北京市清华附中将台路校区2019-2020学年高一数学第一学期期中考试

高一第一学期期中试卷（创新班）数学一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B I （）．A ．{}1,3B ．{}2,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅【答案】A【解析】解：∵集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =， ∴{}1,3A B =I ， 故选：A ．2．计算238=-（）． A ．4-B ．14-C ．4D ．14【答案】D 【解析】解：22323318(2)24---===． 故选：D ．3．函数()f x =．A ．(,2]-∞B ．(,2)-∞C ．(0,2]D ．(0,2)【答案】【解析】解：要使函数有意义，则x 需满足930x ->，解得：2x <， ∴函数()f x 的定义域是(,2)-∞． 故选：B ．4．满足条件{}{},,,,,,A a b c a b c d e =U 的集合A 共有（）．A ．6个B ．7个C ．8个D ．10个【答案】C【解析】解：∵{}{},,,,,,A a b c a b c d e =U ，∴d A ∈，e A ∈，a ，b ，c 每一个元素都有属于A ，不属于A 2种可能， ∴集合A 共有328=种可能，故选：C ．5．函数1()24xf x x =+的零点在区间（）．A ．(3,2)--B ．(2,1)--C ．(1,0)-D ．(0,1)【答案】B【解析】解：∵2111(2)2(2)0442f --=+⨯-=-<，1111(1)20424f --=-=->，∴函数()f x 的零点在区间(2,1)--．故选：B ．6．函数2()21f x x ax =-+，且有(1)(2)(3)f f f <<，则实数a （）． A ．32a <B ．32a ≤ C ．1a <D ．1a ≤【答案】A【解析】解：∵2()21f x x ax =-+，∴(1)22f a =-，(2)54f a =-，(3)106f a =-， ∵(1)(2)(3)f f f <<， ∴2254106a a a -<-<-， 解得32a <． 故选：A ．7．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（）．A ．2p q +B ．(1)(1)12p q ++-C D 1【答案】D【解析】解：设该企业生产总值的年增长率为x ，则2(1)(1q)(1)p x ++=+，解得：1x =． 故选：D ．8．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊆，下列说法错误的是（）．A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ≤，对于任意的x U ∈成立B ．()()()A B A B f x f x f x =I ，对于任意的x U ∈成立C ．()()()AUB A B f x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立D ．若U A B =ð，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立 【答案】C【解析】解：当x A ∈且x B ∈时，()1A B f x =U ，()1A f x =，()1B f x =， 所以()()()A B A B f x f x f x ≠+U ， 所以C 选项说法错误，故选C ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤，则[](2)f f -=__________．【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-．10．已知函数()1f x kx =+，若对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】[1,1]-【解析】解：若()1f x kx =+，对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥， 则(1)10(1)10f k f k -=-+⎧⎨=+⎩≥≥， 解得：11k -≤≤，故：实数k 的取值范围是[1,1]-．11．若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集为__________． 【答案】(,10)[0,1]-∞-U【解析】解：作出()y f x =的图像如图所示：故不等式()0f x ≤的解集为：(,10)[0,1]-∞-U ．12．已知函数2()21f x ax ax =++在[3,2]-上的最大值为4，则实数a =__________．【答案】38或3-【解析】解：当0a =时，()1f x =，不成立．当0a >时，2()21f x ax ax =++，开口向上，对称轴1x =-， 当2x =时取得最大值，所以(2)4414f a a =++=，解得38a =．当0a <时，2()21f x ax ax =++，开口向下，对称轴1x =-， 当1x =-时，取得最大值，所以(1)214f a a -=-+=，解得3a =-．综上所述：38或3-．13．已知映射:f ++→N N 满足：①(1)2f =，(2)3f =；②对于任意的n +∈N ，()(1)f n f n <+；③对于任意的3n ≥，n +∈N ，存在i ，j +∈N ，1i j n <<≤，使得()()()f n f i f j =+ （1）(5)f 的最大值__________．（2）如果()2016f m =，则m 的最大值为__________． 【答案】（1）13；（2）2013【解析】解：（1）由题意得：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =或(4)8f =， ∴(5)(3)(4)5813f f f =+=+=最大．【注意有文字】（2）若m 取最大值，则()f n 可能小，所以：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =，(5)8f =， (6)9f =，(7)10f =L 3n ≥时()3f n n =+，令32016m +=，2013m =． 故m 的最大值为2013．14．已知函数()2x f x -=，给出下列命题： ①若0x >，则()1f x <；②对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则必有1212()[()()]0x x f x f x --<； ③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <； ④若对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，其中所有正确命题的序号是_____． 【答案】见解析【解析】解：1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 对于①，当0x >时，1(0,1)2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故①错误．对于②，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以当12x x <时2()()f x f x >，即：1212()[()()]0x x f x f x --<，故②正确．对于③()f x x 表示图像上的点与原点连线的斜率，由1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像可知，当120x x <<时，1212()()f x f x x x >，即：2112()()x f x x f x >，故③错误． 对于④，由()f x 得图像可知，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②④．三、解答题15．已知全集U =R ，集合{}2|10A x x =->，{}|0B x x a =+>．（Ⅰ）当1a =时，求集合()U A B I ð．（Ⅱ）若()U A B =∅I ð，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（1）当1a =时，集合{}{2|10|1A x x x x =->=<-或}1x >，{}{}|10|1B x x x x =+>=>-，{}|11U A x x =-≤≤ð， ∴{}()|11U A B x x =-<I ≤ð．（2）集合{}|11U A x x =-≤≤ð，{}|B x x a =>-， 若()U A B =∅I ð，则1a -<，即：1a >-． 故实数a 的取值范围是：(1,)-+∞．16．已知集合{}2|0A x x ax x a =--+≤，{}2|680B x x x =-+<．（Ⅰ）当3a =时，求A B I ．（Ⅱ）若A B I 中存在一个元素为自然数，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】解：（1）当3a =时，集合{}{}2|430|13A x x x x x =-+=≤≤≤，{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，∴{}|23A B x x =<I ≤．（2）集合{}{}2|0|()(1)0A x x ax x a x x a x =--+=--≤≤，{}|24B x x =<<，若A B I 中存在一个元素为自然数，则3A ∈． 当1a =时，{}1A =，显然不符合题意．当1a <时，{}|1A x a x =≤≤，3A ∈，不符合题意， 当1a >时，{}|1A x x a =≤≤，若3A ∈，则a ≥3． 综上所述，实数a 的取值范围是[3,)+∞．17．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠． （Ⅰ）若5(1)(1)2f f +-=，求(2)(2)f f +-的值． （Ⅱ）若函数()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵()x f x a =，5(1)(1)2f f +-=， ∴15(1)(1)2f f a a +-=+=，解得：2a =或12， 当2a =时，()2x f x =，2217(2)(2)224f f -+-=+=， 当12a =时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，221117(2)(2)224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故17(2)(2)4f f +-=． （Ⅱ）当1a >时，()x f x a =在[1,1]-上单调递增，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a --=，解得：13a =-（舍去）或3a =．当01a <<时，()x f x a =在[1,1]-上单调递减，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a +-=．解得：3a =-（舍去）或13a =．综上，实数a 的值为3或13．18．已知()y f x =的图像可由2y x x =+的图像平移得到，对于任意的实数t ，均有()(4)f t f t =-成立，且存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式．（Ⅱ）函数()y f x =的图像与直线y kx k =+有两个不同的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，若11x <，23x <，求实数k 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2y x x =+的图像关系12x =-对称，()f x 关于2x =对称，∴可设255()622f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2255542x x x b =-++-+ 21544x x b =-++， 又存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数， ∴()f x 不含常数项． 故2()4f x x x =-．（Ⅱ）∵()f x 的图像与y kx k =+有两个不同交点， ∴24x x kx k -=+有两个解， ∴2(4)40k k ∆=++>，解得：6k <--6k >-+∵11x <，23x >，(3)3f =-，(1,0)-和(3,3)-连线的斜率为34-，∴34k >-．综上所述，实数k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．19．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足： （1）(1)3f =．（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有()()()1f u v f u f v +=+-．（3）对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->． （Ⅰ）求(0)f 及(1)f -的值．（Ⅱ）求证：函数()1y f x =-为奇函数．（Ⅲ）若2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数m 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意u ，v ∈R ，都有()()()1f u v f u f v +=+-， ∴令0u =，1v =，得(1)(0)(1)1f f f =+-， ∴(0)1f =．令1u =，1v =-，则(0)(1)(1)1f f f =+--， ∴(1)1f -=-．（Ⅱ）令u x =，v x =-，则有(0)()()1f f x f x =+--， ∴()()2f x f x +-=，令()()1g x f x =--，则()()1g x f x -=--，∴()()()()20g x g x f x f x +-=+--=，即：()()g x g x =--． 故()()1y g x f x ==-为奇函数．（Ⅲ）∵对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->， ∴()f x 为单调增函数， ∵2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21[(21)1]22f m f m ⎛⎫⇔--+>- ⎪⎝⎭212(21)102f m f m ⎛⎫⇔+---> ⎪⎝⎭21(1)102f m f m ⎛⎫⇔+--> ⎪⎝⎭211202f m m ⎛⎫⇔+-> ⎪⎝⎭．且11(1)1122f f f ⎛⎫⎛⎫-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2111222f m m f ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2111222m m +->-， 即：2430m m -+>， 解得1m <或3m >．故实数m 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞U ．20．对于给定的正整数n ，{}{}*123(,,,,)|0,1,,n n i S x x x x x i i n =∈∈N L ≤．对于123(,,,...,)n X x x x x =，123(,,,...,)n Y y y y y =，有：（1）当且仅当2222112233()()()()0n n x y x y x y x y -+-+-++-=L ，称X Y =． （2）定义112233..n n X Y x y x y x y x y ⋅=++++L ．（Ⅰ）当3n =时，(1,1,0)X =，请直接写出所有的3Y S ∈，满足1X Y ⋅=．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅=，求集合A 中元素个数的最大值．（Ⅲ）若非空集合n B S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅≠，求集合B 中元素个数的最大值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）{}11,0,0Y =，{}21,0,1Y ，{}30,1,0Y ，{}40,1,1Y ．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X F ⋅=，则A 中任意两个元素相同位置不能同时出现1，满足这样的元素有(0,0,00)L ，(1,0,0,00)L ，(0,1,00)L ，(0,0,10)L L (0,0,01)L 共有1n +个．故A 中元素个数的最大值为1n +．（Ⅲ）不妨设{}123,n X x x x x =L 其中{}30,1x ∈，0n λ<≤，{}121,11n X x x x =---L ， 显然若X S ∈，则0X X ⋅=， ∴X B ∈与X B ∈不可能同时成立， ∵S 中有2n 个元素， 故B 中最多有12n -个元素．。

2019-2020学年北京市清华附中将台路校区高一上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.若集合{|12}A x x =-<<，{2,0,1,2}B =-，则A B =I （ ） A. ∅B. {0,1}C. {0,1,2}D.{2,0,1,2}-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用交集定义直接求解。

【详解】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =I 。

【点睛】本题主要考查集合交集的运算。

2.已知函数2()f x x =，{}1,0,1x ∈-，则函数的值域为（ ） A. {}1,0,1-B. [0,1]C. {}0,1D.[0,)+∞【答案】C【解析】 【分析】分别代入1,0,1-求得()f x 即可.【详解】由题222(1)(1)1,(0)(0)0,(1)11f f f -=-=====,故值域为{}0,1故选：C【点睛】本题主要考查函数的值域,属于简单题型.3.已知命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”，则命题p 的否定为 A. 2,20x R x ∀∈+≤B. 200,20x R x ∃∈+>C. 200,20x R x ∃∈+≤D. 2,20x R x ∀∈+<【答案】C 【解析】 【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定． 【详解】由全称命题的否定为特称命题可得命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”的否定为200,20x R x ∃∈+≤，故选C ．【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题． 4.在区间()0,∞+上是减函数的是（） A. 31y x =+B. 231y x =+C. 2y x=D.2y x x =+【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数性质即可得到结果.【详解】31y x =+在()0,∞+上单调递增，A 错误；231y x =+在()0,∞+上单调递增，B 错误2y x=()0,∞+上单调递减，C 正确；2y x x =+在()0,∞+上单调递增，D 错误本题正确选项：C【点睛】本题考查常见函数单调性的判断，属于基础题. 5.已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的关系推出p q 、之间的关系.【详解】{|1}x x >Ý{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件, 故选：B .【点睛】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ：p 是q 的充分不必要条件则有：A B Ü； p 是q 的必要不充分条件则有：B A Ü.6.若0a >，0b >，2ab =，则2+a b 的最小值为（）A. B. 4C. D. 6【答案】B 【解析】 【分析】由a +2b a +2b 的最小值． 详解】∵a ＞0，b ＞0，ab ＝2，∴a +2b 4=， 当且仅当a ＝2b ＝2时取等号， ∴a +2b 的最小值为4． 故选：B ．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属基础题．7.定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-…，则函数()f x 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可知2x =，0x =为()f x 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推()f x 在(,0)-∞这个区间上的零点，即可得出答案。

2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（）A.{﹣1}B.{0}C.{﹣1，0}D.{﹣1，0，1}2.命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（）A.()21,0,0x x x ∀∈-+> B.()21,0,0x x x ∀∈-+≤C.()21,0,0x x x ∃∈-+> D.()21,0,0x x x ∃∈-+≥3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x=- B.2y x = C.3y x = D.1y x=-4.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（）A.2-B.0C.2D.45.已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（）A.0a c +> B.0a b +< C.0ab > D.0ac <6.函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（）A.[]1,0- B.[]0,8 C.[]1,8D.[]1,8-7.已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y+的最小值是（）A.B. C.32D.2+8.若函数()22f x x ax =-+与函数()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（）A.()()1,00,1-U B.()(]1,00,1-U C.()0,1 D.(]0,19.对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A .R x ∃∈，[][]442x x =+ B.R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x yD.,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<10.已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（）A.56B.72C.87D.96二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1f x x=-的定义域是___________.12.已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x =______．13.已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为__________；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是__________．14.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是__________.15.已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是_____．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列关于x 的不等式的解集．（1）23100x x -->；（2）4101x +≤-；（3）22(2)0x x a a ++-<．17.设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．（1）当2a =时，分别求R ,A B A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）当1k =时，求2212x x +的值；（3）若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．19.某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25xy =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．（1）请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；（2）在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？20.已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；（3）是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.（1）设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；（2）设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（）A.{﹣1}B.{0}C.{﹣1，0}D.{﹣1，0，1}【答案】B【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】集合{}1,0A =-，集合{}11B x x =-<<，所以{}0A B ⋂=，故选：B2.命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（）A.()21,0,0x x x ∀∈-+> B.()21,0,0x x x ∀∈-+≤C.()21,0,0x x x ∃∈-+> D.()21,0,0x x x ∃∈-+≥【答案】D【分析】全称命题的否定为特称命题.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为()2100x x x ∃∈-+≥，，.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x =-B.2y x = C.3y x = D.1y x=-【答案】B【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】函数3y x =和函数1y x=-是奇函数，不符合题意，CD 选项错误.函数,0,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨<⎩是偶函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意，A 选项错误.函数2y x =是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意，B 选项正确.故选：B4.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（）A.2-B.0C.2D.4【答案】A【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【详解】依题意，()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，且()()3111121f f ⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()()102f f -+=-.故选：A5.已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（）A.0a c +>B.0a b +< C.0ab > D.0ac <【答案】D【分析】根据已知得00a c ><，，由此可判断得选项.【详解】解：因为a b c >>，0a b c ++=，所以一定有00a c ><，，b 的符号不能确定，所以a c +，ab 的符号不能确定,0a b +>，一定成立的是0ac <，故选：D.6.函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（）A.[]1,0- B.[]0,8 C.[]1,8D.[]1,8-【答案】D【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可．【详解】()22f x x x =-，对称轴为1x =，[]2,2x ∈-，∴函数()f x 在[]2,1-上单调递减，在(]1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==-，由对称性可得()()max 28f x f =-=，所以函数()f x 的值域是[]1,8-.故选：D.7.已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y+的最小值是（）A.B. C.32D.2+【答案】C【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】由已知可得，()111122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭131222y x x y =+++≥32=当且仅当2y xx y=，且1x y +=，即1x =-，2y =-所以，13212x y ++≥故选：C .8.若函数()22f x x ax =-+与函数()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（）A.()()1,00,1-U B.()(]1,00,1-U C.()0,1 D.(]0,1【答案】D【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性可得答案.【详解】因为函数()22f x x ax =-+在区间[]1,2上是减函数，所以1a ≤，因为()ag x x=在区间[]1,2上是减函数，所以0a >，所以a 的取值范围是01a <≤，故选：D9.对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A.R x ∃∈，[][]442x x =+B.R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x yD.,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<【答案】C【分析】可取特殊值判断AC ，利用不等式性质及取整数的意义推理可判断选项BD.【详解】对于A ，当0.5x =时，[][][]440.52422x x =⨯==+=，故A 正确；对于B ，设[],x m m =∈Z ，则1131,222m x m m x m ≤≤++≤+<+，12x m ⎡⎤∴+=⎢⎥⎣⎦或1m +.当12m x m ≤<+时，12x m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，此时[]2221,22m x m x m ≤<+=，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；当112m x m +≤<+时，13122m x m +≤+<+，112x m ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，此时21222m x m +≤<+，[][]12212x m x x ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦，综上，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，故B 正确.对于C ，当0.5x y ==，[]1x y +=，[][]0x y +=，[][][]x y x y +>+，故C 错误；对于D ，若[][]x y =，设[][],x y n n ==∈Z ，则1n x n ≤<+，1n y n ≤<+()()11,11x y n n x y n n ∴-<+-=->-+=-，从而1x y -<，故D 正确；故选：C.10.已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（）A.56B.72C.87D.96【答案】D【分析】根据题意分别列出三个集合特征数取得最大值和最小值时的元素情况，再分别进行计算各自的特征值，即可求解.【详解】由题意集合{}{}115=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1213,14,15M x N x =∈≤≤，，当{}{}{}1231,4,5,6,7,3,12,13,14,15,2,8,9,10,11A A A ===时，123X X X ++取得最小值，123=8+18+13=39X X X ++；当{}{}{}1231,2,3,4,15,5,6,7,8,14,9,10,11,12,13A A A ===时，123X X X ++取得最大值，123=16+19+22=57X X X ++；123X X X ∴++的最大值与最小值的和为：395796+=.故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1f x x=-的定义域是___________.【答案】[)()0,11,⋃+∞【分析】要使函数()1f x x =-有意义，则有010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解出即可.【详解】要使函数()1f x x =-有意义，则有010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠所以函数()1f x x=-的定义域是[)()0,11,⋃+∞故答案为：[)()0,11,⋃+∞12.已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x =______．【答案】21x -（答案不唯一）【分析】根据已知只需满足一元二次方程()0f x =有两个不相等的实数根，且开口方向向上，对称轴为y 轴或y 轴的左侧即可.【详解】设()21f x x =-，解()210f x x =-=可得，1x =±，所以，1-和1是()f x 的2个零点，满足条件①；()21f x x =-的对称轴为0x =，根据二次函数的性质可知，()f x 在()0,∞+上是增函数，满足条件②．所以，()21f x x =-满足题意.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）.13.已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为__________；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是__________．【答案】①.()0,∞+②.[)1,∞+【分析】当1t =时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则有20t t t>⎧⎨≥⎩，解之即可得解.【详解】解：当1t =时，若1x ≥，则()[)21,f x x =∈+∞，若01x <<，则()()0,1f x x =∈，所以当1t =时()f x 的值域为()0,∞+；由函数2,,0x x t x x t⎧≥⎨<<⎩（0t >），可得函数()f x 在()0,t 上递增，在(),t +∞上递增，因为()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以20t t t >⎧⎨≥⎩，解得1t ≥，所以若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：()0,∞+；[)1,+∞.14.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是__________.【答案】45【分析】根据条件作出Venn 图，然后即可求解出仅参加了一项活动的学生人数.【详解】如图所示：根据条件可知：甲、乙两项体育活动都参加的有：3025505+-=人，所以单独参加甲活动的有：30525-=人，单独参加乙活动的有：25520-=人，所以仅参加了一项活动的学生人数为：202545+=人，故答案为：45.【点睛】本题考查利用Venn 图解决集合的交、并问题，主要考查学生对Venn 图的理解以及运用，难度较易.15.已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是_____．【答案】①②④【分析】对于①，分段讨论脱去绝对值符号，结合二次函数的对称性以及单调性可判断；对于②，可取特殊值，结合奇偶性定义进行判断；对于③，分类讨论，结合二次函数的最小值求出a 的值，即可判断；对于④，举特殊值，说明符合题意即可判断.【详解】对于①，当x a ≥-时，()2f x x x a =--，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为12x =，当x a <-时，()2f x x x a =++，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为12x =-，即22,(),x x a x a f x x x a x a⎧--≥-=⎨++<-⎩，且()()22a a a a ----=，()()22a a a a -+-+=，即在x a =-处的函数值相等，由于()2f x x x a =++的对称轴在()2f x x x a =--的对称轴的左侧，则存在区间(,)(,)m a +∞⊆-+∞，使()2f x x x a =--在(,)m +∞上递增，存在区间(,)(,)n a -∞⊆-∞-，使()2f x x x a =++在(,)n -∞上递减，故R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数，①正确；对于②，当0a =时，()2||f x x x =-，定义域为R ，此时22()()||||()f x x x x x f x =---=-=，即()f x 为偶函数，②正确；对于③，由①的分析可知()f x 的最小值在12x =或12x =-时取到，22,(),x x a x af x x x a x a⎧--≥-=⎨++<-⎩，111||242f a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，111()||242f a -=--，当12a >时，函数最小值在12x =处取到，由1115||2424f a ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，解得1a =或2a =-（舍去）；当12a <-时，函数最小值在12x =-处取到，由1115||2424f a ⎛⎫-=--+=- ⎪⎝⎭，解得1a =-或2a =（舍去）；当1122a -≤≤时，由于115244f a ⎛⎫=-->- ⎪⎝⎭，115244f a ⎛⎫-=-+>- ⎪⎝⎭恒成立，不合题意，舍去；故()f x 的最小值是54-，则1a =-或1a =，③错误；对于④，当0a <时，22,(),x x a x a f x x x a x a ⎧--≥-=⎨++<-⎩，当211022a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即14a =-时，当14x ≥时，令2104x x -+=，解得1124x =>；当14x <时，令2104x x +-=，解得12124x -±=<；即此时()f x 有三个零点，④正确，故答案为：①②④【点睛】难点点睛：本题考查了函数的单调性以及奇偶性以及零点问题，综合性较强，解答时难点在于二次函数的性质的灵活应用，要注意分类讨论，注意函数最值的确定.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列关于x 的不等式的解集．（1）23100x x -->；（2）4101x +≤-；（3）22(2)0x x a a ++-<．【答案】（1）(,2)(5,)-∞-⋃+∞（2）[3,1)-（3）答案见解析【分析】（1）因式分解即可；（2）通分，变形为乘积的形式，结合二次不等式即可；（3）因式分解，讨论两根大小即可.【小问1详解】由23100x x -->，得(5)(2)0x x -+>，则<2x -或5x >，所以解集为(,2)(5,)-∞-⋃+∞【小问2详解】由4101x +≤-，得301x x +≤-，(3)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，解得31x -≤<，所以解集为[3,1)-【小问3详解】由22(2)0x x a a ++-<，得()(2)0x a x a ++-<，当2a a -<-时，即1a >时，解集为(,2)a a --，当1a =时，解集为∅，当1a <时，解集为(2,)a a --.17.设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．（1）当2a =时，分别求R ,A B A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】17.()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð18.3a ≥【分析】（1）根据交并补的概念求解；（2）根据“充分不必要条件”的定义求解.【小问1详解】由题意：{}()()()2|2301,3,2,2,2,2,3A x x x a B A B =--=-==-∴=- ＜，(][)R ,22,B =-∞-+∞ ð，[)R 2,3A B = ð；【小问2详解】由题意，A 是B 的真子集，,B a ∴≠∅＞0,(),,1,3,3B a a a a a =-∴-≤-≥∴≥；综上，（1）()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð，（2）3a ≥.18.关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）当1k =时，求2212x x +的值；（3）若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．【答案】（1）()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）14（3）1k =-【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）（3）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】因为关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ，所以有()22012Δ2140k k k k ≠⎧⎪⇒>-⎨⎡⎤=+->⎪⎣⎦⎩且0k ≠，所以实数k 的取值范围为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ；【小问2详解】当1k =时，根据一元二次方程根与系数的关系可知：()1212222114,1k x x x x k k++=-=-==，所以()222121212216214x x x x x x +=+-=-=；【小问3详解】根据一元二次方程根与系数的关系可知：()121222211,k x x x x k k++=-=，()()222222112122211188841811k x x k k k x x x x k +⎡⎤-⎢⎥⎛⎫⎛⎫++=⇒=⇒=⇒+=⇒=-±⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为实数k 的取值范围为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ，所以1k =-+19.某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25x y =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．（1）请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；（2）在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？【答案】19.()180138,0,100105y x x x =--∈+20.20x =时，利润最大.【分析】（1）A ，B 对于投资金额下的利润求和得到总利润的函数关系式即可；（2）结合函数式特点利用均值不等式求函数最值.【小问1详解】由题意，x 万元投入A 产品，则100x -万元投入B 产品，则()12180118011810038105105y y y x x x x =+=-+-=--++，()0,100x ∈.【小问2详解】由（1）得，1801180103840105105x y x x x +⎛⎫=--=-+ ⎪++⎝⎭4028≤-=，当且仅当18010105x x +=+，即20x =时等号成立，所以当20x =时，公司利润最大.20.已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；（3）是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()245f x x x =--（2）()()()2min45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩（3）12a ≤≤【分析】（1）由题意可设二次函数的顶点式，利用待定系数法即可求()f x 的解析式；（2）由函数的单调性，分12a ≤≤和2a >两种情况进行讨论；（3）因()11f x a ≥-对[]1,x a ∀∈-恒成立，故可转化成对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，借助（2）的结论解不等式即可.【小问1详解】因为对R x ∀∈都有()()22f x f x -=+，所以()f x 关于直线2x =对称，又因为二次函数()f x 的最小值为9-，所以可设二次函数的解析式为()()()2290f x a x a =-->，又因为1-是其一个零点，所以()()211290f a -=---=，解得1a =，所以()f x 的解析式为()()222945f x x x x =--=--.【小问2详解】由（1）可知，函数()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以，当12a ≤≤时，()()2min 45f x f a a a ==--，当2a >时，()()min 29f x f ==-，()()()2min 45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩.【小问3详解】因为对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立，由（2）可知，对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，即2124511a a a a -≤≤⎧⎨--≥-⎩或2911a a >⎧⎨-≥-⎩，解得12a ≤≤，故存在实数a 符合题意，实数a 的取值范围12a ≤≤.21.对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.（1）设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；（2）设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．【答案】（1）{}11,2,3,4,5,6,7M ⊕=（2）34（3）3或4或5【分析】（1）直接由M k ⊕的定义计算即可求解.（2）若(),1d A B =，则1A B ⊆⊕，则只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A =即可，从而min 1001343B ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.（3）首先证明()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+，其次结合(),d A B 的定义得出d 满足距离的三角不等式：()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而运用到本题中即可得解.【小问1详解】若{}2,4,6M =，则由集合新定义可知{}{}{}{}1,3,52,4,63,7,755,6,M =⊕⋃=⋃.【小问2详解】设B 有B 个元素，下证min 34B =.一方面，{}2,5,8,,98,101B = ，则0A B B ⊆⊕=，所以(),0d A B ≠，即(),1d A B ≥，而{}0,1,2,3,4,,1011B A ⊆⊕= ，{}1,2,3,4,,1021A B ⊆⊕= ，这表明了(),1d A B =满足题意，此时10121343B -=+=，故min 34B =；另一方面：若33B j =≤，不妨设{}`12,,,j B b b b = 且`12j b b b <<< ，由题意可知{}{}{}1112221,,11,,11,,11j j j b b b b b b b B b b A -+⋃⊆-+⋃⋃-⊕=+ ，而1B ⊕最多含有399j ≤个元素，当且仅当{}()1,,1,1k k k b b b k j -+≤≤两两不同且33B j ==时，等号成立，但这与A 有100个元素矛盾，所以34B j =≥.综上所述：非空整数集合B 的元素个数的最小值是34.【小问3详解】一方面：先来证明()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+，{}{}|,,1,,Z |,M k m t m M t k k k n m M n m k ⊕=+∈=--+=∈∃∈-≤ ，因此只要12M M ⊆，就有12M k M k ⊕⊆⊕，而()x M k l ∀∈⊕⊕，p M k ∃∈⊕，x p l -≤，所以,m M p m k ∃∈-≤，所以x m x p p m x p p m l k -=-+-≤-+-≤+，即()x M k l ∀∈⊕+，从而()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+.另一方面：如果(),d A B p =，(),d B C q =，(),d A C r =，那么A B p ⊆⊕，B C q ⊆⊕，()()B p C q p C p q ⊕⊆⊕⊕⊆⊕+，从而()A C p q ⊆⊕+，同理()C A p q ⊆⊕+，因此由定义可得()()(),,,d A C r d A B d B C p q =≤+=+，即d 满足距离的三角不等式；所以在本题中，()()(),,,415d A C d A B d B C ≤+=+=，()()(),,,413d A C d A B d B C ≥-=-=，即(){},3,4,5d A C ∈，取{}{}{}0,4,5A B C ===，可知(),5d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3A B C ===，可知(),3d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3,4A B C ===，可知(),4d A C =可能成立，综上所述，(),d A C 所有可能取值为3或4或5.【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接按定义即可；第二问的关键是要注意到由题意有1A B ⊆⊕，从而只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A = 即可；而第三问的关键是要注意到d 表示距离，因此要联想到去证明距离的三角不等式()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而顺利得解.。

2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x =>，下列关系中正确的为( ) A ．1A -∈B ．0A ∈C ．1A ∈D ．2A ∈．2．二次函数225y x x =-+的值域是( ) A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．(,4]-∞D ．(－∞，4)3．设集合}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是( ) A ．2:x y x f =→B ．23:-=→x y x fC ．4:+-=→x y x fD ．24:x y x f -=→4．设{}|10A x x =-<，{}2|log 0B x x =<，则B A ⋂等于( ) A ．{|01}x x <<B ．{|1}x x <C ．{|0}x x <D ．∅5．不等式220ax bx ++>的解集是)31,21(-，则a b +的值是( ) A ．10B ．–10C ．14D ．–146．三个数20.620.6,log 0.6,2a b c ===之间的大小关系是( )A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<7．设1322,2()((2))log 2.(1)x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨≥⎪-⎩＜，则的值为1，( ) A ．2eB ．22eC ．2D ．22e8．下列函数中既是偶函数又是（－∞，0）上是增函数的是 ( ) A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x=-149．函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是( )10．若)(x f 是R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点A (0，4)和点B (3，－2)，则当不等式3|1)(|<-+t x f 的解集为(－1，2)时，t 的值为( ) A ．0B ．－1C ．1D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知22)1(++=-x x x f ，则()f x ＝___________．12．若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图象不经过第_______象限．13．函数)(x f ＝(]1,,212∞-∈-+x x x 的值域为__________________． 14．若函数(1)y f x =-的定义域为(1，2]，则函数1()y f x=的定义域为______．三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．化简或求值：(本题满分8分)(1)252)008.0()949()827(325.032⨯+---(2)计算1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅．16．(本题满分10分)已知集合{}24260,A x x ax a x R =-++=∈，集合{}0B x x =<，若AB ≠∅，求实数a 的取值范围．17．(本小题满分12分)(1)判断函数f (x )＝x x 4+在),0(+∞∈x 上的单调性并证明你的结论？ (2)猜想函数)0(,)(>+=a xax x f 在),0()0,(+∞⋃-∞∈x 上的单调性？(只需写出结论，不用证明)(3)利用题(2)的结论，求使不等式0292<+-+m m xx 在][5,1∈x 上恒成立时的实数m 的取值范围？第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18．已知函数f (x )＝12++mx mx 的定义域是一切实数，则m 的取值范围是_______19．设偶函数()log ||a f x x b =+在(0，＋∞)上单调递增，则f (b －2)_____f (a ＋1)(填等号或不等号) 五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．(本小题满分13分)已知函数)(x f 对任意实数x 、y 都有)(xy f ＝)(x f ·)(y f ，且(1)1f -=，(27)9f =，当01x ≤<时，0≤)(x f ＜1．(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)判断)(x f 在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明； (3)若0a ≥且)1(+a f ≤39，求a 的取值范围．21．(本题满分13分)设a ∈R ，函数 f (x )＝x 2＋2 a | x －1 |，x ∈R ．(1)讨论函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值．22．(本小题满分14分)已知函数 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--∈---∈+=]2,21[,1)21,1[,2)1,2[,1)(x x x x x x x x f ．(1)求()f x 的值域；(2)设函数()2g x ax =-，[2,2]x ∈-，若对于任意1[2,2]x ∈-，总存在0[2,2]x ∈-，使得01()()g x f x =成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集},2,1,0{},4,3,2,1,0{==M U }3,2{=N 则=⋂N M C U )(（ ）A ． {}2B ． {}3C ． {}432，，D ． {}0,1,2,3,4 2．集合M ＝{y|y ＝x 2－1，x ∈R}，集合N ＝{x|y ＝9－x 2，x ∈R}，则M ∩N 等于( )A ．{t|0≤t ≤3}B ．{t|－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)}D ．∅3.设集合A ＝B ＝{(,),}x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-， 则在映射f 下B 中的元素（1，1）对应的A 中元素为（）A.（1，3）B.（1，1） C .31(,)55D.11(,)224.下列四组函数，表示同一函数的是（） A. 22)(,)()(x x g x x f == B. x x g x x f lg 2)(,lg )(2==C. 4)(,22)(2-=-⋅+=x x g x x x f D. 33)(,)(x x g x x f ==5． 下列函数是偶函数的是（ ）.A ． 322-=x y B ． x y = C ． 21-=x y D ．]1,0[,2∈=x x y 6．已知函数，则A ．−2B ．4C ．2D ．−17.函数 f(x)=x 2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A . ),2[+∞ B . [0,2] C .(]2,∞- D. [2,4]8．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）.A ．b c a <<．B ． c b a <<C ． c a b <<D ．a c b <<9．函数()x bf x a -=的图象如图所示，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．1>a ,0<b B ．1>a ,0>bC ．10<<a ,0>bD ．10<<a ,0<b10． 已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（ ）.A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)-- D ．(1,1)-11．已知函数()3,0,0xx a x f x a x -+≥⎧=⎨<⎩是(),-∞+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．如果集合A ，B 同时满足：A ∪B={1，2，3，4}，A ∩B={1}，A ≠{1}，B ≠{1}，就称有序集对(A ，B)为“好集对”，这里有序集对(A ，B)意指：当A ≠B 时，(A ，B)和(B ，A)是不同的集对．那么“好集对”一共有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数y ＝2+x a －2 (a>0， a ≠1)的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标为__________．14．设函数()()2,11,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，若()1f α=，则实数α的值为是______． 15.若1052==ba , 则=+b a 11______. 16．已知函数(),y f x x R =∈，给出下列结论（1）若对任意12,x x ，且12x x ≠，都有2121()()f x f x x x -<-，则()f x 为R 上的减函数；（2）若()f x 为R 上的偶函数，且在(,0)-∞内是减函数，f （-2）=0，则()f x >0解集为（-2,2）；（3）若()f x 为R 上的奇函数，则()()y f x f x =∙也是R 上的奇函数；（4）t 为常数，若对任意的x ,都有()(),f x t f x t -=+则()f x 关于x t =对称。

2019-2020学年清华大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合 A={x |x 2> 1},a ∈A , 则 a 的值可以为（ ） A ．-2 B ．1 C ．0 D ．1【答案】A【解析】先解不等式得{}|11A x x x =><-或，再由元素与集合的关系逐一判断即可得解. 【详解】解：解不等式21x >，解得1x >或1x <-， 即{}|11A x x x =><-或， 又2,1,0,1A A A A -∈∉∉∉, 则a 的值可以为-2, 故选：A. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 2．已知命题 p :∃x ∈Q , x 2 -3=0，则￢ p 为（ ） A ．∃x ∈ Q ,x 2- 3≠0 B ．∃x ∉Q ,x 2- 3 = 0 C ．∀x ∈ Q , x 2- 3 ≠ 0 D ．∀x ∉ Q , x 2- 3 = 0【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题，等于的否定为不等于，逐一判断即可得解. 【详解】解：由特称命题的否定为全称命题可得：命题 p :∃x ∈Q , x 2 -3=0，则￢p 为：∀x ∈ Q , x 2-3 ≠ 0， 故选：C. 【点睛】本题考查了全称命题与特称命题，属基础题. 3．函数 2(),(23)f x x x =-≤≤的值域为（ ） A ．[4, 9] B ．[0, 9]C ．[0, 4]D ．[0, +∞)【答案】B【解析】由函数()f x 在[)2,0-为减函数，在[]0,3为增函数，再求值域即可. 【详解】解：因为函数2(),(23)f x x x =-≤≤，则函数()f x 在[)2,0-为减函数，在[]0,3为增函数， 又(2)4f -=，(3)9f =，则(3)(2)f f >-， 又(0)0f =，即函数2(),(23)f x x x =-≤≤的值域为[]0,9， 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的值域问题，重点考查了函数的单调性，属基础题. 4．已知集合 A ={1,2}, B = [m , +∞)，若 A ⊆B ，则实数 m 的取值范围为（ ） A ．[2,+∞) B ．[1,+∞)C ．(-∞,2]D ．(-∞,1]【答案】D【解析】由A ⊆B ，则1B ∈,2B ∈,则1m £，得解. 【详解】解：因为集合 A ={1,2}, B = [m , +∞)，又 A ⊆B ，则1B ∈,2B ∈,则1m £且2m ≤，即1m £ 即实数 m 的取值范围为(-∞,1]， 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的包含关系，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 5．已知 a <b <0，则下列不等式正确的是（ ） A ．2a >a + b B ．a +b >b C ．a 2>ab D ．b 2>ab【答案】C【解析】由已知条件a <b <0，再结合作差法判断大小关系，逐一检验即可得解. 【详解】解：由已知有a <b <0，对于选项A ，2()0a a b a b -+=-<，即2()a a b <+，即A 错误；对于选项B ，()0a b b a +-=<，即a b b +<，即B 错误； 对于选项C ，2()0a ab a a b -=->，即2a ab >，即C 正确； 对于选项D ，2()0b ab b b a -=-<，即2b ab <，即D 错误， 即不等式正确的是选项C ， 故选：C . 【点睛】本题考查了利用作差法比较大小关系，重点考查了运算能力，属基础题. 6．“ x >1”是“1x<1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】先解分式不等式可得：11x<等价于1x >或0x <，再由“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件，即可得解.【详解】 解：因为11x<等价于10x x ->等价于1x >或0x <， 又“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件， 即“ x >1”是“1x<1”的充分而不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法及充分必要条件，属基础题. 7．已知集合 A ={1,2,3, 4,5, 6},T = {x |x =ba, a , b ∈A , a >b }，则集合T 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】先阅读题意，再写出集合T 即可. 【详解】解：由集合 A ={1,2,3, 4,5, 6},T = {x |x =ba, a , b ∈A , a >b }， 则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则集合T 中元素的个数为11， 故选：C. 【点睛】本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题.8．若函数 f ( x )的定义域为 D ，对于任意的 x 1,x 2∈D , x 1≠x 2，都有1212()()1f x f x x x -≥-，称函数 f ( x ) 满足性质ψ，有下列四个函数① f ( x ) =1x, x ∈ (0,1) ；② g ( x )③ h ( x ) = x 2(x ≤-1); ④ k (x ) =211x +,其中满足性质ψ的所有函数的序号为（ ） A ．①②③ B ．①③C ．③④D ．①②【答案】B【解析】先阅读理解题意，再逐一检验函数是否满足对于任意的 x 1,x 2∈D , x 1≠x 2，都有1212()()1f x f x x x -≥-，即可得解.【详解】解：对于①，f ( x ) =1x，x ∈ (0,1)，则121212()()1f x f x x x x x -=-，又12,(0,1)x x ∈，则12(0,1)x x ∈，即1211x x >，即1212()()1f x f x x x -≥-，故①符合题意；对于②，g ( x )1212()()f x f x x x -=-121,4x x ==，有1212()()113f x f x x x -=<-，故②不合题意；对于③，h ( x ) = x 2(x ≤-1)，则121212()()f x f x x x x x -=+-，又(]12,x x ∈-∞,-1，则121x x +>，则1212()()1f x f x x x -≥-，故③符合题意；对于④，不妨取120,1x x ==，则121211()()121012f x f x x x --==<--，故④不合题意， 综上可得满足性质ψ的所有函数的序号为①③，【点睛】本题考查了对函数新定义性质的理解，重点考查了运算能力，属中档题.二、填空题9．已知a,b,c,d为互不相等的实数，若|a-c|=| b-c |=| d-b|=1,则|a-d|=_____【答案】3【解析】由|a﹣c|＝|b﹣c|且a，b，c，d为互不相等的实数，去绝对值符号可得a+b﹣2c ＝0，同理可得2b﹣c﹣d＝0，联立即可得a﹣d＝3（c﹣b），再结合题意即可得解.【详解】解：∵|a﹣c|＝|b﹣c|且a，b，c，d为互不相等的实数，∴a﹣c+b﹣c＝0即a+b﹣2c＝0．①∵|b﹣c|＝|d﹣b|且a，b，c，d为互不相等的实数，∴b﹣c＝d﹣b即2b﹣c﹣d＝0．②①②相加可得：a+3b﹣3c﹣d＝0．即a﹣d＝3（c﹣b），又因为|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣b|＝1，则|a﹣d|＝3|b﹣c|＝3，故答案为：3.【点睛】本题考查了含绝对值符号的等式的运算，重点考查了运算能力，属基础题.10．已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)=x2- 4x+1，则f(0)＋f(1)=_____ 【答案】-2【解析】由f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，再结合当x>0时f(x)=x2- 4x+1，可得f（1）＝﹣2，然后求解即可.【详解】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x+1，则f（0）＝0，f（1）＝1﹣4+1＝﹣2，则f（0）+f（1）＝0﹣2＝﹣2，故答案为：-2.【点睛】本题考查了利用函数解析式求值问题，重点考查了奇函数的性质，属基础题.11．若函数f(x)为一次函数，且f(x+1)= f(x)-2,f(x)的零点为1，则函数f(x)的解析式为【答案】f（x）＝﹣2x+2【解析】由待定系数法求解析式，设f（x）＝kx+b，k≠0，再将已知条件代入运算即可得解.【详解】解：设f（x）＝kx+b，k≠0，∵f（x+1）＝f（x）﹣2，∴k（x+1）+b＝kx+b﹣2，即k＝﹣2，∵f（x）＝﹣2x+b的零点为1，即f（1）＝b﹣2＝0，∴b＝2，f（x）＝﹣2x+2，故答案为：f（x）＝﹣2x+2.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了利用待定系数法求解析式，属基础题. 12．某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000,其中a为常数,且当年产量为200 时，总成本为15000. 记该产品的平均成本为f(Q)（平均成本=总成本年产量），则当Q =________., f(Q) 取得最小值，这个最小值为________.【答案】100 60【解析】先阅读题意，再列出该产品的平均成本f(Q)与年产量Q之间的函数关系，再结合重要不等式求解即可，一定要注意取等的条件.【详解】解：某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C＝aQ2+3000，其中a为常数，且当年产量为200时，总成本为15000．可得15000＝40000a+3000，解得a3 10 =，所以C310=Q2+3000，该产品的平均成本为f（Q）3300010QQ=+≥=60．当且仅当3300010QQ=，解得Q＝100，即Q＝100时，f（Q）取得最小值，最小值为60．故答案为：(1). 100 (2). 60 【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了重要不等式，属中档题. 13．设、为不相等的实数.若二次函数满足，则的值为______. 【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得即2a+b=0，再求f(2)的值. 【详解】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得.故答案为：4 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14．函数 y =f (x ) 的定义域为[-2.1,2]，其图像如下图所示，且 f (-2.1) =-0.96（1）若函数 y =f (x ) -k 恰有两个不同的零点，则 k =_____ （2）已知函数 g ( x ) =321,0216,0x x x x x +≤⎧⎨+->⎩， y =g [f (x )] 有_____个不同的零点【答案】4或0 4【解析】（1）函数 y =f (x ) -k 恰有两个不同的零点等价于y ＝f （x ）和y ＝k 的图象有两个不同的交点，再结合图像即可得解；（2）先由函数g （x ）32102160x x x x x +≤⎧=⎨+-⎩，，＞，求得函数g （x ）的零点0x ，再求解0()f x x =的解的个数即可.解：（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点．又y ＝f （x ）的图象如图：由图可得：当y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点时， k ＝4或k ＝0． （2）∵g （x ）32102160x x x x x +≤⎧=⎨+-⎩，，＞， 当x ≤0时，2x +1＝0，得x 12=-； 此时f （x ）12=-，由图可知有一个解； 当x ＞0时，g （x ）＝x 3+2x ﹣16单调递增，∵g （2）＝﹣4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）有一个零点x 0，即f （x ）＝x 0∈（2，3） 由图可知有三个解， ∴共有四个解．故答案为：(1). 4或0(2). 4【点睛】本题考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.三、解答题15．解下列关于 x 的不等式：（1） x 2-2x - 8≤0； （2） x 2+ 4x +5>0 ； （3） x 2≤ax【答案】（1）{x |﹣2≤x ≤4}（3）当a ＝0时，不等式的解集为{0}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |0≤x ≤a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤0}【解析】（1）先将x 2﹣2x ﹣8≤0因式分解得（x ﹣4）（x +2）≤0，再求解集即可； （2）将x 2+4x +5用配方法可得x 2+4x +5＝（x +2）2+1，再解不等式即可；（3）分类讨论当a ＝0时；当a ＞0时；当a ＜0时，再求解不等式即可得解. 【详解】解：（1）由x 2﹣2x ﹣8≤0，得（x ﹣4）（x +2）≤0，所以﹣2≤x ≤4，所以不等式的解集为{x |﹣2≤x ≤4}；（2）因为x 2+4x +5＝（x +2）2+1≥1， 所以不等式x 2+4x +5＞0的解集为R ； （3）由x 2≤ax ，得x 2﹣ax ＝x （x ﹣a ）≤0，所以当a ＝0时，x ＝0；当a ＞0时，0≤x ≤a ；当a ＜0时，a ≤x ≤0， 所以当a ＝0时，不等式的解集为{0}； 当a ＞0时，不等式的解集为{x |0≤x ≤a }； 当a ＜0时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤0}． 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，主要考查了含参不等式的解法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.16．已知集合 A = {x|-1 ≤x ≤1} ， B = {x|2x ≥a } ， （1）当 a =0 时，求A ⋂B ;（2）若 A ⋃B =B ，求实数 a 的取值范围；（3）记集合C =A ⋂B ，若 C 中恰好有两个元素为整数，求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) A ∩B ＝[0，1]；(2) （﹣∞，﹣2]；(3) （﹣2，0]．【解析】（1）由a ＝0时，B ＝{x |x ≥0}，且A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，再求交集即可； （2）由集合的运算A ∪B ＝B ，可得集合间的包含关系A ⊆B ，再列不等式求解即可; （3）由集合A 中有三个整数-1，0，1,再结合{|}2aB x x =≥求解即可. 【详解】解：（1）当a ＝0时，B ＝{x |x ≥0}，且A ＝{x |﹣1≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝[0，1]； （2）∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，且{|}2a B x x =≥， ∴12a≤-，∴a ≤﹣2， ∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （3）∵A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴102a-≤＜，解得﹣2＜a ≤0， ∴实数a 的取值范围为（﹣2，0]． 【点睛】本题考查了集合的运算及集合间的包含关系，重点考查了集合思想，属基础题. 17．已知函数 f ( x ) =ax 2-2ax +1(a ≠ 0)（1）比较 f （1f （1 （2）若函数 f ( x ) 的图像恒在 x 轴的上方，求实数 a 的取值范围； （3）若函数 f ( x ) 在[-1,2]上的最大值为 4，求 a 的值.【答案】(1) f （1）＝f （1）；理由见解析(2)（0，1）；(3) a ＝1或﹣3． 【解析】（1）将1-+（2）由二次函数的图像可得函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有2044a a a ⎧⎨⎩＞＜，运算即可得解；（3）分别讨论当a ＞0时，当a ＜0时，利用函数在[-1,2]的单调性求出函数的最大值，再结合题意求参数的值即可 【详解】解：（1）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，则f （1）＝1+a ，f （1+1+a ，故f （1）＝f （1+； （2）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有2044a a a ⎧⎨⎩＞＜，解可得：0＜a ＜1，即a 的取值范围为（0，1）；（3）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，其对称轴为x ＝1，分2种情况讨论：①当a ＞0时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，在[1，2]上递增，其最大值为f （﹣1）＝1+3a ，则有1+3a ＝4，解可得：a ＝1，②当a ＜0时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，在[1，2]上递减，其最大值为f （1）＝1﹣a ， 则1﹣a ＝4，解可得a ＝﹣3；综合可得：a ＝1或﹣3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题. 18．已知集合 M =(-1,1)，对于 x ,y ∈M ，记ϕ( x ,y ) =1x y xy++ （1）求ϕ(0, 12) 的值； （2）如果 0<x <1，求ϕ( x ,1-x ) 的最小值；（3）求证：∀x ,y ∈M ，ϕ( x ,y ) ∈M【答案】(1)1 2 (2)4 5； (3)证明见解析【解析】（1）先理解新定义的运算，再求值即可； （2）由新定义的运算，得出()2111x x x x ϕ-=-++，，再结合分式函数求最值即可得解；（3）利用新定义的运算求证即可.【详解】解：（1）因为对于 x ,y ∈M ，记ϕ( x ,y ) =1x y xy++， 则101120122102ϕ+⎛⎫== ⎪⎝⎭+⨯，； （2）()()()2111111x x x x x x x x ϕ+--==+--++，，由于x ∈（0，1）时，21551()1244x x x ⎛⎤-++=--+∈ ⎥⎝⎦，，所以()4115x x ϕ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，，，即函数的最小值为45； （3）证明：因为x ，y ∈（﹣1，1），所以（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，xy ﹣x ﹣y +1＞0，xy +1＞x +y ，又1+xy ＞0，所以11x y xy++＜；同理：（x +1）（y +1）＞0，xy +x +y +1＞0，xy +1＞﹣（x +y ），又1+xy ＞0，所以11x y xy+-+＞，综上，1x y M xy+∈+． 即有∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ．【点睛】本题考查了阅读能力，主要考查了对新定义的理解，重点考查了运算能力，属中档题. 19．已知函数 f ( x ) 满足：函数 y =()f x x在(0,3]上单调递增. （1）比较3f (2) 与 2f (3) 的大小，并说明理由；（2）写出能说明“函数 y =f ( x ) 在（ 0, 3]单调递增”这一结论是错误的一个函数；（3）若函数的解析式为 f ( x ) =ax 3+ (1-a )x 2，求 a 的取值范围.【答案】(1) 3f （2）＜2f （3），理由见解析；(2) f （x ）＝﹣1 (3)1 15a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，． 【解析】（1）由()f x y x =在（0，3]上单调递增，则有()()2323f f ＜，得解；（2）由题意可得f （x ）＝﹣1满足要求；（3）y ()f x x ==ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增观察二次函数的开口,再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可.【详解】（1）3f （2）＜2f （3），理由如下：∵()f x y x =在（0，3]上单调递增，∴()()2323f f ＜，∴3f （2）＜2f （3）；（2）f （x ）＝﹣1；（3）∵y ()f x x ==ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增，当a ＞0时，对称轴10a x a -=≤时符合题意，解得a ∈（0，1]；当a ＜0时，对称轴132a x a -=≥时符合题意，解得105a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上，115a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查了函数的单调性，重点考查了分离变量最值法求参数的范围，属中档题. 20．设A (x A ,y A )， B (x B ,y B )为平面 直角坐标系上的两点，其中x A ,y A ,x B ,y B 均为整数3B A B A x x y y -+-= ，则称点 B 为点A 的“相关点”.点P 1是坐标原点 O 的“相关点”，点P 2是点P 1的“相关点”，点P 3是P 2的“相关点”，······依次类推，点P 2019是点P 2018的“相关点”.注：点A (x 1,y 1)， B (x 2,y 2)间的距离AB =（1）直接写出点 O 与点P 1间的距离所有可能值（2）求点 O 与点P 3间的距离最大值；（3）求点 O 与点P 2019间的距离最小值.【答案】(1) 3(2)9 (3)1【解析】（1）先阅读题意，再由题意直接写出可能值即可；（2）理解题意，结合（1）可得当点1P 为（3，0），点2P 为（6，0），点3P 为（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大；（3）“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N ）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O 与点P 2016间的距离最小值为0，再按题意求解即可.【详解】解：（1）点O 与点P 1间的距离所有可能值：3（2）因为点O （0，0），所以由（1）可知，当点P 1（3，0），点P 2（6，0），点P 3（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大，∴点O 与点P 3间的距离最大值为9．（3）因为“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N ）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O 与点P 2016间的距离最小值为0，此时点P 2016又回到最初位置，坐标为（0，0），然后经过三次变换：P 2016（0，0）﹣﹣P 2017（2，1）﹣﹣P 2018（1，3）﹣﹣P 2019（0，1），所以点O 与点P 2019间的距离最小值为1．【点睛】本题考查了对新定义的理解，重点考查了阅读能力，属中档题.。

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1}D ．{0，1，2}2．（5分）如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．1a＜1bB ．ab ＜b 2C ．﹣ab ＜﹣a 2D ．−1a ＜−1b3．（5分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ） A ．y =√x −1B ．y =1x−1C ．y =√x 2+1D ．y =√1x−14．（5分）已知f （x ）＝ax 3+bx ﹣4，若f （2）＝6，则f （﹣2）＝（ ） A ．﹣14B ．14C ．﹣6D ．105．（5分）设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）函数f(x)=x 2−1x−2在区间（1，3）内的零点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．（5分）已知命题“∃x ∈R ，2x 2+（a ﹣1）x +12≤0是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣3，+∞）D ．（﹣3，1）8．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，94]B ．（﹣∞，73]C ．（﹣∞，52]D ．（﹣∞，83]二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．（5分）已知x ﹣2y ＝6，x ﹣3y ＝4，则x 2﹣5xy +6y 2的值为 ．10．（5分）已知α，β是方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则α2﹣2αβ+β2＝ ． 11．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 12．（5分）已知函数f （x ）={x 2+1(x ≥0)−2x(x ＜0)，若f （x ）＝10，则x ＝ ．13．（5分）若二元一次方程3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1，y ＝kx ﹣9有公共解，求实数k ＝ ． 14．（5分）已知λ∈R ，函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ，当λ＝2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．（10分）已知集合A ＝{x |﹣4+a ＜x ＜4+a }，B ＝{x |x+1x−5≥0}．（1）若a ＝1，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．16．（10分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时有f （x ）=4xx+4 （1）判断函数f （x ）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明； （2）求函数f （x ）的解析式（写成分段函数的形式）．17．（10分）已知关于x 的不等式（ax ﹣1）（x ﹣2）＞2的解集为A ，且3∉A ． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求集合A ．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 18．（4分）函数y =√x +1+√3−x 的定义域是 ． 19．（4分）已知函数f （x ）=11+x 2，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （12）+f （13）+f （14）＝ ．20．（4分）设x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5，则√xy的最小值为 ．21．（4分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．22．（4分）设函数f （x ）的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x ∈D ，都有f （x +m ）＞f （x ），则称f （x ）为D 上的“m 型增函数”．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0．（1）若方程有实数根，求实数k的取值范围；（2）如果k是满足（1）的最大整数，且方程x2﹣4x+2k＝0的根是一元二次方程x2﹣2mx+3m ﹣1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．24．（10分）已知函数f（x）＝（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x＝1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．25．（10分）对于区间[a，b]（a＜b），若函数y＝f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y＝f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．（1）求函数y＝x2的所有“保值”区间；（2）函数y＝x2+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．【解答】解：因为A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：A．2．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，可得1a =−121b=−1，∴1a＞1b，故A不正确．可得ab＝2，b2＝1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab＝﹣2，﹣a2＝﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．3．【解答】解：A．y=√x−1≥0，故A不符合；B.y=1x−1∈(−∞，0)∪(0，+∞)，故B不符合；C.y=√x2+1≥1，故C不符合；D.y=√1x−1的定义域为{x|x＞1}，当x＞1时，1x−1＞0，∴y=√1x−1＞0，故D符合．故选：D．4．【解答】解：∵f（x）＝ax3+bx﹣4∴f（x）+f（﹣x）＝ax3+bx﹣4+a（﹣x）3+b×（﹣x）﹣4＝﹣8∴f（x）+f（﹣x）＝﹣8∵f（2）＝6∴f（﹣2）＝﹣14故选：A．5．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3由x2﹣x﹣6＜0得﹣2＜x＜3，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故选：A．6．【解答】解：f′（x）＝2x+1x2，当x∈（1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，3）上单调递增，又f（1）＝﹣2＜0，f（3）=203＞0，∴f（x）在（1，3）上有1个零点．故选：B．7．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+12≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+12＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+12≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+12＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+12＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×12＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．8．【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[−14，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[−12，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x ∈（2，3]时，由4（x ﹣2）（x ﹣3）=−89解得x =73或x =83， 若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m ≤73． 故选：B ．二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．【解答】解：∵x ﹣2y ＝6，x ﹣3y ＝4， ∴x 2﹣5xy +6y 2＝（x ﹣2y ）（x ﹣3y ） ＝6×4＝24． 故答案为：24．10．【解答】解：∵α，β是方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根， ∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣7，则α2﹣2αβ+β2＝（α+β）2﹣4αβ＝（﹣2）2﹣4×（﹣7）＝32． 故答案为：32．11．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6+4x ≥4×2×√900x ⋅x =240（万元）． 当且仅当x ＝30时取等号． 故答案为：30．12．【解答】解：令x 2+1＝10， 解得，x ＝3或x ＝﹣3（舍去）； 令﹣2x ＝10，解得，x ＝﹣5； 故答案为：3或﹣5．13．【解答】解：由3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1得，两直线的交点坐标为（2，﹣1）， ∵二元一次方程3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1，y ＝kx ﹣9有公共解， ∴点（2，﹣1）在直线y ＝kx ﹣9上， ∴﹣1＝2k ﹣9，∴k ＝4． 故答案为：4．14．【解答】解：当λ＝2时函数f （x ）={x −4，x ≥2x 2−4x +3，x ＜2，显然x ≥2时，不等式x ﹣4＜0的解集：{x |2≤x ＜4}；x ＜2时，不等式f （x ）＜0化为：x 2﹣4x +3＜0，解得1＜x ＜2，综上，不等式的解集为：{x |1＜x ＜4}． 函数f （x ）恰有2个零点， 函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ的草图如图：函数f （x ）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x |1＜x ＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．【解答】解：B ＝{x |x ≤﹣1或x ＞5}， （1）若a ＝1，则A ＝{x |﹣3＜x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x |﹣3＜x ≤﹣1}； （2）∵A ∪B ＝R ， ∴{−4+a ≤−14+a ＞5， ∴1＜a ≤3，∴实数a 的取值范围为（1，3]．16．【解答】解：（1）函数f(x)=4xx+4在[0，+∞）上单调递增．证明：设x 1＞x 2≥0，则f(x 1)−f(x 2)=4x 1x 1+4−4x2x 2+4，=16(x 1−x 2)x 1x 2+4(x 1+x 2)+16，又x 1＞x 2≥0，所以x 1﹣x 2＞0，x 1x 2≥0，x 1+x 2＞0， 所以16(x 1−x 2)x 1x 2+4(x 1+x 2)+16＞0．则f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），故函数f(x)=4xx+4在[0，+∞）上单调递增； （2）由于当x ≥0时有f(x)=4x x+4， 而当x ＜0时，﹣x ＞0，则f(−x)=−4x−x+4=4xx−4=f(x)， 即f(x)=4xx−4（x ＜0）． 则f(x)={4xx+4(x ≥0)4xx−4(x ＜0)． 17．【解答】解：（I ）∵3∉A ，∴当x ＝3时，有（ax ﹣1）（x ﹣2）≤2， 即3a ﹣1≤2； 解得a ≤1，即a 的取值范围是{a |a ≤1}；…（3分） （II ）（ax ﹣1）（x ﹣2）＞2， ∴（ax ﹣1）（x ﹣2）﹣2＞0， ∴ax 2﹣（2a +1）x ＞0，…（4分） 当a ＝0时，集合A ＝{x |x ＜0}；…（5分）当a ＜−12时，集合A ={x|0＜x ＜2+1a }；…（6分） 当a =−12时，原不等式的解集A 为空集；…（7分） 当−12＜a ＜0时，集合A ={x|2+1a ＜x ＜0}；…（8分） 当0＜a ≤1时，集合A ={x|x ＜0或x ＞2+1a}．…（9分）四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 18．【解答】解：要使函数y =√x +1+√3−x 的解析式有意义， 自变量x 须满足：的解：要要{x +1≥03﹣x ≥0 即∴{x ＜−1x ≤3解得∴﹣1≤x ≤3∴y =√x +1+√3−x 定义域为[﹣1，3] 故答案为：[﹣1，3]19．【解答】解：∵f （x ）=11+x 2，∴f （1x ）=x 21+x 2，∴f （x ）+f （1x）=11+x 2+x 21+x 2=1， ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （12）+f （13）+f （14） ＝f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （13）+f （4）+f （14）＝312，故答案为：312．20．【解答】解：x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5， 则√xy=√xy=√xy=2√xy +6xy； 由基本不等式有： 2√xy 6xy ≥2√2√xy ⋅6xy=4√3； 当且仅当2√xy =6xy 时，即：xy ＝3，x +2y ＝5时，即：{x =3y =1或{x =2y =32时；等号成立， 故(x+1)(2y+1)√xy的最小值为4√3；故答案为：4√321．【解答】解：①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元）， 即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得（m ﹣x ）×80%≥m ×70%， 即有x ≤m8恒成立， 由题意可得m ≥120， 可得x ≤1208=15， 则x 的最大值为15元． 故答案为：130，1522．【解答】解：∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝|x ﹣a |﹣a （a ∈R ），得f （x ）={|x −a|−a ，x ＞00，x =0−|x −a|+a ，x ＜0，f （x +20）＞f （x ），∵f （x ）为R 上的“20型增函数”， ∴f （x +20）＞f （x ），当x ≥0时，|20+x ﹣a |﹣a ＞|x ﹣a |﹣a ，式子|x +20﹣a |＞|x ﹣a |的几何意义为数轴上到点a 的距离小于到点a ﹣20的距离， 又x ＞0，∴a +a ﹣20＜0，解得a ＜10；当x ＜0＜x +20时，|x +20﹣a |﹣a ＞﹣|x +a |+a ，即|x +20﹣a |+|x +a |＞2a 恒成立， ∴根据几何意义得|2a ﹣20|＞2a ，即a ＜5；当x ＜x +20＜0时，﹣|x +20+a |+a ＞﹣|x +a |+a ，即|x +20+a |＜|x +a |恒成立， ∴﹣a ﹣a ﹣20＞0，即a ＜10． ∴实数a 的取值范围是a ＜5． 故答案为：（﹣∞，5）五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 23．【解答】解：（1）由题意△≥0， ∴16﹣8k ≥0， ∴k ≤2．（2）由题意k ＝2，方程x 2﹣4x +2k ＝0的根，x 1＝x 2＝2， ∴方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的一个根为2， ∴4﹣4m +3m ﹣1＝0， ∴m ＝3，方程为x 2﹣6x +8＝0， ∴x ＝2或4，∴方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的另一个根为4．24．【解答】（Ⅰ）解法一：因为f （x ）＝（x ﹣2）（x +a ）＝x 2+（a ﹣2）x ﹣2a ， 所以，f （x ）的图象的对称轴方程为x =2−a2． 由2−a 2=1，得a ＝0．解法二：因为函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称， 所以必有f （0）＝f （2）成立， 所以﹣2a ＝0，得a ＝0．（Ⅱ）解：函数f （x ）的图象的对称轴方程为x =2−a2．①当2−a 2≤0，即 a ≥2时，因为f （x ）在区间（0，1）上单调递增，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f （0）＝﹣2a ．②当0＜2−a 2＜1，即 0＜a ＜2时， 因为f （x ）在区间(0，2−a 2)上单调递减，在区间(2−a 2，1)上单调递增，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f(2−a 2)=−(2+a 2)2．③当2−a 2≥1，即 a ≤0时，因为f （x ）在区间（0，1）上单调递减，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f （1）＝﹣（1+a ）．25．【解答】解：（1）因为函数y ＝x 2的值域是[0，+∞），且y ＝x 2在[a ，b ]的值域是[a ，b ]， 所以[a ，b ]⊆[0，+∞），所以a ≥0，从而函数y ＝x 2在区间[a ，b ]上单调递增，故有{a 2=a b 2=b.解得{a =0，或a =1b =0，或b =1.又a ＜b ，所以{a =0b =1.所以函数y ＝x 2的“保值”区间为[0，1]．…（3分） （2）若函数y ＝x 2+m （m ≠0）存在“保值”区间，则有：①若a ＜b ≤0，此时函数y ＝x 2+m 在区间[a ，b ]上单调递减，所以 {a 2+m =b b 2+m =a.消去m 得a 2﹣b 2＝b ﹣a ，整理得（a ﹣b ）（a +b +1）＝0． 因为a ＜b ，所以a +b +1＝0，即 a ＝﹣b ﹣1．又{b ≤0−b −1＜b所以 −12＜b ≤0． 因为 m =−b 2+a =−b 2−b −1=−(b +12)2−34(−12＜b ≤0)，所以 −1≤m ＜−34．…（6分） ②若b ＞a ≥0，此时函数y ＝x 2+m 在区间[a ，b ]上单调递增，所以 {a 2+m =a b 2+m =b.消去m 得a 2﹣b 2＝a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣1）＝0． 因为a ＜b ，所以 a +b ﹣1＝0，即 b ＝1﹣a ．又{a ≥0a ＜1−a所以 0≤a ＜12． 因为 m =−a 2+a =−(a −12)2+14(0≤a ＜12)，所以 0≤m ＜14．因为 m ≠0，所以 0＜m ＜14．…（9分）综合①、②得，函数y＝x2+m（m≠0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是[−1，−34)∪(0，14)．…（10分）。

可编辑修改精选全文完整版2019—2020年度第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷一．选择题1.设集合{}0,1,2,3M =,{}02N x N x =∈≤≤,则M N ⋂中元素的个数为( )A. 0B. 2C. 3D. 4 2.命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ）A. 2,220x x x ∀∈++>RB. 2,220x R x x ∀∈++≤C. 2,220x x x ∃∈++>RD. 2,220x x x ∃∈++≥R 3.下列四组函数,表示同一函数的是( )A. ()f x =()g x x =B. ()f x x =,()21x x g x x -=-C. ()f x x =,(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩D. ()f x =()g x =4.条件p :a b =是条件q :a b c c>的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5.已知集合30x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭,{}B x x a =<,若A B B ⋃=,则实数a 的取值范围是( ) A. [)3,+∞ B. ()3,+∞ C. (],0-∞ D. ,0 6.已知偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,+x ∈∞时，()f x 是增函数，()2f -，()f π，()3f -的大小关系是（ ）A. ()()()23f f f π>->-B. ()()()32f f f π>->-C. ()()()23f f f π>->-D. ()()()32f f f π>->-7.函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 38.已知函数()2,00x x f x x ⎧≥⎪=<,若()4f a =,则a 等于( ) A. 2 B. 2- C. 2± D. 2或16-9.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率%x ),则每年销售量将减少10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则x 的最小值为( )A. 2B. 6C. 8D. 1010.定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n 满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值（ ）A. 一定大于12B. 一定小于12C. 一定等于14D. 一定小于14第Ⅱ卷二､填空题11.函数()f x =的定义域是______．12.已知函数()2,01,0x x f x x x ⎧≤=⎨-+>⎩;则()3f f -⎡⎤⎣⎦等于______．13.已知()1,x ∈+∞,则函数91y x x =+-的最小值等于______． 14.已知函数()221f x x x =-++, ①函数的值域是______．②若函数在[]3,a -上不是单调函数,则实数a 的取值范围是______．15.已知实数,a b 满足2850a a -+=,2850b b -+=,则22a b +=______．16.若方程2210ax x --=在()0,1内恰有一个根,则实数a 的取值范围是______．17.函数y = f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当[]1,1x ∈-时，y 的取值范围是______；②如果对任意[],x a b ∈ (b <0)，都有[]2,1y ∈-，那么b 的最大值是______．18.能够说明“若()0f x <对任意的(]0,2x ∈都成立,则函数()f x 在(]0,2是减函数”为假命题的一个函数是______．(答案不唯一)19.对于函数()1f x x=(0x >)的定义域中任意1x ,2x (12x x ≠)有如下结论: ①()()()1212f x x f x f x +=+;②()()12120f x f x x x ->-;③()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭上述结论中正确结论的序号是______．20.已知函数()212f x x x=+,a ,b 均为正数且2a b +=,则()()f a f b +的最小值等于______． 三､解答题21.已知函数()43f x x x =-+的定义城为A ,集合{}11B x a x a =-<<+ (1)求集合A ;(2)若全集{}5U x x =≤,2a =,求u A B ;(3)若x B ∈是x A ∈的充分条件,求a 的取值范围．22.已知函数()4f x x x=- (1)判断函数的奇偶性,并说明理由:(2)证明:函数()f x 在0,上单调递增; (3)求函数()4f x x x=-,[]4,1x ∈--的值域．23.已知函数()()22f x x a x b =+++,其中a ,b R ∈． (1)当1a =,4b =-时,求函数()f x 的零点;(2)当2b a =时,解关于x 的不等式()0f x ≤;(3)如果函数()f x 的图象恒在直线22y x =+的上方,证明:2b >．参考答案1【答案】C【详解】解:因为集合()0,1,2,3M =,{}02N x N x =∈≤≤, 所以{}{}00,1,22N x N x =∈≤≤=,所以{}0,1,2M N ⋂=,则M N ⋂中元素的个数为3个.故选:C2【答案】A【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确. 故选A.3【答案】C【详解】解: 选项A.:()f x =R ,()g x x =的定义域为R()f x x ==,对应法则不同,不是同一函数.选项B.:()f x x =定义域为R ,()21x x g x x -=-定义域为{}|1x x ≠, 定义域不同,不是同一函数.选项C:()f x x = 定义域为R ,(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域为R . (),0,0f x x x x x x ≥⎧=⎨-<=⎩,定义域相同,对应法则也相同,是同一函数.选项D:()f x ={}|1x x ≥,()g x =定义域为|11x x ,定义域不同,不是同一函数.故选:C4【答案】D 详解】解:证充分性:若:p a b =,则a b c c=,则 p q ≠>,则充分性不成立.证必要性: 若q : a b c c>,则a b >,则q p ≠>,则必要性不成立. 故条件:p a b =是条件q :a b c c>的既不充分也不必要条件. 故选:D5【答案】B【详解】解: {}3003x A x x x x ⎧⎫-=≤=<≤⎨⎬⎩⎭, 又因为: {}B x x a =<,若A B B ⋃=,所以A B ⊂,则|3a a所以实数a 的取值范围是: ()3,+∞.故选:B6【答案】B【详解】由题意，函数()f x 为定义域上的偶函数，可得()()2(2),3(3)f f f f -=-=， 又由当[)0,+x ∈∞时，()f x 是增函数，且32π>>，所以()()()32f f f π>>，即()()()32f f f π>->-.故选：B .7【答案】B【详解】解: ()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩,当1x ≥ 时, ()10f x x ==无解,则不存在零点. 当1x < 时,()220f x x =-+=,解得x =1x =>(舍去),则零点为x =综上所述: ()f x 的零点个数是1.故选:B8【答案】D【详解】解:因为函数()2,0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,()4f a = 当0a ≥ 时, ()24f a a ==,解得2a =.当0a < 时, ()4f a a =-=,解得16a =-故a 等于2或16-.故选:D9【答案】A【详解】2(10010)70%1121016028x x x x x -⨯⨯≥⇒-+≤∴≤≤，x 的最小值为2，选A. 10【答案】D【详解】由题可得：()()010f n f n ⎧>⎪⎨+>⎪⎩. 又,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，所以p αβ+=-，q αβ⋅=.将函数()2f x x px q =++图像往上平移时，开口大小保持不变，如图当函数()2f x x px q =++图像往上平移时，()(){}min ,1f n f n +变大， 即：当αβ→时，()(){}min ,1f n f n +越大， 又由二次函数的对称性得：当2121,22n n αβ++→→时，()(){}min ,1f n f n +最大 令212n αβ+==，则：122n αβ+=-，()(){}min ,1f n f n +就是()f n ． 又()2f n n pn q =++=2112222p q αβαβ++⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2112222αβαβαβαβ++⎛⎫⎛⎫=--+-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =()2144αβ--由已知得αβ<，所以()f n 一定小于14， 所以()(){}min ,1f n f n +一定小于14. 故选D 【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题． 11【答案】[]2,2-【详解】解: ()f x =:20x -≥,解得22x -≤≤ ,故函数的定义域为:[]2,2-.故答案: []2,2-12【答案】8-【解析】【详解】解: 因为函数()2,01,0x x f x x x ⎧≤=⎨-+>⎩, 则()()()2339918f f f f ⎡⎤-=-==-+=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 故答案为:8-.【点睛】本题考查分段函数求值,看清楚自变量所在的区间是解题的关键.13【答案】7【详解】解: 已知()1,x ∈+∞,则10x ->, 所以()991111y x x x x =+=-++--17≥=, 当且仅当911x x -=-,即4x =时,等号成立. 所以函数91y x x =+-的最小值为7. 故答案为: 714【答案】 (1). (],2-∞ (2). 1,【详解】解: ①()221f x x x =-++,定义域为R ,开口向下,()221f x x x =-++()2212x x =--++()2122x =--+≤,所以函数的值域是(],2-∞.②因为()()212f x x =--+,对称轴为1x =,若函数在[]3,a -上不是单调函数,则1a >,故实数a 的取值范围是1,.故答案为: ①(],2-∞;②1,15【答案】54或54±【详解】解:因为2850a a -+=,2850b b -+=, ①当a b 时,可设,a b 是方程2850x x -+=的两根, 85a b a b , ()2222282554a b a b ab ∴+=+-=-⨯=②当a b =时,解2850a a -+=得411a ,所以当4a b ==, 2254a b +=+当4a b ==, 2254a b +=-综上所述: 22a b +的值为54或54±.故答案为: 54或54±16【答案】1,【详解】解:令()221f x ax x =--.当0a =时,()1f x x =--,0f x 的根为1x =-,显不在区间0,1内,所以0a =时不成立.当0a ≠时,若一元二次方程0f x在0,1内恰有一个根, 则有以下两种情况：①0f x有两个相等的实数根, 则180a ,18a =, 此时0f x的解为2x =-,不在区间0,1内, 所以18a =时不成立； ②0f x 有两个不相等的实数根,且有一个根在0,1内,则()()010f f ⋅<,则()()22200121110a a ⨯--⋅⨯--<,解得1a >.综上可知,实数a 的取值范围是:1,.故答案为: 1,17【答案】 (1). []1,2 (2). 2-【详解】由图象可知，当0x =时，函数在[]1,1-上的最小值min 1y =， 当1x =±时，函数在[]1,1-上的最小值max 2y =， 所以当[]1,1x ∈-，函数()y f x =值域为[]1,2；当[]0,3x ∈时，函数()()212f x x =--+，当[)3,x ∈+∞时，函数()5f x x =-， 当()1f x =时，2x =或7x =，又因为函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以对于任意[],(0)x a b b ∈<，要使得[]2,1y ∈-，则a R ∈，7b =-或2b =-， 则实数b 的最大值是2b =-． 故答案为[]1,22-；18【答案】()sin f x x =-(答案不唯一)【详解】解:令()sin f x x =-,则对任意的(]0,2x ∈,()0f x <都成立. ()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减,在,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增. 故函数()f x 在(]0,2是减函数不成立.故()sin f x x =-是符合题意的一个函数.故答案为: ()sin f x x =-(答案不唯一)19【答案】③【详解】解: 对于①,12121f x x x x ,121211f x f x x x , 显然()()()1212f x x f x f x +≠+,故①不正确;对于②,取121,2x x ==,则1211,2f x f x , 可得()()121211120122f x f x x x --==-<--,故②不正确; 对于③121222x x f x x +⎛⎫=⎪+⎝⎭,()()12121212111222f x f x x x x x x x +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭, 2121212121222f x f x x x x x f x x x x ,120,0x x 且12x x ≠,21212120x x x x x x , 1212022f x f x x x f , 121222f x f x x x f ,故③正确.故答案为: ③20【答案】3【详解】解:因为a ,b 均为正数且2a b +=,所以20b a ,则02a <<,()()221122a b a f a f b b ++=++ ()212422a b a b ab ab ab ab+=+-+=-+ 因为a ,b 均为正数且2a b +=,所以a b +≥,则2220122a b ab +⎛⎫⎛⎫<≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令t ab =,则01t <≤, ()142f t t t=-+在01t <≤单调递减, 所以()min 142131f t =-⨯+= 所以()()3f a f b +≥. 故()()f a f b +的最小值等于3.故答案为:321【答案】(1)|34x x A ;(2){}|3134U A B x x x =-<≤-≤≤或;(3)|3a a .【详解】解: (1)要使函数()f x =有意义, 则4030x x -≥⎧⎨+>⎩,即34x 所以函数的定义域为|34x x.所以集合|34x x A(2)因为全集{}5U x x =≤,2a =, , {}{}1113B x a x a x x ∴=-<<+=-<<{}|135U B x x x ∴=≤-≤≤或,{}|3134U A B x x x =-<≤-≤≤或;(3)由(1)得|34x x A, 若x B ∈是x A ∈的充分条件,即B A ⊆,①当B =∅时, B A ⊆,即11,a a -≥+0a ∴≤②当B ≠∅时, B A ⊆,11013403143a a a a a a a a -<+>⎧⎧⎪⎪-≥-⇒≤⇒<≤⎨⎨⎪⎪+≤≤⎩⎩,综上所述: a 的取值范围为{}|3a a ≤ 22【答案】（1）证明见解析;（2）证明见解析;（3）[]3,3--.【详解】解: （1）证明:定义域为(,0)(0,)-∞+∞; 444()()f x x x x f x x x x ,f x 为奇函数.（2）证明:对任意的()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,()()12112244x x f x f x x x ⎛⎫=--- ⎝-⎪⎭()121244x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()1212124x x x x x x -=-+()121241x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭120x x <<,12120,0x x x x ,()()120f x f x ∴-<()()12f x f x ∴<f x 在0,上单调递增. （3）f x 为奇函数且在0,上是增函数, 则()f x 在,0上是增函数,f x 在[]4,1--上是增函数,()()()41f f x f -≤≤-,即()33f x -≤≤,所以函数()4f x x x=-,[]4,1x ∈--的值域为[]3,3-- 23【答案】(1) 4-或1;(2)当2a =时,解集为|2x x ,当2a >时解集为,2a ,当2a <时,解集为2,a ;(3)证明见解析.【详解】解: (1)因为函数()()22f x x a x b =+++, 当1a =,4b =-时, ()()2221434f x x x x x =++-=+- 0f x ,则2340x x +-=,解得4x =-或1x =. 所以函数的零点为4-或1;(2)当2b a =时,()()222f x x a x a =+++, 令0f x 解得x a =-或2x =-,①当2a =时, ()0f x ≤的解集为|2x x②当2a >时, ()0f x ≤的解集为,2a , ③当2a <时, ()0f x ≤的解集为2,a .(3)如果函数()f x 的图象恒在直线22y x =+的上方, 则()22f x x >+对任意的x ∈R 恒成立,即220x ax b ++->对任意的x ∈R 恒成立24(2)0a b ∴=--<,即224a b -> 又因为204a ≥,所以20b ->,2b >. 所以函数()f x 的图象恒在直线22y x =+的上方, 2b >成立.。

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B ＝（）A．{2，3，4，5}B．{3}C．{1，4，5}D．{1，3，4，5}2．（5分）函数f(x)=√x−1x−2的定义域是（）A．R B．{x|x＞2}C．{x|x≥1}D．{x|x≥1且x≠2} 3．（5分）若a＞b，则下列各式中正确的是（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．a+c2＞b+c2D．1a ＜1b4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝x2﹣2x B．y＝|x|C．y＝2x+1D．y=−√x 5．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞06．（5分）下列函数中：①y=2x②y=1(x+1)2③y＝x2+1④f(x)={x+1，x＜01−x，x＞0偶函数的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）“x＞1”是“x2﹣x＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）9．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1C．f(x)=4x D．f（x）＝x﹣|x|10．（5分）函数f（x）=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（∁U A ）∩B ＝ ．12．（5分）已知f(x)={2x −1，x ≥03x 2，x ＜0，则f （f （﹣1））的值为 ．13．（5分）函数y ＝x 2+3x ﹣1，x ∈[﹣2，3]的值域是 ． 14．（5分）若x ＞0，则f(x)=4x +19x的最小值为 ． 15．（5分）若二次函数f （x ）的图象关于x ＝2对称，且f （a ）≤f （0）＜f （1），则实数a 的取值范围是 ．16．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （i ）男学生人数多于女学生人数； （ii ）女学生人数多于教师人数； （iii ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ． ②该小组人数的最小值为 ． 三.解答题：本大题共3小题，共30分17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，B ＝{x |x 2+4x +3＜0}，C ＝{x |2k ﹣1＜x ＜2k +3}． （1）求A ∪B ；（2）若C ⊆A ∪B ，求实数k 的取值范围． 18．（8分）已知a ，b ＞0，证明：a 3+b 3≥a 2b +ab 2．19．（12分）已知函数f（x）=2x−1a，g(x)=2x−1a（a∈R，a≠0）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分20．（4分）已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝．21．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|≤5的解集是．22．（4分）已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①xz＜yz②xy＞yz③xy＞xz④x|y|＞z|y|四个式子中正确的是．（只填写序号）23．（4分）设f(x)={(x−a)2，x≤0 x+1x，x＞0．（1）当a=12时，f（x）的最小值是；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是．24．（4分）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．（10分）已知函数f（x）＝x2+a|x﹣1|．（1）当a＝2时，解方程f（x）＝2；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．26．（10分）设a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）＝bx2+cx+d，g（x）＝ax3+bx2+cx+d．若f（x），g（x）满足①f（x）有零点；②f（x）的零点均为g（f（x））的零点；③g（f（x））的零点均为f（x）的零点．则称f（x），g（x）为一对“K函数”．（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由；（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；（3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．【解答】解：∵A ＝{1，3}，B ＝{3，4，5}， ∴A ∩B ＝{3}． 故选：B ．2．【解答】解：函数f(x)=√x−1x−2中， 令{x −1≥0x −2≠0， 解得x ≥1且x ≠2，所以函数f （x ）的定义域是{x |x ≥1且x ≠2}． 故选：D ．3．【解答】解：由a ＞b ，可得ac 与bc 大小关系不确定，ac 2≥bc 2，a +c 2＞b +c 2，1a与1b 的大小关系不确定． 因此只有C 确定． 故选：C ．4．【解答】解：由二次函数的性质可知，y ＝x 2﹣2x 在（0，+∞）上先减后增，故A 错误； y ＝|x |在（﹣∞，0）上为减函数，（0，+∞）上为增函数，故B 错误； 由一次函数的性质可知，y ＝2x +1在（0，+∞）上为增函数，故C 错误；由幂函数的性质可知，y =√x 在（0，+∞）上为增函数，从而有y =−√x （0，+∞）上为减函数，故D 正确； 故选：D ．5．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0 故选：B ．6．【解答】解：①由y =2x =f （x ），可得f （﹣x ）=−2x =−f （x ），即不为偶函数； ②f （x ）=y =1(x+1)2的定义域为{x |x ≠﹣1}，关于原点不对称，不是偶函数；③由二次函数的性质可知，y ＝x 2+1的图象关于y 轴对称，为偶函数； ④由f(x)={x +1，x ＜01−x ，x ＞0可得f （﹣x ）={1+x ，x ＜0−x +1，x ＞0=f （x ）是偶函数．故选：C．7．【解答】解：∵x2﹣x＞0⇔x＞1或x＜0，∴当x＞1时，x2﹣x＞0成立，当x2﹣x＞0时，x＞1不一定成立，∴“x＞1”是“x2﹣x＞0”的充分不必要条件．故选：A．8．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x﹣3，∴f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，由函数零点判定定理可知，函数在（1，2）上一定存在零点．故选：B．9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝（x+2）2，f（2x）＝（2x+2）2＝4（x+1）2，2f（x）＝2（x+2）2，f（2x）≠2f（x）；对于B，f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1，2f（x）＝2（x+1）＝2x+2，f（2x）≠2f（x）；对于C，f（x）=4x，f（2x）=42x=2x，2f（x）=8x，f（2x）≠2f（x）；对于D，f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2x﹣2|x|，2f（x）＝2x﹣2|x|，f（2x）＝2f（x），符合题意；故选：D．10．【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，f（0）=bc2＞0，∴b＞0，由f（x）＝0得ax+b＝0，即x=−b a，即函数的零点x=−ba＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合∁U A＝{x|x≤0或x≥2}，所以集合（∁U A ）∩B ＝{﹣3，﹣1，3}． 故答案为：{﹣3，﹣1，3}． 12．【解答】解：根据题意，f(x)={2x −1，x ≥03x 2，x ＜0，则f （﹣1）＝3×（﹣1）2＝3， 则f （f （﹣1））＝f （3）＝2×3﹣1＝5； 故答案为：5．13．【解答】解：因为y ＝x 2+3x ﹣1，所以函数对称轴为x =−32，因为x ∈[﹣2，3]，所以当x =−32时，y 的值最小为(−32)2+3×(−32)−1=−134， 当x ＝3时，y 的值最大为32+9﹣1＝17， 所以函数的值域为[−134，17]． 故答案为：[−134，17]． 14．【解答】解：∵x ＞0，∴4x +19x ≥2√4x ⋅19x =43（当且仅当4x =19x 即x =16时，取“＝”号）， ∴当x =16时，f （x ）最小值为43．故答案为：43．15．【解答】解：由题意可知二次函数f （x ）的对称轴为x ＝2， 因为f （0）＜f （1），所以f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，所以二次函数f （x ）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． ①当a ∈（﹣∞，2）时：{a ＜2a ≤0，解得a ≤0．②当a ∈（2，+∞）时：因为f （4）＝f （0）， 所以{a ＞2a ≥4，解得a ≥4．综上所求：a ≤0或a ≥4． 故答案为：a ≤0或a ≥416．【解答】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则{x＞yy＞42×4＞x，即4＜y＜x＜8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则{x＞yy＞z2z＞x，即z＜y＜x＜2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12三.解答题：本大题共3小题，共30分17．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x2+4x+3＜0}＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，则A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞3}；（2）由C＝{x|2k﹣1＜x＜2k+3}，且C⊆A∪B，令2k﹣1≥3或2k+3≤﹣1，解得k≥2或k≤﹣2，所以实数k的取值范围是k≤﹣2或k≥2．18．【解答】证明：（a3+b3）﹣（a2b+ab2）＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，（a﹣b）2≥0，∴（a﹣b）2（a+b）≥0，则有a3+b3≥a2b+b2a．19．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）=2x−1．∵f（x）＞0，∴2x−1＞0，∴0＜x＜2，∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}；（2）f （x ）+g （x ）=2x −1a +2x −1a =2x +2x −2a， ∵f （x ）+g （x ）≥0在（0，+∞）上恒成立， ∴2a ≤2x+2x 在（0，+∞）上恒成立，∴只需2a≤(2x+2x)min ．∵当x ＞0时，2x+2x ≥2√2x⋅2x =4，当且仅当x ＝1时取等号，∴(2x +2x)min =4，∴2a≤4，∴a ＜0或a ≥12，∴a 的取值范围为（﹣∞，0）∪[12，+∞）．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分 20．【解答】解：∵M ＝{0，1，2，3}，N ＝{0，2，4，6}， ∴M ∩N ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．21．【解答】解：根据绝对值的意义可得，|x ﹣1|+|x +2|表示数轴上的x 对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而﹣3、2对应点到1和﹣2对应点的距离之和正好等于5， 故不等式|x ﹣1|+|x +2|≤5的解集是[﹣3，2]， 故答案为：[﹣3，2]．22．【解答】解：已知x ＞y ＞z ，x +y +z ＝0，则①x ＞0，y ＞0，z ＜0，②x ＞0，y ＜0，z ＜0，③x +z ＝0，y ＝0．所以①xz ＜yz 正确．②xy ＞yz ，不正确．③xy ＞xz ，正确．④x |y |＞z |y |，不正确． 故答案为：①③．23．【解答】解：（1）当a =12时，当x ≤0时，f （x ）＝（x −12）2≥（−12）2=14， 当x ＞0时，f （x ）＝x +1x≥2√x ⋅1x=2，当且仅当x ＝1时取等号， 则函数的最小值为14，（2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件．若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数， 则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2，要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a 2≤2，即0≤a ≤√2， 即实数a 的取值范围是[0，√2]， 故答案为：14，[0，√2]．24．【解答】解：解：由题意集合M ＝{x ∈N *|1≤x ≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A 1＝{1，4，5，6，7}，A 2＝{3，12，13，14，15}，A 3＝{2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3取最小值：X 1+X 2+X 3＝8+18+13＝39，当A 1＝{1，4，5，6，15}，A 2＝{2，7，8，9，14}，A 3＝{3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3＝16+16+16＝48，当A 1＝{1，2，3，4，15}，A 2＝{5，6，7，8，14}，A 3＝{9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3取最大值：X 1+X 2+X 3＝16+19+22＝57， ∴X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为：39+57＝96． 故答案为：96．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2+2|x ﹣1|＝2． 当x ＜1时，x 2+2（1﹣x ）＝2，x 2﹣2x ＝0，得x ＝0； 当x ≥1时，x 2+2（x ﹣1）＝2，x 2+2x ﹣4＝0，得x =√5−1． 综上，方程f （x ）＝2的解为x ＝0或x =√5−1．（2）x ≥1时，f （x ）＝x 2+a （x ﹣1）＝x 2+ax ﹣a 在[1，+∞）上单调递增， 则x =−a2≤1，故a ≥﹣2； 0≤x ＜1时，f （x ）＝x 2﹣ax +a ，x =a2≤0，故a ≤0． 且1﹣a +a ≤1+a ﹣a 恒成立．综上，实数a 的取值范围是[﹣2，0]．26．【解答】解：（1）若f （x ），g （x ）为任意一对“K 函数”，求d 的值；由f （x ）＝x +1＝0，得x ＝﹣1，所以g （f （﹣1））＝g （0）＝1，故x ＝﹣1不是g （f （x ））的零点，故不满足②，所以不是一对“K 函数”，（2）设r 为方程的一个根，即f （r ）＝0，则由题设得g （f （r ））＝0． 于是，g （0）＝g （f （r ））＝0，即g （0）＝d ＝0．所以d ＝0，反之g （f （x ））＝f （x ）[f 4（x ）+bf （x ）+cf （x ））＝0，则f （x ）＝0成立，故d ＝0；（3）因为d ＝0，由a ＝1，f （1）＝0得b ＝﹣c ，所以f （x ）＝bx 2+cx ＝﹣cx （x ﹣1），g （f （x ））＝f （x ）[f 2（x ）﹣cf （x ）+c ]， 由f （x ）＝0得x ＝0，1，可以推得g （f （x ））＝0，根据题意，g （f （x ））的零点均为f （x ）的零点，故f 2（x ）﹣cf （x ）+c ＝0必然无实数根 设t ＝﹣cx （x ﹣1），则t 2﹣ct +c ＝0无实数根，当c ＞0时，t ＝﹣c （x −12）2+c 4≤c 4，h （t ）＝t 2﹣ct +c ＝（t −c 2）2+c −c 24， 所以h （t ）min ＝h （c4）＞0，即c 216−c 24+c ＞0，解得c ∈（0，163），当c ＜0时，t ＝﹣c （x −12）2+c 4≥c 4，h （t ）＝t 2﹣ct +c ＝（t −c 2）2+c −c 24，所以h （t ）min ＝h （c2）＞0，即c −c 24＞0，解得c ∈（0，4），因为c ＜0，显然不成立，当c ＝0时，b ＝0，此时f （x ）＝0在R 上恒成立，g （f （x ））＝c ＝0也恒成立， 综上：c ∈[0，163）．。

清华附中2019-2020学年度上学期期中考试高一数学试卷本试卷分为基础卷和附加卷，共150分；考试时间为1 20分钟．一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．请把答案填入表格)C(M∪N)等于 ( ) 1．已知集合U={a，b，c,d,e}，M={a，b，c}，N={b，c，d}，则U(A){e} (B){a，b，c} (c){a，d，e} (D)φ2．已知集合M={x|-4≤x≤7)，N={x|x2-x-6>O}，则M∩N= ( )(A){x|-4≤x<-2，或3<x≤7} (B){x|-4<x≤-2，或3≤x<7}(c){x|x≤-2，或x>3} (D){x|x<-2，或x≥3}3．如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么 ( )(A)命题“非p”与命题“非q”的真值不同(B)命题“非p”与命题“非q”中至多有一个是真命题(C)命题“p”与命题“非q”的真值相同(D)命题“非p且非q”是真命题4．如果(x，y)在映射f下的象是(x+y,x-y)，那么(1，2)在映射f下的原象是 ( ) (A)(3，-1)(B)(C)(D)(-1，3)5．函数的定义域为(A)(-2，1)∪(1-2) (B)[-2，1)∪(1，2)(C)(-∞，-2)∪(2，+∞) (D)(-∞，-2]∪[2，+∞)6．函数y=x2-4x+3，X∈[0，3)的值域为 ( )(A)[-1，2] (B)(0，3] (C)[-1，+∞) (D)[-1，3]7．已知函数，则f(4)的值为 ( )(A) (B) (C) (D)28．已知函数y=x2+2(a-1)x+2在(-∞，4)上是减函数，则a的取值范围是 ( )(A)[3，+∞) (B)(-∞，3] (C)[-3，+∞) (D)(-∞，-3]9．函数，(1≤x≤2)的反函数是 ( )10．己知函数是R上的减函数，则a的取值范围是( )(A)(0，1) (B) (C) (D)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11．点P(1，2)在函数的图象上，又在其反函数的图象上，则a=____，b=_____．12．已知函数y=f(x)的定义域为[-1，1]，则函数y=f(3x-2)的定义域为___．13．定义域为R的函数f(x)满足：对于定义域内的任意实数都有f(-x)=f(x)．当x<0时，f(x)=x-x4，则当x>0时，f(x)=_____.1 4．设a>0且a≠1，如果函数y=a2x+2a x-1在区间[-1，1]上的最大值为14，则a=______．15．对于任意实数a，b，c，给出下列四个命题：(1)“a=b”是“ac=bc”的充要条件；(2)“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；(3)“a>b”是“a2>b2”的充分而不必要条件；(4)“a<5”是“a<3”的必要而不充分条件．其中正确命题的序号为____．三、解答题(本大题共4小题．共40分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(8分)用函数单调性的定义证明函数上是增函数．17．(10分)已知函数，求f(x)的反函数f-1(x)，并在所给的坐标系中画出函数y=f-1(x)的图象．18．(10分)已知函数f(x)是定义在[-1，1]上的减函数，且对于任意的x∈[-1,1]都有f(-x)=-f(x)，若f(a2-a-1)+f(4a-5)>0，求实数a的取值范围．19．(1 2分)已知函数f(x)=x2+ax+1，不等式f(x)≥0的解集为P，集合Q={x|0<x≤2}，若Q P，求a的取值范围．数学(附加)一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．如果函数F(x)=x2+x+a，(a>0)满足f(m)<0，则f(m+1)的值______________. (填“是正数”、“是负数”、“可能是正数也可能是负数”)2．已知关于x的不等式ax2+(2a+1)x+a>0的解集不是空集，则a的取值范围是__________．3．已知函数f(x)=x2+(a+1)x+b，且f(3)=3，又f(x)≥x对于任意的实数x恒成立，则a=__________，b=__________．4．关于x的方程x2+(m+1)x+2m=0的两根均在(-1，1)内的充要条件为m∈__________．5．已知函数的值域为[0，+∞)，则a的取值范围是__________.6．若直线y=2a与函数y=|a x-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是__________．7．已知函数，f(1)+f(2)+……+f（2006）++……+的值为__________．8．有下列四个命题：(1)若函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)图象有公共点，则这些公共点一定在直线y=x上；(2)如果函数f(x)存在反函数，且在其定义域内是增函数，那么其反函数也是增函数：(3)若函数y=x2的值域是[0，4]，则它的定义域是[-2，2]；(4)函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的一个充分而不必要条件是a≤1，或a≥2．其中正确的命题是__________．(填正确命题的序号)二、解答题(本大题共1小题，共10分；解答应写出文字说明或演算步骤)9．(10分)设函数厂(x)定义域为(0，+∞)，且满足：(1)函数f(x)在定义域上是增函数：(2)对定义域内的所有x，都有；(3)对定义域内的所有x，都有，求函数值f(1)．。

2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S，则()R C S T =（ ）A.]1,2(-B. ]4,(--∞C. ]1,(-∞D.),1[+∞ 2.下面关于复数iz +-=12的四个命题中的真命题为（ ）2:1=z p i z p 2:22=z p :3的共轭复数为1+i z p :4的虚部为-1A.31,p p B. 21,p p C. 42,p p D. 43,p p3．运行右面的程序框图相应的程序，输出的结果为（ ） A ．2- B ．12C ．1-D ． 2 4．若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是10，则a 的值是（ ）A ．1B ．12C ．1-D ．2 5. 下列结论错误．．的是 （ ） A ．命题p “x R ∃∈,使得210x x ++<”，则2:",10"P x R x x ⌝∀∈++≥;B. “4x =”是“2340x x --=”的充分非必要条件； C ．数列2，5，11，20，x ，47，……中的32x =; D ． 已知,,21,a b Ra b +∈+=则218a b+≥ 6．如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图 如图所示，则这个四棱锥的体积为（ ） A ．1 B.2 C ．3 D.47. 设f(x)＝()1232,(2)log 1,(2)x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩，则不等式f(x)＜2的解集为（ ） A ．(B ．(－∞，1)∪[2C ．(1,2]∪D ．(18．已知函数y ＝x 3-3x +c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝（ ）正(主)视图侧(左)视图俯视图A ．-2或2B ．-9或3C ．-1或1D ．-3或1 9．已知函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<其部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为 （ ） A ．2,3πωϕ== B.2,6πωϕ==C ．1,3πωϕ==D ．1,6πωϕ==[10. 已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OMON ⋅的最小值是（ ）A ．8-B ．7-C ．6-D ．4-11. 已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称 C ．()f x D ．()f x 既是奇函数，又是周期函数12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>,12,A A 为实轴顶点,F 是右焦点,(0,)B b 是虚轴端点,若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点)2,1(=i P i ,使得21A A P i ∆构成以12A A 为斜边的直角三角形,则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.)+∞B.)+∞C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上 13、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为14、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为15．已知复数112z i =-，则12111z z z +=-的虚部是 .16. 方程33x x k -=有3个不等的实根,则常数k 的取值范围是 . 17．定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),8(log )(2x x f x f x x x f ，则=)2013(f .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤第9题图17．（10分）已知()b a x f ⋅=，其中()x x a 2sin 3,cos 2-=，()()R x x b ∈=1,cos ． （1）求()x f 的周期和单调递减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,c b a ()1-=A f ，7=a ，3=⋅AC AB ，求边长b 和c 的值（c b >）．18．（10分）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前项和，已知11a =,且124,,S S S 成等比数列； （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和。

2023-2024学年北京市清华大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{0}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1}2．命题∀x ∈（﹣1，0），x 2+x ＜0的否定是（ ） A ．∀x ∈（﹣1，0），x 2+x ＞0 B ．∀x ∈（﹣1，0），x 2+x ≤0 C ．∃x ∈（﹣1，0），x 2+x ＞0D ．∃x ∈（﹣1，0），x 2+x ≥03．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝﹣|x |B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y =−1x4．已知f （x ）为R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 3+1x，则f （﹣1）+f （0）＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．45．已知a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，则下列结论一定正确的是（ ） A ．a +c ＞0B ．a +b ＜0C ．ab ＞0D ．ac ＜06．函数f （x ）＝x 2﹣2x ，x ∈[﹣2，2]的值域是（ ） A ．[﹣1，0]B ．[0，8]C ．[1，8]D ．[﹣1，8]7．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，则12x+1y的最小值是（ ）A ．√2B ．2√2C ．32+√2D ．2+√28．若函数f （x ）＝﹣x 2+2ax 与函数g(x)=ax 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ．（﹣1，0）∪（0，1] C ．（0，1）D ．（0，1]9．对∀x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数，我们把f （x ）＝[x ]，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（ ） A ．∃x ∈R ，[4x ]＝4[x ]+2 B ．∀x ∈R ，[x]+[x +12]=[2x]C ．∀x ，y ∈R ，[x +y ]≤[x ]+[y ]D ．∀x ，y ∈R ，[x ]＝[y ]，则|x ﹣y |＜110．已知集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤15}，集合A 1，A 2，A 3满足： ①每个集合都恰有5个元素；②A 1∪A 2∪A 3＝M ．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为X i （i ＝1，2，3），则X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为（ ）A ．56B ．72C ．87D ．96二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2019—2020学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =（ ）A. {|1}x x >B. {|23}x x <<C. {|13}x x <<D. {| 2 x x >或1}x <2.已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为（ ） A. ∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 B. ∀c ≤0，方程x 2-x +c =0有解 C. ∃c ＞0，方程x 2-x +c =0无解D. ∃c ≤0，方程x 2-x +c =0有解3.已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ） A. （-∞，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）4.下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A. y =x 2B. y =3xC. y =x +1D. y 5.若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A. ac ＞bc B. a c ＞b cC. a 2＞b 2D.21ac +＞21b c +6.函数f (x 的最大值为 （ ）A. 2 5B. 1 2C.2D. 17.5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A. 3B. 0C. -3D.139.已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中的横线上.11.计算210.00013427--12.函数y 11x -的定义域为____________. 13.若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 14.如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 15.能说明“若()()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______．16.已知函数22,(),x x x af x x x a ⎧-+≤=⎨>⎩.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.三、解答题：共40分.17.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．18.已知函数()()223f x x bx b =-+∈R .⑴若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值.⑵当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =最大值.19.如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．20.如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”. （1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论） （2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围；（3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x Ax x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B .参考答案1【答案】B【详解】{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，{|2}A x x =>，故{|23}A B x x ⋂=<<. 故选：B . 2【解析】【详解】命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解, 故选：A. 3【答案】C【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C. 4【答案】B【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除； 对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减； 对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y ，其为非奇非偶函数，故排除， 故选：B. 5【答案】D 【详解】A.当0c时，不等式不成立；B.当0c <时，不等式不成立；C.当1,2a b ==-时，不等式不成立；D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D. 6【答案】B 【解析】本小题主要考查均值定理．11()112f x x ==≤+=1x =时取等号．故选B ． 7【答案】A【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．8【答案】C 【解析】 【分析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C. 9【答案】D【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+- =()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ． 10【答案】B【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题. 11【答案】134【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 12【答案】[12，1）∪（1，+∞）【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 13【答案】-1或1【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1. 14【答案】（-∞，-12） 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 15【答案】 (1). ()f x x = (2). ()1g x x =-【详解】“若()()f x g x >对任意的[02]x ∈，都成立， 则()f x 在[]0,2上的最小值大于()g x 在[]0,2上的最大值”， 可设()f x x =，()1g x x =-，显然()()f x g x >恒成立，且()f x 在[]0,2的最小值为0，()g x 在[]0,2的最大值为1， 显然不成立，故答案为()f x x =，()1g x x =-． 16【答案】 (1). R (2). []0,1【详解】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩当1x >时，()1f x x =>当1x ≤时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+≤ 所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R +∞-∞=（2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+≥，即01x ≤≤时，所以当01a ≤≤时，函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =无公共点， 因此实数a 的取值范围是[]0,1 故答案为：(1). R (2). []0,117【答案】（1）{}|22A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<（2）[0]1，【详解】（1）||2x a -<22x a ∴-<-<{|22}A x a x a ∴=-<<+∵2112x x -<+ ∴302x x -<+ ∴(2)(3)0x x +-< ∴23x -<<{|23}B x x ∴=-<<（2）∵A B ⊆22a ∴-≥-且23a +≤，01a ∴≤≤即a 取值范围为[0]1，18【答案】⑴b ＝2；⑵见解析.【详解】解：（1）把（4，3）代入f （x ）得16﹣8b +3＝3，∴b ＝2． （2）f （x ）的图象开口向上，对称轴为x ＝b ． ①若b ≤﹣1，则f （x ）在[﹣1，2]上是增函数， ∴f min （x ）＝f （﹣1）＝4+2b ＝1，解得b ＝﹣32． ∴f max （x ）＝f （2）＝7﹣4b ＝13．②若b ≥2，则f （x ）在[﹣1，2]上是减函数， ∴f min （x ）＝f （2）＝7﹣4b ＝1，解得b ＝32（舍）． ③若﹣1＜b ＜2，则f （x ）在[﹣1，b ]上是减函数，在（b ，2]上增函数．∴f min （x ）＝f （b ）＝﹣b 2+3＝1，解得b 或b （舍）．∴f max （x ）＝f （﹣1）＝4+2b ＝．综上，当b ≤﹣1时，f （x ）的最大值为13，当﹣1＜b ＜2时，f （x ）最大值为． 19【答案】（1）炮的最大射程是10千米． （2）当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标． 【解析】试题分析：（1）求炮的最大射程即求()221120y kx k x =-+（k ＞0）与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解 试题解析：（1）令y ＝0，得kx －120（1＋k 2）x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝2201k k +＝201k k+≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． （2）因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－120（1＋k2）a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0⇔a≤6.所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．考点：函数模型的选择与应用20【答案】（1）①②是“X—函数”，③不是“X—函数”.（2）（0，+∞）（3）A=[0，+∞），B=（-∞，0）【详解】（1）①②是“X—函数”，③不是“X—函数”；（2）∵f（-x）=-x-x2+a，-f（x）=-x+x2-a，f（x）=x-x2+a是“X—函数”，∴f（-x）=-f（x）无实数解，即x2+a=0无实数解，∴a＞0，∴a的取值范围为（0，+∞）；（3）对任意的x≠0，若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），与f（x）在R上单调增矛盾，舍去；若x∈B且-x∈B，f（-x）=-f（x），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B，∴（0，+∞）⊆A，（-∞，0）⊆B，假设0∈B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴0∈A，经检验，A=[0，+∞），B=（-∞，0）符合题意.高一上学期期中考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题（请把答案填在机读卡相应位置.每小题3分，合计42分）1.已知{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}5,6,3A =，{}1,2,3B =，()U C A B ⋃=则( )A. φB. {}1,2,3C. {}4,7D. U2.已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（ ）A. 3,1x yB. ()3,1-C. {}31，-D. 3,13.命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是（ ）A. x R ∀∈，20x ≥B. x R ∀∈，20x <C. x R ∃∈，20x <D. x R ∃∈，20x ≥ 4.下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. ()f x x =，()2x g x x= B. ()()f x x x R =∈，()()g x x x Z =∈C. ()f x x =，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩D. ()f x x =，()2g x = 5.下列函数中为偶函数的是（ ）A. y =B. y x =C. 21y x =+D. x y x =6.下列函数中，在区间()0,∞+上是减函数的是（ ）A. 32y x =+B. 5y x =C. 21y x =-D. 2 y x =7.已知某幂函数的图象过点(，则此函数解析式是（ ）A. 2y xB. 2y x =C. y x =D. 21y x = 8.已知命题:30p x -=，2:560q x x -+=，p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 9.若a ，b 是任意实数，且a b >，则（ ）A. 22a b >B. 1b a <C. 1a b ->D. 1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 10.下列不等式中正确的是（ ）A. 224a b ab +≥B. 44a a +≥C. 221222a a ++≥+D. 2244a a +≥ 11.某人骑自行车沿直线匀速．．行驶，先前进了km a ，休息了一段时间，又沿原路返回km()b a b >，再前进km c ，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）．A. B. C. D. 12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在()0,∞+上是减函数，则（ ）A. ()()()354f f f <-<-B. ()()()453f f f -<-<C. ()()()345f f f <-<-D. ()()()543f f f -<-< 13.已知()72f x ax bx =-+且()517f -=，则()5f =（ ）A. 13B. 13-C. 15D. 15-14.设()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则7.5f =（ ）A. 1.5B. -1.5C. 0.5D. -0.5第Ⅱ卷二、填空题（请把答案写在答题纸相应位置，每题3分，合计15分）15.函数()232f x x x =-+的定义域是________.16.在①112-⎛⎫- ⎪⎝⎭、②122-、③1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭④12-中，最大的数是________；最小的数值________（填序号）. 17.已知函数()3,1,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则()2f -=________；()()1f f =________. 18.已知1x >，则31x x +-的最小值为________，此时x 的值为________. 19.如果函数224423y x ax a a =-+-+在区间[]0,2上有最小值3，那么实数a 的值为_________.三.解答题（请把详细过程写在答题纸上，合计43分）20.计算: ()130.5010.25327π--⎛⎫+- ⎪⎝⎭21.已知集合{}2450A x x x =-++>，{}220B x x x m =--<（Ⅰ）3m =，求()R A B ； （Ⅱ）若{}14AB x x =-<<，求实数m 的值.22.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()24x f x =- （1）当(),0x ∈-∞时，求函数()f x 的解析式；（2）求方程()2f x =-的解集.23.已知函数()2m f x x x =-，且()742f =. （1）求m 的值；（2）判定()f x 的奇偶性并证明；（3）判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义给予证明.24.已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =.（1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1【答案】C【解析】 本题考查的是集合运算．由条件可知,所以，应选C ． 2【答案】D【详解】由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D. 【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题.3【答案】C【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C4【答案】C【详解】当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，两个函数才是同一函数.A. ()f x x =的定义域是R ，()2x g x x=的定义域是{|0}x x ≠，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；B. ()()f x x x R =∈，()()g x x x Z =∈，两个函数的定义域显然不同，所以两个函数不是同一函数；C. ()f x x = ,0,0x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数；D. ()f x x =的定义域是R ，()2g x x =的定义域是{|0}x x ≥，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数.故选：C【点睛】本题主要考查同一函数的定义和判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5【答案】C【详解】A. y x ={|0}x x ≥，定义域不关于原点对称，该函数是一个非奇非偶函数；B. 函数y x =为奇函数；C. 二次21y x =+图象的对称轴为y 轴，该函数为偶函数；D. 对于函数x y x =，该函数在12x =有定义，在12x =-没定义，即函数x y x =的定义域不关于原点对称，该函数是一个非奇非偶函数.故选：C.6【答案】D【详解】A. 32y x =+，是R 上的增函数，所以该选项不符合题意；B. 5y x =，是R 上的增函数，所以该选项不符合题意；C. 21y x =-，在()0,+∞上单调递增，所以该选项不符合题意；D. 2y x=，在()0,+∞上单调递减，所以该选项符合题意. 故选：D.7【答案】C【详解】设幂函数为()a f x x ，因为幂函数的图象过点(，112212=2,()2a a f x x =∴=∴==，故选：C.8【答案】A【详解】由题得命题:3p x =由题得命题:2q x =或3x =.因为命题:3p x =成立时，命题:2q x =或3x =一定成立，所以p 是q 的充分条件；因为命题:2q x =或3x =成立时，命题:3p x =不成立，所以p 是q 的非必要条件.所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.9【答案】D【详解】A.取1a =，2b =-，则22a b <，所以该选项错误；B.取1a =-，2b =-，则1b a>，所以该选项错误；C.取2a =，32b =，则1a b -<，所以该选项错误； D.由于指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，a b >，1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该选项正确. 故选：D.10【答案】D 【详解】A. 224a b ab +≥，取1a b ==不成立，排除； B. 44a a+≥，取1a =-不成立，排除；C. 221222a a ++≥=+，等号成立的条件为22122a a +=+，无解，排除；D. 2244a a +≥=，等号成立的条件为224a a=，即a =. 故选：D .11【答案】C【详解】因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A ；又按原路返回bkm ，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D ；C 选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除B 故选C ．12【答案】D【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(3)(3)f f =-.因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在()0,∞+上是减函数，所以函数()f x 在(),0-∞上是增函数，因为543,(5)(4)(3)(3)f f f f -<-<-∴-<-<-=.故选：D.13【答案】B【详解】()775(5)5217,(5)515f a b a b -=-++=∴⋅-=-, 所以()7555215213f a b =⋅-+=-+=-. 故选：B.14【答案】D【详解】由()()2f x f x +=-有7.5(5.5)(3.5)(1.5)(0.5)f f f f f , 又()f x 是R 上的奇函数则(0.5)(0.5)0.5f f .故选：D15【答案】{|2x x >或1}x <. 【详解】由题得2320,2x x x -+>∴>或1x <.所以函数()f x 的定义域为{|2x x >或1}x <.故答案为：{|2x x >或1}x <.16【答案】 (1). ③. (2). ①. 【详解】①1122-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；②122-==1122122-⎛⎫== ⎪⎝⎭1122-=. 所以最大的是③，最小的是①.故答案为：(1). ③. (2). ①.17【答案】 (1).19. (2). 13. 【详解】()21239f --==； ()()111(1)33f f f -=-==. 故答案为：(1). 19. (2). 13. 18【答案】(1). 1.(2).1.【详解】33111111x x x x +=-++≥=--， 当且仅当1311x x x >⎧⎪⎨-=⎪-⎩，即当1x =+时取到最小值. 故答案为：(1). 1.(2).1. 19【答案】0或8 【详解】由题得抛物线的对称轴为2a x =，当02a <即0a <时，2min ()(0)233,0f x f a a a ==-+=∴=或2a =， 因0a <，所以舍去； 当即04a ≤≤时，22min 16(23)16()()3,0216a a a a f x f a -+-===∴=； 当22a >即4a >时，2min ()(2)168233,2f x f a a a a ==-+-+=∴=或8a =， 因为4a >，所以8a =.综上所述，0a =或8a =.故答案为：0或8.20【答案】2【详解】原式1330.5210.533--⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1110.533--⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 233=+-2=.21【答案】（Ⅰ）(){}35R A B x x ⋂=≤<；（Ⅱ）8. 【详解】（Ⅰ）集合{}15A x x =-<<， 3m =时，{}13B x x =-<<，所以{3R B x x =≥或}1x ≤-， (){}35R A B x x ∴⋂=≤<；（Ⅱ）{}14A B x x ⋂=-<<，4∴是方程220x x m --=的一个根，1680m ∴--=，所以8m =.【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22【答案】（1）()24(0)24(0)x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩；（2）{}1,1-. 【详解】（1）设(),0x ∈-∞，所以(0,)x -∈+∞，所以()24x f x --=-，由于函数()f x 为偶函数，所以()()24x f x f x -=-=-，所以函数()f x 的解析式为()24(0)24(0)x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩. （2）当0x <时，()24=2,1x f x x -=--∴=-； 当0x ≥时，()242,1x f x x =-=-∴=.所以方程()1f x =-的解集为{}1,1-.析.23【答案】（1）1m =；（2）()f x 为奇函数，证明见解析；（3）()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解【详解】（1）()742f =，()274442m f =-=∴，1m ∴=； （2）()f x 为奇函数，()2f x x x=-，所以函数()f x 的定义域为{}0x x ≠， ()()22f x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫∴-=---=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴为奇函数； （3）()f x 在()0,∞+上单调递增.证明：对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，()()()12121212212222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212121212221x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，120x x ∴-<，12210x x +>， ()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，()f x ∴在()0,∞+上单调递增.24【答案】（1）2()1f x x x =-+（2）1m <-【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---，所以22ax a b x ---=-，解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==，所以2()1f x x x =-+.（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立，即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立.设2()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-.则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-.高一上学期数学期中考试试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间为120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上.第Ⅰ卷（选择题，共75分）一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共75分；把答案填涂在机读卡上） 1.已知集合{}1,0,1A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B ⋂=（ ）A. {}0B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,0,1- 2.函数1y=-x x +的定义域是（ ） A. {|1}x x ≤ B. {|0}x x ≥ C. {|1x x ≥或0}x ≤ D. {|01}x x ≤≤ 3.在直角坐标系内，函数y x =的图象（ ）A. 关于y 轴对称B. 关于x 轴对称C. 关于原点对称D. 不具有对称性 4.函数()(2)f x x x =--的一个单调递减区间可以是（ ）A. [2,0]-B. [0,2]C. [1,3]D. [0,)+∞ 5.函数()22f x x x =-在R 上的最小值是（ ）A. -2B. -1C. 0D. 1 6.函数111y x =--的图象是（ ） A. B. C. D. 7.如果二次函数21y ax bx =++图象的对称轴是1x =，并且通过点(1,7)A -，则（ ） A. a =2，b =4 B. a =2，b =－4C. a =－2，b =4D. a =－2，b =－4 8.a b =（0a >且1a ≠），则（ ）A. 2log 1a b =B. 1log 2a b =C. 12log a b =D. 12log b a = 9.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x 一定存在零点的区间是( )A. (),1∞-B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,∞+ 10.下列说法中,正确的是A. 对任意x ∈R ,都有32x x >B. y =x -是R 上的增函数C. 若x ∈R 且0x ≠,则222log 2log x x =D. 在同一坐标系中,2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称.11.如果函数2(1)2y x a x =+-+在区间(,4]-∞]上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A. 9a ≥B. 3a ≤－C. 5a ≥D. 7a ≤－12.设函数()()()1()f x x a x b a b =---<的两个零点是(,)m n m n <，则（ ）A. a m n b <<<B. m a n b <<<C. a m b n <<<D. m a b n <<< 13.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A. (0,1)B. 1(0,)3C. 11[,)73D. 1[,1)7 14.已知514b <<，则方程2|1|x x b -=+的不等实根一共有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个15.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D. ()1f x +为偶函数第Ⅱ卷（非选择题，共75分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案作答在答题纸上）16.已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则m ＝_______17.若函数2()2|f x x |x =+-，则(1)f =________.18.若(21)y k x b =-+是R 上的减函数，则实数k 的取值范围是________.19.某商人将彩电先按原价提高４０％，然后在广告上写上＂大酬宾，八折优惠＂结果是每台彩电比原价多赚了２７０元，那么每台彩电原价是 元20.已知()12x f x a -=，则a 的值为________.21.已知函数**(),,y f x x N y N =∈∈满足：①对任意的*,,m n N m n ∈≠，都有()()()()mf m nf n mf n nf m +>+；②对任意的*a N ∈都有[()]3f f a a =.则(1)(6)(28)f f f ++=_____．三、解答题：（本大题共4小题，共45分.把答案作答在答题纸上）22.已知函数2()3f x x bx =-+，且(0)(4)f f =.（1）求函数的解析式；（2）求函数()y f x =的零点；（3）求函数()y f x =在区间[0,3]上的最大值和最小值.23.已知函数26()1x f x x =+. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）求满足方程(2)2x xf =的实数x 的值.24.已知函数1()x f x a -=（0a >且1a ≠）.（1）若函数()y f x =的图象经过(3,4)P 点，求a 的值；（2）比较1lg100f ⎛⎫ ⎪⎝⎭与2110f ⎛⎫- ⎪⎝⎭大小，并写出比较过程.25.已知二次函数2()f x ax bx c =++.（1）若(1)0f -=，试判断函数()f x 零点个数；（2）是否存在,,a b c ∈R ，使()f x 同时满足以下条件①当1x =-时，函数()f x 有最小值0； ②对任意x ∈R ，都有2(1)0()2x f x x -≤-≤.若存在，求出a ，b ，c 的值，若不存在，请说明理由.参考答案1【答案】B【解析】因为1,0,1,B B B -∈∈∉所以{}1,0A B ⋂=-.2【答案】D【详解】解：由已知得100x x -≥⎧⎨≥⎩，解得01x ≤≤， 故定义域为{|01}x x ≤≤， 故选：D.3【答案】A 【详解】解：()f x x =，则()()f x x x f x -=-==， 故函数y x =为偶函数，其图像关于y 轴对称， 故选：A.4【答案】C【详解】解：函数2()(2)2f x x x x x =--=-+， 其对称轴为1x =，单调递减区间为[1,)+∞， 因为仅有选项C ：[1,3][1,)⊆+∞，故选：C.5【答案】B【详解】解：函数()22f x x x =-其对称轴为1x =，故()()n 2mi 1211f x f =-=-=， 故选：B.6【答案】B 【详解】解：函数111y x =--可由1y x=-向右移动1个单位，向上移动1个单位得到，如图，故选：B.7【答案】B 【详解】由题得1271b a a b ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩，解之得a =2，b =－4.故选：B8【答案】A a b =即12a b =， 所以1log 2a b =，即2log 1a b =， 故选A.考点：指数式与对数式．9【答案】C【解析】定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，由图知满足()()230f f <，根据零点存在定理可知()f x 在()2,3一点存在零点.故选C.10【答案】D【解析】令0x =,则32x x =,排除A;y =3x -是R 上的减函数,排除B;当0x >时,222log 2log x x =成立,当0x <时,222log 2log x x =不成立,排除C.选D.11【答案】A【解析】因为二次函数开口向上，对称轴为12a x -=，所以其减区间为1(,]2a --∞，又函数在(,4]-∞上是减函数，故1(,4](,]2a --∞⊆-∞，所以142a -≤，解得9a ≥，故选A. 12【答案】D【详解】解：设()()1()()g x f x x a x b =+=--，将函数()g x 的图像向下平移1个单位可得函数()f x ，如图：，由图像可得m a b n <<<，故选：D.13【答案】C【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =. 要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C.14【答案】D【详解】解：由方程2|1|x x b -=+得2|1|x x b --=，令2|1|,y x x y b =--=作出函数2|1|,y x x y b =--=图像如图：由图像可得：函数2|1|,y x x y b =--=的图像有4个交点，即方程2|1|x x b -=+的不等实根一共有4个，故选：D.15【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+，所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 16【答案】2【详解】考查并集的概念，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集 显然m=2故答案为217【答案】2【详解】解：由已知得2(1)1|12|2f =+-=， 故答案为：2.18【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【详解】解：(21)y k x b =-+是R 上的减函数，则210k -<，解得12k <，故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 19【答案】2250 解：设彩电原价为X 则：X×(1+0.4)×0.8-X=270 ，解得X=2250． 20【答案】10 或1210-【解析】()1lg2lg a f a a -==，则1lg log 2a a -=，所以1111lg 12lg log 222lg 2lg a a a a a +=+==+=， 所以()22lg lg 10a a --=，解得lg 1a =或1lg 2a =-， 解得10a =或1210a -=．21【答案】66【解析】 令m=n+1,(1)(1)()(1)()(1)n f n nf n n f n nf n +++>+++,得(1)()f n f n +>，说明f(x)为单调递增函数，设(1)f a =，则1a ≥，显然1a ≠，否则f(f(1))=f(1)=1，与f(f(1))=3矛盾．从而1a >,而由f(f(1))=3, 即f(a)=3,又()(1),f a f a >=，即13a <<，所以2a =，同时(2)3f =，(3)((2))6,(6)((3))39f f f f f f a =====，(18)((9))27f f f ==，(27)((18))54f f f ==，(54)((27))81f f f ==，54-27=81-54=27，又()f n 单调递增，()**,,y f x x N y N =∈∈，所以当2754,*n n N ≤≤∈,()27f n n =+,(28)55f =,()()()1628f f f ++=2+9+55=6622【答案】（1）2()43f x x x =-+（2）1，3（3）最小值为-1，最大值为3.【分析】（1）把(0)(4)f f =代入函数解析式，即可求得b 的值，即可得函数的解析式；（2）令()0f x =，解方程即可求得函数()y f x =的零点；（3）求出函数()f x 对称轴，根据二次函数的性质得最值.【详解】解：（1）由(0)(4)f f =，得4b =，所以，2()43f x x x =-+；（2）由243=0x x -+所以，函数的零点为1，3 ；（3）由于函数()f x 对称轴为2x =，开口向上，所以，()f x 的最小值为(2)1f =-，()f x 的最大值为(0)3f =.23【答案】（1）奇函数. 见解析（2）21log 52x =【详解】解：（1）因为26()1x f x x =+， 所以26()()1x f x f x x --==-+. 所以()f x 为奇函数.（2）由(2)2x xf =，得262221xx x ⋅=+. 整理得225x =，所以22log 5x =，即21log 52x =. 24【答案】（1）2a =（2）1lg ( 2.1)100f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.见解析 【详解】解：（1）函数()y f x =图象经过(3,4)P ， ∴3-14a =，即24a =.又0a >，所以2a =.（2）当1a >时，1lg ( 2.1)100f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭； 当01a <<时，1lg( 2.1)100f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.因为31lg (2)100f f a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 3.1( 2.1)f a --=， 当1a >时，x y a =在(,)-∞+∞上为增函数，∵3 3.1->-，∴3 3.1a a -->，即1lg( 2.1)100f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭. 当01a <<时，x y a =在(,)-∞+∞上为减函数，∵3 3.1->-，∴3 3.1a a --< 即1lg ( 2.1)100f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查指数函数的性质的综合应用，属于基础题.25【答案】（1）见解析（2）存在,,a b c ∈R【详解】解：（1)∵(1)0f -=，∴0a b c -+=，即b a c =+，∵2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=- ，当a c =时，0∆=，函数()f x 有一个零点；当a c ≠时，>0∆，函数()f x 有两个零点；（2）假设a ，b ，c 存在，由①得12b a -=-，2404ac b a -=，2b a ⇒=，22444b ac a ac a c =⇒=⇒= ，由②知对x ∀∈R ，都有210()(1)2f x x x ≤-≤-， 令1x =得0(1)10(1)10(1)11f f f a b c ≤-≤⇒-=⇒=⇒++=，由12a b c b a a c ++=⎧⎪=⎨⎪=⎩得14a c ==，12b =， 当14a c ==，12b =时，221111()(1)4244f x x x x =++=+，其顶点为(1,0)-满足条件①，又21()(1)4f x x x -=-⇒对x ∀∈R ，都有210()(1)2f x x x ≤-≤-，满足条件②. ∴存在,,a b c ∈R ，使()f x 同时满足条件①、②.。

2019清华附中将台路校区高19级高一数学第一学期期中考试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.若集合{|12}A x x =-<<，{2,0,1,2}B =-，则A B =I （ ）A. ∅B. {0,1}C. {0,1,2}D. {2,0,1,2}-【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用交集定义直接求解。

【详解】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =I 。

【点睛】本题主要考查集合交集的运算。

2.已知函数2()f x x =，{}1,0,1x ∈-，则函数的值域为（ ）A. {}1,0,1-B. [0,1]C. {}0,1D.[0,)+∞【答案】C【解析】【分析】分别代入1,0,1-求得()f x 即可.【详解】由题222(1)(1)1,(0)(0)0,(1)11f f f -=-=====,故值域为{}0,1 故选：C【点睛】本题主要考查函数的值域,属于简单题型.3.已知命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”，则命题p 的否定为A. 2,20x R x ∀∈+≤B. 200,20x R x ∃∈+>C. 200,20x R x ∃∈+≤D. 2,20x R x ∀∈+<【答案】C【解析】【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【详解】由全称命题的否定为特称命题可得命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”的否定为200,20x R x ∃∈+≤，故选C ．【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．4.在区间()0,∞+上是减函数的是（）A. 31y x =+B. 231y x =+C. 2y x =D.2y x x =+【答案】C【解析】【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数性质即可得到结果.【详解】31y x =+在()0,∞+上单调递增，A 错误；231y x =+在()0,∞+上单调递增，B 错误2y x =()0,∞+上单调递减，C 正确；2y x x =+在()0,∞+上单调递增，D 错误本题正确选项：C【点睛】本题考查常见函数单调性的判断，属于基础题.5.已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用集合间的关系推出p q 、之间的关系.【详解】{|1}x x >Ý{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选：B .【点睛】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ：p 是q 的充分不必要条件则有：A B Ü；p 是q 的必要不充分条件则有：B A Ü.6.若0a >，0b >，2ab =，则2+a b 的最小值为（）A. B. 4C. D. 6 【答案】B【解析】【分析】由a +2ba +2b 的最小值．详解】∵a ＞0，b ＞0，ab ＝2，∴a +2b 4=，当且仅当a ＝2b ＝2时取等号，∴a +2b 的最小值为4．故选：B ． 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属基础题． 7.定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-…，则函数()f x 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】 根据题意，可知2x =，0x =为()f x 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推()f x 在(,0)-∞这个区间上的零点，即可得出答案。

语文第卷（共100分）一、课内基础部分，共25分。

1.下列选项中加点字的读音全都正确的一项是（）（2分）A.钿头diàn霓裳cháng羽扇纶巾lún呕哑嘲晰zhB.嘈杂cáo红绡xio 封狼居胥x 还酹江月liC.驯鸽xùn裙裾j 蓊蓊郁郁wng 妖童媛女yuànD.撅断ju 熨帖yùn含蓄隽永juàn窸窸窣窣s2.下列选项中所有词语字形全都正确的一项是（）（2分）A.袅娜宛然转轴拔弦梗塞不畅B.狂妄倔强声名狼籍灰飞烟灭C.步履车辙没精打彩乍暖还寒D.斑驳坍圮舞榭歌台历尽沧桑3.下列诗句中加点字的解释全都正确的一项是（）（2分）A.五陵年少争缠头（裹头）暮去朝来颜色故（神色）B.莫辞更坐弹一曲（再）却坐促弦弦转急（更加）C.憔悴损，如今有谁堪摘（损伤）这次第，怎一个愁字了得（光景）D.一尊还酹江月（供奉）赢得仓皇北顾（落得）4.对下列诗词名句中使用的修辞手法判断有误的一项是（）（2分）A.间关莺语花底滑，幽咽泉流冰下难（比喻、通感）B.惊涛拍岸，卷起千堆雪（比喻、夸张）C.想当年，金戈铁马，气吞万里如虎（借代、比喻、夸张）D.满地黄花堆积，憔悴损，如今有谁堪摘？（反问、拟人、夸张）5.下面文学常识的表述，有误的一项是（）（2分）A.词是宋代盛行的一种文学体裁，它的产生、发展，以及创作、流传都与音乐有直接关系，故最初称为“曲子词”，又称乐府、诗余、长短句等，内容一般分为上下两片，又称上下阕。

宋词基本分为婉约和豪放两大类。

李清照是婉约派代表人物之一，苏轼、辛弃疾则是豪放派的代表人物。

B.苏轼，字子瞻，号东坡居士，北宋词人，词集有《东坡乐府》。

苏轼“以诗为词”，把诗的表现手法移植到词中，比如写题序，化用典故等，把词变为缘事而发、因情而作的抒情言志之体，从题材、立意、语言、境界等方面开拓了词的表现世界，留下了很多脍炙人口的作品，代表作有《定风波》（莫听穿林打叶声）《念奴娇·赤壁怀古》等。

清华附中高一数学期中测试题2019.11一、选择题（每题 5 分，共 40 分）1.已知集合 A ={x | x 2 > 1}, a ∈ A , 则 a 的值可以为A.-2B.1C.0D.12.已知命题 p : ∃x ∈ Q , x 2 - 3 = 0, 则￢ p 为A. ∃x ∈ Q , x 2 - 3 ≠ 0B. ∃x ∉ Q , x2 -3 = 0 C.∀x ∈ Q , x 2 - 3 ≠ 0 D.∀x ∉ Q , x 2 - 3 = 03.函数 y = x2 (-2 ≤ x ≤ 3) 的值域为A.[4, 9]B.[0, 9]C.[0, 4]D.[0, +∞) 4.已知集合 A = {1, 2}, B = [m , +∞) ，若 A ⊆ B ，则实数 m 的取值范围为A.[2, +∞)B.[1, +∞)C.(-∞, 2] D. (-∞,1] 5.已知 a < b < 0 ，则下列不等式正确的是A. 2a > a + bB. a + b > bC. a 2 > abD.b 2 > ab6.“ x > 1 ”是“1x< 1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 7.已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},T = {x | x =b a, a , b ∈ A , a > b } ，则集合T 中元素的个数为 A.9 B.10 C.11 D.128.若函数 f ( x ) 的定义域为 D ，对于任意的 x 1 , x 2 ∈ D , x 1 ≠ x 2 ，都有1212()()1f x f x x x -≥-，称函数 f ( x ) 满足性质ψ，有下列四个函数① f ( x ) =1x , x ∈ (0,1) ；② g ( x ); ③ h ( x ) = x 2 ( x ≤ -1); ④ k ( x ) =211x + 其中满足性质ψ的所有函数的序号为A. ①②③B.①③C.③④D.①② 二、填空题（每题 5 分，共 30 分）9.已知a ,b ,c ,d 为互不相等的实数，若| a - c |=| b - c |=| d - b |= 1, 则| a - d |= . 10. 已 知 函 数y = f (x ) 是定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当x > 0 时 ，f ( x ) = x 2 - 4x + 1 ， 则 f (0) + f (1) = .11.若函数 f ( x ) 为一次函数，且 f ( x + 1) = f ( x ) - 2, f ( x ) 的零点为 1，则函数 f (x ) 的解析式为.12.某产品的总成本 C 与年产量 Q 之间的关系为 C = aQ 2 + 3000, 其中 a 为常数。