2016届湖南省长郡中学高三第四次月考理科数学试题

湖南省长沙长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学（理）试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数（aR ）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为A ．-2B ．-1C ．1D ．22．若S n ，是等差数列{a n }的前n 项和，有S 8－S 3=10，则S 11的值为A ．12B ．18C ．44D ．223．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．4．设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤+⎰a x dt t x x gx 020,30.,1，若f （f （1））=l ，则a 的值是 A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-25．已知，表示两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则“⊥”是 “m ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．△ABC 中，锐角A 满足sin 4A －cos 4A≤sin A －cos A ，则A ．0A≤B ．0A≤C ．≤A≤D ．≤A≤7．斜率为的直线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，该椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．8．已知等边△ABC 中，点P 在线段AB 上，且，若··，则实数的值为A ．2B ．C ．1－D ．9．已知方程kx+3－2k =有两个不同的解，则实数k 的取值范围是A ．B ．C ．D ．10．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．的展开式中的常数项为 。

炎德 英才大联考长郡中学2016届高三月考试卷（四）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合2{|2},{|30,}x A y y B x x x x R ===-->∈，那么U AC B =（ ） A ．[]1,3- B ．(0,3] C ．(3,)+∞D ．(1,0)(3,)-+∞2、若复数z 满足3(1)i z i -=+，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3iC ．3-D ．3i -3、已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(24)0.6826P X ≤≤=，则(4)P x >=（ ）A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.15854、下列说法中，不正确的是（ ）A ．已知,,a b m R ∈，命题：“22am bm <，则a b <”为真命题B ．命题“2000,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”C ．命题“p q ∨”为真命题，则命题p 或q 均为真命题D ．“3x >”是“2x >”的充分不必要条件5、若执行右边的程序框图，输出S 的值为4，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．14?k <B ．15?k <C ．16?k <D ．17?k <6、若26(1)(0)x ax a ++>的展开式中2x 系数是66，则实数a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．17、如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为125(,)1313-，AOC α∠=，若1BC =，2sin cos 22ααα--的值为（ ）A ．513-B ．513C ．1213- D ．1213 8、若()3ln(1)x f x e ax =++是偶函数，则a 的值等于（ ）A ．52B ．52-C ．32D ．32- 9、如图是函数()sin(2)()2f x A x πϕϕ=+≤图象的一部分，对不同的12,[,]x x a b ∈，若()()12f x f x =，有12()f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5(,)1212ππ-上是减函数 B ．()f x 在5(,)36ππ上是减函数 C ．()f x 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()f x 在5(,)36ππ上增减函数10、一个几何体的三视图如图所示，，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（ ）A ．83π B ．163π C ．323π D ．643π 11、已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且1C 与该渐近线的两焦点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为（ ）A B ．5 C D 12、已知定义在R 上的函数()f x ，当[]0,2x ∈时，()8(11)f x x =--，且对任意实数 1[22,22](,2)n n x n N n +*∈--∈≥，都有()1(1)22x f x f =-，若()()l o g a g x f x x =-有且仅有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[]2,10B ．C ．(2,10)D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三(上）第二次月考数学试卷(文科）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．设集合M=｛x|x2=x｝，N={x|lgx≤0}，则M∪N=()A．［0,1]B．（0,1]C．[0，1）D．（﹣∞,1］2．如果复数（其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于（）A．B．C．﹣D．23．等差数列{a n}前n项和为S n,且﹣=3，则数列｛a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．44．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（)A．0 B．1 C．2 D．35．若3sinx﹣cosx=2sin(x﹣φ），φ∈(﹣π，π），则φ=（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（) A．1 B．2 C．D．37．已知向量，,且向量k与平行，则实数k的值为（）A． B．C．﹣2 D．28．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(）A．若m⊥n，n∥α,则m⊥αB．若m∥β,β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β,n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α,则m⊥α9．数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（)A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+110．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞)恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0,+∞）C．(﹣4，2）D．(﹣∞,﹣4）∪（2，+∞)11．已知向量与的夹角为120°，且||=2,｜|=3，若=+，且⊥,则实数λ的值为（)A．B．13 C．6 D．12．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N＊),分别编号为1,2，…,n，买家共有m名（m∈N*,m＜n），分别编号为1,2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分．）13．函数y=f(x）的图象在点M（1,f（1)）处的切线方程是y=3x﹣2,则f（1）+f′（1）=．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心,则三棱锥O﹣MNB的体积是．16．已知实数x,y满足x2+y2≤1,则｜2x+y﹣4|+｜6﹣x﹣3y|的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a,b，c分别为△ABC三个内角A,B，C的对边,c=asinC﹣ccosA．(1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为,求b，c．18．已知函数（a≠0)是奇函数，并且函数f(x）的图象经过点(1,3），（1）求实数a，b的值；(2）求函数f（x）的值域．19．设等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,等比数列{b n｝的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1)求数列{a n｝，｛b n}的通项公式（2)当d＞1时,记c n=，求数列{c n｝的前n项和T n．20．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E,F分别是AC，PB的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）若PA=AB，求EF与平面PAC所成角的大小．21．已知函数y=f(x)，若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0)=﹣f（x0)成立,则称x0为函数f（x)的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2］内有局部对称点,求实数b的取值范围；（3)若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．22．已知函数f（x)=xlnx．（l）求f（x)的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．2015—2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M=｛x｜x2=x｝，N={x｜lgx≤0},则M∪N=(）A．[0，1］B．(0，1]C．［0，1） D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}=｛0，1｝,N=｛x｜lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0,1}∪（0,1]=[0，1]．故选:A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法,是基础题．2．如果复数（其中i为虚数单位,b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（) A．B．C．﹣D．2【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数,化简为a+bi（a,b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．【解答】解：==+i由=﹣得b=﹣．故选C．【点评】本题考查复数的基本概念,复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．等差数列｛a n｝前n项和为S n，且﹣=3，则数列{a n｝的公差为(）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项和公差的方程，化简可得公差d．【解答】解：设等差数列{a n｝的公差为d，∵﹣=3，∴﹣=3,化简可得2d﹣d=3,解得d=2故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．函数f（x)=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点；对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域,再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2｜,y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数,即为函数零点的个数．【解答】解：由题意,函数f（x）的定义域为(0，+∞）;由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞)内的零点即是方程｜x﹣2|﹣lnx=0的根．令y1=｜x﹣2｜,y2=lnx(x＞0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选C．【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系,通过转化和作图求出函数零点的个数．5．若3sinx﹣cosx=2sin(x﹣φ），φ∈（﹣π，π），则φ=(）A．﹣B．C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用两角和公式对等号左边进行化简进而根据φ的范围求得φ．【解答】解：3sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣)=2sin（x﹣φ），∴φ=2kπ+，k∈Z，∵φ∈(﹣π，π）,∴φ=，故选：B．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，诱导公式的应用．对三角函数的基础公式应能够熟练记忆和灵活运用．6．已知向量，且,则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值;数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由题意可得=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ==，运算求得结果．【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用,属于中档题．7．已知向量，,且向量k与平行，则实数k的值为（) A． B．C．﹣2 D．2【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】求出两个平行向量，利用共线向量的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量，，且向量k=(k﹣3,2k+2）与=（7，﹣2）平行可得：7(2k+2）=﹣2(k﹣3）．解得k=﹣．故选:A．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．8．设m、n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α,则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α,则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α,则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β,n⊥α，则m⊥α,正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C【点评】本题主要考查空间直线,平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．9．数列｛a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n(n≥1)，则a6=()A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1【考点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据已知的a n+1=3S n,当n大于等于2时得到a n=3S n﹣1，两者相减,根据S n﹣S n﹣1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始,为首项是第2项,公比为4的等比数列，由a1=1,a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．【解答】解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n﹣1(n≥2），两式相减得:a n+1﹣a n=3(S n﹣S n﹣1）=3a n,则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3,得到此数列除去第一项后,为首项是3，公比为4的等比数列,所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法,会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．10．不等式x2+2x＜对任意a，b∈(0,+∞）恒成立，则实数x的取值范围是()A．(﹣2，0) B．（﹣∞，﹣2)∪(0,+∞） C．（﹣4，2）D．(﹣∞,﹣4）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由已知,只需x2+2x小于的最小值即可,可利用基本不等式求出最小值．【解答】解：对任意a,b∈（0，+∞),，所以只需x2+2x＜8即（x﹣2）（x+4）＜0,解得x∈（﹣4，2）故选C【点评】本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．11．已知向量与的夹角为120°,且||=2,|｜=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为（)A．B．13 C．6 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由⊥，得•=0,用向量表示后展开，结合已知条件可求得实数λ的值．【解答】解:∵=+,且⊥，∴•=（+)•（）===0．∵向量与的夹角为120°,且｜|=2，｜|=3，∴2×3（λ﹣1）•cos120°﹣4λ+9=0．解得：．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．12．某电商在“双十一"期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N＊）,分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…,m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m【考点】进行简单的合情推理．【专题】推理和证明．【分析】由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．【解答】解:∵a ij=1≤i≤m,1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品,∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C【点评】本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1）)处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1)+f′(1）=4．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f′（a）；并且点P（a，f（a））是切点,该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a时的函数值，依此问题易于解决．【解答】解：由题意得f′（1)=3,且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1)+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f(a)与f′（a)．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•(），再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0,故=（）•（）=（）•（)=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义,两个向量垂直的性质，属于中档题．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O﹣MNB的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】以D为原点，DA为x轴,DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥O﹣MNB的体积．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系,则由题意得O(1,1,2）,M(1，0，0）,B（2，2,0）,N（0，2，1），=（0，1，2）,=(1,2，0）,=（﹣1，2，1)，｜|==，||==，cos＜＞==，sin＜＞==，∴S△MNB===,设平面MNB的法向量=(x，y，z）,则，取x=2，得=(2，﹣1，4）,∴点O到平面MNB的距离d===，∴三棱锥O﹣MNB的体积V===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．16．已知实数x，y满足x2+y2≤1，则｜2x+y﹣4｜+｜6﹣x﹣3y|的最大值是15．【考点】简单线性规划．【专题】开放型；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+｜6﹣x﹣3y|的最大值．【解答】解：如图，由x2+y2≤1，可得2x+y﹣4＜0,6﹣x﹣3y＞0，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10,令z=﹣3x﹣4y+10，得，如图，要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小，由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．则，即z=15或z=5．由题意可得z的最大值为15．故答案为:15．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．(1)求角A；（2)若a=2，△ABC的面积为，求b,c．【考点】正弦定理；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1)把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0,得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可;（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值,求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式,利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②,联立①②即可求出b与c的值．【解答】解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0,∴sinA﹣cosA=1，整理得:2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣)=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去）,则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=,△ABC的面积为,∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知函数（a≠0)是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），(1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．【考点】奇函数；函数的值域．【专题】常规题型；计算题．【分析】（1）由函数是奇函数，和函数f（x）的图象经过点(1，3），建立方程求解．（2)由（1）知函数并转化为，再分两种情况，用基本不等式求解．【解答】解:（1）∵函数是奇函数,则f（﹣x）=﹣f(x）∴，∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0又函数f（x）的图象经过点（1，3）,∴f(1)=3,∴，∵b=0，∴a=2(2）由(1)知当x＞0时，，当且仅当，即时取等号当x＜0时,，∴当且仅当，即时取等号综上可知函数f（x)的值域为【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．19．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列｛b n｝的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列｛a n}，｛b n｝的通项公式（2）当d＞1时，记c n=,求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1)利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由(1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：(1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时,a n=2n﹣1，b n=2n﹣1;当时，a n=(2n+79），b n=9•；(2）当d＞1时，由（1)知a n=2n﹣1,b n=2n﹣1，∴c n==,∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1)•，∴T n=2+++++…+﹣(2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．(Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）若PA=AB,求EF与平面PAC所成角的大小．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】(Ⅰ）欲证EF∥平面PCD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PCD内一直线平行即可,连接BD，根据中位线可知EF∥PD，而EF不在平面PCD内,满足定理所需条件；（Ⅱ）连接PE，根据题意可知BD⊥AC，又PA⊥平面ABC，则PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，根据线面所成角的定义可知∠EPD是PD与平面PAC所成的角，而EF∥PD，则EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD，在Rt△PED中，求出此角即可．【解答】(Ⅰ）证明：如图,连接BD，则E是BD的中点．又F是PB的中点，所以EF∥PD．因为EF不在平面PCD内，所以EF∥平面PCD．（Ⅱ)解:连接PE．因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC．又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD．因此BD⊥平面PAC．故∠EPD是PD与平面PAC所成的角．因为EF∥PD，所以EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD．因为PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90°，所以Rt△PAD≌Rt△BAD．因此PD=BD．在Rt△PED中,sin∠EPD=,∠EPD=30°．所以EF与平面PAC所成角的大小是30°．【点评】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角大小计算，同时考查空间想象能力和推理论证能力．21．已知函数y=f（x）,若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f(x）的局部对称点．（1)若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2)若函数f（x)=2x+b在区间[﹣1，2］内有局部对称点，求实数b的取值范围；(3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义构造方程ax2+x﹣a=0,再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．(2)根据定义构造方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1,2]上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决．（3）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2(m2﹣3)=0…（*）在R上有解,再利用换元法,设t=2x+2﹣x,方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：（1）由f(x）=ax2+x﹣a得f(﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x) 得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0),其中△=4a2,由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f（x)=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间［﹣1，2］内有局部对称点,∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间［﹣1，2］上有解,于是﹣2b=2x+2﹣x，设t=2x，≤t≤4，∴﹣2b=t+,其中2≤t+≤，所以﹣≤b≤﹣1(3)∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f(﹣x）=﹣f（x）,∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2（m2﹣3）=0…(＊)在R上有解,令t=2x+2﹣x（t≥2）,则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（＊）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解,需满足条件：即,化简得1﹣≤m≤2【点评】本题依据新定义,考查了方程的解得问题以及参数的取值范围,以及换元的思想，转化思想，属于难题22．已知函数f（x)=xlnx．(l）求f（x）的单调区间和极值；（2)若对任意恒成立，求实数m的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】（l）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f(x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．【解答】解（1）∵f（x）=xlnx,∴f’（x)=lnx+1,∴f’（x）＞0有，∴函数f（x）在上递增,f’(x）＜0有，∴函数f（x）在上递减，∴f（x)在处取得极小值,极小值为．（2)∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3即mx≤2x•lnx+x2+3，又x＞0,∴,令,令h’（x）=0,解得x=1或x=﹣3(舍）当x∈（0，1）时,h'（x）＜0,函数h(x）在(0，1）上递减当x∈（1，+∞）时，h’(x）＞0,函数h(x）在（1，+∞)上递增，∴h（x）min=h（1）=4．∴m≤4,即m的最大值为4．【点评】本题主要考查函数单调性和极值的求解，利用函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决不等式恒成立问题的基本方法．。

湖南省长沙市长郡中学2014届高三上学期第四次月考试卷 数学（理） Word 版含答案长郡中学高三数学备课组组稿 （考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页，时量120分钟．满分150分，一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2|05,,|4M x x x N N x x =<<∈==，下列结论成立的是 A.N M ⊆ B.M N M = C.M N N = D.{}2M N = 2．下列命题中，真命题是 A ．00,0x x R e∃∈≤B. 3,3x x R x ∀∈>C ．“0a b -=”的充分不必要条件是“1ab=” D ．“22x a b >+”是“2x ab >”的必要不充分条件 3．已知非零向量a ，b 满足a+b 与a-b 的夹角是2π，那么下列结论中一定成立的是A.a b =B.a=bC.a b ⊥D.a ∥b 4．设以13434(),(),log 43x x a b c x -===，若x>l ，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a<b<c ．B ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A. 3B. 5C. 7D. 96．双曲线的中心在坐标原点O ，A 、C 分别为双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于D ，若双曲线离心率为2，则BDF ∠的余弦值为ABCD7．如图，已知圆22:(4)(4)4M x y -+-=，四 边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E 、F分别为边AB ，AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范围是A．⎡-⎣ B ．[]8,8-C．⎡-⎣ D ．[]4,4-8．已知(0,)2x π∈，且函数212sin ()sin 2xf x x +=的最小值为b ，若函数()g x =21(),42864(0),4x x bx x πππ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩，则不等式()1g x ≤的解集为A．2π⎫⎪⎪⎭ B．2π⎫⎪⎪⎭ C．6π⎤⎥⎦ D．6π⎤⎥⎦选择题答题卡二、填空题：本大题共8个小题，考生做答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分） 9．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：22cos 0ρρθ+=，点P 的极坐标为(2,)2π，过点P 作圆C 的切线，则两条切线夹角的正切值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，且228a b c ++=，则222(1)(2)(3)a b c -+++-的最小值是_______. 11.如图，AB 是半圆O 的直径，C 在半圆上，CD ⊥AB 于 点D ，且AD=3DB ，AE= EO ，设CED θ∠=，则tan 2θ= ___________.（二）必做题（12至16题）12．在281()x x-的展开式中x 的系数是__________.（用数字作答）13.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为___________．14.设区域{}(,)|02,02,,A a c a c a c R =<<<<∈，若任 取点(,)a c A ∈，则关于x 的方程220ax x c ++=有实 根的概率为____________．15.已知函数()3xf x x e =+-的定义域为R ． (l)则函数()f x 的零点个数为___________； (2)对于给定的实数k ，已知函数()k f x = (),(),,()f x f x k k f x k≤⎧⎨>⎩,若对任意x ∈R ，恒有()()k f x f x =，则k 的最小值为__________．16.在数1和2之间插入n 个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为n A ，令2log ,n n a A n N *=∈． (1)数列{}n a 的通项公式为n a =____________；(2)2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=___________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知三角形的三内角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为cos C (1)若a=l ，b=2，求c 的值． (2)若1a =，且43A ππ≤≤，求b 的取值范围．18.（本小题满分12分）为了解某班学生关注NBA 是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：已知在全班48人中随机抽取一人，抽到关注NBA 的学生的概率为23． (l)请将上面的列表补充完整（不用写计算过程），并判断是否有95%的把握认为关注NBA 与性别有关？说明你的理由．(2)现从女生中抽取2人进行进一步调查，设其中关注NBA 的人数为X ，求X 的分布列与数学期望． 下面的临界值表仅供参考：19.（本小题满分12分）如图，△BCD 是等边三角形，AB=AD ，90BAD ∠= ，将△BCD 沿BD 折叠到△'BC D 的位置，使得'AD C B ⊥.(l)求证：'AD AC ⊥；(2)若M 、N 分别为BD ，'C B 的中点，求二面角N-AM-B 的正弦值． 20.（本小题满分13分）如图所示，有一具开口向上的截面为抛物线 型模具，上口AB 宽2m ，纵深OC 为1.5 m. (l)当浇铸零件时，钢水面EF 距AB 0．5m ， 求截面图中EF 的宽度；(2)现将此模具运往某地，考虑到运输中的各种因素，必须把它安置于一圆台型包装箱内，求使包装箱的体积最小时的圆台的上、下底面的半径.221212121(),,3V h r r r r r r π=++圆台为上、下底面的半径，h 43≈21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1x y C a b +=的一个顶点坐标为A ，且抛物线214y x =的焦点是椭圆1C 的另一个顶点． (l)求椭圆1C 的方程；(2)①若直线:l y kx m =+同时与椭圆1C 和曲线2224:3C x y +=相切，求直线l 的方程． ②若直线:l y kx m =+与椭圆1C 交于M ，N ，且直线OM 的斜率是OM k 与直线ON 的斜率ON k 满足4(0)OM ON k k k k +=≠,求证：2m 为定值．22.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足111,21()n n S S S n N *+=-+=-∈，数列{}n b 的通项公式为34()n b n n N *=-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在圆心在x轴上的圆C及互不相等的正整数n、m、k，使得三(,),(,),(,)A b a A b a A b a落在圆C上？请说明理由．n n n m m m k k k。

湖南长郡中学2021届高三第四次月数 学 试 题〔理〕〔考试范围：集合与逻辑、算法与框图、函数、三角函数、平面向量、数列、推理与证明、不等式、计数原理、概率与统计、空间几何及空间向量、4—1、4—4、4—5〕本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部。

时间120分钟。

总分值150分。

一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合{|},{|12},A x x a B x x R =<=<<表示实数集，且()U A C B R =，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．2a ≤B ．1a <C ．2a ≥D ．2a >2．函数()22()x x f x P x R -=+∈为奇函数，那么以下结论正确的选项是 〔 〕A ．1,()P f x =为R 上的减函数B ．1,()P f x =-为R 上的减函数C ．P=1，f 〔x 〕为R 上的增函数D ．P=-1，f 〔x 〕为R 上的增函数3．函数2sin()cos()((0,))36y x x x πππ=--+∈，那么y〔 〕A ．有最小值-1，无最大值B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值5-，最大值1D ．有最小值-1，最大值54．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格。

由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据己被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C 产品的数量是 〔 〕A ．900件B ．800件C ．90件D ．80件5．如图，AC 为⊙O 的直径，BD AC ⊥于P 点，PC=2， AP=8，那么BC 的长为 〔 〕 A ．5 B ．3C ．4D ．256．,,l m n 是三条不重合的直线，,,αγβ是三具不重合的平面，给出以下四个命题：①假设,//,m m αβαβ⊥⊥则；②假设直线m ，n 与平面α所成的角相等，那么m//n ；③存在异面直线m ，n ，使得m//α，m//β，n//β，那么α//β； ④假设,,,//,l m n l αββγγαγ===则m//n ；A ．1B ．2C ．3D ．47．向量(,),(1,2),(,),//,a m n b c k t a b b ===且⊥c ，|a+c |=10,那么mt 的取值〔 〕A ．(,1]-∞B ．(0,1]C ．[—1，1]D ．〔—1，1〕8．将正整数排成下表：1 2 3 4 4 56 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ……那么数表中的数2021出现在 〔 〕 A ．第44行第75列 B ．第45行第75列 C ．第44行第74列 D ．第45行第74列二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

湖南省2016届高三四校联考试题数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}322≥-=x x x P ，{}42<<=x x Q ，那么=Q P （） A ．)4,3[ B ．]3,2( C ．)2,1(- D ．]3,1(-2.以下命题中，是真命题的是（）A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．已知b a ,为实数，那么0=+b a 的充要条件是1-=ba D ．已知b a ,为实数，那么1,1>>b a 是1>ab 的充分条件3.以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数2R 的值判定模型的拟合成效，2R 越大，模拟的拟合成效越好；其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 4.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为25，那么C 的渐近线方程为（） A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 5.已知⎰=211xdx S ，⎰=212dx e S x ，⎰=2123dx x S ，那么321,,S S S 的大小关系为（） A ．321S S S << B ．231S S S << C ．123S S S << D ．132S S S <<6.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 若a AC =，b BD =，那么=AF （）A ．b a 2141+B ．b a 4121+C ．b a 3132+D ．b a 3221+7.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，取得函数x x f y cos )(⋅=的图象，那么)(x f 的表达式能够是（） A ．x x f sin 2)(-= B ．x x f sin 2)(=C ．x x f 2sin 22)(=D ．)2cos 2(sin 22)(x x x f += 8.某程序框图如下图，现将输出),(y x 值依次记为：⋅⋅⋅⋅⋅⋅),,(,),,(),,(2211n n y x y x y x 假设程序运行中输出的一个数组是)10,(-x ，那么数组中的=x （）A ．32B ．24C ．18D ．169.在直角坐标系中，P 点的坐标为)54,53(，Q 是第三象限内一点，1=OQ 且43π=∠POQ ，那么Q 点的横坐标为（）A ．1027-B ．523-C ．1227-D ．1328- 10.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为（）A ．6311B ．3C ．335D ．334 11.现概念θθθsin cos i ei +=，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，R ∈θ，且实数指数幂的运算性质对θi e 都适用，假设θθθθθ4452325505sin cos sin cos cos C C C a +-=，θθθθθ4553235415sin sin cos sin cos C C C b +-=，那么复数bi a +等于（）A ．θθ5sin 5cos i +B ．θθ5sin 5cos i -C ．θθ5cos 5sin i +D ．θθ5cos 5sin i -12.已知函数x x x x f ln )(+=，假设Z k ∈，且)()2(x f x k <-对任意的2>x 恒成立，那么k 的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13.假设抛物线)0(22>=p px y 的准线通过双曲线122=-y x 的一个核心，那么=p _____.14.已知实数x 、y 知足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤0220332y x y x y ，那么目标函数y x z +=3的最大值为______.15.假设函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是______.16.已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2=AB ，4=BC ，5=CD ，3=DA ，那么平面四边形ABCD 面积的最大值为______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17.（本小题总分值12分）已知数列{}n a 与{}n b 知足))((211*++∈-=-N n b b a a n n n n .（1）若11=a ，53+=n b n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若61=a ，)(2*∈=N n b n n 且λλ22++>n a n n 对一切*∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围.18.（本小题总分值12分）如图，四棱锥ABCD P -中， 90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆与PAD ∆都是等边三角形.（1）证明：CD PB ⊥；（2）求二面角B PD A --的余弦值.19.（本小题总分值12分）“依照《中华人民共和国道路交通平安法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在mL mg 100/80~20（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在mL mg 100/80（含80）以上时，属醉酒驾车.”2015年“7夕”晚8时开始，长沙市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，通过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名.以下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率散布直方图.（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率散布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，...,第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度别离为x 、)100/(mL mg y ，那么事件10≤-y x 的概率是多少？20.（本小题总分值12分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知1F 、2F 别离是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右核心，B A ,别离是椭圆E 的左、右极点，)0,1(D 为线段2OF 的中点，且522=+BF AF .（1）求椭圆E 的方程；（2）若M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并别离延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ .设直线MN 、PQ 的斜率存在且别离为1k 、2k .试问是不是存在常数λ，使得021=+k k λ恒成立？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由.21.（本小题总分值12分）已知函数e e bx ax x f x ()12()(2-++=为自然对数的底数).（1）若21=a ，求函数)(x f 的单调区间； （2）若1)1(=f ，且方程1)(=x f 在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围.请考生在2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.22.（本小题总分值10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于C E ,两点，PD 切圆于G D ,为CE 上一点且PD PG =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若BD AC =，求证：ED AB =.23.（本小题总分值10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为t t y t x (213231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若),(y x P 是直线l 与圆面)6sin(4πθρ-≤的公共点，求y x +3的取值范围.24.（本小题总分值10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数a a x x f +-=2)(.（1）假设不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，假设存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围.湖南省2016届高三四校联考试题数学（理科）参考答案一、选择题ADBCB CAAAB AB6.C 【解析】∵=，=，∴21212121+=+=+=，因为E 是OD 的中点，∴31=EB DE ，因此AB DF 31=， ∴b a BD AC AC BD OA OB AB DF 61616161))21(21(31)(3131-=-=---⨯=-==， b a b a b a DF AD AF 3132********+=-++=+=.应选C . 7.A 【解析】将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，取得函数x x x y 2sin )22cos()]4(2cos[-=+=+=ππ的图象，因为x x x cos sin 22sin -=-，因此x x f sin 2)(-=.8.A 【解析】运行第一次，输出)0,1(，3=n ，2=x ，2-=y ；运行第二次，输出)2,2(-，5=n ，4=x ，4-=y ；运行第三次，输出)4,4(-，7=n ，8=x ，6-=y ；运行第四次，输出)6,8(-，9=n ，16=x ，8-=y ；运行第五次，输出)8,16(-，11=n ，32=x ，10-=y ；运行第六次，输出)10,32(-，13=n ，64=x ，12-=y .因此选A .9.A 【解析】设α=∠xOP ，那么53cos =α，54sin =α，10272254)22(53)43cos(-=⋅--⋅=+=παQ x 10.B 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如下图，设E 为AD 的中点，那么AD BE ⊥.⊥PE 平面ABCD ，PAD ∆为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，高2；棱锥的高为3，∴体积33]2)21(21[31=⨯⨯+⨯⨯=V ，应选B.【解析】（θθθsin cos i e i +=其实为欧拉公式）)sin (sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos cos 55544532352325415505θθθθθθθθθθi C C i C C i C C bi a ++--+=+)sin ()sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos cos 555544453323522325415505θθθθθθθθθθi C i C i C i C i C C +++++=θθθθθθ5sin 5cos )()sin (cos 555i e e i i i +===+=⨯.【解析】先画x x x x f ln )(+=的简图，设)2(-=x k y 与x x x x f ln )(+=相切于)2))((,(>m m f m M 因此2)()(-='mm f m f ，即2ln ln 2-+=+m m m m m ，可化为0ln 24=--m m ， 设m m m g ln 24)(--=，因为08)(22<-=e e g ，010)(33>-=e e g ，因此32e m e <<，)5,4(ln 2)(∈+='m m f 又Z k ∈，因此4max =k ，选B.二、填空题13.22 【解析】抛物线)0(22>=p px y 的准线方程是2p x -=，双曲线122=-y x 的一个核心)0,2(1-F ，因为抛物线)0(22>=p px y 的准线通过双曲线122=-y x 的一个核心，因此22-=-p ，解得22=p ，因此答案应填：22.14.7 【解析】作出可行域如下图：作直线03:0=+y x l ，再作一组平行于0l 的直线z y x l =+3:，当直线l 通过点M 时，y x z +=3取得最大值，由⎩⎨⎧==--2033y y x 得：⎪⎩⎪⎨⎧==235y x ，因此点M 的坐标为)2,35(，因此72353max =+⨯=z . 15.]0,4[- 【解析】∵2)(2-+=x a x x f ，∴⎩⎨⎧<+-≥-+=2,22,2)(22x a ax x x a ax x x f ，又∵)(x f 在),0(+∞上单调递增，∴040222≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-a a a ，即实数a 的取值范围是]0,4[-.D D x cos 3034cos 53253222-=⨯⨯-+=，即7cos 8cos 15=-B D ①，又平面四边形ABCD 面积为)sin 15sin 8(21sin 5321sin 4221D B D B S +=⨯⨯+⨯⨯=， 即S D B 2sin 15sin 8=+②.①②平方相加得 2404)cos(240449)cos cos sin (sin 2402256422-=+-+=-++S D B S D B D B ，当π=+D B 时，S 取最大值302.16.【解析】（1）因为)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ，因此6)5383(2)(211=--+=-=-++n n b b a a n n n n ， .............4分因此{}n a 是等差数列，首项为11=a ，公差为6，即56-=n a n . ..........6分（2）因为n n b 2=，因此1112)22(2+++=-=-n n n n n a a ，当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=--+226222121+=++⋅⋅⋅++=+-n n n ， ...........8分当1=n 时，61=a ，符合上式，因此221+=+n n a ， ...........9分由λλ22++>n a n n 得1122122+++=+>n n n n n λ， .................10分 021221111≤-=-++++n n n n n n ， 因此当2,1=n 时，122++n n n 取最大值43， 故λ的取值范围为),43(+∞. ...............12分18.【解析】（1）取BC 的中点E ，连接DE ，那么ADEB 为正方形，过P 作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ，连接OD OE OB OA ,,,， ................................2分由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形可知PD PB PA ==，因此OD OB OA ==，即点O 为正方形ADEB 对角线的交点. .....................4分故BD OE ⊥，从而⊥OE 平面PBD ，因此PB OE ⊥，因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，因此CD OE ∥，因此CD PB ⊥. ...................6分（2）由（1）可知，OP OB OE ,,两两垂直.以O 为原点，OE 方向为x 轴正方向，OB 方向为y 轴正方向，OP 方向为z 轴正方向，成立如下图的直角坐标系xyz O -， ....................7分 设2=AB ，那么)0,0,2(-A ，)0,2,0(-D ，)2,0,0(P ，)0,2,2(-=，)2,0,2(=， .......................8分设平面PAD 的法向量),,(z y x =，022=-=⋅y x ，022=+=⋅z x ，取1=x ，得1,1-==z y ，即)1,1,1(-=n ， ....................10分因为⊥OE 平面PBD ，设平面PBD 的法向量为，取)0,0,1(=m ，由图象可知二面角B PD A --的大小为锐角， ...................11分因此二面角B PD A --的余弦值为3331cos ===θ. .............12分 19.【解析】（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在mL mg 100/80（含80）以上者，共有36005.0=⨯人， .........................3分（2）由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值)100/(4705.0851.0751.06515.0552.04515.03525.025mL mg =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ...7分（3）第五组和第七组的人别离有：61.060=⨯人，305.060=⨯人. ........9分10≤-y x 即选的两人只能在同一组中.2136315)10(292326=+=+=<-C C C y x P . .................12分20.【解析】（1）∵522=+BF AF ，∴F AF 225=.∵)(5c a c a -=+，化简得c a 32=，点)0,1(D 为线段2OF 的中点，∴2=c ，从而5,3==b a ，左核心)0,2(1-F ，故椭圆E 的方程为15922=+y x . ............5分 （2）存在知足条件的常数λ，74-=λ， 设),,(),,(),,(),,(44332211y x Q y x P y x N y x M那么直线MD 的方程为1111+-=y y x x ，代入椭圆方程1592=+x ，整理得， 0415112211=--+-y y x y y x . .............7分 ∵5)1(11131--=+x x y y y .∴54113-=x y y ， 从而595113--=x x x ，故点)54,595(1111---x y x x P ， ........8分 同理，点)54,595(2222---x y x x Q . ................9分∵三点N F M ,,1共线，∴222211+=+x y x y ， 从而)(2211221y y y x y x -=-. ...............10分 从而47)(4)(7)(4)(5595595545412121212112211211221143432k x x y y x x y y y x y x x x x x x y x y x x y y k =--=--+-=--------=--=. .....11分 故07421=-k k ，从而存在知足条件的常数λ，74-=λ. .............12分 21.【解析】（1）当21=a ，x e bx x x f -++=)1()(2，x e b x b x x f --+-+-=']1)2([)(2， .....1分 令0)(='x f ，得11=x ，b x -=12.当0=b 时，0)(≤'x f . ...........2分当0>b ，11<<-x b 时，0)(>'x f ，b x -<1或1>x 时，0)(<'x f ； ......3分当0<b ，b x -<<11时，0)(>'x f ，b x ->1或1<x 时，0)(<'x f .因此，0=b 时，)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞；0>b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(b --∞，),1(+∞；0<b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(-∞，),1(+∞-b . .....4分（2）由1)1(=f 得e b a =++12，a e b 21--=，由1)1(=f 得122++=bx ax e x ，设12)(2---=bx ax e x g x ， 则)(x g 在)1,0(内有零点.设0x 为)(x g 在)1,0(内的一个零点，那么由0)1(,0)0(==g g 知)(x g 在区间),0(0x 和)1,(0x 上不可能单调递增，也不可能单调递减，设)()(x g x h '=，那么)(x h 在区间),0(0x 和)1,(0x 上均存在零点，即)(x h 在)1,0(上至少有两个零点. ...........5分b ax e x g x --='4)(，a e x h x 4)(-='. 当41≤a 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递增，)(x h 不可能有两个及以上零点； ......6分 当4e a ≥时，0)(<'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递减，)(x h 不可能有两个及以上零点； ......7分 当441e a <<时，令0)(='x h 得)1,0()4ln(∈=a x ，因此)(x h 在区间))4ln(,0(a 上递减，在)1),4(ln(a 上递增，)(x h 在区间)1,0(上存在最小值))4(ln(a h . ............8分若)(x h 有两个零点，那么有：0))4(ln(<a h ，0)0(>h ，0)1(>h . ........9分)441(1)4ln(46)4ln(44))4(ln(e a e a a a b a a a a h <<-+-=--= 设)1(,1ln 23)(e x e x x x x <<-+-=ϕ，那么x x ln 21)(-='ϕ，令0)(='x ϕ，得e x =. 当e x <<1时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增，当e x e <<时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ递减，01)()(max <-+==e e e x ϕϕ，因此0))4(ln(<a h 恒成立. ..........10分由0221)0(>+-=-=e a b h ，04)1(>--=b a e h ，得2122<<-a e . 当2122<<-a e 时，设)(x h 的两个零点为21,x x ，那么)(x g 在),0(1x 递增，在),(21x x 递减，在)1,(2x 递增，因此0)0()(1=>g x g ，0)1()(2=<g x g ，那么)(x g 在),(21x x 内有零点.综上，实数a 的取值范围是)21,22(-e . ........12分 22.证明：（1）∵PD PG =，∴PGD DG P ∠=∠，∵PD 为切线，∴DBA DA P ∠=∠. ....2苦恼 ∵GA E PGD ∠=∠，∴EGA DBA ∠=∠，∴BAD EGA BAD DBA ∠+∠=∠+∠，∴PFA BDA ∠=∠， .............4分∵EP AF ⊥，∴ 90=∠PFA ，∴ 90=∠BDA ，∴AB 为圆的直径. .......5分（2）连接DC BC ,，∵AB 为圆的直径，∴ 90=∠=∠ACB BDA ， ................6分在BDA RT ∆与ACB RT ∆中，BA AB =，BD AC =，∴ACB RT BDA RT ∆≅∆，∴CBA DAB ∠=∠， .................7分∵DAB DCB ∠=∠，∴CBA DCB ∠=∠， ..........8分∴AB DC ∥，∵EP AB ⊥，∴EP DC ⊥，∴DCE ∠为直角，∴ED 为圆的直径， .......9分∵AB 为圆的直径，∴ED AB =. ..........10分23.【解析】（1）因为圆C 的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=，因此)cos 21sin 23(4)6sin(42θθρπθρρ-=-=， ...............2分 又222y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ， 因此x y y x 23222-=+，因此圆C 的一般方程为032222=-++y x y x . .................5分（2）解法1：设y x z +=3，故圆C 的方程4)3()1(03222222=-++⇒=-++y x y x y x ，因此圆C 的圆心是)3,1(-，半径是2， 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 213231代入y x z +=3得t z -=， 又直线l 过)3,1(-C ，圆C 的半径是2，因此22≤≤-t ，因此22≤-≤-t ，即y x +3的取值范围是]2,2[-. ...........10分 解法2：直线l 的参数方程化成一般方程为：23=+y x ， .......6分 由⎩⎨⎧=-++=+4)3()1(2322y x y x 解得)13,31(1+--P ，)13,31(2-+-P ， ..............8分 ∵),(y x P 是直线l 与圆面)6sin(4πθρ-≤的公共点，∴点P 在线段21P P 上，∴y x +3的最大值是2)13()31(3=-++-， 最小值是2)13()31(3-=++--， ∴y x +3的取值范围是]2,2[-. .........10分24.【解析】（1）由62≤+-a a x 得a a x -≤-62，∴a a x a -≤-≤-626， 即33≤≤-x a ，∴23-=-a ，∴1=a . ....................5分（2）由（1）知112)(+-=x x f ，令)()()(n f n f n -+=ϕ， 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤--≤-=+++-=21,422121,421,4221212)(n n n n n n n n ϕ， .................8分 ∴)(n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是),4[+∞. ..............10分。