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基本不等式评课稿基本不等式评课稿一、基本情况介绍。
上课时间：2011年5月11日，上课地点：台州中学，执教者：台州中学李超英老师，上课内容：基本不等式（第1课时），上课对象：高一学生，。
二、总体印象。
李老师的课思路清晰，结构严谨，重难点突出，很好的把握住了《国家课程标准》和《浙江省教学指导意见》对基本不等式这节课的要求。
同时，李老师形体语言亲切、自然，口头语言清晰、流畅。
营造了积极、宽松的教学氛围。
三、对教学设计的感想。
1.在整节课的教学设计中体现了：数学来源生活又服务的中心思想。
从一开始由第24届国际数学家大会会标中几何图形的面积关系引入基本不等式，到后来用一定长度的篱笆围最大的矩形菜园面积和用最少的篱笆围一个面积一定的矩形面积，都是生活中经常用到的实际问题。
2.在整节课的教学设计中站的高度较高，知识有一定的的深度和难度。
在课堂的最后以两个高考题作为思考让学生体会基本不等式在高考中的难度，让学生发现自身与高考的距离，在平时的学习过程中方向性更加明确。
3.在整节课的教学设计中难度层层递进，学生对知识的掌握有一个渐进的过程，有助于他们理解和掌握解决基本不等式问题时的一般思路和方法。
一开始的例子是课本99页中的例1，学生解决起来非常轻松；后来的变式中将围墙的一边靠墙让学生解决同样的问题，从而使学生体会在不同条件下基本不等式的应用；例2是将求u xy=变成求lg lgu x y=+的最值，将求4y xx=+的最值变成求41y x x =+-的最值，强调基本不等式成立的条件和取到极值时的条件；最后上升到高考的高度。
四、对几个教学片段的思考。
1.基本不等式概念的引入。
在0,0a b >>222a b ab +≥中的,a b 从而得到2a b +≤，在这个过程中，李老师称222a b ab +≥为重要不等式。
在网上确实有许多教案和课件将222a b ab +≥称为重要不等式，但是我们的教材、教师用书、教学指导意见中重来没有出现过重要不等式这个概念。
基本不等式（第一课时）教学设计及反思人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）》中的“基本不等式2ba ab +≤”。
下面把这节课的教学设计、教后反思记录下来，愿与同行研讨。
“基本不等式2ba ab +≤”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了。
它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
本节课是第一课时，设计如下学习目标：1．通过两个探究实例，在老师的引导下从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，自己分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2ba ab +≤的证明过程。
教学难点：用基本不等式求最值教学过程：第一环节：（5分钟）设计问题、创设情境（多媒体展示）华罗庚先生的诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
”开场白：华罗庚先生有数学家的睿智、诗人的浪漫。
同学们请说出华先生的这首诗表达的思想。
生：“数形结合百般好”。
师：今天我们一同来体会如何运用数形结合的方法研究问题。
设计意图：使学生了解数学家、数学史、数学思想，尽快进入数学情景；为本节课问题的探究指明方法，做下铺垫。
给学生留下疑问，“我们要运用数形结合研究什么问题呢？如何运用数形结合来研究问题呢？”激发学生学习兴趣，使学生对将要出现的探究问题充满期待。
（多媒体展示）第24界国际数学家大会的会标师：第24界国际数学家大会于2002年在北京召开，这是大会的会标，其中的图案大家见过么？生：见过。
“基本不等式”评课与反思近来，本人在平沙校区上了一节“基本不等式”的交流课。
根据因材施教的原则，我做了充足的准备。
课后听课教师做了认真、细致的评课，我也做了课后反思，总结如下。
一、听课教师的评课平沙校区的几位数学教师听了本节课授课，她们根据这一节课的上课状况做出了评课。
（一）教师基本功好1.语言风趣，语速恰当，吐字清晰，抑扬顿挫；2.教态自然，很有亲和力，很得学生的喜欢；3.肢体语言运用合理，手势可以感招，眉目可以传情；4.板书有序工整，板画自然得体，总体设计合理。
（二）教学设计得当1.得到基本不等式的过程简朴且顺理成章。
2.用几何措施展示不等式的一种几何意义显示了数学的美。
3.从基本不等式的变式得到最值定理（用基本不等式求有关式子最值）过渡自然。
4.例题与变式及提高试题的设计由简到繁，适合学生思维的发展。
（三）课堂应变能力强1.学生对初中所学的射影定抱负不起来，教师并不急于写出，而是慢慢推导，表面上是挥霍了时间，其实是遵循了教学规律。
2.提问学生时，能根据学生回答的状况对所学知识予以解说，认真聆听的同步，能给出较好的意见。
3.例2的教学给出了用二次函数的措施，能启发学生思维，突破局限。
（四）局限性1.基本不等式的几何解释，校区的学生可以掌握的不多。
2.本节课的知识容量比较大，相对于校区学生也许会消化不良。
二、我的课后反思（一）备课的反思一节课的准备总的来讲是两个方面：备课和教学。
备课的内容重要：备学生，备教材，备课堂。
备学生与备教材这两方面是密不可分的。
通过与校区教师的联系，我理解到，校区的学生和本部的学生在认知能力上是有一定的差距的。
因此，我对教材做了充足的研究后，没有采用教材中的“赵爽弦图”提炼出基本不等式，而是运用类比的思想提炼出的基本不等式。
我在准备教案时，例题与课堂小试身手都做了简化，学案上的习题设计也是从简朴到复杂，让学生有一种循序渐进，慢慢吸取掌握的过程，以期不断地提高学生的积极性，实现知识的真正掌握。
基本不等式课堂实录在今天的数学课上，我们一起探索了基本不等式这个重要的数学知识。
这堂课充满了思考、讨论和发现，现在就让我来为大家详细讲述一下。
课程一开始，老师并没有直接进入正题，而是先给我们提出了一个生活中的小问题：小明打算用一段长为 16 米的篱笆围成一个矩形的菜园，怎样围才能让菜园的面积最大呢？这个问题一下子引起了大家的兴趣，同学们纷纷开始在纸上画图、计算。
经过一番尝试，有的同学得出了长和宽分别为 4 米时，面积最大为 16 平方米。
但这只是通过尝试得出的结果，有没有一种通用的方法呢？带着这个疑问，老师引出了今天的主题——基本不等式。
老师在黑板上写下了基本不等式的表达式：对于任意正实数 a、b，有 a ＋b ≥ 2√（ab)，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
为了让我们更好地理解这个不等式，老师举了几个简单的例子。
比如，有两个正数 4 和 9，那么 4 ＋ 9 ＝ 13，而2√（4×9) ＝ 12，显然13 大于 12。
通过这样直观的对比，我们初步感受到了基本不等式的作用。
接下来，老师开始带领我们证明这个不等式。
证明的过程虽然有些复杂，但在老师一步一步的引导下，我们也逐渐跟上了思路。
证明完成后，老师又回到了最开始的菜园问题，用刚刚学到的基本不等式进行了分析。
设矩形菜园的长为 x 米，宽为 y 米，那么 2(x ＋ y) ＝ 16，即 x ＋ y ＝ 8。
根据基本不等式，x ＋y ≥ 2√（xy)，也就是8 ≥ 2√（xy)，所以xy ≤ 16，当且仅当 x ＝ y ＝ 4 时，等号成立，面积最大为 16 平方米。
这时候，同学们都恍然大悟，原来数学知识可以这么巧妙地解决实际问题。
然后，老师又给出了几道练习题让我们巩固所学。
比如：已知 x ＞0，求函数 y ＝ x ＋ 1/x 的最小值。
同学们都认真地思考、计算，有的同学很快就得出了答案：因为 x ＞ 0，所以根据基本不等式，x ＋1/x ≥ 2√（x×（1/x)）＝ 2，当且仅当 x ＝ 1/x ，即 x ＝ 1 时，等号成立，所以函数的最小值为 2。
《基本不等式》设计亮点
分析这堂课主要有以下几个亮点：
1、注重思想方法的渗透
教学中以基本不等式的获得与证明及简单应用为明线，以数学思想方法的渗透和体会为暗线，整个教学过程中，明暗线交相呼应，贯穿始终。
对重要不等式和基本不等式的探究和证明，都注重从数和形两个角度进行阐释；甚至对后面的例题，也是先引导学生用代数方法解决问题，再用几何画板中的图形变化验证代数结论，增强学生从数、形两个角度思考问题的意识和能力，体会数形结合思想方法的优势。
2、注重知识的生成
本节课通过抽象出数学家大会会标中的图形面积的不等关系，得到重要不等式；通过折纸游戏提炼出基本不等式，又从几何代数多个角度认识和证明基本不等式，加深了学生对基本不等式本质的理解。
3、注重学生的实质性参与，设计的活动形式多样化
通过动画，让会标在转动中变化，引导学生分析变化始末大正方形的面积与四个直角三角形的面积和的关系，得出重要不等式，动画形式直观形象，学生在欣赏数学美的同时，又获得数学知识，所以情感上会很乐意参与问题的探究。
接着，设计折纸游戏发现基本不等式，形式新颖，充满乐趣。
后面的例题探究，鼓励学生从多个角度寻找解决问题的思路和方法，并让他们上来演示自己的分析过程，既锻炼了学生的胆量和表达能力，也让他们获得成就感和满足感。
最后，课堂小结环节，让学生自己说在知识、思想方法上的收获，有学生回顾了重要不等式和基本不等式的探究过程及运用基本不等式求最值的条件，有学生说出了分析法的特点。
可以看出，学生在课堂上的收获是不少的。
一堂课下来，学生还感觉意犹未尽。
总之，这节课真正体现了“学生为主体，教师为主导”的
教学思想。
张家界市教科院谭俊凭。
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《3.4.1基本不等式》课例点评稿
一节好课，应该有老师高超的教学设计——既有学生数学知识的生成又要潜移默化的形成数学的逻辑思维，激发学生学习数学热情。
应该有学生充分的交流互动——既能发挥学生的主体作用又能学以致用的运用新知解决实际问题，体验到生活离不开数学。
王世艳《3.4.1基本不等式》一课，就完全诠释了一节好课的内涵。
情景引入环节以第24届国际数学家大会的徽标为切入点，引出徽标的原型---赵爽弦图，让学生真切的感受到了我国自古以来数学的突出成就，我国深厚丰盈的数学底蕴……以及我国数学为世界文明做出的巨大贡献，激发了学生的民族自豪感，激发了学生热爱数学，学习数学的热情，这体现了教师传承育人、文化育人的教育理念。
独立探究环节学生通过独立观察、思考和尝试探究，让学生充分的动眼观察，动脑思考，动口表达……放手学生遨游于数学的观察、想象、创新和自我感知、自我认可的自由空间。
问题设计层层递进，数形结合思想明线导引，数理逻辑思维暗线支撑……整堂课能够让学生切身感受到数学知识的渐次生成，逻辑思维的不断完善和数学思想的逐步成熟；充分感受到数学艺术和数学魅力的同时又潜移默化中培养了学生的数学思维，提高了学生的数学能力。
合作探究环节是在学生独立思考的基础上，让学生在学组之间互相争辩提升，互相感染促进，带动学生共同进步，体现了“以学为先”“以学生为主体”的教育思想和理念。
孔子曰：“弗学何以行？弗思何以得？”本节课最大的亮点就是本质上把握住了新课程改革的精髓，充分调动了学生学习的主动性和积极性，让学生在学习中学会思考，在思考中不断进步。
让学生在自主探索的过程中收获知识、思维和能力的生成和体验，提高学生的数学核心素养。
《专题：基本不等式》一课的点评桦川县第一中学：李春林在刚刚落幕的“百花奖”教学竞赛中，孙忠保老师的《基本不等式》一课，给我留下了深刻的印象，现就本课加以点评：一、成功之处1.教学基本功扎实，深受学生欢迎从教师来讲，反映出孙老师深厚扎实的教学功底，科学认真的教学风格；从备课的内容来看，他的设计处处具有启发性，结论具有开放性；说明孙老师把学生真正地放在了心里，这种教法一定会对学法产生积极的影响。
2.教学理念先进，符合教学实际教学理念体现新课程内涵，即关注学生的进步和发展，确立学生的主体地位，树立了“一切为了学生的发展”的思想目标。
同时，设计的教学主旨符合学生的实际，因为他们将是我们学校未来高考的精英，所以设定目标围绕高考的重要题型---利用基本不等式求最值而进行，目的是培养学生分析和解决问题的能力，目标看似高远，其实符合实际。
3.教学思路清晰，设计合理教学思路清晰，以中心词“一正、二定、三相等”为核心，由此展开问题联想，进一步深化基本不等式求最值，帮助学生构建了知识体系，弥补了教材知识零散的不足，教学效果良好。
4.教学环节流畅，水到渠成本课教学环节完整，一气呵成，首尾呼应，教学内容全面，教学目标得以实现。
5.多媒体运用自如，辅助教学效果好。
教师在课件中添加了特殊元素和口诀，充分调动了学生的兴奋神经，提升了学习的兴趣，为考点的突破打下伏笔。
6.师生互动，合作探究，教学效果好孙老师教态亲切平和，语言风趣幽默，重视师生双边活动，充分调动学生的主体参与意识，通过不断启发、诱导学生积极思考，大胆尝试，培养了学生探究新知识的能力、创造意识；学会了类比、归纳、推理、论证等重要的数学思想方法。
重难点知识娓娓到来，与学生沟通自然顺畅，能对学生的发言适当点评，例如，对学生叙述基本不等式时要求要抓住关键词，用一句话来表达，不要啰嗦等。
二、不足之处1．本节课课堂容量(安排的知识容量)偏大，在思维上也有比较特殊的地方，从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。
“基本不等式”课堂实录威海四中滕华毅1•复习导入师：这节课我们继续学习基本不等式。
（板书：基本不等式）师：上新课之前我们先回顾一下前面学过的两个重要的不等式。
师：（板书1：a2 b2 _2ab）不等式1成立的前提条件是什么？等号成立的条件是什么？生：a,b R, a 二 b .师：（板书2：aab ）不等式2成立的前提条件是什么？等号成立的条2件是什么？生：a 0,b 0, a =b .（教师根据学生的回答把不等式1，2补充完整。
）师：我们知道这是两个重要的不等式。
而实际上每一个好的不等式都有重要的数学背景，特别是重要的几何背景。
下面我们就研究一下这两个不等式的几何说明。
2.基本不等式的几何说明（教师展示自制图片，见图1）师：这是北京第24届国际数学大会的会标。
颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
会标是根据我国古代数学家赵爽在研究勾股定理时所做的弦图设计的。
我国古代对勾股定理的研究要比西方早很多年。
从这个图中我们能否找到不等式1的几何说明呢?（教师将图中的“风车”抽象成如图2所示，画在黑板上。
然后教师让学生对照黑板上的图形进行小组讨论。
根据学生讨论的情况，教师再提示：把直角三角形的两条直角边分别设为a，b,把不等1島**!■阖■ TO 7R 歼护图图式1的形式和图形结合起来思考。
然后鼓励学生到讲台前说明。
）生1（到讲台前）：直角三角形的两条直角边分别设为 a, b,则图中正方形ABCD 的面积为a 2 b 2 ,直角三角形ABE 的面积为丄ab ,正方形的面积大于4个直角三21角形的面积，即a 2 b 24 ■ ab .2 （教师结合学生1的回答，在黑板上写出证明过程。
即 S 正方形ABCD =a 2飞2，4 S ABE - 2ab , • S 正方形 ABCD '师：在不等式1中，a 2 b 2 _2ab ，式子中是有等号的，而我们刚才证明的不 等式中没有等号，是不是不等式1错了？生：不是。
基本不等式(1)(课堂实录+点评)基本不等式2ba ab +≤课堂实录执教曲阜师范大学附属中学273165刘伟点评曲阜师范大学附属中学273165孟祥东（特级教师）在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：2ba ab +≤，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.一、课堂实录教学过程1、导入新课（走进智者，挑战自我）探究：由菲尔兹奖引到在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它既标志着中国古代的数学成就，同时又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们．多媒体展示上面的会标变化成转动的风车．接着问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？设计依据：用多媒体展示菲尔兹奖奖牌，并简单介绍菲尔兹奖背景，然后引出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，在授课中渗透数学文化和数学背景，激发学生的学习兴趣，并增强学生的自豪感和爱国主义热情．2、探究新知（自学质疑，交流展示）师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？（沉静片刻）生应该先从此图案中抽象出几何图形．师同学们观察得很细致，可以抽象出哪些几何图形？生四个全等的直角三角形，两个正方形.师同学们的观察比较准确．下面我们就来详细的探究这些几何图形．［过程引导］师设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？生显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和．师一定吗？（大家齐声：不一定，有可能相等）师好！那大正方形的面积是多少？四个直角三角形的面积之和又是多少？同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明刚刚的猜想呢？（思考片刻）1，四个直角三角生每个直角三角形的面积为ab2形的面积之和为2ab，正方形的边长为22ba ，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2＞2ab．师这位同学回答得很好，表达很全面、准确．请你接着回答，这里能取到等号吗？生可以取到等号，当直角三角形是等腰直角三角形，即a=b时，等号成立师回答的非常好，也就是说我们得到的应该是a2+b2≥2ab．下面请大家思考一下，这位同学对a2+b2≥2ab证明了吗？生没有，他仍是由我们刚才的直观得到的，只是用字母表达一下而已．师回答得很好．（有的同学感到迷惑不解）师这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明．（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）师请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab．设计意图：在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华．（思考片刻）生采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab．师同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？生正确.［教师精讲］师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样．生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明．师 对.那么我们在遇到这类问题时，我们就可以采用作差法去证明．设计依据：此处讲解，意在启发学生以后遇到类似问题如何处理，把以后解决问题的思维空间切实留给学生．［教师板书］重要不等式：一般地，对于任意实数a 、b ，我们有 a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立． ［跟踪训练］师 请利用重要不等式填空。
（学生思考）首先发问：上面的三个式子中，a 、b 对应的分别是什___________cos sin ).1(22≥+x x __________________9).2(22≥+y x _________)()(0,0).3(22≥+>>b a b a 时，当么？生 回答略．设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，理解了a 、b 只是一个符号，这样突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.师 下面请同学们完成上面的不等式．生 回答略． 师（板书： ）大家来看，上面不等式两边同时除以2，我们可以得到什么式子？生师 说的好，这就是我们今天这节课学的最重要的不等式——基本不等式．［教师精讲］师 上面不等式中ab 叫a 、b 的几何平均数，2b a +.2,2)()(0,022ab b a ab b a b a ≥+≥+>>即时，当．时，当20,0b a ab b a +≤>>.,0,02时等号成立当且仅当）（b a b a b a ab =>>+≤2b a ab b a +=⇒=b a b a ab =⇒+=2.,2不好求可是CD b a OD +=叫a 、b 的算数平均数．我们发现：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数． 师 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）生 “当且仅当a=b 时，等号成立”的含义是：当a=b 时，取等号，即仅当a=b 时，取等号，即［几何解释］师 上面我们从代数角度证明了基本不等式，下面我们再从几何的角度验证一下.设计意图：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观．进一步领悟不等式中等号成立的条件． 多媒体展示：如图：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC=a,CB=b ，请比较CD 与OD 的大小关系.师 要比较CD 与OD 的大小关系就需要先求CD 与OD ．那么CD 与OD 怎么求呢？（学生思考）生ab2b a +a b C O A BD师 我们是不是可以借助三角形相似求CD ．师 几何解释实质可认为是：在同一个圆中，半径不小于半弦；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高． ［不等式的变形］生 还有其他的变形吗？师 还有其他的变形，但是，这几个是以后我们用的最多的．3、巩固新知（小组合作，学习研讨）（小试牛刀：应用基本不等式完成下列各题）ab CD CB AC CD DCB ACD =⋅=∆∆即，，从而∽易知2.2b a ab +≤所以半径由于半弦长小于或等于)0,02>>+≤b a ba ab （）（0,02>>≥+b a ab b a )0,0)2(2>>+≤b a b a ab （.___________,__________101时，等号成立当时，）当（=≥+>x x x x .______________,__________02时，等号成立当时，）当（≥+>a b b a ab 等号什么时候成立？）（____,____________________212322≥+++x x追问：设计意图：以上题目均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的知识，进一步领悟到不等式2b a ab +≤成立的条件0,0>>b a ，及当且仅当b a =时，等号成立。
这些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结．结论：若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值；简记为：“一正、二定、三相等”．4、深化新知（互动探究，精讲点拨）［初显身手］公式应用之一：师 请应用基本不等式完成下列各题．.110取最小值等于多少时，的最小值是多少？当时，当x x x x x x ++>(1)若x ,x x 10+>的最小值为________,此时._________=x(2)若a>0,b>0,且a+b=2,则ab 的最大值为_______,此时a =_____,b =_____．生 回答略．［展露锋芒］公式应用之二：（最优化问题）设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中．(1)陶渊明打算用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少米？(2) 陶渊明打算用一段长为36m 的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？学生作答略5、全课小结，内化新知通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平．老师根据情况完善如下：一个不等式：若0,0>>b a ，则有2b a ab +≤，当且仅当a=b 时，2b a ab +=． 两种思想：数形结合思想、归纳类比思想． 三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”．6、布置作业 略板书设计 基本不等式2b a ab +≤ 一、重要不等式 全课小结a 2＋b 2≥2ab 二、定理若a＞0，b ＞0，课后作业则ab b a ≥+2证明过程：二、点评这是2013年10月23日在曲阜师范大学附属中学多媒体教室为国培项目——2013年高中数学示范性集中培训项目上的一节公开课的实录．本节课的核心是了解基本不等式结构，理解基本不等式的意义，并会用基本不等式解决有关问题．在本节课的教学中，刘伟老师通过导入新课、推进新课、探究归纳、初显身手、展露锋芒、反思总结等环节，充分发挥学生的主观能动性，使学生在本课的学习中，一步步的去发现、总结基本不等式的结构特点并熟练应用基本不等式，让学生成为数学课堂的主体，而教师只是教学课堂活动的组织者、引导者和参与者．在课后的交流中，来自全国各地的国培项目学员，对这节课给予高度评价，所以推荐给大家，供观摩研讨．本节课主要有以下特色：一、可以激发全体同学的求知欲我不止一次思考过，我们教师给学生留下什么是最重要的？我想应该就是学生的求知欲和思考问题的方式方法．在本节课的教学中，刘老师以数学故事为引子，以问题为纽带，不断提出问题，由学生通过独立思考或合作交流，在不断的讨论中积极参与学习活动，积极思考问题，主动探求问题的答案．刘老师运用多媒体课件教学，把文字、声音、图像、颜色、动画等多种信息高质量高速度的传达给学生，极大的丰富了教学信息，化难为易，化抽象为具体，化枯燥为生动，增强了学生的学习兴趣．二、可以让学生有成功的感觉，增强学生的自信心．有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，而参与的程度却与学生学习时产生的情感因素密切相关．情感态度价值观在学习活动中具有动力作用，所以有必要在数学教育中加强情感态度价值观教育．在本节课中，刘老师多次对学生的表现给予表扬，学生在课堂学习中感受到了老师对自己的认可，也感受到了对数学问题探究的乐趣以及由此获得的成功的喜悦．三、可以培养学生的团队精神孔子曰：“独学而无友，则孤陋而寡闻．”在巩固新知和深化新知（初显身手和展露锋芒）中，由学习小组观察、模仿公式形式、合作交流、解决问题等方面的学习行为，产生了同学间互助学习的效果，促进团队合作精神．四、可以培养学生的自学能力刘老师在本节课的教学中，不是简单的把基本不等式及其用法讲授给学生，而是让学生逐步的发现、总结基本不等式的特点，并应用基本不等式解决相关问题．整个课堂设计都是以学生为主题，教师引导学生通过主动参与探索、归纳来获取知识，从而培养了学生的观察、比较、归纳和自学能力．五、本节课充分展示了教师驾驭教材和把握学情的能力教师一进课堂就胸有成竹，充满信心．面对复杂多变的课堂，能驾轻就熟、游刃有余的指挥调度，能牢牢地吸引住学生的注意力，充分的调动学生的学习积极性，出色的完成了教育教学任务．教师讲授课时语言生动、动作富有感染力，使学生在45分钟内不仅学到了知识，而且还有一种美的享受，让学生在轻松愉悦的氛围中快乐学习．六、教学设计体现了数学来源生活又服务生活的中心思想在整节课的教学设计中体现了：数学来源生活又服务生活的中心思想。
