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向量长度的性质（了解） 向量长度的性质（了解） (1)|α |≥0，当且仅当α=0时，有|α |=0； ≥ ， 时 = ； (2)| kα |=|k|⋅|α | (k为实数 ； 为实数)； = ⋅ 为实数 (3) 三角不等式 |α + β | ≤ |α| ＋ |β| ； 三角不等式: (4)对任意向量α，β，有 |(α ,β )| ≤ |α | ⋅ |β | . 对任意向量
+ ⋯⋯ + ⋯⋯
2 + ann xn
叫做n元二次型，当二次型的系数aij ( i ,j=1,2, …,n)都是实数时， 叫做 元二次型，当二次型的系数 都是实数时， 都是实数时 称为实二次型（本教材只讨论实二次型） 称为实二次型（本教材只讨论实二次型）.
特别地，只含有平方项的n元二次型称为 元二次型称为n元二次型的标准形 特别地，只含有平方项的 元二次型称为 元二次型的标准形
α iT α i = 1(i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅n) ， T α i α j = 0(i ≠ j; i, j = 1,2,⋅ ⋅ ⋅n)
即A为正交矩阵的充分必要条件是其列向量组是标准正交向 为正交矩阵的充分必要条件是其列向量组是标准正交向 量组. 量组. 类似可证， 为正交矩阵的充分必要条件是其行向量组 类似可证，A为正交矩阵的充分必要条件是其行向量组 是标准正交向量组. 是标准正交向量组.
第五章
二次型
一、向量的内积
1.向量内积的概念 向量内积的概念 2.向量组的标准正交化 向量组的标准正交化 3.正交矩阵 正交矩阵
二、二次型及其标准形
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第五章
本章要求
1．掌握二次型的矩阵表示 ；
二次型
2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法 ；
2 f (x1, x2 ,⋯, xn ) = a11x1 + 2a12 x1x2 + 2a13x1x3 +⋯+ 2a1n x1xn 2 + a22 x2 + 2a23x2 x3 +⋯+ 2a2n x2 xn
∑a b
i =1
n
n
i i
= a1b1 + a2b2 + ... + anbn
的内积，记为( 称为向量α和β的内积，记为 α , β ).即 .
(α , β ) = ∑ a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n
i =1
例如， 例如，设α=(−1, 1, 0, 2)T，β=(2, 0, −1, 3)T , 则α和β − 的内积为 (α , β ) =(−1)×2+1×0+0×(−1)+2×3 =4 .
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向量的单位化（标准化） 向量的单位化（标准化） 长度为1的向量称为单位向量 单位向量. 单位向量
α 若非零向量α的长度不等于1，令α = ， α
0
则α 0为单位向量，称α 0为α的单位向量。
从α 得到α 0的运算称为向量α的单位化。
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正交向量组 定义3 为非零向量 零向量， 定义 如果向量α与β为非零向量，它们的夹角 θ定义为： 定义为： 定义为 (α , β ) θ = arccos α β )=0， 互相正交(垂直 垂直), 若(α ,β )= ，则称向量α与β互相正交 垂直 记作α ⊥ β . 例1．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量 ．零向量与任意向量的内积为零， 与任意向量正交. 与任意向量正交. ⋅⋅⋅， 例2．Rn中的 维单位向量组ε1，ε2，⋅⋅⋅，εn，是两两 ． 中的n维单位向量组 正交的： 正交的：(εi ,εj ) =0 (i≠j) . ≠
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内积的定义
(α , β ) =∑ ai bi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
i =1
n
显然,
当α 和β 是行向量时
(α , β ) = αβ T = βα T
当α 和β 是列向量时
(α , β ) = α T β = β T α
内积的性质 中的任意向量， 为常数 为常数. 设α，β，γ为Rn中的任意向量，k为常数 (1) ( α,β ) =(β,α ) ； (2) (kα,β ) = k ( α,β ) ； (3) (α+β,γ ) = ( α,γ ) + ( β, γ ) ； (4) ( α,α ) ≥0，当且仅当α=0时，有( α,α ) =0 . ， 时
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向量的长度 定义2 ⋅⋅⋅, 其长度(或 定义 对Rn中的向量α=(a1, a2, ⋅⋅⋅ an )T，其长度 或模)为
α = (α , α ) = a12 + a2 2 + ⋯ + an 2 例如， 例如，在R2中，向量α=(−3, 4)T的长度为 −
α = (α , α ) = (−3) 2 + 42 = 5
12 −32 T (2, 2,−2,−2)T = (−2, 0, 6, 8) − (1, 1, 1, 1) − 4 16 =(−1, 1, −1, 1)T . 此时 β1， β2， β3，为正交组. 为正交组.
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(2)再将正交化后的向量组标准化， (2)再将正交化后的向量组标准化，即令 再将正交化后的向量组标准化
β2
β1
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三、正交矩阵
定义5 如果n阶实矩阵 满足ATA=E或AAT＝E， 定义 如果 阶实矩阵A满足 = 或 ， 阶实矩阵 满足 则称A为 则称 为正交矩阵. 例如，单位矩阵 为正交矩阵 例如，单位矩阵E为正交矩阵.
cos θ 矩阵 Q = sin θ − sin θ 是正交矩阵。 cos θ
1．A为正交矩阵的充要条件是 −1=ΑT； ． 为正交矩阵的充要条件是 为正交矩阵的充要条件是A
2. 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； 3. 两个正交矩阵的乘积是正交矩阵； 两个正交矩阵的乘积是正交矩阵； 4. 正交矩阵是满秩的且|A|=1或-1； 正交矩阵是满秩的且 或 ；
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正交向量组 定义3 为非零向量 零向量， 定义 如果向量α与β为非零向量，它们的夹角 θ定义为： 定义为： 定义为 (α , β ) θ = arccos α β )=0， 互相正交(垂直 垂直), 若(α ,β )= ，则称向量α与β互相正交 垂直 记作α ⊥ β . 定义4 如果R 中的m个非零向量组 ⋅⋅⋅， 定义4 如果Rn中的m个非零向量组 α1，α2，⋅⋅⋅，αm两 两 正交， 正交向量组. 正交，即 (αi ,αj )=0(i≠j)，则称该向量组为正交向量组. ≠ ，则称该向量组为正交向量组 ⋅⋅⋅， 如果正交向量组α1，α2，⋅⋅⋅，αm的每一个向量都是单 位向量，则称该向量组为标准正交向量组. 位向量，则称该向量组为标准正交向量组. 标准正交向量组
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第二节
二次型的定义
二次型
一、二次型及其标准形
定义１含有n个变量的二次齐次多项式 定义１含有 个变量的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + ⋯ + 2a1n x1 xn
2 + a22 x2 + 2a23 x2 x3 + ⋯ + 2a2 n x2 xn
5. A为正交矩阵的充分必要条件是其列 行)向量组是标 为正交矩阵的充分必要条件是其列(行 向量组是标 为正交矩阵的充分必要条件是其列 准正交向量组. 证明见下页） 准正交向量组 （证明见下页）
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性质5 阶实矩阵， 性质 设A为n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条 为 阶实矩阵 为正交矩阵的充分必要条 件是其列(行 向量组是标准正交向量组 件是其列 行)向量组是标准正交向量组.
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例3．设线性无关向量组为α1=(1, 1, 1, 1)T，α2=(3, 3,−1,− ． − − 正交化、标准化. 1)T，α3=(−2, 0, 6, 8)T，试将α1，α2，α3正交化、标准化. − (1)先 解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令 (1) 利用施密特正交化方法将向量组正交化，
+⋯ +⋯ ⋯ ⋯
2 + ann xn
2 2 2 f (x1, x2 ,⋯, xn ) = d1x1 + d2 x2 +⋯+ dn xn .
3．了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法 .
本章重点
用正交变换化二次型为标准形 .
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第一节 向量的内积
一、向量内积的概念 内积的定义 ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅, 定义1 定义 设α=(a1, a2, ⋅⋅⋅ an )T与β=(b1, b2, ⋅⋅⋅ bn )T是Rn中的两 个向量， 个向量，则实数
cosθ Q Q= − sin θ
T
sin θ cosθ cosθ sin θ
− sin θ cosθ
1 0 = 0 1 = E
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三、正交矩阵
定义6 如果n阶实矩阵 满足ATA=E或AAT＝E， 定义 如果 阶实矩阵A满足 = 或 ， 阶实矩阵 满足 则称A为 则称 为正交矩阵. 定理3 正交矩阵具有如下性质： 定理 正交矩阵具有如下性质：
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