北京市清华附中2020-2021学年高一新生分班考试数学试题含答案

2020-2021学年北京一零一中学高一新生入学摸底测试数学试题一、单选题1．满足的非负整数对的个数是（ ）2a b a b ++-=(),a b A ．2B ．3C ．4D ．6B【分析】依题意可得，再分种情况讨论，得到所对应的方程组，求出方程组0a b +≥5的解即可判断；【详解】解：因为、是非负整数，所以，又，a b 0a b +≥2a b a b ++-=根据题意可得：，或或或或，02a b a b +=⎧⎨-=⎩02a b a b +=⎧⎨-=-⎩11a b a b +=⎧⎨-=⎩11a b a b +=⎧⎨-=-⎩20a b a b +=⎧⎨-=⎩解方程组得：（舍去）或（舍去）或或或，11a b =⎧⎨=-⎩11a b =-⎧⎨=⎩10a b =⎧⎨=⎩01a b =⎧⎨=⎩11a b =⎧⎨=⎩故符合题意的数对有、、共个；(),a b ()1,0()0,1()1,13故选：B ．2．如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下图由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）A ．B ．C ．D ．B【分析】根据题意和图可知，左边和右边各为一个正方体，当中下面为三个正方体，上面为两个正方体，然后根据题中定义好的表示方法组合在一起即可．【详解】由题意和图可知，左边和右边各为一个正方体，用表示，当中为三个正方体，用表示，上面为两个正方体，用表示，所以答案B 是符合题意的，故选B ．本题考查几何体的正视图的画法，解题关键是注意用什么样的小正方形，代表几个小正方体．3．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费标准按原标准每分钟降低了元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟元，则原收费标准每分钟a b 为（ ）A ．元B ．54b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭54b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．元D ．元34b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭43b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D【分析】设原收费标准每分钟为x 元，则根据题意，以现在的收费标准为等量关系，列出等式，表示出原收费标准即可.【详解】解：设原收费标准为x 元，则第一次降价后的收费标准为元()x a -再次下调了后的收费标准为元，25%()(125%)x a --依题意知现在的收费标准为b 则有，()(125%)x a b --=解得，故原收费标准为元，43b x a =+43bx a =+故选：D.4．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入 (1)2345…输出…1225310417526…那么，当输入数据是时，输出的数据是（ ）A ．B ．C ．n 21nn +21nn -D ．21n n +21nn -C【分析】分析输入、输出的数据之间的关系，从而找到规律．【详解】解：输入，输出；1211211=+输入，输出；2222521=+输入，输出；32331031=+输入，输出；42441741=+由此可得，输入，输出；n 21n n +故选：C5．如图，与是两个全等的等边三角形，且.有下列四个命题；ABP △CDP PA PD ⊥①；②；③直线与垂直；④四边形是轴对称图15PBC ∠=︒AD BC ∥PC AB ABCD 形.其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D【分析】由题意可得为等腰直角三角形，则可得，则已知条APD △45PAD PDA ∠=∠=︒件可得，，然后逐个分析判断即可AB PB AP PC PD CD =====60APB DPC ∠=∠=︒【详解】因为与是两个全等的等边三角形，且，ABP △CDP PA PD ⊥所以，，45PAD PDA ∠=∠=︒AB PB AP PC PD CD =====，60APB DPC BAP ABP PDC PCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒所以，36090120150BPC ∠=︒-︒-︒=︒所以，130152PBC PCB ∠=∠=⨯︒=︒所以，6045105,601575BAD ABC ∠=︒+︒=︒∠=︒+︒=︒所以，10575180BAD ABC ∠+∠=︒+︒=︒所以，AD BC ∥因为，751590ABC PCB ∠+∠=︒+︒=︒所以，AB PC ⊥因为，，，AD BC ∥AB CD =AD BC ≠所以四边形为等腰梯形，ABCD 所以四边形是轴对称图形.ABCD 所以①②③④均正确，故选：D6．在平面直角坐标系中，有两个定点，.在轴上找一点，使得xOy ()3,3A -()5,1B x C 最小，则点的坐标是（ ）||||AC CB +C A ．B ．C ．D ．()3,0()5,0()7,0()9,0A【分析】如图，作点关于轴的对称点，连接交轴点，连接. 求B x (5,1)D -AD x C BC 出直线的解析式即得解.AD 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴点，连接.B x (5,1)D -AD x C BC 则此时最小.||||AC CB +设直线的解析式为，AD y kx b =+由题得3313,,.1522k b k b k b=-+⎧∴=-=⎨-=+⎩所以.1322y x =-+令.0,3,(3,0)y x C =∴=∴故选：A7．等腰三角形内接于一个半径为6的圆.其中ABC O AB AC ==与圆相切，且圆同时也和在底边中点处相切，则圆的半径是E O E ABC BC E （ ）A B ．2C ．D 83C【分析】设的中点为，圆与圆切于点，连接，即可得到是圆的BC F E O D AD AD O 直径，连接，利用勾股定理求出，再由等面积法求出，最后由勾股定理求BD BD BF 出，即可得解.DF 【详解】解：设的中点为，圆与圆切于点，连接，BC F E O D AD因为，，所以过点，AB AC ==AF BC ⊥DF BC ⊥AD F 依题意可得如下图形：所以即为圆的直径，连接，所以，即，AD O BD AB BD ⊥90ABD ∠=︒所以，8BD ===又，即，1122AB BD AD BF ⋅=⋅1181222BF⨯=⨯⋅解得BF =所以，163DF ===所以，即圆的半径为.1823DE DF ==E 83故选：C8．某中学每年都要举行秋季运动会，为了进一步科学地指导学生提高运动成绩，某体育老师在学校的秋季运动会上根据一名同学1500m 跑的测试情况绘成下图，图中是一条折线段，图形反映的是这名同学跑步的时间与距离的关系，由图可知下列说OA 法错误的是（ ）A ．这名同学跑完1500m 用了6分钟，最后一分钟跑了300mB ．这名同学的速度越来越快C ．这名同学第3到第5分钟的速度最慢D ．这名同学第2、第3分钟的速度是一样的B【分析】根据图象判断同学跑步速度变化情况及总路程和时间关系，即可判断各项的正误.【详解】由图知：6分钟跑完1500m 且最后一分钟跑了300m ，A 正确；前5分钟，第0到1分钟斜率最大，第1到3分钟、第3到5分钟斜率依次变小，而从第5到6分钟斜率再次变大，所以B 错误，C 、D 正确.故选：B9．一次数学考试共有8道判断题，每道题4分，满分32分，规定正确的画√，错误的画×.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则的值为（ ）m题号学生12345678得分甲×√×√××√×24乙××√√√××√20丙√×××√√√×20丁×√×√√×√√mA ．16B ．20C ．24D ．28C【分析】根据甲乙的得分情况判断甲乙正确和错误分布，即可判断丙答案正误情况，最终得到8道题的标准答案，进而确定丁的分数.【详解】由表知：2、3、5、7、8中甲正确有3个，乙正确有2个，而1、4、6甲乙的判断都正确；所以丙的1、4、6均错误，故丙所选的2、3、5、7、8都正确，综上，丁的2、8判断错误，1、3、4、5、6、7判断正确，共得24分.故选：C10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班名同学都有选举权和被选举权. k 他们的编号分别为1,2,3,, ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”. 令：k （其中且）则同时同意1,0,ij i j a i j ⎧=⎨⎩第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选1,2,,i k = 1,2,,j k = 第号同学当选的人数为（ ）1,2A ． 11121312122232k k a a a a a a a a +++++++++ B ．11213111222322k k a a a a a a a a +++++++++ C ．11122122313212k k a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅ D ．11211222132312k ka a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅ C【分析】由已知得出同意第1号同学当选依次由决定，同意第1121311,,,,k a a a a ⋯2号同学当选依次由决定，故得结论.1222322,,,,k a a a a ⋯【详解】第1，2，…，k 名学生是否同意第1号同学当选依次由来确定（表示同意，表示不同意或弃权），是否同1121311,,,,k a a a a ⋯11i a =10i a =意第2号同学当选依次由确定，1222322,,,,k a a a a ⋯而是否同时同意1，2号同学当选依次由 确定，11122122313212,,,,k k a a a a a a a a 故同时同意1，2号同学当选的人数为11122122313212k k a a a a a a a a ++++ 故选:C ．本题考查对新定义的理解，关键在于理解定义中所表示符号的含义，属于中档题.二、双空题11．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有白色瓷砖______块，第（）个图形中需要黑色瓷砖______块（用含的代数式n n 表示）.25 31n +【分析】用第（3）个图形中总的瓷砖数减去黑色瓷砖数即可得解；利用图中黑色瓷砖数的增加规律可得第（）个图形中需要的黑色瓷砖数.n 【详解】从图形观察，每增加一个图形，黑色正方形瓷砖就增加3块，第一个图中黑色瓷砖有4块，则第（3）个图形黑色瓷砖有10块，第（3）个图形中共有瓷砖35块，所以白色瓷砖有25块；第n 个图形瓷砖有（块）.43(1)31n n +-=+故25；.31n +三、填空题12．当______.3x <6-=3-【分析】利用二次根式的性质化简，再利用绝对值的代数意义计算即可．【详解】解：，所以，，3x < 30x -<60x -<6-6=-，()()3636363x x x x x x =---=-----=-++-=-⎡⎤⎣⎦故3-13．在平面直角坐标系中，已知点在抛物线xOy ()1,1A --上，则此抛物线的对称轴方程是______.()()221221y k x k x =---+58x =-【分析】将点的坐标代入抛物线方程，解出，需注意二次项系数不为，()1,1A --k 0再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：因为点在抛物线上，()1,1A --()()221221y k x k x =---+所以，解得，()()221221110k k k ⎧-+-+=-⎪⎨-≠⎪⎩3k =-所以抛物线方程为，对称轴为；28101y x x =++105288x =-=-⨯故58x =-14．如果可以分解为两个一次因式之积，那么______.225206x xy ay x y ++-+-=a -14【分析】原多项式可分解为：，然后把225206x xy ay x y ++-+-(2)(3)x my x ny +++-因式展开，解出的值，进而求出a 的值.,m n 【详解】由已知，因为x 系数为，所以原式225206x xy ay x y ++-+-1-可分解两个一次因式为：，(2)(3)x my x ny +++-则，22(2)(3)()(23)6x my x ny x m n xy mny x n m y +++-=+++-+--解得所以52320,m n n m mn a +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，，7,2,m n =⎧⎨=-⎩14a =-故-1415．已知，则分式______.4a bb a +=22223a ab b a ab b -+=++0.215【分析】将目标式分子、分母同时除以ab ，结合已知求值即可.【详解】由，则.4a b b a +=222233151a b a ab b b a a b a ab b b a +--+==++++故1516．如图所示的八个点，，，，，，，处各写一个数，分别是，A B C D E F G H a ，，，，，，，已知每个点处所写的数等于与这个点有线段相连的三个b c d e f g h 点处的数的平均数，则代数式______.()()1213a b c d e f g h a b c d e f g h +++++++=+++-+++340.75【分析】根据题意可得，，，，设3d b e a ++=3a c f b ++=3b d gc ++=3a c h d ++=，，代入可得和的关系，继而可得出答案．a b c d m +++=e f g h n +++=m n 【详解】解：由图形及题意得：，，，，3d b e a ++=3a c f b ++=3b d gc ++=3a c h d ++=，2()()3a b c d e f g h a b c d +++++++∴+++=设，，a b c d m +++=e f g h n +++=，23m na b c d +∴+++=，，23m nm +∴=m n =∴即a b c d e f g h+++=+++．∴11()23233221123234()33a b c d e f g h m nm n m m m n m m a b c d e f g h m n +++-+++---==⨯=⨯=--+++-+++-故．3417．如图所示，正方形的面积是4，点在反比例函数的图像OABC B ()0,0k y k x x =><上，若点是该反比例函数图像上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂R B R x y 线，垂足为，，从矩形的面积中减去其与正方形重合部分的面积，M N OMRN OABC 记剩余部分的面积为.则当（为常数，且）时，点的坐标是S S m =m 04m <<R ______.（用含的代数式表示）m或48,24m m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭84,42m m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭【分析】依题意可得点坐标，从而得到函数的解析式，所以可以设的坐标为，B R 4(,)x x 当在点的左边时，，由此可以求出然后求出；当在点R B 4()(2)S x m x =-⨯--=x y R 右边时，也用同样方法求出，．B x y 【详解】解：正方形的面积是，OABC 4，点坐标为，2AB BC ∴==∴B (2,2)--，，4k ∴=4y x ∴=设的坐标为，R 4,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭当在点的左边，即时，，R B 2x <-4((2)S x m x =-⨯--=解得，，84x m =-42m y -∴=当在点右边，即时，，R B 20x -<<4(2)S x m x =-⨯--=解得，．42m x -=84y m ∴=-故或．48,24m m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭84,42m m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭18．规定：表示不大于的最大整数.表示不小于的最小整数，表示最接近[]x x ()x x [)x 的整数（，为整数），例如：，，，则下列说法x 12x n ≠+n []2.32=()2.33=[)2.32=正确的是______.（写出所有正确说法的序号）①当时，；1.7x =[]()[)6x x x ++=②当时，；2.1x =-[]()[)7x x x ++=-③方程的解为；[]()[)4311x x x ++=1 1.5x <<④当时，函数的图像与正比例函数的图像有两个交点.11x -<<[]()y x x x=++4y x =②③【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而得解．【详解】解：①当时，1.7x =[]()[)x x x ++[1.7](1.7)[1.7)=++122=++，故①错误；5=②当时，2.1x =-[]()[)x x x ++[ 2.1]( 2.1)[ 2.1)=-+-+-，故②正确；(3)(2)(2)7=-+-+-=-③当，1 1.5x <<4[]3()[)x x x ++4321=+⨯+，故③正确；11=④时，11x -<< 当时，，∴10.5x -<<-[]()101y x x x x x =++=-++=-当时，，0.50x -<<[]()101y x x x x x =++=-++=-当时，，0x =[]()0000y x x x =++=++=当时，，00.5x <<[]()011y x x x x x =++=++=+当时，，0.51x <<[]()011y x x x x x =++=++=+，则时，得；时，得；当时，，4y x = 14x x -=13x =-14x x +=13x =0x =40y x ==当且时，函数的图象与正比例函数的图象有三个∴11x -<<0.5x ≠-[]()y x x x =++4y x =交点，故④错误，故②③．四、解答题19．解方程：()()()()111111223x x x x x ++=-----4x =【分析】首先将方程变形，再解分式方程即可，最后需检验；【详解】解：()()()()111111223x x x x x ++=-----即11111112132x x x x x +-+-=-----即113x =-所以，解得，31x -=4x =检验：把代入得，4x =()()()1230x x x ---≠所以方程的解为.4x =20．如图.在梯形中，，，，，，在线ABCD AD BC ∥90A ∠=︒6AB =2AD =3BC =段上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三AB P P A D P B C 角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点有几个？并计算出的长.P PA存在3个点P ，或.125PA =33【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A,P,D 分别与点B,C,P 对应；若点A,P,D 分别与点B,P,C 对应，分别分析得出AP 的长度即可.【详解】设，则，AP x =6BP x =-若 ,则,PAC PBC PA AD PB BC =即 ，解得；263x x =-125x =若,则 ,PAD CBP PA AD CB BP =即 ，解得；236x x =-123,3x x ==综上所述，这样的点P 有3个，或.125AP=3321．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋Q ＝a ＋120．设甲大棚的投入为x (单位：14万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．（1）求f (50)的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．【分析】（1）由计算可得；(50)(50)(150)f P Q =+（2）由已知列出函数式，注意定义域，然后换元，化()()(200)f x P x Q x =+-t =为二次函数，由二次函数知识得最大值．【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f (50)＝80＋×150＋120＝277.5．14（2）由题知，f (x)＝80＋ (200－x )＋12014＝－x ＋250，14依题意得20,20020,x x ≥⎧⎨->⎩解得20≤x ≤180，故f (x )＝－x ＋250(20≤x ≤180)．14令tt 2＝x，t ∈，y ＝－t 2＋t ＋250＝－ (t －2＋282，1414当t ＝，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．22．某班有学生50人，老师为了解学生课外阅读时间，收集了他们2019年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：，1012x ≤<，，，，得到如图所示的频率分布直方图.1214x ≤<1416x ≤<1618x ≤<1820x ≤<(1)试计算该班学生中，2019年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；(2)已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在，求从课外阅读时间1820x ≤<在中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率是多少？1820x ≤<(3)假设同组中的每个数据用该组的两个端点的数的平均数代替，试估计该班学生2019年10月课外阅读时间的平均数.(1)15(2)710(3)小时14.68【分析】（1）根据频率分布直方图求出频率，即可计算出人数；（2）首先求出课外阅读时间在中的学生人数，设女生为，，男生为，1820x ≤<A B C ，，利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；D E （3）根据平均数公式计算可得；【详解】(1)解：由频率分布直方图可知外阅读时间不小于小时的频率为16，0.1020.0520.30⨯+⨯=因为，500.3015⨯=所以该班学生中，2019年10月课外阅读时间不小于小时的学生人数为人．1615(2)解：依题意可知课外阅读时间在中的学生人数为人，1820x ≤<0.052505⨯⨯=这名学生中有名女生，名男生，设女生为，，男生为，，，523A B C D E 从中抽取人的所有可能情况有：，，，，，，2(,)A B (A,C)(,)A D (,)A E (,)B C (,)B D ，，，，共种．(,)B E (,)C D (,)C E (,)D E 10其中至少抽到1名女生的情况有，，，，，，(,)A B (A,C)(,)A D (,)A E (,)B C (,)B D ，共种，(,)B E 7所以从课外阅读时间在的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率1820x ≤<.710P =(3)解：根据题意，该班学生2019年10月课外阅读时间的平均数为：（小时）．0.082110.122130.152150.102170.0521914.68⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=由此估计该班学生2019年10月课外阅读时间的平均数为小时．14.6823．如图，过的直角顶点作圆，圆与的两边，分别相切Rt ACB △C O O ACB △AB BC 于，，并交边于点.在优弧上任取一点，连结，.若，D C AC E DE F FE FD BC a =cos ACEFD AB∠=(1)求证：；AD BD =(2)试求的大小；EDA ∠(3)计算圆的面积.O (1)见解析(2)30°(3)213a π【分析】（1）由题意可知点在，连接，则，再由O AC ,OD CD EFD ACD ∠=∠，从而可得,再利用互余关系可得，cos cos AC EFD A AB ∠==∠A ACD ∠=∠B DCB ∠=∠然后由等角对等边可得结论，（2）连接，则，再由等腰三角形的性质可得OB 12ABO CBO ABC ∠=∠=∠，而，从而可得，再由弦切角定理可求得结果，A ABO ∠=∠90A ABC ∠+∠=︒30A ∠=︒（3）由（1）（2）可得，，然后求出，从而12BC AB a AD BD ====30ABO ∠=︒OD 可求出三角形的面积【详解】(1)证明：圆与的边相切于，，O ACB △BC C 90ACB ∠=︒所以点在上，O AC 连接，,OD CD 因为，和均为锐角，cos cos AC EFD A AB ∠==∠A ∠EFD ∠所以，A EFD ∠=∠因为，所以，EFD ACD ∠=∠A ACD ∠=∠所以，AD CD =因为，90,90A B ACD DCB ∠+∠=︒∠+∠=︒所以，B DCB ∠=∠所以，CD BD =所以AD BD =(2)连接，OB 因为圆与的两边，分别相切于，，O ACB △AB BC D C 所以平分，，OB ABC ∠⊥OD AB 所以，12ABO CBO ABC ∠=∠=∠因为，，AD BD =⊥OD AB 所以为等腰三角形，AOB 所以，OA OB =所以，A ABO ∠=∠因为，90A ABC ∠+∠=︒所以，390A =︒∠所以，30A ∠=︒因为切圆于，AB O D 所以，∠=∠EDA ACD 因为，A ACD ∠=∠所以30EDA A ∠=∠=︒(3)因为，，30A ∠=︒90ACB ∠=︒AD BD=所以，12BC AB a AD BD ====因为，,30A ABO ∠=∠=︒⊥OD AB 所以，tan OD OBD BD ∠=所以，tan OD BD OBD =∠=所以圆的面积为O 22213OD aπππ⎫==⎪⎪⎭24．有一张矩形纸片，按下面步骤进行折叠：ABCD 第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使点，重合，点落在点处，得折ABCD B D C C '痕；EF 第二步：如图②，将五边形折叠，使，重合，得折痕.再打开；AEFC D 'AE C F 'DG 第三步：如图③，进一步折叠，使，均落在上，点，落在点处，AE C F 'DG A C 'A '点，落在点处，得折痕，.E F E 'MN QP 这样，就可以折出一个五边形.DMNPQ (1)适当添加辅助线，请写出图①中三组全等三角形______，______，______；（写出不同的三组即可）(2)若这样折出的五边形（如图③）恰好是一个正五边形，当，DMNPQ AB a =，AD b =①请写出一个与的关系式，并加以证明；a b ②设正五边形的边长，请求出边长（用或表示）.=DM m m a b m (1)答案见解析(2)①，证明见解析；②；222tan18a b ab -=︒tan18m =︒【分析】（1）连接，根据翻折的性质判断即可；BF （2）根据正五边形的性质求出角的度数，再找出图形中的线段关系，最后利用锐角三角函数计算可得；【详解】(1)解：如图连接，可得、、BF BCF DC F '≅ BEF DEF ≅△△，DAE DC F '≅ 根据翻折的性质，翻折前后的图形全等，对应边相等，对应角相等，可得、、、，CF C F '=BC DC '=BE ED =EF EF =C C '∠=∠由、、，所以；CF C F '=C C '∠=∠BC DC '=BCF DC F '≅ 由，所以，BCF DC F '≅ BF DF =所以由、、可得，BF DF =EF EF =BE ED =BEF DEF ≅△△又，所以，90EDA EDF EDF C DF '∠+∠=∠+∠=︒EDA C DF '∠=∠又，，所以；90A C '∠=∠=︒AD DC '=DAE DC F '≅(2)解：①，222tan18a b ab -=︒证明：由题意知点是矩形的中心，即延长过点，延长也过点，G DG B MN B 由于五边形，恰好是一个正五边形，且由折叠的过程知：，DMNPQ 54MDB ∠=︒，108DMB ∠=︒，18DBM ABM ∴∠=∠=︒．36DBA ∴∠=︒，，DE BE = 36EDB DBA ∠=∠=︒．543618ADE MDB EDB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒在中，由勾股定理知，，即，Rt ADE △2222AD AE DE BE +==222()b AE a AE +=-解得．222a b AE a -=，22tan tan182AE AE a b ADE AD b ab -∠=︒=== ；222tan18a b ab ∴-=︒②，tan18m =︒证明：，PN DM = ，111222PG NG PN DM m ∴====，，，12BG DB = 1122NG DM m ==NG BD ⊥tan tan18NG GBN BG ∴∠=︒==．∴tan18m =︒25．已知点，，…，，…（为正整数）顺次为一条直线()111,B y ()222,B y (),n n B n y n 上的点，点，，…，，…（为正整数）顺次为1412x y =+()11,0A x ()22,0A x (),0n n A x n 轴上的点，其中，对任意正整数，点，，构成以为顶x ()101x a a =<<n n A n B 1n A +n B 点的等腰三角形.(1)求点的坐标；n B (2)求点的横坐标；n A n x (3)上述等腰三角形中，是否可能存在直角三角形？若可能，求此时的值；1n n n A B A +a 若不可能，请说明理由.(1)；1412,n n n B ⎛+⎫ ⎪⎝⎭(2)答案见解析；(3)存在，、、时等腰三角形为直角三角形.23a =16a =712a =1n n n A B A +【分析】（1）根据题设函数式写出的坐标；n B （2）由题设可得，讨论的奇偶性分别求出对应通项公式；22n n x x --=*(N ,2)n n ∈>n （3）讨论的奇偶性，结合求对应a 值，注意a 的范围.n 1||2||n n n A A y +=【详解】(1)由题设，，故.1412n n y =+1412,n n n B ⎛+⎫ ⎪⎝⎭(2)由题设，，，…，，1212x x +=2322x x +=112n n x x n -+=-*(N ,1)n n ∈>所以，，，…，，212x x +=324x x +=436x x +=12(1)n n x x n -+=-*(N ,1)n n ∈>则，，，，…，，312x x -=422x x -=532x x -=642x x -=22n n x x --=*(N ,2)n n ∈>当，，则，21n k =-*(N )k ∈()101x a a =<<212(1)22k x a k k a -=+-=+-当，，则，2n k =*(N )k ∈22x a =-222(1)2k x a k k a =-+-=-当为奇数时，当为偶数时.n 1n x n a =+-n n x n a =-(3)若△为等腰直角三角形，则，1n n n A B A +1||2||n n n x x y +-=若为奇数时，，即，n 12(1)26n a -=+12113a n =-当时；当时；当不满足；1n =23a =3n =16a =5n ≥若为偶数时，，即，n 1226n a =+1231a n =+当时；当不满足；2n =712a =4n ≥综上，、、时等腰三角形为直角三角形.23a =16a =712a =1n n n A B A +。

市清华大学附属中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题〔含解析〕一、选择题〔共10小题，每一小题4分，共40分〕1．i是虚数单位，＝〔〕A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1+i D．﹣1﹣i2．在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，如此△ABC的面积为〔〕A．B．C．D．33．如下列图，在△ABC中，D为AB的中点，如此＝〔〕A．﹣B．﹣+C．﹣﹣D．+4．函数，如此〔〕A．y'＝e x B．C．D．5．，是平面向量，“是“〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．函数y＝f〔x〕的图象如下列图，f'〔x〕是函数f〔x〕的导函数，记a＝2f'〔2〕，b＝2f'〔4〕，c＝f〔4〕﹣f〔2〕，如此a，b，c数值排序正确的答案是〔〕A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b7．平面向量，满足，，＜，＞＝120°，如此＝〔〕A．2B．C．4D．128．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，∠C＝90°．假如某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝30°，坝底至塔顶距离AB＝30米，如此大坝的坡角〔∠DAC〕的余弦值为〔〕A．B．C．D．9．在R上可导的函数f〔x〕的图形如下列图，如此关于x的不等式x•f′〔x〕＜0的解集为〔〕A．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕B．〔﹣1，0〕∪〔1，+∞〕C．〔﹣2，﹣1〕∪〔1，2〕D．〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕10．O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且，如此的最大值为〔〕A．B．C．D．4二、填空题：〔共5小题，每一小题5分，共25分〕11．假如复数〔a2﹣3a+2〕+〔a﹣1〕i是纯虚数，如此实数a＝．12．，，．假如，如此实数λ的值为．13．小明用A＝〔a1，a2，⋯，a30〕记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当第k天半小时内到家时，记a k＝1，当第k天不能半小时内到家时，记a k＝﹣1〔1≤k≤30〕；用B＝〔b1，b2，⋯，b30〕记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第k天半小时内到家时，记b k＝1，当预测第k天不能半小时内到家时，记b k＝﹣1〔1≤k≤30〕；记录完毕后，小明计算出A⋅B＝22，其中A⋅B＝a1b1+a2b2+⋯+a30b30，那么该交通软件预测准确的总天数是．14．假如函数在[1，2]上单调递增，如此实数a的取值X围是．15．定义域为R的函数y＝f〔x〕，如果存在x0∈R，使得f〔x〕在〔﹣∞，x0]上单调递增，在[x0，+∞〕上单调递减，如此称f〔x〕为单峰函数．那么如下函数是单峰函数的有．①y＝2x﹣e x；②；③；④y＝x3〔1﹣3x+3x2﹣x3〕．三、解答题：〔共6小题，共85分〕16．，，是同一平面内的三个向量，，．〔Ⅰ〕假如与的方向相反，求的坐标；〔Ⅱ〕假如，求与的夹角θ．17．函数．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的x的值．18．函数f〔x〕＝x3+x2﹣x+1．〔Ⅰ〕求曲线y＝f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕求函数f〔x〕的单调区间和极值；〔Ⅲ〕假如函数y＝f〔x〕的图象与直线y＝a仅有一个公共点，直接写出实数a的取值X围．19．如图，在四边形ABCD中，CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，．〔Ⅰ〕求sin∠DBC；〔Ⅱ〕求AD．20．函数f〔x〕＝x+b﹣alnx在x＝1处的极值为2，其中a＞0．〔Ⅰ〕求a，b的值；〔Ⅱ〕对任意的x∈[1，+∞〕，证明恒有x[2﹣f〔x〕]≤x2﹣2x+1．21．对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合A＝{a1，a2，⋯，a n}，B＝{b1，b2，⋯，b n}均为正整数集的子集，假如满足：①a1+a2+⋯+a n＝b1+b2+⋯+b n，②a12+a22+⋯+a n2＝b12+b22+⋯+b n2，③A∩B＝∅，如此称A，B互为等矩集．〔Ⅰ〕假如集合A＝{1，5，6}与B＝{2，x，y}互为等矩集，求x，y的值；〔Ⅱ〕证明：如果集合A＝{a1，a2，⋯，a n}，B＝{b1，b2，⋯，b n}互为等矩集，那么对于任意的k∈N*，集合A'＝{a1+k，a2+k，⋯，a n+k}，B'＝{b1+k，b2+k，⋯，b n+k}也互为等矩集；〔Ⅲ〕对于任意给定的正整数n≥4，是否存在两个n元正整数集A，B互为等矩集？请说明理由．参考答案一、选择题：〔共10小题，每一小题4分，共40分〕1．i是虚数单位，＝〔〕A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1+i D．﹣1﹣i解：＝，应当选：C．2．在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，如此△ABC的面积为〔〕A．B．C．D．3解：因为AC＝2，BC＝3，C＝60°，所以△ABC的面积S＝CB•CA•sin C＝3×2×＝．应当选：A．3．如下列图，在△ABC中，D为AB的中点，如此＝〔〕A．﹣B．﹣+C．﹣﹣D．+解：∵在△ABC中，D为AB的中点，∴＝＝﹣＝﹣＝﹣，应当选：B．4．函数，如此〔〕A．y'＝e x B．C．D．解：，如此＝．应当选：C．5．，是平面向量，“是“〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：假如||＝|+|，如此＝+2•+，∴2||•||•cos＜，＞+＝0，∴2||•cos＜，＞+||＝0或||＝0，∴||＝|+|是||＝0的必要不充分条件，应当选：B．6．函数y＝f〔x〕的图象如下列图，f'〔x〕是函数f〔x〕的导函数，记a＝2f'〔2〕，b＝2f'〔4〕，c＝f〔4〕﹣f〔2〕，如此a，b，c数值排序正确的答案是〔〕A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b解：结合图像：f′〔2〕＜＜f′〔4〕，故2f′〔2〕＜f〔4〕﹣f〔2〕＜2f′〔4〕，即a＜c＜b，应当选：D．7．平面向量，满足，，＜，＞＝120°，如此＝〔〕A．2B．C．4D．12解：平面向量，满足，，＜，＞＝120°，如此＝＝＝2．应当选：A．8．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，∠C＝90°．假如某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝30°，坝底至塔顶距离AB＝30米，如此大坝的坡角〔∠DAC〕的余弦值为〔〕A．B．C．D．解：因为∠BAD＝30°，AB＝30，BD＝20，在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝；由∠ADB＝∠C+∠DAC＝90°+∠DAC，所以sin∠ADB＝sin〔90°+∠DAC〕＝cos∠DAC＝，所以大坝的坡角〔∠DAC〕的余弦值为．应当选：D．9．在R上可导的函数f〔x〕的图形如下列图，如此关于x的不等式x•f′〔x〕＜0的解集为〔〕A．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕B．〔﹣1，0〕∪〔1，+∞〕C．〔﹣2，﹣1〕∪〔1，2〕D．〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕解：假如x＝0时，不等式x•f′〔x〕＜0不成立．假如x＞0，如此不等式x•f′〔x〕＜0等价为f′〔x〕＜0，此时函数单调递减，由图象可知，此时0＜x＜1．假如x＜0，如此不等式x•f′〔x〕＜0等价为f′〔x〕＞0，此时函数单调递增，由图象可知，此时x＜﹣1．，故不等式x•f′〔x〕＜0的解集为〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕．应当选：A．10．O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且，如此的最大值为〔〕A．B．C．D．4解：∵，∴⊥，又∵|OA|＝|OB|＝1，∴|+|＝．|+|＝|﹣+﹣|＝|+﹣〔+〕|，当、与+反向时，|+|取得最大值2+，应当选：B．二、填空题：〔共5小题，每一小题5分，共25分〕11．假如复数〔a2﹣3a+2〕+〔a﹣1〕i是纯虚数，如此实数a＝ 2 ．解：∵复数〔a2﹣3a+2〕+〔a﹣1〕i是纯虚数，所以即得a＝2故答案为：212．，，．假如，如此实数λ的值为﹣1 ．解：∵，，且，∴2〔λ+3〕﹣〔3﹣λ〕＝0，解得λ＝﹣1．故答案为：﹣1．13．小明用A＝〔a1，a2，⋯，a30〕记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当第k天半小时内到家时，记a k＝1，当第k天不能半小时内到家时，记a k＝﹣1〔1≤k≤30〕；用B＝〔b1，b2，⋯，b30〕记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第k天半小时内到家时，记b k＝1，当预测第k天不能半小时内到家时，记b k＝﹣1〔1≤k≤30〕；记录完毕后，小明计算出A⋅B＝22，其中A⋅B＝a1b1+a2b2+⋯+a30b30，那么该交通软件预测准确的总天数是26 ．解：依题意，假如a k b k＝1〔1≤k≤30〕，如此表示第k天预报正确，假如a k b k＝﹣1〔1≤k≤30〕，如此表示第k天预报不正确，由A⋅B＝a1b1+a2b2+⋯+a30b30＝22，假设其中有x天预报正确，如此等式左边有x个1，30﹣x个〔﹣1〕，如此x+〔30﹣x〕×〔﹣1〕＝22，解得x＝26．∴该交通软件预测准确的总天数是26．故答案为：26．14．假如函数在[1，2]上单调递增，如此实数a的取值X围是〔﹣∞，e] ．解：∵，x∈[1，2]，∴f′〔x〕＝e x﹣，∵f〔x〕在[1，2]单调递增，∴f′〔x〕≥0在x∈[1，2]恒成立，即e x﹣≥0恒成立，即a≤x2e x，令g〔x〕＝x2e x，x∈[1，2]，如此g′〔x〕＝〔x2+2x〕e x＞0在[1，2]上恒成立，∴g〔x〕在[1，2]上单调递增，∴g〔x〕min＝g〔1〕＝e，故a≤e，故答案为：〔﹣∞，e]．15．定义域为R的函数y＝f〔x〕，如果存在x0∈R，使得f〔x〕在〔﹣∞，x0]上单调递增，在[x0，+∞〕上单调递减，如此称f〔x〕为单峰函数．那么如下函数是单峰函数的有①④．①y＝2x﹣e x；②；③；④y＝x3〔1﹣3x+3x2﹣x3〕．解：根据题意，单峰函数的概念可知，假如f〔x〕为单峰函数，如此它只有一个极值点，且是极大值点，对于①y＝2x﹣e x，其导数为y′＝2﹣e x，在区间〔﹣∞，ln2〕，y′＞0，函数为增函数，在区间〔ln2，+∞〕上，y′＜0，函数为减函数，如此f〔x〕为单峰函数；②，其导数为y′＝sin x﹣，令g〔x〕＝sin x﹣，如此g〔〕＝1﹣＞0，g〔2〕＝sin2﹣1＜0，∴∃x0∈〔，2〕，使得g〔x0〕＝sin x0﹣0＝0，又g〔﹣x〕＝﹣g〔x〕，∴g〔x〕为R上的奇函数，又g〔0〕＝0，∴的极值点有3个，故f〔x〕不是单峰函数；③，其导数为y′＝＝，令y′＝0，可得x＝±，故f〔x〕不是单峰函数；④y＝x3〔1﹣3x+3x2﹣x3〕，其导数为y′＝3x2﹣12x3+15x4﹣6x5＝﹣3x2〔x﹣1〕2〔2x ﹣1〕，当x≤时，y′≥0，当x＞时，y′≤0，∴f〔x〕在〔﹣∞，]上单调递增，在[，+∞〕上单调递减，故f〔x〕为单峰函数；故答案为：①④．三、解答题：〔共6小题，共85分〕16．，，是同一平面内的三个向量，，．〔Ⅰ〕假如与的方向相反，求的坐标；〔Ⅱ〕假如，求与的夹角θ．解：〔Ⅰ〕根据题意，，假如与的方向相反如此＝t，t＜0，即＝〔2t，4t〕，又||＝，如此4t2+16t2＝5，解可得t＝﹣，如此＝〔﹣1，﹣2〕．〔Ⅱ〕由，可得||＝＝2，假如，如此•〔﹣4〕＝2﹣4•＝20﹣4×2××cosθ＝0，解得cosθ＝，又由0≤θ≤π，如此θ＝．17．函数．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的x的值．解：〔Ⅰ〕函数＝＝．故函数的最小正周期为．〔Ⅱ〕由于，所以，故．故即当x＝时，函数的最小值为，当x＝时，函数的最大值为2．18．函数f〔x〕＝x3+x2﹣x+1．〔Ⅰ〕求曲线y＝f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕求函数f〔x〕的单调区间和极值；〔Ⅲ〕假如函数y＝f〔x〕的图象与直线y＝a仅有一个公共点，直接写出实数a的取值X围．解：〔I〕f′〔x〕＝3x2+2x﹣1，所以f′〔1〕＝4，f〔1〕＝2，故曲线y＝f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程y﹣2＝4〔x﹣1〕，即y＝4x﹣2；〔II〕f′〔x〕＝3x2+2x﹣1＝〔3x﹣1〕〔x+1〕，易得当x或x＜﹣1时，f′〔x〕＞0，函数单调递增，当﹣1＜x＜时，f′〔x〕＜0，函数单调递减，故函数的单调递增区间〔﹣∞，﹣1〕，〔，+∞〕，单调递减区间〔﹣1，〕，当x＝﹣1时函数取得极大值f〔﹣1〕＝2，当x＝时，函数取得极小值；〔III〕由〔II〕知，a＞2或a＜时，y＝a与y＝f〔x〕只有一个交点．故a的X围{a|a＞2或a＜}．19．如图，在四边形ABCD中，CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，．〔Ⅰ〕求sin∠DBC；〔Ⅱ〕求AD．解：〔I〕CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，，由正弦定理得，即，所以sin∠DBC＝；〔II〕由题意得∠DBC为锐角，结合〔I〕得cos∠DBC＝，因为，所以sin∠ABC＝，cos∠ABD＝cos〔∠ABC﹣∠DBC〕＝﹣＝，由余弦定理得，cos∠BDC＝＝＝，解得BD＝3，由余弦定理得cos∠ABD＝＝＝，所以AD＝．20．函数f〔x〕＝x+b﹣alnx在x＝1处的极值为2，其中a＞0．〔Ⅰ〕求a，b的值；〔Ⅱ〕对任意的x∈[1，+∞〕，证明恒有x[2﹣f〔x〕]≤x2﹣2x+1．解：〔I〕，由题意得，，解得a＝1，b＝1；证明：〔II〕x[2﹣f〔x〕]﹣x2+2x﹣1＝﹣2x2+3x+xlnx﹣1，令g〔x〕＝﹣2x2+3x+xlnx﹣1，x≥1，如此g′〔x〕＝﹣4x+lnx+4，＜0恒成立，所以g′〔x〕在[1，+∞〕上单调递减且g′〔1〕＝0，所以x≥1时，g〔x〕≤g〔1〕＝0，所以x[2﹣f〔x〕]≤x2﹣2x+1．21．对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合A＝{a1，a2，⋯，a n}，B＝{b1，b2，⋯，b n}均为正整数集的子集，假如满足：①a1+a2+⋯+a n＝b1+b2+⋯+b n，②a12+a22+⋯+a n2＝b12+b22+⋯+b n2，③A∩B＝∅，如此称A，B互为等矩集．〔Ⅰ〕假如集合A＝{1，5，6}与B＝{2，x，y}互为等矩集，求x，y的值；〔Ⅱ〕证明：如果集合A＝{a1，a2，⋯，a n}，B＝{b1，b2，⋯，b n}互为等矩集，那么对于任意的k∈N*，集合A'＝{a1+k，a2+k，⋯，a n+k}，B'＝{b1+k，b2+k，⋯，b n+k}也互为等矩集；〔Ⅲ〕对于任意给定的正整数n≥4，是否存在两个n元正整数集A，B互为等矩集？请说明理由．【解答】〔Ⅰ〕解：由等矩集定义，如此，①2﹣②2，可得xy＝21③，由①③可知，x，y为方程t2﹣10t+21＝0的两个根，解得或；〔Ⅱ〕证明：只需证明A'和B'满足等矩集的三条定义即可，〔a1+k〕+〔a2+k〕+⋯+〔a n+k〕＝a1+a2+•••+a n+nk＝b1+b2+•••+b n+nk＝〔a b+k〕+〔b2+k〕+⋯+〔b n+k〕，故满足定义①；〔a1+k〕2+〔a2+k〕2+⋯+〔a n+k〕2＝〔a12+a22+•••+a n2〕+2k〔a1+a2+•••+a n〕+nk2＝〔b12+b22+•••+b n2〕+2k〔b1+b2+•••+b n〕+nk2＝〔b1+k〕2+〔b2+k〕2+⋯+〔b n+k〕2，故满足定义②；假设A'∩B'≠∅，如此存在p，q∈N*，a1+k＝bq+k，可得ap＝bq，与A∩B＝∅矛盾，所以A'∩B'＝∅，故满足定义③．综上所述，A'和B'也互为等矩集；〔Ⅲ〕解：①对于m元等矩集组A m和B m和n元等矩集组A n和B n，可以发现只需要A m，B m，A n，B n两两交集为空集，如此A m∪A n和B m∪B n互为m+n等矩集组，此结论可以推广到的形式；②可以发现，假如A＝{a1，a2，•••，a n}和B＝{b1，b2，•••，b n}互为等矩集，如此有A'＝{ka1，ka2，•••，ka n}和B'＝{kb1，kb2，•••，kb n}，k∈N*互为等矩集，因此我们可以构造3元，4元，5元的等矩集组，从而能够证明3k，3k+1，3k+2元等矩集组的存在，即对任意n≥4，n∈N*，存在n元正整数集A和B互为等矩集，3元等矩集：{1，5，6}和{2，3，7}，4元等矩集：{1，4，6，7}和{2，3，5，8}，对于5元等矩集，可以利用两组4元等矩集的并集，其中去除一个3元等矩集进展构造，两组4元等矩集：A：{1，4，6，7}和{2，3，5，8}，B：{2，8，12，14}和{4，6，10，16}，并集为{1，2，4，6，7，8，12，14}和{2，3，4，5，6，8，10，16}，其中存在3元等矩集：{2，6，7}和{3，4，8}，删除后得到5元等矩集：{1，4，8，12，14}和{2，5，6，10，16}，根据上述构造方法可以总结n元等矩集的构造：①假如n＝3k，如此可以由k个3元等矩集组并得；②假如n＝3k+1，如此可以由〔k﹣1〕个3元等矩集组合一个4元等矩集组并得；③假如n＝3k+2，如此可以由〔k﹣1〕个3元等矩集组合一个5元等矩集组并得．因此，对于任意给定的正整数n≥4，必存在两个n元正整数集A，B互为等矩集．。

北京市海淀清华附中2021学年高一数学下学期期中试题〔含解析〕清华附中G16级〔马班〕一、选择题〔每题5分，共40分〕1．等比数列a n中，a132，公比q1，那么a6等于〔〕．2A．1B．1C．11 2D．2【答案】C15【解析】解：a61．322故：选C．2．假设a b 0，那么以下不等关系中不能成立的是〔〕．11B．|a||b|C．a3b3D．2a2b A．aab【答案】A【解析】解：不枋设a2，b1，111，不大于1对于A选项b2．a12应选：A．3．在等差数列a n中，a17，a2a42，那么公差d〔〕．A．2B．3C．2D．3【答案】D【解析】解：设a n a1(n1)d，a2a47d73d2，∴d3．应选：D．4．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设b2a2c23ac，那么B等于〔〕．A．30B．60C．120D．150【答案】D【解析】解：由余弦定理：222cosBacb 3，2ac2又∵O B ，πB150． 应选：D ．5．t0，那么函数yt24t1的最小值为〔〕．tA ．4B ．2C ．0D ．2【答案】B【解析】 t 24t11 1ytt4≥2t4，tt当且仅当t 1时等号成立， ∴最小值为 2， 应选：B ．6．假设ab ，c R ，那么以下不等式中成立的是〔〕．A ．acbcB ．a1C ．11 D ．ac 2≥bc 2ba b【答案】D【解析】解： A ：c 可能为0． B ：b 不一定大于零．：b 正a 负． ：成立．7．不等式x1 0的解集为〔〕． x2A ．(1,)B ．(,2)C ．(2,1)D ．(,2)U(1,)【答案】C(x 1)(x 2)0 2x 1【解析】 2 0x2，x∴(2,1)．应选：C ．8．6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于 24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是〔〕 ．A ．2枝玫瑰的价格高B ．3枝康乃馨的价格高C ．价格相同D ．不确定【答案】A【解析】解：设玫瑰、康乃馨价格为 x 、y ，6x 3y 24 ，4x 4y 20化为2xy8x y，52m n 2 令n ， m 3m 5 ∴ ，8∴2x 3y 5(2x y) 8(x y) 5x8 5x8 0，2x3y ，应选：A ．二、填空题〔每题5分，共 30分〕9．不等式x 2 3x4 0的解集为__________．【答案】见解析【解析】解：x 2 3x40，(x4)(x1)0，∴x 4或x1，[x|x4或x1]．10．在△ABC 中，A2π b ，a3c ，__________．3c【答案】见解析【解析】解：余弦定理：b 2c 2 a 2，cosA2bc∴1 b2 c 2 3c 2 ，22bc 有b 22c 2 bc 0，c0，∴b2b 2 0，c cb b 1 0，2cc又∵b0，cb1．c11．假设函数yax 2在[1,2]上的函数值恒为正，那么实数 a 的取值范围是__________．【答案】见解析【解析】解： a 0，y 20，a 0 时，a 2 0 a 2，a 0 时， 2a 2 0a 1，综上：a2．12．设等差数列 a n 的前n 项和为S n ，假设a 111，a 4a 66，那么当S n 取最小值时，n等于__________． 【答案】见解析【解析】解：a 1 11，设a n11(n1)d ，a 4 a 6 6，a 1 3da 15d6，d2，∴a n 112n 22n13， ∴a 61，a 710，∴S n 在n 6是取最小．213．函数y x7x10(x0)的最小值是__________．x【答案】见解析【解析】解：x27x10 y xx107≥7210xx x7210．当且仅当x10时等号成立．∴最小值为7210．14．a n是等差数列，a28，S10185，从a n中依次取出第3项，第9项，第27项，L，第3n项，按原来的顺序排成一个新数列b n，那么b n等于__________．【答案】见解析【解析】解：设a n a1(n1)d，a1d81851(a1a1，109d)2得d3，a15，b1=a35a23232，b2a9583233，b a5263234L，37b n23n1．三、解答题〔此题共6个小题，共80分〕15．a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，试比较M与N的大小？【答案】见解析【解析】解：M N a1a2(a1a21)(a11)(a21)，有∵a1,a2(0,1)，MN0，MN．16．数列a n是等差数列，满足a12，a48，数列b n是等比数列，满足b24，b532．〔Ⅰ〕求数列a n和b n的通项公式．〔Ⅱ〕求数列 a n b n的前nn项和S ．【答案】见解析【解析】解：设a n a 1(a1)d ，b n a 1qn1，a 1 2，a 4 a 13d8 bq 1 4 ，b 5q 4b 132d2，∴a n 2n ，b n2n∴S246L2n222L2nn1 (22(1 2n ) 2 2n)n21 n 2n2n12．17．在△ABC 中，B 为锐角，且2bsinA3a ．〔Ⅰ〕求角 B 的大小．〔Ⅱ〕假设b3，ac 6，求△ABC 面积．【答案】见解析【解析】解：2bsinA3a ，由正弦定理：2sinBsinA 3sinA ，∴sinB3，2∵0πB ，2∴Bπ．3〔2〕余弦定理：cosBa 2 c 2b 2 ，2ac1 a2 c 29，22ac9 a 2 c 2ac ，a c 6 ∴ac 3，∴S1acsinB2 13 3 32 29 ．3 418．△ABC 的面积S3 (a 2 b 2 c 2 )．12〔Ⅰ〕求 C 的大小．〔Ⅱ〕假设c 1，求 3b a 的最大值．【答案】见解析【解析】解：S1absinC ，2a 2b 2c 2 ，cosC2ab3 2221 absinC而S (abc) 243．2abcosC4∴tanC3，又0C π， π ∴C ， 31 a2 b 2 c 2cosC，2ab aba 2b 21．19．记关于x的不等式xa 0的解集为P ，不等式|x 1|≤1的解集为Q ．x1〔Ⅰ〕假设a 3，求P ． 〔Ⅱ〕假设Q P ，求正数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：〔1〕x 10，x 1 (x 3)(x 1) 0， 即： 1 x 3，P x|1 x 3．〔2〕Q x||x 1|≤1， x|0≤x ≤2，由a 0得P x|1 xa，又Q ≤P ， a2．20．等比数列 a n 的公比q1，a 11，且a 1，a 3，a 214成等差数列，数列b n 满足：a 1b 1a 2b 2La n b nn*．(n1)31，nN〔Ⅰ〕求数列 a n 和 b n 的通项公式． 〔Ⅱ〕假设ma n ≥b n 8恒成立，求实数 m的最小值．【答案】见解析n1【解析】解：〔1〕设a n q ，2a 3 a 1 a 2 14，22q 1 q14．且q0，∴q 3， ∴a n3n1，又∵a 1b 1 La n b nb 1 3b 2 L 3n1b n (n 1)3n 1．而b 1 3b 2 L 3n2b n1(n2)3n11，n ≥2， ∴有3n1b n (n1)3n(n2)3n1，∴b n2n1，n ≥2，当n 1时，a 1b 11，b 11，故b n 2n1．nn8恒成立，〔2〕假设ma ≥b即：m ≥ 2n 9最大值，3 n 2有C n2n 9，n ≥2时，C n12n11 3n1n2，3244n C n C n13n2，当n2，3，L，6时，C n≥C n1，即：n s或6时，C n最大为1．81即：m≥1，可得m最小为1．8181。

2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜12.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 1164.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥2√ab7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟9.（单选题.4分）若关于x的不等式kx2-kx＜1的解集为R则实数k的取值范围是（）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）10.（单选题.4分）已知非空集合A.B满足以下两个条件（i）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii）若x∈A.则x+1∈B．则有序集合对（A.B）的个数为（）A.12B.13C.14D.1511.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R+．（1）求x2+y2+xy的最小值；（2）求√x+√y的最大值；（3）求x（1-3y）的最小值．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜1【正确答案】：D【解析】：根据全称命题的否定方法.根据已知中的原命题.写出其否定形式.可得答案．【解答】：解：∵命题p：∀x∈N.x3≥1.∴￢p：∃x∈N.x3＜1.故选：D．【点评】：本题考查的知识点是全称命题.命题的否定.熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键．2.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}【正确答案】：C【解析】：由全集U及A.求出A的补集.找出B与A补集的交集即可．【解答】：解：∵全集U={1.2.3.4.5}.集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.∴∁U A={4.5}.则B∩（∁U A）={4.5}．故选：C．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算.熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 116【正确答案】：C【解析】：根据xy=x（1-2x）=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.即可求出最大值．【解答】：解：∵实数x.y满足2x+y=1. ∴y=1-2x.∴xy=x（1-2x）=-2x2+x=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.当x= 14 .y= 12时取等号.故选：C．【点评】：本题考查了二次函数的性质.考查了运算和转化能力.属于基础题．4.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：先判断由x=1能否推出“x2=1”.再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立.利用充要条件的定义判断出结论．【解答】：解：当x=1成立则“x2=1”一定成立反之.当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件故选：A．【点评】：判断一个条件是另一个条件的什么条件.首先弄清哪一个是条件；再判断前者是否推出后者.后者成立是否推出前者成立.利用充要条件的定义加以判断．5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d【正确答案】：C【解析】：根据不等式的性质依次验证每个选项是否正确.即可判断【解答】：解：A：由b＜0＜a.d＜c＜0可知.bd＞0.ac＜0.则bd＞ac.故A不正确B：由d＜c＜0可知1c ＜1d＜0 .又b＜0＜a∴ a c ＜0，bd＞0∴ a c ＜bd.故B不正确C：∵b＜a.d＜c∴a+c＞b+d.故C正确D∵d＜c∴-d＞-c.又a＞b∴a-d＞b-c.故D不正确故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质.要求熟练掌握不等式的性质．属于基础试题6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥√ab【正确答案】：C【解析】：利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】：解：A．∵（a-b）2≥0.∴a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立.因此不正确．B．取a.b＜0时.a+b≥2 √ab不成立．C．∵ab＞0.∴ ab . ba＞0.∴ ba+ab≥2 √ba•ab=2.当且仅当a=b时取等号.正确．D．取a.b＜0时. 1a + 1b≥√ab故选：C．【点评】：本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)【正确答案】：A【解析】：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.推出b=-2a.再代入bx+a＜0.解之即可．【解答】：解：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.所以b=-2a.所以不等式bx+a＜0可化为-2ax+a＜0.解得x＜12.故选：A．【点评】：本题考查一元一次不等式的解法.灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键.考查学生的逻辑推理能力和运算能力.属于基础题．8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【正确答案】：B 【解析】：由提供的数据.求出函数的解析式.由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】：解：将（3.0.7）.（4.0.8）.（5.0.5）分别代入p=at 2+bt+c.可得{0.7=9a +3b +c 0.8=16a +4b +c 0.5=25a +5b +c.解得a=-0.2.b=1.5.c=-2.∴p=-0.2t 2+1.5t-2.对称轴为t=- 1.52×(−0.2) =3.75．故选：B ．【点评】：本题考查了二次函数模型的应用.考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题.确定函数模型是关键．9.（单选题.4分）若关于x 的不等式kx 2-kx ＜1的解集为R 则实数k 的取值范围是（ ）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）【正确答案】：B【解析】：对系数k 分类讨论.利用判别式即可求出结论．【解答】：解：当k=0时.不等式化为0＜1.对任意实数x 恒成立.所以k=0时满足条件；当k≠0时.不等式为kx 2-kx-1＜0的解集是R.所以 {k ＜0△=k 2+4k ＜0.解得-4＜k ＜0； 综上知.实数k 的取值范围是（-4.0]．故选：B ．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了分类讨论思想.是基础题．10.（单选题.4分）已知非空集合A.B 满足以下两个条件（i ）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii ）若x∈A .则x+1∈B ．则有序集合对（A.B ）的个数为（ ）A.12B.13C.14D.15【正确答案】：A【解析】：对集合A 的元素个数分类讨论.利用条件即可得出．【解答】：解：由题意分类讨论可得：若A={1}.则B={2.3.4.5.6}；若A={2}.则B={1.3.4.5.6}；若A={3}.则B={1.2.4.5.6}；若A={4}.则B={1.2.3.5.6}；若A={5}.则B={2.3.4.1.6}；若A={6}.则B={2.3.4.5.1}.舍去．若A={1.3}.则B={2.4.5.6}；若A={1.4}.则B={2.3.5.6}；若A={1.5}.则B={2.3.4.6}；若A={2.4}.则B={1.3.5.6}；若A={2.5}.则B={1.3.4.6}；若A={3.5}.则B={1.2.4.6}；若A={1.3.5}.则B={2.4.6}．综上可得：有序集合对（A.B ）的个数为12．故选：A ．【点评】：本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．11.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：集合{0.1}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合.包括空集．【解答】：解：集合{0.1}的子集有：∅.{0}.{1}.{0.1}共4个．故答案为：4．【点评】：本题考查集合的子集个数问题.对于集合M的子集问题一般来说.若M中有n个元素.则集合M的子集共有2n个.此题是基础题．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先求出A.根据条件得到B=C R A即可求解结论．【解答】：解：∵集合A={x|y= √m−x }=（-∞.m].B=（2-m.+∞）．又∵A∪B=R.且A∩B=∅.∴B=C R A=（m.+∞）.∴m=2-m⇒m=1.故答案为：1．【点评】：本题考查了交集及其运算.是基础题．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]{m|-4≤m＜-3}【解析】：分情况解二次不等式.结合已知条件即可求解结论．【解答】：解：当m＞0时.x2+mx＜0⇒-m＜x＜0.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.此时没有正根.故舍去.当m＜0时.x2+mx＜0⇒0＜x＜-m.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.∴3＜-m≤4⇒-4≤m＜-3. 当m=0时.x2+mx＜0⇒x不存在.综上可得：实数m的取值范围为：{m|-4≤m＜-3}．【点评】：本题主要考查不等式的求解以及分类讨论思想的应用.属于中档题目．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][1.+∞）【解析】：求出集合A.B.由A∪B=R.能求出实数a的取值范围．【解答】：解：∵当a＜1时.集合A={x|x2-2x+a≥0}={x|x≤1- √1−a或x≥1+ √1−a }.当a≥1时.集合A的解集为R.当△=4-4（a+1）≤0时.即a≥0时.集合B的解集为∅.当a＜0时.集合B={x|x2-2x+a+1＜0}={x|1- √−a＜x＜1+ √−a }.若A∪B=R.则有1- √1−a≥1- √−a .且 1+ √−a≥1+ √1−a .解得不存在使不等式成立的实数a.故实数a的取值范围是[1.+∞）．故答案为[1.+∞）．【点评】：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题.两个集合的并集的定义.属于基础题．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：取特殊值法可判断① ；利用基本不等式可判断② ；利用反证法.推出a+b≤2.与已知a+b＞2矛盾.从而可判断③ ④ ；．【解答】：解：已知a＞0.b＞0.a+b＞2.取a=2.b= 18 .则ab= 14＜1.故① 错误；a2+b2=（a+b）2-2ab≥（a+b）2-2 (a+b2)2= (a+b)22＞2.故② 正确；假设1a 和1b都不小于1.则1a≥1. 1b≥1.所以0＜a≤1.0＜b≤1.所以0＜a+b≤2.与a+b＞2矛盾.所以假设不成立.所以1a 和1b中至少有一个数小于1.故③ 正确；假设1+ab . 1+ba都不小于2.则1+ab≥2. 1+ba≥2.∵a＞0.b＞0.∴1+a≥2b.1+b≥2a.两式相加得：2+a+b≥2（a+b）.解得a+b≤2.这与已知a+b＞2矛盾.故假设不成立.∴ 1+ab . 1+ba中至少有一个小于2.故④ 正确．故正确结论的序号为② ③ ④ ．故答案为：② ③ ④ ．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用.反证法的应用.考查逻辑推理能力以及计算能力．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为（x+1）（x-4）≥0.求出解集即可；（2）不等式化为x2-x+1＞0.利用判别式求出不等式的解集；（3）讨论a的取值.从而求出不等式x2≤a的解集．【解答】：解：（1）不等式x2-3x-4≥0可化为（x+1）（x-4）≥0.解得x≤-1或x≥4.所以不等式的解集为{x|x≤-1或x≥4}；（2）不等式-x2+x-1＜0可化为x2-x+1＞0.△=（-1）2-4×1×1=-3＜0.所以不等式的解集为R；（3）当a≥0时.解不等式x2≤a.得- √a≤x≤ √a；当a＜0时.不等式x2≤a无解；所以.a≥0时.不等式x2≤a的解集为-x|- √a≤x≤ √a }；a＜0时.不等式x2≤a的解集为∅．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了运算求解能力.是基础题．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）将1代入x2-（a+1）x-a＞0.解得即可.（2）集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.当x=2满足.x=3不满足时.或当x=2不满足.x=3满足时.解不等式组可得．【解答】：解：（1）1∈A .将1代入x 2-（a+1）x-a ＞0得1-（a+1）-a ＞0.解得a ＜0. 即a 的范围为（-∞.0）（2）集合B={2.3}.且A∩B 中恰好只有1个元素. 则说明x 2-（a+1）x-a ＞0有1个元素是2或3. 则当x=2满足.x=3不满足时.∴ {22−2(a +1)−a ＞032−3(a +1)−a ≤0 .即 {a ≥32a ＜23.此时解集为∅. 则当x=2不满足.x=3满足时.∴ {22−2(a +1)−a ≤032−3(a +1)−a ＞0 .解得 23 ≤a ＜ 32 . 综上所述a 的取值范围为[ 23 . 32 ）．【点评】：本题考查了元素和集合的关系.属于基础题． 18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R +． （1）求x 2+y 2+xy 的最小值； （2）求 √x +√y 的最大值； （3）求x （1-3y ）的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy.然后利用基本不等式即可求解； （2）（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy .然后利用基本不等式即可求解； （3）由x （1-3y ）=（1-y ）（1-3y ）=3y 2-4y+1.然后结合二次函数的性质可求解．【解答】：解：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy≥1-（ x+y 2 ）2= 34.当且仅当x=y= 12 时.取得最小值 34 ；（2）因为x+y=1.x.y∈R +.所以（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy ≤1+x+y=2.当且仅当x=y 时取等号.此时取得最大值2；（3）∵x.y∈R+.x+y=1.∴x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1.结合二次函数的性质可知.当y= 23时取得最小值- 13．【点评】：本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用.属于基础题．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知函数过定点可得一个关于m.n的等式.再利用二次函数恒成立问题可再建立一个关于m.n的关系式.两式结合即可求解.（2）联立直线方程和二次函数方程可得一个关于x的二次方程.而x1.x2为该方程的根.则可由根与系数的关系得x1.x2的和与积.再利用立方和公式展开x 13+x23 .进而可以求解．【解答】：解：（1）由已知函数过点（1.0）可得：m+n+1=0… ① .又对任意x∈R.总有y≥0.则△=m2-4n≤0… ② .由① 得n=-1-m.代入② 得：m2+4m+4≤0.即（m+2）2≤0.所以m+2=0.则m=-2.n=1.故m.n的值分别为-2.1；（2）由（1）可得y=x2-2x+1.与y=kx+2联立方程可得：x2-（k+2）x-1=0.则方程的根为x1.x2.由根与系数的关系可得：{x1+x2=k+2 x1x2=−1 .所以x 13+x23 =（x1+x2）（x 12 -x1x2+x 22）=（k+2）[（x1+x2）2-3x1x2] =（k+2）[（k+2）2+3]=14.令k+2=t.则t3+3t-14=0.即t3-8+3t-6=（t-2）（t2+2t+4）+3（t-2）=（t-2）（t2+2t+7）=0.显然t-2=0.即t=2.所以k+2=2.即k=0.故实数k的值为0．【点评】：本题考查了二次函数的性质.涉及到恒成立问题以及立方和公式和高次方程求解等问题.考查了学生的运算转化能力.属于中档题．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解A-B.B-A；（2）由Q-P=∅.结合定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解实数a的取值范围．【解答】：解：（1）由定义A-B={x∈A且x∉B}．集合A=（-1.1）.B=（0.2）.∴A-B=（-1.0].B-A=[1.2）．（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}={x|（x-2a）（x+a）≥0}.Q=[1.2].由Q-P=∅.可得Q⊆P.当a=0时.P=R.满足Q⊆P；当a＜0时.P={x|x≤2a或x≥-a}.由Q⊆P.可得{a＜0−a≤1.解得-1≤a＜0.当a＞0时.P={x|x≤-a或x≥2a}.由Q⊆P.可得{a＞02a≤1.解得0＜a≤ 12.综上可得.实数a的取值范围[-1. 12]．【点评】：本题考查对新定义的理解和应用.是基础题.解题时要认真审题．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．【正确答案】：【解析】：（1）直接由新定义可求解；（2）等价转化为-1＜x+y1+xy＜1求证；（3）先判断x*y满足交换律和结合律.得到所要求解的式子结果唯一.再利用定义求解．【解答】：解：（1）0* 13 = 0+131+0•13=13. 12∗13=12+131+12•13=57；（2）证明：∵-1＜x＜1.-1＜y＜1.∴-1＜xy＜1.x-1＜0.y-1＜0.∴1+xy＞0.（x-1）（y-1）＞0.∴xy-（x+y）+1＞0.∴1+xy＞x+y.∴ x+y1+xy＜1．同理：（x+1）（y+1）＞0.即xy+（x+y）+1＞0.∴（x+y）＞-（1+xy）.∴ x+y1+xy＞−1 .∴ −1＜x+y1+xy＜1 .∵ x∗y=x+y1+xy.∴∀x.y∈（-1.1）.都有x*y∈（-1.1）成立．（3）由已知可得x*y=y*x.满足交换律．∵（x*y）*z= x+y1+xy ∗z =x+y1+xy+z1+x+y1+xy×z=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.x*（y*z）=x* y+z1+yz =x+y+z1+yz1+x×y+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.∴（x*y）*z=x*（y*z）.满足结合律．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6有唯一值．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6= (−57)∗(−16)∗(−14)∗12∗13∗14=(−57)+(−16)1+(−57)×(−16)* (−14)+121+(−14)×12*13+141+13×14= (−3747)∗27∗713=(−3747)+271+(−3747)×27∗713=(−1117)∗713=−(1117)+7131+(−1117)×713=−16 ．∴x 1*x 2*x 3*x 4*x 5*x 6的所有可能值构成的集合为{ −16}．【点评】：本题考查对新定义的理解.属于中档题．。

2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．33．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜07．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为．12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有.（填上正确选项序号即可）三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】由α的范围求出π﹣α的范围，进而看可确定π﹣α的范围．【解答】解：因为×3，k∈Z，所以﹣＜π﹣α＜﹣2kπ，k∈Z，所以π﹣α为第四象限．故选：D．2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】根据题意可得a＞2，即可判断正确的选项．【解答】解：∵集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，∴a＞2，∴a的值可以为3．故选：D．3．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）【答案】B【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：由a＞b＞c，当c＝0时，故A不成立；∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b，故B成立；∵b＞c，∴﹣b＜﹣c，∴a﹣b＜a﹣c，故C不成立；例如a＝1，b＝0，c＝﹣1，则c（b﹣a）＝1，a（b﹣c）＝1，故D不成立．故选：B．4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，进而根据两角和的余弦公式即可得到结论．【解答】解：因为点P（3，﹣4）是角α终边上一点，所以sinα＝＝﹣，cosα＝＝，所以＝cosαcos﹣sinαsin＝（cosα﹣sinα）＝（+）＝．故选：B．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出sinα＝，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：sinα＝等价于或，所以“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜0【答案】C【分析】结合指数函数为y＝0.3x的单调性即可比较x，y的大小．【解答】解：因为y＝0.3x在R上单调递减，且0.3x＞0.3y＞0.30，所以x＜y＜0．故选：C．7．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由正弦函数的对称性可令2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t，再通过k的取值可得结论．【解答】解：由正弦函数的对称性可得2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t＝+，k∈Z，当k＝0时，t＝，故选：B．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）【答案】B【分析】先求函数的对称轴，然后结合函数取得最大于最小值的位置即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣4x的开口向上，对称轴x＝2，且f（0）＝f（4）＝0，f（2）＝﹣4，∵函数f（x）在[0，m]内的值域为[﹣4，0]，则实数2≤m≤4故选：B．9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【答案】C【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．【解答】解：y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x＝0时，e b＝192，当x＝22时e22k+b＝48，∴e22k＝＝e11k＝e b＝192当x＝33时，e33k+b＝（e11k）3•（e b）＝（）3×192＝24故选：C．10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]【答案】A【分析】根据该分段函数的性质，由函数零点问题转化为函数图像交点问题，由F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇函数的性质，转化为x∈（0，2]时有两解，结合函数图像即可得解．【解答】解：由F（﹣x）＝f（﹣x）﹣f（x）＝﹣[f（x）﹣f（﹣x）]＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，根据对称性可得x∈（0，2]时有两个零点即可，令F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝0，可得f（x）＝f（﹣x），若x∈（0，2]则﹣x∈[﹣2，0），即有两解，结合对称性可得：如图所示可得：，所以0＜a＜2．故选：A．二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为π．【答案】见试卷解答内容【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论．【解答】解：根据三角函数的周期公式可得函数的周期T＝，故答案为：π12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝0．【答案】0．【分析】首先计算f（x）+f（﹣x）的和为常数，再由已知条件可得所求值．【解答】解：函数f（x）＝a sin x+bx+1，则f（﹣x）+f（x）＝a sin（﹣x）+b（﹣x）+1+a sin x+bx+1＝（﹣a sin x+a sin x）+（﹣bx+bx）+2＝2，所以f（1）+f（﹣1）＝f（1）+2＝2，解得f（1）＝0．故答案为：0．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．【答案】．【分析】由正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间，再由集合的包含关系，解不等式可得所求最大值．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+），可令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，由题意可得[﹣，m]⊆[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，即有kπ﹣≤﹣且m≤kπ+，k∈Z，即k≤，可得k＝0时，m取得最大值，故答案为：．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．【答案】；【分析】（1）由题意可得m＝3，则可得y＝3f（x）的解析式，求解3f（x）≥2，即可得答案．（2）先分析有效治疗末端时间点，由此列出满足再服用m个单位药剂后，接下来2个小时能㫃持续有效的不等式，利用恒成立求得m的范围，即可得答案．【解答】解：（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则m＝3，所以当0≤x＜6时，，当6≤x≤8时，令，解得，当6≤x≤8时，令，解得，所以若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，则m＝2，所以，此时，所以治疗时间末端为第6小时结束，因为在治疗时间末端再服用m个单位药剂，所以6≤x≤8，所以，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，设，为开口向上，对称轴为x＝4的抛物线，所以g（x）在[6，8]上单调递增，所以，故，所以m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有②③.（填上正确选项序号即可）【答案】②③．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据三角函数图像和图像的变换即可求解．【解答】解：①y＝cos2x＝cos2x+，其可由y＝cos2x先纵坐标缩小一半，再向上平移得到，二者不是同形函数，故①错误；②y＝2sin x cos x＝sin2x＝cos（2x﹣），可由y＝cos2x向右平移个单位得到，故②正确；③y＝sin4x﹣cos4x＝（sin2x2）（sin2x﹣cos2x）＝sin2x+cos2x＝﹣cos2x＝cos（2x+π），可由y＝cos2x向左平移个单位得到，故③正确；④y＝sin2x•tan x＝2sin x cos x•＝2sin2x＝1﹣cos2x＝cos（2x+π）+1，因为y＝sin2x•tan x的定义域不是R，而cos2x的定义域是R，所以不可能平移得到．故④错误；综上所述，②③正确．故答案为：②③．三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝﹣；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．【答案】（Ⅰ）（1）；（2）﹣；（Ⅱ）（1）[﹣1，4]；（2）当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．【分析】（Ⅰ）（1）根据对数定义计算即可；（2）根据诱导公式计算即可；（∐）（1）根据一元二次不等式运算即可；（2）根据一元二次不等式解法对a进行讨论运算即可．【解答】解：（Ⅰ）（1）log93＝；（2）＝﹣cos＝﹣；（Ⅱ）（1）一元二次方程x2﹣3x﹣4的解为﹣1，4，结合二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图像可得一元二次不等式x2﹣3x﹣4≤0的解集为[﹣1，4]；（2）关于x的不等式x2≥ax即为x（x﹣a）≥0，当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）1．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而根据两角和的正切公式即可求解的值．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα，所以tanα＝﹣2，所以＝＝＝﹣．（Ⅱ）因为α为第二象限角，所以∈（kπ+，kπ+），k∈Z，是第一或第三象限角，所以＝﹣＝＝＝＝＝1．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．【答案】（I）a＝2；（II）a＝或a＝．【分析】（I）由已知f（2）＝2（II）结合对数函数的单调性对a进行分类讨论，结合对数的运算性质可求．【解答】解：（I）因为f（2）＝log a（2+a）＝2，所以a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或a＝﹣1（舍），（II）当a＞1时，f（x）在[1，3]上单调递增，由题意得，，解得，a＝，当0＜a＜1时，f（x）在[1，3]上单调递减，由题意得，，解得，a＝，综上，a＝或a＝．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．【答案】（Ⅰ）2．（Ⅱ）最大值为2+，最小值为0．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行转化求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，根据三角函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝4（sin x+cos x）cos x＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+（1+cos2x）＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，则＝2sin（2×+）+＝2sin+＝2×＝2．（Ⅱ）当x∈时，2x∈[0，π]，2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[sin，sin]，即sin（2x+）∈[﹣，1]，则2sin（2x+）∈[﹣，2]，2sin（2x+）+∈[0，2+]，即f（x）的最大值为2+，最小值为0．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）【答案】（I）a＝1，b＝﹣1；（II）1．【分析】（1）把已知点的坐标直接代入即可求解a，b；（II），由题意可得相应方程只有一个解，然后结合二次方程根的存在条件可得m，k的关系，再结合二次函数的性质可求．【解答】解：（I）由题意得，，解得，a＝1，b＝﹣1；（II）由题意得，T（﹣，0），k≠0，由x﹣＝kx+m只有一个解，即（k﹣1）x2+mx+1＝0只有一个解，因为k≠1，所以Δ＝m2﹣4（k﹣1）＝0，所以|OT|2＝＝＝﹣4（）＝﹣4[（）2﹣，根据二次函数的性质得，当k＝2时，上式取得最大值1，此时|OT|取得最大值1．21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．【答案】（I）；（II）；（III）．【分析】（I）（II）根据定义和条件得到不等式组，求解即得；（III）先找一特例，使得，然后证明不可能更大即可．【解答】解：（I），，；（II）若，∴，或，解得或，即实数b的所有可能取值构成的集合；（III）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，当时，，所以．若存在X＝{x1，x2，…，x n}∈Ωn，使得，则，∴，∴，∴，矛盾．所以L的最小值．。

清华附中高一第二学期期末试卷数学（选择题（此题共8个小题，每题5分，共40分）1．以下各角中，是第三象限的角为( ) A ．480-︒ B ．32π C ．720︒ D ．450︒2.已知角α的终边通过点（3，4），那么tan α=（ ）A ． 43B ． 43C ． 34D ． 343．样本中共有五个个体，其值别离为a,0,1,2,3.假设该样本的平均值为1，那么样本方差为 ( )A.65 B.65C. 2 D ．24．甲从正方形四个极点中任意选择两个极点连成直线，乙也从该正方形四个极点中任意选择两个极点连成直线，那么所得的两条直线彼此垂直的概率是( )A.318 B.418 C.518 D.6185．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法取得的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的选项是( )A ．直线l 在y 轴上的截距是回归系数B ．x 和y 的回归系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，散布在l 双侧的样本点的个数必然相同D ．直线l 过点(x ，y )6．用秦九韶算法求多项式f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1在x ＝0.4时的值时，需要做的乘法和加法的次数别离是( )A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,57．为了取得函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像( )A 向左平移4π个长度单位B 向右平移4π个长度单位结束开始是否输入两个数a 和b输出a输出2bC 向左平移2π个长度单位 D 向右平移2π个长度单位 8． 在实数的原有运算法那么中，咱们补充概念新运算b a ⊗,运算原理如右图所示，那么函数)100(lg )45(tan)(x x x x f ⊗-⋅⊗=π（]2,2[-∈x ）的最大值等于（“•”和“-”仍为通常的乘法和减法）( ) A ．1- B ．1 C ．6 D ．12一、 填空题（此题共6个小题，每题5分，共30分） 9．函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为 10．中央电视台青年歌手大奖赛的9位评委为参赛选手甲给出的分数，如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发觉有一个数字(茎叶图中的x )无法看清．假设记分员计算无误，那么数字x 应该是________．11．如图，单摆的摆线离开平稳位置的位移S (厘米)和时刻t (秒)的函数关系是2sin(2),[0,)4S t t π=+∈+∞，那么摆球往复摆动一次所需要的时刻是_____秒．12．某程序框图如下图，现输入如下四个函数：2()f x x =，1()f x x=，()e xf x =，()sin f x x =，那么能够输出的函数是 .13．已知12,(0,)x x π∈且12x x <，那么以下五个不等式：①1212sin sin x x x x <；②12sin sin x x <； ③12121(sin sin )sin()22x x x x ++<；④12sin sin 22x x >； ⑤1212sin sin 22x x x x >． 其中正确的序号是 ．14. 设函数()sin |sin |4f x x x a =--,假设1a =时,()f x 的最小值是 ；假设对任意[0,]2x π∈，()0f x ≤恒成立，那么实数a 的取值范围是 . 二、 解答题（此题共6个小题，共80分） 15．(本小题总分值13分)假设函数如下，那么)sin(ϕω+=x A y (0,0ωϕπ><<)在一个周期内的图象（1）写出函数的周期；（2）求函数的解析式； （3）求函数的单调增区间.16．(本小题总分值13分)为了解学生身高情形，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情形的统计图如图： (1)估量该校男生的人数；(2)估量该校学生身高在170～185cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 之间的概率． 17. (本小题总分值14分)已知2tan =α，求 （1）4sin()2cos 5sin 3cos()παααα-++-的值；（2）2cos sin 3sin 52-+ααα的值.18．(本小题总分值13分)从参加高一年级某次模块考试中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率散布直方图如下图．(1)估量这次测试数学成绩的平均分；(2)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同，且都在96分以上．现用简单随机抽样的方式，从94,95,96,97,98,99这6个数中任取2个数，求这两个数恰好是在[90,100]段的两个学生的数学成绩的概率． 19．(本小题总分值13分)已知c bx x x f R c b ++=∈2)(,,，对任意R ∈βα,，都有0)cos 2(,0)(sin ≤+≥βαf f（1）求)1(f 的值； （2）证明：3≥c ；（3）设)(sin αf 的最大值10，求)(x f .20．(本小题总分值14分)已知函数)(x f ，若是存在给定的实数对（b a ,），使得对)(x f ，(),()f a x f a x +-有概念的所有x 都有()()f a x f a x b ++-=恒成立，那么称)(x f 为“п-函数”. （Ⅰ）判定函数12()2sin ,()ln f x x f x x ==是不是是“п-函数”；（Ⅱ）假设x x f tan )(3=是一个“п-函数”，求出所有知足条件的有序实数对),(b a (参考公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+)；（Ⅲ）假设概念域为R 的函数)(x f 是“п-函数”，且存在知足条件的有序实数对)1,0(和(1,2).当(0,1]x ∈时，[-∈x时函数) )2012(x,f的值域为]2,1[，求当]2012f的值域.(x。

2024北京清华附中高三（上）开学考数 学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}1,0,1A =−，集合2{|20}B x Z x x =∈−≤，那么A B 等于（ ）A. {}1−B. {}01，C. {}0,1,2D. {}1,0,1,2−2. 设复数z 满足()22i z i −=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设R a b c ∈,,，且b c >，下列不等式恒成立的是（ ） A. 22a b a c +>+ B. 22a b a c +>+ C. 22ab ac >D. 22a b a c >4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ()ln f x x =− B. 1()2xf x =C. 1()f x x=−D. |1|()3x f x −=5. 若圆22860x x y y m ++−+=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A. (],9−∞B. (],16−∞C. [)9,25D. [)16,256. 已知抛物线24x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，6AF =，则线段AF 的中点的纵坐标为（ ） A.52 B.72C. 3D. 47. 在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +−=−，则C ∠=（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI 算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行155104⨯次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行1282次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：lg 20.301≈，0.43110 2.698≈）（ ） A. 222.69810⨯秒B. 232.69810⨯秒C. 242.69810⨯秒D. 252.69810⨯秒10. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11. 已知双曲线C 的焦点为(2,0)−和(2,0)C 的方程为____________． 12. 已知平面内四个不同的点,,,A B C O 满足.AO BO CO ==，若()12AO AB AC =+，则,AB AC =______.13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍[chúméng]”的五面体（如下图），四边形ABCD 为矩形，棱//EF AB .若此几何体中，6,2AB EF ==，ADE 和BCF 都是边长为4的等边三角形，则此几何体的体积为______.14. 已知函数1,()22,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩， ①当0a =时，()f x 的值域为______；②若关于x 的方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根，则a 的取值范围是______. 15. 已知数列{}n a 满足()2111,21,2,3,2n n a a a a n +==+=，则①当1a =−时，存在*k ∈N ，使得2k a =： ②当1a =时，{}n a 为递增数列，且2n a <恒成立； ③存在a ∈R ，使得{}n a 中既有最大值，又有最小值； ④对任意的a ∈R ，存在*0n ∈N ，当0n n >时，122024n a −<恒成立. 其中，所有正确结论的序号为______.三、解答题共6道小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16. 已知函数2πs )in(22sin 2π())(6f x x x λωω=−+−，其中,0λω∈>R .请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个．．作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定，并解答下列问题. 条件①：1(0)2f =；条件②：()f x 1−；条件③：()f x 在区间[],a b 上单调，且b a −最大值为π2； （1）求函数()f x 的对称中心； （2）若方程1()2f x =在区间()0,m 内有且仅有1个实根，求m 的取值范围. 17. 在四棱锥P ABCD −中，,E F 分别为,AC PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，BC PC ⊥.（1）若//DE 平面PBC ，求证：AD DC =；（2）若2AC BC ==，直线BC 与平面AFC 所成的角为45︒，求PA 的长.18. 某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：（1）从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率； （2）从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率； （3）从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为1p ，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为2p ，试判断1p 和2p 的大小（结论不要求证明）.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右顶点分别为12,A A .上、下顶点分别为12,B B ，且112A B B 面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上一点（不与顶点重合），直线1B P 与x 轴交于点M ，直线1A P 、1B P 分别与直线22A B 交于点N 、D ，求证：1A DN 与2B DM △的面积相等.20. 设函数()()e xf x x a =−，l 为曲线():C y f x =在1x =−处的切线.（1）求l 的方程； （2）求()f x 的极值；（3）若曲线C 除了切点之外都在直线l 的上方，求实数a 的取值范围.21. 设*,m n ∈N ，且,m n 都是奇数，m 行n 列的数表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足.对任意的{}{}1,2,,,1,2,,i m j n ∈⋯∈⋯，都有{}1,1ij a ∈−.记1212,i i i in j j j mj S a a a T a a a =+++=+++，若0i S >，则称第i 行为“正行”，若0j T <，则称第j 列为“负列”，记A 中正行与负列的数目之和为()G A .（1）设1211111111111,1111111111111A A −−−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭，直接写出()()12,G A G A 的值： （2）求证：()1G A ≥； （3）求()G A 的最大值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】D【分析】先解不等式化简集合B ，再由并集的概念，即可得出结果.【详解】∵集合{}1,0,1A =−，集合{}{}{}220020,1,2B x Z x x x Z x =∈−≤=∈≤≤=，∴{}1,0,1,2A B ⋃=−. 故选：D. 2. 【答案】A【分析】利用复数的乘除法运算法则化简，根据几何意义确定z 在复平面内对应的点所在象限． 【详解】由()()()()2223434222555i i i i i i i z i ++++====+−−+， 则z 在复平面内所对应的点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ． 3. 【答案】B【分析】选项A ，B ，C ，通过取特殊值，即可判断出正误；选项B ，利用不等式的性质，结合条件，即可判断出正误.【详解】对于选项A ，取1,2b c =−，显然满足b c >，但2214a a a c b a =+<+=++，所以选项A 错误，对于选项B ，因为b c >，由不等式的性质知22a b a c +>+，所以选项B 正确，对于选项C ，取1,1,2a b c ===−，显然满足b c >，但221,4ab ac ==，此时22ab ac <，所以选项C 错误，对于选项D ，取0,1,2a b c ===−，显然满足b c >，此时22a b a c =，所以选项D 错误， 故选B. 4. 【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =−在()0,∞+上单调递减， 所以()ln f x x =−在()0,∞+上单调递减，故A 错误； 对于B ，因为2xy =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减， 所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =−在()0,∞+上单调递减， 所以()1f x x=−在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f −⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f −−=====，显然()13x f x −=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C. 5. 【答案】A【分析】利用圆的一般方程满足的条件得到25m <，再分别令0,0y x ==，利用0∆≥，即可求出结果. 【详解】因为22860x x y y m ++−+=表示圆，所以643640m +−>，得到25m <， 令0y =，得到280x x m ++=，则6440m ∆=−≥，得到16m ≤， 令0x =，得到260y y m −+=，则3640m ∆=−≥，得到9m ≤， 所以9m ≤， 故选：A. 6. 【答案】C【分析】根据抛物线定义求得点A 的纵坐标，再求AF 中点纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，又16A AF y =+=，解得5A y =，故线段AF 的中点的纵坐标为1532+. 故选：C. 7. 【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +−=−，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +−=−，即222a c ab b −=−，则222a b c ab +−=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +−===，又0πC <<，所以π3C =. 故选：B. 8. 【答案】A【分析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解. 【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++−=+−−⇔2cos()sin()0αβαβ+−=，则sin()0αβ−=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ−=得,k k k Z αβπαβπ−=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=−+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集. 9. 【答案】B【分析】设所需时间为t 秒，则1512851024t ⋅⨯=，然后两边取对数化简计算即可【详解】设所需时间为t 秒，则1512851024t ⋅⨯=，lg lg 52lg 215128lg 2t +−+=，∴lg 131lg 216t =−，lg 1310.3011623.431t ≈⨯−=，∴23.4310.4312323101010 2.69810t ≈=⨯=⨯∴秒， 故选：B. 10. 【答案】B【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解.【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：ABCDEFG ， 每相邻的3人取成一组，则有,,,,ABC BCD CDE DEF EFG 5组，因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生， 即ABBCCCDDDEEEFFG 这15人中至少有10名男生； 每相邻的5人取成一组，则有,,ABCDE BCDEF CDEFG 3组，因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生， 即ABBCCCDDDEEEFFG 这15人中至多有9名男生； 显然矛盾，故人数不可能大于6，当人数为6时，用1表示男生，0表示女生，则可以101101. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解.二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11.【答案】22122x y −=【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长，再写出C 的方程作答.【详解】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C ，得ca=a =b == 所以双曲线C 的方程为22122x y −=.故答案为：22122x y −=12. 【答案】π2【分析】利用()12AO AB AC =+，得到O 为BC 的中点，再利用AO BO CO ==，得π2BAC ∠=，即可求解.【详解】因为()12AO AB AC =+，所以O 为BC 的中点，又AO BO CO ==， 所以,OBA OAB OCA OAC ∠=∠∠=∠，又2πOBA OAB OCA OAC AOB AOC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=， 而πAOB AOC ∠+∠=，所以π2OBA OCA ∠+∠=，故π2BAC ∠=，所以π,2AB AC =，故答案：π2.13. 【答案】3【分析】过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连结PF ，过F 作FQ AB ⊥，垂足为Q ，连结OQ ，延长QO 交CD 于点G ，连接FG .把此“刍甍”分为两侧各一个四棱锥，中间一个三棱柱.再分别求出四棱锥和三棱柱的体积得解.【详解】过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连结PF ，过F 作FQ AB ⊥，垂足为Q ，连结OQ ，延长QO 交CD 于点G ，连接FG . 因为ADE 和BCF 都是边长为2的等边三角形，所以11()2,222OP AB EF PF OQ BC =−====， 因为FO ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面ABCD , 所以FO OP ⊥,OF ∴===如图，把此“刍甍”分为两侧各一个四棱锥，中间一个三棱柱. 因为FQ AB ⊥，FO AB ⊥,,FQ FO ⊂平面,FGQ FQ FO F =,所以AB ⊥平面,FGQ 因为GQ ⊂平面,FGQ 所以AB GQ ⊥,所以四边形BCGQ 是矩形.1124242323V =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=.故答案为：3. 14. 【答案】 ①. (0),+∞ ②. [)1,1−【分析】①当0a =时，分别判断两段的值域，取并集得()f x 的值域；②方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根，作出12,2,,22xx y x y x y y ⎛⎫==−== ⎪⎝⎭的图象，结合函数图象判断出a 的取值范围.【详解】①当0a =时，f(x)={(12)x,x ≤02x,x >0，当0x ≤时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数单调递减，01()12f x ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， 当0x >时，()2f x x =，函数单调递增，()0f x >， 所以()f x 的值域为(0),+∞；②函数1,()22,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩， 在同一坐标系中，分别作出函数12,2,,22xx y x y x y y ⎛⎫==−== ⎪⎝⎭的图象， 其中函数2y x =与2xy =的图象相交于点()1,2和()2,4，函数2y x =−与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象相交于点()1,2−和()2,4−， 函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2xy =的图象相交于(0,1)，函数2y x =与2y x =−的图象交于()00，，又关于x 的方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根，当1a ≥时，(),()y f x y f x =−=在同一坐标系中的图象如图1，由图知，不合题意，当01a ≤<时，(),()y f x y f x =−=在同一坐标系中的图象如图2，结合图象可知方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根， 为2x =−，1x =−，0x =，1x =和2x =，满足题意， 当10a −≤<时，(),()y f x y f x =−=在同一坐标系中的图象如图3，结合图象可知方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根， 为2x =−，1x =−，0x =，1x =和2x =，满足题意，当1a <−时，(),()y f x y f x =−=在同一坐标系中的图象如图4，由图知，不合题意，综上所述，a 的取值范围为[)1,1−. 故答案为：(0),+∞；[)1,1−. 15. 【答案】②③④【分析】对于①②，根据数列递推式，求出121432n na −⎛⎫=−⨯ ⎪⎝⎭，结合题意，即可判断；对于③，举出特例，即可判断；对于④，分12a =±和12a ≠±情况讨论，结合数列的项的变化情况，即可判断.【详解】对于①，由于()2111,21,2,3,2n n a a a a n +==+=，故10,1n a n +>≥，则221122n n a a +=+，则()2211442n n a a +−=−，结合1a =−， 则{}24n a −是以2143a −=−为首项，公比为12的等比数列， 则1122,11434322n n n n a a −−⎛⎫⎛⎫−=−⨯=−⨯ ⎪⎪⎝⎭∴⎝⎭，令1224143n na −⎛⎫=−⨯ ⎝⎭=⎪，则10132n −⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=−，n 不存在，故不存在*k ∈N ，使得2k a =，①错误；对于②，当1a =时，由①知，{}24n a −是以2143a −=−为首项，公比为12的等比数列， 则1122,11434322n n nna a −−⎛⎫⎛⎫−=−⨯=−⨯ ⎪ ⎪⎝⎭∴⎝⎭，则1221111434330222nn nn naa −+⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−⨯−+⨯=⨯> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得221n n a a +>，故{}n a 为递增数列，而1214342n na −⎛⎫=−⨯< ⎪⎝⎭，故2n a <恒成立，②正确； 对于③，当12a =−时，当1n ≥时，12n a +==， 此时{}n a 中有最大值2，有最小值为-2，即存在a ∈R ，使得{}n a 中既有最大值，又有最小值，③正确；对于④，由①知，()2211442n n aa +−=−， 当12a =±时，当1n ≥时，12n a +==，符合题意； 当12a ≠±时，()1221442n na a −⎛⎫=−⨯+ ⎪⎝⎭，随着n →+∞，24n a →，又10,1n a n +>≥，则2n a →，则必存在*0n ∈N ，当0n n >时，122024n a −<恒成立 综合以上对任意的a ∈R ，存在*0n ∈N ，当0n n >时，122024n a −<恒成立，④正确， 故选：②③④三、解答题共6道小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16. 【答案】（1）ππ(,1)(Z)62k k −+−∈； （2）ππ6m <≤. 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简函数()f x ，选②求得两个λ值，对应两个不同函数，不符合题意，由条件①③求出函数式，再借助正弦函数性质求出对称中心. （2）确定函数()f x 相位的范围，由零点情况列式求出m 范围. 【小问1详解】依题意，π1()(2)1()221cos 2cos c 2os 3x x x x f x ωλωωωλ=+−−=++−，若选②，max ()11f x ==，解得1λ=或2λ=−，当1λ=时，π())13f x x ω=+−，当2λ=−时，π())13f x x ω=−−，因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选；于是选条件①③，由①知，11(0)22f λ=−=，解得1λ=，π())13f x x ω=+−，由③知，函数()f x 的最小正周期为π，即2ππ2ω=，解得1ω=，π())13f x x =+−，函数()f x 唯一确定， 由π2π,Z 3x k k +=∈，得ππ,Z 62k x k =−+∈， 所以函数()f x 的对称中心为ππ(,1)(Z)62k k −+−∈. 【小问2详解】由（1）知，π())13f x x =+−，由1()2f x =，得πsin(2)3x +=，当(0,)x m ∈时，πππ2(,2)333x m +∈+，依题意，πsin(2)32x +=在()0,m 内有且仅有1个实根， 则2ππ7π2333m <+≤，解得ππ6m <≤， 所以m 的取值范围是ππ6m <≤. 17. 【答案】（1）证明见解析 （2）2【分析】（1）根据条件得到BC AC ⊥，利用线面平行的性质得到//DE BC ，即可证明结果；（2）过B 作BH ⊥面AFC 于H ，连接HC ，则BCH ∠为直线BC 与平面AFC 所成的角，从而有π4BCH ∠=，得到HC HB ==，设PA a =，根据条件得到AFCS =法，即可求解. 【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，又⊂BC 面ABCD ，所以PA BC ⊥， 又BC PC ⊥，=PAPC P ，,PA PC ⊂面PAC ，所以⊥BC 面PAC ，又AC ⊂面PAC ， 所以BC AC ⊥，又//DE 平面PBC ，DE ⊂面ABCD ，面ABCD 面PBC BC =，所以//DE BC ，故DE AC ⊥，又E 是AC 的中点， 所以AD DC =. 【小问2详解】过B 作BH ⊥面AFC 于H ，连接HC ，则BCH ∠为直线BC 与平面AFC 所成的角，所以π4BCH ∠=，又2AC BC ==，所以HC HB ==设PA a =，由（1）知BC AC ⊥，所以AB ==，又PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以PA AB ⊥，又F 为PB 中点，所以12AF PB ==BC PC ⊥，所以12CF PB ==，得到FE AC ⊥，又2AC =，所以EF ==122AFCS=⨯= 又12222ACBS=⨯⨯=，由F ABC B AFC V V −−=，得到112323a ⨯⨯=24a =， 所以2a =.18. 【答案】（1）12（2）37108（3）21p p <【分析】（1）利用图表及古典概型计算即可；（2）分类讨论结合相互独立事件的乘法公式计算即可； （3）依次分类讨论计算12,p p 并比大小即可. 【小问1详解】由图表可知从样本空间中随机抽取一名学生， 科普过程性积分不低于2分的人数的频率为20101602+=， 所以估计全校学生中随机抽取一人，该生科普过程性积分不低于2分的概率为12； 【小问2详解】随机抽取三人，得分为6分的可能有： 情况1：1人0分，2人3分；情况2：1人1分，1人2分，1人3分； 情况3：3人都是2分，结合图表知得0分，1分，2分，3分的概率分别为151151101201,,,604604606603p p p p ''''''========， 所以随机抽取3人得6分的概率为2311133211111137C C C 434636108p ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 【小问3详解】根据题意从样本中科普过程性积分不低于1分的学生中抽取1人，得1分、2分、3分的频率依次为124,,399，所以从全校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取1名学生其积分，为1分、2分、3分的概率估计依次为124,,399， 则任意取2名同学，其积分之差的绝对值不超过1的可能有：{1分，1分}；{1分，2分}；{2分，2分}；{2分，3分}；{3分，3分}五种可能， 即111122224445722333999999981p =⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=， 任意取2名同学，其积分之差的绝对值不低于1的可能有：{1分，2分}；{1分，3分}；{2分，3分}三种可能， 即21214245222239399981p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 显然21p p <.19. 【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【分析】（1）由题意列出关于,,a b c 的方程组，求出,a b 即可得解；（2）由题意引入参数k 表示1B P 的斜率，进一步表示出,,,M D P N 的坐标（含参），结合弦长公式、点到直线的距离公式表示两个三角形的面积即可得证. 【小问1详解】由题意可得2221222a b c ca ab ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩，注意到0a b >>，0c >，解得2,1,a b c ===2214x y +=； 【小问2详解】由题意()()()()12122,0,2,0,0,1,0,1A A B B −−，因为点P 不与椭圆顶点重合，所以直线1B P 斜率存在且不为0，且不等于12±，所以设11:1,0,2B P y kx k k ⎛⎫=+≠≠±⎪⎝⎭， 联立()22221148014y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，显然2640k ∆=>， 由韦达定理可知28014P P k x x k −+==+，从而2222814111414P P k k y kx k k−−=+=+=++， 所以222814,1414k k P k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，在1y kx =+中令0y =，得1x k =−，所以1,0M k ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 易知221:12A B y x =−，联立41112212112x y x kk y kx y k ⎧=⎧⎪=−⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=+=⎩⎪−⎩，所以412,1212k D k k +⎛⎫ ⎪−−⎝⎭，注意到直线1A P 的斜率为()()()()()122222214121214121482122144212214A Pk k k k k k k k k k k k k−−+−++====−−−+−++， 所以()()112:2212kA P y x k +=+−，联立()()1112121212122y x x kk y x y k k ⎧⎧=−=−⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪=+=−−−⎪⎪⎩⎩，所以11,12N k k ⎛⎫−−− ⎪⎝⎭， 记点1A 到DN 的距离、点2B 到DM 的距离依次为12,A DN B DM d d −−，则()11111122212A DNA DN kSd DN k k k −+=⋅==−，同理()22111122212B DMB DM kSd DM k k k −+=⋅=+=−， 综上所述，1A DN 与2B DM △的面积相等，命题得证. 20. 【答案】（1）e 120ax y a +++= （2）极小值为1e a −−，无极大值 （3）(],0−∞【分析】（1）求导得()()1e xf x x a =−+'，结合导数的几何意义得切线斜率，利用点斜式写出切线方程即可；（2）利用导数研究极值的方法计算即可；（3）将问题转化为()f x 与切线方程的差函数恒大于等于零，根据1x =−处的相应函数值及零点存在性定理含参分类讨论即可. 【小问1详解】易知()()1e xf x x a =−+'，所以()1eaf '−=−， 又()11eaf +−=−， 所以l 的方程为：()1121e e e ea a a ay x x ++=−+−=−−； 即为e 120ax y a +++=. 【小问2详解】由上知()0f x '=有1x a =−，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以当1x a =−时，函数f x 有极小值，极小值为1e a −−，无极大值； 【小问3详解】若曲线C 除了切点之外都在直线l 的上方，即()()1212e 0ee e e xa a a a f x x x a x ++⎛⎫−−−=−++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =−时取得等号， 令()()12e e exa a g x x a x +=−++，则()()1e e xa g x x a =−++'，令()()1e xh x x a =−+，则()()2e xh x x a =−+'， 令()0h x '=有2=−x a ，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表：所以当2=−x a 时，函数h x 有极小值，极小值为2e a −−，也是最小值， 显然当2x a <−时，()0h x <，且x →−∞时，()h x 无限趋向于零， 又()10h a −=，作出其大致图象如下：若0a ≤，则()g x '可由()h x 向下平移ea−个单位得到，又()10g '−=， 此时在(),1∞−−上()g x 单调递减，()1,∞−+上()g x 单调递增， 所以()()10g x g ≥−=，符合题意；；若0a >，则()g x '可由()h x 向上平移ea个单位得到， 此时令()()e 1e 1xxm x x m x =−−⇒=−'，不难得出0x >时，()0m x '>，即()m x 此时单调递增，0x <时，()0m x '<，即()m x 此时单调递减，即()()00m x m ≥=，所以e 1x x ≥+恒成立， 则()()111min e e e20e e e ea a a a a a g x g a −−−>⇒>⇒=−=−+'<'，由于且x →−∞时，()h x 无限趋向于零，所以当()h x 向上平移时，在(),2a ∞−−之间必有一个零点， 而1x a >−时，()0h x >，所以()2,1a a −−之间也必有一个零点，不妨设两个零点依次为()1212,x x x x <，故在()()12,,,x x ∞∞−+上()0g x '>，即()g x 单调递增，在()12,x x 上()0g x '<，即()g x 单调递减，x →−∞时，()()121e 0,20e e e ex a a a x a x x +−<+=++<，即此时有()0g x <，不符题意；综上0a ≤，所以实数a 的取值范围为(],0−∞. 【点睛】关键点点睛：第三问，问题转化为()120e ea af x x +++≥恒成立求参数范围，再构造函数并讨论参数研究恒成立.21. 【答案】（1）()123,()3G A G A == （2）证明见解析 （3）答案见解析【分析】（1）分别计算数表中各行之和与各列之和，根据“正行”与“负列”条件判断即可； （2）用反证法，从行与列两个角度求数表总和则可推出矛盾；（3）用反证法证明()2G A m n ≤+−，从行列两个角度分析1,1−的个数可推出矛盾，再举出()2G A m n =+−的数表A 即可.【小问1详解】数表1111111111A −−⎛⎫⎪=−− ⎪ ⎪−⎝⎭，由题意可得11S =−，231,1S S =−=，故只有第3行是“正行”；1231,1,1T T T ==−=−，故第2,3列是“负列”，第1列不是“负列”.故()1123G A =+=；数表2111111111111111A −−−⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭，由题意可得11S =−，231,1S S ==−， 故只有第2行是“正行”；123451,1,1,3,1T T T T T ===−=−=，故第3,4列是“负列”，第1,2,5列不是“负列”.故()2123G A =+=.综上所述，()123,()3G A G A ==.【小问2详解】用反证法证明()1G A ≥.由数目之和()G A ∈N ，假设()0G A =，即数表A 没有“正行”，也没有“负列”.即任意1i m ≤≤，0i S ≤，则数表中所有数和10m i i S=≤∑；且任意1j n ≤≤，0j T ≥，则数表中所有数的和10n jj T =≥∑； 故数表中所有数的和为0， 由题意任意的{}{}1,2,,,1,2,,i m j n ∈⋯∈⋯，{}1,1ij a ∈−，即数表中1的个数与1−的个数相同.所以数表中必有偶数个数，但由于,m n 均为奇数，数表中共有mn 个数，mn 为奇数，这与数表中必有偶数个数矛盾.故假设错误，()0G A =不成立.故()1G A ≥成立.【小问3详解】当1n =时，数表为m 行1列数，若()1G A m =+，则各行都为1，则这1列数这和0m >，不可能为“负列”；由数表111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()G A m =. 故当1n =时，()G A 最大为m ；同理可知当1m =时，()G A 最大为n .当3,3m n ≥≥时，()2G A m n ≤+−.下面用反证法证明.假设()1G A m n ≥+−，则满足条件的数表分三类：()G A m n =+，即m 行都是“正行”且n 列都是“负列”；或()1G A m n =+−，其中m 行都是“正行”，1n −列是“负列”；或()1G A m n =+−，其中1m −行是“正行”，n 列都是“负列”.①若()G A m n =+，m 行都是“正行”且n 列都是“负列”：即任意1i m ≤≤，0i S >，则数表中所有数和10m i i S=>∑；且任意1j n ≤≤，0j T <，则数表中所有数的和10n jj T =<∑； 故产生矛盾，此类情况不可能； ②若()1G A m n =+−，m 行都是“正行”且1n −列是“负列”：由m 行都是“正行”，由题意可知，每行各数之和都为正数，由题意任意的{}{}1,2,,,1,2,,i m j n ∈⋯∈⋯，{}1,1ij a ∈−，则每行n 个数中1的个数必大于1−的个数，即至少有12n +个1， 故数表中所有数中至少有(1)2m n +个1； 由1n −列是“负列”，由题意可知这1n −列中每列各数之和都为负数， 则每列m 个数中1−的个数必大于1的个数，即至少有12+m 个1−， 故数表中所有数中至少有(1)(1)2n m −+个1−，则至多有(1)(1)122n m mn m n mn −++−+−=个1； 又(1)110222m n mn m n n ++−+−−=>， 故产生矛盾，此类情况也不可能；③若()1G A m n =+−，其中1m −n 列都是“负列”.由n 列都是“负列”，由题意可知，每列各数之和都为负数，由题意任意的{}{}1,2,,,1,2,,i m j n ∈⋯∈⋯，{}1,1ij a ∈−，则每列m 个数中1−的个数必大于1的个数，即至少有12+m 个1−， 故数表中所有数中至少有(1)2n m +个1−； 由1m −行是“正行”，由题意可知这1m −行中每行各数之和都为正数， 则每行n 个数中1的个数必大于1−的个数，即至少有12n +个1， 故数表中所有数中至少有(1)(1)2m n −+个1，则至多有(1)(1)122m n mn m n mn −+−++−=个1−； 又(1)110222n m mn m n m +−++−−=>， 故产生矛盾，此类情况也不可能；综上所述，假设()1G A m n ≥+−错误，故()2G A m n ≤+−.如下图给出()2G A m n =+−的数表A ：如上图，各行除第12+m 行外，其余都是“正行”；各列除第12n +列外，其余都是“负列”； 故正行与负列的数目之和为()112G A m n m n =−+−=+−.故当3m ≥，且3n ≥时，()G A 的最大值为2m n +−.综上所述，当1n =时，()G A 最大值为m ；当1m =时，()G A 最大值为n ；当3m ≥，且3n ≥时，()G A 的最大值为2m n +−.【点睛】关键点点睛：该题目属于新定义题型，根据对定义的理解，从行与列两个角度的分析求解是解题的关键，如定义中行数m 与列数n 均为奇数的应用；再如第（2）问中从每行与每列各数之和两个角度分别求解总和，从而推出矛盾；又如第三问中从各行与各列两个角度分别探讨1−与1的个数从而推出矛盾，也是从行与列1−与1的个数入手，构造了满足()2G A m n =+−的数表A .。

北京市清华附中高一新生分班考试数学试题一、单选题1=（ ）A B ．a - C ．a D ．2a【答案】B【解析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解.【详解】()()11122222a a a a ⎡⎤=-⋅=-=-⎢⎥⎣⎦.故选：B【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.2．分式221x x x ---的值为0，则x 的值为（ ） A ．1-或2B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】将该分式化为220||10x x x ⎧--=⎨-≠⎩，求解即可. 【详解】2201x x x --=- 220||10x x x ⎧--=∴⎨-≠⎩，解得2x =故选：B【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，涉及了一元二次方程的解法，属于基础题.3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点.若2EF =，5BC =，3CD =，则tan C 等于（ ）A ．43B ．35C ．34D ．45【答案】A【解析】连接BD ，EF 是ABD △的中位线可得BD 的长，根据边长判断90BDC ∠=可得答案.【详解】连接BD ，因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以EF 是ABD △的中位线，24BD EF ==，5BC =，3CD =，所以222BD CD BC +=，所以90BDC ∠=，4tan 3BD C CD == 故选：A.【点睛】本题考查了中位线、三角函数求值问题，属于基础题.4．如图，PA 、PB 是O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，40P ∠=︒，则BAC ∠=（ ）A ．40°B ．80°C ．20°D ．10°【答案】C【解析】由PAB △为等腰三角形求出70PAB ︒∠=，再证明PA AC ⊥，最后由BAC PAC PA ∠=∠-∠得出答案.【详解】,40PA PB P ︒=∠=PAB ∴为等腰三角形，且18040702PAB ︒︒︒-∠== PA 是O 切线，A 为切点，AC 是直径PA AC ∴⊥即907020BAC PAC PAB ︒︒︒∠=∠-∠=-=故选：C【点睛】本题主要考查了圆的几何性质，属于基础题.5．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（ ）A ．12B ．516C ．716D ．34【答案】D【解析】确定抽取两张卡片的情况一共有16种，列举法求出两张卡片之积为偶数的情况共有12种，代入古典概型概率公式求解即可.【详解】抽取两张卡片的情况一共有16种，其中两张卡片之积为偶数的情况有以下几种：()()1,2,1,4,(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，共12种， 故所取两卡片上数字之积为偶数的概率是123164=. 故选：D【点睛】本题考查列举法求古典概型问题的概率，属于基础题.6．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为 （ ）A ．6B ．4C ．5D ．3【答案】A 【解析】先根据矩形的特点求出BE 的长，再由翻折变换的性质得出CEF △是直角三角形，利用勾股定理即可得出CF 的长，再在Rt ABC 中利用勾股定理即可得出AB 的长.【详解】因为四边形ABCD 是矩形，8AD =， AEF 是AEB △翻折而成，所以3,BE EF AB AF ===，CEF △是直角三角形，835CE =-=，在Rt CEF 中，2222534CF CE EF =-=-=，设AB x =，在Rt ABC 中，222AC AB BC =+，即()22248+=+x x ，解得6x =，所以6AB =.故选：A.【点睛】本题主要考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变.属于较易题.7．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ，设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据动点从点D出发，首先向点C运动，此时y随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，当点P在AB上运动时，y随着x的增大而减小，据此作出选择即可．【详解】当点P由点A向点D运动，即0≤x≤4时，y的值为0；当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变；当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．故选：B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势，属于基础题．8．若直角坐标系内两点P、Q满足条件①P、Q都在函数y的图象上，②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）.已知函数2241012x x xyxx⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，则函数y的“友好点对”有（）个A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C【解析】根据“友好点对”的概念知，函数1,02y xx=>的图象关于原点对称的图象与函数2241y x x=++()0x≤的图象的交点个数即为函数y的“友好点对”个数，结合函数图象分析即可. 【详解】根据“友好点对”的概念知，作出函数1,02y xx=>的图象关于原点对称的图象与函数2241y x x =++()0x ≤的图象如下图所示：由图可知它们的交点有两个，所以函数y 的“友好点对”有2对.故选：C【点睛】本题考查函数的图象，理解新定义的概念是解题的关键，属于基础题.二、填空题9．已知a 、b 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，则代数式()()2a b a b ab -+-+的值等于______【答案】1-【解析】根据根与系数的关系求解即可.【详解】根据根与系数的关系得2,1a b ab +==-则()()()()22211a b a b ab a b -+-+=---=-故答案为：1-【点睛】本题主要考查了由一元二次方程的根求值，属于基础题.10．有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示.如果记2的对面的数字为m ，3的对面的数字为n ，则方程1x m n +=的解x 满足1k x k <<+，k 为整数，则k =______【答案】0【解析】由甲、乙、丙的图看出，2和6,1,3,2都相邻，可得出2的对面的数字和3的对面的数字，然后解方程1x m n +=即可.【详解】由图知，2和6,1,3,2都相邻，所以2的对面的数字为4，即m =4，3的对面的数字为6，n =6，所以方程1x m n +=即为146x +=，解得41log 6x +=，即()443log 61log 0,12x =-=∈， 因为x 满足1k x k <<+，k 为整数，所以k =0故答案为：0【点睛】本题主要考查正方体相对面问题以及指数方程的解法，还空间想象和运算求解的能力，属于中档题.11．如图，直角梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，30C ∠=︒，折叠纸片使BC 经过点D ，点C 落在点E 处，BF 是折痕，且8BF CF ==，则AB 的长为______【答案】6【解析】先判断出90BDC ∠=︒，然后在Rt BDF 中求出BD 的长度，继而在Rt ABD △中求出AB ．【详解】8BF CF ==，30FBC C ∴∠=∠=︒，30EBF CBF ∴∠=∠=︒（折叠的性质）， 60EBC ∴∠=︒，30ABD ∠=︒，90BDF ∴∠=︒，在Rt BDF 中，cos BD BF EBF =∠=在Rt ABD △中，cos 6AB BD ABD =∠==． 故答案为：6【点睛】本题考查了翻折变换的知识，涉及了解直角三角形的相关知识，解答本题的关键是判断出BDC ∠为直角，30ABD ∠=︒，难度一般．12．记函数y 在x 处的值为()f x （如函数2y x 也可记为()2f x x =，当1x =时的函数值可记为()11f =）.已知()x f x x=，若a b c >>且0a b c ++=，0b ≠，则()()()f a f b f c ++的所有可能值为______【答案】1或1-【解析】根据题意得0,0a c ><，0b >或0b <，进而得()()()f a f b f c ++的所有可能值为1或1-.【详解】解：因为a b c >>且0a b c ++=，0b ≠，所以0,0a c ><，0b >或0b <，当0,0a c ><，0b >时，()()()1f a f b f c ++=，当0,0a c ><，0b <时，()()()1f a f b f c ++=-.故答案为：1或1-【点睛】本题考查函数值得求解，解题的关键在于由已知得0,0a c ><，0b >或0b <，是基础题.13．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是______【答案】6【解析】分析各正方体的边长，利用等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】底层正方体的表面积为24，第2层正方体的棱长为2222⨯=1422⨯=， 第3层正方体的棱长为2222⎛⨯ ⎝⎭，每个面的面积为21412⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭， ，第n 层正方体的棱长为1222n -⎛⨯ ⎝⎭，每个面的面积为1142n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，则该几何体为n 层，则它的表面积为2151111244444402222n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯++⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， 5140392n -⎛⎫-> ⎪⎝⎭，解得5112n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴该塔形中正方体的个数至少是6.故答案为：6【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.14．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面1AB =，2BC =，三个侧面都是矩形，13AA =，M 为线段1BB 上的一动点，则当1AM MC +最小时，BM =______【答案】1【解析】将三棱柱111ABC A B C -的侧面11A B BA 和侧面11C B BC 剪开在同一平面内，连接1AC ，此时11AM MC AC +=最小，再利用三角形相似求解.【详解】将三棱柱111ABC A B C -的侧面11A B BA 和侧面11C B BC 剪开在同一平面内，如图所示：连接1AC 与1BB 交于点M 时， 11AM MC AC +=最小，因为1//BM CC ，所以1ABM ACC ， 所以1BM AB CC AC=， 即1312BM =+， 解得1BM =故答案为：1【点睛】本题主要考查立体图形的展开图形和两点间距离最短问题以及相似三角形的应用，还考查转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中C ，D ，E 在AB 上，F ，N 在半圆上.若10AB =，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是______【答案】25【解析】连接,ON OF ，设,,CN x EF y OD z ===，由勾股定理得22()25x x z ++=，22()25y y z +-=，两式相减得+=x z y ，从而可求得22x y +．【详解】连接,ON OF ，设,,CN x EF y OD z ===， 则22()25x x z ++=，22()25y y z +-=， 两式相减得：2()()0x y x y z +-+=， ∵0x y +>，∴0x y z -+=，即+=x z y ， ∴2222()25x x z x y ++=+=． 故故答案为：25．【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质，题中证明+=x z y 是解题关键．16．如图，CD 为直角ABC 斜边AB 上的高，BC 长度为1，DE AC ⊥，设ADE ，CDB △，ABC 的周长分别是1p ，2p ，p ，当12p p p+取最大值时，AB =______【答案】2【解析】易证Rt ADERt ABC ，Rt CBD Rt ABC △△，令BC a =，AB c =，即可求得212()1p p AD BC a ap AB AB c c+=+=-++，根据二次函数的最值即可求得答案. 【详解】因为CD AB ⊥，DE AC ⊥ 所以易得Rt ADERt ABC ，Rt CBD Rt ABC △△．令BC a =，AB c =，则2a DB c =，2a AD c c =-．于是212()1p p AD BC a ap AB AB c c+=+=-++． 由二次函数性质知，当112(1)2a c =-=⨯-， 即12BC AB =时，12p p p +取最大值时，因为1BC =，所以2AB =故答案为：2 【点睛】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的证明，本题中求一元二次方程的最大值时x 的取值是解题的关键．17．如图放置的等腰直角ABC 薄片（90ACB ∠=︒，2AC =）沿x 轴滚动，点A 的运动轨迹曲线与x 轴有交点，则在两个相邻交点间点A 的轨迹曲线与x 轴围成图形面积为______【答案】42π+【解析】先根据题意画出点A 的运动轨迹中相邻两个零点间的轨迹图象，再根据图象求面积即可得答案. 【详解】解：根据题意得点A 的运动轨迹中相邻两个零点间的轨迹图象如图所示，其轨迹与x 轴围成的图形是由以2为半径的四分之一的圆弧，以2238的圆弧以及ABC 构成，故两个相邻交点间点A 的轨迹曲线与x 轴围成图形面积为：(222131222242482S πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯=+ 故答案为：42π+ 【点睛】本题考查点的运动轨迹（圆），考查数形结合思想，是中档题.18．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为____（用具体数字作答）1234567 35791113 812162024 20283644 486480⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅【答案】12288【解析】设,m n a 表示第m 行的第n 个数，根据等差数列的性质以及递推公式求通项的方法得出2,(21)2m m n a m n -=+-，从而得出这个数表中的第11行第7个数.【详解】设,m n a 表示第m 行的第n 个数由数表可知，每一行成等差数列，且第m 行的公差为12m - 则11,,(1)2m m n m a a n -=+-2,11,11,21,122m m m m m a a a a ----=+=+，则,11,111224m m mm a a ---=即数列,12m m a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为14的等差数列 则,11(1)224m ma m -=+，即2,1(1)2m m a m -=+ 212,(1)2(1)2(21)2m m m m n a m n m n ---∴=+⋅+-+-=即9911,7(11141)224212288a =+-⨯=⨯= 故答案为：12288 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及求等差数列的项，属于中档题.三、解答题19．如图，抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为点()3,0C .（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN x ⊥轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N .设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 能否为菱形？请说明理由.【答案】（1）112y x =+；（2）251544s t t =-+()03t ≤≤；（3）1t =或2；不是菱形；答案见解析.【解析】（1）由条件可得()0,1A ，()3,2.5B ，可求得直线AB 的解析式.（2）由t 秒时，点(),0P t ，所以112PM t =+ ，2517144NP t t =-++，再根据s MN NP MP ==-得出答案.(3) 若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN BC =，此时，有25155442t t -+=，解得11t =，22t =,再分别计算能否为菱形.【详解】解：（1）抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于A 点，则()0,1A . BC x ⊥轴，垂足为点()3,0C ,5175931442B y =-⨯+⨯+=,所以()3,2.5B设直线AB 的解析式为y kx b =+则1532b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩ ，解得112b k =⎧⎪⎨=⎪⎩可得直线AB 的解析式为112y x =+ （2）点P 从O 点移动到C 点共要3秒,所以03t ≤≤t 秒时，点(),0P t ，所以112PM t =+2517144NP t t =-++2517111442s MN NP MP t t t ⎛⎫==-=-++-+ ⎪⎝⎭251544t t =-+()03t ≤≤（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN BC =，此时，有25155442t t -+=，解得11t =，22t =所以当1t =或2时，四边形BCMN 为平行四边形.①当1t =时，32MP =，4NP =，故52MN NP MP =-=，又在Rt MPC △中，52MC ==，故MN MC =，此时四边形BCMN 为菱形②当2t =时，2M P =，92NP =，故52MN NP MP =-=，又在Rt MPC △中，MC =MN MC ≠，此时四边形BCMN 不是菱形.【点睛】本题主要考查求函数解析式，二次函数的应用以及特殊四边形的性质和判定，考查数形结合思想，属于中档题.20．函数()f x ，若自变量x 取值范围内存在0x ，使()00f x x =成立，则称以()00,x x 为坐标的点为函数()f x 图像上的不动点.（1）若函数()3x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点，求a ，b 应满足的条件； （2）在（1）的条件下，若2a =，直线l ：()11y a x b =-+-与y 轴、x 轴分别相交于A 、B 两点，在by x=的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2），过P 作PQ x ⊥轴，垂足是Q ，若四边形ABQP 的面积等于2，求P 点的坐标（3）定义在实数集上的函数()f x ，对任意的x 有()()f x f x -=-恒成立.下述命题“若函数()f x 的图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，举反例说明.【答案】（1）0a >且9a ≠；3b =；（2）56,25P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）正确；证明见解析. 【解析】（1）根据不动点的定义，得出方程3x ax x b+=+有两个不等的实根，且互为相反数，转化为二次方程，利用根与系数的关系，即可求解； （2）由（1）和2a =，求得:2l y x =-+，设3y x =上任意一点3,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据2AOB AOQP S S -=四边形△，列出方程，即可求解；（3）定义在R 上的奇函数()f x 必有()00f =，再设()00,x x 为函数()f x 图像上的不动点，结合奇函数的定义得出()00,x x --也为函数()f x 图像上的不动点，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()3x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点，可得3x ax x b+=+有两个互为相反数的根00,x x -()00x ≠ 即()230x b x a +--=()x b ≠-有两个互为相反数的根00,x x -，带入得()()()2002003030x b x a x b x a ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，两式相减得()0230b x -=，所以3b =，方程变为20x a -=()3x ≠-，所以0a >且9a ≠.（2）由（1）得2a =，3b =，所以l ：2y x =-+，即()0,2A ，()2,0B设3y x =上任意一点3,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2t >，所以(),0Q t ()2t > 又因为2AOB AOQP S S -=四边形△，所以131222222t t ⎛⎫+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，解得52t =， 所以P 点的坐标56,25P ⎛⎫⎪⎝⎭. （3）正确①在()()f x f x -=-，令0x =，可得()()00f f =-，所以()00f =， 所以()0,0为函数的不动点，②设()00,x x 为函数()f x 图像上的不动点，则()00f x x =， 所以()()000f x f x x -=-=-，所以()00,x x --也为函数()f x 图像上的不动点. 【点睛】本题主要考查了函数的新定义的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及合理应用函数的奇偶性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 21．已知圆O 圆心为坐标原点，半径为43，直线l：)4y x =+交x 轴负半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点（1）求BAO ∠（2）设圆O 与x 轴的两交点是1F ，2F ，若从1F 发出的光线经l 上的点M 反射后过点2F ，求光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程（3）点P 是x 轴负半轴上一点，从点P 发出的光线经l 反射后与圆O 相切.若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P 的坐标 【答案】（1）30BAO ∠=︒；（2）833；（3）()2,0-. 【解析】（1）由题意得()434,003A B ⎛- ⎝⎭，，，则3tan 3BAO ∠=，得出答案. (2) 由对称性可知，点1F 关于l 的对称点1F '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l '上, 光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程为121212F M MF F M MF F F ''+=+=可得出答案.(3) 对称性可知，点P 关于l 的对称点P '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l ',上PM MQ P M MQ P Q ''+=+=，所以路程最短即为l '上点P '到切点Q 的切线长最短.连接OQ ，OP '，在Rt OQP '△中，只要OP 最短，即可得答案.【详解】解：（1）直线l ：)343y x =+交x 轴负半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点 则()434,00A B ⎛- ⎝⎭，，由题4OA =，43OB =，所以3tan BAO ∠=，所以30BAO ∠=︒ （2）如图（1）由对称性可知，点1F 关于l 的对称点1F '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l '上,在21AF F '△中，160F AO '∠=︒，11183AF AF AO FO '==-=，2163AF = 所以21AF F '△为直角三角形，1290AF F '∠=︒.所以光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程为121212833F M MF F M MF F F ''+=+==（3）如图（2）由对称性可知，点P 关于l 的对称点P '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l ', 上PM MQ P M MQ P Q ''+=+=，所以路程最短即为l '上点P '到切点Q 的切线长最短. 连接OQ ，OP '，在Rt OQP '△中，只要OP 最短，由几何知识可知，P '应为过原点O 且与l '垂直的直线与l '的交点，这一点又与点P 关于l 对称，∴cos602AP AP AO '==︒=，故点P 的坐标为()2,0-图（1）图（2） 【点睛】本题考查圆的性质、切线的性质，对称性，光线的反射原理，考查点关于直线的对称性以及最值问题，属于中档题.22．在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢?（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根)，且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？【答案】（1）当62n =时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；（2）（Ⅰ）共有4中方案；（Ⅱ）选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地. 【解析】（1）n 层一共放了()12n n n S +=根圆钢，需满足条件()120092n n n S +=≤，求解不等式使剩余圆钢尽可能少；（2）分析出从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，利用等差数列求和公式列出圆钢总数，根据21x n +-与n 的奇偶性不同来确定方案；（3）层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以讨论当41n =与49n =两种情况是否符合题意即可. 【详解】（1）由题意可知：第一层放1根，第二层放2根，第3层放3根，，第n 层放n 根，所以n 层一共放了()12n n n S +=根圆钢，由题意可知()120092n n n S +=≤，因为当62n =时，62626319532S ⨯==，当63n =时，63636420162S ⨯==， 所以当62n =时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；（2）（Ⅰ）当纵截面为等腰梯形时，设共堆放n 层，则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，从而()1120092nx n n +-=，即()212200927741n x n +-=⨯=⨯⨯⨯， 因1n -与n 的奇偶性不同，所以21x n +-与n 的奇偶性也不同，且21n x n <+-， 从而由上述等式得：721574n x n =⎧⎨+-=⎩或1421287n x n =⎧⎨+-=⎩或412198n x n =⎧⎨+-=⎩或492182n x n =⎧⎨+-=⎩， 共有4中方案可供选择；（Ⅱ）因为层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若41n =，则29x =，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时，两腰之长为400cm ，上下底之长为280cm 和680cm，从而梯形的高为，且1010400+<，所以符合条件；若49n =，则17x =，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时两腰之长为480cm ，上下底之长为160cm 和640cm，从而梯形的高为，显然大于4m ，不合条件，舍去. 综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.【点睛】本题考查数列的应用，属于中档题.23．试求出所有正整数a 使得关于x 的二次方程()()2221430ax a x a +-+-=至少有一个整数根.【答案】正整数a 的值有4个，分别为1，3，6，10【解析】将方程可化为()22212x a x +=+，分离参数可得()22122x a x +=+，根据题意可知()221212x x +≥+，解不等式求出x 整数解，然后代入()22122x a x +=+求出a 的值即可.【详解】解：原方程可化为()22212x a x +=+，易知2x ≠-，此时()22122x a x +=+因为a 是正整数，即()221212x x +≥+. 又()220x +>，则()22212x x +≤+即2280x x +-≤，解得42x -≤≤.因为2x ≠-且x 是整数，故x 只能取4-，3-，1-，0，1，2，依次带入的表达式得41x a =-⎧⎨=⎩，36x a =-⎧⎨=⎩，110x a =-⎧⎨=⎩，03x a =⎧⎨=⎩，1149x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，21x a =⎧⎨=⎩ 从而满足题意的正整数a 的值有4个，分别为1，3，6，10.【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.。