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ssch6_3单边拉普拉斯变换的性质(I)

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ssch7_3单边z变换的性质(I)

ssch7_3单边z变换的性质(I)

X ( z)
-2 -1 - 2]
0
k
-1
0
k
0
k
-1 Z x[k - n]u[k ] z X ( z ) x[k ]z - k , 以此类推： k - n -n
|z| > Rx
[例] 求有限长序列RN[k]=u[k]-u[k-N]的z变换及收敛域。
z Rx
z Rx
单边z变换的性质
► 位移特性
-1 证明：Z x[k - n] u[k ] z X ( z) x[k ]z - k , k - n -n
z Rx
x[ k ]
Z X ( z)
-2 -1
x[k - 1]
0
k
-1
0
k
当x[k]向右平移一个单位， x[k]在k = -1处的值移动到了k = 0处
电子信息工程学院
单边z变换的性质
► 线性特性 ► 位移特性 ► 卷积特性 ► 求和特性
► 指数加权特性 ► z域微分特性 ► 初值和终值特性
单边z变换的性质
► 线性特性
Z x[k ] X ( z) ,
z Rx z Rx1 z Rx 2
Z x1[k ] X1 ( z ) , Z x2[k ] X 2 ( z) ,
Z {x[k - 2]u[k ]} z -2 X ( z) z -1x[-1] x[-2]
单边z变换的性质
► 位移特性
-1 证明：Z x[k - n] u[k ] z X ( z ) x[k ]z - k , k - n -n
z Rx
x[ k ]
Z ax1[k ] bx2[k ] aX1( z) bX 2 ( z) ,

[理学]第五章2拉普拉斯变换的性质_OK

[理学]第五章2拉普拉斯变换的性质_OK

0
2
t
解： 令
f t
f
2
t
2
则
f t 2 t 4 t 2 t
2
f
t
2
1
F
s
2
4
e
s 2
2 es
0
2
f ' t
2
2
1
2e
s 2
es
2
2
2 1
e
s 2
2
L
f
t
2
1 s2
Fs
2
1
e
2
s
. s2
2
0 2
f "
t
2
2
2
0
4
t
t
2
2
这是由于位于收敛边界的极点被抵消的缘故。
例5.2-1 求单边正弦函数 sin t t 和单边余 弦函数 cos t t 的象函数。
解：因为 sin t e jt e jt 2j
而es0t t 1
s s0
e jt e jt 2j
t
1 .
1
1.
1
2 j s j 2 j s j
s2 2
sin
t
t
s2
2
Res 0
3
同理因为
cos t e j t e j t
2
e j t e j t 2
t
s
1. 1
2 s j
1. 1
2 s j
s2
2
cos
t
t
s2
2
Res 0
sin t t
s2
2

拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换的性质

定理 [f1(t)f2(t)]F 1(s)F 2(s).
证明
左边
0 f1 ()[ f2 (t)e std t]d记为
0
f1()
Id
其中 If2(t)estdt 令 xt es 0 f2(x)esxdxesF2(s),
如果函数满足：当 t 0时，f1 (t)f2 (t) 0 , 则有
t f1(t)f2(t)0f1 ()f2 (t)d, (t 0 ).
显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律 以及分配律等性质。
28
P224 例9.15
解
f1(t)f2(t)
t
τsint(τ)dτ
16
解 t2co2st 1 t2(1co2st), 2
已知 [ 1 ] 1 , s
[co2st]
s2
s 22
,
P219 例9.9
根据线性性质以及象函数的导数性质有
[t2cos2
t
]
1 2
dds22[1ss2s22
]
2(s624s232) s3(s24)3 .
17
解 已知
方法二
[sint( π)] [cot]s 2

1 s2
(s). 1
sint( π)u(t) 2
两种方法为什么会得到不同的结果？
9
例 设 F(s) 1 e2s, 求 1[F(s)]. P223 例9.13 修改
s1
解 由于 1[ 1 ] et u(t), 根据延迟性质有
s1
其中， f (k)(0) 应理解为 limf(k)(t). t0
Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。（§9.4 将专门介绍）

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

二、拉普拉斯变换 Method of Laplace Transforms在数学中，为了把复杂的运算转化为较简单的运算，常常采取一种变换手段，例如数量的乘积或商可以通过对数变换变成对数的和或差，然后取反对数，即得原来数量的乘积或商。

拉普拉斯变换（Laplace transform ）在某种意义上类似这种情况，它是一种微分方程或积分方程求解的简化方法。

即把微分方程通过积分变换（把一个函数变为另一个函数的变换）转换为代数方程求解，求得代数方程的解后，由逆变换（查变换表）即得原方程的解。

此法比古典法解微分方程简易方便。

（一）定义(definition)函数f (t )的拉普拉斯变换定义为：⎰∞-==0)(d )()]([s F t e t f t f L st （2-1）L[ ] 为拉普拉斯变换符号 f (t ) 为原函数即给定时间函数 S 叫参变量或拉氏运算子 F (t ) 叫象函数即f (t )的拉氏变换故函数f (t )的拉氏变换即是将该函数乘以st e -，然后从0→∞时间内定积分。

定义是由严格的数学方法推导得出的，此处从略。

拉氏变换的实质是将时间函数表达式转换为拉氏运算子S 的函数表达式。

（二）拉普拉斯变换的性质(characteristics of Laplace transform)1．常数的拉普拉斯变换 SA A L =)( （2-2）2．常数与原函数积的拉普拉斯变换)()]([)]([S AF t f AL t Af L ==（2-3）3．函数和的拉普拉斯变换)()()]([)]([)]()([212121S F S F t f L t f L t f t f L +=+=+ （2-4）4．原函数导数的拉普拉斯变换)0()(d )(d f t S L f t t f L -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （2-5）5．指数函数的拉普拉斯变换 aS e L at +=-1][ （2-6）（三）拉普拉斯变换表与常微分方程的解(The table of Laplace transform and the key ofordinary differential eguation)为了计算方便，人们已将某些函数的表达式，采用拉普拉斯积分导出了这些函数表达式的拉普拉斯变换，而造出了拉普拉斯变换表，以后查表就可省出积分步骤。

拉普拉斯变换拉普拉斯变换表

拉普拉斯变换拉普拉斯变换表
当 F(s) 不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分 分式展开将 F(s) 分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏 变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的 F(s) 的拉氏反变换 f(t) 函数。
2.2.5 拉普拉斯反变换
(2) 部分分式展开法
在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时 间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。
设有时间函数 f(t)，当 t < 0 时，f(t)＝0；在 t≥0时定义函
数 f(t) 的拉普拉斯变换为：
F (s)L f(t)f(t)esd tt 0
函数 f(t) 积分的初始值
则： 证明：
Lf(t)d t1 sF (s)1 sf(0 )d t
L f( t ) d t f( t ) d te s d t t f( t ) d t1 d e st
0
0
s
f(t)dt estest f(t)dt s 0 s
0
1sf(0)dt1sF(s)
如果把 f(t) 的拉氏变换 F(s) 分成各个部分之和，即
F ( s ) F 1 ( s ) F 2 ( s ) F n ( s )
假若F1(s)、F2(s)，…，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变 换表查得，那么
f ( t ) L 1 [ F ( s ) L ] 1 [ F 1 ( s ( ) L ] 1 [ F 2 ( s ) ] L 1 [ F n ( s )] f1 (t)f2 (t) fn(t)
拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表
20210107
2. 数学模型与传递函数

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换
1
s2 a2 t cos at 【例3.5】(P77例5) 求 L s( s2 a2 )2
1
1 【例3.6】(P77例6) 求 L1 ( s1)( s2)( s 3)
1 1 1 1 t 1 2t 1 3t 1 6 15 10 L s 1 s 2 s 3 e e e 6 15 10

f ( x, y)dx I ( y)
a
b
( 2.1) : F ( s)

0
f (t ) e st dt 就是一个含参量的积分.
(2) 拉氏变换实际是实函数f (t)的集合到复函数F(s) 的集合的一种对应关系 L : f (t ) F (s)
集合A f(t) 集合B F(s)
L
m! (2) L [ t ] m1 s
m
(m N )
(Re( s) 0)
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Proof :
(m 1)


0
et t m dt
0
u t m , v et t met
m et t m1dt
0

m ( m)
由(2.3)可推出下面的(2.4)式:
L [ f ( n ) (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0)
s f ( n2) (0) f ( n1) (0) (Re(s) 0)
(2.4)
利用(2.4) 式
s (答案: 2 2 ) 【例2.1】求L[coskt] (P61例1) s k m ](m=1,2…) (P 例2) (答案: m ! ) 【例2.2】求L[t 61 s m 1

拉普拉斯变换的基本性质

§ 4.3 拉普拉斯变换的基本性质主要内容线性；原函数微分；原函数积分；延时（时域平移）；s 域平移；尺度变换；初值；终值 卷积；对s 域微分；对s 域积分一．线性例题： 已知则同理二．原函数微分证明：推广：电感元件的s 域模型 [][][])()()()( ,),()( ),()( 22112211212211s F K s F K t f K t f K L K K s F t f L s F t f L +=+==则为常数，若()tj t j e e t t f ωωω-+==21)cos()([]αα+=-s e L t 1()[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=ωωωj s j s t L 1121cos 22ω+=s s ()[]22sin ωωω+=s t L [])0()(d )(d ),()(--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=f s sF t t f L s F t f L 则若()()()())(0 d d 000s sF f t e t sf e t f t e t f st st st +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='-∞∞--∞⎰⎰()()[])0()0()( )0(0d )(d 22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡f sf s F s f f s F s t t f L ∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10)(1)0()(d )(d n r r r n n n f ss F s t t f L设应用原函数微分性质三．原函数的积分证明：① ② ()s s F =电容元件的s 域模型)(t i+-)(t v L L t t i L t v LL d )(d )(=[][])()(),()(s V t v L s I t i L L L L L ==[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s I sL i s sI L s V()s V L +-[]，则若)()(s F t f L =()s f s s F f L t )0()(d )(1--∞-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ττ()()()ττττττd d d 00⎰⎰⎰+=∞-∞-t t f f f ① ② ()()01-f ()()s f 01-→()⎰⎰∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡00d d t e f st t ττ()()⎰⎰-∞-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t st t st t e t f s f s e 000d 1d ττ()⎰-=t st te tf s 0d 1+-)t v C C ⎰∞-=t c C i C t v ττd )(1)([][])()( ),()(s V t v L s I t i L C C C C ==设四．延时（时域平移）证明：0)(st e s F -=五．s 域平移证明：六．尺度变换证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--s i s s I C s V C C C )0()(1)()1()0(1)(1-+=C C v s s I sCsC 1()-01C v s +-()s V C[][]0)()()( )()(00st e s F t t u t t f L s F t f L -=--=，则若[]⎰∞----=--00000d )()()()(t e t t u t t f t t u t t f L st ⎰∞--=0d )(0t st t e t t f ，令0t t -=τ代入上式则有,d d ,0ττ=+=t t t []⎰∞---=--000d )()()(0τττs st e e f t t u t t f L [][])()( )()(αα+==-s F e t f L s F t f L t ，则若[])(d )()(0ααα+==⎰∞----s F t e e t f e t f L st t t [][]()0 1)( ),()(>⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a s F a at f L s F t f L 则若[]⎰∞--=0d )()(t e at f at f L st时移和标度变换都有时:七．初值八．终值终值存在的条件:证明：根据初值定理证明时得到的公式九．卷积，则令at =τ[]⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=0d )()(a e f at f L a s τττ⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0d )(1τττa s e f a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=a s F a 1[]()0,0 1)()(>>⎪⎭⎫ ⎝⎛=---b a e a s F a b at u b at f L a b s 若)(lim )0()(lim ),()(d )(d )(0s sF f t f s F t f t t f t f s t ∞→+→==−→←+则可以进行拉氏变换，且及若()应化为真分式：不是真分式若,s F k s F s F -=)()(1[][])(lim )(lim )(lim )0(0t f ks s sF k s F s f t s s +→∞→∞→+=-=-=()()()项。

拉普拉氏变换

1
f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) A1 f1 ( t ) A2 f 2 ( t )
[ f 2 ( t )] F2 ( S )
A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
0 A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )e st dt 证： A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )
s0
例2：
R
(t)
校验：

+
u
uc (0 ) 0 du RC u (t ) dt
1 SRCU ( S ) U ( S ) S 1 U(S) S (1 SRC )
- C
1 1 u(0 ) lim S lim 0 s S (1 SRC ) s (1 SRC ) 1 u( ) lim 1 s 0 (1 SRC )
简写 F (s)
s为复频率
f ( t )
s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义
t < 0 , f(t)=0
正变换
F (s) f (t )e st dt 0 1 c j st f (t ) c j F (s)e ds 2j
设：
注
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e st F ( s )
0
f ( t t0 ) 0 当 t t0
证：
令t t0
f(t - t )
0

t f ( t t0 )e
0

0
f ( t t0 )e st dt

拉普拉斯变换详解


s2 s2
s
例3 求周期函数的拉氏变换
解
设f1(t)为第一周函数
[ f1(t )] F1(s)
f(t) 1
T/2 T
... t
则：
1 [ f (t )] 1 esT F1(s)
证：f (t) f1(t) f1(t T )ε(t T )
f1(t 2T )ε(t 2T )
[ f (t )] F1(s) esT F1(s) e2sT F1(s)
S
校验：
U(S)
1
S(1 SRC )
u(0
)
lim
s
S
S(1
1 SRC
)
lim
s
(1
1 SRC
)
0
u() lim 1 1 s0 (1 SRC )
小结： 积分
(t) (t)
t (t ) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
)
例3 求 : f (t) teat的象函数
解
[te αt ] d ( 1 ) 1
ds s α (s α)2
3.积分性质
设： [ f (t)] F (s)
则：
t
1
[ 0
f
(t)dt]
s
F(s)
证：令
t
[ 0
f
(t)dt]
φ( s )
[ f (t)]
d dt
t
0
f
(t )dt
(s
p
)
kn
s pn
f

单边拉普拉斯变换的性质(I)


解：x(t)可用基本信号表达为
x(t) 1
x(t) r(t) 2r(t 1) r(t 2)
已知
r(t)
tu(t)
L
1 s2
,
Re(s) 0
t
0
12
利用拉氏变换的时移特性和线性特性，可得:
X (s)
1 s2
(1 2e
s
e2s )
1
2e s s2
e2s
Re(s)
例：试求如图所示信号的单边Laplace变换。
L
[x(t)] X1 (s) e snT
n0
X1 (s) 1 e sT
Re(s) > 0
例：试求如图所示信号的单边Laplace变换。
x(t)
x1(t)
2
t
0
1
2
3
4
5
解： x1 ( t ) 2 [ u ( t ) u ( t 1 ) ]
且
L 2 (1 es ), Re(s)
s
由于 x ( t ) x1 ( t ) x1 ( t 2 ) x1 ( t 4 )
其中，x1(t) u(t) u(t 1)
x (t)
L X (s)
1 es
,
Re(s)
1
1
s
x1(t) 1
t
0
1
因此，利用拉氏变换的卷积特性,可得
X
(s)
X1(s)
X1 (s)
1 es (
s
)2 ,
Re(s)
5. 乘积特性
► 乘积特性
若
x (t) L X (s), Re(s)
1
1
1
x (t) L X (s), Re(s)
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单边拉普拉斯变换的性质
► 线性特性 ► 时移特性 ► 展缩特性 ► 卷积特性 ► 乘积特性 ► 指数加权特性 ► 线性加权特性 ► 微分特性 ► 积分特性 ► 初值及终值定理
1. 线性特性
► 线性特性 若
L x1 (t ) X1( s), Re( s) 1 L x2 (t ) X 2 ( s), Re( s) 2
Re(s) max(1, 2 )
例: 试利用卷积特性求解如图所示信号的单边Laplace变换：
x(t) 1 0 1 2
x1(t) 1 0 1 t
t
x(t)可以表达为 x(t ) x1 (t ) x1 (t ) 解： 其中，x1 (t ) u(t ) - u(t - 1)
1- e x1 (t ) X 1 ( s) , Re( s) - s
L [ x(t )] X1 ( s) e- snT
n

X 1 ( s) 1 - e- sT
Re(s) > 0
例：试求如图所示信号的单边Laplace变换。
x(t)
x1(t)
2 t
0
1
2
3
4
5
解： x1 (t ) 2[u(t ) - u(t - 1)]
且
2 (1 - e- s ), s
则
1 x1 (t ) x2 (t ) [ X 1 ( s ) * X 2 ( s )] 2 πj
L
Re(s) 1 2
L -s
因此，利用拉氏变换的卷积特性,可得
1 - e- s 2 X ( s) X 1 ( s) X 1 ( s) ( ) , Re( s) - s
5. 乘积特性
► 乘积特性 若
L x1 (t ) X 1 ( s), Re( s) 1 L x2 (t ) X 2 ( s), Re( s) 2
Re( s ) -
例：试求如图所示信号的单边Laplace变换。
x(t)
x1(t)
2 t
0
1
2
3
4
5
分析：周期为T的单边周期信号x(t)可以表示为第一个周期号x1(t) 及其时移x1(t-kT)的线性组合，即
x(t ) x1 (t - nT )
n 0

若计算出x1(t)的Laplace变换X1(s)，利用Laplace变换的时移特性和线性特性， 即可求得所给信号的Laplace变换为
x(t ) r (t ) - 2r (t - 1) r (t - 2) 1 L 已知 r(t ) tu(t ) 2 , Re( s) 0 s
x(t) 1 0 1 2 t
利用拉氏变换的时移特性和线性特性，可得:
-s -2 s 1 1 2e e -s -2 s X ( s) 2 (1 - 2e e ) s s2
则
L x1 (t ) x2 (t ) X 1 ( s) X 2 ( s)
Re(s) max(1, 2 )
例：试利用线性特性求解u(t)-u(t-1)的单边Laplace变换。
u(t) 1 t u(t-1) u(t)-u(t-1)
1 2
1 t

1 2
1 t
0
0
1 s x (at ) X ( ), a a
L
( a 0)
Re( s) a 0
4. 卷积特性
► 卷积特性 若
L x1 (t ) X 1 ( s), Re( s) 1 L x2 (t ) X 2 ( s), Re( s) 2
则
L x1 (t )* x2 (t ) X 1 ( s) X 2 ( s)
► 时移特性 若 则
L x(t ) X (s) , Re( s) 0
L x(t - t0 )u(t - t0 ) e-st0 X (s)
(t0 0)
Re( s) 0
例：利用时移特性和线性特性，求解x(t)的单边Laplace变换。 解：x(t)可用基本信号表达为
L
Re( s) -
由于 x(t ) x1 (t ) x1 (t - 2) x1 (t - 4) 所以 X (s) X1 (s)(1 e-2 s e-4 s )
X1 ( s) 1 - e-2 s
Re( s) 0
3. 展缩特性
► 展缩特性 若 则
L x(t ) X ( s) Re( s) 0
0
1
2
1 -s L L , Re( s) 0 且 u(t - 1) 由于 u(t ) e ， Re( s) 0 s
1 s
利用拉氏变换的线性特性,可得
1 1 - s 1 - e- s u(t ) - u(t - 1) - e , s s s
L
Re( s) -
2. 时移特性