有理数的乘方9-
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北师大版数学七年级上册2.9《有理数的乘方》说课稿1一. 教材分析《有理数的乘方》是北师大版数学七年级上册第2.9节的内容,本节课是在学生已经掌握了有理数的乘法、加法、减法、除法的基础上进行学习的,是对有理数运算的进一步拓展。
有理数的乘方是指一个有理数自乘若干次,例如(a2)表示(a)乘以(a),(a3)表示(a)乘以(a)再乘以(a)。
有理数的乘方在实际生活中有着广泛的应用,如计算利息、折现等。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础,对于有理数的四则运算有一定的了解。
但是,学生可能对于有理数乘方的概念和意义理解不够深入,对于乘方的计算法则和应用可能还不够熟练。
因此,在教学过程中,需要引导学生从实际问题中抽象出有理数乘方的概念,并通过大量的练习来熟练计算法则。
三. 说教学目标1.理解有理数乘方的概念和意义,掌握有理数乘方的计算法则。
2.能够运用有理数乘方解决实际问题,提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力,提高学生对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点:有理数乘方的概念、计算法则和应用。
2.教学难点:有理数乘方的计算法则的推导和理解,有理数乘方在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法,引导学生从实际问题中抽象出有理数乘方的概念。
2.使用多媒体课件和板书相结合的方式,直观地展示有理数乘方的过程和规律。
3.通过大量的练习和小组讨论,让学生熟练掌握有理数乘方的计算法则。
4.采用激励评价和过程性评价相结合的方式,鼓励学生积极参与课堂活动,提高学生的学习积极性。
六. 说教学过程1.导入:通过一个实际问题,如计算利息,引入有理数乘方的概念。
2.新课导入:讲解有理数乘方的定义和计算法则,引导学生通过观察和思考,发现乘方的规律。
3.案例分析:通过几个具体的例子,让学生理解和掌握有理数乘方的计算法则。
4.练习环节:布置一些练习题,让学生独立完成,巩固所学内容。
专题1.20 有理数的乘方(知识讲解)【学习目标】1.理解有理数乘方的定义;2.掌握有理数乘方运算的符号法则,并能熟练进行乘方运算;3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义:求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power).即有:.在中,叫做底数, n 叫做指数.特别说明:(1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果. (2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来.(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如,5就是51,指数1通常省略不写. 2. 性质:要点二、乘方运算的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)任何一个数的偶次幂都是非负数,即 .特别说明:(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值.(2)任何数的偶次幂都是非负数. 要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 特别说明:(1)有理数运算分三级,并且从高级到低级进行运算,加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算,乘方和开方(以后学习)是第三级运算;(2)在含有多重括号的混合运算中,有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.(3)在运算过程中注意运算律的运用. 【典型例题】类型一、有理数的幂的概念的理解1.填表: 乘方65(-5)43(12)- -27na a a a n ⋅⋅⋅=个na a【分析】根据有理数乘方的定义解答即可.解:填表如下:【点拨】本题考查了有理数乘方的定义,属于应知应会题型,熟知概念是关键.举一反三:【变式1】把下列各式用幂的形式表示,并说出底数和指数:(1)(﹣3)×(﹣3)×(﹣3);(2)2222 ()()()() 5555+⨯+⨯+⨯+.【答案】(1)(﹣3)3,底数为﹣3,指数为3;(2)(+25)4,底数为+25,指数为4.【分析】(1)(2)都是相同的几个数字相乘,根据乘方的定义即可解答.解:(1)(﹣3)×(﹣3)×(﹣3)=(﹣3)3,底数为﹣3,指数为3;(2)22225555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=25⎛⎫+⎪⎝⎭4, 底数为+25,指数为4.【点拨】求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂,记作a n,其中a叫做底数,n叫做指数.【变式2】小明学习了“第八章幂的运算”后做这样一道题:若(2x﹣3)x+3=1,求x的值,他解出来的结果为x=2,老师说小明考虑问题不全面,聪明的你能帮助小明解决这个问题吗?小明解答过程如下:解:因为1的任何次幂为1,所以2x﹣3=1,x=2.且2+3=5故(2x﹣3)x+3=(2×2﹣3)2+3=15=1,所以x=2你的解答是:【答案】x=2或3或1.【解析】试题分析:分别从底数等于1,底数等于- 1且指数为偶数,指数等于0且底数不等于0去分析求解即可求得答案.解:①①1的任何次幂为1,所以2x- 3=1,x=2.且2+3=5,①(2x - 3)x+3=(2×2 - 3)2+3=15=1,①x=2;①① - 1的任何偶次幂也都是1,①2x - 3= - 1,且x+3为偶数,①x=1,当x=1时,x+3=4是偶数,①x=1;①①任何不是0的数的0次幂也是1,①x+3=0,2x - 3≠0,解得:x= - 3,综上:x=2或3或1.【点拨】此题考查了零指数幂的性质与有理数的乘方.此题难度适中,注意掌握分类讨论思想的应用.类型二、有理数乘方的运算2.计算:(﹣48)÷(﹣2)3﹣(﹣25)×(﹣4)+(﹣2)2.【答案】- 90.【分析】根据有理数混合运算的运算顺序, 先算乘方再算乘除最后算加减, 计算即可.. 原式=﹣48÷(﹣8)﹣100+4=6﹣100+4=﹣90.【点拨】本题考查的是有理数的混合运算能力. 注意要正确掌握运算顺序.举一反三:【变式1】计算:﹣32+[9﹣(﹣6)×2]÷(﹣3)【答案】- 16.【分析】原式先计算乘方运算,再计算括号内及乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.解:原式=﹣9+(9+12)÷(﹣3)=﹣9+21÷(﹣3) =﹣9+(﹣7) =﹣16.【点拨】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 【变式2】 小明做了这样一道题,他的方法如下:1110101010111111133313333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.请你用他的方法解下面题目.设201420151(2013)2013M ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭,1010111(5)(6)200830N ⎛⎫=-⨯-⨯-- ⎪⎝⎭,求2019()M N +的值. 【答案】 - 1【分析】先根据小明的方法求出M ,N 的值,然后代入代数式去接即可;解:①20142014201511(2013)20132013201320132013M ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1010111(5)(6)200830N ⎛⎫=-⨯-⨯--=⎪⎝⎭101(5)(6)(6)200830⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 620082014--=-.①20192019()(20132014)1M N +=-=-.【点拨】本题主要考查了有理数的乘方,准确计算是解题的关键. 类型三、有理数乘方的逆运算3、若6x =,24y =,且x <y ,求:x y -的值.【答案】 - 8或 - 4.【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x 、y ,再判断出x 、y 的对应情况,然后相减计算即可得解.解:①|x |=6,y 2=4,①x=±6,y=±2, ①x<y , ①x=−6,y=±2,当y=2时,x - y= - 6 - 2= - 8, 当y=−2时,x−y= - 6 - ( - 2)= - 4, 故x y -的值.为 - 8或者 - 4.【点拨】本题考查有理数的减法,绝对值方程,有理数的乘方.能求出x 和y 的值并根据不等关系分情况讨论是解决本题的关键. 举一反三:【变式1】若点M 、点N 在数轴表示的数分别是x 、y ,223x +=,225y =(0)y <,求点M 、点N 两点之间的距离. 【答案】123或233【分析】根据绝对值的意义和乘方运算得到x 和y 值,再根据两点之间的距离得到结果. 解:①223x +=,225y =(0)y <, ①x+2=23,y= - 5, ①x= - 223=223-或113-,①点M 、点N 两点之间的距离为:223- - ( - 5)=123或113- - ( - 5)=233. 【点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离,绝对值的意义和乘方运算,解题的关键是注意分类讨论.【变式2】()()2016920171122⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.【答案】2.【分析】先计算有理数的乘方和乘方逆运算,再计算有理数的乘法即可得.解:原式201620161(1)(2)(2)2⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,()20161222⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,201621=⨯,21=⨯, 2=.【点拨】本题考查了有理数的乘方和乘方逆运算、有理数的乘法,熟练掌握运算法则是解题关键.类型四、有理数乘方运算的符号规律4、计算:(1)()110.51 3.75542⎛⎫---+⎛⎫ ⎪⎝⎭-+ ⎪⎝⎭ (2)()()()20220358624361⎛⎫- ⎪-⨯+----⎝⎭÷【答案】(1)1-;(2)6- 【分析】(1)先把减法转化为加法,再把同号的两个数相加,即可得到答案;(2)先计算绝对值,乘方运算,再利用乘法的分配律计算乘法运算,除法运算,最后计算加减运算即可得到答案.解:(1)原式0.5 1.25 3.75 5.5=-++-()()0.5 5.5 1.25 3.75=--++.65=-+1=-.(2)原式()353684146⎛⎫=⨯-+-÷-⎪⎝⎭ 273021=---6=-【点拨】本题考查的是求一个数的绝对值,乘方符号的确定,含乘方的有理数的混合运算,掌握运算顺序与运算法则是解题的关键. 举一反三:【变式1】如果|m ﹣5|+(n +6)2=0,求(m +n )2020+m 3的值. 【答案】126【分析】根据绝对值和平方非负的性质求出m ,n 的值,代入所求的代数式计算即可. 解:①m ,n 满足|m ﹣5|+(n +6)2=0,①m ﹣5=0,n +6=0, 即:m =5,n =﹣6,①(m +n )2020+m3=(5﹣6)2020+53=1+125=126.【点拨】本题考查的非负数的性质,掌握绝对值和平方非负的性质,理解当这几个非负式子相加为0时,这个式子都为0是解题的关键.【变式2】 记a 1=﹣2,a 2=(﹣2)×(﹣2),a 3=(﹣2)×(﹣2)×(﹣2),……a n =n 个 - 2相乘.(1)填空:a4= ,a23是一个 (填“正”或“负”); (2)计算:a5+a6;(3)请直接写出2020an+1010an+1的值. 【答案】(1)16,负;(2)32;(3)0. 【分析】(1)探究规律,利用规律即可解决问题; (2)利用规律计算即可;(3)对原式进行变形,得出与规律有关的式子,即可得出结果. 解:(1)根据规律可知:a 4=(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)=16,a 23是23个﹣2相乘,是负数; (2)由规律可总结出:()2nn a =-,()()565622326432a a ∴+=-+-=-+=;(3)120201010n n a a ++=()110102n n a a ++ =()()12221010nn +⨯-+-⎡⎤⎣⎦=()()()22211020n n⨯-+-⨯-⎡⎤⎣⎦=10100⨯ =0【点拨】本题考查规律型:数字问题,解题的关键是学会探究规律,利用规律解决问题.类型五、有理数乘方的应用5、(1)若|2x +6|+(y ﹣2)2=0,求y 2﹣x 的值.(2)|a |=8,|b |=3,且|a ﹣b |=b ﹣a ,求a +b 的值.【答案】(1)7;(2)﹣11【分析】(1)利用非负数的性质求出x 与y 的值,代入原式计算即可求出值;(2)利用绝对值的代数意义求出a 与b 的值,代入原式计算即可求出值. 解:(1)∵|2x+6|+(y ﹣2)2=0,∴2x+6=0且y ﹣2=0, 解得:x =﹣3,y =2, 则原式=4+3=7;(2)∵|a|=8,|b|=3,且|a ﹣b|=b ﹣a , ∴a =±8,b =±3,a ﹣b <0,即a <b ,当a =﹣8,b =3时,a+b =﹣5;当a =﹣8,b =﹣3时,a+b =﹣11.【点拨】本题考查了非负数的性质,①非负数有最小值是零;②有限个非负数之和仍然是非负数;③有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零.初中范围内的非负数有:绝对值,算术平方根和偶次方.也考查了绝对值的意义. 举一反三:【变式1】已知327x =,216y =,求2x y +. 【答案】11【解析】根据乘方的意义求出x ,y 的值,代入2x y +计算即可. 解:①327x =,216y =,①3x =,4y =①232411x y +=+⨯=.【点拨】本题考查了乘方的意义及求代数式的值,根据乘方的意义求出x ,y 的值是解答本题的关键.【变式2】已知51381x -=,求()345x -的值. 【答案】 - 1【解析】把原式变形为51433x -=,列出关于x 的方程求解即可.解:①5143813x -==,① 514x -=, 解得1x =,把1x =代入()345x -,得 原式=(4 - 5)31=-.【点拨】本题考查了乘方的意义及求代数式的值,根据乘方的意义求出x 是解答本题的关键. 类型六、有理数加减乘除混合运算6、计算:(1)-4+2×|-3|-(-5); (2)-3×(-4)+(-2)3÷(-2)2-(-1)2 018. 【答案】(1)7;(2)9 【分析】(1)注意运算顺序,先算乘除再算加减,减去一个数等于加上这个数的相反数,减法变为加法;(2)注意运算顺序,先算乘方再算乘除最后算加减.注意()201811-=,1-的偶次方为1,奇次方为1-.解:(1) 原式=-4+2×3+5=-4+6+5 =7;(2) 原式=12+(-8)÷4-1=12-2-1 =9.【点拨】本题考查了有理数的混合运算,注意:要正确掌握运算顺序,即乘方运算叫做三级运算;乘法和除法叫做二级运算;加法和减法叫做一级运算.在混合运算中要特别注意运算顺序:先三级,后二级,再一级;有括号的先算括号里面的;同级运算按从左到右的顺序. 举一反三: 【变式1】计算:(1)3.47( 2.7)( 3.47)( 2.3)+-+-+- (2)(32)17(65)5----+(3)111(12)234⎛⎫+-⨯-⎪⎝⎭(4)4211[2(3)]6--⨯--【答案】(1) - 5;(2)21;(3) - 7;(4)16【分析】(1)根据有理数的加法运算法则计算;(2)根据有理数的加减混合运算法则计算; (3)利用乘法分配率计算即可;(4)先算乘方,再算括号内的,再算乘法,最后算加法. 解:解:(1)3.47( 2.7)( 3.47)( 2.3)+-+-+-=3.47 - 2.7 - 3.47 - 2.3 = - 5;(2)(32)17(65)5----+= - 32 - 17+65+5 =21; (3)111(12)234⎛⎫+-⨯-⎪⎝⎭ =()()()111121212234⨯-+⨯--⨯- =643--+ = - 7; (4)4211[2(3)]6--⨯-- =()11296--⨯-=716-+=16【点拨】本题考查了有理数的混合运算,解题的关键是掌握运算法则和运算律. 【变式2】计算:(1)251(24)386⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭; (2)43116(2)|31|-+÷-⨯--; 【答案】(1)5;(2) - 9.【分析】(1)根据乘法分配律简便计算;(2)先算乘方,再算乘除,最后算加法;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有绝对值,要先做绝对值内的运算.解:(1)(–23+58–16)×(–24)=–23×(–24)+58×(–24)–16×(–24)=16–15+4=5;(2)–14+16÷(–2)3×|–3–1|=–1+16÷(–8)×4=–1–8=–9.【点拨】考查了有理数的混合运算,有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.进行有理数的混合运算时,注意各个运算律的运用,使运算过程得到简化.类型七、有理数加减乘除混合运算的实际运用7、-22-(-3)3×(-1)4-(-1)5【答案】24【分析】在进行有理数的混合运算时,一是要注意运算顺序,先算高一级的运算,再算低一级的运算,即先乘方,后乘除,再加减.同级运算按从左到右的顺序进行.有括号先算括号内的运算.解:原式= - 4 - ( - 27)×1+1= - 4+27+1=24【点拨】本题考查了有理数的混合运算,有理数混合运算的顺序(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左至右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.举一反三:【变式1】计算:(1)3557212212⎛⎫--+- ⎪⎝⎭(2)111(370)0.2524.55424⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)17111236329126⎡⎤⎛⎫--+⨯÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】(1)2-;(2)100;(3)12【分析】(1)根据有理数的加减混合运算进行求解即可; (2)根据有理数的混合运算直接进行求解即可;(3)先算括号里的,然后再由有理数的混合运算进行求解即可.解:(1)原式=3557+=112221212⎛⎫----=- ⎪⎝⎭; (2)原式=()11370+24.5+5.5=400=10044⨯⨯; (3)原式=171111112363636322833629126232⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯÷=-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点拨】本题主要考查有理数的混合运算,熟练掌握有理数运算法则是解题的关键. 【变式2】有个写运算符号的游戏:在“3□(2□3)□43□2” 中的每个□内,填入+, - ,×,÷中的某一个(可重复使用),然后计算结果. (1)请计算琪琪填入符号后得到的算式:()2432323⨯÷-÷; (2)嘉嘉填入符号后得到的算式是()43233÷⨯⨯□22,一不小心擦掉了□里的运算符号,但她知道结果是103-,请推算□内的符号. 【答案】(1)53;(2)□里应是“-”号. 【分析】(1)根据有理数的混合运算法则计算可以解答本题; (2)根据题目中式子的结果,可以得到□内的符号; 解:(1) ()2432323⨯÷-÷=2413334⨯-⨯ =123-=53; (2) ()43233÷⨯⨯=4363÷⨯=1423⨯ =23, 因为23□22=103-,即23□4=103-所以23-123=103- 所以“□”里应是“-”号.【点拨】本题考查了有理数的混合运算,解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法. 类型八、程序流程图与有理数运算8、根据下边的流程图回答下列问题:(1)输入54后,得到的输出结果是____________.(2)如果输出的结果34,请推测输入的数可能是那些?并写出结果. 【答案】(1)14(2)512或2512【分析】(1)根据流程图直接进行列式求解即可; (2)根据题意分两种情况:一是大于23输出的结果,二是小于或等于23输出的结果,然后分别求解即可.解:(1)由流程图可得:533=454⨯, 3243>, ∴311424-=; 故答案为14;(2)①当输出的结果是由大于23计算而得的,则有: 31325+=42512⎛⎫÷ ⎪⎝⎭; ①当输出的结果是由小于或等于23计算而得的,则有: 3135=42512⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭; 答:输入的数可能是512或2512. 【点拨】本题主要考查分数的混合运算,熟练掌握分数的混合运算是解题的关键. 举一反三:【变式1】李海在自学了简单的电脑编程后,设计了如图所示的程序,他若输入的数是2,那么执行了程序后,输出的数是多少?若开始输的是-4呢?【答案】若输入的数是2,则输出的数是-558;若输入的数是-4,则输出的数是-108.【分析】根据题意,把2输入,得(2 - 8)×9= - 54,其绝对值小于100,所以再把- 54从头输入,计算输出的数.根据题意,把- 4输入,得(- 4 - 8)×9= - 108,其绝对值大于100,所以- 108就是输出的数.解:把2输入,得(2 - 8)×9= - 54,①| - 54|<100,①再把- 54从头输入,得(- 54 - 8)×9= - 558,①| - 558|>100,①输出- 558.若输入的数是-4,得到(- 4 - 8)×9= - 12×9= - 108,因为| - 108|>100,①输出- 108.答:若输入的数是2,则输出的数是-558;若输入的数是-4,则输出的数是-108.【点拨】本题考查程序框图、有理数的混合运算和绝对值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【变式2】如图,按程序框图中的顺序计算,当运算结果小于或等于100时,则将此时的值返回第一步重新运箅,直至运算结果大于100才输出最后的结果.若输入的初始值为1,则最后输出的结果是多少?【答案】256【分析】把1代入依次计算,当结果大于100时输出.解:1×12÷(-14)= - 2<100;- 2×12÷(-14)=4<100;4×12÷(-14)= - 8<100;- 8×12÷(-14)=16<100;16×12÷(-14)= - 32<100;- 32×12÷(-14)=64<100;64×12÷(-14)= - 128<100;- 128×12÷(-14)=256>100;故输出为256.【点拨】本题考查循环结构,通过运算规则求解最后运算结果,是算法中一种常见的题型.类型九、“24”点运算9、暖羊羊有5张写着不同数字的卡片,请你按要求选择卡片,完成下列各问题:(1)从中选择两张卡片,使这两张卡片上数字的乘积最大.这两张卡片上的数字分别是,积为_.(2)从中选择两张卡片,使这两张卡片上数字相除的商最小.这两张卡片上的数字分别是,商为.(3)从中选择4张卡片,每张卡片上的数字只能用一次,选择加、减、乘、除中的适当方法(可加括号),使其运算结果为24,写出运算式子.(写出一种即可)【答案】(1)-5和-3,15 ;(2) -5和+3,53-;(3)3[5(3)]0-⨯--++(答案不唯一)【分析】(1)要想乘积最大,必须积为正数才有最大值,也就是必须选择同号的两个数相乘,然后取积最大的两个卡片即可.(2)要想商最小,必须商为负数才最小值,也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值,然后选择商最小的两个卡片即可.(3)把24分解因数,可得到2×12=24,3×8=24,4×6=24,然后找到合适的卡片能够通过运算得到24的因数即可.解:(1)要想乘积最大,必须积为正数才有最大值,选择同号的两个数相乘则有(+3)×(+4)=12,(- 5)×(- 3)=15积最大为15,所以选择卡片- 5和卡片- 3(2) 要想商最小,必须商为负数才最小值,选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值.则有( - 5)÷3=53-,( - 5)÷4=54-,4÷(- 3)=43-商最小为53-,所选择卡片- 5和卡片+3(3) 把24分解因数,可得到2×12=24,3×8=24,4×6=24等形式.当2×12=24时,2=(- 3)-(- 5),12=3×4则[( - 3) - ( - 5)]×3×4=12故选择卡片数字为:- 3,- 5,+3,+4当3×8=24时,可得- 3×(- 8)=24,则- 8=(- 5)- 3则- 3×[( - 5) - 3]=24.同理可继续推导.故答案为(1)-5和-3,15 ;(2) -5和+353-;(3)3[5(3)]0-⨯--++(答案不唯一)【点拨】本题综合性的考察了有理数的计算,因为正数大于负数,所以在本题中务必理解两个数乘积最大值只有在正数里面选择,两数商最小值,只有在负数里面选择.举一反三:【变式1】做游戏:24点游戏是利用扑克牌中的52张(去掉大王、小王),任意抽取4张,利用混合运算,可以是加、减、乘、除法,也可以是乘方(底数、指数均是这4个数之中的),只要结果得到24即可.(每个数都要用且只能用一次)【答案】[5÷(- 5)+9]×3=24.(答案不唯一)【分析】假设抽取的4张扑克:黑桃3,梅花5,红桃5,黑桃9;首先用5除以- 5,构造出- 1;然后用- 1加上9,构造出8,再用8乘3,即可使其结果等于24.解:解:抽取的4张扑克:黑桃3,梅花5,红桃5,黑桃9.[5÷(- 5)+9]×3=24.故答案为:[5÷(- 5)+9]×3=24.(答案不唯一)【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.【变式2】如图,现有5张写着不同数的卡片,请按要求完成下列问题:(1)从中任选2张卡片,使这2张卡片上的数的乘积最大,则该乘积的最大值是多少? (2)从中任选4张卡片,用卡片上的数和加、减、乘、除四则运算(可用括号,每个数都要用且只能用一次)列出两个不同的算式(每个算式可选用不同的卡片),使其计算结果为24.【答案】(1)18;(2)()()536324⨯----=(答案不唯一) 【分析】(1)观察这五个数,要找乘积最大的就要找符号相同且绝对值最大的数,所以选−6和−3; (2)根据有理数的混合运算即可求解. 解:解:(1)依题意选−6和−3 (−6)×(−3)=18, ①此时乘积的最大值为18;(2)答案不唯一:如()()536324⨯----=;()()336524----⨯=.【点拨】此题实际上是有理数的混合运算的逆运算,先给你数,让你列混合运算的式子,所以学生平时要培养自己的逆向思维能力. 类型十、含乘方的有理数运算10、计算:43116(2)31-+÷-⨯--. 【答案】 - 9.【分析】原式先计算乘方及绝对值运算,再计算乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.解:原式()11684189=-+÷-⨯=--=-.【点拨】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 举一反三: 【变式1】计算:(1)(-1)2×5+(-2)3÷4; (2)52()83-⨯24+14÷3(12)-+|-22|【答案】(1)3;(2)19 【解析】试题分析:(1)按照先算乘方,再算乘除,后算加减的顺序计算;(2)按照先算乘方,再算乘除,后算加减的顺序计算,522483⎛⎫-⨯⎪⎝⎭部分可按照乘法分配律计算. 解:(1)(-1)2×5+(-2)3÷4=1×5+( - 8) ×14=5 - 2 =3 ;(2)3521124228342⎛⎫⎛⎫-⨯+÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =52112424228348⎛⎫⨯-⨯+÷-+ ⎪⎝⎭=()115168224-+⨯-+ =15 - 16 - 2+22 =19.【变式2】计算:()()213142--+÷-⨯.【答案】 - 5【分析】根据有理数的运算法则计算即可得到答案.解:()()213142--+÷-⨯()1932=+÷-⨯ 132=-⨯()16=+-5=-.【点拨】本题考查了有理数的混合运算,掌握运算法则是解决本题的关键. 类型十一、计算器 - 有理数11、用计算器求下列各式的值:(1)24.12×2+3.452×4.2;(精确到0.1);(2)(2.42- 1.32)×3.1+4.13;(精确到0.01)【答案】(1)1161.62;(2)81.538.【解析】试题分析:先计算,再四舍五入.≈.(1) 24.12×2+3.452×4.2= 1211.61051211.6≈(2) (2.42 - 1.32)×3.1+4.13=81.53881.54举一反三:【变式1】利用计算器计算( - 8.9)×( - 11.2)【答案】99.68【解析】试题分析:利用计算器计算即可,注意按键顺序.试题解析:先输入—8.9,然后输入乘号,最后输入—11.2,即可得答案是99.68.【变式2】有一张厚度是0.1mm的纸,假设我们能将它连续对折30次,这时它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔(8844.43m)吗?请用计数器帮你得出答案.【答案】能,107374.1824m【分析】每对折一次即扩大1倍,对折30次相当于扩大230倍.解:0.1×230=107374182.4mm=107374.1824m>8845m.答:将一张厚度是0.1mm的纸,连续对折30次后,它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔高度(8845米)【点拨】此题考查计算器—有理数,解题关键在于熟练运用计算器.。
有理数的乘方公式完全平方公式:(a+b)²=a²+2ab+b²平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²立方和公式:a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)立方差公式:a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)完全立方公式:(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³有理数的乘方:求相同因数的积叫做乘方,乘方运算的结果叫幂。
正数的任何次幂都是正数,负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。
由于乘方是乘法的特例,因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
有理数的乘方法则:同底数幂法则同底数幂相乘除,原来的底数作底数,指数的和或差作指数。
a^m×a^n=a^(m+n)或a^m÷a^n=a^(m-n)(m、n均为自然数)幂的乘方法则幂的乘方,底数不变,指数相乘。
(a^m)^n=a^(m×n)积的乘方积的乘方,先把积中的每一个因数分别乘方,再把所得的幂相乘。
(a×b)^n=a^n×b^n有理数的乘方运算:1、负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。
2、正数的任何次幂都是正数,零的任何正数次幂都是零。
3、零的零次幂无意义。
4、由于乘方是乘法的特例,因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
5、1的任何次幂都是1,-1的偶次幂是1,奇次幂是-1。
6、0的任何正整数次幂都得0.有理数的乘法运算1、同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
2、任何数与零相乘,都得零。
3、几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负,当负因数有偶数个时,积为正。
4、几个数相乘,有一个因数为零,积就为零。
5、几个不等于零的数相乘,首先确定积的符号,然后后把绝对值相乘。
第九讲 有理数的乘方有理数的乘方(1)学习目标1、理解乘方的意义,探究有理数乘方的符号法则,会进行乘方的运算2、通过合作交流及独立思考,培养学生正确迅速的运算及探究新知识的能力。
重点:乘方的意义及运算难点:乘方的运算一、自主学习:1、复习巩固:①乘法运算的符号法则及运算方法:②多个不为0的数相乘,积的符号怎样确定?2、导学:(1)一般地,几个相同因数a 相乘,即........a a a ,记作,读作求n 个相同因数的,叫作乘方,乘方的结果叫做。
在n a 中,a 叫做,n 叫作。
当n a 看作a 的n 次方的结果时,也可读作。
特别地一个数也可以看作这数本身的一次方,如5就是5的一次,即155=,指数为1通常不写。
(2)警示:①乘方是一种运算(乘法运算的特例),即求n 个相同因数连乘的简便形式;②幂是乘方的结果,它不能单独存在,即没有乘方就无所谓幂;③乘方具有双重含义:既表示一种,又表示乘方运算的结果;④书写格式:若底数是负数、分数或含运算关系的式子时,必须要用把底数括起来,以体现底数的整体性。
(3)拓展:底数为1-,0,1,10,0.1的幂的特性:(1)n -=⎩⎨⎧为偶数为奇数n n 0n =(n 为正整数) 1n =(n 为整数) 101000n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1后面有____个0), 0.1n =0.00…01 (1前面有______个0)(4)乘方的符号法则:负数的奇次幂是数,负数的偶次幂是数。
正数的任何次幂都是数,0的任何正整数次幂都是。
(5)参照乘法运算的方法进行乘方运算。
(6)用计算器作乘方运算。
二、合作探究:1、计算:2010(1)-5(2)-383(5)-41()2-4(10)-3(2)--223-× 2、2(3)-=;23______-=3、已知n 是正整数,那么2(1)n -=,21(1)n +-=4、如果一个有理数的偶次幂是非负数,那么这个有理数是。
A 、正数B 、负数C 、0D 、任何有理数5、平方等于9的数是,立方等于27的数是,平方等于本身的数是,立方等于本身的数是三、学以致用:1、把333()444-××写成乘方形式。
有理数的乘方(3种题型)1.掌握有理数乘方的意义,正确判断幂的底数,掌握乘方运算的符号法则;2.理解科学记数法的表示,会正确算出科学记数法表示的数的结果;一.有理数的乘方(1)有理数乘方的定义:求n个相同因数积的运算,叫做乘方.乘方的结果叫做幂,在a n中,a叫做底数,n叫做指数.a n读作a的n次方.(将a n看作是a的n次方的结果时,也可以读作a的n次幂.)(2)乘方的法则:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0.(3)方法指引:①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先要确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值;②由于乘方运算比乘除运算又高一级,所以有加减乘除和乘方运算,应先算乘方,再做乘除,最后做加减.二.非负数的性质:偶次方偶次方具有非负性.任意一个数的偶次方都是非负数,当几个数或式的偶次方相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0.三.科学记数法—表示较大的数(1)科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式:a×10n,其中1≤a<10,n为正整数.】(2)规律方法总结:①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键,由于10的指数比原来的整数位数少1;按此规律,先数一下原数的整数位数,即可求出10的指数n.②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示,实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示,只是前面多一个负号.一.有理数的乘方(共11小题)1.(2022秋•鼓楼区校级期末)下列各组数中,相等的是()A.+32与+23B.﹣23与(﹣2)3C.﹣32与(﹣3)2D.|﹣3|3与(﹣3)3【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果,从而可以解答本题.【解答】解:∵32=9,23=8,故选项A不符合题意,∵﹣23=﹣8,(﹣2)3=﹣8,故选项B符合题意,∵﹣32=﹣9,(﹣3)2=9,故选项C不符合题意,∵|﹣3|3=27,(﹣3)3=﹣27,故选项D不符合题意.故选:B.【点评】此题考查有理数的乘法,有理数的乘方,解题关键在于掌握运算法则.2.(2022秋•盐都区期中)计算:=.【分析】根据有理数乘方法则进行计算便可.【解答】解:原式=+,故答案为:.【点评】本题考查了有理数的乘方,熟记有理数乘方法则是解题的关键.3.(2023•南京二模)与(﹣3)2的值相等的是()A.﹣32B.32C.(﹣2)3D.23【分析】将原式计算得到结果,即可作出判断.【解答】解:∵(﹣3)2=9,A.﹣32=﹣9;B.32=9;C.(﹣2)3=﹣8.D.23=8.∴与(﹣3)2的值相等的是B.故选:B.【点评】本题考查了有理数的乘方,熟练掌握乘方的意义是解题的关键.4.(2022秋•仪征市期末)若一个数的立方为﹣27,则这个数是()A.﹣3B.3C.±3D.﹣9【分析】根据有理数的乘方运算即可求出答案.【解答】解:∵(﹣3)3=﹣27,∴这个数是﹣3,故选:A.【点评】本题考查有理数的乘方运算,解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算,本题属于基础题型.5.(2023春•泰兴市校级月考)计算:()3=.【分析】求n个相同因数积的运算,叫做乘方,由此即可计算【解答】解:()3=××=.故答案为:.【点评】本题考查有理数的乘方,关键是掌握有理数的乘方运算法则.6.(2022春•灌南县期中)已知83=a9=2b,试求b a的值.【分析】根据83=(23)3=29,即可确定a和b的值,进一步求解即可.【解答】解:∵83=a9=2b,又∵83=(23)3=29,∴a=2,b=9,∴ba=92=81.【点评】本题考查了有理数的乘方,幂的乘方等,熟练掌握这些知识是解题的关键.7.(2023•海陵区一模)﹣32的值等于()A.﹣9B.9C.6D.﹣6【分析】利用有理数的乘方判断.【解答】解:﹣32=﹣9,故选:A.【点评】本题考查了有理数的乘方,解题的关键是掌握有理数的乘方.8.(2022秋•鼓楼区校级期末)如图,A,B,C,D,E是数轴上5个点,A点表示的数为9,E点表示的数为9100,AB=BC=CD=DE,则数999所对应的点在线段上.【分析】先根据AB=BC=CD=DE,计算出每一个线段的长度,再把AB的长度与999﹣9进行比较即可.【解答】解:∵A点表示数为9,E点表示的数为9100,∴AE=9100﹣9,∵AB=BC=CD=DE,∴,∴B点表示的数为,∵=,∴>0,∴数999所对应的点在B点左侧,∴数999所对应的点在AB点之间,故答案为:AB.【点评】本题考查了数轴,掌握两点之间的距离是正确解答的前提,估算出的大小是得出正确答案的关键.9.(2023春•宿豫区期中)已知3=m5=()n,求m+n的值.【分析】根据幂的乘方、负整数指数幂解决此题.【解答】解:∵310=m5=()n,∴310=95=m5=3﹣n.∴m=9,n=﹣10.∴m+n=9+(﹣10)=﹣1.【点评】本题主要考查幂的乘方、负整数指数幂,熟练掌握幂的乘方、负整数指数幂是解决本题的关键.10.(2022秋•鼓楼区校级月考)已知|x|=5,y2=16,且x+y>0,那么x﹣y=.【分析】利用绝对值的定义,乘方运算确定x、y的可能取值,再代入数据求x﹣y的值.【解答】解:∵|x|=5,y2=16,∴x=±5,y=±4,∵x+y>0,∴x=5,y=±4,x﹣y=5﹣4=1,x﹣y=5﹣(﹣4)=9,∴x﹣y的值为1或9.故答案为:1或9.【点评】本题考查了有理数的乘方,有理数的加减,绝对值,解题的关键是掌握有理数的乘方运算,有理数的加减运算,绝对值的定义.11.(2023春•吴江区期中)规定两数a,b之间的一种运算,记作(a,b);如果a c=b,那么(a,b)=c.例如:因为23=8,所以(2,8)=3.(1)根据上述规定,填空:(3,9)=,(,16)=2,(﹣2,﹣8)=;(2)有同学在研究这种运算时发现一个现象:(3n,4n)=(3,4),他给出了如下的证明:设(3n,4n)=x,∴(3n)x=4n即(3,4)=x,∴(3n,4n)=(3,4).②若(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,请你尝试运用上述这种方法证明a+b=c;②猜想[(x﹣1)n,(y+1)n]+[(x﹣1)n,(y﹣2)n]=(,)(结果化成最简形式).【分析】(1)根据规定,利用乘方的运算解答即可;(2)①根据规定,利用同底数幂乘方的运算法则证明即可;②根据规定,利用同底数幂乘方的运算法则,以及多项式乘以多项式的运算法则解答即可.【解答】解:(1)∵32=9,∴(3,9)=2;∵42=16,∴(4,16)=2;∵(﹣2)3=﹣8,∴(﹣2,﹣8)=3.故答案为:2,4,3;(2)①∵(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,∴4a=5,4b=6,4c=30,∴4a×4b=5×6=30=4c,∴4a+b=4c,即a+b=c;②设[(x﹣1)n,(y+1)n]=p,[(x﹣1)n,(y﹣2)n]=q,由上述结论,知(x﹣1)p=y+1,(x﹣1)q=y﹣2,且[(x﹣1)n,(y+1)n]+[(x﹣1)n,(y﹣2)n]=p+q,∵(x﹣1)p×(x﹣1)q=(y+1)(y﹣2),即(x﹣1)p+q=y2﹣y﹣2,∴[(x﹣1),(y2﹣y﹣2]=p+q,∴[(x﹣1)n,(y+1)n]+[(x﹣1)n,(y﹣2)n]=[(x﹣1),(y2﹣y﹣2].故答案为:(x﹣1),(y2﹣y﹣2).【点评】本题以阅读理解形式考查乘方、同底数幂的乘法、整式的乘法等运算,理解题意,掌握相关运算法则是解题的关键.二.非负数的性质:偶次方(共7小题)12.(2022秋•姑苏区校级期末)如果|a+3|+(b﹣2)2=0,则(a+b)2022的值是.【分析】根据绝对值和平方的非负性求出a,b,代入求值即可.【解答】解:因为|a+3|+(b﹣2)2=0,所以a+3=0,b﹣2=0,所以a=﹣3,b=2,所以(a+b)2022=(﹣3+2)2022=(﹣1)2022=1.故答案为:1.【点评】本题主要考查非负数的性质,涉及到有理数的乘方,解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性.13.(2022秋•鼓楼区校级期末)已知|ab﹣2|+(b+1)2=0,则(a﹣b)2023=.【分析】根据绝对值和平方的非负性求出a,b,代入求值即可.【解答】解:因为|ab﹣2|+(b+1)2=0,所以ab﹣2=0,b+1=0,所以ab=2,b=﹣1,解得a=﹣2,b=﹣1,所以(a﹣b)2023=(﹣2+1)2023=(﹣1)2023=﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题主要考查代数式求值、有理数的乘方,解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性.14.(2022秋•射阳县月考)已知(x﹣3)2+|2x﹣3y+6|=0,求x﹣y的值.【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值,然后代入代数式进行计算即可求解.【解答】解:∵(x﹣3)2+|2x﹣3y+6|=0,(x﹣3)2≥0,|2x﹣3y+6|≥0,∴x﹣3=0,2x﹣3y+6=0,解得x=3,y=4,∴x﹣y=3﹣4=﹣1.【点评】本题考查了绝对值和偶次方的非负性质,根据几个非负数的和等于0,则每一个算式都等于0列式是解题的关键.15.(2023春•东台市期中)若(x﹣1)2+|2y+1|=0,则x+y的值为()A.B.C.D.【分析】直接利用非负数的性质得出x,y的值,进而得出答案.【解答】解:∵(x﹣1)2+|2y+1|=0,∴x﹣1=0,2y+1=0,解得:x=1,y=﹣,则x+y的值为:1﹣=.故选:D.【点评】此题主要考查了非负数的性质,正确掌握相关定义是解题关键.16.(2022秋•仪征市期末)若|a﹣2|+(b+3)2=0,则b a=.【分析】根据绝对值和偶次方的非负性求出a、b的值即可得到答案.【解答】解:∵|a﹣2|+(b+3)2=0,|a﹣2|≥0,(b+3)2≥0,∴a﹣2=0,b+3=0,∴a=2,b=﹣3,∴ba=(﹣3)2=9,故答案为:9.【点评】本题主要考查了非负数的性质,代数式求值,熟知非负数的性质是解题的关键.17.(2023春•东台市期中)已知|x+2y+3|与(2x+y)2的值互为相反数,则x﹣y=.【分析】根据非负数的性质:几个非负数的和等于0,则每个数等于0,即可列出关于x和y的方程,求得x和y的值,进而求得代数式的值.【解答】解:根据题意得:,解得.则原式=1+2=3.故答案是3.【点评】本题考查了非负数的性质:几个非负数的和等于0,则每个数等于0,理解性质是关键.18.(2022秋•江阴市期中)如果|a+2|+(b﹣1)2=0,那么代数式(a+b)2021的值是()A.1B.﹣1C.±1D.2021【分析】首先根据非负数的性质求出a、b的值,然后再代值求解.【解答】解:由题意,得:a+2=0,b﹣1=0,即a=﹣2,b=1;所以(a+b)2021=(﹣1)2021=﹣1.故选:B.【点评】本题考查了非负数的性质.解题的关键是掌握非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目.三.科学记数法—表示较大的数(共4小题)19.(2023•苏州)在比例尺为1:8000000的地图上,量得A,B两地在地图上的距离为3.5厘米,即实际距离为28000000厘米.数据28000000用科学记数法可表示为.【分析】将一个数表示成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,这种记数方法叫做科学记数法,据此即可得出答案.【解答】解:28000000=2.8×107,故答案为:2.8×107.【点评】本题考查科学记数法表示较大的数,科学记数法是基础且重要知识点,必须熟练掌握.20.(2023•镇江一模)2023年2月15日春运结束,春运40天,全国发送旅客约15.95亿人次,比去年同期增长50.5%,其中,数据15.95亿用科学记数法可表示为.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.【解答】解:15.95亿=15.95×108=1.595×109.故答案为:1.595×109.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.21.(2023春•吴江区校级期中)光在真空中的传播速度约是3×108m/s,光在真空中传播一年的距离称为光年.(1)1光年约是多少千米?(一年以3×107s计算)(2)银河系的直径达10万光年,约是多少千米?(3)如果一架飞机的飞行速度为1000km/h,那么光的速度是这架飞机速度的多少倍?(1m/s=3.6km/h)【分析】(1)根据题意列出算式,求出即可;(2)根据题意列出算式,求出即可;(3)先化单位,再根据题意列出算式,求出即可.【解答】解:(1)3×108×3×107=9×1015(米),9×1015米=9×1012千米.答:1光年约是9×1012千米;(2)10万=100000,100000×9×1012=9×1017(千米),.答:银河系的直径达10万光年,约是9×1017千米;(3)3×108m/s=1.08×109km/h,1.08×109÷1000=1.08×106,答:光的速度是这架飞机速度的1.08×106倍.【点评】本题考查了科学记数法的表示方法.解此题的关键是能根据题意列出算式.22.(2022春•仪征市校级月考)某银行去年新增加居民存款10亿元人民币.(结果用科学记数法表示)(1)经测量,100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米,如果将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来,大约有多高?(2)一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时,按每天点钞5小时计算,如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币,点钞机大约要点多少天?【分析】(1)先算出10亿元人民币的张数,然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可;(2)用10亿元人民币的张数除以速度,再根据同底数幂相除,底数不变指数相减进行计算.【解答】解:(1)10亿=1 000 000 000=109,∴10亿元的总张数为109÷100=107张,107÷100×0.9=9×104(厘米);(2)107÷(5×8×104),=(1÷40)×(107÷104),=0.025×103=25=2.5×10(天).【点评】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法,根据题意列出算式是解题的关键,需要注意先求出10亿元人民币的总张数.一、单选题【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式,其中110a ≤<,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值10≥时,n 是正数;当原数的绝对值1<时,n 是负数.【详解】解:54700000用科学记数法表示为75.4710⨯;故选:C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式,其中110a ≤<,n 为整数,表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.【答案】A【分析】根据小于0的数是负数,对各选项计算后再计算负数的个数. 【详解】因为22−=,()2=2−−,()202311−=−所以负数有112−,()20231−,共计2个故选A【点睛】本题考查负数的概念,解题关键是利用了小于0的数是负数的概念.【答案】D【分析】根据几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0列出算式,求出x 、y 的值,代入计算即可. 【详解】解:∵()2510x x y −+−−=,∴50x −=,10x y −−=, ∴5x =,4y =,∴()()20232023514x y −=−=,故选:D .0,则其中的每一项都为0. 4.(2022秋·江苏盐城·七年级统考期中)下列计算结果相等为( ) A .43和34B .43−和4|3|−C .25−和2(5)−D .2022(1)−和 2024(1)−【答案】D【分析】根据乘方运算法则和绝对值的意义逐项进行计算即可.【详解】解:A .∵4381=,3464=,且8164≠,∴选项A 不符合题意;B .∵4381−=−,4|3|81−=,且8181−≠,∴选项B 不符合题意;C .∵2525−=−,2(5)25−=,且2525−≠,∴选项C 不符合题意;D .∵()202211−=,2024(1)1−=,且11=,∴选项D 符合题意.故选:D .【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算,绝对值的意义,解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则和绝对值的意义,准确进行计算.5.(2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中)()633...33⨯⨯⨯÷−个的结果为( )A .73B .73−C .53 D .53−【答案】D【分析】根据有理数的乘方与除法运算法则计算即可得到答案.【详解】解:原式633=−÷ 53=−.故选:D .【点睛】此题考查的是有理数的乘方与除法,正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0.【答案】A【分析】根据有理数的乘方运算求出x 、y 即可解答. 【详解】解:∵x 、y 、z 是三个连续的正整数, ∴y=x+1,∵x2=44944=2122, ∴x=212, ∴y=213,∴y2=2132=45 369, 故选:A .【点睛】本题考查有理数的乘方,熟练掌握有理数的乘方运算是解答的关键.二、填空题7.(2022秋·江苏苏州·七年级校考期中)倒数等于本身的数是______,相反数等于本身的数是______, 平方等于它本身的数是______,立方等于它本身的数是______. 【答案】 1± 0 1和0 1±和0【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、平方、立方的意义,即可得到答案. 【详解】解:倒数等于它本身的数是1±, 相反数等于它本身的数是0, 平方等于它本身的数是1和0, 立方等于它本身的数是1±和0, 故答案为:1±;0;1和0;1±和0.【点睛】本题考查了倒数、相反数、平方、立方,解题的关键是掌握所学的知识进行解题. 8.(2022秋·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末)数字1920000000用科学记数法表示为____________. 【答案】91.9210⨯【分析】利用科学记数法的定义解决.科学记数法的表示形式为10na ⨯的形式,其中110a ≤<,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 【详解】解:91920000000 1.9210=⨯. 故答案为:91.9210⨯.【点睛】此题考查科学记数法的定义,关键是理解运用科学记数法.9.(2022春·江苏宿迁·七年级统考期中)如果ab =c ,那么我们规定[a ,c ]=b .例如:因为23=8,所以[2,8]=3.若[3,5]=n ,[9,m ]=n ;则[3,m +2]=_______. 【答案】3【分析】根据规定可得3n =5,9n =m ,从而得到m =25,然后设[3,m+2]=x ,则3x =m+2=27,再由33=27,即可求解.【详解】解:∵[3,5]=n ,[9,m]=n , ∴3n =5,9n =m , ∴9n =(3n )2=52=25, ∴m =25,即m+2=27,设[3,m+2]=x ,则3x =m+2=27,∴33=27, ∴[3,m+2]=3, 故答案为:3【点睛】本题主要考查了乘方的逆运算的应用,理解新规定是解题的关键.10.(2022秋·江苏南京·七年级统考期中)下列情景描述的结果与52相符的是________(填写所有正确选项的序号)①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数;②把一团和好的面,揉搓成一根长条后,连续拉扣5次得到的面条根数③细胞分裂时,由1个分裂成2个,由2个分裂成4个,以此类推,一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数.【答案】②③/③②【分析】根据题干叙述分别计算找出对折的次数与折痕的条数,拉扣的次数和面条的根数,分裂的次数和细胞个数的规律,判断是否符合规律即可.【详解】①把一张报纸沿同一方向对折,对折一次有1条折痕,对折两次是3条折痕,以此类推,对折5次后有12481631++++=条折痕,不符合题意.②把一团和好的面,揉搓成一根长条后,拉扣一次时有两根面条,两次有4根面条,以此类推,拉扣5次有52根面条,符合题意.③由题意可得,一个这样的细胞分裂5次形成细胞个数为52个,符合题意. 故答案为②③.【点睛】本题主要考查幂的应用,清楚理解幂的含义是解决本题的关键.11.(2023春·江苏宿迁·七年级统考期中)根据全国第七次人口普查数据显示,截至2020年11月1日零时,泗阳总人口约1063000人,数据1063000用科学记数法表示____. 【答案】61.06310⨯【分析】用移动小数点的方法确定a 值,根据整数位数减一原则确定n 值,最后写成10na ⨯的形式即可. 【详解】∵61.010*******=10⨯, 故答案为:61.06310⨯.【点睛】本题考查了科学记数法表示大数,熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ,运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键.【答案】3【分析】根据非负数的性质列式求出m 、n 的值,再相减即可求出答案. 【详解】根据题意得,10m −=,20n +=, 解得,1m =,2n =−, 所以1(2)3m n −=−−=, 故答案为3.【点睛】本题主要考查了非负数的性质,有限个非负数的和为零,那么每一个加数必为零,熟练掌握非负数的性质是解题的关键.【答案】1−【分析】利用非负数的性质得出x y ,的值,代入计算得出答案. 【详解】解:()2130x y ++−=,10x ∴+=,30y −=,解得:=1x −,3y =, 3(1)1y x ∴=−=−,故答案为:1−.【点睛】本题考查了非负数的性质,掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键.14.(2021秋·江苏无锡·七年级无锡市东林中学校考期中)若|2|a −与()21b +互为相反数,则a b −=___________.【答案】3【分析】由题意得知:|a-2|+(b+1)2=0,根据非负数的性质得出a 、b 的值,代入计算即可. 【详解】解:根据题意得:|a-2|+(b+1)2=0, ∵|a-2|≥0,(b+1)2≥0, ∴a-2=0,b+1=0, ∴a=2,b=-1,∴2(1)3a b −=−−=, 故答案为:3.【点睛】本题主要考查了非负数的性质.解题的关键是掌握相反数定义,利用只有符号不同的两个数互为相反数得出a 、b 的值是解题的关键.三、解答题15.(2023春·江苏泰州·七年级姜堰区实验初中校考阶段练习)记(1)2M =−,(2)(2)(2)M =−⨯−,(3)(2)(2)(2)M =−⨯−⨯−,……()2(2)(2)(2)n n M −=−⨯−⨯−个相乘,(其中n 为正整数)(1)计算:(5)(6)M M +; (2)求(2022)(2023)2M M +的值; (3)说明()2n M 与(1)n M +互为相反数. 【答案】(1)32 (2)0 (3)见解析【分析】(1(2)根据已知条件及乘方的运算,再利用同底数幂的乘法法则即可得到正确结果; (3)根据已知条件及乘方的运算,再利用同底数幂的乘法法则即可得到结论. 【详解】(1)解:∵(1)2M =−,(2)(2)(2)M =−⨯−,(3)(2)(2)(2)M =−⨯−⨯−,∴()()552M =−,()662M =−,∴(5)(6)M M +()()5622=−−+()()5212⎡⎤=−−⎣⎦+()()521=−−32=;(2)解:∵()2(2)(2)(2)n n M −=−⨯−⨯−个相乘,∴()()202220232M M +()()20222023222=−−+()()2022222=−−⎡⎤⎣⎦+0=;(3)解:∵()2(2)(2)(2)n n M −=−⨯−⨯−个相乘,∴()12n n M M ++()()1222nn =−−++()()222n=−−⎡⎤⎣⎦+0=,∴()2n M 与(1)n M +互为相反数.【点睛】本题考查了乘方的意义及同底数幂的乘法法则,理解乘方的意义是解题的关键.【答案】数轴表示见解析,()()21301232−−<<−<<−−【分析】先把各数化简,然后再数轴上表示出来,即可求解. 【详解】解:33−−=−,()211−=,()33−−=,各数在数轴上表示出来,如下:按从小到大的顺序用“<”号连接起来为()()21301232−−<<−<<−−.【点睛】本题考查了有理数的乘方、绝对值的意义、有理数的大小比较.能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键,注意:在数轴上表示的数,右边的数总比左边的数大.,一般地,把c aa a a a÷÷÷÷个(a ≠0Ⅰ.试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.(﹣【答案】(1)3,﹣27;(2)C ;(3)Ⅰ.9;(5 )4;28;Ⅱ.a ⓝ=(a )n ﹣2;Ⅲ.131−.【分析】(1)根据新定义运算的法则进行运算即可;(2)根据新定义运算对每个选项逐一分析判断,即可得到答案;(3)Ⅰ.根据新定义的运算法则进行计算即可;Ⅱ.结合前面的具体计算进行归纳总结可得答案;Ⅲ.根据新定义运算,逐一先计算除方,再转化为有理数的乘除乘方运算,再计算即可. 【详解】解:概念学习:(1)由新定义运算可得:3③=3÷3÷3=13,(13−)⑤=(13−)÷(13−)÷(13−)÷(13−)÷(13−)=﹣27. 故答案为:13,﹣27;(2)A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除,所以都等于1;所以选项A 正确; B 、因为多少个1相除都是1,所以对于任何正整数n ,1ⓝ都等于1;所以选项B 正确;C 、3④=3÷3÷3÷3=19,4③=4÷4÷4=14,则 3④≠4③;所以选项C 错误;D 、负数的圈奇数次方,相当于奇数个负数相除,则结果是负数,负数的圈偶数次方,相当于偶数个负数相除,则结果是正数.所以选项D 正确; 本题选择说法错误的,故选C ; 深入思考:(3)Ⅰ.(﹣3)④=(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3) ()1113333æöæöæöç÷ç÷ç÷=-´-´-´-ç÷ç÷ç÷èøèøèø=21319−=⎛⎫⎪⎝⎭; 5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷511111=555555´´´´´ =(15)4; 同理得:(12−)⑩=28;故答案为:19;(15)4;28;Ⅱ:由新定义运算及(1)(2)归纳总结可得: a ⓝ=21n a −⎛⎫ ⎪⎝⎭;故答案为:a ⓝ=21n a −⎛⎫ ⎪⎝⎭Ⅲ.2112()3÷−④(2)÷−⑤1()3−−⑥33÷ =()()324311443332æöç÷¸-¸---¸ç÷èø()1144881279=´´--¸1283131=--=-故答案为:131−【点睛】本题考查的是新定义运算,有理数的除法运算,有理数的乘方运算,理解新定义运算的运算法则,并利用新定义进行计算是解题的关键.【答案】(1)351−,,(2)①122x x −−,;②2BD PC =,理由见解析【分析】(1)根据非负数的性质求出a b 、的值,再根据数轴沿点C 折叠,点A 和点B 重合即点C 为AB 的中点进行求解即可;(2)①根据数轴上两点距离公式即可求出PC ,再求出点D 表示的数即可求出BD ;②分别表示出PC 和BD 即可得到结论. 【详解】(1)解:∵()2350a b ++−=,()23050a b +≥−≥,,∴()2350a b +=−=,∴3050a b +=−=,, ∴35a b =−=,,∵数轴沿点C 折叠,点A 和点B 重合, ∴点C 为AB 的中点, ∴12a bc +==,故答案为:351−,,;(2)解:①由题意得1PC x =−,∵将数轴沿点P 折叠,数轴上与点A 重合的点记为D , ∴点P 是AD 的中点,∴点D 表示的数为()323x x x +−−=+⎡⎤⎣⎦, ∴2352222BD x x x=+−=−=−, 故答案为:122x x −−,; ②2BD PC =,理由如下:同①得1PC x =−,2221BD x x =−=−,∴2BD PC =;【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离,数轴上两点中点公式,非负数的性质,熟知数轴上两点距离公式是解题的关键. 19.(2022秋·江苏南京·七年级统考期中)某公司培养绿藻细胞制作绿藻粉,该公司制作1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞.(1)在光照充沛的环境下,1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞,且分裂后的细胞继续分裂.现从1个绿藻细胞开始培养,经过15天后,共分裂成4k 个绿藻细胞,求k 的值.(2)已知210=1024,请判断(1)问中的4k 个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉,并说明理由.【答案】(1)18;(2)足够,理由见解析【分析】(1)由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞,可知经过15天,即360小时,分裂成184个绿藻细胞,故k 之值为18;(2)根据每1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞, 60亿介于322与332之间,可得制作10克的绿藻粉需要600亿个绿藻细胞,且352<600亿362<,又()1818236422==,即得184个绿藻细胞足够制作10克的绿藻粉. 【详解】(1)解∶15天1524=⨯小时360=小时,∴3602018÷=,根据题意得,1844k =,∴18k =;(2)解:(1)问中的4k个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉.理由如下∶∵每1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞,∴制作10克的绿藻粉需要6010600⨯=亿个绿藻细胞,∵352<600亿362<,而()1818236422==,∵600亿184<,∴184个绿藻细胞足够制作10克的绿藻粉.【点睛】本题考查有理数的乘方,解题的关键是读懂题意,根据已知找到规律求出k 的值.一.选择题1.下列各组数中,相等的是( )A .(﹣3)2与﹣32B .|﹣3|2与﹣32C .(﹣3)3与﹣33D .|﹣3|3与﹣33【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解.【解答】解:A 、(﹣3)2=9,﹣32=﹣9,9≠﹣9,故本选项错误;B 、|﹣3|2=9,﹣32=﹣9,9≠﹣9,故本选项错误;C 、(﹣3)3=﹣27,﹣33=﹣27,故本选项正确;D 、|﹣3|3=27,﹣33=﹣27,27≠﹣27,故本选项错误.故选:C .【点评】本题考查了有理数的乘方,要注意(﹣3)2与﹣32的区别.2.党的十八大以来,坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金169200000000元,将169200000000用科学记数法表示应为( )A .0.1692×1012B .1.692×1011C .1.692×1012D .16.92×1010【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a ×10n ,其中1≤|a|<10,n 为整数,且n 比原来的整数位数少1,据此判断即可.【解答】解:169200000000=1.692×1011.故选:B .【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为a ×10n ,其中1≤|a|<10,确定a 与n 的值是解题的关键.3.在数学中为了书写简便,18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”,如记=1+2+3+…+(n﹣1)+n,(x+k)=(x+3)+(x+4)+…+(x+n);已知([x(x+k)]=9x2+mx,则m的值是()A.45B.63C.54D.不确定【分析】根据条件和新定义列出方程,化简即可得出答案.【解答】解:根据题意得:x(x+3)+x(x+4)+…+x(x+n)=x(9x+m),∴x(x+3+x+4+…+x+n)=x(9x+m),∴x[(n﹣3+1)x+]=x(9x+m),∴n﹣2=9,m=,∴n=11,m=54.故选:C.【点评】本题考查了新定义,根据条件和新定义列出方程是解题的关键.二.填空题4.2021年5月15日,天问一号探测器成功着陆火星,迈出了我国星际探测征程的重要一步.已知火星与地球的近距离约为550055 000 000用科学记数法表示为.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.【解答】解:55000000=5.5×107.故答案为:5.5×107.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.5.计算:﹣(﹣)3=.【分析】根据有理数的乘方解决此题.【解答】解:﹣(﹣)3=.故答案为:.【点评】本题主要考查有理数的乘方,熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键.6.计算:(﹣5)2=.【分析】根据幂的意义求解即可.【解答】解:(﹣5)2=(﹣5)×(﹣5)=25,故答案为:25.【点评】本题考查了有理数的乘方,解题的关键是知道(﹣5)2表示2个(﹣5)相乘.7.若有理数x,y满足x2=64,|y|=10,且|x﹣y|=x﹣y,则x+y的值为.【分析】根据绝对值、有理数的乘方、有理数的加法法则解决本题.【解答】解:∵x2=64,|y|=10,∴x=±8,y=±10.又∵|x﹣y|=x﹣y,∴x﹣y≥0.∴x≥y.∴当x=8时,y=﹣10,此时x+y=8+(﹣10)=﹣2;当x=﹣8时,y=﹣10,此时x+y=﹣8+(﹣10)=﹣18.综上:x+y=﹣2或﹣18.故答案为:﹣2或﹣18.【点评】本题主要考查绝对值、有理数的乘方、有理数的加法,熟练掌握绝对值、有理数的乘方、有理数的加法法则是解决本题的关键.8.1根1米长的木棒,第一次截去一半,第二次截去剩下的一半,…,如此截下去,则第8次剩下的木棒的长为米.【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可.【解答】解:第一次截去一半,剩下,第二次截去剩下的一半,剩下×=()2,如此下去,第8次后剩下的长度是()8=.故答案为:.【点评】本题考查的是有理数的乘方,是基础题,理解乘方的定义是解题的关键.三.解答题9.(2020秋•滕州市期末)如果x n=y,那么我们记为:(x,y)=n.例如32=9,则(3,9)=2.(1)根据上述规定,填空:(2,8)=,(2,)=;(2)若(4,a)=2,(b,8)=3,求(b,a)的值.【分析】(1)这个定义括号内第一个数为底数,第二个数为幂,结果为指数,根据有理数的乘方及负整数指数幂的计算即可;(2)根据定义先求出a,b的值,再求(b,a)的值.【解答】解:(1)因为23=8,所以(2,8)=3;因为2﹣2=,所以(2,)=﹣2.故答案为:3,﹣2;(2)根据题意得a=42=16,b3=8,所以b=2,所以(b,a)=(2,16),因为24=16,所以(2,16)=4.答:(b,a)的值为4.【点评】本题主要考查了有理数的乘方,负整数指数幂,考核学生的运算能力,熟悉乘方运算是解题的关键.10.若|a+1|+(b﹣2)2=0.(1)求a2﹣b2的值;(2)求a b的值.【分析】(1)根据绝对值、偶次方的非负性求得a=﹣1,b=2,再代入a2﹣b2求值.(2)由(1)得a=﹣1,b=2,根据乘方的定义,代入求值.【解答】解:(1)∵|a+1|≥0,(b﹣2)2≥0,∴当|a+1|+(b﹣2)2=0时,a+1=0,b﹣2=0.∴a=﹣1,b=2.。