八年级下数学第一节1

1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。

6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。

2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。

1.1等腰三角形一．选择题1．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（）A．10B．13C．17D．13或172．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是（）A．65°，65°B．80°，50°C．65°，65°或80°，50°D．不确定3．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（）A．54°B．60°C．72°D．76°4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD 的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．65．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM 的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.56．如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．67．若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（）A．40°100°B．70°70°C．40°100°或70°70°D．以上都不对8．如图，D为△ABC边上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（）A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AC＝BC（等腰三角形三线合一）B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一）C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AD＝BD（等腰三角形三线合一）D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）9．如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（）A．5B．6C．7D．8二．填空题11．已知等腰三角形的一个外角等于130˚，则它的顶角等于．12．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝cm．13．如图，B在AC上，D在CE上，AD＝BD＝BC，∠ACE＝25°，∠ADE＝度．14．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，AD＝2.4，BE＝7，则DE＝．15．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD 是等边三角形，∠A＝24°，则∠1＝°．三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：（1）∠ADC的大小；（2）∠BAD的大小．17．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．18．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？。

1.3线段的垂直平分线一、知识点梳理1.线段垂直平分线性质定理：①线段垂直平分线垂直平分某条线段②线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2.线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.作图要求：掌握尺规作图做已知线段的垂直平分线4.三角形外心：三角形三条边垂直平分线的交点二、经典题型总结题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用三、解题技巧点睛1.若题目中出现“求一点到某几个点的距离相等”则可以想到运用垂直平分线的性质画出中垂线2.三角形外心也是三角形外接圆的圆心，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在三角形的斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部3.求两条线短的最短距离，通常是想到过一个已知点做已知直线的对称点，连接对称点与另一个已知点的连线即为最短距离。

4.灵活运用垂直平分线逆定理解决题目四、易错点分析在运用线段垂直平分线计算周长的时候容易出现错误五、典型例题分析题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长例题：在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB、AC于点E、D.（1）若△BCD的周长为8,求BC之长. （2）若BC=4,求△BCD的周长.题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度例题：如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC=___∘.题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题例题：如图,在直角中,∠BAC=90∘,AB=8 ,AC=6 ,DE 是AB 边的垂直平分线,垂足为D ,交BC 于点E ,连接AE ,则△ACE 的周长为________.题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题例题：如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C 之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：点D在AB的垂直平分线上．六、中考真题再现（2019.长沙.9题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是A．20° B．30° C．45° D．60°（2019.江苏.15题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD 平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．七、习题巩固训练1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是（）A．15°B．20°C．65°D．100°2.如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（）A．45°B．60°C．50°D．55°3.如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是______.5.如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10cm，则B点到P点的距离为______.6.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．7.如图，AD和EF分别是△ABC中BC与AB垂直平分线，且BE+CE＝20cm，则AB＝．8.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．9.在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为10.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则的周长的最小值为______．11.如图，某校两个班的学生分别在C，D两处参加植树活动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使点M到两条路的距离相等，且MD=MC，这个茶水供应点应建在何处?12.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）根据要求用尺规作图：作斜边AB边上的高CD，垂足为D；（2）求CD的长．13.如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE（垂足为D）交BC的延长线于点E，求线段CE的长．14.如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD,BC的交点,E是AB的中点.求证:OE 是线段AB的垂直平分线.15.如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F，若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．16.两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）17.尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．18.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.19.已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？20.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE（1）求∠ECD的度数；（2）若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示．22.已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．①求证：BE=CF；②若AF=6，BC=7，求△ABC的周长．23.如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC、∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．。

课时课题：第一章第一节等腰三角形第3课时教学目标：1.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性.2.初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题.3.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．教学重点与难点：重点：等腰三角形的判定定理的证明.难点：反证法的含义，利用反证法证明简单的命题.教法与学法指导：本节应用“启迪诱导—自主探究”教学模式.教师在教学过程中起到引导释疑的作用:引导学生观察、思考、分析、讨论、形成结论，并让学生在应用中体会所得知识,学会应用所学知识解决问题的方法.本节课关注了问题的变式与拓广，引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力.课前准备：多媒体课件教学过程：第一环节回顾旧知复习导入师：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质。

生1：等腰三角形两底角相等，就是“等边对等角”。

生2：“三线合一”。

生3：等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等。

师：非常好！同学们概括的很全面。

那么对于等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等，这个命题的题设和结论是什么？ 生：题设：等腰三角形。

结论：两底角相等。

师：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？ 生：完全成立，可以证明出来。

设计意图：设计成问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。

学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段。

第二环节 合作探究 展示交流师：以前我们通过改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．比如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?下面我们来一起证明一下这个结论。

请同学们画出图形，写出已知、求证。

变量各位领导各位老师,你们好！今天我将要为大家说课的内容九义初中数学人教版的第19章第一节第一课时《变量》首先,我对本节教材进行一些分析一、教材结构与内容简析本节内容的地位和作用：《变量》是本章的第一课,本节知识是理解函数概念的前提知识,是学习正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的基础。

学好本届知识为过渡到学习本章正比例函数、一次函数起着铺垫作用。

本节内容是第一部分,因此,在本章中,占据重要的地位。

二、教学理念及学情分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识；在新的课改理念的指导下如何调动学生的学习激情和让学生自主学习、合作探究成为课堂教学的主流。

考虑到初二学生已有的认知结构心理特征 ,以及本章知识与生活和生产实践联系非常紧密,教师要抓住这一特点让学生感知数学即生活,生活即数学,同时让学生感受数学的有用性,从而更加热爱数学学习。

三、教学目标1、知识与技能：在具体情境中了解变量、自变量、因变量等概念,理解反映变量之间关系的实例；能够从表格中获得有关变量之间关系的信息；2、过程与方法：经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,体验变量之间的辩证关系；3、情感与价值观：在探索的过程中,感知数学即生活,培养学生参与数学活动的积极性和良好的学习态度。

四、重点、难点本着课程标准,在吃透教材基础上,我确立了如下的教学重点、难点重点：能从具体事件中分清什么是变量、自变量与因变量,理解因变量随自变量的变化的规律。

通过让学生自主学习与合作探究的方式突出重点难点：理解两个变量之间的依赖关系。

通过小组交流,课堂展示,和试一试,做一做的习题训练突破难点五、教法数学是一门培养人的思维,发展人的思维的重要学科,因此,在教学中,不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。

我采用了启发式教学法,让学生成为课堂的主人,学生自主学习、合作探究。

从而激活课堂开启学生智慧。

六、学法我们常说：“现代的文盲不是不识字的人,而是没有掌握学习方法的人”,因而在教学中要特别重视学法的指导。

三角形的证明【基础知识】1、全等三角形（1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。

（2）性质：全等三角形的 、 相等。

（3）判定：“SAS ”、 、 、 、 。

三边 ：边边边（SSS ） 两边: 边角边（SAS ）一边 边角边（ASA ） 角角边（AAS ）※※注：SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角 ※※证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 注意：公共边、公共角、对顶角、最长的边（或最大的角）、最短的边（或最小的角）2、等腰三角形（1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。

（2）性质：①等腰三角形的 相等。

（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。

（3）判定：①定义②“ ”3、等边三角形（1） 定义： 的三角形是等边三角形。

（2）性质：①三角都等于②具有等腰三角形的一切性质。

（3）判定：①定义②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角 是等边三角形。

4、线段的垂直平分线（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等（2）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上5、角平分线（1）角平分线上的点到这个叫的两边的距离相等（2） 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上6、直角三角形(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(2)勾股定理及其逆定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 （3）“斜边、直角边”或“HL ”直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理的作用：判定两个直角三角形全等【巩固训练】1、△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm ，最长边AB 的长是（ ） A.5 cm B.6 cm C.5 cmD.8 cm2、△ABC 中，AB=AC ，BD 平分ABC 交AC 边于点D ，∠BDC=75°，则∠A 的度数为 （ ）A. 35°B. 40°C. 70°D. 110°3、△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D 若BC=a ，则AD 等于（ ）A.21a B.23a C.23a D.3a 4、到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的 （ ） A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点5、如左下图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE=3.8cm ，则线段BC 的长为（ ）A 、3.8cmB 、7.6cmC 、11.4cmD 、11.2cmy6、如右上图，在等边ABC ∆中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（ ）A ．045B ．055C ．060D ．0757、如左下图，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处8、如右上图，已知ABC △中，45ABC ∠=，4AC =，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ） A ．6B ．4C ．23D ．59、（2012随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_______________。

人教版八下17.2.1勾股定理的逆定理（第1课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用在证明一个三角形是直角三角形时，之前都是从角的角度进行证明，三角形勾股定理的逆定理则是从边的数量关系的角度进行证明.通过对勾股定理及其逆定理的学习，加深对性质和判定之间关系的认识.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.概念解析勾股定理的逆定理是通过三角形边的数量关系判定一个三角形是直角三角形，是直角三角形的判定定理.思想方法从特殊到一般的探索勾股定理的逆定理，在寻找证明思路的过程中蕴含着逻辑推理及转化思想.知识类型勾股定理的逆定理是原理与规则类知识，通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，证明勾股定理逆定理.教学重点探索勾股定理的逆定理.教学目标解析教学目标1.探索勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决简单的问题.2.结合具体实例，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．目标解析目标1达成的标志是能通过画图探究或从逆命题的角度，猜想勾股定理逆定理，并用文字语言、符号语言、图形语言叙述勾股定理逆定理．能证明勾股定理逆定理．记住一些简单的勾股数，并能根据勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形．目标2达成的标志是会举例说明逆命题和逆定理的概念，以及性质定理和判定定理的关系．能举例说明原命题和逆命题不一定同时成立．能写出一个命题的逆命题，并判断这个逆命题是否成立．教学问题诊断分析具备的基础学生能运用勾股定理进行简单的计算，经历了探究勾股定理的过程，学习过其他图形的性质和判定，能体会性质与判定的关系.与本课目标的差距分析学生对利用计算证明几何结论比较陌生.存在的问题学生难以想到勾股定理逆定理的证明方法，对于没有写成“如果…那么…”形式的命题，在叙述它的逆命题时有时会感到困难.应对策略勾股定理的逆定理的证明关键是构建全等的直角三角形，教学中采取了从特殊到一般、从动手操作到推理证明的顺序，以问题串的形式，使学生在动手操作的基础上和合作交流的良好氛围中.通过巧妙而自然地在学生的认识结构与几何知识结构之间筑了一个信息流通渠道，进而达到完善学生的数学认识结构的目的，更有利于突破难点.教学难点证明勾股定理的逆定理.教学支持条件分析准备直角边长为3cm，4cm的直角三角形，用来和画出来的三边长为3cm、4cm、5cm的三角形进行比较，看是否能够重合，从而验证勾股定理的逆定理.利用《几何画板》或图形计算器画已知边长的三角形，度量最大角，发现勾股定理的逆定理.教学过程设计课前检测1.在直角三角形中，有两边分别为3和4，则第三边是（）A. 1B. 5C.D. 5或2.如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上作法中能证明△POM≌△PON根据的是（）A. SSSB. SASC. AASD. HL3.写出命题“两条直线相交，只有一个交点”的题设部分和结论部分，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.设计意图：复习勾股定理的内容为本节课勾股定理逆定理做准备，全等的证明过程为证明勾股定理逆定理做准备，命题的相关概念为学习互逆命题、互逆定理做准备.新课学习1．探究新知，得到猜想方案一：基于测评，学生对于命题的相关概念遗忘较严重.问题1：我们知道，对于一个直角三角形，已知两条边的长度利用勾股定理可以求出直角三角形的第三边，那么当一个三角形满足什么条件时它是直角三角形？师生互动设计：教师给学生一定的时间思考问题，然后视学生情况以下列问题引导学生进行思考．学生大部分回答①有一个内角是90°；②一个三角形有两个角的和是90°，那么这个三角形是直角三角形．教师总结我们知道，在三角形中，如果有一个角是90°，或两个锐角和为90°，那么这个三角形就为直角三角形，这是从角度的方面判定直角三角形，本节课，我们将学习如何从边的角度判定一个三角形是直角三角形．设计意图：先提出目标性问题，引发学生思考，再逐步探究解决．问题2：实际上，刚才老师提的那个问题，在很久之前的古埃及人已经有了答案，看看他们是怎么做的．在古代，没有直角尺、圆规、量角器等作图工具，人们是怎样得到一个直角的呢？方法：把一根长绳打上13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.按照这种方法真的能得到一个直角吗？设计意图：介绍前人经验，引发思考，让学生感受数学来源于生活，激发学生学习兴趣．合作探究1：接下来我们也按照古人的方法画一画，请同学们组内合作完成合作探究部分，要求组内每位同学完成一幅作图．师生互动设计：学生合作活动1：（小组内合作完成）.1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）A：3、4、5 ；B：2.5、6、6.5 ；C：3、4、6 ；D：6、8、102.测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录下来．3.判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状．4.找规律：每组给出的三边之间具有怎么样的数量关系？5.你能得到什么猜想？你的猜想是__________________________．学生分小组回答问题．追问1：C组作图当两边的平方和小于第三边时，这个三角形是钝角三角形，若两边的平方和大于第三边时，这个三角形又是什么三角形呢？追问2：教师适当动画展示，通过老师的动画演示，和同学们的猜想一致，如果给出任意一个三角形，三边长为a、b、c，这三边之间满足什么关系，就构成了直角三角形？结合图形，你能说出这个猜想命题吗？猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．设计意图：教学中让学生画三角形，测量边长，然后计算边长的平方，并分析最长边的平方和其它两边平方和之间的关系，最后引导得出结论.让学生充分经历测量——计算——归纳——猜想等几何定理的探索过程．方案二：基于测评，学生对于命题的相关概念掌握情况良好．问题1：怎样判定一个三角形是直角三角形呢？师生互动设计：学生可能无从回答这个问题．或者从角的关系入手回答．追问1：回忆一下我们学习等腰三角形的过程，学习完了等腰三角形我们学习了什么？是如何进行学习的？学生回答“学习等腰三角形的判定”，通过把等腰三角形的性质中的题设和结论互换，得到等腰三角形判定的猜想．追问2：你还学习过哪些将题设和结论互换得到的定理呢？师生互动设计：学生思考后回答平行线的性质和判定也是将题设和结论互换得到的．追问3：你能从性质和判定的关系出发思考一下怎样判定一个三角形是直角三角形吗？师生互动设计：学生猜想将勾股定理的题设和结论互换得到直角三角形的判定．猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形．设计意图：引导学生从研究一个图形的性质和判定的角度入手进行思考，感受性质和判定的关系，体会互逆命题的关系，从而得到猜想．2．证明猜想，得到定理问题3：我们看到这个猜想和勾股定理的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做逆命题．我们得到的这个猜想是不是正确的呢？我们要进行证明．如何证明这个命题呢？师生互动设计：学生先独立思考，然后教师视学生情况直接让学生分析或以下列问题引导．追问1：对于这个猜想我们需要证明的是什么？通过什么证明？师生互动设计：学生回答一个三角形是直角三角形．通过三边的关系进行证明．设计意图：检测学生是否真的明确证明对象．追问2：那么满足什么条件的三角形是直角三角新呢？师生互动设计：学生回答一个内角是90°．设计意图：将证明对象聚焦到三角形的构成元素．追问3：如何证明一个角是90°？师生互动设计：学生感觉到困难．追问4：如果已经有一个三角形是直角三角形呢？师生互动设计：学生回答只需要运用全等进行证明即可．设计意图：帮助学生理清证明对象渗透证明方法．合作探究2：作图：1.三边长度为3cm，4cm，5cm的三角形ABC；2.以3cm，4cm为直角边的直角三角形A'B'C'，并剪下△A'B'C'，放在△ABC上，两个三角形是否重合？师：如果老师把边长是3、4、5的三角形换成边长分别为a、b、c，且满足a2+b2=c2，你会证明这个三角形是直角三角形么？几何推理论证：已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2求证：∠C=90°．（探究的关键是构建一个直角边是a、b的Rt△A’B’C’，然后和△ABC比较！于是画一个Rt△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=b，B’C’=a）证明 : 作△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=b，B’C’=a，如图，那么A’B’2=a2+b2（勾股定理）又∵a2+b2=c2（已知）∴A’B’2= c2，即A’B’=c (A’B’＞0)∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠C=∠C’=90°，∴△ABC是直角三角形．当我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．并且这个命题的题设和结论和勾股定理的题设和结论相反，我们就称之为勾股定理逆定理，利用这个定理可以判定一个三角形是否为直角三角形．一般地原命题成立时，它的逆命题可能成立也可能不成立．像勾股定理和它的逆定理这样的两个互逆命题都是成立的，我们称之为互逆定理．设计意图：引导学生分组画三边长度为3cm，4cm，5cm的三角形和3cm，4cm 为直角边的直角三角形．让学生自然联想到三角形全等这一工具，为构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等做好铺垫，从而证明当前三角形是直角三角形，让学生体会这种证明思路的合理性，经历从特殊到一般的探究过程，从而突破本节课的教学难点．实际应用归纳总结3．定理运用，加深理解【例题1】判断以下线段组成的三角形是不是直角三角形:（1）a=15，b=17，c=8；（2）a=13，b=14，c=15；师生互动设计：学生计算并判断三角形是否为直角三角形，教师进行适当点拨．关注学生能否进一步理解勾股定理的逆定理的用处，以及能否运用几何语言规范书写过程．介绍勾股数，像15、8、17这样，能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．设计意图：通过练习帮助学生把陈述性的定理转化为认知操作，让学生学会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形．【例题2】说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？（1）两条直线平行，内错角相等．（2）对顶角相等．（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．师生互动设计：学生独立思考并完成回答，教师关注学生如何写出命题的逆定理，对互逆命题关系及真假性的理解，体会原命题成立但是逆命题不一定成立．归纳总结4．课堂小结，有效提升教师引导学生对以下问题进行反思，回顾本节课内容：1.勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？2.原命题、逆命题之间有什么关系？什么是互逆定理？3.我们证明勾股定理的逆定理的思路是什么？设计意图：引导学生回顾和理解勾股定理的逆定理，明确其基本应用．体会互逆命题的有关知识．引导学生回顾和体会证明勾股定理逆定理的基本思路．人教版八下17.2.1勾股定理逆定理（第1课时）目标检测一、选择题1．已知三角形三条边分别是1，，2，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．若a，b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（）A．a=8，b=15，c=17B．a=3，b=5，c=4C．a=4，b=8，c=9D．a=9，b=40，c=41二、填空题3．下列命题：①对顶角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③两直线平行，同位角相等．其中逆命题为真命题的有：_________________（请填上所有符合题意的序号）．4．已知∆ABC中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为____________三角形，____________是最大角．三、解答题5．在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，判断由下列a,b,c组成的三角形是不是直角三角形；如果是，请指出哪个角是直角：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=15，c=14.。