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课时作业24 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( A ) A ．6 3 B ．3 6 C ．11D ．12解析：设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.2．已知棱台的两个底面面积分别是245 cm 2和80 cm 2，截得此棱台的棱锥的高为35 cm ，则这个棱台的高为( B )A ．20 cmB ．15 cmC ．10 cmD ．25 cm解析：设棱台高为h ，则截去的小棱锥的高为35－h ，由截面性质知80245＝(35－h 35)2，解得h ＝15，即棱台的高为15 cm.3．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为( A ) A ．18 3 cm 2B ．18 cm 2C ．12 3 cm 2D ．12 cm 2解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)． 4．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的体积是8，它的表面积是32，且满足b 2＝ac ，那么这个长方体棱长的和是( B )A ．28B ．32C ．36D ．40解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ·c ＝8， ①ab ＋bc ＋ca ＝16， ②b 2＝ac ， ③将③代入①得b 3＝8，b ＝2， ∴ac ＝4，代入②得a ＋c ＝6.∴长方体棱长的和为4(a ＋b ＋c )＝4×8＝32. 5．正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则三棱锥的侧面积等于( A )A.34a2 B.32a2C.334a2 D.332a2解析：如图，VO＝66a，OA＝a2·33＝36a，∴VA＝12a，∴S侧＝12·3a·12a＝34a2，故选A.6．长方体的高等于h，底面积等于a，过相对侧棱的截面面积等于b，则此长方体的侧面积等于( C )A．2b2＋ah2 B．22b2＋ah2C．2b2＋2ah2 D.b2＋2ah2解析：如图，由条件知AB·BC＝a，且AC·h＝b，∴AC＝bh，即AB2＋BC2＝b2h2＝(AB＋BC)2－2a，∴AB＋BC＝b2＋2ah2h.∴S侧＝2(AB＋BC)·h＝2b2＋2ah2，故选C.二、填空题7．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为 6.解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则⎩⎨⎧ab＝2，ac＝3，bc＝6，三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝ 6.8．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12.解析：设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋32＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.9．如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为13.解析：∵正方体棱长为1，∴矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为1， 2.∵四棱锥A 1BB 1D 1D 的高是正方形A 1B 1C 1D 1对角线长的一半，即为22，∴V 四棱锥A 1BB 1D 1D＝13×1×2×22＝13. 三、解答题10．如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2，求V 1V 2.解：设三棱柱的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则其体积为V 2＝Sh .因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以△ADE 的面积等于14S .又因为F 为AA 1的中点，所以三棱锥F ADE 的高等于12h ，于是三棱锥F ADE 的体积V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝124V 2，故V 1V 2＝124.11．若E ，F 是三棱柱ABC A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A BEFC 的体积．解：如图所示，连接AB 1，AC 1.∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积．又四棱锥A BEFC 的高与四棱锥A B 1EFC 1的高相等，∴V A BEFC ＝V A B 1EFC 1＝12VA BB 1C 1C .又V A A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，V ABC A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·h ＝m ，∴V A A 1B 1C 1＝m3，∴V A BB 1C 1C ＝V ABC A 1B 1C 1－V A A 1B 1C 1＝23m ，∴V A BEFC ＝12×23m ＝m3，即四棱锥A BEFC 的体积是m3.——能力提升类——12．(多选)已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的一条棱AD ＝3，沿其底面对角线及侧棱的一个截面是边长为6和10的矩形，则该长方体的体积可能为( AD )A ．90 3B ．180C ．60D ．1891解析：由题意可知，AD ＝3，截面边长为6,10，则AD 为底面的棱，底面对角线长为6或10，分类讨论．13．在三棱锥A BCD 中，P 、Q 分别在棱AC 、BD 上，连接AQ 、CQ 、BP 、DP 、PQ ，若三棱锥A BPQ ，B CPQ ，C DPQ 的体积分别为6,2,8，则三棱锥A BCD 的体积为( D )A ．20B ．24C ．28D ．40 解析：如图所示，V A BPQV B CPQ ＝62，V B APQ V B CPQ ＝S △APQ S △CPQ ＝6 2.类似地V A DPQ V C DPQ ＝V D APQ V D CPQ ＝S △APQS △CPQ ＝62.其中V C DPQ ＝8，∴V A DPQ 8＝62.∴V A DPQ ＝24，∴V A BDC ＝6＋2＋8＋24＝40.14．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm 和18 cm ，侧棱长为13 cm ，则这个正四棱台的侧面积为624_cm 2，表面积为1_012_cm 2.解析：由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h ＝132－18－822＝12(cm)，所以S侧＝4×12×(8＋18)×12＝624(cm 2)，S上底＝8×8＝64(cm 2)，S下底＝18×18＝324(cm 2)，于是表面积为S ＝624＋64＋324＝1 012(cm 2)．15．如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF .如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确)．。
棱柱的表面积和体积公式
棱柱是一种由六个平面组成的多面体，它的表面积和体积可以通过公式来计算。
表面积公式：
棱柱的表面积由底面积、侧面积和顶面积组成。
底面积为底面的面积，顶面积与底面积相等。
侧面积为所有侧面积之和。
侧面积的计算公式为：
侧面积 = 周长×每条侧棱的高÷ 2
其中，周长为底面的周长，每条侧棱的高为棱柱的高。
因此，棱柱的表面积公式为：
表面积 = 2 ×底面积 + 周长×高
其中，底面积为底面的面积，周长为底面的周长，高为棱柱的高。
体积公式：
棱柱的体积为底面积与高的乘积。
因此，棱柱的体积公式为：体积 = 底面积×高
其中，底面积为底面的面积，高为棱柱的高。
需要注意的是，在计算表面积和体积时，必须要清楚棱柱的形状和各个参数的值。
同时，还需要掌握一些计算面积和体积的技巧和方法，以便正确地进行计算。
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棱柱与棱锥的体积与表面积比棱柱和棱锥是几何学中常见的立体图形，它们在我们日常生活和工作中都有广泛的应用。
了解它们的体积和表面积比可以帮助我们更好地理解它们的特性和应用。
本文将深入探讨棱柱与棱锥的体积和表面积比，并从数学和实际应用的角度进行阐述。
一、棱柱的体积与表面积首先，我们来看一下棱柱的定义和特性。
棱柱是由两个平行的多边形底面和连接它们的矩形侧面组成的立体图形。
如果底面是正多边形，我们称之为正棱柱。
棱柱的两个底面平行且相等，侧面是矩形，而顶面和底面是相同的正多边形。
棱柱的体积可以通过将底面积乘以高来计算得出。
设底面积为A，高度为h，则棱柱的体积V可以表示为：V = A * h棱柱的表面积可以通过将底面积加上底面周长与侧面面积的两倍来计算得出。
设底面积为A，底面周长为P，侧面积为S，则棱柱的表面积S可以表示为：S = A + 2P * h二、棱锥的体积与表面积接下来，我们来看一下棱锥的定义和特性。
棱锥是由一个多边形底面和连接它们的三角形侧面组成的立体图形。
如果底面是正多边形，我们称之为正棱锥。
棱锥的底面为一个多边形，顶点位于底面上方，连接底面和顶点的线段称为棱。
棱锥的体积可以通过将底面积乘以高再除以3来计算得出。
设底面积为A，高度为h，则棱锥的体积V可以表示为：V = A * h / 3棱锥的表面积可以通过将底面积加上底面周长与侧面积的两倍来计算得出。
设底面积为A，底面周长为P，侧面积为S，则棱锥的表面积S可以表示为：S = A + P * l其中，l为棱的长度。
三、体积与表面积比的计算与应用现在，我们可以来计算棱柱与棱锥的体积和表面积比了。
1. 体积比我们先来计算棱柱的体积与棱锥的体积比。
设棱柱的底面积为A1，高度为h1，棱锥的底面积为A2，高度为h2，则体积比V_ratio可以表示为：V_ratio = (A1 * h1) / (A2 * h2)2. 表面积比接下来，我们计算棱柱的表面积与棱锥的表面积比。
《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教案【教材分析】本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积.【教学目标与核心素养】课程目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【教学重点和难点】重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；难点：棱台的体积公式的理解.【教学过程】一、情景导入在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本114-115页，思考并完成以下问题1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究（一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．（二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．棱锥：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S＋S )h .四、典例分析、举一反三题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积例1 已知如图，四面体的棱长均为，求它的表面积．【解析】因为四面体S －ABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．不妨求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示．S ABC a 2因为BC ＝SB ＝a ，SD,所以S △SBC ＝BC ·SD ＝a ×a ＝a 2. 故四面体S －ABC 的表面积S ＝4×a 22. 解题技巧（求多面体表面积注意事项） 1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．跟踪训练一1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m ，底面外接圆的半径是0.46 m ，问：制造这个滚筒需要________m 2铁板(精确到0.1 m 2)．【答案】5.6【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m ， 所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以S 侧＝ch ＝6×0.46×1.6＝4.416 (m 2)． 所以S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝4.416＋2×34×0.462×6≈5.6 (m 2)． 故制造这个滚筒约需要5.6 m 2铁板． 题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积例2如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．==1212244【答案】16.【解析】 V 三棱锥A －DED 1＝V 三棱锥E －DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.例3 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m ，公共面是边长为1m 的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？【答案】【解析】由题意知长方体的体积，棱锥的体积， 所以这个漏斗的容积. 解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项) 1．常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2．求几何体体积时需注意的问题ABCD 30.01m 30.67m ''''ABCD A B C D -110.5V =⨯⨯()30.5m =''''P A B C D -1110.53V =⨯⨯⨯()316m =112263V =+=()30.67m ≈柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练二1、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________；【答案】8 3.【解析】由题意，设AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，则BD＝C1D＝a2＋b2 4，BC1＝a2＋b2，由△BC1D是面积为6的直角三角形，得⎝⎛⎭⎪⎫a2＋14b2×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又12×32a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.∵S△ABC＝34a2，∴V＝34×8×4＝8 3.2、如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．【答案】见解析【解析】如图，连接EB，EC.四棱锥E－ABCD的体积V四棱锥E－ABCD＝13×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝12V三棱锥C－ABE＝12V三棱锥E－ABC＝12×12V四棱锥E－ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本116页练习，119页习题8.3的1、6题.【教学反思】本节课的重点是掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.而本节课的难点可以通过三组体积公式对比，寻找其联系(棱台上底面和下底面面积一样时，图形变成棱柱，对应的公式，经推导也就变成棱柱的体积公式了; 棱台上底面无限缩小至点时，图形变成棱锥，对应的公式，经推导也就变成棱锥的体积公式了.)使学生对其更加理解.再有解决实际问题时可先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》导学案【学习目标】知识目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．核心素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【学习重点】：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；【学习难点】：棱台的体积公式的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本114-115页，填写。
棱柱的体积与表面积计算一、棱柱的基本概念1.棱柱的定义：棱柱是由两个平行且全等的多边形底面和连接两个底面的矩形侧面组成的多面体。
2.棱柱的分类：a)直棱柱：侧面矩形与底面平行的棱柱。
b)斜棱柱：侧面矩形与底面不平行且底面角不为直角的棱柱。
3.棱柱的性质：a)棱柱的底面和顶面是平行且全等的多边形。
b)棱柱的侧面是矩形。
c)棱柱有若干条侧棱，侧棱平行且相等。
二、棱柱的体积计算1.棱柱体积的公式：V = Bh，其中B为底面积，h为棱柱的高。
2.底面积的计算：a)正多边形的底面积公式：B = (边长×边长)÷2×n，其中n为多边形的边数。
b)矩形的底面积公式：B = 长×宽。
c)三角形的底面积公式：B = (底×高)÷2。
3.棱柱高的定义与计算：a)棱柱的高：连接底面两对应顶点的线段。
b)直棱柱的高：垂直于底面的线段。
c)斜棱柱的高：连接底面两对应顶点的线段，不垂直于底面。
4.特殊棱柱的体积计算：a)正方体：V = a³，其中a为边长。
b)长方体：V = lwh，其中l、w、h分别为长、宽、高。
三、棱柱的表面积计算1.棱柱表面积的公式：S = 2B + 2lh，其中B为底面积，l为侧棱长，h 为棱柱的高。
2.底面积的计算：同上。
3.侧面积的计算：a)直棱柱的侧面积：S’ = ch，其中c为底边长，h为棱柱的高。
b)斜棱柱的侧面积：S’ = √(c² + h²)×h，其中c为底边长，h为棱柱的高。
4.特殊棱柱的表面积计算：a)正方体：S = 6a²。
b)长方体：S = 2lw + 2lh + 2wh。
四、棱柱的相关性质与计算1.棱柱的棱数：a)n棱柱：有n条侧棱，n个底面。
2.棱柱的对角线：a)直棱柱的对角线：连接任意底面对应顶点的线段。
b)斜棱柱的对角线：连接底面对应顶点的线段，不垂直于底面。
3.棱柱的体积与表面积的应用：a)计算棱柱的体积和表面积，可以了解棱柱的大小。
