初二数学第1讲

初二上册数学第一章引言初中数学是一门基础学科，正是通过初中数学的学习，学生可以培养出良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。

初二上册数学的第一章是入门章节，主要介绍了数的基本性质和数的大小比较。

数的基本性质在初二数学中，我们学习了数的基本性质。

数除了有大小之外，还有其他的特性。

以下是数的基本性质的分类。

自然数自然数是最简单的一类数，它们可以表示为1、2、3、4…。

自然数有以下基本性质：•自然数是无限的，没有最大的自然数；•自然数与自然数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算；•自然数之间满足交换律、结合律和分配律；•自然数可以通过进位和借位进行整数运算。

整数整数包括自然数和它们的相反数，可以表示为…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…。

整数也具有一些特性：•整数之间可进行加法、减法和乘法运算；•整数遵循交换律、结合律和分配律；•整数在做除法运算时，需要注意除数不能为0。

有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、0以及分数形式。

有理数的性质如下：•有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算；•有理数之间满足交换律、结合律和分配律；•有理数的几个特殊形式是整数、小数、百分数和分数。

实数实数是所有有理数和无理数的集合。

实数可以表示为小数形式，比如1.5、2.718等等。

实数有以下一些特性：•实数可以进行加法、减法、乘法和除法运算；•实数满足交换律、结合律和分配律；•实数具有截断性质，即小数可以截取有限位或无限位。

数的大小比较在初二上册数学第一章，我们也学习了如何比较数的大小。

比较数的大小时，需要根据数的大小和正负进行分类。

正数和负数的比较当比较两个正数时，我们根据它们的大小关系来判断。

•两个正数中较大的数，数值较大；•两个正数中较小的数，数值较小。

当比较两个负数时，我们需要考虑到它们的相反数。

•两个负数中较大的数，数值较小，相反数绝对值较小；•两个负数中较小的数，数值较大，相反数绝对值较大。

第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+　无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。

1初二秋季·第1讲·提高班·教师版对称的世界图形变换3级中考新题型之折纸与拼图图形变换2级 构造轴对称图形图形变换1级 轴对称初步 满分晋级漫画释义1构造轴对称图形2初二秋季·第1讲·提高班·教师版1 角平分线+垂线，等腰三角形必呈现当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，可利用等腰三角形的三线合一性质证题；2 角分线，分两边；对称全等要记全当题设有角平分线及角平分线一侧的三角形时，可截长补短，利用角平分线，构造轴对称的全等三角形．例题精讲思路导航知识互联网题型一：角平分线的常见辅助线模型（二）3初二秋季·第1讲·提高班·教师版图2N M O B CP A 图1A P CO MN【引例】 如图，在ABC △中，BE 是角平分线，AD BE ⊥，垂足为D ．求证：21C ∠=∠+∠．ABCED12F21DECBA【解析】如图，延长AD 交BC 于F 点．∵ABD FBD ∠=∠，BD BD =，90ADB FDB ∠=∠=︒， ∴Rt Rt ABD FBD △≌△． ∴2DFB ∠=∠． ∵1DFB C ∠=∠+∠， ∴21C ∠=∠+∠．【例1】 如图1所示： OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，AC OP ⊥于C 点．则延长AC 与ON交于B 点（如图2所示），易证AC BC OA OB ==，．进而可知点C 是线段AB 的中点.请根据上面的学习材料，解答下列各题：如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．ABCD E123321FED CBA【解析】 延长CE 、BA 相交于F ，典题精练4初二秋季·第1讲·提高班·教师版在BEC △和BEF △中12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△（ASA ）∴12CE EF CF ==∵BE CE ⊥，∴190F ∠=-∠° 同理390F ∠=-∠°，∴13∠=∠在ABD △和ACF △中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ACF △≌△（ASA ） ∴BD CF =∴12CE BD =【例2】 阅读下面学习材料：如图1所示：ABC △中，取AB AC 、中点D E 、，连接DE ，则DE 叫ABC △的中位线（如图2所示）．易证DE BC ∥且12DE BC =．图2图1BCAED C BA我们来一起证明一下：证明：过点C 作CF AB ∥交DE 的延长线于F . ∴ADE CFE △≌△∴DE EF =,FC AD DB ==. ∵,FC BD ∥FC BD =∴四边形DBCF 是平行四边形. ∴1122DE BC DF ==,DF BC ∥.若在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABP ∠、ACQ ∠的角平分线，AM BM ⊥， AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++AB CMNPQFEQPNMCBA【解析】延长AM 、CB 相交于点E ，延长AN 、BC 相交于点F ，易证()()ASA ASA AMB EMB ANC FNC △≌△，△≌△， FED C BA5初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN EB BC CF AB BC AC =++=++．【例3】 阅读下列学习材料：如图1 所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点.连接AC ,在射线ON 上截取OB OA =，连接BC （如图2），易证AOC BOC △≌△．图1N M OPA C图2CA PBOM N请根据上面的学习材料，解答下列各题： 如图，在四边形ABCD 中，AD BC A ∠∥，的角平分线AE 交DC 于E ，BE 是B ∠的角平分线．求证：⑴AD BC AB +=；⑵AE BE ⊥EDCB AFEDCBA【解析】⑴ 在AB 上截取AF ，使AF AD =，连接EF ，∵在ADE △和AFE △中，DA FA DAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADE AFE △≌△ ∴ADE AFE ∠=∠ ∵AD BC ∥∴180ADE C ∠+∠=︒ ∵180EFB AFE ∠+∠=︒ ∴EFB C ∠=∠∵在EFB △和ECB △中，EBF EBC EFB C BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)EFB ECB △≌△ ∴BF BC =∴AD BC AF BF AB +=+= ⑵ ∵AD BC ∥,∴22180EAB EBA ∠+∠=︒ ∴90EAB EBA ∠+∠=︒ ∴AE BE ⊥.【例4】 已知：如图，在四边形ABCD 中，BC AB >，AD CD =，BD 平 A B CD6初二秋季·第1讲·提高班·教师版分ABC ∠．求证：180A C ∠+∠=°．【分析】 证两个角的和等于180°，使我们联想到证这两角和等于一个平角．由于两个角比较分散，因此根据角的平分线的条件，添加辅助线，把两个角拼成一个平角．【解析】 证法一：（这个模型我们暑期班进行过详细讲解）如图，过点D 作BA 、BC 的垂线，垂足分别为E 、F ．则DE DF =． 在Rt ADE △和Rt CDF △中，AD DC DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADE CDF △≌△，∴EAD C ∠=∠． ∵180BAD EAD ∠+∠=°,∴180A C ∠+∠=°．FEDCBAA BCDEEDCBA证法二：如图，在BC 上截取BE AB =，连结DE ， 在ABD △和EBD △中AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD EBD △≌△，∴A BED ∠=∠，AD ED =． ∵AD CD =，∴ED CD =．∴C DEC ∠=∠． ∴180A C BED DEC ∠+∠=∠+∠=°．证法三：如图，延长BA 到E ，BE BC =，连结ED ．在BDE △和BDC △中，BD BD EBD CBD BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDE BDC △≌△∴E C ∠=∠，ED CD =．∵AD CD =，∴AD ED =∴E DAE ∠=∠，C DAE ∠=∠．∴BAD C ∠+∠180BAD DAE =∠+∠=°．7初二秋季·第1讲·提高班·教师版探索1：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.lBAP′PlBA【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为AB .探索2：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.ABlPlB'BA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为'AB .【备选1】模型应用：⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小； ⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小； ⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．思路导航题型二：将军饮马问题探索8初二秋季·第1讲·提高班·教师版图4图3图2图1P DCAOPCBAP E D CB AP E D CBA【解析】 ⑴作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为223BC BE -=；⑵连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB +PE 的最小值是225AD AE +=；⑶作A 关于OB 的对称点A ′，连接A ′C ，交OB 于P ，P A +PC 的最小值即为A ′C 的长，∵∠AOC =60°，∴∠A ′OC =120°，作OD ⊥A ′C 于D ，则∠A ′OD =60°，∵OA ′=OA =2，A ′D =3，∴A ′C =23⑶如图4，首先过点B 作BB ′⊥AC 于O ，且OB =OB ′，连接DB ′并延长交AC 于P ，由AC 是BB ′的垂直平分线，可得∠APB =∠APD ．B'DA'图4图3图2图1P DCB AO P C B AP E DCB AP E D CBA【备注】此题涉及部分勾股定理内容，程度好的班级教师可适当进行拓展，程度一般的班级可跳过计算，会画图即可．探索3：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.ABlAPB P′l【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB .．探索4：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.9初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABllB'PBA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB '.探索5：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最小.All【解析】直线AB 的中垂线与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最小值为0.探索6：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PCD△的周长最小.BOB【分析】做点P 关于直线OA 、OB 的对称点1P 、2P ，12P P 与直线OA 、OB 的交点为所求点C 、D .△PCD 的周长最小值为P 1P 2的长度．【备选2】 已知如图所示，40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当PAB △的周长取最小值时，APB ∠的度数为 ．(东城期末)【解析】 分别作点P 关于ON 、OM 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PAB △的周长PA AB PB P B AB P A '''++=++， 由两点间线段最短，故PAB △的最小周长为P P '''，N PB M O AP''P'P B A N OM10 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∵40MON =︒∠，OP OP OP '''==，∴P OP '''△是等腰三角形， 此时∠O P 'P ''=∠O P ''P '=50°∴角∠APB =∠O P 'P ''+∠O P ''P '=100°．探索7：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PD CD +最小.ABPP′PDC OBA【解析】做点P 关于直线OB 的对称点'P 、过'P 向直线OA 作垂线、与OB 的交点为所求点D ，垂足即为点C ．PD +CD 的最小值为P ’C 的长度．【备选3】如图，在锐角三角形ABC 中，BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，试求CM +MN 的最小值．【解析】 过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M ′作M ′N ′⊥BC 于N ′，则CE 即为CM +MN的最小值，∵BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，∴△BCE 是等腰直角三角形，∴CE =4，故CM +MN 的最小值为4．EN'M'ABCD NMMNDCBA探索8：如图，点C 、D 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点F ，在OA 边上求作一点E ，使四边形CEFD 周长最小.ODC BAC′D′FEODC BA111【解析】如图所示，作C 、D 两点分别关于直线OA 、OB 的对称点C D ''、，连接C D ''、分别交OA 、OB 于E F 、，点E 、F 即为所求．【备选4】在∠MON 的两边上分别找两点P 、Q ，使得AP +PQ +QB 最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）A'N NO探索9：如图，直线l 外有两点A 、B ，有一定长线段a ，在直线上找到点M 、N ,使得MN 间的距离等于定长a ，使得四边形AMNB 的周长最小.B'A'aNMBAl【解析】 如图所示，将点A 向右平移a 个长度到点'A ,做点B 关于直线l 的对称点'B ,连接''A B 后交直线l 于点N ,过点A 作''AM A B ∥,交直线l 于点M ，四边形AMNB 即为所求.【备选5】⑴如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC =6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使得△PDE 的周长最小． ①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法） ②请直接写出△PDE 周长的最小值．⑵如图2在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且EF =1，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出四边形CGEF 周长的最小值．aBAl图1图2图1BGCB12 初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】⑴ ①如图1所示：②8；⑵ 如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH =1，然后连接HM 交AB 于E ， 接着在EB 上截取EF =1，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小． C CGEF GE EF FC GC MH CG EF =+++=++四边形 ∵AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点， ∴DG =AG =AM =3，∴MH=2239310+=，CG=22345+= ∴C 6310CGEF =+四边形．探索10：如图，在一组平行线l 1、l 2两侧各有两点A 、B ，在l 1、l 2间找一条线段MN ,使MN ⊥l 1并且使得AM +MN +NB 之和最短．N'M'A'l 2BN MAl 1N MBA l 2l 1【备选6】如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A 、B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短，这个最短路程是多少米？CABD D'C'E E'FGE'E C'D'D BA C【解析】 作AF ⊥CD ，且AF =河宽，作BG ⊥CE ，且BG =河宽，连接GF ，与河岸相交于E ′、D ′．作DD ′、EE ′即为桥．13初二秋季·第1讲·提高班·教师版证明：由作图法可知，AF ∥DD ′，AF =DD ′， 则四边形AFD ′D 为平行四边形， 于是AD =FD ′， 同理，BE =GE ′，由两点之间线段最短可知，GF 最小； 即当桥建于如图所示位置时，ADD ′E ′EB 最短． 距离为()()2265-5+85-552110+⨯=米．【例5】 如图，30AOB =︒∠，点P 位于AOB ∠内，3OP =，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求PMN △的最小周长．NMPBAOP''P'OAB PMN【解析】 分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PMN △的周长PM MN PN P M MN P N '''++=++，由两点间线段最短，P M MN P N P P ''''''++≥，故PMN △的最小周长等于P P '''的长， ∵30AOB =︒∠，∴'"60P OP ∠=︒，又∵3OP OP OP '''===， ∴P OP '''△是等边三角形，∴3P P '''=，即PMN △的最小周长为3．【例6】 如图1，OP 是MON ∠的角平分线，请利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考构造全等三角形的方法，解答下列问题：⑴ 如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的角平分线，AD CE 、相交于点F ．请你判断写出FE 与FD 之间的数量关系；⑵ 如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由．（北京中考）典题精练图3图2图1P NMOABCDEFFEDC BA14 初二秋季·第1讲·提高班·教师版4321图4G FE D CBA图5HGABCD E F【解析】 图略．⑴ FE 与FD 之间的数量关系为FE FD = ⑵ ⑴中的结论FE FD =仍然成立．证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连接FG ． ∵12∠=∠，AF 为公共边，∴AEF AGF △≌△， ∴AFE AFG FE FG ∠=∠=，．∵60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC BCA ∠∠、的平分线，∴2360∠+∠=︒，∴60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=︒，∴60CFG ∠=︒． ∵34∠=∠，且FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△， ∴FG FD =，∴FE FD =．证法二：若C A ∠>∠，如图5，过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ∵60B ∠=︒，且AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的平分线， ∴2360∠+∠=︒，FG FH =， ∴601GEF ∠=︒+∠．∵1HDF B ∠=∠+∠，∴GEF HDF ∠=∠，123 4∴EGF DHF．△≌△，∴FE FD初二秋季·第1讲·提高班·教师版1516 初二秋季·第1讲·提高班·教师版训练1. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MABCE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．训练2. 在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-NMC B AFENMCB A【解析】延长AM 、BC 相交于点E ，延长AN 、CB 相交于点F ，易证Rt Rt AMB EMB △≌△，Rt Rt ANC FNC △≌△，∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN FB BC CE AB AC BC =++=+-．训练3. 如图所示，AD 是内角平分线，求证：PC PB AC AB -<-图2CP D BA思维拓展训练(选讲)17初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】 如图，在AC 上取一点E ，使AE AB =，连接PE ，∵AD 平分ABC ∠，∴CAP BAP ∠=∠．∵AE AB AP AP ==，，∴APE APB △≌△，∴PE PB = 在EPC △中，PC PE EC -<，即PC PB AC AE -<-， ∴PC PB AC AB -<-．训练4. 如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN -的取值范围．NMD CB A【解析】当DN MN =时，DN MN -有最小值为0，此时点N 位于DM 的垂直平分线与AC 的交点处．2DN MN DM -=≤，当点N 与点C 重合时，等号成立，此时有最大值2． ∴02DN MN -≤≤图6EP D CBA18 初二秋季·第1讲·提高班·教师版题型一 角平分线的常见辅助线模型（二） 巩固练习【练习1】 如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=°，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D 点，若CD n =，AB m =，则ABD △的面积是 ．（北京四中期中）【解析】 2mn（提示：过D 作AB 垂线）【练习2】 在ABC △中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，D 为垂足，G 为BC 的中点，求证：DGC B ∠=∠．A CDGBACD EGB【解析】延长CD 交AB 于E ，则得ADC ADE △≌△，所以D 为EC 中点，所以DG AB ∥，所以DGC B ∠=∠【练习3】 ⑴ 如图1所示，在ABC △中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的角平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证:1()2MF AC AB =-.⑵ 如图2所示，将⑴中AD 改成BAC ∠的外角平分线，其它条件不变，则⑴中结论是否依然成立？成立请证明；若不成立，请说明理由．图1BM F D CA图2CBM FDA【解析】 ⑴ 如图3所示，延长AB 、CF 相交于点E ，在AFE △和AFC △中，EAF CAF ∠=∠，复习巩固CDBA19初二秋季·第1讲·提高班·教师版AF AF =，AFE AFC ∠=∠，故AFE AFC △≌△，从而AE AC =，EF FC =.而CM MB =，故MF 是CBE △的中位线， 从而()()111222MF BE AE AB AC AB ==-=-．⑵ 不成立．理由如下：如图4所示，延长CF 交BA 延长于E 点易证AEF ACF △≌△，∴EF CF =，即F 点为CE 中点 ∵M 是BC 中点,∴()()111222MF BE BA AE BA AC ==+=+．【练习4】 如图所示，在ABC △中，100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD至E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+EDCAF EDCA【解析】 在BC 上取一点F ，使得BF BA =易证得ABD FBD △≌△，∴DF AD =， 又∵DA DE =，∴DF DE =∵100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，∴AB AC = ∵BD 平分ABC ∠，∴20ABD ∠=︒ ∴60ADB FDB ∠=∠=︒ ∵60CDE ADB ∠=∠=︒ ∴60FDC EDC ∠=∠=︒， ∴DCF DCE △≌△图3ACD EF M B 图4ADEFM BC20 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴FC EC =，∴BC BF FC AB CE =+=+题型二 将军饮马问题 巩固练习【练习5】 已知ABC △的顶点坐标分别为A (0，2)，B (2-，0)，C (1，0)，O 是坐标原点.试在AB 和AC 边上分别找一点D 、E ，使DOE △的周长最短.画出点D 、E 两点的位置图形，简述作图方法.(清华附中期中考试试题)y C O x B AO 2O 1EDyC O xB A【解析】 作点O 关于线段AB 、AC 的对称点1O 、2O ，连接两点与AB 、AC 的交点为所求点D 、E .21初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABOP QR P′P″A B O P Q R P′P″P O B A测试1. 如图AOB ∠内有点P ，试在角的两边上找两点Q 、R (均不同于O 点)，使PQR △的周长最小，画出Q 、R 两点的位置图形，保留作图痕迹.【解析】测试2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？E DCBAF EDCBA【解析】作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ,可推出DF BE =，易证CEB CFD △≌△，∴ABC ADC ∠+∠180=︒测试3. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MA B CE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．课后测22 初二秋季·第1讲·提高班·教师版想像力比知识更重要，因为知识是有限的，而想像力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。

初二数学上册第一章第一节课讲解作为数学的基础学科，数学的学习在初中阶段显得尤为重要。

而初二数学上册的第一章第一节课的讲解，则是数学学习的重要起点。

本文将围绕这一主题展开讨论，并进行全面评估和深度探究。

一、初二数学上册第一章第一节课的内容概述在初二数学上册的第一章第一节课中，主要内容包括对数的概念介绍、对数的性质和对数的运算。

对数是数学中的一个重要概念，它在科学计算、工程技术和数学研究中有着广泛的应用。

通过对数的学习，不仅能够帮助学生理解指数和对数的含义，还能够培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。

二、对初二数学上册第一章第一节课的深入理解1. 对数的概念介绍在第一节课中，老师首先向学生介绍了对数的概念。

对数是表示一个数与另一个数的幂相等时的指数。

通过对数的概念介绍，学生可以了解到对数的基本定义和含义，为后续的学习打下坚实的基础。

2. 对数的性质接下来，老师向学生讲解了对数的性质，包括对数与指数的关系、对数的基本性质和对数的运算规则等。

通过对对数性质的讲解，学生可以进一步理解对数的特点和规律，为后续的学习和运用奠定基础。

3. 对数的运算老师向学生详细讲解了对数的运算方法，包括对数的加法、减法、乘法和除法等。

通过对对数运算的学习，学生可以掌握对数的常用计算方法和技巧，提高数学运算能力和解决实际问题的能力。

三、对初二数学上册第一章第一节课的个人观点和理解通过对初二数学上册第一章第一节课的学习和理解，我深刻认识到对数在数学中的重要性和广泛应用性。

对数不仅是数学中的重要概念，还是科学技术和工程应用中不可或缺的数学工具。

学生在学习初二数学上册的第一章第一节课时，一定要认真对待，深入理解和掌握对数的概念、性质和运算方法，为今后的学习打下坚实的基础。

总结回顾：初二数学上册第一章第一节课讲解内容的总结通过本文的全面评估和深度探究，我们对初二数学上册第一章第一节课的讲解内容有了深入的理解和全面的掌握。

初二数学上册第一章第一节课的内容涉及对数的概念介绍、对数的性质和对数的运算三个方面，内容丰富而翔实。

第一讲不等式的基本性质【学习目标】1．了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.【知识总结】一、不等式的概念一般地,用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数,如3＜4,-1＞-2；有些不等式中含有未知数,如2x＞5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立．二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集．不等式的解是具体的未知数的值,不是一个范围不等式的解集是一个集合,是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”：一是确定“边界点”,二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言,x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言,x＜a或x≤a 向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点．三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变． 【典型例题】【类型】一、不等式的概念例1．给出下列表达式：①()a b c ab ac +=+；②20-<；③5x ≠；④21a b >+；⑤222x xy y -+；⑥236x ->,其中属于不等式的是______．（填序号） 【答案】②③④⑥【分析】根据不等式的定义判断即可． 解：①a （b+c ）=a b+ac 是等式；②-2＜0是用不等号连接的式子,故是不等式； ③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式； ④2a ＞b+1是用不等号连接的式子,故是不等式； ⑤x 2-2xy+y 2是代数式；⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子,故是不等式, 故答案为：②③④⑥．【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【训练】下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x －3；④s ＝vt ；⑤3x －4＜2y ；⑥3x －5＝2x ＋2；⑦a 2＋2≥0；⑧a 2＋b 2≠c 2.其中是不等式的是___________________．(只填序号) 【答案】①②⑤⑦⑧ 【解析】【分析】根据不等式的定义即可得出结论．解：根据不等式的定义：①－1＞2,②3x ≥－1,⑤3x －4＜2y ,⑦a 2＋2≥0,⑧a 2＋b 2≠c 2是不等式；③x －3,④s =vt ,⑥3x －5=2x ＋2不是不等式． 故答案为：①②⑤⑦⑧．【点拨】本题考查了不等式的概念．掌握不等式的概念是解题的基础． 【训练】下列式子属于不等式的是_______________．① 50-< ② 2x 3= ③ 3x 12-> ④4x 2y 0-≤ ⑤ 2x 3x 20-+> ⑥ x 2y - ⑦ 57x ≠ ⑧54< ⑨ x y 0+≥【答案】①③④⑤⑦⑧⑨【解析】【分析】根据不等式的概念即可解题. 解：∵不等式要求用不等号连接 ∴排除②⑥∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.【类型】二、不等式的解及解集例2.（2018·安徽全国·七年级单元测试）下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？ 100, 98, 51, 12, 2, 0, -1, -3, -5.【答案】100, 98, 51, 12, 2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解. 【解析】试题分析：把上述各数分别代入不等式315x -≥的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可. 试题解析：∵在不等式315x -≥中,当100x =时,左边=312995x -=>； 当98x =时,左边=312935x -=>； 当51x =时,左边=311525x -=>； 当12x =时,左边=31355x -=>； 当2x =时,左边=315x -=；当0x =时,左边=3115x -=-<； 当1x =-时,左边=3145x -=-<； 当3x =-时,左边=31105x -=-<； 当5x =-时,左边=31165x -=-<;∴上述各数中,100,98,51,12,2是不等式315x -≥的解；0,－1,－3,－5不是不等式315x -≥的解. 例3. 把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3； (2)x ＞－1； (3)x≤3；(4)x<－32. 【答案】(1)(2) (3)(4)【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可. 试题解析：（1）将3x ≥-表示在数轴上为：（2）将1x >-表示在数轴上为：（3）将3x ≤表示在数轴上为：（4）将32x <-表示在数轴上为：点拨：将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右,小于（小于或等于）向左”；（2）“x a >或（x a <）时”,数轴上表示数“a ”的点用“空心圆圈”,“x a ≥（或x a ≤）时”,数轴上表示数“a ”的点用“实心圆点”. 【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x ＜6的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7,并利用数轴说明x 的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x ＜6,哪些不满足？ 【答案】﹣2,0,142满足不等式；﹣4,7不满足不等式 【分析】根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式．解：根据图可知：x 的下列值：﹣2,0,142满足不等式；x 的下列值：﹣4,7不满足不等式．【点拨】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,≥向右画；＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”,“＞”要用空心圆点表示．【类型】三、不等式的性质例4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）x 15-<． （2）4x 13-≥． （3）1x 142-+≥． （4）4x 10-<-． 【答案】（1）x 6<；（2）x 1≥；（3）x 6≤-；（4）5x 2>．【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上1即可求解；（2）利用不等式的性质先将两边加上1,再两边同除以4即可求解； （3）利用不等式的性质先将两边减去1,再两边同除以12-即可求解； （3）利用不等式的性质将两边同除以-4即可求解； 解：（1）x 15-<,两边加上1得：x 1151-+<+, 解得：x 6<； （2）4x 13-≥,两边加上1得：4x 1131-+≥+,即4x 4≥, 两边除以4得：x 1≥； （3）1x 142-+≥, 两边减去1得：1x 11412-+-≥-,即1x 32-≥, 两边除以12-得：x 6≤-； （4）4x 10-<-, 两边除以4-得：5x 2>． 【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质．【训练】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-23x>-1（4）10-x>0 （5）-15x<-2 （6）3x+5<0【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<32；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-53．【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变；依次分析各小题即可．解：（1）根据不等式性质1,不等式两边都减4x,不等号的方向不变,得5x-4x>4x+8-4x,即x>8；（2）根据不等式性质1,不等式两边都减去2,不等号的方向不变,得x+2-2<-1-2即x<-3；（3）根据不等式性质3,不等式两边同除以-23,不等号的方向改变,得-23x÷（-23）<-1÷（-23）即x<32；（4）根据不等式性质1,不等式两边同减10,不等号的方向不变,得10-x-10>0-10即-x>-10,再根据不等式性质3,不等式两边同除以-1,不等号的方向改变,得x<10；（5）根据不等式性质3,不等式两边同乘以-5,不等号的方向改变,得-15x·（-5）>-2×（-5）即x>10；（6）根据不等式性质1,不等式两边都减去5,不等号的方向不变得3x+5-5<0-5即3x<-5,再根据不等式性质2,不等式两边同除以3,不等号的方向不变,得3x÷3<-5÷3即x<-53．【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质,本题重在考查不等式的三条基本性质,特别是性质3,两边同乘以（•或除以）同一个负数时,一定要改变不等号的方向!•这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．。

一、主要知识点回顾1、认识全等图形中的对应关系，理解全等概念。

如图1，若△ABC 和△FDE 能够互相重合，则称△ABC 和△FDE 为 。

记作△ABC_____△FDE 。

其中AB 的对应边是 ，AC 的对应边是 ， BC 的对应边是 ；∠A 的对应边是 ，∠B 的对应边是 ， ∠C 的对应边是 。

2、掌握全等三角形的性质。

如图1，∵△ABC ≌△FDE ，∴（1）AC=___，AB=_____，BC=_____。

（2）∠____=∠_____，∠____=∠____，∠____=∠_____。

3、理解全等三角形的三个判定公理和一个判定定理。

（1）如图2，∵AB=ED ，AC=EF ，BC=DF ， ∴△ABC ≌________。

（SSS ）（2）如图2，∵AB=ED ，∠A=∠E ，AC=EF ， ∴△ABC ≌________。

（SAS ）（3）如图2，∵∠A=∠E ，AB=ED ，∠B=∠D ， ∴△ABC ≌________。

（ASA ）（4）如图2，∵∠A=∠E ，∠C=∠F ，AB=ED ， ∴△ABC ≌________。

（AAS ）4、直角三角形的一个判定定理。

如图3，∵∠C=∠E=90°，AB=DF ，AC=DE ，∴Rt △ABC ≌________。

（HL ）初二数学（巩固）班讲义（57期）第一讲 全等三角形（一）图1FDBACB A DFE图3E C 图2FEDBA C图4二、感悟与实践例1、如图4，△ABC ≌△ADE ，对应角∠1=∠2，若AB=8，∠BAC=62°，求AD 的长及∠DAE的度数。

变式练习1、如图5，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，△ABE ≌△ACD ，∠C=20°，AB=10，AD=4，G 为AB 延长线上一点，求∠EBG 的度数和CE 的长。

例2、如图6，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只写一种情况）： （1）AE=AD ，（2）AB=AC ，（3）OB=OC ，（4）B C ∠=∠。

初二数学第一章知识点归纳总结在初中数学学科的学习中，初二数学第一章知识点是我们学习的起点。

本章的内容主要包括有理数的加减法、乘除法以及小数、百分数的应用。

通过系统地总结和归纳这些知识点，有助于我们更好地理解和掌握初二数学的基础知识。

本文将对这些内容进行详细介绍和总结，以帮助同学们更好地复习和巩固知识。

一、有理数的加减法有理数的加法是我们学习的第一个知识点。

在进行有理数的加法运算时，我们需要注意以下几点：1. 同号相加，取相同的符号，并将绝对值相加。

例如：（+3）+（+4）= +7。

2. 异号相加，取绝对值较大的数的符号，并将绝对值较大的数减去绝对值较小的数的绝对值。

例如：（-5）+（+3）= -2。

有理数的减法是在加法的基础上进行扩展的，其运算规则与加法类似。

例如：（+8）-（+6）= +2；（-7）-（+3）= -10。

二、有理数的乘除法有理数的乘法和除法是初二数学的重要内容之一。

在进行有理数的乘法和除法运算时，我们需要注意以下几点：1. 同号相乘，结果为正；异号相乘，结果为负。

例如：（-2）×（-4）= 8；（-3）×（+5）= -15。

2. 除法是乘法的逆运算，可以通过分子乘以除数的倒数来进行计算。

例如：（-12）÷（-3）= 4。

需要注意的是，除法中被除数不为零，并且零不可以作为除法的除数。

三、小数的运算小数是数学中非常常见的概念，初二数学第一章也对小数进行了详细的讲解。

在小数运算中，我们需要注意以下几点：1. 小数的加减法运算与整数类似，只需要对齐小数点，然后按照整数的加减法规则进行计算。

例如：2.5 + 3.7 = 6.2。

2. 小数的乘法和除法运算需要注意小数点的位置。

乘法时，将小数点两数位数相加，最后将小数点移到结果的正确位置。

例如：0.6 × 0.5 = 0.3。

除法时，将除数和被除数的小数点对齐，最后将小数点移到商的正确位置。

例如：1.2 ÷ 0.6 = 2。

八年级数学上册湘少版第一课摘要：一、前言二、课程简介三、课程目标四、课程内容1.数的认识2.数的运算3.式与方程4.图形与几何五、课程总结正文：【前言】八年级数学上册湘少版第一课为学生们开启了新的数学篇章。

这门课程旨在帮助学生巩固和加深对数学知识的理解，为接下来的学习打下坚实的基础。

【课程简介】本课程是八年级数学上册的内容，主要涉及数的认识、数的运算、式与方程以及图形与几何等方面的知识。

通过本课程的学习，学生将更好地理解数学的基本概念，为以后的学习和生活中的实际问题解决打下基础。

【课程目标】本课程的目标是使学生掌握基本的数学知识，形成良好的数学思维习惯，提高解决问题的能力。

通过本课程的学习，学生将能够：1.理解并掌握数学的基本概念；2.熟练运用数学方法解决实际问题；3.培养逻辑思维能力、空间想象力和创新意识。

【课程内容】【数的认识】数的认识是数学的基础，本课程首先介绍了数的分类、整数和分数的概念，以及它们之间的关系。

学生将学习如何进行数的比较、运算和表示，为后续学习打下基础。

【数的运算】在数的认识的基础上，本课程进一步讲解了四则运算的法则，包括加法、减法、乘法和除法。

学生将学会如何进行各种运算，并理解运算背后的数学原理。

【式与方程】本课程介绍了代数的基本概念，包括代数式、方程和不等式。

学生将学习如何通过代数式表示数量关系，如何解方程和不等式，培养解决问题的能力。

【图形与几何】图形与几何是数学的一个重要组成部分。

本课程涉及了点、线、面和体的基本概念，以及它们之间的关系。

学生将学习如何进行几何图形的分类、性质和判定，培养空间想象力。

【课程总结】通过本课程的学习，学生将巩固和加深对数学知识的理解，形成良好的数学思维习惯。