推…；直到图象G k上所有点均在l1、l2之间（含l1、l2上）操作停止.此时称图象G k为图象G关于直线l1、l2的“衍生图形”如图所示.线段AB关于直线l1、l2的“衍生图形”为折线段A1-C-D-E-B2．（1）直线型平面直角坐标系中.设直线l1：y=0.直线l2：y=1① 令图象G为f（x）=x的函数图象.则图象G1的解析式为② 令图象G为f（x）=x的函数图象.请你画出G1和G2的图象③ 若函数g（x）=ax+1的图象与图象G1有且仅有一个交点.且交点在y轴的左侧.那么a的取值范围是___ ．④ 请你观察图象G2并描述其单调性.直接写出结果___ ．⑤ 请你观察图象G2并判断其奇偶性.直接写出结果___ ．⑥ 图象G2所对应函数的零点为___ ．⑦ 任取图象G2中横坐标x∈[−52，12]的点.那么在这个变化范围中所能取到的最高点的坐标为（___ .___ ）.最低点坐标为（___ .___ ）．⑧ 若直线h（x）=a与图象G2有2个不同的交点.则a的取值范围是___ ．⑨ 根据函数图象.请你写出图象G2的解析式___ ．（2）曲线型若图象G为函数f（x）=x2-3x+2的图象.平面直角坐标系中.设直线l1：y=0.直线l2：y=1.则我们可以很容易得到G1所对应的解析式为f1(x)=|x2−3x+2|．① 请画出G1的图象.记G1所对应的函数解析式为f1（x）．② 函数f1（x）的单调增区间为___ .单调减区间为___ ．③ 当x∈[0.5]时候.函数f 1（x ）的最大值为___ .最小值为___ ．④ 若方程 |x 2−3x +2|=13x +b 有四个不同的实数根.则b 的取值范围为___ ．（3）封闭图形型平面直角坐标系中.设直线l 3：y=-2.直线l 4：y=2设图象G 为四边形OPQR.其顶点坐标分别为O （0.0）.P （3.3）.Q （6.0）.R （3.-3）.四边形OPQR 关于直线l 3、l 4的“衍生图形”为G k ．① G k 的周长为___ ．② 若直线 y =−23x +b 平分G k 的周长.则b=___ ．③ 将G k 沿右上方45°方向平移 √2 个单位.则平移过程中G k 所扫过的面积为___ ．【正确答案】：[1.+∞）; 单调递减区间为（-1.0）.（1.+∞）.单调递增区间为（-∞.-1）.（0.1）; 偶函数; x 1=-2.x 2=0.x 3=2; -1; 1; −52 ; −12 ; （-∞.0）∪{1}; G 2={|x |，x ∈[−1，1]−|x |+2，x ＞1或x ＜−1 ; (1，32)，(2，+∞) ; （-∞.1）. (32，2) .; 12; 0; b ∈(−14，−13) ; 12√2 ; 2; 6【解析】：通过对“衍生图形”概念的理解.需要先定位两条平行直线l 1.l 2.随着平行直线的变化.“衍生图形”最终也会发生相应的变化．解题过程中抓住两个核心：只要是第奇数次翻折.那么图象就要把位于l 1下面的沿着l 1向上翻折；只要是第偶数次翻折.图象就把位于l 2上面的向下翻折.解题过程只要依据翻折的基本原理.结合函数的基本性质.逐步求解即可．【解答】：解：（1）直线型.两平行直线为l 1：y=0.直线l 2：y=1.对 ① .当发生第一次翻折.f （x ）=x 的图象相当于把x 轴下方图象沿着x 轴向上翻折.此时应满足G 1=|x|.对 ② .图象如图所示.对③ .g（x）=ax+1.图象恒过（0.1）.又因g（x）与图象G1有且仅有一个交点.且交点在y轴的左侧.如图所示.若只有一个交点.应满足a∈[1.+∞）；对 ④ .根据G 2的图象.G 2的单调递减区间为（-1.0）.（1.+∞）.G 2的单调递增区间为（-∞.-1）.（0.1）；对 ⑤ .G 2的图象关于y 轴对称.为偶函数；对 ⑥ .G 2的图象对应的零点为x 1=-2.x 2=0.x 3=2；对 ⑦ .G 2的图象在 x ∈[−52，12] 上的最高点的坐标为（-1.1）.最低点的坐标为 (−52，−12) . 对 ⑧ .若直线h （x ）=a 与图象G 2有2个不同的交点.由图象可知.则a∈（-∞.0）∪{1}.对 ⑨ .观察图象特点G 2为偶函数.当x∈[-1.1].G 2=|x|.当x∈（-∞.-1）和x∈（1.+∞）时.G 2=-|x|+2.则 G 2={|x |，x ∈[−1，1]−|x |+2，x ＞1或x ＜−1； （2）曲线型f （x ）=x 2-3x+2.G 1对应的解析式为 f 1(x )=|x 2−3x +2| .对 ① .图象如图所示.对 ② .函数的单调递增区间为 x ∈(1，32) 和（2.+∞）.单调递减区间为（-∞.1）和 (32，2) .对 ③ .当x∈[0.5]时.函数f 1（x ）的最大值为f 1（5）=12.最小值为f 1（1）=0.对 ④ .若方程 |x 2−3x +2|=13x +b 有四个不同的实数根.即等价于f 1（x ）与 y =13x +b 图象有四个交点.如图所示.要使两函数图象有四个交点.应满足 {y (1)＞0y (32)＜f 1(32).解得 b ∈(−14，−13) ； （3）封闭图形型根据题意先画出四边形的“衍生图形”.对① .G k的周长为3√2×4=12√2 .对② .要使G k被直线y=−23x+b平分周长.则假设直线与OP交点为M.与直线QR交点为N.则应满足|OM|=|QN|.直线l OM方程为：y=x.直线l QR方程为：y1=x-6.联立直线{y=−23x+by=x得M(3b5，3b5) . |OM|=3√2|b|5.联立直线{y=−23x+by=x−6得N(3(b+6)5，3(b−4)5) . |QN|=3√2|b−4|5.由|OM|=|QN|得. 3√2|b|5=3√2|b−4|5.解得b=2.对③ .如图所示.平移之后G k扫过的面积为S=3√2×√2=6．【点评】：本题考查根据新定义求解函数和图象的基本性质.函数图象的画法.函数单调性与奇偶性的判断.函数最值的求解.函数零点的判断.根据函数图象的交点求解参数.函数解析式的求法.几何图形在函数中的应用等.整体难度不大.但综合性强.以“衍生函数”作为载体.基本上对于函数的基本性质作了全面解读.在整个解析过程中所涉及的函数与图形转化的思想.值得每个数学学习者深思。

高一第一学期期中试卷数学（清华附中高18级）一. 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若U=R ，A={x │x ＞4}，a=321-那么（ ）A. a ⊆C U AB. a ⊄C U AC. {a}∈C U AD. {a}≠⊂C U A 2. 计算[（-2）2]21的结果是 （ ） A. 2 B. -2 C. 22 D. -22 3. 设p 、q 是两个命题，若p 是q 的充分不必要条件，那么非p 是非q 的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. “x ＞0”是“12〈-x ”的 （ ）A. 充分不必要件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.下列各组中函数f(x)和g （x ）图象相同的是 （ ）A. (x)=1，g(x)=x 0B. f(x)=1，g(x)=xx x x ∈（0，+∞）C. f(x)=│x │，g(x)=-x x ∈ (-∞,0)D. f(x)=3)3(2++x x ，g(x)=(x+3)(x+3)0 6. 在下列复合命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真，那么 （ ）A. p 真q 假B. p 假q 真C. p 假q 假D. p 真q 真7.若不等式ax 2+bx+2＞0的解集为（-31,21），那么a+b=( ) A. 10 B. –10 C. 14 D. –148.已知（2，1）在函数f(x)=b ax +的图象上，又知f -1(5)=1则，f(x)等于 （ ）A.94+-x B. 73+-x C. 53-x D. 74-x9. 函数f(x)=4x 2-mx+5在区间(-2，+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是 （ ）A. f(1)≥25B. f(1)≤-16C. f(1) ≤16D. f(1) ＞2510. 已知函数f (x)=3-2│x │，g(x)=x 2-2x ，构造函数F(x)，定义如下：当f(x) ≥g(x)时， F （x ）=g(x)； f(x) ＜g(x)时，F(x)=f(x)，那么F(x) （ ）A. 有最大值3，最小值-1B. 有最大值7-27，无最小值C. 有最大值3，无最小值D. 无最大值，无最小值二、真空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）x+1 （x ＞0）11. 设f(x)= π （x=0）则f{f[-1]}=_________。

高一第一学期期中试卷（创新班）数学一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B （）．A ．{}1,3B ．{}2,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅【答案】A【解析】解：∵集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =， ∴{}1,3A B =， 故选：A ．2．计算238=-（）． A ．4-B ．14-C ．4D ．14【答案】D 【解析】解：22323318(2)24---===． 故选：D ．3．函数()f x =．A ．(,2]-∞B ．(,2)-∞C ．(0,2]D ．(0,2)【答案】【解析】解：要使函数有意义，则x 需满足930x ->，解得：2x <， ∴函数()f x 的定义域是(,2)-∞． 故选：B ．4．满足条件{}{},,,,,,A a b c a b c d e =的集合A 共有（）．A ．6个B ．7个C ．8个D ．10个【答案】C 【解析】解：∵{}{},,,,,,Aa b c a b c d e =，∴d A ∈，e A ∈，a ，b ，c 每一个元素都有属于A ，不属于A 2种可能， ∴集合A 共有328=种可能，故选：C ．5．函数1()24xf x x =+的零点在区间（）．A ．(3,2)--B ．(2,1)--C ．(1,0)-D ．(0,1)【答案】B【解析】解：∵2111(2)2(2)0442f --=+⨯-=-<，1111(1)20424f --=-=->，∴函数()f x 的零点在区间(2,1)--．故选：B ．6．函数2()21f x x ax =-+，且有(1)(2)(3)f f f <<，则实数a （）． A ．32a <B ．32a ≤ C ．1a <D ．1a ≤【答案】A【解析】解：∵2()21f x x ax =-+，∴(1)22f a =-，(2)54f a =-，(3)106f a =-， ∵(1)(2)(3)f f f <<， ∴2254106a a a -<-<-， 解得32a <． 故选：A ．7．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（）．A ．2p q +B ．(1)(1)12p q ++-C D 1【答案】D【解析】解：设该企业生产总值的年增长率为x ，则2(1)(1q)(1)p x ++=+，解得：1x =． 故选：D ．8．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A ∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊆，下列说法错误的是（）．A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ≤，对于任意的x U ∈成立B ．()()()A B A B f x f x f x =，对于任意的x U ∈成立C ．()()()AUB A B f x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立D ．若U A B =ð，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立 【答案】C【解析】解：当x A ∈且x B ∈时，()1A B f x =，()1A f x =，()1B f x =， 所以()()()A B A B f x f x f x ≠+U ， 所以C 选项说法错误，故选C ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤，则[](2)f f -=__________．【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-．10．已知函数()1f x kx =+，若对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】[1,1]-【解析】解：若()1f x kx =+，对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥， 则(1)10(1)10f k f k -=-+⎧⎨=+⎩≥≥， 解得：11k -≤≤，故：实数k 的取值范围是[1,1]-．11．若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集为__________． 【答案】(,10)[0,1]-∞-【解析】解：作出()y f x =的图像如图所示：故不等式()0f x ≤的解集为：(,10)[0,1]-∞-．12．已知函数2()21f x ax ax =++在[3,2]-上的最大值为4，则实数a =__________．【答案】38或3-【解析】解：当0a =时，()1f x =，不成立．当0a >时，2()21f x ax ax =++，开口向上，对称轴1x =-， 当2x =时取得最大值，所以(2)4414f a a =++=，解得38a =．当0a <时，2()21f x ax ax =++，开口向下，对称轴1x =-， 当1x =-时，取得最大值，所以(1)214f a a -=-+=，解得3a =-．综上所述：38或3-．13．已知映射:f ++→N N 满足：①(1)2f =，(2)3f =；②对于任意的n +∈N ，()(1)f n f n <+；③对于任意的3n ≥，n +∈N ，存在i ，j +∈N ，1i j n <<≤，使得()()()f n f i f j =+ （1）(5)f 的最大值__________．（2）如果()2016f m =，则m 的最大值为__________． 【答案】（1）13；（2）2013【解析】解：（1）由题意得：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =或(4)8f =， ∴(5)(3)(4)5813f f f =+=+=最大．【注意有文字】（2）若m 取最大值，则()f n 可能小，所以：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =，(5)8f =， (6)9f =，(7)10f =3n ≥时()3f n n =+，令32016m +=，2013m =． 故m 的最大值为2013．14．已知函数()2x f x -=，给出下列命题： ①若0x >，则()1f x <；②对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则必有1212()[()()]0x x f x f x --<； ③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <； ④若对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，其中所有正确命题的序号是_____． 【答案】见解析【解析】解：1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 对于①，当0x >时，1(0,1)2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故①错误．对于②，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以当12x x <时2()()f x f x >，即：1212()[()()]0x x f x f x --<，故②正确．对于③()f x x 表示图像上的点与原点连线的斜率，由1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像可知，当120x x <<时，1212()()f x f x x x >，即：2112()()x f x x f x >，故③错误． 对于④，由()f x 得图像可知，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②④．三、解答题15．已知全集U =R ，集合{}2|10A x x =->，{}|0B x x a =+>．（Ⅰ）当1a =时，求集合()U A B ð．（Ⅱ）若()U A B =∅ð，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（1）当1a =时，集合{}{2|10|1A x x x x =->=<-或}1x >，{}{}|10|1B x x x x =+>=>-，{}|11U A x x =-≤≤ð， ∴{}()|11U A B x x =-<≤ð．（2）集合{}|11U A x x =-≤≤ð，{}|B x x a =>-， 若()U A B =∅ð，则1a -<，即：1a >-．故实数a 的取值范围是：(1,)-+∞．16．已知集合{}2|0A x x ax x a =--+≤，{}2|680B x x x =-+<．（Ⅰ）当3a =时，求A B ．（Ⅱ）若A B 中存在一个元素为自然数，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】解：（1）当3a =时，集合{}{}2|430|13A x x x x x =-+=≤≤≤，{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，∴{}|23A B x x =<≤．（2）集合{}{}2|0|()(1)0A x x ax x a x x a x =--+=--≤≤，{}|24B x x =<<，若A B 中存在一个元素为自然数，则3A ∈． 当1a =时，{}1A =，显然不符合题意．当1a <时，{}|1A x a x =≤≤，3A ∈，不符合题意， 当1a >时，{}|1A x x a =≤≤，若3A ∈，则a ≥3． 综上所述，实数a 的取值范围是[3,)+∞．17．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠． （Ⅰ）若5(1)(1)2f f +-=，求(2)(2)f f +-的值． （Ⅱ）若函数()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵()x f x a =，5(1)(1)2f f +-=， ∴15(1)(1)2f f a a +-=+=，解得：2a =或12， 当2a =时，()2x f x =，2217(2)(2)224f f -+-=+=， 当12a =时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，221117(2)(2)224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故17(2)(2)4f f +-=． （Ⅱ）当1a >时，()x f x a =在[1,1]-上单调递增，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a --=，解得：13a =-（舍去）或3a =．当01a <<时，()x f x a =在[1,1]-上单调递减，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a +-=．解得：3a =-（舍去）或13a =．综上，实数a 的值为3或13．18．已知()y f x =的图像可由2y x x =+的图像平移得到，对于任意的实数t ，均有()(4)f t f t =-成立，且存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式．（Ⅱ）函数()y f x =的图像与直线y kx k =+有两个不同的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，若11x <，23x <，求实数k 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2y x x =+的图像关系12x =-对称，()f x 关于2x =对称，∴可设255()622f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2255542x x x b =-++-+ 21544x x b =-++， 又存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数， ∴()f x 不含常数项． 故2()4f x x x =-．（Ⅱ）∵()f x 的图像与y kx k =+有两个不同交点， ∴24x x kx k -=+有两个解， ∴2(4)40k k ∆=++>，解得：6k <--6k >-+∵11x <，23x >，(3)3f =-，(1,0)-和(3,3)-连线的斜率为34-，∴34k >-．综上所述，实数k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．19．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足： （1）(1)3f =．（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有()()()1f u v f u f v +=+-．（3）对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->． （Ⅰ）求(0)f 及(1)f -的值．（Ⅱ）求证：函数()1y f x =-为奇函数．（Ⅲ）若2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数m 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意u ，v ∈R ，都有()()()1f u v f u f v +=+-， ∴令0u =，1v =，得(1)(0)(1)1f f f =+-， ∴(0)1f =．令1u =，1v =-，则(0)(1)(1)1f f f =+--， ∴(1)1f -=-．（Ⅱ）令u x =，v x =-，则有(0)()()1f f x f x =+--， ∴()()2f x f x +-=，令()()1g x f x =--，则()()1g x f x -=--，∴()()()()20g x g x f x f x +-=+--=，即：()()g x g x =--． 故()()1y g x f x ==-为奇函数．（Ⅲ）∵对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->， ∴()f x 为单调增函数， ∵2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21[(21)1]22f m f m ⎛⎫⇔--+>- ⎪⎝⎭212(21)102f m f m ⎛⎫⇔+---> ⎪⎝⎭21(1)102f m f m ⎛⎫⇔+--> ⎪⎝⎭211202f m m ⎛⎫⇔+-> ⎪⎝⎭．且11(1)1122f f f ⎛⎫⎛⎫-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2111222f m m f ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2111222m m +->-， 即：2430m m -+>， 解得1m <或3m >．故实数m 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞U ．20．对于给定的正整数n ，{}{}*123(,,,,)|0,1,,n n i S x x x x x i i n =∈∈N L ≤．对于123(,,,...,)n X x x x x =，123(,,,...,)n Y y y y y =，有：（1）当且仅当2222112233()()()()0n n x y x y x y x y -+-+-++-=，称X Y =．（2）定义112233..n n X Y x y x y x y x y ⋅=++++L ．（Ⅰ）当3n =时，(1,1,0)X =，请直接写出所有的3Y S ∈，满足1X Y ⋅=．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅=，求集合A 中元素个数的最大值．（Ⅲ）若非空集合n B S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅≠，求集合B 中元素个数的最大值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）{}11,0,0Y =，{}21,0,1Y ，{}30,1,0Y ，{}40,1,1Y ．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X F ⋅=，则A 中任意两个元素相同位置不能同时出现1，满足这样的元素有(0,0,00)，(1,0,0,00)，(0,1,00)，(0,0,10)(0,0,01)共有1n +个．故A 中元素个数的最大值为1n +． （Ⅲ）不妨设{}123,n X x x x x =其中{}30,1x ∈，0n λ<≤，{}121,11n X x x x =---，显然若X S ∈，则0X X ⋅=， ∴X B ∈与X B ∈不可能同时成立， ∵S 中有2n 个元素， 故B 中最多有12n -个元素．。

2018～2019学年北京海淀区北京大学附属中学荣誉班高一上学期期中数学试卷1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,B y y x x A ==∈，则B =_______， 【答案】{}2,4,6 【解析】 【分析】根据集合B 中2,y x x A =∈的条件，求出对应的元素即可【详解】因为{}2,B y y x x A ==∈，当1x =时，2y =；当2x =时，4y =；当3x =时，6y =故集合{}2,4,6B = 答案为：{}2,4,6【点睛】本题考查根据限定条件求出集合中对应元素，考点较为基础，能读懂题是关键2.函数()f x =的定义域是_______，值域是_______. 【答案】 (1). []3,3x ∈- (2). []0,3 【解析】 【分析】根据表达式分析，应满足290x -≥，解出x【详解】()[]290,3,3f x x x =∴-≥∴∈-Q ，[][]290,90,3x -∈所以()f x =的定义域是[]3,3x ∈-，值域是[]0,3【点睛】本题考查复合函数的定义域和值域的求解，需注意三种基本形式对应的函数的定义域：分式（分母不为零）、二次根式（二次根式里面的整体大于等于零）、对数（真数大于零）3.已知函数()f x 在R 上是增函数，若()()132f x f x ->-，则x 的取值范围是_______.【答案】4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据增函数性质去“f ”即可【详解】Q ()f x 在R 上是增函数，()()132f x f x ->-，根据增函数性质，可得132x x ->-，解得43x >答案为：4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据增函数的性质解不等式，相对简单，解题过程中需注意()f x 括号中的式子要满足函数的定义域的问题4.设函数()g x 满足()223g x x +=+，则()g x 的解析式为_______. 【答案】()21g x x =- 【解析】 【分析】采用换元法，令2t x =+，进行换元即可求解【详解】令2t x =+，得2x t =-，则()()()22322321g x x g t t t +=+⇔=-+=-所以()21g x x =-【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是求解解析式基本方法，需注意的是换元之后新元的取值范围，此题还可采用拼凑法求解5.为了提高同学们的学习兴趣，学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为_______. 【答案】20【解析】 【分析】用韦恩图进行求解，设集合{}=A 数学取得优秀的同学，集合{}=B 物理取得优秀的同学，全集{}=U 高一年级260名同学，再根据题意进行求解【详解】如图所示设两科均未取得优秀的人数为x ，则408012026020x x +++=⇒= 所以两科均未取得优秀的人数为20人【点睛】本题考查根据韦恩图求解具体集合元素的个数问题，方法相对简单，关键是能正确表示各集合中元素个数6.已知:p 实数x 满足02x ≤≤，:q 实数x 满足()()3510x x -+≤，则p ⌝是q ⌝的_______.(填写“充分且不必要条件”，“必要且不充分条件”，“充分必要条件”或“既不充分也不必要条件”)【答案】必要且不充分条件 【解析】 【分析】分别求出p ⌝和q ⌝，再根据充分和必要条件进行求解 【详解】由:p 实数x 满足02:x p ≤≤⇒⌝0x <或x>2由:q 实数x 满足()()()()3510:3510x x q x x -+≤⇒⌝-+>，即q ⌝：15x <-或x>3 判断可知p ⌝推不出 q ⌝，但q ⌝能推出p ⌝， 所以p ⌝是q ⌝的必要且不充分条件【点睛】本题考查命题的否定改写及命题间的充分必要条件判断问题，若题目中涉及范围问题的判断，可简单记为：小推大成立，大推小不成立7.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有()()()11xf x x f x +=+，则()0f =_______，52f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______. 【答案】 (1). 0 (2). 0 【解析】 【分析】表达式为抽象函数，可通过赋值法求解具体的函数值 【详解】当0x =时，得()010f =⨯，得()00f =，当12x =-时，得11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭当1=2x 时，得133********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3=2x 时，得35535022222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()5002f f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案为：()00f =，502f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查根据抽象函数求解具体函数值的方法，常用解法为对x 赋值，通过递推的方式和函数性质来进行求解8.李老师每天开车上班，10月李老师共加了两次油，每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米均耗油量为_______升. 【答案】8 【解析】 【分析】第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，得出耗油量为48升，而这段时间内行驶的里程数35600-35000=600千米，通过计算即可得出答案【详解】因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48升，而这段时间内行驶的里程数35600-35000=600千米，所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为48÷(600÷100)=8升 答案：8【点睛】本题考查根据题意从表格提取信息的能力，是一道函数应用类题目，从统计图中获取信息是解题关键9.设全集U =R ，{}13A x x =≤≤，{}23B x a x a =<<+. ⑴当1a =时，求()C U A B I .⑵若A B A =I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}34x x << （2）10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先求出C U A ，再根据集合的交集运算进行求解即可 （2）由A B A =I 可判断A B ⊆，再根据子集定义进行求解【详解】（1）当1a =时，{}24B x x =<<，{}{}13,C 13U A x x A x x x =≤≤∴=Q 或(){}C 34U A B x x ⋂=<<（2）由A B A =I 可得A B ⊆，即2133a a <⎧⎨+>⎩，解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查集合的混合运算，根据集合的包含关系求解参数问题，集合的混合运算应遵循有括号先算括号原则，对于子集类问题的求解要注意端点处等号取不取得到的问题10.已知函数()()01m f x x m x m x =++≠<且，设函数()()322g x x f x x =⋅+-. ⑴证明函数()f x 在[)1,+∞上为增函数.⑵若方程()0g x =有两个不相等的实根，有一根小于1，且另一根在()1,2内，求m 的取值范围.【答案】（1）证明详见解析 （2）133,64m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）利用增函数的定义进行求解即可（2）先表示出()g x 的表达式，23()(2)2g x x m x m =+++-，根据有一根小于1，且另一根在()1,2内，可得()()1020f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，化简求值即可详解】（1）设121x x ≤<，()()()12121212121m m m f x f x x m x m x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++-++=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121,10,10mx x m x x x x ≤<<∴-<->Q ，()()12f x f x ∴< 函数()f x 在[)1,+∞上为增函数（2）233()2(2)22m g x x x m x x m x m x ⎛⎫=+++-=+++- ⎪⎝⎭()g x Q 有一根小于1，且另一根在()1,2内，故满足()()1020f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，即34136m m ⎧<-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，133,64m ⎛⎫∈--⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查函数单调性的证明，根据二次函数根的分布情况求解参数问题，属于中档题，二次函数的参数问题一般通过判断已知点在函数图像中的与零点的关系来建立不等式11.已知函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()10f =. ⑴求()0f 的值. ⑵求()f x 的解析式. ⑶已知a ∈R ，当102x <<时，不等式()32f x x a +<+恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）()02f =- （2）()22f x x x =+- （3）1a ≥ 【解析】 【分析】（1）通过对抽象函数赋值，可令1,1x y =-=进行求解（2）令0y =可消去y ，再结合（1）中求得()0f 的值，进而求得解析式 （3）可采用分离参数法转化成()32a f x x >+-在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立问题，再进行求解 【详解】（1）令1,1x y =-=，可得()()()01121f f -=--++，又因()10f =，解得()02f =-（2）令0y =，得()()()01f x f x x -=+，又因()02f =-，解得()22f x x x =+-（3）当102x <<，()()3232f x x a a f x x +<+⇔>+-，即21a x x >-+在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，231,14x x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以1a ≥ 【点睛】本题考查抽象函数中具体函数值的求法，抽象函数解析式的求法，根据二次函数在给定区间恒成立问题求参数问题，对于抽象函数的处理常采用赋值法进行求解，二次函数含参恒成立问题一般是通过分离参数进行求解，当然也可以根据判别式法进行求解，视具体情况而定12.对于两条平行直线1l 、2l (1l 在2l 下方)和图象G 有如下操作:将图象G 在直线1l 下方的部分沿直线1l 翻折，其余部分保持不变，得到图象1G ；将图象1G 在直线2l 上方的部分沿直线2l 翻折，其余部分保持不变，得到图象2G :再将图2G 在直线下方的部分沿直线1l 翻折，其余部分保持不变，得到图象3G ；再将图象3G 在直线2l 上方的部分沿直线2l 翻折，其余部分保持不变，得到图象4G ；以此类推…；直到图象k G 上所有点均在1l 、2l 之间(含1l 、2l 上)操作停止，此时称图象k G 为图象G 关于直线1l 、2l 的“衍生图形”，线段AB 关于直线1l 、2l 的“衍生图形”为折线段12A C D E B ----. (1)直线型平面直角坐标系中，设直线1:0l y =，直线2:1l y = ①令图象G 为()f x x =的函数图象，则图象1G 的解析式为 ②令图像G 为()f x x =的函数图象，请你画出1G 和2G 的图象③若函数()1g x ax =+的图象与图象1G 有且仅有一个交点，且交点在y 轴的左侧，那么a 的取值范围是_______.④请你观察图象2G 并描述其单调性，直接写出结果_______. ⑤请你观察图象2G 并判断其奇偶性，直接写出结果_______. ⑥图象2G 所对应函数的零点为_______.⑦任取图象2G 中横坐标51,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的点，那么在这个变化范围中所能取到的最高点的坐标为（_______，_______），最低点坐标为（_______，_______）.⑧若直线()h x a =与图象2G 有2个不同的交点，则a 的取值范围是_______. ⑨根据函数图象，请你写出图象2G 的解析式_______. (2)曲线型若图象G 为函数()232f x x x =-+的图象，平面直角坐标系中，设直线1:0l y =，直线2:1l y =，则我们可以很容易得到1G 所对应的解析式为()2132f x x x =-+.①请画出1G 的图象，记1G 所对应的函数解析式为()1f x . ②函数()1f x 的单调增区间为_______，单调减区间为_______.③当[]0,5x ∈时候，函数()1f x 的最大值为_______，最小值为_______. ④若方程21323x x x b -+=+有四个不同的实数根，则b 的取值范围为_______.(3)封闭图形型平面直角坐标系中,设直线3:2l y =-,直线4:2l y =设图象G 为四边形OPQR ,其顶点坐标分别为()0,0O ,()3,3P ,()6,0Q ,()3,3R -,四边形OPQR 关于直线3l 、4l 的“衍生图形”为k G .①k G 的周长为_______. ②若直线23y x b =-+平分k G 的周长,则b =_______.③将k G 沿右上方45︒个单位,则平移过程中k G 所扫过的面积为_______. 【答案】（1）①1G x =；②函数图像见解析；③[)1,a ∈+∞；④2G 的单调递增区间为(),1-∞-，()0,1，2G的单调递减区间为()1,0-，()1,+∞；⑤偶函数；⑥1232,0,2x x x =-==；⑦()1,1-，51,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；⑧(){},01a ∈-∞⋃ ⑨[]2,1,12,11x x G x x x ⎧∈-⎪=⎨-+><-⎪⎩或 （2）①详图见解析；②增区间31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和()2,+∞，减区间(),1-∞和3,22⎛⎫⎪⎝⎭③最大值为12，最小值为0；④11,43b ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭（3）①；②2b =；③6S = 【解析】 【分析】通过对“衍生图形”概念的理解，需要先定位两条平行直线1l 、2l ，随着平行直线的变化，“衍生图形”最终也会发生相应的变化。

北京市2019学年高一上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 如果A=（-1，+∞），那么正确的结论是（）A. 0 AB. {0} AC. {0} AD.2. 函数f（x）= ，则 =（）A. 0B. -C.D. -3. 与函数y=lg（x-1）的定义域相同的函数是（）A. y=x-1B. y=|x-1|C. y=D. y=4. 若函数 f(x)= + 与 g(x)= 的定义域均为 R ，则A. f(x) 与 g(x) 均为偶函数B. f(x) 为奇函数， g(x) 为偶函数C. f(x) 与 g(x) 均为奇函数D. f(x) 为偶函数． g(x) 为奇函数5. 设a=lg 0.2，b= ，c= ，则（）A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a6. 若指数函数y= 在（-∞，+∞）上是减函数，那么（）A. 0<a<1B. -1<a<0C. a=-1D. a<-17. 设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A．B．C．D．8. 已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥0时f（x）=2 -2，则f（x）<0的解集是（）A. （-1，0）________B. （0，1）________C. （-1，1）________D. （-∞，-1）（1，+∞）9. 某商店卖出两套不同品牌的西服，售价均为1680元。

以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店（）A. 不亏不盈________B. 盈利372元C. 亏损140元________D. 盈利140元10. 设函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，则（）A. B.C. D.二、填空题11. = _______ 。

12. 已知函数为奇函数，若，则．13. 函数f（x）= 在区间（-∞，-1]上是增函数，则实数a的取值范围为_____ 。

北京附中高一年级2018~2019学年度第一学期期中数学考核试卷2018年11月7 日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷 （共17题，满分100分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 设集合A ＝{a ,2a ,0}，B ＝{2,4}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值为（D ）A ．2B ．±2 CD2.计算2log A ） A. 43 B. 34 C. －43 D. －343. 下列函数中，是偶函数的是（D ）A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝x x e e --D ．f (x )＝|x |4. 函数()4x f x e x =+-的零点所在的区间是（B ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)5.已知(1)f x +()f x 的大致图象是（A ）A. B. C. D.6. 设a ＝2log 5，b ＝3log 5，c ＝3log 2，则a ，b ，c 的大小关系为（B ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b7. 已知[1,2]x ∈，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A. [1,)+∞B. (1,)+∞C. (,1]-∞D. (,1)-∞8. 设函数()1[]f x x x =+-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数log a y x =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点，则实数a 的取值范围是（D ）A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9. 计算：ln1e ＝________. 110. 已知集合{1}A x x =>，{}B x x a =>，若⊆A B ，则实数a 的取值范围是 .(,1]-∞11.函数()log ()x a f x a a =-(01)a <<的定义域为__________.(1,)+∞ 12. 已知()f x ＝21,11,1x x x x ⎧-⎨-+>⎩≤，则[(1)]f f -＝_________；若()1f x =-，则x =________．－1；0或213. 已知函数2()22f x ax x =--在区间[1,)+∞上不．单调，则实数a 的取值范围是________. (0,1)14. 如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f作用下的象，则下列说法中： ① 映射f 的值域是；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6,63]()k k k +∈Z ，其中正确说法的序号是___________.③说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15.（本小题满分10分） 已知集合2{0}A x x x =-<，2{20}B x x x m =--<.（Ⅰ）求A R ð；（Ⅱ）若A B =∅，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）由20x x -<得，01x <<，故(0,1)A =， .. 2分所以A R ð=(,0][1,)-∞+∞． .................... 5分（Ⅱ）法1：若B =∅，则2(2)40m -+≤，故1m ≤-； 7分若B ≠∅，则不满足A B =∅． ............... 9分综上所述，实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ..... 10分法2：由题知，当x A ∈时，220x x m --≥恒成立，即：当(0,1)x ∈时，22m x x ≤-恒成立． ......... 7分22x x -在区间(0,1)上的值域为(1,0)-， .......... 9分所以1m ≤-，即实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ... 10分16. （本小题满分10分）R 上的奇函数． （Ⅰ）求()f x 的解析式及值域；（Ⅱ）判断()f x 在R 上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明． 解：（Ⅰ）由题知，(0)0f =，即：00212a -=+，故1a = .................... 3分 因为2(0,)x ∈+∞，所以12(1,)x +∈+∞，212x+(0,2)∈， ()(1,1)f x ∈-．............................. 5分 （Ⅱ）()f x 在R 上是增函数． ............... 6分证明：设12,x x ∀∈R ，12x x <，则210x x x ∆=->，21()(y f x f x ∆=- 所以函数()f x 在R 上是增函数． ............. 10分17.（本小题满分10分）某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x 人，此次培训的总费用为y 元．（Ⅰ）求出y 与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？解：（Ⅰ）当030,x x ≤≤∈N 时，40010001400y x x x =+=； 2分当3060,x x <≤∈N 时，400[100020(30)]y x x x =+--⋅2202000x x =-+， ............................ 4分故21400,030,202000,3060,x x x y x x x x ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N............ 5分 （Ⅱ）当030,x x ≤≤∈N 时，14003042000y ≤⨯=元，此时x ＝30； ........... 7分当3060,x x <≤∈N 时，2205020005050000y ≤-⨯+⨯=元，此时x ＝50． .... 9分综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50000元．10分 Ⅱ卷 （共7道题，满分50分）一、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18. 已知函数121()log f x x x =-，若0＜a ＜b ＜c ，且满足()()()0f a f b f c <，则下列说法一定正确的是（AB ）A ．()f x 有且只一个零点B ．()f x 的零点在(0,1)内C ．()f x 的零点在(,)a b 内D ．()f x 的零点在(,)c +∞内 19.关于函数()f x =的性质描述，正确的是（ABD ）A ．()f x 的定义域为[1,0)(0,1]- B ．()f x 的值域为(1,1)- C ．()f x 在定义域上是增函数 D ．()f x 的图象关于原点对称20. 在同一直角坐标系下，函数x y a =与log a y x =(0a >,1a ≠)的大致图象 如图所示，则实数a 的可能值为（A. 32B. 43C. 75D. 107 二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21. 已知函数3, 0()1, 0x a x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[1,)+∞ 22. 非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．{0,1}或{－1,1}，23. 已知直线y ax =上恰好存在一个点关于直线y =x 的对称点在函数ln y x =的图象上．请写出一个．．符合条件的实数a 的值：________．只需满足0a <或a e =即可． 三、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24.（本题满分14分）若函数()f x 的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数()f x 为“0-1函数”. （Ⅰ）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①1y x -=； ②22y x x =-+.（Ⅱ）若函数()x f x a b =+是“0-1函数”，求()f x ；（Ⅲ）设()log a g x x =(0,1)a a >≠，定义在R 上的函数()h x 满足：① 对∀1x ,2x ∈R ，均有121221(1)()()()2h x x h x h x h x x +=⋅--+；② [()]g h x 是“0-1函数”，求函数()h x 的解析式及实数a 的值．7分解：（Ⅰ）①不是，因为图象不过(0,0)点；②是，因为图象恒过(0,0)和(1,1)两点． ..... 4分（Ⅱ）由(0)0f =得，00a b +=，故1b =-；由(1)1f =得，11a b +=，故2a =．所以，()21x f x =-． ........................ 7分（Ⅲ）令120,x x x ==得，(1)(0)()()2h h h x h x =-+，令12,0x x x ==得，(1)()(0)(0)2h h x h h x =⋅--+，所以，()(0)h x h x =+． ....................... 10分由②知，[(0)]0g h =，又函数()g x 是单调函数，故(0)1h =，从而()1h x x =+，(1)2h =， ........... 13分由②又知，[(1)]1g h =，于是log 21a =，故2a =． .. 14分。