0809寒假初三数学讲义第四讲函数问题(一)

九年级函数的基础知识点函数是数学中的重要概念，在九年级的数学学习中，我们要了解和掌握函数的基础知识点。

本文将为大家介绍函数的定义、函数的图像、函数的性质以及函数的运算等方面的内容。

一、函数的定义函数是两个集合之间的映射关系。

设有两个集合A和B，如果对于集合A中的每一个元素a，都有唯一确定的元素b与之对应，则我们称这种映射关系为函数。

通常记作f：A→B，表示集合A中的元素通过函数f映射到集合B中的元素。

二、函数的图像函数可以用图像表示出来，图像展示了函数的各个值在坐标系中的位置。

对于一元函数，我们可以把自变量与函数值表示在平面直角坐标系上，通过点的连续性来描述函数的性质。

三、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数所有可能的函数值组成的集合。

2. 奇偶性：函数f(x)关于y轴对称，当且仅当对于定义域内的任意x值，有f(-x) = f(x)成立，这时函数称为偶函数；函数f(x)关于原点对称，当且仅当对于定义域内的任意x值，有f(-x) = -f(x)成立，这时函数称为奇函数。

3. 单调性：函数的单调性指函数图像沿着x轴方向的变化趋势。

若对于定义域内任意两个实数x₁和x₂，当x₁ < x₂时，有f(x₁) ≤ f(x₂)成立，则函数为递增函数；若对于定义域内任意两个实数x₁和x₂，当x₁ < x₂时，有f(x₁) ≥ f(x₂)成立，则函数为递减函数。

4. 最值与极值：函数在定义域内可能存在最大值和最小值，统称为最值。

而极值是函数在局部范围内的最值，可能是极大值或者极小值。

四、函数的运算1. 四则运算：对于函数f(x)和g(x)，我们可以进行加减乘除运算，得到新的函数。

例如，两个函数f(x)和g(x)的和为h(x) = f(x)+ g(x)。

2. 复合函数：将两个函数进行复合运算，得到的新函数称为复合函数。

例如，函数f(x)和g(x)复合得到的函数为h(x) = f(g(x))。

一、 平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限． 二、 点的坐标1、点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．2、平面内点的坐标是有序实数对，当a b ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标．3、不同位置的点的坐标的特征： ①各象限内点的坐标的特征：点P （x ，y ）在第一象限⇔x > 0，y > 0； 点P （x ，y ）在第二象限⇔x < 0，y > 0； 点P （x ，y ）在第三象限⇔x < 0，y < 0；函数与分析知识结构模块一：平面直角坐标系知识精讲2 / 40例题解析点P （x ，y ）在第四象限⇔x > 0，y < 0． ②坐标轴上的点的特征：点P （x ，y ）在x 轴上⇔y = 0，x 为任意实数； 点P （x ，y ）在y 轴上⇔x = 0，y 为任意实数；点P （x ，y ）既在x 轴上，又在y 轴上⇔x = y = 0，即点P 坐标为（0，0）． ③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征： 点P （x ，y ）在第一、三象限夹角平分线上⇔x = y ； 点P （x ，y ）在第二、四象限夹角平分线上⇔x + y = 0． ④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征： 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同． 三、 点的运动1、点到坐标轴及原点的距离： 点P （x ，y ）到x 轴的距离等于y ； 点P （x ，y ）到y 轴的距离等于x ．2、在直角坐标平面内：平行于x 轴的直线上的两点A （1x ，y ）、B （2x ，y ）的距离12AB x x =-； 平行于y 轴的直线上的两点C （x ，1y ）、D （x ，2y ）的距离12CD y y =-． 点P 22x y +两点间的距离公式：点A 坐标为（1x ，1y ），点B 坐标为（2x ，2y ），则AB 间的距离，即线段AB 的长()()221212x x y y -+-．3、点的对称：若直角坐标系内一点P （a ，b ），则P 关于x 轴对称的点为1P （a ，b -），P 关于y 轴对称的点为2P （a -，b ），关于原点对称的点为2P （a -，b -）．4、坐标平移：若直角坐标系内一点P （a ，b ）向左平移h 个单位，坐标变为P （a h -，b ），向右平移h 个单位，坐标变为P （a h +，b ）；向上平移h 个单位，坐标变为P （a ，b h +），向下平移h 个单位，坐标变为P （a ，b h -）．【例1】 （2012学年·杨浦区二模·第9题）在平面直角坐标系中，若点P （2x -，x ）在第二象限，则x 的取值范围为____________．【难度】★ 【答案】02x <<【解析】第二象限点坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正；20,2x x ∴-<∴<且0x >02x ∴<<．【总结】考察直角坐标系象限内点的坐标特点．【例2】 （2013学年·闵行区二模·第2题）如果点P （a ，b ）在第四象限，那么点Q （a -，4b -）所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★ 【答案】C【解析】点P （a ，b ）在第四象限，则0,0a b ><，0,40a b ∴-<-<，∴点Q （a -，4b -） 在第三象限，故选C ．【总结】考察直角坐标系象限内点的坐标特点．【例3】 （2013学年·普陀区二模·第16题）直角坐标系中，第四象限内一点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为5，那么点P 的坐标是____________．【难度】★【答案】P ()52-，． 【解析】点P 是第四象限内一点，∴横坐标为正，纵坐标为负； 点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为5，∴点P ()52-，． 【总结】考察直角坐标系象限内点的坐标特点及点到坐标的距离．【例4】 （2012学年·闸北区二模·第11题）点M （3，1）和点N （3，1-）关于______轴对称． 【难度】★ 【答案】x ．【解析】根据点对称特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，则关于x 轴对称． 【总结】考察点对称的特征．【例5】 （2011学年·闵行区二模·第3题）点P （1-，3）关于原点中心对称的点的坐标是( )A ．（1-，3-）B ．（1，3-）C ．（1，3）D ．（3，1-）【难度】★ 【答案】B【解析】关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数． 【总结】考察关于原点对称的点坐标的特征．4 / 40一、 函数在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量．一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于变量x 在允许取值范围内的每一个确定值，变量y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数． 二、 函数的定义域函数自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域． 三、 函数值如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x = a 时的函数值，可记为()f a ．【例6】 （2015学年·杨浦区二模·第10题）函数12y x x=+-的定义域是__________． 【难度】★【答案】2x ≠．【解析】12y x x =+-，定义域分别看12x -和x 的取值范围，分式分母不为零， 202x x ∴-≠∴≠，．【总结】考查函数的定义域求法，注意含有分母时，分母要不为零．【例7】 （2015学年·闸北区二模·第10题）函数1y x =-的定义域是____________． 【难度】★ 【答案】1x ≤．【解析】要使1x -有意义，101x x ∴-≥∴≤，． 【总结】考察无理式有意义的条件是被开方数非负． 【例8】 （2015学年·崇明县二模·第10题）函数23x y x =-的定义域为__________．【难度】★ 【答案】3x >．【解析】3x -有意义，303x x ∴-≥≥，即，又3x -为分母，3x ∴≠，3x ∴>．【总结】考察无理式、分式有意义的条件．模块二：函数的有关概念例题解析知识精讲【例9】 （2013学年·杨浦区二模·第9题）函数132y x x =-+-的定义域是________． 【难度】★【答案】3x ≤且2x ≠．【解析】303202x x x x -≥∴≤-≠∴≠，；，，∴3x ≤且2x ≠． 【总结】考察无理式、分式有意义的条件．【例10】 （2014学年·松江区二模·第9题）已知()1xf x x =-，那么()3f =______． 【难度】★ 【答案】()332f =． 【解析】()()3331312x f x f x =∴==--，． 【总结】考察利用代入法求函数值．【例11】 （2015学年·浦东新区二模·第12题）已知函数2()2f x x =+，那么(2)f =______．【难度】★ 【答案】()23f =．【解析】()26()232222f x fx =∴===++，．【总结】考察利用代入法求函数的值．【例12】 （2013学年·奉贤区二模·第10题）已知函数()2f x x =-，若()3f x =，那么x =______．【难度】★ 【答案】11x =． 【解析】()2f x x =-，()3f x =，232911x x x ∴-=∴-==，，解得：，经检验11x =是无理方程的根，所以11x =．【总结】考察利用代入法求函数的值，注意本题中解完方程后要检验．模块三：正比例函数与反比例函数6 / 40一、 正比例函数如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例． 解析式形如y kx =（k 是常数，0k ≠）的函数叫做正比例函数．其中常数k 叫做比例系数． 二、 反比例函数如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例．解析式形如ky x =（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数．其中常数k 叫做比例系数．三、 正比例函数、反比例函数的图像及性质函数 正比例函数反比例函数解析式 y kx =（k 是常数，0k ≠）ky x=（k 是常数，0k ≠） 定义域 一切实数0x ≠的一切实数k 的符号 k > 0 k < 0 k > 0 k < 0 经过象限一、三 二、四 一、三 二、四 图像性质y 随x 的增大 而增大 y 随x 的增大 而减小在每个象限内， y 随x 的增大 而减小 在每个象限内， y 随x 的增大 而增大x yOx yOx y Ox yO例题解析知识精讲【例13】 （2015学年·崇明县二模·第12题）如果一个正比例函数的图像过点（2，4-），那么这个正比例函数的解析式为______．【难度】★ 【答案】2y x =-【解析】设()0y kx k =≠，把点（2，4-）代入()0y kx k =≠，得：24k =-， 22k y x =-∴=-解得：，．【总结】考察利用待定系数法求解正比例函数的解析式．【例14】 （2014学年·浦东新区二模·第11题）如果反比例函数的图像经过点（3，4-），那么这个反比例函数的比例系数是______．【难度】★ 【答案】12k =-．【解析】设反比例函数解析式为：()0ky k x=≠， 把点（3，4-）代入得：4123k k -=∴=-，． 【总结】考察待定系数法求解反比例函数的比例系数．【例15】 （2015学年·闵行区二模·第3题）下列函数中，y 随着x 的增大而减小的是( )A ．3y x =B ．3y x =-C ．3y x =D ．3y x =-【难度】★ 【答案】B【解析】A ：0k >，y 随着x 的增大而增大；B ：0k <，y 随着x 的增大而减小；C ：0k >，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小；D ：0k <，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大．故选B ．【总结】考察正、反比例函数的性质，注意反比例图像是在每一象限内的增减性．【例16】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第10题）如果在组成反比例函数1ky x-=图像的每条曲线上，y 都随x 的增大而增大，那么k 的取值范围是____________．【答案】1k >．【解析】当0k <，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，101k k ∴-<∴>，． 【总结】考察反比例函数的图像的性质．【例17】 （2014学年·奉贤区二模·第3题）关于反比例函数2y x=的图像，下列叙述错误的是( ) A ．y 随x 的增大而减小 B ．图像位于一、三象限C ．图像是轴对称图形D ．点（1-，2-）在这个图像上【难度】★ 【答案】A【解析】0k >，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小． 【总结】考察反比例函数的图像的性质．【例18】 （2014学年·杨浦区二模·第2题）在同一直角坐标系中，若正比例函数1y k x =的图像与反比例函数2k y x=的图像没有公共点，则( )A ．120k k <B ．120k k >C ．120k k +<D ．120k k +>【难度】★ 【答案】A【解析】k 同号时，正、反比例函数在同象限，有两个交点；k 异号时，正、反比例函 数在不同象限，没有交点．【总结】考察正、反比例函数图像的性质．【例19】 （2015学年·松江区二模·第13题）反比例函数ky x=的图象经过点（1-，2），A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是图像上另两点，其中120x x <<，则1y 、2y 的大小关系是___________．【难度】★ 【答案】12y y <．【解析】把点（1-，2）代入ky x=，得20k =-<，0k <，在每个象限内，y 随着x 的增大 而增大，120x x <<，12y y ∴<．【总结】考察反比例函数的图像的性质的运用．【例20】 （2013学年·奉贤区二模·第12题）若点A （1，1y ）和点B （2，2y ）都在正比例函数y kx =（0k >）图像上，则1y ______2y （选择“>”、“<”、y （米）【答案】．【解析】0k >，正比例函数图像y 随着x 的增大而增大，12<，即1212x x y y <∴<，． 【总结】考察正比例函数的图像的性质的运用．【例21】 （2014学年·徐汇区二模·第3题）某反比例函数的图像经过点（2-，3），则此函数图像也经过点( )A ．（2，3）B ．（3-，3-）C ．（2，3-）D ．（4-，6）【难度】★ 【答案】C【解析】反比例函数图像上的点的横、纵坐标之积等于k ，因此点的横、纵坐标之积相 等，即在同一个反比例函数图像上． 【总结】考察反比例函数的性质的应用．【例22】 （2015学年·杨浦区二模·第16题）如图，在平面直角坐标系xoy 中，正方形OABC 的边长为2，写出一个函数ky x=（0k ≠），使它的图像与正方形OABC 的边有公共点，这个函数的解析式可以是____________． 【难度】★★【答案】2y k=（答案不唯一）【解析】将正方形边AB 、BC 上的任一点坐标代入 反比例函数解析式，即可求出反比例函数解析式． 【总结】考察学生灵活运用待定系数法求解函数解析式．【例23】 （2015学年·静安区、青浦区二模·第20题）已知双曲线ky x=经过点A （a ，4a +）和点B （2a ，21a -），求k 和a 的值．【难度】★★ 【答案】212a k =⎧⎨=⎩【解析】解：把A （a ，4a +）、B （2a ，21a -）分别代入k y x =，得：4212ka ak a a⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：212a k =⎧⎨=⎩【总结】考察学生灵活运用待定系数法求解函数解析式．【例24】 （2015学年·杨浦区二模·第22题）某山山脚的M 处到山顶的N 处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M 走到N ，停留后再原路返回，其间小李离开M 处的路程y 米与离开M 处的时间x 分之间的函数关系如图中折线OABCD 所示．（1）求上山时y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2 : 3，试求点12y y <C 的纵坐标．【难度】★★【答案】（1）30y x =； （2）点C 的纵坐标为240． 【解析】（1）设()0y kx k =≠ 把()20600A ，代入()0y kx k =≠得： 2060030k k ==，，30y x ∴=；（2）设下山的两个速度分别是2m 和3m根据题意得：21838600m m ⋅+⋅=，60600,10m m ==，220330m m ∴==，830240∴⨯=，∴点C 的纵坐标为240． 【总结】本题考察的是函数在行程实际问题的运用．【例25】 （2013学年·松江区二模·第22题）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．如图,线段OA 和OB 分别表示某日从上午8点到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数1w （张）和每个无人售票窗口售出的车票数2w （张）关于售票时间t （小时）的函数图象．（1）求1w （张）与t （小时）的函数解析式；（2）若当天开放无人售票窗口个数是普通售票窗口个数的2倍，从上午8点到上午11点，两种窗口共售出的车票数为2400张，求当天开放无人售票窗口的个数？【难度】★★【答案】（1）180w t =；（2）8． 【解析】（1）设()10w kt k =≠把()3240A ，代入，得：324080k k ==，解得：， 180w t ∴=；（2）设普通售票窗口为x 个，无人售票窗口为2x 个 则24018022400x x +⋅= 解得：4x =，28x ∴=答：当天开放无人售票窗口的个数为8个． 【总结】本题考察的是函数在实际问题中的运用．【例26】 （2015学年·崇明县二模·第21题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图像经过A （0，2-），B （1，0）两点，与反比例函数my x=（0m ≠）的图像在第一象限内交于点M ，若OBM ∆的面积是2．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点P 是x 轴正半轴上一点且90AMP ∠=︒，求点P 的坐标． 【难度】★★【答案】（1）22y x =-和12y x =；（2）()110P ∴，．【解析】（1）把A （0，2-），B （1，0）两点代入y kx b =+得：20b x b =-⎧⎨+=⎩，解得：22k b =⎧⎨=-⎩，22y x ∴=-；过M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，()10B ，，2OBM S ∆=，4MH ∴=，即M 纵坐标为4，把4y =代入22y x =- 解得：3x =，()34M ∴，，所以反比例函数的解析式为：12y x=． （2）设()0P m ，， 当90AMP ∠=︒时，BMH MPH ，2484BH MH HP MH HP HP∴==∴=，即，． ∴3811m OP OH HP ==+=+=，()110P ∴，【总结】本题考察的是函数与几何图形性质的综合应用，注意用相似求出线段的长，从而得 出点的坐标．【例27】 （2013学年·浦东新区二模·第17题）如图，已知点A 在反比例函数ky x=的图像上，点B 在x 轴的正半轴上，且OAB ∆是面积为3的等边三角形，那么这个反比例函数的解析式是_________________．【难度】★★★ 【答案】3y x=-． 【解析】过A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，设OAB ∆的边长为2x ，132OAB S OB AH ∴=⋅=123312x x x ∴⋅⋅==，解得：，()13A ∴-，，3y x ∴=-．【总结】本题考察的是函数与几何图形性质的综合应用．一、 一次函数模块四：一次函数知识精讲yxO AMBH PABOxy H12 / 40一般的，解析式形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数．正比例函数与一次函数的关系：当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 、b 为常数，且0k ≠），这时，y 是x 的正比例函数．正比例函数是一次函数的特例． 二、 函数 一次函数解析式 y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）定义域 一切实数k 、b 的符号 k > 0，b > 0 k > 0，b < 0 k < 0，b > 0 k < 0，b < 0 经过象限一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四图像性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小【例28】 （2013学年·普陀区二模·第2题）在平面直角坐标系中，将正比例函数y kx =（0k >）的图像向上平移一个单位，那么平移后的图像不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★ 【答案】D【解析】0k >，正比例函数经过一、三象限，图像向上平移一个单位，图像经过一、 二、四象限，∴图像不经过第四象限，故选D ． 【总结】考察正比例函数图像性质．【例29】 （2015学年·松江区二模·第3题）在平面直角坐标系中，直线1y x =-经过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【难度】★ 【答案】C【解析】00k b ><，，图像经过第一、三、四象限． 【总结】考察正比例函数图像的性质．x y Ox y Ox y Ox yO例题解析【例30】 （2015学年·金山区二模·第2题）如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（）A ．k > 0，b > 0B ．k > 0，b < 0C ．k < 0，b > 0D ．k < 0，b < 0【难度】★ 【答案】B【解析】一次函数图象经过第一象，0k >；与y 轴负半轴相交，0b <． 【总结】考察正比例函数图像性质．【例31】 （2015学年·闵行区二模·第12题）将直线213y x =-+向下平移3个单位，那么所得到的直线在y 轴上的截距为______．【难度】★ 【答案】2-．【解析】上加下减，左加右减． 【总结】考察函数平移及截距的概念．【例32】 （2015学年·长宁区、金山区二模·第11题）把直线2y x =-+向上平移3个单位，得到的直线表达式是__________________．【难度】★【答案】5y x =-+． 【解析】上加下减，左加右减 【总结】考察函数平移特性．【例33】 （2015学年·徐汇区二模·第16题）如果直线y kx b =+（0k >）是由正比例函数y kx =的图像向左平移1个单位得到，那么不等式0kx b +>的解集是______．【难度】★★ 【答案】1x >-．【解析】y kx =与x 轴交点为()00，，向左平移1个单位得到()01-，，∴y kx b =+当0y >时，1x >-，∴不等式0kx b +>的解集是1x >-．【总结】考察函数与不等式结合的综合应用．【例34】 （2013学年·虹口区二模·第11题）已知一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出一个符合上述条件的一次函数解析式 为__________________．【难度】★★【答案】1y x =-+（答案不唯一）【解析】一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴，则0b >，y 随x 的增大而减小，则0k <． 【总结】考察一次函数图像的性质．14 / 40【例35】 （2015学年·静安区、青浦区二模·第16题）当x = 2，不论k 取任何实数，函数()23y k x =-+的值为3，所以直线()23y k x =-+一定经过定点（2，3）；同样，直线(3)2y k x x =-++一定经过的定点为____________．【难度】★★ 【答案】()35，．【解析】由题意可知：当3x =时，()(3)233325y k x x k =-++=-++=， 所以直线(3)2y k x x =-++一定经过的定点为()35，．【总结】考察一次函数的性质及代值求函数值，同时考察学生针对新定义的应用．【例36】 （2015学年·黄浦区二模·第21题）已知一次函数的图像经过点P （3，5），且平行于直线2y x =． （1）求该一次函数的解析式；（2）若点Q （x ，y ）在该直线上，且在x 轴的下方，求x 的取值范围. 【难度】★★【答案】（1）21y x =-；（2）12x <． 【解析】（1）设一次函数解析式为2y x b =+ ∵该一次函数的图像经过点()3,5P ，∴235b ⨯+= ∴1b =-，∴21y x =-（2）∵点(),Q x y 在该直线上，且在x 轴的下方，∴210x -<，解得：12x <. 所以x 的取值范围是12x <． 【总结】考察一次函数的平行性质即求解析式的方法以及一次函数的图像性质．【例37】 （2015学年·松江区二模·第21题）已知气温的华氏度数y 是摄氏度数x 的一次函数．如图所示是一个家用温度表的表盘．其左边为摄氏温度的刻度和读数（单位℃），右边为华氏温度的刻度和读数（单位℉）．观察发现表示40-℃与40-℉的刻度线恰好对齐（在一条水平线上），而表示0℃与32℉的刻度线恰好对齐．（1）求y 关于x 的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）当华氏温度为104℉时，温度表上摄氏温度为多少？ 【难度】★★【答案】（1）9325y x =+；（2）40C ︒． 【解析】（1）设()0y kx k =≠由已知得：404032k b b -=-+⎧⎨=⎩，解得：9532k ⎧=⎪⎨⎪⎩，9325y x ∴=+；（2）令104y =，9321045x ∴+=，解得：40x =，∴当华氏温度为104F ︒时，温度表上摄氏温度为40C ︒．【总结】考察一次函数求解析式的方法以及一次函数的性质的运用．【例38】 （2014学年·虹口区二模·第22题）某商店试销一种成本为10元的文具.经试销发现，每天销售件数y （件）是每件销售价格x （元）的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每天能卖出50件；当每件按20元的价格销售时，每天能卖出40件．（1）试求y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元？（不考虑其他因素）【难度】★★【答案】（1）280y x =-+；（2）该种文具每件的销售价格应该定为25元． 【解析】解：（1）由题意，知：当15x =时，50y =；当20x =时，40y =设所求一次函数解析式为y kx b =+，由题意得：50154020k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：280k b =-⎧⎨=⎩∴所求的y 关于x 的函数解析式为：280y x =-+；（2）由题意，可得：(10)(280)450x x --+=，解得：1225x x ==． 答：该种文具每件的销售价格应该定为25元. 【总结】考察一次函数与应用题综合应用．【例39】 （2015学年·浦东新区二模·第22题）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y （万元/吨）与生产数量x （吨）的函数关系式如图所示：（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本 = 每吨的成本⨯生产数量） 【难度】★★【答案】（1）()11004010y x x =-+≤≤；（2）30吨．【解析】（1）设函数解析式为()0y kx b k =+≠，将()0,10、()40,6分别代入y kx b =+得10640bk b =⎧⎨=+⎩，解之得11010k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以()11004010y x x =-+≤≤（2）由11021010x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：130x =或270x =，由于040x ≤≤，所以30x =答：该产品的生产数量是30吨．【总结】考察一次函数与应用题的综合应用．【例40】 （2014学年·长宁区二模·第21题）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回甲地．设汽车从甲地出发x （h ）时，汽车与甲地的距离为y （km ），y 与x 的关系如图所示．根据图像回答下列问题： （1）汽车在乙地卸货停留（h ）；（2）求汽车返回甲城时y 与x 的函数解析式，并写出定义域； （3）求这辆汽车从甲地出发4 h 时与甲地的距离． 【难度】★★【答案】（1）0.5；（2）()482402.55y x x =-+≤≤； （3）这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离48km ． 【解析】（1）0.5； （2）设(0)y kx b k =+≠，把（2.5，120）和（5，0）分别代入得120 2.505k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得48240k b =-⎧⎨=⎩，∴解析式为()482402.55y x x =-+≤≤．（3）当x = 4时，48424048y =-⨯+=∴这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离48km ．【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及已知自变量求函数值．【例41】 （2013学年·奉贤区二模·第22题）在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y （米）与施工时间x （时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：（1）求乙队在26x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？【难度】★★【答案】（1） 520y x =＋；（2）110米． 【解析】（1）设乙队在2≤x ≤6的时段内y 与x 间 的函数关系式为 y kx b =+，由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50）， ∴230650k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得520k b =⎧⎨=⎩，∴ 520y x =＋；（2）由图可知，甲队速度是：60610÷=（米/时）， 设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z 米， 依题意，得60501012z z --=解得：z =110．答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米．【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及根据实际问题解应用题．【例42】 （2014学年·闵行区二模·第22题）货车在公路A 处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A 处相距360千米的B 处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内剩余油量y （升）与行驶时间x （时）之间关系：（1）如果y 关于x 的函数是一次函数，求这个函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C 处，C 的前方12千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）【难度】★★【答案】（1）30150y x =-+；（2）D 处至少加94升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油 【解析】（1）设所求函数为：y k x b =+，根据题意，得150120b k b =⎧⎨+=⎩，解得：30150k b =-⎧⎨=⎩，∴所求函数的解析式为30150y x =-+；（2）设在D 处至少加w 升油， 根据题意，得：360460121504303021060w -⨯--⨯+≥⨯⨯+，解得：94w ≥．答：D 处至少加94升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油．【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及一次函数性质的应用，主要是认真审题， 明白题目中所蕴含的条件．时)y【例43】（2014学年·徐汇区二模·第21题）某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示．根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求营销员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件（0x≥）之间的函数关系式；（2）若两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度增长，且连续两个月的月收1.414，保留到百分位）．【难度】★★【答案】（1）800800y x=+；（2）41%．【解析】（1）设函数关系式为y kx b=+，将()0800，、()22400，代入得到：8002+2400bk b=⎧⎨=⎩，解得：800800kb=⎧⎨=⎩∴函数关系式为800800y x=+；（2）当5x=时8005800=4800y=⨯+，设这个增长率为a，由题意有22400(1)=4800a+，解得：1211a a=-+=--∴10.4140.4141%a=-≈=．答：函数关系式为800800y x=+，这个增长率为41%．【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及增长率类型应用题的应【例44】（2015学年·长宁区、金山区二模·第21题）在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A（2，0），点P （1，m）（m > 0）和点Q关于x轴对称．（1）求证：直线OP // 直线AQ；（2）过点P作PB // x轴，与直线AQ交于点B，如果AP⊥BO，求点P的坐标．【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）点P的坐标是(1．【解析】（1）设直线OP 和直线AQ 的解析式分别为1y k x =和22y k x b =+． 根据题意，得：点Q 的坐标为（1，-m ） 1k m =，22222+0k b m k b +=-⎧⎨=⎩，解得：222k mb m =⎧⎨=-⎩ ∵12k k m ==，∴直线OP ∥直线AQ ；（2）∵OP ∥AQ ，PB ∥OA ，AP ⊥BO ，∴四边形POAQ 是菱形，∴PO =AO ，∴212m +=，3m =±．∵0m >，∴3m =，∴点P 的坐标是()13，． 【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及结合四边形的综合应用．【例45】 （2013学年·宝山区、嘉定区二模·第22题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx b =+与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2）.（1）求直线AB 的表达式和线段AB 的长；（2）将OAB ∆绕点O 逆时针旋转90︒后，点A 落到点C 处，点B 落到点D 处，求线段AB 上横坐标为a 的点E 在线段CD 上的对应点F 的坐标（用含a 的代数式表示）.【难度】★★★【答案】（1）直线AB 的解析式为22y x =-+，5AB =；（2）点()22F a a -，． 【解析】（1）将点A （1，0），点B （0，2）代入直线y kx b =+，可求得：2k =-，2b =，∴直线AB 的解析式为22y x =-+，线段AB =22(10)(02)5-+-=； （2）∵E 为线段AB 上横坐标a 的点，∴第一象限的E ()22a a -+，， 根据题意F 为E 绕点O 逆时针旋转90︒后的对应点， 第二象限的F 的坐标为()22a a --+， ∴点()22F a a -，．【总结】考察一次函数待定系数法求解析式，以及结合几何图形的综合应用．一、 二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的函数叫做二次函数．模块五：二次函数xyO12 12 1-1-2- ABCD知识精讲二次函数2y ax bx c =++二、 二次函数的图像1、2y x =的图像：在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示：（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示． 二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =．2、二次函数2y ax =的图像：抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．3、二次函数2y ax c =+的图像：一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上图1图2。

函数专题之一次函数、反比例函数热点一：函数的定义与表达式；1.（1）k 为何值时，函数2(1)1k y k x k =+++是一次函数，它是正比例函数吗？（2）若函数2243my m x-=+-是y 关于x 的反比例函数，求m .2．若直线y =kx +b 经过)0,25(，且与坐标轴所围成的三角形的面积为425，求该直线的表达式.3过点A A .y =x 1C .y =x 12+4.112()(A x y B x ，，122x x -=且2AC BC =时，k b 、的值分别为( )A ．12k =，2b = B ．49k =，1b = C ．13k =，13b = D ．49k =，13b =热点二：一次函数与反比例函数的图象与性质5．一次函数y 1=ax +b 与y 2=bx +a 的图象在同一坐标系中，大致是（ ）A B C D6.在函数(0)ky k x=>的图象上有三点111(,)A x y 、222(,)A x y 、333(,)A x y ，已知1230x x x <<<，则下列各式中，正确的是（ ）A ．130y y <<B ． 310y y <<C ． 213y y y <<D ．312y y y << 7.（2008浙江金华）如图1，已知双曲线y =xk(k >0)与直线y =k ′x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题：（1）若点A 的坐标为(4，2).则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为 ；（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y =xk(k >0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A .P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn 应满足的条件；若不可能，请说明理由.热点三：函数问题之数形结合8.（2011浙江杭州）如图，函数11y x =-和函数22y x=的图象相交于点M (2，m )，N (-1，n )，若12y y >，则x 的取值范围是（ ） A ．102x x <-<<或 B ．12x x <->或C ．1002x x -<<<<或D ．102x x -<<>或9.如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为 ____________ ．热点四：反比例函数k 的几何意义10.（2011四川南充）过反比例函数y =xk(k ≠0)图象上一点A ，分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为B ,C ，如果△ABC 的面积为3.则k 的值为 .11．如图，过y 轴上任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数xy x y 24=-=和的图像交于A 点和B 点，若C 为x 轴上任意一点，连接AC ,BC 则△ABC 的面积为___________；12.（2010衡阳）如图，已知双曲线(0)ky k x=>经过直角三角形OAB 的斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若三角形OBC 的面积为3，则k =___________；1A 2A 3B 2B 1B 3C 2C 1C Oxy3A13.(2010 四川) 如图，函数()0ky x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB BC 、相交于点.D E 、若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为（ ）A ．1B . 2C . 3D . 414.(2010 广西)如图所示，点1A 、2A 、3A 在x 轴上，且11223OA A A A A ==，分别过点1A 、2A 、3A 作y 轴的平行线，与()80y x x=>的图象分别交于点1B 、2B 、3B ，分别过点1B ，2B ，3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ，2C ，3C ，连接1OB ，2OB ，3OB ，那么图中阴影部分的面积之和为___________.热点五：一次函数的应用15.（2011江苏泰州）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为S1m ,小明爸爸与家之间的距离为S2m,,图中折线OABD，线段EF分别是表示S1、S2与t之间函数关系的图象．（1）求S2与t之间的函数关系式：（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？16.春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）．（1）求a的值．（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数．（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？17.（2010湖北）如图所示，某地区对某种药品的需求量y 1（万件），供应量y 2（万件）与价格x （元/件）分别近似满足下列函数关系式：y 1=－x + 70，y 2=2x －38，需求量为0时，即停止供应.当y 1=y 2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量. （1）求该药品的稳定价格与稳定需求量.（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？（3）由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以利提高供应量.根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量.热点六：一次函数与反比例综合18. （2010 湖北） 如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④A C B D =．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）元/件)19.（2011山东聊城）如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数42my x-=（x >0）图象于点A 、B ，交x 轴于点C ． （1）求m 的取值范围；（2）若点A 的坐标是（2，－4），且13BC AB =，求m 的值和一次函数的解析式；。

初三数学的函数知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，即每一个自变量对应唯一的因变量，并且每一个可能的自变量都对应一个确定的因变量。

通俗地讲，函数就是一种“输入-输出”关系。

2. 自变量和因变量：在函数中，自变量是指可以独立变化的变量，通常用x来表示；而因变量则是函数的输出，通常用y来表示。

3. 函数的表达式：函数可以用数学公式或图象表示，通常表示为y=f(x)，其中f(x)是函数，表示自变量x经过函数f所得的因变量y。

4. 定义域和值域：函数的定义域是所有可能的自变量值的集合，值域是所有可能的因变量值的集合。

5. 奇函数和偶函数：如果f(-x)=-f(x)成立，那么函数f(x)是奇函数；如果f(-x)=f(x)成立，那么函数f(x)是偶函数。

二、函数的表示方法1. 函数的图象：函数的图象是将自变量和因变量的所有可能取值通过直角坐标系的点连起来所得的图形。

2. 函数的映射图：函数的映射图是将函数值与自变量一一对应的有序对用点表示，并由这些点组成的图。

3. 函数的解析式：函数的解析式是用公式或方程表示的函数表达式，可以直接求出给定自变量时的因变量值。

4. 函数的等价变形：函数的等价变形是对函数进行代数运算、图象变换等操作得到的新函数。

三、函数的基本性质1. 函数的有界性：如果函数f(x)在某一区间内有界，则函数在这个区间内有最大值和最小值。

2. 函数的单调性：如果函数f(x)在某一区间内的导数始终大于0或小于0，则函数在这个区间内是递增或递减的。

3. 函数的奇偶性：奇函数具有对称中心为原点的对称图象，偶函数具有对称中心为y轴的对称图象。

4. 函数的周期性：如果函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，其中T为正常数，则函数具有周期T。

5. 函数的零点和极值：函数的零点是指使函数取零值的自变量值，而极值则是函数取得最大值或最小值的点。

6. 函数的单值性和多值性：一般情况下，函数对应一个自变量只能有一个因变量，因此是单值函数；但有些函数也可以对应一个自变量有多个因变量，这就是多值函数。

第二讲 反比例函数（一）【知识点1】反比例函数的概念定义：一般的，如果两个变量x,y 之间的对应关系可以表示成 y = ,(k 为常数，且不为0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数【注意】反比例函数y=k x 中的kx是一个分式自变量x ≠0,因变量y ≠0即函数与x 轴、y 轴无交点 y=k x与 y=kx -1(k ≠0)与xy=k 是反比例函数的三种表达式 【例题】1、下列函数中，y 是x 反比例函数的是（ ）（A ）12+=x y （B ）22xy = （C ）x y 51=（D ）x y =2 2、如图，反比例函数y=kx的图象经过点M ，则此反比例函数的解析式为（ ）A ．y=-12x B ．y=12x C ．y=-2x D ．y=2x3、若22)1(-+=a xa y 是反比例函数，则a 的取值为（ ）A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数【练习】：1、下列函数中,哪些表示y 是x 的反比例函数:（1）y=43x ；（2）y=x21；（3）xy=6； （4）3x+y=0；（5）x-2y=1；（6）3xy+2=0.2、图象经过点（-2，5）的反比例函数的解析式是 .3、如果函数2221-++=k k xk y ）（是反比例函数，那么k =________，此函数的解析式是____ ____【知识点2】反比例函数的图像与性质图像：双曲线k 的符号k ＞0k ＜0【例题】（1）实际图像问题：1．在公式I=U/R 中，当电流I 一定时，电压U 与电阻R 之间的函数关系可用图象大致表示为（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，面积为2的ΔABC ，一边长为x ，这边上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示大致是 （ ）（2）过象限问题1．反比例函数是2yx的图象在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 （3）增减性问题1．下列说法中不正确的是（ ） A ．函数y=2x 的图象经过原点 B ．函数y=的图象位于第一、三象限 C ．函数y=3x ﹣1的图象不经过第二象限 D ．函数y=﹣的值随x 的值的增大而增大2．已知点A （-2，y 1），B （2，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数y=-6x 的图象上，则下列结论中正确的是图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限 性质在每一象限内y 随x 的增大而在每一象限内y 随x 的增大而oy xy xo（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 13．双曲线1m y x -=在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是________．练习：1、已知函数322)2(---=m m x m y 是反比例函数，且图象在第一、三象限内，则=m _______.2、函数x my =的图象过（2，-2），那么函数的图象在（ ）A.第一、三象限B.第一、四象限C.第二、三象限D.第二、四象限 3、若反比例函数xky =（k<0）的图象上有两点1P （2，1y ）和2P （3，2y ），那么 （ ） A ．021<<y y B ．021>>y y C ．012<<y y D ．012>>y y【练习】1、已知a ·b <0，点P （a ，b ）在反比例函数x ay =的图象上，则直线b ax y +=不经过的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若P （2，2）和Q （m ，-m 2）是反比例函数x ky =图象上的两点，则一次函数y=kx+m 的图象经过（ ）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限【知识点3】反比例函数k 的几何意义（1）过双曲线y=x k(k ≠0)上的任意一点P(x,y)作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN.垂足分别为M 、N,所得矩形PMON的面积S=y x =xy .因为y=x k,所以xy=k,所以S=//k xy =.即过双曲线上任意一点作x 轴，y 轴的垂线，所得矩形的面积为k.【例题】1．如图：点A 在双曲线y=k /x 上，AB 丄x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB=2，则k=________2．如图，点A是反比例函数y=kx图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k= ．3．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数kyx=（x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为．4、如图5－5所示，A，B是函数xy1=的图象上关于原点O的对称点，AD平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则下列各式正确的是( )A．S＝1 B．S＝2C．S＞2D．1＜S＜2【练习】已知反比例函数y＝6x在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO＝AB，则S△AOB＝．5、如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．【练习】如图，两个反比例函数xyxy24==和在第一象限内的图象分别是21CC和，设点P在1C上，PA⊥x轴于点A，交2C于点B，则△POB的面积为．C2C1yxBAOP6、如图，点E，F在函数ky(x0)x=>的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A，B，且BE：BF=1：m. 过点E作EP⊥y轴于P，已知△OEP的面积为1，则k值是，△OEF的面积是（用含m 的式子表示）【练习】如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．1B．2C．3D．47、如图，反比例函数6yx=-在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB与x轴交于点C，则△AOC 的面积为（）A. 8B. 10C. 12D.24【练习】如图，直线xy34=与双曲线)0(>=xxky交于点A，将直线xy34=向右平移29个单位后，与双曲线)0(>=xxky交于点B，与x轴交于点C，若2=BCAO，则k=．【练习】1、下列图形中，阴影部分面积最大的是（）A．B．C．D．2、（2013贵州省黔东南州，10，4分）如图，直线y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（）A ． （1.0）B ． （1.0）或（﹣1.0）C ． （2.0）或（0，﹣2）D ． （﹣2.1）或（2，﹣1）3、如右图，直线AB 交双曲线xky =于Ａ、B ，交x 轴于点C,B 为线段AC 的中点，过点B 作BM ⊥x 轴于M ，连结OA.若OM=2MC,S ⊿OAC =12.则k 的值为___________.4、如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x =上，第二象限的点B 在反比例函数ky x=上，且OA ⊥OB ，3cosA=，则k 的值为【 】A ．－3 B ．－6 C ．－4 D ．23-出门检测1、 若反比例函数y=﹣1x的图象经过点A （3，m ），则m 的值是（ ） A ．﹣3 B ．3 C. -13 D ．132、若点A （1，﹣3），B （m ，3）在同一反比例函数的图象上，则m 的值为 ．3、如果点A （﹣2，1y ），B （﹣1，2y ），C （2，3y ）都在反比例函数y=21k x 的图象上，那么1y 、2y 、3y 的大小关系是 ．4、已知反比例函数10y x=，当1＜x ＜2时，y 的取值范围是 （ ） （A ）0＜y ＜5 （B ）1＜y ＜2 （C ）5＜y ＜10 （D ）y ＞105、反比例函数kyx=的图像如图1所示，点M是该函数图像上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果2MONS=△，则k的值为（）Ａ．2Ｂ．2-Ｃ．4Ｄ．4-6、如图，函数y=﹣x与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8课后作业1、点P（2，4）在反比例函数上，则反比例函数的解析式为＿＿2、平行四边形的面积不变，那么它的底与高的函数关系是（）A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数3.下列函数中，反比例函数是（）A.2xy-=B.xy2-=C.21+-=xyD.212+-=xy4、已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，则y1y2（填“＞”“＜”或“=”）5.已知函数xmy=，当21-=x时，6=y，则函数的解析式是 .6、函数xky22--=（k为常数）的图象上有三个点（-2，y1），(-1，y2)，（21，y3），函数值y1，y2，y3的大小为 .ＯＮＭyx7、如图，点A 在双曲线y=xk上，AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积是2，则k 的值是 ．8、如图，若双曲线ky x=与边长为5的等边△AOB 的边OA 、AB 分别相交于C 、D 两点，且OC ＝3BD ，则实数k 的值为 .9、如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A （﹣2，0），与x 轴夹角为30°，将△ABO 沿直线AB 翻折，点O 的对应点C 恰好落在双曲线y=xk（k ≠0）上，则k 的值为（ ）A ．4B ．﹣2C ．3D ．﹣3 10、如图，点A （m ，2），B （5，n ）在函数ky x=（k ＞0，x ＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A 、B 的对应点分别为A ′、B ′．图中阴影部分的面积为8，则k 的值为 ．11、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ky x=（0x >）的图象交矩形OABC 的边AB 于点D ，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k= ．12、如图，点A（15，15）在双曲线kyx（0x ）上．（1）求k的值；（2）在y轴上取点B（0，1），为双曲线上是否存在点D，使得以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD的顶点C在x轴的负半轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。

2018年下学期九年级数学辅导讲义第04讲 反比例函数【要点梳理】要点一、反比例函数的概念一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：在ky x=中，自变量x 的取值范围是，k y x=()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式. 要点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象反比例函数()0ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点诠释：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x ky 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线； ②)0(≠=k x ky 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③xky x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=。

点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质 当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大. （2）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较（4）反比例函数y ＝中k 的意义①过双曲线xky =(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . ②过双曲线x ky =(k ≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式例1、在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x ＞0，k ＞0）的图象经过点A （m ，n ），B （2，1），且n ＞1，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，求点A 的坐标．举一反三：【变式】已知反比例函数ky x=与一次函数y ax b =+的图象都经过点P(2，－1)，且当1x = 时，这两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系式.类型二、反比例函数的图象及性质 例2、已知反比例函数ky x=(k ＜0)的图象上有两点A(11x y ，)，B(22x y ，)，且12x x <，则12y y -的值是( )．A ．正数B ．负数C ．非负数D ．不能确定 举一反三：【变式】已知0a b ⋅<，点P （a b ，）在反比例函数xay =的图象上，则直线b ax y +=不经过的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限例3、函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是（ ）A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④例4、反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）举一反三：【变式】已知＞b a ,且,0,0,0≠+≠≠b a b a 则函数b ax y +=与xba y +=在同一坐标系中的图象不可能是( ) .类型三、反比例函数与一次函数综合例5、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+(k ≠0)的图象与反比例函数my x=(m ≠0)的图象相交于A 、B 两点．求： (1)根据图象写出A 、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值． xmy =)0(≠-=m m mxy举一反三：【变式】如图所示，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数(0)my x x=>的图象交于点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且27DBP S =△，12OC CA =． (1)求点D 的坐标；(2)求一次函数与反比例函数的表达式；(3)根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？类型四、反比例函数的实际应用例6、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y (℃)，从加热开始计算的时间为()min x ．据了解，设该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图)．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min 后温度达到60℃． (1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式； (2)根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？【巩固练习】一.选择题1. 已知函数25(1)my m x -=+的反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m 的值是（ ）．A ．2B ．－2C ．±2D ．12-2. 如图是三个反比例函数x k y 1=、x k y 2=、xk y 3=在x 轴上方的图象，由此观察得到123k k k ，，的大小关系（ ）. A ．123k k k >> B ．321k k k >> C ．231k k k >> D ．312k k k >>3. 如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB ＝AC ＝2，直角顶点A 在直y x=上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线ky x=(k ≠0)与ABC ∆有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．12k << B ．13k ≤≤ C ．14k ≤≤ D ．14k ≤<4.如图，A 、B 是双曲线y=上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ）A ．43 B ．83C ．3D ．4 5. 如图所示，双曲线(0)ky k x=>经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ．若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）．A ．1y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．6y x=6. 如图所示，在同一直角坐标系中，函数1y kx =+和函数ky x=(k 是常数且k ≠0)的图象只可能是( )．7. 如图所示，反比例函数4y x =-的图象与直线13y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则△ABC 的面积为（ ）．A ．8B ．6C ．4D ．28. 如图，反比例函数的图象经过点A(－1,－2).则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是（ ）A. y ＞1B.0＜y ＜1C. y ＞2D.0＜y ＜2二.填空题9.直线()0y kx k =>与双曲线4y x=交于A （11x y ，），B （22x y ，）两点，则122127x y x y - ＝___________．10.已知1y 与x 成正比例(比例系数为1k )，2y 与x 成反比例(比例系数为2k )，若函数12y y y =+的图象经过点(1，2)，(2，)，则1285k k +的值为________. 11. 在函数xk y 22--=（k 为常数）的图象上有三个点（－2，1y ），(－1，2y )，（21，3y ），函数值1y ，2y ，3y 的大小为_________.12.已知点A(a ，5)，B(2，b )关于x 轴对称，若反比例函数的图象经过点C(a ，b )，则这个反比例函数的表达式为____________. 13.已知（11x y ，），（22x y ，），（33x y ，）是反比例函数2y x=-的图象上的三个点，并且1230y y y >>>，则123x x x ，，的大小关系是 . 14．设有反比例函数1k y x+=，(1x ，1y )，(2x ，2y )为其图象上两点，若120x x <<，12y y >，则k 的取值范围是_______．15．如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 ．16．如图所示是一次函数1y kx b =+和反比例函数2my x=的图象，观察图象写出当12y y > 时，x 的取ky x=12三.解答题17.如图所示，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数(0)ky x x=>的图象经过点B ． (1)求k 的值；(2)将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC '、NA BC '．设线段MC '、NA '分别与函数(0)ky x x=>的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．18.如图所示，已知双曲线(0)ky k x=>，经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于点C ，DE ⊥OA ，3OBC S =△，求反比例函数的解析式．19. 如图所示，一次函数y x b =+的图象经过点B(－1，0)，且与反比例函数ky x=(k 为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点A(1，n )．求：(1)一次函数和反比例函数的解析式；(2)当1≤x ≤6时，反比例函数y 的取值范围．20.如图，反比例函数y=（k＞0）与正比例函数y=ax相交于A（1，k），B（﹣k，﹣1）两点．（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数y=（k＞0）的图象交于C （x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，求b的值．。

2019年中考数学知识点讲解1：函数
函数在数学考试中经常出现，小编为学生们详细讲解中考数学考试知识点：函数，一起来看看详细内容吧!
一般地，在某一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应夺就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。

把一个函数关系式的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

即：若点P(x,y)的坐标满足函数关系式，则点P在函数图象上;反之，若点P在函数图象上，则P(x,y)的坐标满足函数关系式。

描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线。

要使函数关系式有意义：
函数关系式形式
自变量取值范围
整式函数
全体实数
分式函数
使分母不为零
根式函数
偶次根式
使被开方数非负
奇次根式
全体实数
零指数、负指数形式函数
使底数不为零
正比例函数与一次函数的概念：(1)一次函数：形如(k=?0，k，b是常数)的函数叫做一次函数。

(2)正比例函数：形如，k是常数)的函数叫做正比例函数。

(3)正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特殊情形。

以上内容小编就为学生们介绍到这里了，想要了解更多精彩内容尽请关注教育!。

函数数学九年级基础知识点函数数学九年级基础知识点在年少学习的日子里，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。

为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺整理的函数数学九年级基础知识点，欢迎大家分享。

【易错分析】易错点1：函数自变量的取值范围考虑不周全.易错点2：一次函数图象性质与 k、b之间的关系掌握不到位.易错点3：在反比例函数图象上求三角形面积，面积不变成惯性.易错点4：二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标的表示.易错点5：二次函数实际应用时，y取得最值时，自变量x不在其范围内.【好题闯关】好题1. 函数中自变量x的取值范围是( )A.x2B.x=3C. x2且x3D.x2且x3解析：此题我们都能注意到2-x0，且x-30，误选D，其实x2里已包含x3.答案：A好题2. 已知函数y=kx+b的图象如图，则y=2kx+b的图象可能是( )函数的定义及表示方法变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应。

定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

确定函数定义域的方法关系式为整式时，函数定义域为全体实数。

关系式含有分式时，分式的分母不等于零。

关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零。

关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零。

实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式。

函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

初中数学函数家教讲义一、函数的基本概念及性质1.1 函数的定义我们先来了解函数的定义。

在数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

简而言之，函数是一种规则，它将自变量的取值映射到因变量的取值上。

1.2 函数的符号表示函数通常用字母表示，常见的表示方法有f(x)、g(x)等。

其中，f代表函数的名称，x代表自变量，而f(x)则表示函数f对自变量x的取值。

1.3 定义域和值域接下来我们来介绍函数的定义域和值域。

定义域是指函数所有自变量的取值范围，它决定了函数的有效输入。

值域是指函数所有因变量的取值范围，它是函数的有效输出。

1.4 三种基本函数初中数学中常见的函数有三种：线性函数、二次函数和反比例函数。

二、线性函数2.1 线性函数的定义线性函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条直线。

线性函数的一般形式可以表示为：y = kx + b，其中k和b为常数，k表示直线的斜率，b表示直线的截距。

2.2 线性函数的图像特点线性函数的图像具有以下特点：- 斜率k决定了直线的倾斜程度，k越大直线越陡峭，k越小直线越平缓。

- 截距b决定了直线与y轴的交点位置，当b为正数时，直线在y 轴上方交点；当b为负数时，直线在y轴下方交点。

三、二次函数3.1 二次函数的定义二次函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条抛物线。

二次函数的一般形式可以表示为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。

3.2 二次函数的图像特点二次函数的图像具有以下特点：- 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

- 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)表示函数在顶点的取值。

四、反比例函数4.1 反比例函数的定义反比例函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条曲线。

反比例函数的一般形式可以表示为：y = k/x，其中k为常数。

4.2 反比例函数的图像特点反比例函数的图像具有以下特点：- 曲线与坐标轴不相交，称为渐近线。